Phương pháp xác định số hạng của dãy số

Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình ph[r]

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình tốn học THPT tốn liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn khó liên quan đến vấn đề gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp toán xác định công thức tổng quát dãy số nội dung tốn gần giải

Để đáp ứng phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ kết hợp với tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua số chuyên đề mà thân tác giả học

Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số có phân loại số lớp toán Đây đề tài giảng mà tác giả dạy cho học sinh , đặc biệt học sinh giỏi lớp chọn, tài liệu học sinh đồng nghiệm tham khảo

Trong đề tài tác giả sử dung số kết có tính hệ thống ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ Tuy nhiên vấn đề áp dụng kiến thức toán học đại dừng lại số trường hợp đặc biệt giới hạn trường số thực

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI

TOÁN VỀ DÃY SỐ

A PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng

*

1 , n n n ,

u  a u b u f n N

trong a,b, số ,a # fn biểu thức n cho trước Dạng 1

Tìm un thoả mãn điều kiện

1 , n n

u  a u  b u  (1.1)

trong a b, , cho trước n N * Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.  b 0 để tìm  Khi un qn (q số ) , q xác định biết u1 

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên công bội

Bài giải Ta có

1 , 1

n n

u   u u  (1.2)

Phương trình đặc trưng có nghiệm  2 Vậy un c.2n Từ u1 1suy

2

c

Do un 2n

 

Dạng 2

*

1 , n n n ,

u  au  bu f n N (2 1)

trong fn đa thức theo n Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.  b 0 ta tìm  Ta có

0 *

n n n

u u u Trong un0 nghiệm phương trình (1.1) và *

n

u nghiệm riêng tuỳ ý phương trình khơng (2.1) Vậy

0 . n

n

u q q số xác định sau

Ta xác định u*n sau :

1) Nếu #1 un* đa thức bậc với fn

2) Nếu  1 un* n g n với gn đa thức bậc với fn

Thay u*n vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số

*

n

u

Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện

*

1 2; n n ,

u  u  u  n n N (2.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng   1 0 có nghiệm  1 Ta có

0 *

n n n

u u u un0 c.1n c u, n* n an b   Thay

*

n

u phương trình

(2.2) ta

n1a n 1 b n an b   2n (2.3)

thay n=1và n=2 vào (2.3) ta hệ phương trình sau

3

5

a b a

a b b

  

 



 

  

 

Do un n n  1

Vậy un  2 n n  , hay un n2  n2 Dạng 3

Tìm un thoả mãn điều kiện

*

1 , n n ,n

u  a u  bu v n N (3.1)

trong fn đa thức theo n Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.  b 0 ta tìm  Ta có

0 *

n n n

u u u Trong un0 c.n , c số chưa xác định , un*

xác định sau :

1) Nếu  # un* A.n 2) Nếu  u*n A n .n

Thay u*n vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số u*n Biết u1, từ hệ thức

0 *

n n n

u u u , tính c

Bài tốn 3: Tìm un thoả mãn điều kiện

*

1 1; ,

n

n n

u  u   u  n N (3.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng   0 có nghiệm  3 Ta có

0 *

n n n

u u u un0 c.3 ,n un* a.2n

Thay u*n a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu

1

.2n 2n 2n 1

a  a a a a

      

Suy un 2n Do n n

u c  n u1 1 nên c=1 Vậy un 3n  2n

Dạng 4

Tìm un thoả mãn điều kiện

*

1 , n n 1n 2n,

Trong f1n đa thức theo n

n n

f v

Phương pháp giải

Ta có un un0 u1*n u2*n Trong

0

n

u nghiệm tổng quát phương

trình aun1 bun 0,

*

n

u nghiệm riêng phương trình

khơng a u n1 b u n f1n,

* 2n

u nghiệm riêng phương

trình khơng a u n1 b u n f2n Bài tốn 4: Tìm un thoả mãn điều kiện

2 *

1 1; 3.2 ,

n

n n

u  u   u n  n N (4.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng   0 có nghiệm  2 Ta có

0 * *

1

n n n n

u u u u un0 c.2 ,n un* a n b n c u  , 2*n An.2n

Thay u*n vào phương trình

2

1

n n

u   u n , ta

 12  1 2 2 2

a n b n  c an  bn c n

Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình

2 1

4

2

a c a

a b c b

a b c c

  

 

 

    

 

     

 

Vậy u1*n n2  2n thay

* 2n

u vào phương trình 1 3.2n

n n

u  u  Ta được

 1 2 2 .2 3.2 2  1 2 3

2

n n n

A n  An A n An A

        

