Sử dụng ph−ơng pháp quy nạp toán học để chứng minh dy số trên là cấp sè céng víi phÇn tö ®Çu tiªn lµ u 1 vµ c«ng sai d.... lµ cÊp sè céng...[r]
(1)Bài Cho dy số {u n }, n = , 1, , , xác định nh− sau: u =1 u n +1 = u n + u , n = ,1 , , n k Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng k ta cã: ∑u n =0 n < Chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc: k=1 đúng XÐt k>1: u k2 = u k −1 + > u k −1 + , ∀k ≥ u k −1 Từ đó ta có: u k2 > u + > u + 2.2 > > u 12 + ( k −1 ) = k + k −1 ⇒ < u k4 k ⇒ ∑= u ⇒ 1 < − ( k + ) 2 k +1 k + 1 n k ∑= u n k −2 n n 1 < − < k + 10 < 1+ 13 1 + < 1+ < 1+ = 6 80 16 10 Bài Cho dy số {u n }, n = , 1, , , xác định nh− sau: u >1 u n+1 = u n + u , n = ,1, , n Chøng minh r»ng: u 02 + n < u n < + u 02 + n 2u0 NhËn xÐt: 1 = u < u < u < < u < ⇒ ( u k +1 − u k ) = >0 uk ⇒ ( u k +1 + u k )( u k +1 − u k ) > ( u k + u k ) = uk ( ⇒ u 2 −u k k +1 )> ⇒ u ∑ (u n 2 −u n = k= k +1 Lop12.net ) −u k > n ⇒ u n > u + n (2) Ta cã: 1 0 <u < k +1 − u k = uk u0 ⇒ ( u k +1 − u k 0 <u < 2u k k +1 + u k − u0 ⇒ u k2+1 − u k2 − ( u k +1 − u k ) < u0 ( ⇒ ( un ) u k +1 + u k − u0 < ) −u n−1 ) n−1 ∑( )∑ 1 2 ( u k +1 − u k ) < n − (u n −u )= u k +1 − u k − u0 u k =0 k =0 ⇒ u n − 2u0 <2n − u +1− 4u 1 + n < u 02 + n ⇒ u n − < u −1+ 2u0 4u ⇒un < + u 02 + n 2u0 Bài Cho dy số thực không âm {u n }, n = , , , xác định nh− sau: u n − u n+1 + u n+2 ≥ n , n = 1, , , u ≤ i i =1 Chøng minh r»ng ≤ u n − u n+1 ≤ n2 Gi¶i u n − u n+1 + u n+2 ≥ ⇒ u n − u n+1 ≥ u n+1 − u n+2 , ∀n = , , , ⇒ u n − u n+1 ≥ u n − u n+ ≥ ≥ u n+k − u n+ k +1 , ∀k , n = , , , u n − u n+1 ≤ u n − u n+1 u −u n+ ≤ u n − u n+1 ⇒ n+1 u n+k − u n+k +1 ≤ u n − u n+1 ⇒ u n − u n+ k +1 ≤ ( k +1 )( u n − u n+1 ) u − u n+k +1 ⇒ u n − u n+1 ≥ n (1 ) k +1 ∑ Lop12.net (3) n u i ≤1 , ∀n = 1, , , nªn ta cã: Do i =1 u n ≥ ∑ ≤ u n ≤ 1, ∀n ⇒ ≤ u n − u n+k +1 ≤ ⇒ lim u n − u n+k +1 k +1 k →+∞ =0 (2) Tõ (1) vµ (2) cã: u n − u n+1 ≥ Ta cã: u − u ≥ u n − u n+1 (u −u )≥ (u −u n n+1 ) ( n +1 )( u n − u n+1 ) ≥ ( n +1 )( u n − u n+1 ) n ⇒1≥ u i ≥ (1+ + + ( n +1 ) )( u n − u n+1 ) = ∑ i =1 ⇒ u n − u n+1 ≤ < ( n +1 )( n + ) ( n +1 )( n + ) n Bài Cho dy số {u n }, n = , , , xác định nh− sau: u1 = u n = u n−1 +1 , ∀n > n −1 Chøng minh r»ng u i ≥ , ∀n n i =1 Gi¶i Ta cã: u 12 = u = u 12 + u +1 2 u n+1 = u n + u n +1 ∑ n ⇒ u n+1 n =2 u i + n ⇒ ∑ u i = u n+1 − n ≥ − n ∑ i =1 i =1 −n ⇒ ui ≥ ⇒ n i −1 ∑ n n ∑ i −1 ui ≥ −1 Lop12.net ( u n − u n+1 ) (4) Bài Cho dy số {u n }, n = ,1, , xác định nh− sau: u = u1 =1 u n+1 = u n−1 u n +1, n = , , , Chøng minh r»ng u n kh«ng chia hÕt cho víi mäi n Gi¶i Tính số giá trị cụ thể để định h−ớng: u = , u = , u = = 4.1+ , u = 22 = 4.5 + , u = 155 = 4.38 + , u = 3411 = 4.852 + , u = 528706 = 4.132176 + , §Þnh h−íng: NÕu n = k + th× u n = q + , k , q ∈ n NÕu n ≠ k + th× u n = q + , k , q ∈ n q + nÕu n = k + Hay: u n = , k , q ∈ n (1) q + nÕu n ≠ k + Chøng minh (1) b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc theo k: Ta có (1) đúng với n = ,1 , , , , , , , TH1: Giả sử (1) đúng với n = k + , đó ta có: n +1 = k + +1 = k + cã d¹ng ≠ k + Ta chøng minh u n+1 = q + n = k + cã d¹ng k + ⇒ u n = q + n −1 = k + −1 = k +1 cã d¹ng ≠ k + ⇒ u n−1 = q + Ta cã: u n+1 = u n−1 u n +1 = ( q + )( q + ) +1 = ( q q + q + q +1 ) + cã d¹ng q + TH2: Giả sử (1) đúng với n ≠ k + n +1 = k +1 ≠ k + TH2.1 NÕu n = k ⇒ n −1 = k −1 = ( k −1 ) + Ta cã: u n = q1 + u n−1 = q + ⇒ u n+1 = u n u n−1 +1 = ( q + )( q + ) +1 = ( q q + q + q +1 ) + hay (1) đúng n +1 = k + TH2.2 NÕu n = k +1 ⇒ n −1 = k ≠ k + Lop12.net (5) Ta cã: u n = q1 + u n−1 = q + ⇒ u n+1 = u n u n−1 +1 = ( q + )( q + ) +1 = ( q1 q + q + q1 + )+ Vậy (1) đúng với n Bài Cho dy số {u n } xác định nh− sau: (2+ = ) −(2− ) n n , n = ,1 , , a) Chøng minh r»ng u n ∈ z , ∀n = ,1 , , b) T×m tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña dy chia hÕt cho Gi¶i un a) (2+ §¨t α = 3) n u n = α −β (2− ;β = 3) u n+1 (2+ = 3) u n+ (2+ = 3) n+1 n ta cã: −(2− ) n+1 = α ( + )− β ( − ) n+2 −(2− ) n+ 2 = α ( + ) −β ( − ) = α ( + )− β ( − ) = [ α ( + )− β ( − ) ]− ( α − β ) Thay u n , u n+1 vµo u n+2 ta cã: u n+2 = u n+1 − u n B»ng c¸ch tÝnh trùc tiÕp ta cã: u = , u = Vậy, dy số trên có thể xác định công thức sau: u = ,u1 =1 u n+2 = u n+1 − u n , n = , , Từ đó ta có u n ∈ z , ∀n = ,1 , , Lop12.net (6) b) B»ng c¸ch tÝnh trùc tiÕp ta cã sè h¹ng ®Çu chia cho cè sè d− lµ: 0,1,1,0,2,2,0,1 u n = m , nÕu n = k Dù ®o¸n d¹ng: (1 ) u n ≠ m , nÕu n ≠ k Ta chứng minh (1) đúng ph−ơng pháp quy nạp toán học: Ta có (1) đúng với số hạng đầu Giả sử (1) đúng với n, ta chứng minh (1) đúng với n+1 TH1 NÕu n = k , ta cÇn chøng minh u n+1 cã d¹ng ≠ m Ta cã: n −1 = k −1 = ( k −1 ) + ⇒ u n+1 = u n − u n−1 = ( m + m ' ) + r cã d¹ng ≠ m u n = 3m u n−1 = m ' + r , < r < TH1 NÕu n = k +1 , ta cÇn chøng minh u n+1 cã d¹ng ≠ m Ta cã: n −1 = k ⇒ u n+1 = u n − u n−1 = ( m + m ' ) + r cã d¹ng ≠ m u n−1 = m u = 3m '+ r , < r < n TH1 NÕu n = k + , ta cÇn chøng minh u n+1 cã d¹ng m Ta cã: n −1 = k +1 cã d¹ng ≠ m u n−1 = m ' + r ' u = m + r , < r , r '< n ⇒ u n+1 = u n − u n−1 = ( m + r ) − ( m ' + r ' ) = ( m − m ' + r )+ r − r ' ( ) Ta chøng minh r = r ' Ta cã: n − = k ⇒ u n−2 = m " , đó: m + r = u n = u n−1 − u n−2 = ( m ' + r ' ) − m " = ( m ' − m " + r ' ) + r ' ⇒ r = r ' , thay vµo (2) ta cã: u n+1 = ( m − m ' + r ) cã d¹ng 3m Vậy (1) đúng với n, hay có số hạng dy có dạng u k , k = , 1, , chia hÕt cho Bài Cho dy số {u n } xác định nh− sau: n u n = ∑10 i −1 , n = , , , i =1 T×m dy nh÷ng sè chia hÕt cho Gi¶i §Þnh h−ímg: tÝnh mét sè gi¸ trÞ ®Çu cña dy u = 1, u = 11, u = 111, u = 1111 , u = 11111 kh«ng chia hÕt cho 7, u = 111111⋮7 Dù ®o¸n u k ⋮7 Lop12.net (7) Xét với n ≥ , coi n = k + r , k ≥ 1, ≤ r ≤ Khi đó ta có: u n = u k +r = ( k +r ∑ 10 i−1 i =1 )( = 10 +10 + +10 k −1 + 10 k +10 k +2 + +10 k + r −1 ( ) ) = u k +10 k 10 +10 + +10 r −1 = u k +10 k u r đó r =0 thì r = thì u = Ta chứng minh ph−ơng pháp quy nạp to¸n häc theo sè k: NÕu r = th× u n = u k ⋮7 vµ nÕu r ≠ th× u n = u k +r kh«ng chia hết cho cách sử dụng công thức biến đổi trên KÕt luËn: C¸c sè cã d¹ng u k ⋮7 Bài Cho dy số nguyên d−ơng {u n } xác định nh− sau: u = , u = 17 u n = u n−1 − u n−2 , n = , , , Chøng minh r»ng u n2 −1 chia hÕt cho vµ th−¬ng lµ sè chÝnh ph−êng víi ∀n = ,1 , , Gi¶i Từ cách xác định dy số ta có: u n − u n−1 = u n−1 − u n−2 ⇒ ( u n − u n−1 ) = ( u n−1 − u n−2 ) ⇒ u n2 − u n u n−1 = −6 u n−1 u n−2 + u n2−2 , ∀n ≥ Từ đó ta có: u 22 − u u = −6 u u + u 02 u − u u = −6 u u + u 12 2 u n − u n u n−1 = −6 u n−1 u n−2 + u n−2 ⇒ u n2 + u n2−1 − u n u n−1 = u 02 + u 12 − u u = −8 ( = (u −1 ) ⇒ u n2 − u n u n−1 + u n2−1 = u n2 −1 ⇒ ( u n − u n−1 ) ⇒ u n2 −1 = ) n ( u n − u n−1 ) (1) Lop12.net (8) Từ công thức xác định dy số ta có u n ∈ N , ∀n nên từ (1) ta có: ( u n − u n−1 ) ⋮8 ⇒ ( u n − u n−1 )⋮4 ⇒ u n − u n−1 = m , m ∈Z (DÔ dµng chøng minh chia hÕt cho