Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ OM.. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB kÎ hai tia Ax vµ By cïng vu«ng gãc víi AB.. Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp.. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cñ[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH
-
-KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN : TỐN Ngµy thi : 29/6/2009
Thời gian làm : 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ch÷ ký GT : Ch÷ ký GT :
(Đề thi có 01 trang)
Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau : a) 3 27 300 b)
1 1
:
1 ( 1)
x x x x x
Bài (1,5 điểm)
a) Giải phơng trình: x2 + 3x = b) Giải hệ phơng trình: 3x 2y = 2x + y =
Bµi (1,5 điểm)
Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + víi m lµ tham sè vµ m #
2 Hãy xác định m tr-ờng hơp sau :
a) Đồ thị hàm số qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt A , B cho tam giác OAB cân
Bài 4 (2,0 điểm): Giải toán sau cách lập phơng trình hệ phơng trình:
Mt ca nơ chuyển động xi dịng từ bến A đến bến B sau chuyển động ngợc dịng từ B A hết tổng thời gian Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 Km vận tốc dịng nớc Km/h Tính vận tốc thực ca nô (( Vận tốc ca nơ nớc đứng n )
Bµi (3,0 ®iĨm)
Cho điểm M nằm ngồi đờng trịn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn (O;R) ( A; B hai tiếp im)
a) Chứng minh MAOB tứ giác nội tiÕp
b) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = cm
c) Kẻ tia Mx nằm góc AMO cắt đờng tròn (O;R) hai điểm C D ( C nằm M D ) Gọi E giao điểm AB OM Chứng minh EA tia phân giác góc CED
HÕt -(Cán coi thi không giải thích thêm)
(2)Đáp án
Bài 1:
a) A = b) B = + x
Bµi 2 :
a) x1 = ; x2 = -4
b) 3x – 2y = 2x + y =
<=> 3x – 2y = 7x = 14 x = <=> <=> 4x + 2y = 2x + y = y =
Bµi :
a) Vì đồ thị hàm số qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số : y = (2m – 1)x + m + (1)
Thay x = -1 ; y = vµo (1) ta cã: = -(2m -1 ) + m + <=> = – 2m + m + <=> = – m
<=> m =
Vậy với m = Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + ®i qua điểm M ( -1; 1)
c) ĐTHS cắt trục tung t¹i A => x = ; y = m+1 => A ( ; m+1) => OA = m1 cắt truc hoành B => y = ; x =
1
m m
=> B (
1
m m
; ) => OB =
1
m m
Tam gi¸c OAB c©n => OA = OB
<=> m1 =
1
m m
Gi¶i PT ta cã : m = ; m = -1 Bµi 4: Gäi vËn tốc thực ca nô x ( km/h) ( x>5)
Vận tốc xuôi dòng ca nô x + (km/h) Vận tốc ngợc dòng ca nô x - (km/h) Thời gian ca nô xuôi dòng :
60
x ( giê)
Thời gian ca nô xuôi dòng : 60
5
x ( giê) Theo bµi ta cã PT:
60 x +
60 x = 5
<=> 60(x-5) +60(x+5) = 5(x2 – 25) <=> x2 – 120 x – 125 = 0
x
1 = -1 ( không TMĐK) x2 = 25 ( TMĐK)
Vậy vân tốc thực ca nô 25 km/h Bài 5:
D C
E O M
A
B
(3)Tứ giác MAOB có : MAO MBO 900 + 900 = 1800 => Tứ giác MAOB nội tiếp đờng tròn
b) áp dụng ĐL Pi ta go vào MAO vuông t¹i A cã: MO2 = MA2 + AO2 MA2 = MO2 – AO2
MA2 = 52 – 32 = 16 => MA = ( cm)
Vì MA;MB tiếp tuyến cắt => MA = MB => MAB cân A
MO phân giác ( T/C tiếp tuyến) = > MO đờng trung trực => MO AB Xét AMO vng A có MO AB ta có:
AO2 = MO EO ( HTL trongvu«ng) => EO =
2
AO MO =
9
5(cm) => ME = -
9 5 =
16 (cm)
áp dụng ĐL Pi ta go vào tam giác AEO vuông E ta có:AO2 = AE2 +EO2 AE2 = AO2 – EO2 = -
81 25 =
144 25 =
12 AE =
12
5 ( cm) => AB = 2AE (vì AE = BE MO đờng trung trực AB) AB =
24
5 (cm) => SMAB =
2ME AB =
1 16 24 5 =
192 25 (cm2)
c) XÐt AMO vuông A có MO AB áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông AMO ta có: MA2 = ME MO (1)
mµ : ADC MAC =
2S® AC ( gãc néi tiÕp góc tạo tiếp tuyến dây cung ch¾n cung)
MAC DAM (g.g) =>
MA MD
MC MA => MA2 = MC MD (2) Tõ (1) vµ (2) => MC MD = ME MO =>
MD ME MO MC MCE MDO ( c.g.c) ( M chung;
MD ME
MO MC ) => MEC MDO ( gãc tøng) ( 3) T¬ng tù: OAE OMA (g.g) =>
OA OE =
OM OA =>
OA OE =
OM OA =
OD OM
OE OD ( OD = OA = R) Ta cã: DOE MOD ( c.g.c) ( O chong ;
OD OM
OE OD ) => OED ODM ( gãc t øng) (4) Tõ (3) (4) => OED MEC mµ : AEC MEC =900
AED OED =900 => AECAED => EA phân giác DEC
Së GD & §T VÜNH PHóC Kú thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2009 2010
(4)Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ( Đề có 01 trang)
A Phần trắc nghiệm ( 2,0 điểm):Trong mõi câu dới có lựa chọn, có lựa chọn Em chọn lựa chon
Câu 1: điều kiện xác định biểu thức 1 x là:
A x B x1 C x1 D x1
Câu 2: cho hàm số y(m1)x2 (biến x) nghịch biến, giá trị m thoả mãn: A m < B m = C m > D m >
Câu 3: giả sử x x1, 2 nghiệm phơng trình: 2x23x10 0 Khi tích x x1 2bằng:
A
2 B
C -5 D
Câu 4: ChoABC có diện tích Gọi M, N, P tơng ứng trung điểm cạnh AB, BC, CA X, Y, Z ơng ứng trung điểm cạnh PM, MN, NP Khi diện tích tam giác XYZ bằng:
A
4 B
16 C
32 D. B PhÇn tù luËn( điểm):
Câu 5( 2,5 điểm) Cho hệ phơng tr×nh
2 mx y
x y
( m lµ tham sè có giá trị thực) (1) a, Giải hệ (1) víi m =
b, Tìm tất giá trị m để hệ (1) có nghiệm Câu 6: Rút gọn biểu thức: A2 48 75 (1 3)2
Câu 7(1,5 điểm)
Mt ngời từ A đến B với vận tốc km/h, ô tô từ B đến C với vận tốc 40 km/h Lúc xe đạp quãng đờng CA với vận tốc 16 km/h Biết quãng đờng AB ngắn quãng đờng BC 24 km, thời gian lúc thời gian lúc Tính quãng đờng AC
Câu 8:( 3,0 điểm) Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt tia By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P ( P khác I) a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đờng tròn, rõ đờng tròn
b, Chøng minh CIPPBK
c, Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI lớn
HÕt _
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MƠN: TỐN
Thời gian làm 120 phút ( khơng kể giao đề )
C©u 1: Cho P =
1 x x x
+
1 x x x
-
1 x x
a/ Rót gän P
b/ Chøng minh: P <
3 víi x vµ x 1.
(5)b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm
C©u 3: a/ Giải phơng trình :
x +
2 x = 2
b/ Cho a, b, c sè thùc thâa m·n :
0 2 11
a b a b c
a b c
Tìm giá trị lớn giá trị bé Q = a + b + 2006 c
Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C D cắt K
a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK nội tiếp b/ Tứ giác ABCK hình gì? V× sao?
c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành
P N
Câu 1: Điều kiện: x x 1 (0,25 điểm)
P = x x x + 1 x x x - ( 1)( 1)
x
x x
= ( )
x x + 1 x x x - 1 x =
2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1)
x x x x x
x x x
= ( 1)( 1) x x
x x x
=
x x x
b/ Víi x vµ x 1 Ta cã: P <
3
x
x x < 3 x < x + x + ; ( v× x + x + > )
x - 2 x + > 0
(6)C©u 2:a/ Phơng trình (1) có nghiệm 0. (m - 1)2 – m2 – 0
– 2m 0
m 2.
b/ Víi m th× (1) cã nghiƯm.
