Tài liệu Phần 1 Các bài toán dãy sô ôn thi trong đề thi Olympic phần 1 pdf

25 628 0
Tài liệu Phần 1 Các bài toán dãy sô ôn thi trong đề thi Olympic phần 1 pdf

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chương u: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CAC DE THI OLYMPIC 30-4 (Ta lan V dén lan IX) CÁC BAI TOAN VE DAY SO TRONG CAC Dé THI OLYMPIC 30-4 LAN V, NAM 1999 (4) - Cho dãy số tx} xác định bởi: x, Tinh = 474.4 kat 3! 7” —* (K+UI lim Ux? + xp + + Xtog9 Giải Vi Xe k + Xk = GT gyi 7% VkeN => X,¡;>X,>0,VkeN => Xio99 < Xp + X2 + , + Xieea < 1999.Xio99 => X1o99 < YX + XỔ + + Xlg99 < ¥1999.Xi999 Mặt khác, ta có: | k (k+D! (k+I-1 (k+D! k! (*) (k+D! =x, -(1-2)+(Z-2)+.+(32! 2! 3! k! ) (k+1)! (k +1)! => Xj999 = 1_ 2000! Dén day, thay xX,99, vao (*) ta duge: 1- mui Nhung vi: 42 < 8x? +x0 + + Xlo99 +e Nên ta suy ra: A (2) 20007 n¬+= lim tÍx? + x2 + + Xi n~+œ =l— 2000! _1_ 2000! Cho day sé {a,} théa BĐT: 2000 >a, +a,2+ +a, Vn 22 Chứng minh ring tén tai sé c cho a, > n.c, Vn Ee N Giải 1999 Ta có a, > a7, vn>2 2000 1999 => 199 > (n — 2)q? +q,, Vn >2 = lim a, = +0 no>+œ =3n,eN:a, >1, Vn>n, | l a a C =Min4—,a,,—2, ,—° n, Dat >a, 2nc, Vne {1,2, ,n,} Giả sử a, 2n.c, Vn n,) Ta có a2,,>a20 >a, +8, ¡+ +ay 1999 >[n+(n—-1)+ + lịc > nín +1) | In 3m89) 2n+1) >a,.,2n+De Vậy toán chứng minh 43 (3) Cho day sé {a,} dinh béi: a, = 1999 n+1 = —8n , Vn>0 l+a n Tìm phần nguyên a, (với 0< n 0,Vn >0, nên : A, — Ags, = 3n — a n ân Ita, => {a,} la day giảm >a, nth => a, n | =a, l+a >0,Vn>0 l+a a -— *- >a, l+a, (1) -1vn20 >a,,,>a,-(n+),Vn20 =a„,-¡ >4; -(n—-1),Vn >2 - = a,.¡ > 2000 - n,Vn >2 (2) Mặt khác ta lại có: - | a, =a,t(a, —a,)+(a,-—a,)+ +(a, -a,_,) = 1999 | a Oy l+a, = 1999 -n + l+a, a a 1g gp ld l+a, + l+a,-1 l+a, es l+a (3) n~1 Từ (1) (2) ta có : 0< l+a, + l+a, + -+ _ n n _"n_ gy “2001-—n ` 1998-—n ` Từ (3) (4), ta có : 44 lta,, < on +a, (vei aen |Aa.¡ — 8„8„,;| = 1,Vn = 5, a; =3,a; _ ao =lLa, =2, dãy số nguyên dương (1) {a„} thỏa a, = l,a, = 2,a, = 8a.¡ + an ;, Vn > Quả vậy: a n+1 -a,a n“n+2 =|(A, +A„)A, ~ Anse = la: + any) (a, = an ~ Ana) — Bast Bn-1 =1 VneN e Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh (1) dãy tăng | Qua vay: Ba» — 8a-3a,a| ” 1> + Anse= Bana, #1 Tu gid thiét quy nap: a, >a, >a, Ai ayant a,,,-2 n+1 ig 41 > an, * Dãy (1) xác định nhất, mà có giá trị Quả vậy, giả sử tồn n > 2, cho x a„.s,a'.„ với a,,; > a,,;¿ thỏa mãn cách xác định dãy, tức là: 8a‹-Snxa = anatl (trae = aaa -1 => a, (@ns2 ~ 8asa) =2 => 2:a, — Vơ lý (vì aạ >a; =3 >2) Tóm lại ta chứng minh dương: tổnt ại dãy nguyên a, =1,a; = 2,a, =3,a,; = 5,|a Đó dãy a, = 1,a; = 48- nel -a„,a n+2 =l;›;Vn>83 a2=a,;¡+a, ;,Vn>2 Tương tự ta chứng minh tồn dãy nguyên dương: a, =l,a; =2,a, =3,a, =4,la?.;—a,a,;¡|=1Vn>29 a, =la, =2,a, =5,a, =12,Ja”,, -a,a,,,;=1 Vn 2>2 a,=l,a,=2,a,=5,a, a? | —a,.a,,.,=1, = 13, Vn >2 Đó dãy (tương ứng): a, =la¡ =2,8,.¿ =22,¡—3„ VneN a, =1, a, =2,a,,, =2a,,,+a,, a, =1a,=2,a,,,= 3a,,,-8, Kết luận: (7) VneN VneN (2) (3) (4) Tén tai bon day số nguyên dương (1), (2), (3), (4) thỏa dé bai Cho day 86 (S,) v6i s n1 Chứng minh : lim 8, tổn tính giới hạn Ta có Giải : Sa = _ n+242* 2" ak n+2 n+l 2n+1) _ n+2(2' 2? Sar |otatet ae? ty n+2 nee 2"!|1 2n1 n+l „.n+2 n 2(n + 1) (S, +1) 2(n + 1) Tương tự : n+2 = n+3 n+ 2) n+1 ,+1)' 4) 49 - -Từ : Siw-8 n+2 _ (n+1(n+3)®,.¡+1)-(n +21, mỹ 2(n + 1(n +2) +1) _ (n’? +4n+3)(S,,,-5,)-S, -1 2(n + 1)(n + 2) _ Rõ ràng (S,} dãy lượng giác: Do limS, tổn Ký hiệu giới hạn nœ : Từ SST2(n TẾ (8, +D + 1) =s8=1(Đ+1) âS=1 now Bit rng bất đẳng thức: x74 x2 tt x?2 > (x, ‘ + Xy :tee + Xp)Xn thỏa mãn với số thực x¡,x¿ ,x„(n > 1) n Giải Giả sử bất đẳng thức XP tx + t XA (Ky + XQ te + Xe) Xp (1) thỏa mãn với số thực x;,xạ ,X„(n > 1) A Khi xảy với JX = XQ = x, = => (n— 1)+ >(n— 1)2 =lA f(x,)20, Vx,eR Vậy kết cần tìm n e {1,2,3, 4,5} Xác định số hạng tổng quát dãy số {u,}, biết u¡ =2 (uy = 9u) +3u,(n = 1,9,3 ) Giải Dat : | V,, = 3u,(n = 1,2, ) Ta có : V,=6 Vie = Vv; + 3V,, |X,;+x, =6 Chon x,, x, cho: xx, =-l 1^2 e Với n = 1, ta CĨ — : V, =6 =x, +X, _ =X, e« Vớin=k v3 1-1 + Xo 1-1 (keNÑ), ta giả sử V -x3 k-1 k =X; +X, kel 51 e Với n= k + 1, ta có : Viet = Vy 173 + 3V— =(xi v8 k-1 + Xo8 k-1 =x? gk +x; gk k =x v3 +X _ v3 +3(x} +38(x,x,) k~1 + X5 k-1 ak-1 — ak~l/ x +X: ak-1 |tÐ3|xi gk-1 gk -1 + k = (x,x,) & = -1) UP” = Theo nguyên lý quy nạp thì: _ V.=x Vậy: gn-l U, = Al +xý an-1 ,VneN _ vio)" +(- 0)" ] (vi x,, x, 1a nghiệm phương trình x2 ~ 6x - = 0) x,=1 Cho dãy {x} xác định sau : | Vn>1: X.u.i=|—X n+1 n Chứng minh dãy {x,} có vơ hạn số chẵn, có vơ hạn số lẻ (ký hiệu [x] phần nguyên x) Giải e Giả sử dãy {x„}” có hữu hạn số chắn, suy có số neN Dat: Ta suy : 52 cho x lẻ, Vk>n —-&, = 27H+1 lvú lo -N ] Xu,„=đ7B+l = x,.„ số chấn = Vơ lý Từ suy dãy cho phải có vơ hạn số chấn * Giả sử dãy {x„}” có hữu hạn số lẻ, suy có số neN cho x chấn, Vk>n Đặt xy =2°B [với re ‘| Ta suy ra: Xie = 3.2710 Xu,; = 3.2" 7B Xy,„ = 3” =x,,„ số lẻ = Vơ lý Từ suy dãy cho phải có vơ hạn số lẻ đ) Cho n số thực dương ai,A;, a„ >0 thỏa: (n>2) a, ta ,t ta, =1 Chứng minh ng : Ta có : 53 = 2, @,a,(1—a,) - (1 -a,)a; tO 22, = xa, + In JA0-a) (vi: —a;) 20 TH | Jajd-a) - _(ai~ a)[ /a,d ~a,) - Ja,d—a)| _ \a¡a;( _ - jaa (2) -a,)(1-a,) (a; -a,)"(1-a, -a,) ~ >0) ~ a;)| fa, —a,) + Jada) | Cho dãy {x } với Xị =a # -2 x n+l —_— = 3V2Xã +2 =2 E N 2x, + 2x? +2 Xét tính hội tụ dãy tìm giới hạn dãy (nếu có) tùy theo trường hợp a Giải Đặt BV2x* +2 +2-2 -2 f(x)= Va ~ ax + Vox? +2 +2 | g(x) = F(x) - x= ~2x? +(3—x)V2x? +2-2 2x + V2x? +2 (x ¥-1) Giải phương trình g(x)= ta hai nghiệm: x=l x=-7 Để ý rằng, khoảng (—œ,~7),(1,+œ) g liên tục khơng có nghiệm nên dấu củay khoảng không đổi Hơn nữa: e g(-8) = —128 + 11V130 - —16 + 4130 130 (130 _ 11) —————_—ễ——- 10 - 4130 `> ọ => g(x) > 0,Vx < -7 & f(x) > x, Vx < -7 g(2)= -10 + v10 vVi0+4 _ ` = g(x) 1 => f(x) < x,Vx >1 Dat : h(x) = f(x) -1,x #-1 _ 2V2x7 +2 ~2(x +1) Ox Ox? 42 Phuong trinh h(x)= có nghiệm x = Ly ludn tuong tu trên, ta suy h không đổi dấu khoảng (~l—1, 1), (1, +00) at a Hơn nữa: hí(0) = 2⁄2 =2 - 2/5 > hú) - 210 ~66_ v10 -3_ 4+^/10 ~ 2410 ~ => h(x) 0,Vx >-1 Dau “=” ©x=1 => f(x) >1,Vx > -2 Dau “=” o x=1 Dat : k(x) = f(x) - (-7) _14x-2+410V2x? +2 2x4+Aj2x 2+2 X”~ ¡ Phuong trinh k(x) = có nghiệm x = —7 Lý luận tương tự 1), ta giao k(x) không đổi dấu khoảng Hơn (—, -7),(-7, -1) kí-8) ~ 10150 =-114 H4 o kC6 =“ 4130 -16 -8886 V74 -12 > k(x) Từ suy x„> 1,Vn >2 (Dấu '=" © Kết hợp với 56 a= 1) (1) ta X„„¡ = Ế(x„) < xạ, Vn > (Dau “=” a =1) Vậy dãy {x } dãy giảm (nếu a = (x} dãy bị chặn Do dãy {x,} hội tụ Dé dang ching minh duge lim x, =1 b Néu X, = a

Ngày đăng: 23/12/2013, 12:17

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan