Chương u: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CAC DE THI OLYMPIC 30-4
(Ta lan V dén lan IX)
CÁC BAI TOAN VE DAY SO TRONG CAC Dé THI OLYM-
Trang 41999-n<a, <1999-n+1 (v6i2<n< 999) =>[(a,]=1999-n (với 2<n<999) Kiểm tra trực tiếp : | + a, = 1999 = [a,] = 1999 l+a, l+a, = 1999 — 1999 2000 1 2000 => a, =1998+ => [a,] = 1998
Vay [a,]=1999-n (v6i0<n<999) Cho các dãy số {a,}, {b,} théa: a, =3 b, =2 Ans = an + 2b? b,,1 = 2a,b, (va eN)
Trang 5Quả vậy : Giả sử |aj| >1 ta có : ol | |a,| = |aa? -a =2a? -1>|a| Bằng quy nạp, ta có : lana = |2a:a, — 8n] _= 2È0S0.cos nọ — cos(n — 1) = cos(n + 1)p + cos(n — 1)@ — cos(n - 1)œ = cos(n + 1)@ Do đó 8iooo = CoS 10009 = 0 © 10009 = 5 +kakeZ => Arogp = 0819999 = cos(20009 — 9) = cos(t + 2km — 9) =—COS@ = —a, Có bao nhiêu dãy số nguyên duong {a,} théa: = = 2 |_ a, = 1, a, = 2, An2-An — Anse] = 1 Giai Ta có sơ đồ xác định dãy: 5 3> a, -| 4 a, =1,a, =2,a, = 13 5 >a, = 12
Ta sé chứng minh tổn tại số dãy số nguyên dương thỏa dé bai Trước hết, ta chứng minh tồn tại duy nhất dãy nguyên dương thỏa:
Trang 648 -
_ ao =lLa, =2,a; =3,a; = 5, |Aa.¡ — 8„8„,;| = 1,Vn > 2 đó chính là dãy các số nguyên dương
{a„} thỏa a, = l,a, = 2,a, = 8a.¡ + an ;, Vn > 2 (1) Quả vậy: =|(A, +A„)A, ~ Anse a -a,a n+1 n“n+2 = la: + any) (a, ~ Ana) = an — Bast Bn-1 =1 VneN e Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được (1) là dãy tăng | + Qua vay: Ba» — 8a-3a,a| ” 1> Anse = Ban #1 a, Tu gid thiét quy nap: a, >a, >a, <a,,,—-1 + = a,,,2 att» ayant ig 41 1 a,,,-2 Boy n+1 => Ai > an, * Dãy (1) được xác định duy nhất,
Quả vậy, giả sử tồn tại n > 2, sao cho x duy mà có 2 giá trị a„.s,a'.„ với a,,; > a,,;¿ thỏa mãn cách xác định dãy, tức là:
8a‹-Snxa = anatl
(trae = aaa -1
=> a, (@ns2 ~ 8asa) =2 => 2:a,
— Vô lý (vì aạ >a; =3 >2)
Tóm lại ta đã chứng minh được tổnt ại duy nhất dãy nguyên dương:
a, =1,a; = 2,a, =3,a,; = 5,|a =l;›;Vn>83
Đó ấy chính là dãy a, = 1,a; = 2
Trang 7a2=a,;¡+a, ;,Vn>2 Tương tự ta cũng chứng minh được tồn tại duy nhất các dãy nguyên - dương:
a, =l,a; =2,a, =3,a, =4,la?.;—a,a,;¡|=1Vn>29 a, =la, =2,a, =5,a, =12,Ja”,, -a,a,,,;=1 Vn 2>2
a,=l,a,=2,a,=5,a, = 13,
a? | —a,.a,,.,=1, Vn >2 Đó cũng chính là các dãy (tương ứng):
a, =la¡ =2,8,.¿ =22,¡—3„ VneN (2)
a, =1, a, =2,a,,, =2a,,,+a,, VneN (3)
a, =1a, =2,a,,, = 3a,,,-8, VneN (4)
Kết luận: Tén tai bon day số nguyên dương (1), (2), (3), (4) thỏa dé bai
(7) Cho day 86 (S,) v6i s n1
Trang 8-Từ đó : _ (n+1(n+3)®,.¡+1)-(n +21, +1) mỹ 2(n + 1(n +2) _ (n’? +4n+3)(S,,,-5,)-S, -1 2(n + 1)(n + 2)
_ Rõ ràng (S,} là dãy lượng giác:
Do đó limS, tổn tại Ký hiệu giới hạn đó là 8 nœ : Siw-8 n+2 Từ và SST TẾ (8, +D 2(n + 1) =s8=1(Đ+1) 2 âS=1 now Biết rằng bất đẳng thức: 2 ‘ : x74 x2 tt x? > (x, + Xy tee + Xp) Xn thỏa mãn với mọi số thực x¡,x¿ ,x„(n > 1) thì n bằng 50 bao nhiêu Giải Giả sử bất đẳng thức XP tx + t XA 2 (Ky + XQ te + Xe) Xp (1) thỏa mãn với mọi số thực x;,xạ ,X„(n > 1) A 3 JX = XQ = Khi đó nó cũng xảy ra với x, = 2 => (n— 1)+ 4 >(n— 1)2 =l<n<ð
Đảo lại, giả sử 1< n <5, ta sẽ sẽ chứng minh rằng (1) được thỏa mãn với mọi bội số thực Xị,Xạ, ,X„ ˆ |
Trang 10e Với n= k + 1, ta có : 173 Viet = Vy + 3V— 3 k-1 k-1 k~1 k-1 =(xi v8 + Xo 8 +3(x} v3 + X5 3 gk gk ak~l/ ak-1 — ak-1 gk-1 gk -1 =x? +x; +38(x,x,) x +X: |tÐ3|xi + k k _ v3 3 =x +X & (x,x,) = UP” = -1) = Theo nguyên lý quy nạp thì: _ gn-l an-1 V.=x +xý ,VneN Vậy: U, = Al _ vio)" +(- 0)" ] (vi x,, x, 1a nghiệm của phương trình x2 ~ 6x - 1 = 0) x,=1 | Cho dãy {x } xác định như sau : 2 Vn>1: X.u.i=|—X n+1 2 n Chứng minh rằng dãy {x,} có vô hạn các số chẵn, có vô hạn các số lẻ (ký hiệu [x] là phần nguyên của x) 52 Giải
e Giả sử dãy {x„}” chỉ có hữu hạn các số chắn, suy ra có ít nhất một số neN sao cho x lẻ, Vk>n
-N
Dat: —-&, = 27H+1 lvú lo ]
Trang 11Xu,„=đ7B+l
= x,.„ là số chấn = Vô lý
Từ đó suy ra rằng dãy đã cho phải có vô hạn các số chấn
Trang 122, @,a,(1—a,) - (1 -a,)a; = tO 22, xa, —a;) = + 20 In TH | JA0-a) Jajd-a) - _(ai~ a)[ /a,d ~a,) - Ja,d—a) | _ \a¡a;( -a,)(1-a,) (vi:
_ (a; -a,)"(1-a, -a,)
- jaa ~ 8 ~ a;)| fa, —a,) + Jada) | >0) (2) Cho dãy {x } với Xị =a # -2 và 2 —_— n+l = 3V2Xã +2 =2 vn E N 2x, + 2x? +2
Xét tính hội tụ của dãy và tìm giới hạn của dãy (nếu có) tùy theo trường hợp của a
x
Trang 13Giải BV2x* +2 -2 +2-2 ax + Vox? +2 +2 | ~2x? +(3—x)V2x? +2-2 F(x) - x= (x ¥-1) 2x + V2x? +2 Giải phương trình g(x) = 0 ta được hai nghiệm: x=l x=-7
Để ý rằng, trên mỗi khoảng (—œ,~7),(1,+œ) thì g đều liên tục và không có nghiệm nên dấu củay trên mỗi khoảng này không đổi Hơn nữa: Đặt f(x) = Va ~ g(x) = —128 + 11V130 - 2 —16 + 4130 130 (130 _ 11) ọ —————_—ễ——- `> 10 - 4130 => g(x) > 0,Vx < -7 e g(-8) = & f(x) > x, Vx < -7 -10 + v10 _ vVi0+4 ` = g(x) <0,Vx >1 g(2) = => f(x) < x,Vx >1 Dat : h(x) = f(x) -1,x #-1 _ 2V2x7 +2 ~2(x +1) Ox 4 Ox? 42
Phuong trinh h(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 Ly ludn tuong tu như trên, ta suy ra h không đổi dấu trên mỗi khoảng (~l —1, 1),
(1, +00) Hơn nữa:
Trang 1456 hí(0) = 2⁄2 =2 - 2/5 > 0 hú) - 210 ~6 6_ v10 -3_ 4+^/10 ~ 2410 ~ => h(x) 2 0,Vx >-1 Dau “=” ©x=1 => f(x) >1,Vx > -2 Dau “=” o x=1 Dat : k(x) = f(x) - (-7) _14x-2+410V2x? +2 ¡ 2x4+Aj2x 2+2 7 X”~
Phuong trinh k(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = —7
Trang 15(Dau “=” a =1)
Vậy dãy {x } là dãy giảm (nếu a = 1 thì (x} là dãy hằng và bị
chặn dưới Do đó dãy {x,} hội tụ
Dé dang ching minh duge lim x, =1
Trang 16—1889|1- 1 ) run Uy; >UuUy>1, VneN Hơn nữa :
=> {u,} la day don điệu tăng
Trang 17—- [(2p - 1p + 1].[(2p ~— 2)\(p + 2) (2° _ = "|: + = ‘| = [o-1j]Jse~2.J| 2 th (mod p’) => (p+1(p+2) 2p-Ds(p-D! (modp’) _ (p+ 1p + 2) (2p - 2)(2p - 1) => cpl 2p-1 = (p-D! w 2 —T)! HE To (với me Z2) 2 =_—E +1 (p-1)! mp?
DDI Cho-1 —1 1a s6 nguyén p-1)!
Trang 18đ5 Cho dãy số dượng U, Ups U, , : ? 1999 thỏa mãn các điều kiện: Uy = Ujgg9 = 1 (1) u¡ =2§u, ¡ —u¡,¡ ; 1 = 1,3, ,1998 (2) Chứng minh rằng : a 1 <u, < 4;VI = 1,2, ,1999 # s — — — b Uy =Ujaga,Uy = Uiạeg, , Hoạa = iọoo C U, < Uy < < Uggg Giải
a) Dat a= Maxu,p= Minu; (a,B > 0) r=0,1999 i=0,1999
Néu o =B6 thiu, =u, = = Ujgog ° 1 1999 = 1, nhung diéu kién (2) cho ta L 60 thấy điều này vô lý Như vậy œ >B Mặt khác theo định nghĩa, ta có : | a >u, > B,i = 1,1999 >a2>12>B (3) Néu B =u, (k € {1,2, 19998}), theo (2) thì B =uy = 2@u,_¡.Uy,¡ > fp? = j > 160? =B>4 = Vô lý (vì mâu thuẫn với (3))
Như vậy 6 # u,, Vk = 1,998
Suy ra B =u, = Ujgg9 = 1
Vậy ta đã chứng minh được u > 1,Vi = 0,1999,
Do ơ > = 1 nên ta có œ =uy nào đó
(với k e {1,2, ,1998})
Trang 19b) c) _ mœ<4 ¬ | * Nếu như œ = 4 thì u,; =uy,¡ =4 Tương tự dãy liên tiếp (2) ta SU TA: U, = Uy = Ug = = Ujggg = 4 Diéu nay mau thuẫn với giả thiết (1), suy ra œ< 4 Điều đó có nghĩa là u, < 4, Vi = 0,1999 Tóm lại ta đi đến kết luận rằng: 1<u, <4,Vi =0,1999 Dễ dàng chứng minh được rằng dãy số thỏa (1), (2) là duy nhất
Xét dãy Uuạoa; Uyasg, , Uy, U,
Rõ ràng dãy này cũng thỏa mãn điều kiện (1) va (2) Do tính duy nhất suy ra:
U, = 1999, U, = Ujggg, -, Uggg = Uyo00
Theo điều kiện (2), ta suy ra :
= 94
Uggg = 24/Uggg -Uy 990
Trang 2062 Ộ uo, =e Dy Un eR 2000 Vì u, = 2 nên ta có : _2=u;<u;¿< <u, <
có nghĩa rằng {u,} là một dãy tăng Giả sử dãy này bị chặn trên, lúc đó tổn tại L e[2,+œ) sao cho lim U, = L 2 Từ đó : p= +1999L 2000 L=0 => L=1-:
Điều này vô lý (vì L > 2)
Như vậy dãy {u_} cũng bị chặn trên Do đó : lim u„ = +œ
Mặt khác, cũng từ giả thiết :
Hc us + 1999u,,
net 2000
=> u, (u, -1)= 2000(u„.; — u,)
Unk u,(u, -1) _ 2000(u,,, - u,)
Trang 23>C,¢€Z, VkeN n=0 a — 1 là số chính phương © n 2g em P n6 ° nguyên dương lẻ Cho ae (93) Tìm n lim (cos? Ñcosœ + sin? œÑsin ot) n+œ Đặt : Giải X, = cos2 cosœ + sin? œÑsinœ,n eN = X„ —> L khi n —>+œ Inx, X, 7 —> 1,khi n — +œ 0<x,<l,VneN Để ý : y In +3) i khi x 0 x ‘ “` n(x, - 1) Ñcosơ — Ï s_ Đsinơ —Ì n(x, — 1) = cos°œw——————— + siỉn? œ 1 1 n n +> cos?alncosa+sin?alnsina ©
(vi lim n(¥x -1) = Inx (với x> 0)) n>+0
=> (x,)" > (cos a)" (sin a)"
Trang 24(a9) Cho day sé {un} véi: n+ u,éeN Uns = +1n(1+u?)-1999, n>1 2 Chứng minh rằng dãy {u,} hội tụ 66 Giải Ta có Í(x) = sin(1 + x?)- 1999 là hàm số khả vi trên R và f(x) x 11 =1 “| g3 (vxeR) Mặt khác, đặt: mm g(x)=x+ 1989 ~ —In(1+ x’) = x — f(x) thi g cing kha thi trén R va g(x) = 1- 7 >0 (vxeR) Hơn nữa: g(0).g(- 1999) = = = 199?) <0 Từ đó suy ra tồn tại L c (—1999,0) sao cho: g(L)=0 ©f(L)=L
Ap dụng định ly Lagrange, ta cé ce R sao cho:
Trang 25
Cho l eN
n23