Các bài toán về Hệ phương trình

4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: .. Biện luận số nghiệm của HPT theo m.[r]

1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH I.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1:  x  y  xy   x / y  y / x  18 5( x  y )  xy  19  x  y  xy  49 1/  ;2 /  ;3 /  ;4 /   x  y  3xy  35  xy ( x  y )  180  x  y  xy   x  y  12  x  y  17 ( x  y ) xy  78  x2  y   x  y  x2  y  5/  ;6 /  ;7 /  ;8 /  4  x  y  xy   x  y  97  x  y  xy   xy ( x  y  xy  1)  x  y  x y  y x   x( x  1)  (1  y ) y  ( x  y)(1  xy)  9/ ;10 / ;11/   2 3  xy  xy  x y  y x  x  y  x y  y x  ( xy )  ( xy )  xy   y II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2:  xyz  x  y  z 2 2    xy  z  x  y  z  x  yz  x  yzt  y  z  t  x  13x  y     2 1/  ;2 /  yz  x  2;3/  y  z  x  1;4 /  y  zx  y ;5 /   y  13 y  x  zx  y   z  x  y   z  xy  z  ztx  z  t  x    txy  t  x  y 3 2 2    x  2x  y 3x  x  y 3x y  y  6/ ;7 /  ;8 /  2 2 y  2y  x 3 y  y  x 3 y x  x     III.Hệ phƣơng trình đẳng cấp:  x  xy  y   3x  xy  y  11   x3  y  2 x3  y  ( x  y)(2 xy  3)   x3  y         2 2    x  xy  y    x  xy  y  17   x y  xy  y    x  xy  y  x  y  x  y  x2  y  7( x5  y )  31( x3  y )  x2  y  2 x  x  y  x  3xy  y      6/ ;7 /  ;8 /  ;9 /  ;10 /  2  x  y  11( x  y )  x  y  xy   x  y  xy  x  y  x  y  xy  x  3y       2 3 3 2       x  y  xy   x  y  xy  y  x 1 2 xy  x  y x  3y  11/  ;12 / ;13 / ;14 / ;15 /     3 3      x  y  2x  y  x  y  xy   x  y  xy  2 x  y  x y  x  3xy  y IV.Hệ phƣơng trình vô tỉ:   x  y   x  x  y  xy   x y  x y 4  x y  y x  30    S  P  P         2 x  y  128 x x  y y  35 x  y  128 x  y       S  P  16     2   x  2 y    x   y    x  y  x  y  2(1) 2( x  y )  3( x y  xy )  ( bp (1) ) ; ; ; 3   2 2    y  2 x    y   x    x  y  x  y   x y 6 Lop12.net DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN  x  y  3x  y  1  20 y / x  x  y  x  y   x  y  2x  y     x  y  x  y  20  ; ; ; ()    x  y  23 x  y  136 x  y  x  y  16 x / y  x  y  x  y            x y  1 11/  ;12 /  2  1   x  y  xy   x3  y  x  y 1    ;13 /  ;14 /  y  1 x  y  x    5 x  x y  y    x  1 y  2  x  11 y  x y   x2  y   y ( x  x  3)     x  x   x  y  y 15 /  ;16 /  ;17 /  ;18 /  x  y  x  y  x  y  x  xy  y    x          x  y  x  y 1  x 1   y   x9  y7   x3 y3    2x y  y x     19 /  ; 20 /  ; 21/  ; 22 /   x  y  xy       y 1   x   y 9  x7   y x 2  x  y  y  x2   x  91  y   y   x 1  y 1   x  y  x  y 1    23 /  ; 24 /  ; 25 /  ; 26 /  2 2 2 2      x  y  xy   x  y  x  y 1  x  x  y  y  0,5  y  91  x   x 2 1  12 ( y  3x)  x  3  ( y  42 x)  y    xy  x  y  x  y   27 /  ; 28 /  ; 29 /   x y  y x 1  2x  y    1  12 ( y  3x)  y  3  ( y  42 x)  x  V Giải HPT pp đánh giá:  x  y  yz  x  y   x  1/ y  2 x /(1  x )  y 2 x /(1  x )  y      z  y  xz  2 ;  y  z  1;  y  1/ z  1; 2 y /(1  y )  z ; 3 y /( y  y  1)  z   z  1/ x  2 z /(1  z )  x 4 z /( z  z  z  1)  x  x  z  yx    z  x    2  x  y  z  12  z   xy 1  xy   ( z  1)  x2  y    x2  y  z     ; ;   x  y  x  y  z    x   yz  xy  x   yz  xy      VI Một số HPT khác: x y x y 6  2 y ( x  y )  3x ( x  y ) x  y )   x  x  y  y  x  1/ x  y  1/ y  x y ; ; ; ; x y 2 2 x ( x  y )  10 y ( x  y )( x  y )  15 x  y  x  y     2 y  x   xy       x  y  x  y  18  x(3x  y )( x  1)  12  x( x  2)(2 x  y )  ( x  y )(1  1/ xy )  6/ ; ; ;9 /  2 2  xy ( x  1)( y  1)  72  x  x  y  x  4x  y  ( x  y )(1  1/ x y )  49 Lop12.net DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN  x  y  3z  x  u  v  x  