Gäi nghiệm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:
3 2 3
a a m
a a m
a=
1 m 3( m
)2 = m2 – 3 m2 + 6m – 15 = 0
m = –32 6 ( thõa mÃn điều kiện). Câu 3:
Điều kiÖn x ; – x2 > x ; x < 2. Đặt y = x2 >
Ta cã:
2 2 (1)
1 (2) x y x y
Từ (2) có : x + y = 2xy Thay vào (1) có : xy = xy = -1 * Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phơng trình:
X2 – 2X + = X = x = y = 1. * NÕu xy =
-1
2 x+ y = -1 Khi x, y nghiệm phơng trình:
X2 + X -
2 = X =
1
Vì y > nên: y =
1
x =
1
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =
1 C©u 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang
Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành AB // CK BACACK Mà
2 ACK
s®EC =
2sđBD = DCB Nên BCD BAC
Dựng tia Cy cho BCy BAC Khi đó, D giao điểm AB Cy Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC
D AB
Vậy điểm D xác định nh điểm cần tìm
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
(7)MƠN: TỐN
Thời gian làm 120 phút ( không kể giao đề )
C©u 1: ( điểm )
Cho hµm sè f(x) = √x2−4x
+4
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rót gän A = f(x)
x2−4 x ±2
C©u 2: ( im ) Giải hệ phơng trình
x(y −2)=(x+2)(y −4)
(x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿{
¿
C©u 3: ( điểm ) Cho biĨu thøc
A = (x√x+1
x −1 −
x −1
√x −1):(√x+ √x
√x −1) víi x > vµ x a) Rót gän A
b) Tìm giá trị x để A =
C©u 4: ( điểm )
Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC
a) Chứng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d
Câu 5: ( im )
Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:
3x1 - 4x2 = 11
ĐÁP ÁN
C©u 1.
a) f(x) =
x −2¿2 ¿ ¿ √x2−4x
+4=√¿
(8)b)
f(x)=10⇔ x −2=10
¿ x −2=−10
¿ x=12
¿ x=−8
¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
c) A= f(x)
x2−4=
|x −2|
(x −2)(x+2)
Víi x > suy x - > suy A= x+2
Víi x < suy x - < suy A=− x+2 C©u 2.
¿
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿ ⇔
xy−2x=xy+2y −4x −8
2 xy−6y+7x −21=2 xy−7y+6x −21 ¿
⇔ x − y=−4
x+y=0
⇔
¿x=-2 y=2
¿ ¿{
¿ C©u 3.
a) Ta cã: A = (x√x+1
x −1 −
x −1
√x −1):(√x+ √x
√x −1) = ((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) − x −1 √x −1):(
√x(√x −1)
√x −1 +
√x
√x −1) = (x −√x+1
√x −1 −
x −1 √x −1):(
x −√x+√x
√x −1 )
= x −√x+1− x+1
√x −1 :
x
√x −1 = −√x+2
√x −1 :
x
√x −1 =
−√x+2
√x −1 ⋅ √x −1
x =
(9)b) A = => 2−√x
x = => 3x + √x - = => x = 2/3 C©u 4
a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)
b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
EH
PB =
CH
CB ; (1)
Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC ∞ POB
Do đó: AH
PB =
CH
OB (2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm AH
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã AH2
=(2R −AH CB
2PB )
AH CB
2PB
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2R¿2
¿
4PB2+¿
¿ ⇔ AH=4R CB PB
4 PB2+CB2=
4R 2R PB
Câu 5.
Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 >
<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
O
B H C
(10)¿
x1+x2=−2m−1
2 x1.x2=m−1
2 3x1−4x2=11
⇔ ¿{ {
¿
¿
x1=13-4m
7 x1=7m26-8m−7 313-4m
7 −4
7m−7 26-8m=11
{ {
Giải phơng trình 313-4m
7 −4
7m−7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MƠN: TỐN
Thời gian làm 120 phút ( khơng kể giao đề )
Bµi 1: ( ®iĨm )
Chứng minh đẳng thức:
3 150
3
27
Bài 2: ( điểm)
Rót gän c¸c biĨu thøc:
a)
2
3
4
A x x x
x
víi
1
3 x
b)
4 7 7
B
Bµi 3: ( điểm)
(11)Bài 4: ( 3,5 ®iĨm )
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đờng trịn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H đờng tròn Bài 5: ( 1,5 điểm )
Để làm phểu hình nón khơng nắp bìa cứng bán kính đáy r12cm, chiều cao h16cm, ngời ta cắt từ bìa hình khai triển mặt xung quanh hình nón, sau cuộn lại Trong hai bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A có chiều dài 44cm, chiều rộng 25cm; bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm, sử dụng bìa để làm phểu hình nón nói mà khơng phải chắp nối ? Giải thích
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2.
Bài 1.
3
3 6
3 27 3 3 3
( ) 150
3 ( ) Từ ( ) ( ) ta có:
3 150 6
3 3 3
27 6
Bài 2. a)
A =
2
2
3
4
3
x x
x x x
x x
6
6 3
x x x x x x x
(v×
1
3 x
nên x0 3x 0) b)
4 72 4 72 7 7
9
4 7
B
4 7
3 3
B
(v× 16 7 4 7) B i 3.à
Gọi x (km/h) vận tốc xe lửa thứ từ Huế đến Hà Nội Đk: x > Vận tốc xe lửa thứ hai từ Hà Nội là: x + (km/h)
Theo giả thiết, ta có phơng trình: 300 345
(12)
900x 5x x 1035 x x 22x 1035
Giải phơng trình ta đợc: x1 23 ( loại đk x > 0) x2 45 0 .
VËy vËn tèc xe löa thø nhÊt lµ: 45 km/h vµ vËn tèc xe lưa thø hai lµ: 50 km/h
ĐS: v1 = 45 km/h v2= 50 km/h B i 4.à
a) Tø gi¸c ABEH cã: 900
B (góc nội tiếp nửa đờng tròn); 900
H (gi¶ thiÕt)
Nên: ABEH nội tiếp đợc
Tơng tự, tứ giác DCEH có C H 900, nên nội tiếp đợc
b) Trong tø gi¸c néi tiÕp ABEH, ta cã:
EBH EAH (cïng ch¾n cung EH )
Trong (O) ta cã: EAH CAD CBD (cïng ch¾n cung CD ) Suy ra: EBH EBC , nên BE tia phân gi¸c cđa gãc HBC .
+ Tơng tự, ta có: ECH BDA BCE , nên CE tia phân giác góc BCH + Vậy: E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH
Suy EH tia phân giác góc BHC
c) Ta có I tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác vng ECD, nên BIC2EDC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EC ) Mà EDC EHC , suy BIC BHC
+ Trong (O), BOC2BDC BHC (gãc néi tiÕp vµ góc tâm chắn cung BC )
+ Suy ra: H, O, I cung chứa góc BHC dựng đoạn BC, hay điểm B, C, H, O, I nằm đờng tròn
B i 5.
+ Đờng sinh hình nón có chiều dài: l r2h2 20(cm)
+ Hình khai triển mặt xung quanh hình nón hình quạt hình tròn bán kính l,
số đo cung hình quạt là:
0 360 360 12 2160
20 r
n l
720 OI cos
AOI AOI
OA
0
20cos 72 6, 2( )
OI cm
.
(13)SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MƠN: TỐN
Thời gian làm 120 phút ( không kể giao đề ) Câu 1: ( 1, điểm )
Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x2 – 2 x + = 0
b)
Câu 2: ( 1, điểm )
Rút gọn biểu thức sau: a)
b)
Câu 3: ( điểm )
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675 m2 có chu vi 120 m Tìm chiều
dài chiều rộng khu vườn Câu 4: ( 2,5 điểm )
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số.