Vậy

*

2

.2

2

n n

n

u n n 

 

Do un c.2n  n2 2n 3 2n n



      Ta có u1 1 nên 2 c 3  c0 Vậy un 2n n n2 2n



B PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng

*

1 , , n n n n ,

u  u  a u  bu c u  f n N

trong a,b,c,  , số , a # fn biểu thức n cho trước

(NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ln có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực )

Dạng 1

Tìm un thoả mãn điều kiện

*

1 , , n n n 0,

u  u  au  bu c u   n N (5.1)

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.2 b. c tìm  Khi đó

1) Nếu  1, hai nghiệm thực khác

n n

n

u A B ,

đó A B xác định biết u u1,

2) Nếu  1, hai nghiệm kép 1 2   

n n

u  A Bn  , trong

đó A B xác định biết u u1,

Bài tốn 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau

0 1, 16, n n 16 n

u  u  u   u   u (5.1)

Bài giải Phương trình đặc trưng 2  816 0 có nghiệm kép  4

Ta có

 4 n n

u  A B n (5.2)

 

0

1

1

3

1 16

u A A

B

u B

 

  





 

   

 



Vậy un  1 4n n Dạng 2

Tìm un thoả mãn điều kiện

1 , , n n n n , 2,

u  u  a u  b u c u  f n (6.1)

trong a # 0, fn đa thức theo n cho trước Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.2 b. c để tìm  Khi ta

có un un0 un*,

0

n

u nghiệm tổng quát phương trình

nhất a u n1b u n c u n1 0 *

n

u nghiệm tuỳ ý phương trình

1

n n n n

a u  b u c u  f

Theo dạng ta tìm un0, hệ số A, B chưa xác định ,

*

n

u

được xác định sau :

1) Nếu #1 un* đa thức bậc với fn

2) Nếu  1 nghiệm đơn u*n n g g ,n n đa thức bậc với fn 3) Nếu  1 nghiệm kép un* n g g.2 n, n đa thức bậc với

n

f ,

Thay u*n vào phương trình , đồng hệ số, tính hệ số

*

n

u .

Biết u u1, từ hệ thức

0 *

n n n

u u u tính A, B

Bài tốn 6: Tìm un thoả mãn điều kiện

1 1; 0, n n n 1,

Bài giải Phương trình đặc trưng 2  2 1 0 có nghiệm kép  1 Ta

có un un0 un*    

0 .1n , * .

n n

u  A B n  A Bn u n a n b

Thay u*n vào phương trình (6,2) , ta

n 12 a n 1 b 2n a n b2 .  n 12 a n 1 b n 1

              

Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình

   

     

1

4 2 6

1

9

2 a

a b a b

a b a b a b b

                         Vậy

*

6

n

n

u n   

 

Do

0 *

6

n n n

n

u u u  A Bn n   

  Mặt khác 1 11 1

2 3

3

A B A

B A B                             Vậy 11

3

n

n

u   n n   

 

Dạng 3

Tìm un thoả mãn điều kiện

1 , , ,

n

n n n

u  u  au  bu c u  d  n (7.1)

Giải phương trình đặc trưng a.2 b. c để tìm  Khi ta có

0 *,

n n n

u u u un0 xác định dạng hệ số A B chưa

được xác định, u*n xác định sau 1) Nếu  # un* k.n

2) Nếu  nghiệm đơn un* k n n 3) Nếu  nghiệm kép u*n k n .2n

Thay u*n vào phương trình , dùng phương pháp đồng thức hệ số tính hệ số k Biết u u1, từ hệ thức

0 *

n n n

u u u tính A,B

Bài tốn 7: Tìm un thoả mãn điều kiện

1 0; 0, 3.2 ,

n

n n n

u  u  u   u u   n

Bài giải Phương trình đặc trưng 2  2 1 0 có nghiệm kép  1 Ta

có un un0 u1*n  

0 .1n , * .2n

n n

u  A B n  A Bn u k

Thay u*n vào phương trình , ta

1

.2n 2n 2n 3.2n

k  k k  k

    

Vậy un* 6.2n 3.2n



  Do un un0 u*n A bn 3.2n1

     (1) Thay

1 1,

u  u  vào phương trình ta thu

1 12

0 24 13

A B A

A B B

   

 



 

   

 

Vậy

1

2 13 3.2n

n

u n 

  