b»ng ph¶n chøng) (4m )2 21 = m Hay u n2 −1 chia hÕt cho vµ cã th−¬ng Thay vµo (1) ta cã: u n −1 = lµ sè chÝnh ph−¬ng Bài Cho dy số {u n } xác định nh− sau: u = 20 , u = 100 u n+1 = u n + u n−1 −1976 , n = , , , ( ) Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét sè cña dy chia hÕt cho 1996 Gi¶i §Æt u n = 1996 q n + r n , q n , r n ∈ Z , ≤ r n ≤ 1995 , n = 1, , , Do dy sè { r n } lµ v« h¹n vµ ≤ r n ≤ 1995 , ∀n nªn tån sè hai sè nguyªn d−¬ng m>1, k, tho¶ mn: r m = r m+ k (2) = r r m+1 m+k +1 Ta chøng minh r m−1 = r m+k −1 Tõ (1) ta cã: u m−1 = −4 u m + u m+1 +1976 u m+k −1 = −4 u m+ k + u m+k +1 +1976 ⇒ ( u m−1 − u m+k −1 ) = −4 ( u m − u m+k ) + ( u m+1 − u m+k +1 ) = −4 (1996 q m + r m −1996 q m+ k − r m+k ) + (1996 q m+1 + r m+1 −1996 q m+ k +1 + r m+ k +1 ) = 1996 [ − ( q m − q m+k ) + ( q m+1 − q m+k +1 ) ]⋮1996 ⇒ ( u m−1 − u m+ k −1 )⋮1996 ( ,1996 ) = ( ) Ta l¹i cã: u m−1 − u m+k −1 = ( 1996 q m−1 + r m−1 ) − (1996 q m+ k −1 + r m+k −1 ) = [1996 ( q m−1 − q m+k −1 ) + ( r m−1 − r m+k −1 ) ]⋮1996 (do (3)) ⇒ ( r m−1 − r m+ k −1 )⋮1996 ⇒ r m−1 = r m+k −1 (do ≤ r n ≤ 1995 , ∀n ⇒ −1995 ≤ r m−1 − r m+k −1 ≤ 1995 ) Lop12.net (9) Mét c¸ch t−¬ng tù ta cã: r m−( m−2 ) = r m+k −( m−2 ) r2 = r k + = 100 ⇒ (4) = = = r r r r 20 k +1 m−( m−1 ) m+k −( m−1 ) Ta chøng minh u k ⋮1996 Ta cã: u k = −4 u k +1 + u k +2 +1976 = −4 (1996 q k +1 + r k +1 ) + (1996 q k + + r k +2 ) +1976 = 1996 ( − q k +1 + q k +2 ) + ( − r1 + r ) +1976 = 1996 ( − q k +1 + q k +2 ) + ( − 80 +100 ) +1976 = [1996 ( − q k +1 + q k +2 ) +1996 ]⋮1996 ⇒ u k ⋮1996 ( ,1996 ) = Bài 10 Cho dy số {u n } xác định nh− sau: u n = n + ( n +1 ) + ( n + ) + ( n + ) T×m tÊt c¶ c¸c sè cña dy chia hÕt cho 10 Gi¶i XÐt dy sè {v n } tuÇn hoµn víi chu kú 10 b»ng c¸ch b×nh ph−¬ng c¸c sè tù nhiªn nhá h¬n 10: 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1, NhËn xÐt: u n ⋮10 vµ chØ tæng n + ( n +1 ) + ( n + ) + ( n + ) cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0, hay tèng c¸c ch÷ sè tËn cïng cña bèn sè n , ( n +1 ) , ( n + ) , ( n + ) cã ch÷ sè tËn cïng b»ng Ta cã: Tæng bèn ch÷ sè tËn cïng cña bèn sè trªn lµ tæng bèn sè liªn tiÕp cña dy sè {v n } Ta dÔ thÊy dy sè trªn chØ cã hai tæng sè liªn tiÕp cã ch÷ sè tận cùng là: 1+ + + = + + +1 = 20 , hay để u n ⋮10 thì n phải có chữ số tËn cïng b»ng hoÆc 6, hay n cã d¹ng: n = k +1 , k ∈ N VËy víi c¸c vÞ trÝ n = k +1, k ∈ N th× u n ⋮10 Lop12.net (10) Bài 11 Cho dy số {u n } xác định nh− sau: ( ) u n = n + n + , n = 1, , , a) Chứng minh số hạng liên tiếp dy có đúng số chia hết cho b) Chøng minh r»ng kh«ng cã phÇn tö nµo cña dy lµ lËp ph−¬ng cña mét sè nguyªn Gi¶i a) Ta ®i t×m c¸c sè h¹ng dy chia hÕt cho ( ) Xét dy {v n } đ−ợc xác định số tận cùng số n + n + , n = 1, , , Ta cã {v n } tuÇn hµon víi chu kú 10 vµ 10 sè h¹ng ®Çu tiªn cña dy lµ: 3, 5, 3, 7, 7, 3, 5, 7, 7, 7, 2, 9, Ta cã u n ⋮5 vµ chØ u n cã ch÷ sè tËn cïng lµ hoÆc Tõ c¸ch x¸c định dy {v n } ta có: u n có chữ số tận cùng là và n có chữ số tËn cïng lµ hoÆc 7, hay c¸c sè u n víi n = k + , k = ,1 , chia hÕt cho Tõ dã ta cã, sè liªn tiÕp cña dy {u n } kh«ng cã sè chia hÕt cho b) Chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng: Gi¶ sö cã sè k ∈ Z cho: n + n + = k ( ) ( ( ) ) Do n + n = n ( n +1 ) lµ sè ch¾n nªn k lµ sè lÎ ⇒ k = t +1 thay vµo (1) ta cã: ( ) n + n + = ( t +1 ) ⇔ n + n + = t +12 t + t +1 ⇔ n + n + −12 t − t = t ( ) ⇒ t ⋮3 ⇒ t ⋮3 ⇒ t ⋮3 ⇒ t = m thay vµo (2) ta cã: ⇔ n + n + − 9.12 m − 3.6 m = 8.27 t ⇔ n + n + − 3.12 m − m = 8.9 t ⇔ n + n + = 8.9 t + 3.12 m + m dÔ dµng chøng minh ®−îc vÕ tr¸i kh«ng chia hÕt cho cßn vÕ ph¶i chia hÕt cho 10 Lop12.net (11) Bµi 12 Cho cÊp sè céng: u , u , , u n ; u i ≠ , ∀i = 1, , , n Chøng minh r»ng : n −1 1 a) S = + + + = u1u u u u n−1 u n u u n b) Đảo lại, cho dy số u , u , , u n , ; u n ≠ , ∀n = 1, , và thoả mn đẳng thøc: 1 n −1 + + + = , ∀n ≥ Chøng minh r»ng dy sè trªn u1u u u u n−1 u n u u n lµ cÊp sè céng Gi¶i a) Gäi c«ng sai lµ d TH1 XÐt d = TH2 d ≠ : TÝnh d S víi chó ý d = u − u = u − u = = u n − u n−1 b) B−íc Chøng minh u , u , u lµ cÊp sè céng 1 −1 + = = u1u u u u1u u1u Ta cã: ⇒ u3 + u1 u1u u u1u u = 2u u1u u ⇒ u +u1 = u hay u , u , u là cấp số cộng Gọi d là công sai cấp số cộng đó B−ớc Sử dụng ph−ơng pháp quy nạp toán học để chứng minh dy số trên là cấp sè céng víi phÇn tö ®Çu tiªn lµ u vµ c«ng sai d + = u u u1u 3 u2u3 ⇒ + = Víi n = Ta cã: u1u u u u1u + + = u u u u u u u u ⇒ 2u u1u u + u1 u1u u = 3u u1u u ⇒ u +u1 = 3u ⇒ u = 3u − u1 = ( u1 + d )− u1 = u1 + d ⇒ u = u1 + d hay u , u , u , u lµ cÊp sè céng 11 Lop12.net (12) Gi¶ sö ta