Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)S GIÁO D C VÀ ÀO T O T NH BÌNH PH C
TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
H NG D N GI I THI VÀO TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MƠN TỐN CHUNG N M H C 2009-2010
Bài 1(2 i m)
a) Tính A= 15− − 15+ + 12
Gi i
Ta có: A= 5 3− + − 5 3 3+ + + = ( 5− 3) (2 − 5+ 3)2 +2 = 5− 3−( 5+ 3)+2 0=
b) Gi i ph ng trình: x− − = −1 x
Gi i
+) PT 2 2
3
3
1 5( )
1 ( 3) 10
2( ) x
x x
x x x N
x x x x
x L
≥
− ≥ ≥
⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔ =
− = − − + = =
+) KL: Ph ng trình ã cho có m t nghi m x =
Bài 2(2 i m)
Cho ph ng trình b c hai: − +x2 2mx−2m+ =3 0, (v i m tham s )
a) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m x x1, 2 tho − +x1 2x x1 2− =x2 10
Gi i
+) Ph ng trình có hai nghi m 2
1, ' ( 1)
x x ⇔ ∆ =m − m+ ≥ ⇔ m− + ≥ , (luôn úng v i m i m) +) Theo nh lí Viet ta có:
1
2
x x m
x x m
+ =
= −
Thay vào gi thi t − +x1 x x1 2− =x2 10 ta có: −2m+2(2m− =3) 10⇔2m=16⇔ =m
+) i chi u v i i u ki n có nghi m ta có giá tr m th a mãn toán m =
b) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t Gi i
+) Ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t
2
'
0 0
0 3
2
m m m R
S m m m
P m
m
∆ > − + > ∈
⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈∅
> − > >
Bài 3(2 i m)
Nhà H ng có m t khu v n tr ng b p c i V n c ánh thành nhi u lu ng, m i lu ng tr ng c m t s b p c i H ng tính r ng: n u t!ng thêm lu ng rau, nh ng m i
lu ng tr ng i tồn v n s" gi m i 54 N u gi m i lu ng, nh ng m i lu ng tr ng t!ng thêm tồn v ng s" t!ng thêm 32 H#i v n nhà H ng có
cây b p c i
Gi i
+) G i x s lu ng rau y s m t lu ng rau, i u ki n x, y s nguyên d ng +) Ta có s v n rau ban u x.y
(2)+) N u gi m i lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng t ng thêm tồn v n s t ng thêm 32 Ta có ph ng trình: (x−4)(y+ =2) xy+32⇔ −x 2y=20, (2)
+) T (1) (2) ta có h ph ng trình 30 110
20 45
x y x
x y y
− + = =
⇔
− = = , (tho mãn i u ki n) +) KL: V n rau nhà H ng có 4950 b p c i
Bài 4(3,5 i m)
Cho tam giác nh$n ABC n i ti p ng tròn tâm O Phân giác c%a góc A c t BC t&i
D c t ng tròn t&i E G$i K, M l'n l t hình chi u c%a D AB AC
a) Ch(ng minh r ng t( giác AMDK n i ti p ng tròn
b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân
c) Cho BAC=α Ch(ng minh r ng MK = AD.sinα
d) Ch(ng minh r ng SAKEM =SABC, v i SAKEM SABC l'n l t di n tích c%a t( giác AKEM
tam giác ABC
Gi i
a) Ch(ng minh r ng t( giác AMDK n i ti p ng tròn
Xét t giác AKEM ta có AKE AME+ =900+900 =1800 t giác
AMDK n i ti p ng trịn ng kính AD, có tâm trung i m I c a AD
b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân
Trong ng trịn ngo i ti p t giác AMDK ta có: = , (vì theo gt ta có AD phân giác c a )
Mà AD ng kình ⊥ AD i qua trung m H c a KM ∆ cân nh A
c) Cho BAC=α Ch(ng minh r ng MK = AD.sinα
+) Trong ng tròn ngo i ti p t giác AKDM ta có = , (góc n i ti p góc tâm ch n m t cung), mà = = =α
+) Xét tam giác vuông IKH ta có: = α, mà = , = MK =AD.sinα, ( pcm)
d) Ch(ng minh r ng SAKEM =SABC, v i SAKEM SABC l'n l t di n tích c%a t( giác AKEM
tam giác ABC Cách
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vng góc nên = = α , (1) +) M t khác ta có ∆ ∆ − = ⇔ = Thay k t qu vào (1) ta có = α = ∆ , ( pcm)
H I
O M
K
E
D C
B
(3)Cách
+) G i B’ i m i x ng v i B qua AE, AE phân giác c a góc A nên ta có ∆ = ∆ − − = T giác DECB’ n i ti p (vì + = +
= + + = + +
= = )
+) T giác DECB’ n i ti p = mà AB = AB’ nên ta có =
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vng góc nên α
= =
α ∆
= = , ( pcm)
Cách
+) Ta có ∆ = ∆ + ∆ = +
+) M t khác ta có = = Do ó ∆ = +
+) M t khác ta c ng có h th c + = , (b n c t ch ng minh)
Do ó ∆ = = = α, (1)
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vng góc nên = = α , (2) T (1) (2) ta có SAKEM =SABC, ( pcm)
Cách
+) G i AX ng cao c a tam giác ABC, g i Y giao i m c a AX v i ng th ng qua E song song v i BC G i K’ M’ l n l !t hình chi u c a E AB AC
= =
+) M t khác ta có K’M’ ng th ng Simson c a tam giác ABC i v i i m E, ó K’M’ i qua trung i m I c a BC M t khác AY⊥ BC K’M’⊥ AE nên ta có =
Do ó = = = ⇔ =
Hay SAKEM =SABC, ( pcm)
B' H
O
M K
E
D C
B
A
Y X K'
M' H
O
M K
E D
C B
(4)Cách
+) G i B’, C’ l n l !t hình chi u c a E AB AC, g i F F’ l n l !t hình chi u
c a E DK DM D" th#y EFKB’ EF’MC’ hai hình ch$ nh%t b&ng =
+) Ta có = + +
= + +
Do ó ch ng minh = ta ch c n ch ng
minh
+ = + , (*)
+) Mà (*) ⇔ + = +
⇔ + = (**), (Vì EF = EF’ DK = DM)
+) M t khác ta có hai tam giác vuông EB’B EC’C
b&ng (vì EB’ = EC’ = bù v i
)
=
+) Ta có BK + CM = BK + CC’ + C’M
= BK + BB’ + C’M = KB’+C’M = EF + EF’ = 2EF
V%y (**) úng toán !c ch ng minh
Bài 5(1 i m)
Tìm giá tr l n nh)t c%a bi u th(c 22
1
x P
x
+ =
+
Gi i
+) K: x R∈
+) Ta có: ( ) ( )
2
2
2 2
3 3
3 3
1 1
x x
x P
x x x x
+ + + +
+
= = = = +
+ + + +
+) Ta có 2
2
1
0, 1, 1, 2,
1
x x R x x R x R x R
x x
≥ ∀ ∈ + ≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
+ + Do ó
2
2
3 5,
1
P x R
x
= + ≤ ∀ ∈
+
+) V%y giá tr l n nh#t c a P 5, t !c x =
H t
GV: Ph&m V!n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung
E H
F F'
B'
C' D
O
M K
C B