de thi de nghi thi tinh mon toan 9

Phòng giáo dục và đào tạo Kim bảng Trờng thcs thị trấn quế đề thi chọn h.s.g năm học 2008 -2009 môn toán - lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (6 điểm). a) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các phơng trình sau có nghiệm: 2 2 2 ax 2bx c 0 bx 2cx a 0 cx 2ax b 0 + + = + + = + + = b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình: ( ) 2 2009x 20a 11 x 2009 0 = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 3 x x 1 1 S x x 2. 2 2 x x = + + ữ Bài 2. (4 điểm). Cho x 4 x a.+ = (a>0) . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 4x x P x 2 = theo a . Bài 3. (2điểm). Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 2 2 8x y x y 10xy+ + = Bài 4. (8 điểm). Cho đờng tròn (O), từ một điểm A ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). M thuộc cung BC, hình chiếu của M trên AB, BC, CA lần lợt là K, I, H. MB cắt IK tại E, MC cắt IH tại F. a) Chứng minh 2 MI MH.MK= . b) Chứng minh EF MI. c) Gọi giao điểm thứ hai của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEK và đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFH là N. Chứng minh MN luôn đI qua một điểm cố định. d) Chứng minh ba điểm K, N, H thẳng hàng. Họ và tên học sinh Số báo danh Họ, tên, chữ ký của giám thị thứ nhất Họ, tên, chữ ký của giám thị thứ nhất H ớng dẫn chấm : Bài 1 ( 6 điểm) a ) (3,0 điểm) : Giả sử cả 3 pt đã cho cùng vô nghiệm. Khi đó x = 0 không là nghiệm của cả 3 pt, nên dễ dàng suy ra đợc a, b, c cùng khác 0. Khi ấy cả 3 pt đã cho đều là pt bậc hai và có: ( ) ( ) ( ) ' 2 2 2 1 2 3 2 2 2 a b c ab bc ac 1 a b b c c a 0 2 + + = + + = + + Từ đó suy ra ít nhất một trong 3 số 1 2 3 , , phải không âm. Tức là ít nhất một trong 3 pt đã cho có nghiệm. b ) (3 điểm): Dễ dàng thấy pt đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Theo định lí Viét, ta có: 1 2 1 2 20a 11 x x (*) 2009 x .x 1 + = = Ta có: S = ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 3 x x 1 1 x x 2. 2 2 x x + + ữ = 3 2 (x 1 x 2 ) 2 +2. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x .x x x 2 x x 2x x + = 3 2 (x 1 x 2 ) 2 +2 ( ) ( ) 2 2 1 1 2 x x 2 x x 2 do x 1 . x 2 = -1 = 3 2 (x 1 x 2 ) 2 + 1 2 . 9 (x 1 x 2 ) 2 = 6 (x 1 x 2 ) 2 = 6. ( ) 2 1 2 1 2 x x 4x x + = 6. 2 20a 11 4 2009 + ữ do (*) = ( ) 2 2 6 20a 11 24 24 2009 + với mọi a. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 20a 11 = 0 11 a 20 = . Vậy min S = 24, đạt đợc khi 11 a 20 = . Bài 2.( 4 điểm) Nhận xét: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 4x x 4 2 x 4 x 2 1 x 4 x 2 = = ĐKXĐ: 0 x 4 , x 2 Khi đó, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 x 4 x x 4 x P 2 x 2 2 x 2 = = . Nếu 0 x < 2 thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 4 x x 4 x x 2 P a 2 x 2 2 x 2 .a x x 2 4 x x = = = = + . Nếu 2 < x 4 thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x 4 x x 4 x 2 P a 2 x 2 2 x 2 .a x x 2 4 x x + = = = = + Vậy: 2 nếu : 0 x 2 a P 2 nếu : 2 x 4 a < = < Bài 3 (2 điểm): Ta có: 2 2 2 2 8x y x y 10xy+ + = 8xy ( xy 1) + ( x y) 2 = 0 (1) Do đó, nếu (x, y) là nghiệm của pt thì xy ( xy 1) 0 0 xy 1 Do x, y nguyên nên chỉ có 2 khả năng: * Nếu xy = 0 thì từ (1) ta thu đợc nghiệm là x = y = 0 * Nếu xy = -1 thì từ (1) ta thu đợc nghiệm là x = y = 1 Vậy phơng trình có 3 nghiệm nguyên: x = y = 0 , x = y = 1 , x = y = -1 Bài 4 ( 8 điểm): ý a (2 điểm): Có: ã ã IMK IMH= ( cùng bù với à à B C= ) (1) ã ã MIH MBK= ( do MIMK nội tiếp) ã ã MBK MCB= ( cùng chắn cung BM) ã ã MCB MHI= ( do MICK nội tiếp) Vậy ã ã MIK MHI= (2) Từ (1) và (2) MIK ( ) MHI g.g MI MK MH MI = 2 MI MH.MK = ý b (2 điểm) Ta có: ã ã MBK MCB= (chứng minh trên) Chứng minh tơng tự có ã ã MIF MBC= Vậy ã ã ã ã ã 0 EMF EIF EMF MBC MCB 180+ = + + = Tứ giác MEIF nội tiếp. ã ã MEF MIF = (cùng chắn ẳ MF ) Mà ã ã MIF MBC= (cùng bằng ã MCH ) Vậy ã ã MEF MBC EF / / BC= mà MI BC MI EF A B C k h m n e f j i d o ý c (2,5 điểm): Ta có: ã ã ã ã MEF MBC (do EF//BC) MBI MKI MEF=MKI EFlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MEK = = Tơng tự EF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp MFH Giả sử MN cắt EF tại J ta có JME JEN 2 JM JE JE JM.JN (3) JE JN = = Tơng tự 2 JF JM.JN (4)= Từ (3) và(4) JE=JF Theo hệ quả định lý Ta let có JE MJ JF BD MD DC = = (D là giao điểm của MN và BC) BD=DC Vậy MN đi qua trung điểm D của BC cố định ý d 0,5 điểm Ta có ã ã 0 MNH MFN 180+ = ã ã MFH MEI= (do EMFI nội tiếp) ã ã MEI KNM= (do KNME nội tiếp) Vậy ã ã 0 KNM MNH 180+ = Hay ã 0 KNH 180= K; N; M thẳng hàng . sau có nghi m: 2 2 2 ax 2bx c 0 bx 2cx a 0 cx 2ax b 0 + + = + + = + + = b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghi m của phơng trình: ( ) 2 2009x 20a 11 x 20 09 0 =. dục và đào tạo Kim bảng Trờng thcs thị trấn quế đề thi chọn h.s.g năm học 2008 -20 09 môn toán - lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (6 điểm). a) Chứng