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ
Câu 5: ( 3,5 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC
c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số tứ giác BHOC nội tiếp
(14)ĐÁP ÁN Câu 1:
a) Ta có Δ’ = nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 = – x2 = +
b)
Câu 2:
a) b) Câu 3:
Gọi chiều dài x (m) chiều rộng y (m) (x > y > 0) Theo đề ta có:
Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 y = 15 (nhận) Khi x = 15 y = 45 (loại)
Vậy chiều dài 45(m) chiều rộng 15 (m) Câu 4:
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = (1)
a) Khi m = (1) trở thành:
x2 – 2x + = 0 (x – 1)2 = x = 1.
b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Δ’ = m – > m >
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m >
c) Khi m > ta có:
S = x1 + x2 = 2m P = x1x2 = m2 – m +
Do đó: A = P – S = m2 – m + – 2m = m2 – 3m + = − ≥ –
Dấu “=” xảy m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy m = A đạt giá trị nhỏ GTNN A – Câu 5:
a) * Ta có E, F giao điểm AB, AC với đường trịn đường kính BC Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
(15)AH vng góc với BC b) Xét Δ AEC Δ AFB có:
chung
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà (do AEHF nội tiếp)
Ta có: K trung điểm BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nên
d) d) Xét Δ EHB Δ FHC có:
(đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = HC = HC = 6.
* Khi HC = HE = (không thỏa HC > HE) * Khi HC = HE = (thỏa HC > HE)
Vậy HC = (cm)
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MƠN: TỐN
Thời gian làm 120 phút ( không kể giao đề )
(16)Cho biÓu thøc A =
4( 1) 4( 1)
1 4( 1)
x x x x
x
x x
a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A
Bµi 2: ( điểm )
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài 3: ( điểm )
Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau có nghiệm nguyên x2 - m2x + m + = 0
Bµi 4: ( điểm )
Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED ADC; AFD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = AF.AB = AD2
Bµi 5: ( điểm )
(17)ĐÁP ÁN
Bµi 1:
a) §iỊu kiƯn x tháa m·n
2
1
4( 1) 4( 1) 4( 1)
x x x x x x x 1 x x x x
x > x 2 KL: A xác định < x < x >
b) Rót gän A
A =
2
2
( 1) ( 1)
1 ( 2)
x x x
x x A =
1 1 2
2
x x x
x x
Víi < x < A =
2 1 x
Víi x > A =
2
x KÕt luËn
Víi < x < th× A =
2 1 x
Víi x > th× A =
2
x Bµi 2:
a) A B có hồnh độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) AB 5a + b = B(3; -4) AB 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có
MA = (x 5)2 (0 2)2 MB = (x 3)2 (04)2
Tam giác MAB c©n MA = MB (x 5)2 4 (x 3)2 16 (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16
x =
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3:
Phơng trình có nghiƯm nguyªn Δ = m4 - 4m - số phơng Ta lại có: m = 0; < loại
m = th× Δ = = 22 nhËn
m th× 2m(m - 2) > 2m2 - 4m - > 0
Δ - (2m2 - 2m - 5) < Δ < Δ + 4m + 4
m4 - 2m + < Δ < m4
(m2 - 1)2 < Δ < (m2)2 không phơng
(18)Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4:
a)
( )
2
EADEFD sd ED
( )
2
FADFDC sd FD
mµ EDA FAD EFDFDC
EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) b) AD phân giác góc BAC nên DE DF
sđ
2
ACD
s®(AED DF ) =
1
2sđAE = sđADE ACDADE EAD DAC
Δ AED ~ ADC (g.g) Tơng tự: sđ
( )
2
ADF sd AF sd AFD DF =
1
( )
2 sd AFD DE sd ABD ADFABD Δ AFD ~ Δ ABC(g.g
c) Theo trªn:
+ Δ AED ~ Δ ADC
AE AD
AD AC hay AD2 = AE.AC (1) + Δ ADF ~ Δ ABD
AD AF
AB AD
AD2 = AB.AF (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bµi 5:
Ta cã (y2 - y) + 2y3 y4 + y2
(x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4 x2 + y3 đó
x3 + y3 x2 + y2 (1)
+ Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0
x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0
x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0
(x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4
x2 + y2 x + y (2)
vµ (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y3 -1) 0 x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 + 0
(x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4
x + y Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HAI DUONG Khóa ngày 30 tháng 06 năm 2011 MƠN: TỐN
( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề)
(19)A = √x+2 √x −3 B = √(x+2) (x −3) a) Tìm x để A B có nghĩa
b) Với giá trị x A = B Câu ( điểm )
Rút gọn biểu thức: a) √x −2√x+1
x+2√x+1 ( x )
b) x −1
√y −1√
(y −2√y+1)2
(x −1)4 ( x 1, y y 0) Câu ( điểm )
Tìm x thỏa mãn điều kiện a) √2x −3
x −1 =
b) √4x+3
√x+1 =3 Câu ( điểm )
Cho hai đường tròn (O) và(O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ đường kính AOB, AO’C Gọi DE tiếp tuyến chung hai đường tròn, D (O), E (O’) Gọi M giao điểm BD CE
a) Tính số đo góc DAE
b) Tứ giác ADME hình gig ? Vì ?
c) Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Câu ( điểm )
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm, chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn
ĐÁP ÁN
Câu 1. a)
A có nghĩa x + x −3≥0 Nghĩa là, x đồng thời thỏa mãn hai bất đẳng thức x - x
Như vậy, A có nghĩa x
B có nghĩa (x+2)(x-3) Nghĩa là, x thỏa mãn hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: x + x – Nghĩa là, x đồng thời thỏa mãn hai bất đẳng thức
(20)- Trường hợp 2: x + x −3≤0 Nghĩa là, x đồng thời thỏa mãn hai bất đẳng thức
x - x Vậy x -2
Như vậy, B có nghĩ x -2 x b)
Để A B đồng thời có nghĩa x
Khi ta có A = B ( theo tính chất khai phương tích ) Vậy x A = B
Câu 2.
a) Vì x nên ta có x=(√x)2 , từ ta có: x −2√x+1=(√x −1)2 x+2√x+1=(√x+1)2 Khai phương kết ¿√x −1∨❑ ¿
√x+1 ¿
Có thể bỏ qua dấu giá trị tuyệt đối tuỳ theo x hay x b) Với y > 0, ta có y −2√y+1=(√y −1)2
Thay vào rút gọn ta có kết qủa ¿√y −1∨(√y −1¿)(x −1) ¿
Nếu có thêm điều kiện y < kết qủa 1− x1
Nếu có thêm kiện y > kết qủa x −11 Câu 3.
a) Điều kiện xác định √2x −3
x −1
2x −3
x −1 ≥0
Ta có 2x −x −13≥0 nghĩa x thỏa mãn hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: 2x −3≥0 x −1>0 , ta tìm x 1,5
- Trường hợp 2: 2x −3≤0 x −1<0 , ta tìm x <
Như vậy, với điều kiện x < x 1,5, ta có √2x −3
x −1 xác định
Từ √2x −3
x −1 = 2, theo định nghĩa bậc hai số học, ta có
2x −3
x −1 ≥2
2
Giải phương trình: 2x −x −13 = 4, ta tìm x = 0,5, thoả mãn điều kiện Vậy x = 0,5 giá trị cần tìm
b) Điều kiện xác định √4x+3
√x+1 4x + x + > Nghĩa là, x đồng thời thỏa mãn hai bất đẳng thức x −3
4 x > -1 Vậy x −
4
Như vậy, ta có x −3
4 điều kiện để √ 4x+3
√x+1 có nghĩa Với điều kiện x −3
4 , theo quy tắc chia hai thức bậc hai, ta có: √ 4x+3
√x+1 =
√4x+3
(21)Do với x −3
4 , ta quy giải tốn tìm x, biết: √4xx++13 = Giải ta tìm
được x = −6
5
Tuy nhiên giá trị không thỏa mãn điều kiện x −3
4
Vậy không tồn giá trị x để √4x+3
√x+1 =3 Câu M D
I E B O C A
a)
Vì OD // EO’
=> ∠ DOA + ∠ EO’A = 1800.
Tam giác AOD cân O, tam giác AO’E cân O’ nên:
∠ DAO + ∠ EAC = 1800−∠DOA
2 +
1800−EO' A
= 3600−(∠DOA+EO' A)
2
= 1800
2 = 90
0.
Suy ∠ DAE = 900.
b)
- Δ ABD có đường trung tuyến DO ứng với cạnh AB cạnh AB nên ∠ ADB = 900.
Tương tự ta có ∠ ACE = 900.
