de thi de nghi thi tinh mon toan 9

[r]

Phòng giáo dục đào tạo Kim bảng

Trêng thcs thÞ trÊn quÕ

đề thi chọn h.s.g năm học 2008 -2009 mơn tốn - lớp 9

Thêi gian lµm bµi 150

Bµi (6 ®iĨm)

a) Chøng minh r»ng cã phơng trình sau có nghiệm:

2

2

ax 2bx c

bx 2cx a

cx 2ax b

  

  

  

b) Gäi x1 , x2 lµ hai nghiệm phơng trình:

2009x  20a 11 x  20090

T×m giá trị nhỏ biểu thức:

2

2 1 2

1

1

3 x x 1

S x x

2 x x

  

      

Bài (4 điểm) Cho x x a (a>0) Tính giá trị cđa biĨu thøc:

2

2 4x x

P

x

 



 theo a Bµi (2điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng trình:

2 2

8x y x y 10xy

Bài (8 điểm) Cho đờng tròn (O), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) M thuộc cung BC, hình chiếu M AB, BC, CA lần lợt K, I, H MB cắt IK E, MC cắt IH F

a) Chøng minh MI2 MH.MK b) Chøng minh EF MI

c) Gọi giao điểm thứ hai đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEK đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFH N Chứng minh MN đI qua điểm cố định

d) Chøng minh ba ®iĨm K, N, H thẳng hàng

Họ tên học sinh Số báo danh Họ, tên, chữ ký giám thị thứ Họ, tên, chữ ký giám thị thứ

H

íng dÉn chÊm:

Bµi ( ®iÓm) a ) (3,0 ®iÓm) :

Giả sử pt cho vơ nghiệm Khi x = không nghiệm pt, nên dễ dàng suy đợc a, b, c khác

     

' 2

1

2 2

a b c ab bc ac

1

a b b c c a

2                        

Từ suy số   1, 2, 3 phải không âm Tức một pt cho có nghiệm

b ) (3 ®iĨm):

Dễ dàng thấy pt cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo định lí Viét, ta có: 2 20a 11 x x (*) 2009

x x

         Ta cã: S =  

2 1 2

1

1

3 x x 1

x – x

2 x x

  

    

 

=

3

2 (x1 – x2 )2 +2

   

1 2

1

x x x x x x

2x x          =

2 (x1 – x2 )2 +2

x2 x1 x x2

2

    

 



  x1 x2 = -1

=

3

2 (x1 – x2 )2 +

1

2 (x1 – x2 )2

= (x1 – x2 )2

=  

2

1 2

x x 4x x

      = 20a 11 2009            

  (*)

=

 2

6 20a 11

24 24

2009



 

víi a

Dấu = xảy 20a – 11 = ⇔

11 a

20

 Vậy S = 24, đạt đợc

11 a

20

 Bài 2.( điểm)

Nhận xét:     2

2 4x x x x

2

x x

2

    

ĐKXĐ: x , x Khi đó, ta có:

 

   

x x x x

P

2 x 2 x

   

 

 

NÕu x < th×:

    

   

2 x

4 x x x x

P

a

2 x x x x x x a

 

    

   

    

NÕu < x th×:

    

   

2 x

x x x x

P

a

2 x x x x x x a



   

   

    

VËy:

2

nÕu : x

a P

2

nÕu : x

a

 

  

 

  





Bài (2 điểm): Ta có:

2 2

8x y x y 10xy

⇔ 8xy ( xy – 1) + ( x – y)2 = (1)

Do đó, (x, y) nghiệm pt xy ( xy – 1) ⇒ xy Do x, y nguyên nên có khả năng:

* Nếu xy = từ (1) ta thu đợc nghiệm x = y = * Nếu xy = -1 từ (1) ta thu đợc nghiệm x = y = ± Vậy phơng trình có nghiệm nguyên: x = y = , x = y = , x = y = -1 Bài ( điểm):

ý a (2 ®iĨm): Cã:

 

IMKIMH ( cïng bï víi B C ) (1)

 

MIHMBK( MIMK néi tiÕp)

 

MBKMCB( cïng ch¾n cung BM)

 

MCBMHI( MICK néi tiÕp)

VËy MIK MHI (2)

⇒ MI MK

MH MI  MI2 MH.MK

ý

b (2 ®iĨm)

Ta cã: MBK MCB (chøng minh trªn) Chøng minh t¬ng tù cã MIF MBC

VËy EMF EIF EMF MBC MCB 1800

 Tø gi¸c MEIF néi tiÕp

 

MEF MIF

  (cùng chắn MF )

Mà MIF MBC (cùng bằngMCH ) VËy MEF MBC  EF / / BC mµ

MIBC MIEF

A

B

C k

h m

n

e

f j i d

o

ý

c (2,5 ®iÓm): Ta cã:

 

 

MEF MBC (do EF//BC)

MBI MKI

MEF=MKI EF tiếp tuyến đ ờng tròn ngoại tiếp MEK

 

  

Tơng tự EF tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp MFH

Giả sử MN cắt EF J ta có JME JEN

JM JE

JE JM.JN (3)

JE JN

   

Tơng tự JF2 JM.JN (4) Từ (3) và(4)  JE=JF Theo hệ định lý Ta let có

JE MJ JF

BD MD DC (D giao điểm MN BC)  BD=DC Vậy MN qua trung điểm D BC cố định

ý d 0,5 ®iÓm

Ta cã MNH MFN 1800

 

MFHMEI (do EMFI néi tiÕp)

 

MEIKNM (do KNME néi tiÕp)