[r]
(1)Đáp án câu 5:
Đề: Cho x, y, z số thực t/m: x2 + xy + y2 = -
3
2z2 (*)
Tìm giá trị nhỏ lớn D = x + y + z
Bài làm:
Cách 1:
Từ (*) ta có : x2 + 2xy + 2y2 = - 3z2
<=> x2 + 2xy + y2 + z2 + 2yz + 2zx = - 2z2 - x2 - y2 + 2yz + 2zx
<=> (x + y +z)2 = – (x – z)2 – (y – z)2 (* *)
Ta có : – (x – z)2 – (y – z)2 , Dấu “ = “ Xảy x = y = z
Vậy từ (* *) Ta có : D2 = – (x – z)2 – (y – z)2 2
=> D hay - D
Vậy:
Dmin = - <=> x = y = z =
2
Dmax = <=> x = y = z =
2 Cách 2:
Từ D = x + y + z => x + y = D – z , nên từ (*) => xy = (x+y)2 +
3
2z2 - = (D - z)2 +
3
2z2 -
Vậy x, y nghiệm pt: X2 – (D-z)X + [(D-z)2 +
3
2z2 - ] = (1)
Pt ln có nghiệm nên: '
X
= (D-z)2 - 4[(D-z)2 +
3
2z2 - ]
<=> - 3(D-z)2 - 6z2 + 0
<=> 9z2 – 6Dz + 3D2 - ta xem BPT ẩn z ln có nghiệm
( 9z2 – 6Dz + 3D2 - = vơ nghiệm, 9z2 – 6Dz + 3D2 - > z )
Nên pt : 9z2 – 6Dz + 3D2 - = ln có nghiệm
<=> '
z
= 9D2 – 9(3D2 – 4) 0 hay D2 2 => D 2 hay - 2 D 2
D = 2 => 'z = => Nghiệm kép: z
1 = z2 = D
( = z) => 9z2 – 6Dz + 3D2 - = =>
' X
= => x = y = D z2 = D3
Vậy: Dmin = - <=> x = y = z = D
=
2
Dmax = <=> x = y = z = D
=