cã: u , u , u , , u n lµ cÊp sè céng, ta cÇn chøng minh u , u , u , , u n+1 lµ cÊp sè céng Do u , u , u , , u n lµ cÊp sè céng, nªn theo a) ta cã: n−2 + + + = u u u n−2 u n−1 u u n−1 u2u3 + + + = n −1 u u u u u n−1 u n u u n ⇒ ⇒ n−2 n −1 + = u u n−1 u n−1 u n u u n ( n − )u n u u n−1 u n + u1 u u n−1 u n = ( n −1 ) u n−1 u u n−1 u n ⇒ ( n − ) u n + u = ( n −1 ) u n−1 ⇒ ( n − ) u n = ( n −1 ) u n−1 − u = ( n −1 ) ( u + ( n − ) d ) − u = ( n − ) [ u + ( n −1 ) d ] ⇒ u n = u + ( n −1 ) d hay u , u , u , , u n lµ cÊp sè céng VËy u , u , u , , u n , lµ cÊp sè céng Bµi 13 Cho u , u , u , , u n , lµ dy sè tho¶ mn: u n−1 − u n+1 un ≤c+ , c ∈ r , ∀n = 1, , , Chøng minh r»ng: nu k n , ∀n = , , , k u n ≤ n ( k − n ) c + 1− u + k k Gi¶i Từ cách xác định dy số ta có: u n−1 + u n+1 un ≤c+ ⇒ u n+1 − u n + c ≥ u n − u n−1 , ∀n ≥ hay ta cã: u − u ≤ u − u + c ≤ u − u + 2.2 c ≤ ≤ u n − u n−1 + ( n −1 ) c ≤ Xét dy số v , v , đ−ợc xác định nh− sau: v n = u n − u n−1 + ( n −1 ) c , n = 1, , , , 12 Lop12.net (1) (13) v ≤ v ≤ ≤ v n ≤ v + v + + v n ⇒ ≤ v n ≤ v n+1 ≤ ≤ v k n v + v + + v n ≤ v + v + + v n n n v + v + + v n ≤ v n+1 ⇒ n v + v + + v n ≤vk n v + v + + v n ⇒ (n+k −n ) ≤ v + v + + v n + v n+1 + + v k n v + v + + v n ⇒k ≤ v + v + + v k n v + v + + v n v + v + + v k ⇒ ≤ (2) n k Thay (1) vµo (2) ta cã: [ u − u + (1−1 ) c ]+ [ u − u + ( −1 ) c ]+ + [ u n − u n−1 + ( n −1 ) c ] Ta cã: ≤ n [ u − u + (1−1 ) c ]+ [ u − u + ( −1 ) c ]+ + [ u k − u k −1 + ( k −1 ) c ] k ⇔ u n − u + n ( n − ) c u k − u + k ( k −1 ) c ≤ n k ⇔ ku n − ku + kn ( n −1 ) c ≤ nu k − nu + kn ( k −1 ) c ⇔ ku n ≤ nu k + ( k − n ) u + kn ( k − n ) c n n ⇔ u n ≤ u k + 1− u + n ( k − n ) c k k Bài 14 Cho dy số u , u , đ−ợc xác định nh− sau: u1 =1 u = u n + , n = 1, , n + u n2 Chøng minh r»ng: 3 n + < u n < n − , n = , , 13 Lop12.net (14) Gi¶i NhËn xÐt dy sè trªn lµ t¨ng: Ta cã: u n+1 = u n + < u n , n = 1, , u n2 ⇒ = u > u > > u n > (1) Từ cách xác định dy số ta có: u n+1 = u n + u n2 ⇒ u n3+1 = u n3 + + + u n3 u n6 (2) Tõ (1) ta cã: 0 < <3 un 0 < <3 u6 n , ∀n ≥ Do đó kết hợp với (2) ta có: u n3 + < u n3+1 < u n3 + , ∀n ≥ Tõ (3) ta cã: u 22 < u 13 + u + < u 33 < u 23 + 3 u3 +3< u < u +7 u n3−1 + < u n3 < u n3−1 + ⇒ u 23 + ( n − ) < u n3 < u 13 + ( n −1 ) ⇒ u 13 + + + u 13 u 16 + ( n − ) < u n3 < n − ⇒ n + < u n3 < n − ⇒ 3 n + < u n < n − 14 Lop12.net (15) Bài 15 Cho hai dy số {u n } và {v n } xác định nh− sau: u = 1997 ; v = 1995 u n−1 v n−1 u n−1 + v n−1 = = ; , n = , , u v n n + u v n−1 n−1 Chøng minh r»ng: u n+1 − v n+1 ≤ 2n n , n = , 1, Gi¶i Từ cách xác định các dy số {u n } và {v n } ta có: u n > , v n > , ∀n ≥ ( ) Ta chøng minh u n+1 − v n+1 ≥ , ∀n ≥ Ta cã: u n+1 − v n+1 = u n +vn (u n −vn )2 ≥ , ∀n ≥ − = u n +vn 2(u n +vn ) 2u n ≥ , ∀n ≥ ( ) ⇒ u n+1 − v n+1 Tõ (1) vµ (2) ta cã: u n −vn 0≤ < 1, ∀n ≥ 2(u n +vn ) (u n −vn )2 u n −vn ( u n − v n ) ≤ u n − v n , ∀n ≥ = ⇒ u n+1 − v n+1 = 2(u n +vn ) 2(u n +vn ) hay ta cã: ( u − v1 ) u n+1 − v n+1 ≤ u n − v n ≤ ≤ u − v = = = < 1( ) ( u + v ) (1995+1997 ) 1996 Ta dễ dàng chứng minh đ−ợc ph−ơng pháp quy nạp toán học bất đẳng thức: 2n n > 1, ∀n ≥ Từ đó kệt hợp với (3) ta có: u n+1 − v n+1 < 2n n , ∀n ≥ (4) Víi n = 0, ta cã: u −v = = 20 20 (5) Tõ (4) vµ (5) ta cã: u n+1 − v n+1 ≤ 2n n , n = , 1, 15 Lop12.net (16) Bµi 16 Cho dy sè {u n } tho¶ mn: u k +m − u k − u m ≤ 1, ∀k , m ( ) u p uq 1 * − < + , ∀p , q ∈ n Chøng minh r»ng: p q p q Gi¶i Ph©n tÝch bµi to¸n: Cần chứng minh: qu p − pu q < p + q , từ đó suy cần lmf xuất qu p , pu q Khai th¸c gi¶ thiÕt: ( ) ⇔ u k + m −1 ≤ u k + u m ≤ u k + m + Khi k = m ta cã: u m −1 ≤ u m ≤ u m +1 §i chøng minh: u qp − ( q −1 ) ≤ qu p ≤ u qp + ( q −1 ) , ∀p , q ∈ n * ( ) Chøng minh (2) b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc theo q Víi q = 1: ta cã: u p ≤ u p ≤ u p Giả sử (2) đúng với q = k, ta có: u kp − ( k −1 ) ≤ ku p ≤ u kp + ( k −1 ) ( ) Ta cÇn chøng minh: u ( k +1 ) p − k ≤ ( k +1 ) u p ≤ u ( k +1 ) p + k Ta cã: ( k +1 ) u p = ku p + u p KÕt hîp (3) ta cã: u kp − ( k −1 ) + u p ≤ ( k +1 ) u p = ku p + u p ≤ u kp + ( k −1 ) + u p ( ) Tõ (1) ta cã: u kp + u p + ( k −1 ) ≤ u p ( k +1 ) + ( k −1 ) +1 = u p ( k +1 ) + k (5) + − − ≤ − − − = − u u ( k ) u ( k ) u k 1 kp p p ( k + ) p ( k + ) Từ (4) và (5) ta có (2) đúng với q = k + 1, hay (2) đúng §ái vai trß cña p vµ q ta cã: u qp − ( p −1 ) ≤ pu q ≤ u qp + ( p −1 ) , ∀p , q ∈ n * ⇔ − u qp − ( p −1 ) ≤ − pu q ≤ − u qp + ( p −1 ) , ∀p , q ∈ n * (6) Tõ (2) vµ (6) ta cã: u qp − ( q −1 ) − u qp − ( p −1 ) ≤ qu p − pu q ≤ u qp + ( q −1 ) − u qp + ( p −1 ) , ∀p , q ∈ n * ⇔ − ( q + q − ) ≤ qu p − pu q ≤ ( q + q − ) ,∀p , q ∈ n * ⇒ qu p − pu q < p + q ⇔ up p − uq 1 < + , ∀p , q ∈ n * q p q 16 Lop12.net (17) Bµi 17 Cho dy sè u , u , , u n+1 tho¶ mn c¸c ®iÒu kiÖn sau: u = u n+1 = u k −1 − u k + u k +1 ≤ , k = , , , n k ( n +1− k ) , k = ,1, , n +1 Chøng minh r»ng: u k ≤ Gi¶i Ta cÇn chøng minh: k ( n +1 − k ) (1 ) u k ≥ − , k = , 1, , n +1 + − ( ) k n k u ≤ (2) k Ta chøng minh (2) Xét dy số {v k } đ−ợc xác định: k ( n +1− k ) vk =uk − , k = ,1 , , n +1 Ta cÇn chøng minh v k ≤ , k = ,1 , , n +1 ThËt v©y, dy {v k } lµ h÷u h¹n nªn tån t¹i sè i ≥ lµ sè nhá nhÊt cho v i = max {v k , k = , 1, , n +1} Nếu i = 0, ta có v = nên (2) đúng NÕu i > , ta cã: v i > v i −1 ⇒ v i > v i −1 + v i +1 v i ≥ v i +1 Hay ta cã: k ( n +1 − k ) ( k −1 )( n +1− k +1 ) + ( k +1 )( n +1− k −1 ) > u i −1 + u i +1 − 2ui −2 2 ⇒ u i > u i −1 + u i +1 +1 ⇒ u i −1 − u i + u i +1 < −1 ( ) Tõ gi¶ thiÕt ta cã: −1 ≤ u i −1 − u i + u i +1 ≤ ( ) Tõ (3) vµ (4) suy ®iÒu v« lý, hay i = Vậy (2) đúng Chøng minh mét c¸ch t−¬ng tù ta cã (1) (thay gi¸ trÞ lín nhÊt bëi gi¸ trÞ nhá nhÊt) 17 Lop12.net (18) Bài 18 Cho u < u < < u n là dy các số tự nhiên đơn điệu tăng Chøng minh r»ng: u −u u n − u n−1 u −u1 1 + + + < 1+ + + + u2 u3 un n2 Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã: ( u i − u i−1 )∈ N * u i − u i −1 u i − u i −1 1 ⇒ ≤ = + + + (1 ) ui ui ui ui ui u i −u i −1 sè h¹ng u i ∈N Do nªn ta cã: u i < u i +1 1 ≤ u u +1 i −1 i 1 1 1 1 ≤ + + + (2) u i u i −1 + ⇒ + + + ≤ u u u u u u + + i −1 i −1 i i ii u i −u i −1 sè h¹ng 1 u ≤ u i i Tõ (1) vµ (2) ta cã: u i − u i −1 1 ≤ + + + , ∀i = , , n ui u i −1 +1 u i −1 + ui n u i − u i −1 1 1 (3) ⇒∑ ≤ + + + + + ui u +1 u + u2 un i =2 NÕu u n ≤ n , tõ (3) ta cã: n u i − u i −1 1 1 1 ≤ + + + + + < 1+ + + + + ∑ u u +1 u + u2 un un i n2 i =2 NÕu u i > n , t−¬ng tù ta cã: n u −u u i −u i−1 u n −u n−1 1 1 i i−1 ∑ u ≤ u +1+ u + + + u + +u −1+ u + + u i i−1 i n 1 i=2 u i − u i −1 u n − u n−1 1 < + + + + + + ui un n2 18 Lop12.net (4) (19) Ta cã: ui u i − u i −1 1 < = < ui ui ui n u −u u i +1 1 i +1 i u i − u i −1 u n − u n−1 n − i < = < + + < < 1( ) u i +1 u i +1 n ⇒ u i +1 u u n i n u n − u n−1 un 1 < = < un un un n Tõ (4) vµ (5) ta cã: n u i − u i −1 1 < 1+ + + + + ∑ u un i n2 i =2 19 Lop12.net (20)