- Ta chứng minh ∠ ADB = 900 ∠ ACE = 900 góc nội tiếp chắn
đường kính hai đường trịn (O) (O’)
Tứ giác ADME có ∠ DAE = 900, ∠ ADM = 900, ∠ AEM = 900 nên hình chữ
nhật c)
Δ AOD cân O nên ∠ DAO = ∠ ODA
Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật ADME, ta có ∠ DAM = ∠ ADE Suy ∠ DAO + ∠ DAM = ∠ ODA + ∠ ADE = 900.
MA vng góc với AB A nên MA tiếp tuyến đường tròn (O), tiếp tuyến đường trịn (O’)
Câu 5.
Kí hiệu a b kích thước hình chữ nhật, ta có a b dương Theo bất đẳng thức Cô – si cho hai số a, b khơng âm, ta có: a+2b≥√ab
(22)dấu xảy a = b
Với hình chữ nhật chu vi a+2b khơng đổi ( phần tư chu vi ) Từ bất đẳng thức a+2b≥√ab a+b
2 không đổi suy √ab đạt giá trị lớn
a+b
2
a = b
(23)(24)Đáp án Bài
a)
2 x
P ; x 0;x
x
b)XÐt
2 17 x
P
3 3 x 3
c)P x 3 m x 2 m
VËy
2 m
x m 2
5
2 m m
x Bµi 2:
Gọi chiều rộng mảnh đất x (m), x>
Vì diện tích mảnh đất 240 m2 , nên chiều dài
240 x (m)
Nếu tăng chiều rộng 3m giảm chiều dài 4m mảnh đất cớ: Chiều rộng : x + (m)
ChiỊu dµi lµ
240
x - (m)
Theo bµi ta có phơng trình:
x 3 240 240 x
x2 + 3x – 180 = 0
32720 729 27
x1 = 12 (t/m) x2 = -15 (loại)
Vậy chiều rộng 12(m) chiỊu dµi lµ 240 : 12 = 20 (m) Bµi
x my m mx y m
a Víi m = ta cã hÖ:
7
2 3
2
3 x x y x y y b) (1) (2)
x my m mx y m
(25)m(-my + m – 1) + y = 3m – (1 – m2) y = - m2 + 2m – 1 (m2 – 1) y = (m-1)2 (*)
Để hệ có nghiệm phơng trình (*) cã nghiÖm nhÊt m1
Ta cã
3m x
m m y
m
Ta cã
2
2
2 2
4m m 2m
3m 2m 4m
x.y 1
m m m
x.ymin = -1 m = Bµi :
a)
CDE
s®DC
1
s®BD = BCD mà góc vị trí so le
=> DE // BC
b)
APC
(s®AC - s®BD )
AQC
(sđAC - sđDC ) Mà BD DC => APC AQC
Đỉnh P, Q liên tiếp nhìn AC dới góc khơng đổi
Tø gi¸c APQC néi tiÕp c) +.Tø gi¸c APQC néi tiÕp
=> CPQ CAQ ( gnt cïng ch¾n cung CQ)
+.CAQ CDE ( gnt cïng ch¾n cung CD cđa (O)) => CPQ CDE
=> DE //PQ =>
DE CE PQ CQ
Mµ DE // BC =>
DE QE CF CQ
F O A
E
B C
(26)Ta cã
DE DE CE QE CQ
PQ CF QC CQ
=>
1 1
PQ FC DE (1)
Lại có : CPQ CDE (cmt) mà CDE ECD ( tính chất tiếp tuyến đồng quy)
=> CPQ PCQ
=> Tam giác QPC tam giác cân Q => PQ = QC (2)
L¹i cã : ED = EC (3)
Tõ (1) (2) (3) =>
1 1
CQ FC CE
Bµi 5:
Cho số a,b,c khác đôi , c khác Biết phơng trình
x2 + ax +bc = (1) vµ x2 + bx + ca = (2) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung T×m nghiƯm cđa chóng
Gi¶i
Gọi x0 nghiệm chung pt Biến đổi tìm đợc (a – b)x0 = c(a – b)
Do a b nªn x0 = c
Gọi nghiệm lại pt lần lợt x1; x2
(27)