y  z  ( x  y )( x  y  z )  45     10 /  xy  yz  zx  ;11/  x  y  z  189   x  u  v  189;12 / ( y  z )( x  y  z )  63  x  y  z  14 3xz  y  xv  u ( z  x)( x  y  z )  54     5 xy  6( x  y ) 5 xyz  24( x  y )  xy  a   x  y  xy   x( x  y  z )   yz      13 / 7 yz  12( y  z );14 / 7 xyz  24( y  z );  yz  b  ;  y  z  yz  5;17 /  y( x  y  z )   xz 3xz  4( z  x)  xyz  4( z  x)  zx  c   z  x  zx   z ( x  y  z )   xy      2 2 2    x y  2x  y   y  x / ( x  1)   x   x  y  3x  y  11 18 /    ;19 /  3 y   x  x   y  2( x  1)   y        3x  y  x  y  2   x2  y  x2 y x  y  x( x  y )  1/ x  1/ y    20 /    ;21/   3 2 y    x  y    xy    x  y  18 y  27    x   y   xy   x3 y  16  x  y  x y   xy 22 /   x, y    3x  y  x y   x  y  2;23 /  3x  y  ( x  y )(1  xy )   xy   x  32  x  y  3 24 /   ( x  32  x )  ( x  32  x )  y  y  21  12.VT  12  x  16; y    x  32  x  y  24 2 2 3   x  x y  x y   x  x y  x y  x  x  x  y x y   y 25 /     ;26 /  2 2  x y  x  xy  ( xy  1)( x  1)  x y  x y   y  1  xy     2  1/ x  y  x / y  yz ( z  y )  SP  S   y  1;2 (1/ 2;1)  y  xy  x 27 /           2 2 2 P  z  2;1 1/ x  y  z  y  S  P   x y  x    (1;2)     1  x3 y  19 x3 1/ x3  y  19  z  y  19  xy  x / y  16 /  28 /    ;29 /    2   xy  y / x  / 1/ x  y  6 x / y  zy ( z  y )  6  y  xy  6 x (2 x  y )2  5(4 x  y )  6(2 x  y)  x  y  x y  x  y  x y  31/  ;32 /  ;33 /  2 x  y  (2 x  y)   x  xy  y   x  xy  y  3  ( x  x  1)( y  y  1)  3x  y  z  34  x  y  xy( x  y)  34 /  ;35 /  ;36 /   x  y  30 xy  32  x  y  z 18 ( x  1)( y  1)   2 x y  x  x   x2 y  x2   x( x  y  1)   xy  x   y   38 /  ;39 / ; 40 / ; 41/  2   2 2 2 2   ( x  y )  x    x y  xy   13 y 2 x y  x y  xy   x y  xy  3x  2 2    x y  y x  26  x y  x  y  3xy 2( x  y )  x  y  42 /  ; 44 /  ; 45 /  ; 46 /  2 2 2 x  xy  2 x  x  y   x  y  24 1 x  y  xy    Lop12.net DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 2 x  xy  x  y   2 x  xy  y  x  y   ( x  1)(2 y  1)  x  y    47 /  ; 48 /  ; 49 /  2 3x  xy  x  y   x  xy  y  12 x  12 y  10  ( x  1)(3 y  2)  x  y    2 2    xy  xy  x y  y x  13 2 x  xy  y  3x  y    x  xy  y  3x  50 /  ;51/ ;52 /   2    xy  xy  x y  y x  12 3x  32 y    xy  y  y     y  x / (1  x ) 2 x  x y  y  y  tan2a  x  tan(k / 7)       2 53 / 2 y  y z  z  x  y  z     z  y / (1  y )   z  tan4a   y  tan(2k / 7)    2 z  z x  x  x  tan8a  z  tan(4k / 7)       x  z / (1  z )  6 x( y  z )  13 yz  x   y   z  6 xy / z  xz / y  13       xy  y  x  y  2 54 / 3 y ( z  x )  zx   y    z    x   6 xy / z  yz / x  10;55 /    x  xy  y  6 z ( x  y )  xy  z  R  x  R  y  R 6 xz / y  yz / x       Khảo sát (2) ta thấy: x > thì y > nên (1) VN Nếu x = thì từ (2) suy y = 1, thỏa mãn (1) Nếu HPT có nghdn x = y = Vậy Từ ĐK HPT Vậy HPT có nghiệm là ( 1; ) và ( -2; )  x  y  xy   y  x  x3 y  x y  2 x  x  1/ y      x   y   58 /  ;59 / ;60 / ;61/    2 2     y( x  y)  x  y   x y  x  xy  1  y  y x  y  2  x   y   3   x  y  y  3x   0(1) 62/ Tìm GT m để HPT sau có nghiệm thực:  2   x   x  y  y  m  0(2) 3   6 x  3xy  x  y   x y  x y 2 x  y   63 /  ;64 /  ;65 / ;  2 2 2 x  x   y  y x  y        x  y 1  x  y   x  y  xy    x4  4x2  y  y    x   y( x  y)  y   66 /  ;67 /  ;68 /  ; 2 ( x  1)( x  y  2)  y x y  x  y  22  x   y         x y 1 x  y    3x  y   x  xy  y  3( x  y ) 8 x3 y  27  18 y (1  )5   69 /  ;70 /  71/  2 2 x  xy  y  7( x  y ) x  y y  1/ x   y     4 x y  x  y  Lop12.net DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 2 x  y  x  y  4( x  xy  y )  / ( x  y)  2 y  x   72 /  ;73 /  ;74 /  x  y  y  x  y x  y  2 x  1/ ( x  y)     3 2 2    x  3x  x  22  y  y  y ( x  y)( x  y  xy  9)  22  3( x  y )(1) 75/   2 x  y  x  y  ( x  2)  ( y  2)  1(2)   Từ (2)  a : x   cosa; y   sina Thay vào (1) ta được: (1  cosa  sina)(3  cosa  sina  cosasina  (cosa  sina)  37 4)  22  3(1,5  cosa  sina) Đặt t = cosa – sina thì PT trên trở thành: (1  t )(1,5  t  (1  t )  t  37 4)  22  3(1,5  t )  2t  39t  41   t  1( t  2)  2cos(a   4)   a  2k     2k  HPT có nghiệm:(3/2; -1/2) và (1/2; -3/2 ) VII Biện luận hệ phƣơng trình:  x  y  xy  m 1/ Tìm gt m để hpt sau có nghiệm:  2 x  y  m (1) Giải: Đặt S = x + y; P = xy  S  P  m & S  2P  m  S  2S  3m  0. '   3m   m  1/ Để (1) có nghiệm thì S  4P  S  2P  2P  m  2P  m  2(m  S )  m  2S  m   3m   Để (1) có nghiệm ta cần đk: m   3m    3m   m    m  ( m  từ pt thứ hai hệ   x  xy  y  mx 2/ Giải và bl hpt:    y  xy  x  my Giải: Trừ các vế pt ta đƣợc: ( x  y)( x  y   m)  a/ x  y  3x  m( x  1)   x  0;(m  1) / b/ y  m   x  x  (m  1) x  m   0.  (m  1)(m  5) Kết luận: +/ < m < 5: hpt có nghiệm x  y  0; x  y  (m  1) / +/ m   m  : hpt có nghiệm: x  y  0; x  y  (m  1) / ; ( 2   x  xy  y  1(1) 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:  2   x  3xy  y  m(2) Lop12.net m 1   m 1   ; ) 2 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN Giải: Đặt x  ty  (1) : y (t  t  1)  (3) Vì t  t   với t nên (3) luôn có nghiệm Từ hpt ta suy ra: (t  3t  2) /(t  t  1)  m  (m  1)t  (3  m)t  m   (4) +/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghiệm +/ m  1: (4) có   3(m  4)(m  6) Từ đó ta suy hpt có nghiệm 4  m    x 1  y 1  4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:   x y 1  y x 1  x   y   m u  v  3(u, v  0) S    hpt có nghiệm  m  27 /  2 P  m / u (v  1)  v (u  1)  u  v  m Giải: hpt đã cho tđ với:    y  x  x  ax 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm nhất:    x  y  x  ay Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( x0 ; y0 ) thì nó có nghiệm ( y0 ; x0 ) đó để hpt có nghiệm thì x0  y0  x03  5x02  ax0  Vậy hpt có nghiệm dn thì   25  4a   a  25/   x  y  y  ay b/ đk đủ: hpt tđ với  Do pt x  xy  y  3( x  y)  a   2   ( x  y )  x  xy  y  3( x  y )  a    x2  ( y  3) x  y  y  a  có  x  ( y  3)2  4( y  y  a)  3 y  y   4a  0y vì 'y  12(3  a)  a > 25/4 Với x = y thì hpt trở thành x( x  5x  a)  Do a  25/    25  4a  nên pt có nghiệm x = đó hpt có nghiệm x = y = Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm   x  y  xy  a  x  y  a 6/ Giải và biện luận hpt:  Giải: trừ các vế hai pt ta đƣợc: y  xy   y   x  y( y  0) a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3) b/ a  : hpt có nghiệm ( a; 0) Lop12.net DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN MỘT SỐ BÀI TẬP: 2   x  xy  y  k 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:    y  3xy    x   y 1  (13/  m  7) x  y  m   2/ Tìm các GT m để hpt sau có nghiệm:   x3  y  x  mx  3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm nhất:  có nghiệm ( m > 16 ) 2 y  x  y  my    x  y  xy  2m  4/Cminh với m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm nhất:   xy ( x  y )  m  m (m  1) 2   59  3897 59  3897  3x  xy  y  11 5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:  m   4    x  xy  y  17  m  6/ Cho HPT: x  my  m(d ) & x  y  x(C ) Biện luận số nghiệm HPT theo m Khi HPT có hai nghiệm ( x1; y1 ) & ( x2 ; y2 ) hãy tìm GT m để GTBT S  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 đạt GTLN ( m = 1/2 ) // Lop12.net