Dạng 4

Tìm un thoả mãn điều kiện

, , ,

trong a # , fn đa thức theo n n n

g v

Phương pháp giải

Ta có un un0 u1*n u*2n

0

n

u nghiệm tổng quát phương

trình aun1 bun c u n1 0 , * 1n

u nghiệm riêng tùy ý của

phương trình khơng aun1bun c u n1 fn

* 2n

u nghiệm

riêng tùy ý phương trình khơng aun1 bun c u n1 gn Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện

1 0; 0, ,

n

n n n

u  u  u   u  u   n n (8.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng 2  2 0 có nghiệm 1 1,2 3

Ta có

0 * *

1

n n n n

u u u u

trong

 

0 * *

1

1 n ,n , 2n

n n n

u A  B u  a bn u k

Thay u1*n vào phương trình un1  2un  3un1 n , ta

 1 2   1 4 1 4 

a n  b an b  a n b  n a n a b 

Vậy

1

a b 

Do

 

* 1

4

n

u  n

Thay u*2n vào phương trình

n

n n n

u   u  u   , ta

1

.2 .2 .2

3

n n n n

k  k k  k

Do

*

2

2

.2

3

n n

n

u 

 

Vậy

   

0 * *

1

1

1

4

n n n

n n n n

u u u u A B n 

        

(8.3) Ta thay u1 1,u2 0 vào (8.3) ta hệ phương trình

1 61

3

2 48

3 25

9

4 48

A B A

A B B

 

     

 

 



 

      

 

 

Vậy

   

61 25 1

48 48

n n n

n

u n 

     

C PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng

1 , , , n n n n n ,

u  u  u  a u  bu  c u d u  f n (a.1)

trong a,b,c, d,  ,,  số , a # fn biểu thức n cho trước

(NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực )

Phương pháp giải

Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un un0 un*,

0

n

tính nhất, u*n nghiệm riêng phương trình tuyến tính khơng

Xét phương trình đặc trưng

3 0

a b c d  (a.2)

1) Xác định công thức nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp ba

a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực  1, ,3 phân biết

1 2 3

n n n

n

u a  a  a 

b) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn

1

(  # )

0

1 3

( ) n n

n

u  a a n  a 

c) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội (1 2 3)

0

1

( ) n

n

u  a a n a n 

2) Xác định nghiệm riêng un* phương trình (a.1)  Xét fn đa thức n ta có

a) Nếu #1 un* đa thức bậc với fn

b) Nếu  1 (nghiệm đơn ) un* n g n gn đa thức bậc với fn

c) Nếu  1 (bội ) un* n g2 n gn đa thức bậc với n

f

d) Nếu  1 (bội 3) un* n g3 n gn đa thức bậc với n

f

 Xét n n

a) Nếu  # u*n k n .n

b) Nếu  (nghiệm đơn ) un* k.n c) Nếu  (nghiệm bội s ) u*n k n .s n Bài tốn 9: Tìm dãy số anbiết

1 0, 1, 3, n n 11 n n 3,

u  u  u  u  u   u   u  n (9.1)

Bài giải Xét phương trình đặc trưng

3 7 11 5 0

      

có nghiệm thực

1 1,

    

Vậy 35

n n

a c c n c

Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phương trình tạo thành, ta

1

1

, ,

16 16

c  c  c 

Vậy  

1

1

1

16 16

n n

a n 

   

D BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài toán 10: Cho dãy số an xác định theo công thức sau

1 0; 1, n n n 1,

a  a  a   a  a   n (10.1)

Chứng minh số A4 .a an n2 1 số phương

Bài giải Ta có

1 1

n n n

a   a  a   (10.2)

Trong (9.2) ta thay n n-1, ta

1

2

n n n

a  a  a   (10.3)

1 3

n n n n

a  a  a   a  (10.4)

Phương trình đặc trưng (10.4)

3 3 3 1 0

      

có nghiệm  1 nghiệm bội bậc ba

Vậy nghiệm tổng quát phương trình (10.4)

2

1

( )1n

n

a  c c n c n

Cho n=0, n=1, n=2 ta

1 1

2

2

1

0 0

1 1

3

c c

c c c

c c

c c c



  

 

   

 

      



Ta thu

 1

2

n

n n

a  

từ ta có

 2

2

4 n n A a a    n  n Điều chứng tỏ A số phương

Bài tốn 11: Cho dãy số  xn xác định theo công thức sau

 

1 7; 50, n n n 1975

x  x  x  x  x   n (11.1)

Chứng minh x19961997

Bài giải Xét dãy số  yn với y1 7, y2 50 và

 

1 22

n n n

y   y  y   n (11.2)

Dễ thấy yn xnmod1997 Do cần chứng minh

 

1996 1997

y  mod

Đặt zn 4yn 11 suy z1 39, z2 211 Nhận xét

1 11 16 20 99 20 55

n n n n n n

z   y    y  y    z  y   (11.3)

1 11

n n

z   y   suy 20yn1 5zn1 55 (11.4)

Thế (11.4) vào (11.3) ta

1

n n n

z   z  z 

Suy

1

n n n

z   z  z   (11.5)

Phương trình đặc trưng (11.5)

2 4 5 0

    có nghiệm 1 1,2 5

Nghiệm tổng quát (11.1)

 1n 5n n

z     

Ta có

1

2

8

5 39 3

25

25 211

3 z

z

  

 

 

    

 



 

  

  

 

Do ta nhận

 

8 25

3

n n

n

z   

(11.6) Từ (11.6) ta suy

1996 1996

8 25.5

z  

Ta cần chứng minh

 

1996 11 mod1997

z 

Do

1996

1996

5 1997

5

  

 

 

 

1996

25 1997

25 .1997 11

3

n

z     n 

Vậy z1996 11 mod 1997 

E BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Xác định công thức dãy số  xn thoả mãn điều kiện sau 1) x1 11, xn1 10.xn  1 ,n  n N

2) x0 2, x1 8, xn2 8.xn19xn

3) x0 1, x1 3, 2.xn2  5xn12xn n2  2n3 4) x0 0, x1 1, xn1 4xn 4xn1 n2  6n5

5) x1 1, x2 2, xn2  5xn16xn 4 Bài 2: Cho dãy số  an thoả mãn điều kiện

  2

n n n

a a a

n N n

a a           

Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dãy số  bn xác định

  2 1,

n n n

b b b

n N n

b b           

Chứng minh

5 ,

n n

b    n N

 

Bài 4: Cho dãy số  un thoả mãn điều kiện

  1 2 1,

n n n

u u u

n N n

Chứng minh un số phương

Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục )

Cho dãy số  un thoả mãn sau

0

1

,

1,

10 ,

n

n n n

u Z N

u u

u u u n N n



 

  



  

      

Chứng minh :  k N k, 1 1) uk2 uk21 10 u uk k1 8

2) 5.uk  uk14 va 3.uk2  2 (  kí hiệu chia hết )

Bài 6: Cho dãy số  un thoả mãn điều kiện

*

2 2 1,

n n n n

u   u   u  u  n N

Chứng minh tồn số nguyên M cho số M 4.a an1 n số phương

Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số  ui ( i=1,2,3,4…)được xác định

1 1, 1, n n n 2, 3,4,

a  a  a a   a  n

Tính giá trị biểu thức

2

2006 2006 2007 2007

2

A a a a a

Bài 8: Cho dãy số nguyên dương  un thoả mãn điều kiện

*

0 20, 100, n n n 20,

u  u  u   u   u  n N

1998 ,

n h n

a  a  n N

F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm công thức tổng quát lớp dãy số có tính chất truy hồi cách xác nhất, giúp Thầy cô kiểm tra kết tốn theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số

Dưới số ví dụ “ xây dựng thêm toán dãy số có tính quy luật “ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dãy số

Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình

 1  9 0 8 9 0

        (12.1)

phương trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau

2

n n n

u   u   u 

có thể cho u0 2,u1 8 Ta phát biểu thành toán sau

Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định sau

2

0

8

2,

n n n

x x x

n N

x x

    



 

  

Xác định cơng thức dãy số xn

Bài tốn 2: Cho dãy số xn xác định sau

2

0

8

2,

n n n

x x x

n N

x x

    



 

  

Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình

 12 0 2 1 0

       (12.2)

phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau

2 2

n n n

u   u u 

có thể cho u0 1,u1 0 vận dụng thuật tốn xác định cơng

thức tổng quát dãy số

 12

n

x  n

Ta phát biểu thành toán sau

Bài tốn 1: Xác định cơng thức dãy số xn thoả mãn điều kiện sau

2

0

2

1,

n n n

x x x

n N

x x

    



 

  

Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định sau

2

0

2

1,

n n n

x x x

n N

x x

    



 

  

Chứng minh xn số phương Bài toán 3: Cho dãy số xn xác định sau

2

0

2

1,

n n n

x x x

n N

x x

    



 

  

Xác định số tự nhiên n cho

1 22685

n n

x  x 

KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ

Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy thu số kết định sau :

1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng dạng xác định công thức dãy số

2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán

3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm

toán dãy số

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004

2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục

3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục

4) Tạp trí Tốn Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH

Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục