CÁC bài TOÁN dãy số ôn học SINH GIỎI

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CÁC BÀI TỐN DÃY SỐ ÔN HỌC SINH GIỎI SƯU TẦM Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi CÁC BÀI TỐN DÃY SỐ ÔN HỌC SINH GIỎI PHẦN u1  Tìm số hạng tổng quát dãy  un  :  * un 1  3un   n   Lời giải Cách Từ hệ thức truy hồi ta có dãy hệ thức sau: un  3un 1  2; 3un 1  32 un   2.3; 32 un   33 un 3  2.32 3n  u2  3n 1 u1  2.3n  Bài  un  3n 1 u1  1   32   3n 2   3n 1  3n 1   2.3n 1  1 Cách Đặt 1  un 1   cho 1  3vn  1  un 1    3un     3vn   un       Vậy   cấp số nhân có công bội q  v1  u1     v1 3n 1  2.3n 1  un    2.3n 1  u1  Cho dãy số  un  xác định công thức  u  u  6, n  n 1  n Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Lời giải Ta xét un  a   un 1  a   un  5un 1  4a Bài 3  Vậy un  5un 1   un    un 1   2  Kết hợp với đề  4a   a  3  v1  u1    5vn 1 2 Suy dãy số   cấp số nhân có v1  cơng bội q  7   v1.q n 1   5n 1  un    5n 1  2 2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  5n 1  2 Đặt  un  un  un 1  2u  , n  n Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  xác định  u   Lời giải Ta có u1  , quy nạp ta un  Từ giả thiết suy *  2 un 1 un Các toán dãy số ôn học sinh giỏi Đặt  , ta 1  3vn  với v1  un (*) Đặt zn   , (*) trở thành zn 1  3zn với z1  Như  zn  cấp số nhân có cơng bội z1  nên zn  z1.3n 1  3n Suy  zn   3n 1 Vậy dãy số  un  có un  , n 1 * n un 1  un  n3  2, n  Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  xác định  u1  Lời giải Theo đề ta có un 1  un  n   un 1  un  n3  * Thay n 1, 2, , n  cộng  n  1 đẳng thức ta  n  n  1  un  u1    i        n  1 i 1   n 1  n  n  1  Vậy un     2n   un 1  3un  n  1, n  Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  xác định  u1  Lời giải Đặt g  n   an  bn  c  un  g  n   a, b, c   với 1  3vn * Khi 1  3vn  un 1  g  n  1   un  g  n    3un  n   g  n  1  3un  3g  n   n   a  n  1  b  n  1  c  3an  3bn  3c   a  1 n   2a  b  n   a  b  c  3an  3bn  3c a   3a  a  b    Nên 2a  b  3b c  1  a  b  c  3c  1 Do ta g  n   n  n  2 1 1  Như  un  n  n   un    n  n  1 2 2  un 1  3un  n  1, n   u1  *  vn 1  3vn , n    v  u  g     1  Suy  3n 1.v1  4.3n 1 1 Vậy un  4.3n 1  n  n   4.3n 1   n  n   2 Các toán dãy số ơn học sinh giỏi Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức truy hồi u1  a)  un  un 1  6n  2n, n  u1  b)  un 1  3un  4n  2, n  u1  c)  un1  9un  8n  14n  1, n  Lời giải a) Theo đề suy u1  u2  u1  6.22  2.2 u3  u2  6.32  2.3 u4  u3  6.42  2.4 … un  un 1  6.n  2.n Cộng n đẳng thức theo vế ta un    22  32   n       n   un   12  22  32   n   1     n    un  1  n  n  1 2n  1  n  n  1  2n3  2n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  2n3  2n  b) Từ đề suy f  n   4n  đa thức bậc ẩn n nên ta xét đa thức g  n   an  b cho un 1  g  n  1  un  g  n    un 1  a  n  1  b  3un  an  b   un 1  3un  2an  2b  a  2a  a  Mà un 1  3un  4n  nên ta phải có 2an  2b  a  4n     2b  a  2 b  Do un 1   n  1  un  2n  Đặt  un  2n  v1  u1   1  3vn Suy   cấp số nhân có v1  , cơng bội q    v1.q n 1   3.3n 1  3n mà  un  2n  un  3n  2n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  3n  2n c) Từ đề suy f  n   8n  14n  đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức g  n   an  bn  c cho un 1  g  n  1  un  g  n    un 1  a  n  1  b  n  1  c  un  an  bn  c   un 1  9un  8an   8b  2a  n  8c  b  a Mà un 1  9un  8n  14n  nên ta phải có Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi 8a   8an   8b  2a  n  8c  b  a  8n  14n   8b  2a  14 8c  b  a   1  a  1, b  2, c  suy g  n   n  2n  2 1   un 1   n  1   n  1   un  n  2n   2  17 Đặt  un  n  2n   v1  u1   1  9vn 2 17 Suy   cấp số nhân có v1  , công bội q  17 17   v1.q n 1   9n 1  32 n 2 mà  un  n  2n  2  17   un    n  2n    32 n 2  n  2n  2 2  17 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  32 n 2  n  2n  2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức truy hồi u1   un 1  un  2n  n, n  Lời giải Theo đề  q    , bậc f  n   bậc g  n  Xét g  n   an3  bn  cn  d cho un 1  g  n  1  un  g  n   un 1  a  n  1  b  n  1  c  n  1  d  un  an3  bn  cn  d  un 1  un  3an   3a  2b  n   a  b  c  Mà un 1  un  2n  n nên ta phải có 3a   3an   3a  2b  n   a  b  c   2n  n  3a  2b  a  b  c   5  a   , b  , c    g  n    n3  n  n 6 Do un 1  g  n  1  un  g  n  Đặt  un  g  n   v1  u1  g 1      1  Suy   cấp số nhân có v1  , công bội q    v1.q n 1  3 n  n  n 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số un  n3  n  n  Mà  un  g  n   un   g  n   Các toán dãy số ơn học sinh giỏi Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức truy hồi u1   un 1  2un  n  3n  1, n  Lời giải Theo đề  q  2,   , bậc f  n  suy bậc g  n  Xét g  n   an  bn  c cho un 1  g  n  1  un  g  n    un 1  a  n  1  bn  c  un  an  bn  c   un 1  2un  an   b  2a  n  c  a a  a    Mà un 1  2un  n  3n  nên ta phải có b  2a  3  b  1 c  a  c     g  n   n  n  un 1  g  n  1  un  g  n   Đặt  un  g  n   v1  u1  g 1  1  2vn Do   cấp số nhân có cơng bội q  nên  v1.q n 1  2.2n 1  2n  un   g  n   2n  n  n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  2n  n  n  u1  Tìm số hạng tổng quát dãy  un  :  * un 1  un  2n   n   Lời giải n  Cho n chạy từ đến hệ thức truy hồi cộng hệ thức lại ta Bài un  u1   n  1   n        n   n  n  1  n    n  1  u1  Tìm số hạng tổng quát dãy  un  :  un 1  2un  3n   n  Lời giải Cách Từ hệ thức truy hồi ta suy Bài 10 *  un  2un 1  3n  1; 2un 1  22 un    3n   n 2 u2  n 1 u1  n 2.5  un  2n 1 u1  S  2n  S với S  3n    3n    22  3n     5.2 n 1  2S   3n  1  22  3n     8.2n   5.2n 1  S  3.2  3.22   3.2n   5.2n 1  3n   1    n 3   5.2 n 1  3n    2n   1  5.2n 1  3n   8.2n 1  3n   4.2n  3n   un  5.2n  3n  Chú ý: lời giải ta tính tổng tích số hạng tương ứng cấp số cộng cấp số nhân Cách Đặt  un  an  b cho  2vn 1   un  an  b  2un 1  3n   an  b  un 1  a  n  1  b   a  3, b  Có v1  u1  3.1   10   un  3n   v1.2n 1  10.2 n 1  5.2 n  un  5.2n  3n  10 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Chú ý: lời giải ta tính tổng tích số hạng tương ứng cấp số cộng cấp số nhân - Cách 2: Đặt  un  an  b cho  2vn 1   un  an  b  2un 1  3n   an  b  2(un 1  a(n  1)  b)  a  3; b  Có v1  u1  3.1   10   un  3n   v1.2n 1  10.2 n 1  5.2 n  un  5.2n  3n  Bài 11 Bài 12  x0  Tìm số dạng tổng quát dãy ( xn ) xác định bởi:   xn 1  15 xn  14n  Bài giải: Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng xn 1  15 xn Ta có f (n)  14n  đa thức bậc nhất,   15  nên nghiệm riêng có dạng xn*  an  b Thay vào phương trình cho ta được: a (n  1)  b  15(an  b)  14n  Suy a  1, b    Vậy xn*  n x n  C.15n (với C số) nghiệm tổng quát là: x n  C.15n  n , mà x0  nên C  Vậy phương trình có nghiệm: xn  7.15n  n Bài 13  x0  99 Giải phương trình sai phân:   xn 1  xn  2n  Bài giải: Ta có: f  n   2n  đa thức bậc nhất,   nên ta chọn x *n  n  an  b  Thay vào ta được:  n  1  a  n  1  b   n  an  b  – 2n –1   a  1; b   x *n  n ; x n  C.1n  C  xn  C  xn  C – n , mà x0  99  C  99 Vậy phương trình có nghiệm: xn  99 – n Bài 14 u1  Tìm số hạng tổng quát u n dãy  un  xác định:  n u  u  3.4 n  n1 Hướng dẫn giải 11 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Theo đề ta có: un 1  un  4n  un 1 – un  4n Thay n 1, 2,, n –1 cộng  n –1 đẳng thức ta được: 4n1  un – u1  3  3.4  4n – i 1 n 1 i Vậy ta được: un  4n –1 Bài 15 u1  Tìm số hạng tổng quát u n dãy  un  xác định:  n u  u  5.3 n  n 1 Hướng dẫn giải Ta thấy a    nên ta đặt  un  An.3n với 1  3vn Với 1  3vn  un 1  A  n  1 3n 1   un  An.3n   3un  5.3n  A  n  1 3n 1   un  An.3n   5.3n  A  n  1 3n 1  An.3n   A  n  1  An Suy ra: A   5 Ta được:  un  n3n  un   n.3n 3 u1  v1    Khi  n v  v u  u  5.3 n  n  n  n  Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân ta  3n –1 Vậy ta un  3n –1  n.3n  1  5n  3n –1 Bài 16 u1  Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) :  n 1 un1  3un  (n  Giải: * ) - Cách 1: Theo giả thiết ta có: un  3un 1  2n ;3un 1  32 un   2n 1.3; 3n  u2  3n 1 u1  2.3n  32 3n 2  un  u1  (1     n 2 )  3n 1  4(3n 1  2n 1 )  5.3n 1  2n 1 2 n 1 n Chú ý: Trong lời giải ta tính tổng tích số hạng tương ứng hai cấp số nhân 12 Các toán dãy số ôn học sinh giỏi - Cách 2: Đặt  un  k 2n với  3vn 1  3un 1  2n  k 2n  3(un 1  k 2n 1 )   2k  3k  k   un  2.2n   v1.3n 1  5.3n 1  un  5.3n 1  2n 1 Bài 17   x0  Giải phương trình sai phân:  n   xn 1  xn  (n  Bài giải: * ) Do      nên ta chọn x *n  d 3n Thay vào phương trình cho d   x *n  3n  Ta có x n  C.2n , xn  C.2n  3n , mà x0  nên C  Vậy phương trình cho có nghiệm xn  7.2n  3n Bài 18   x0  101 Giải phương trình sai phân:  n 1   xn 1  xn  (n  Bài giải: * ) Do     nên ta chọn x *n  d n.3n Thay vào phương trình cho d   x *n  n.7 n Ta có x  C.7 n , xn  C.7 n  n7 n , mà x0  101 nên C  101 Vậy phương trình cho có nghiệm xn  101  n  n Bài 19 Có    x0   Giải phương trình sai phân:  n  2.xn 1  xn  sin (n  Bài giải: * ) n n n nên ta chọn xn  A cos ; f  n   sin  B sin 4 Thay xn vào phương trình trên, biến đổi so sánh hệ số ta A  1; B  suy xn  cos n n     Ta có x n  C    xn  C    cos  2  2  n n Thay vào điều kiện biên x0  ta C  Vậy phương trình cho có nghiệm xn  cos n 13 Các toán dãy số ôn học sinh giỏi u1  Cho dãy số  un  xác định công thức:  Hãy tìm số hạng n u  u  n   2.5 ; n  n  n 1 tổng quát dãy số Giải Bài 20 Theo đề suy u1  u2  u1  3.1   2.51 u3  u2  3.2   2.52 un  un 1   n  1   2.5n 1 Cộng n đẳng thức theo vế suy un   1      n  1    n  1  51  52  53   5n 1  Trong      n  1   n  1 n Và tổng A  51  52   5n 1 tổng n  số hạng đầu cấp số nhân có số hạng thứ a1  , công bội q   A  Sn1  a1 un  q n 1  5n 1 5n  A    1 q 4 4 n  1 n  5n    2n3 2       3n Vậy số hạng tổng quát dãy số un  Bài 21  5n   5n  3n  5n   5n   Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức truy hồi  u1   n  un  un 1   n  3 ; n  Giải Cách Theo đề suy u1  u2  u1    3 22 u3  u2    3 23 14 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Đặt S n  a1  a2   an Chứng minh S n  số phương Hƣớng dẫn giải S1  a1  1.2.3 S  a1  a2  1.2.3  2.3.4  2.3.5 S3  a1  a2  a3  2.3.5  3.4.5  3.5.6 1  S1  1.2.3.4, S2  2.3.4.5, S3  3.4.5.6 4 Giả sử Sk  k  k  1 k   k  3 , k  (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh Sk 1   k  1 k   k  3 k   Thật vậy, theo đề  Sk 1  Sk  ak 1  Sk   k  1 k   k  3 Theo giả thiết quy nạp  Sk 1  k  k  1 k   k  3   k  1 k   k  3  Sk 1   k  1 k   k  3 k   Theo nguyên tắc quy nạp suy Sn  n  n  1 n   n  3  4Sn   n  n  1 n   n  3    n  3n  n  3n     4Sn    n  3n    n  3n     n  3n  1 2 Và n  *  n  3n  1 Vậy S n  số phương Nhận xét: Trong giải tập dãy số nêu ta thấy cách biến đổi đa dạng, đội có phép biến đổi khéo khơng tự nhiên Nhưng việc tính tốn số phần tử đầu dãy số sau dự đốn chứng minh theo phương pháp quy nạp xem tốt MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƢƠNG CỦA DÃY TUYẾN TÍNH CẤP HAI Trần Ngọc Thắng – THPT Chuyên Vĩnh Phúc I LÝ THUYẾT Công thức tổng quát dãy  un  thỏa mãn un   aun 1  bun  c Trƣờng hợp 1: a  b  Ta có un   aun 1  bun  c  un   1  a  un 1  un 1  1  a  un  c Đặt  un 1  1  a  un ta 1   c Từ ta  v1   n  1 c, n  1, 2, suy un 1   a  1 un  v1   n  1 c Do un 1   a  1 un  v1   n  1 c  a  1 un   a  1 un1  v1  a  1   a  1 n   c 2  a  1 un1   a  1 un2  v1  a  1   a  1  n  3 c 192 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi …  a  1 n 1 u2   a  1 u1  v1  a  1 n n 1   a  1 n 1  n  1 c Cộng vế đẳng thức ta được: n 1 n 1 n k k un 1   a  1 u1  v1.  a  1  c.  a  1  n  k  1    k 0 k 0 Trƣờng hợp 2: a  b  Đặt un  xn   , ta chọn  cho dãy số  xn  dãy tuyến tính cấp hai Ta có un   aun 1  bun  c  xn     a  xn 1     b  xn     c Để dãy số  xn  tuyến tính ta chọn  cho    a   b  c    c 1 a  b Khi ta xn   axn 1  bxn , n  1, 2, Xét phương trình đặc trưng: t  at  b  (1) +) Nếu phương trình (1) có hai thực phân biệt t1 , t2 xn  A.t1n  B.t2n , A, B số tính theo số hạng x1 , x2 +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép t1  t2  t0 xn   A  Bn  t0n , A, B số tính theo số hạng x1 , x2 +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phức x  yi xn  r n  A cos n  B sin n  , A, B số tính theo số hạng x1 , x2 r  a  b ,  arcgument x  yi Tính chất dãy tuyến tính cấp hai Xét dãy số  un  xác định bởi: un   aun 1  bun , n  1, 2, Ta có un   bun un 1  bun 1   un  un   bun   un 1  un 1  bun 1  un 1 un  unun   un21  b  un 1un 1  un2     b  Do dãy  un  thỏa mãn unun   un21 u u  u    b   u u  u  n 1 n 1 2 2 Đây tính chất quan trọng dãy tuyến tính cấp hai, tính chất thường sử dụng chứng minh đẳng thức liên quan đến số hạng dãy tính chất số học dãy Phƣơng pháp thƣờng dùng để chứng minh f  un  số phƣơng,  un  thỏa mãn un   aun 1  bun  c Để chứng minh dãy số  bn  thỏa mãn bn số phương với số nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: Hƣớng 1: Ta tồn dãy số nguyên  cn  thỏa mãn bn  cn2 , n  Dãy số  cn  thường dự đốn cách tính số giá trị đầu c1 , c2 , tìm quy luật dãy  cn  Hƣớng 2: Ta chứng minh bn bn  số phương với số tự nhiên n , sau chứng minh quy nạp Hƣớng 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính bn  cn2 II MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài 18 Cho dãy số  an  : a0  1, a1  2, an   4an 1  an , n  Chứng minh rằng: a) an  số phương với n lẻ 193 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi an  số phương với n chẵn Hƣớng dẫn giải a) Cách 1: Ta dự đoán dãy số  cn  cho a2 n 1   cn2 , ta có a1  2, a3  26, a5  362, a7  5042 b) suy c0  1, c1  5, c2  19, c3  71 Khi ta thử thiết lập quan hệ truy hồi dãy  cn  theo dãy tuyến tính cấp 2, giả sử cn   acn 1  bcn từ c0  1, c1  5, c2  19, c3  71 ta 5a  b  19 a  Do ta dự đốn dãy số  cn  là:   19a  5b  71 b  1 c0  1, c1  5, cn   4cn 1  cn , n  0,1, 2, Ta chứng minh quy nạp a2 n 1   cn2 1 , n  0,1, 2, Thật (1) với n  , giả sử (1) đến n  , ta chứng minh (1) đến n  Ta có a2 n 3   4a2 n   a2 n 1    4a2 n 1  a2 n   a2 n 1   16a2 n 1  4a2 n  a2 n 1   15a2 n 1   a2 n 1  a2 n 1    14a2 n 1  a2 n 1   14  cn2  1  cn21    12cn2  cn21  12 (2) Theo hệ thức dãy tuyến tính cấp ta được: cn 1cn 1  cn2  6   4cn  cn 1  cn 1  cn2  6  cn2  cn21  4cn cn 1   (3) Ta có cn21   4cn  cn 1   16cn2  8cn cn 1  cn21  16cn2   cn2  cn21    cn21  14cn2  cn21  12   Từ (2) (4) suy a2 n 3   cn21 Do ta chứng minh (1) đến n  suy (1) Cách 2: Ta có an  an  an21  3, n  Từ hệ thức ta được:  an  1 an  1  an an  an  an   an21   4an1    an1   (5) Từ hệ thức (5) phương pháp quy nạp suy an  số phương với số nguyên dương lẻ n b) Ta chứng minh theo hướng sau: an   an  an  an  an   an  an21  4an 1   an 1       6 36 36   a 1 Từ đẳng thức phương pháp quy nạp suy n số phương Ta có 194 Các tốn dãy số ôn học sinh giỏi I Các định nghĩa định lí Định nghĩa 1: *) Ta nói dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn a với   , tồn số tự nhiên N (phụ thuộc vào dãy số xn  ) cho với n  N ta có xn  a   lim xn  a    0,  N  : n  N : xn  a   *) Ta nói dãy số  xn  dần đến  với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N (phụ thuộc vào dãy số xn M cho với n  N , ta có xn  M lim xn    M  0, N  : n  N : xn  M Tương tự, lim xn    P  0, N  : n  N : xn  P Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn hữu hạn dần đến vô (   ) gọi dãy phân kì n 1 Ví dụ 1: Chứng minh lim  n 1 Bài giải: n 1 Với   , xét bất phương trình     * n 1 Có n 1 2 1       n  1 n 1 n 1  2 Nếu chọn n0      * ln n  n0 , n0     Tính chất dãy có giới hạn vơ cực: 1) Nếu lim un   lim  un 2) Nếu lim un  , lim   lim un   , dấu   chọn theo quy tắc nhân dấu thông thường 3) Nếu lim un  , lim  L  lim un   , dấu   chọn theo quy tắc nhân dấu thông thường 4) Nếu lim un  L  0, lim    có dấu xác định kể từ số hạng trở lim un   dấu   chọn theo quy tắc chia dấu thông thường 5) Nếu lim un  , lim  L lim  un     Định lí Mọi dãy hội tự có giới hạn Chứng minh Ta thấy a1 , a2  a1  a2   Khi với  dương nhỏ tùy ý cho trước a1  a2 Thật vậy, a1  a2 ta chọn   a1  a2 Giả sử lim un  a1 , lim  a2 Khi   : x   a1  a2   , mâu thuẫn x  n : n  n1 : un  a1   n2 : n  n2 : un  a2   195 Các toán dãy số ôn học sinh giỏi Đặt n0  max n1 ; n2  có: a1  a2  a1  un  un  a2  un  a1  un  a2      Theo nhận xét lim un  a1  a2 x  Định nghĩa (Dãy con)  un  Cho dãy số thực u   u nk n1  nk  dãy số nguyên dương cho n1  n2   nk  Dãy  , un2 , , unk , gọi dãy dãy  un  Ta ý n1  1, n2  n1   n2  , tương tự ta có nk  k , k  * Dãy  un  dãy với nk  k Định lí Mọi dãy dãy hội tụ dãy hội tụ có giới hạn dãy Chứng minh Giả sử lim un  a , theo định nghĩa ta có:   0, n0 : n  n0 : un  a   x    dãy  u  Khi k  n , ta có n Cho unk n k  k  n0 nên unk  a    lim unk  a k  Định lí (Tổng, hiệu, tích, thương dãy hội tụ) Nếu  xn  ,  yn  dãy hội tụ có giới hạn tương ứng a , b dãy số  xn  yn  , x  a ,  n  hội tự có giới hạn tương ứng a  b , a  b , a.b , (Trong b  yn  trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn  b  0)  xn  yn  ,  xn yn  Chứng minh: - Trường hợp lim  xn  yn   a  b Có limxn  a nên     0, n1 cho n  n1 xn  a   1   2 2 Đặt n0  max n1 , n2  n  n0  (1), (2) thỏa Khi n  n0 : limvn  b nên   0, n2 cho n  n2 yn  b   xn  yn   (a  b)  xn  a  yn  b        lim  xn  yn   a  b - Trường hợp lim  xn  yn   a  b ta chứng minh tương tự trường hợp lim  xn  yn   a  b  xn  yn   (a  b)  xn  a  b  yn        lim  xn  yn   a  b - Trường hợp lim  xn yn   ab Có limxn  a nên  e  , n1 cho n  n1 xn  a   limvn  b nên  e  , n2 cho n  n2 yn  b  e  3  4 Đặt n0  max n1 , n2  n  n0  (3), (4) thỏa Khi n  n0 :  xn  a  yn  b    xn yn  ab  xnb  yn a  2ab   xn yn  ab  xnb  yn a  2ab  xn yn  ab  xn yn  ab       đpcm 196 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi x  a - Trường hợp lim  n   , ( yn  0, b  0) , ta chứng minh tương tự trường hợp lim  xn yn   ab  yn  b  1   xn a  xn a 2a x a x x a a 2a          n  n   n yn b b yn b yn b  yn b   yn b  b yn b  xn  a    xn a        đpcm yn b Ví dụ Tìm lim un với un  2n3  4n  3n  n3  5n  Giải 3 2   n n n Ta có: un  1  n n 3  lim      lim  lim  lim 32  lim 33 n n n   n n n  22 Suy ra: lim un   7  lim1  lim  lim lim 1    n n  n n  Vì với k   , ta có: lim  nk 1   Do chọn n0   k    k bất đẳng thức k   n  n0 hay lim k  n n    Định lí Giả sử lim un  L Khi đó: a) lim un  L lim un  L b) Nếu un  0, n L  lim un  L Định lí (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức)  xn  Cho dãy số có giới hạn hữu hạn ; N  cho n  N , ta có a  xn  b  a   b Định lí (Định lí kẹp) Cho ba dãy số N   xn  ,  yn  ,  zn  , : n  N ta có  xn   zn  có giới xn  yn  zn Khi  yn  có giới hạn L hạn hữu hạn L , Chứng minh: Ta chứng minh kết luận định lí cho trường hợp L  Vì lim un  nên   0, tồn n1 cho n  n1 : un   , tức   un   Tương tự, tồn n2 cho n  n2 : w n   , tức   w n   Như vậy, n  n0  max n1 , n2  ta có   un  v n  w n   Theo định nghĩa, ta có lim  Hệ 1) Nếu un  c , n lim un  c (nếu giới hạn tồn tại) 2) Nếu un  n lim  lim un  197 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Ví dụ Chứng minh q  lim q n  Giải Đặt a  n  Áp dụng bất đẳng thức Bernoilli, ta có: a n  1  a  1   n(a  1)  q Suy  1   n a  n  a  1 n  a  1 Mà lim  lim 1 n  nên theo định lí có lim n  hay lim q   lim q n  n  a  1 a Định lí Mọi dãy số hội tụ bị chặn Chứng minh: Giả sử  xn  hội tụ limx n  L Theo định nghĩa, với   , N cho n  N 1  xn  L   L   xn  L      Đặt M  max x1 , x2 , , xN0 , L  , m  x1 , x2 , , xN0 , L  ta có: m  xn  M n  1, 2,3, Suy  xn  bị chặn Định lí Một dãy tăng không nghiêm ngặt (knn) bị chặn hay dãy giảm knn bị chặn hội tụ Ngắn gọn hơn, dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ a) Nếu dãy  xn  tăng knn có giới hạn L ta có xn  L n Định lí b) Nếu dãy  xn  giảm knn có giới hạn L ta có xn  L n Chứng minh Ta cần chứng minh a), b) hoàn toàn tương tự Giả sử ngược lại, tồn k cho xk  L Khi đó,  xn  tăng knn nên ta có xn  xk , n  k suy L  limx n  xk  L (theo định lí 3)  mâu thuẫn Vậy ta đpcm Định lí 10 (Nguyên lí Cantor dãy đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực  an  ,  bn  cho: a) n  * : an  bn b) n  * :  an ; bn    an 1 ; bn 1  c) bn  an  n   Khi tồn số thực L cho  n 1  an ; bn   L Chứng minh Theo điều kiện b) an 1  an bn 1  bn nên  an  dãy tăng knn,  bn  dãy giảm knn kết hợp điều kiện a) ta an  b1 n bn  a1 n Suy  an  dãy tăng knn bị chặn trên,  bn  dãy giảm knn bị chặn  tồn lim an  A lim bn  B Do bn  an  n    A  B  L  L   Mặt khác,  an   bn  dãy đơn điệu có giới hạn L nên an  L  bn n (định lí 7), suy L   n 1  an ; bn  L giới hạn dãy  an  ,  bn  nên có tính  đpcm Định lí 11 (Bolzano-Weierstrass) Từ dãy bị chặn ln trích dãy hội tụ 198 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Chứng minh Xét  an  bị chặn hay m, M cho đoạn  m; M  chứa tất số hạng  an  Ta xây dựng dãy đoạn thẳng  xn ; yn  theo quy tắc sau: x1  m, y1  M x1  y1 Vì  x1 ; y1  chứa tất số hạng  an  nên hai đoạn  x1 ; t  , t ; y1  phải chứa vô số số hạng  an  Giả sử đoạn  x1 ; t  chứa vô số số hạng  an  ta đặt Đặt t  x2  x1 , y2  t (trường hợp đoạn t ; y1  chứa vô số số hạng  an  ta làm tương tự) Tiếp tục thực vậy, ta xây dựng đoạn  xk ; yk  chứa vô số số hạng  an  ta xây dựng đoạn  xk 1 ; yk 1  nửa  xk ; yk  chứa vô số số hạng  an  suy ta xây dựng dãy đoạn thẳng  xk ; yk  lồng yk  xk  đoạn  xk ; yk  chứa vô số số hạng  an  M m  2k 1   Ta chọn dãy j  an  sau: ai1  a1 Giả sử ai1 , , j chọn ta chọn số i j 1 cho: 1) i j 1  i j ; 2) j1   x j 1 ; y j 1  Việc chọn ln thực  x j 1 ; y j 1  chứa vô số số hạng  an  Từ cách chọn dãy đoạn thẳng  xn ; yn  , theo định lí !L  cho  L    xn ; yn  hay n 1   limx n  lim yn  L 1 Mặt khác theo cách chọn j 1 x j  j  y j với j  lim j  L (định lí kẹp) Vậy ta trích dãy hội tụ từ  an  (đpcm) Định nghĩa Dãy  xn  gọi dãy hay dãy Cauchy   0, N  : m, n  N ( N phụ thuộc  ) xm  xn   Ví dụ Chứng minh  xn  dãy Cauchy  xn  bị chặn Chứng minh Ta cố định m  N   N , xm  xn    xn  xN0 1    xN0 1    xn  xN0 1    a  xn  b với a  xN0   , b  xN0     xn  bị chặn (đpcm) Định lí 12 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn dãy Cauchy Chứng minh Nếu  xn  hội tụ giới hạn hữu hạn L   : N  cho m  N ta có xm  L  Khi m, n  N , ta có: xm  xn   xm  L    xn  L   xm  L  xn  L       199 Các toán dãy số ôn học sinh giỏi Suy  xn  dãy Cauchy Ngược lại, giả sử  xn  dãy Cauchy Khi  xn  bị chặn Theo định lí Bolzano-Weierstrass, tồn   dãy xik  xn  có giới hạn hữu hạn L Ta chứng minh L giới hạn  xn    0, tồn k cho k  k0 , ta có xik  L   Mặt khác  xn  dãy Cauchy nên tồn N cho m, n  N , ta có: xm  xn   Do ik    k  k0 cho ik  N Xét m  N bất kì, ta có:   xm  xik   xm  L   xik  L  xm  L  xik  L      Suy limx n  L Ví dụ Chứng minh dãy số  xn  xác định xn   1   hội tụ 2 n Giải Ta có với m  n thì: xm  xn   n  1   1    m n  n  1  m  1 m 1 1 1 1          n n 1 n 1 n  m 1 m n m n 1 1   Nên   , ta chọn N      m, n  N , ta có: xm  xn  m, n N o     Suy  xn  dãy Cauchy nên  xn  hội tụ (đpcm) Định nghĩa (Số e ) n  1 Cho dãy  xn  xác định: xn  1   Theo Euler lim xn tồn kí hiệu e , số e số vô  n tỷ 15 số đầu khai triển thập phân e  2, 718281828459045 Ta chứng minh  xn  dãy hội tụ Chứng minh Ta xét dãy  yn   1 với yn  1    n n 1 , ta chứng minh dãy  xn  dãy tăng  yn  dãy giảm Ta có:   xn 1  xn      n 1 Mà n n 1 n n 1  1   1    1   1   1 n 1 n  n  n 1 n n  n  n  2   * n   n  12 2 n 1  n   n  2n    n 1 (A-G)  * (do  n  2n    n  2n   ), suy  n2 n n   n  n  2  xn  dãy tăng  1 yn  yn 1  1    n Mà n n 1  n 1 n n 1 n2 n 1   1    n  n n n 1 n  n 1  n n 1  n   n2  n2 , nên  yn  dãy giảm   n 1    n n n  n2 n2  200 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi n 1 n  1  1 Mặt khác, ta lại có  x1  xn  1    1    yn  y1    xn  ,  yn  dãy hội tụ  n  n (đpcm) e số đặc biệt toán học Hàm số e x có tính chất đặc biệt người ta thường dùng làm số cho hàm số mũ dùng giải tích Hàm ngược hàm e x (hay exp  x  ) log e x hay ln x (đọc logarit tự nhiên x hay logarit Neper x ) Bài 19 Cho dãy số  un  xác định sau u1    un 1  un  un2  2009  n 1, 2,3, 4, a Chứng minh lim un   n  u u u u  b Tìm lim      n  n  u un1   u3 u4 Bài giải a Chứng minh lim un   n  Ta có  u1  u2  u3   un  Vậy un dãy tăng Giả sử dãy số bị chặn ta có lim un  a  n   un2  a2  un   a  Suy lim un 1  lim   a  a  (không đúng) n  n 2009 2009   Vậy lim un   n  u u u u  b Tìm lim      n  n  u un1   u3 u4 u2 u 1 Ta có un 1  un  n  n  2009(  ) 2009 un 1 un un 1 Vậy ta có 1  u u1 u2 u3       n  2009     2009 1   u2 u3 u4 un1  u1 un1   un1  u u u  u    lim      n   lim 2009 1    2009 n  u n  u u u u n 1  n 1    Bài 20 Cho dãy số un xác định : u1 un 11 10un 9n, n Tìm cơng thức tính u n theo n Bài giải Ta có: u1 11 10 u2 10.11 100 u3 1003 1000 201 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi 10n Dự đốn: un Ta có: 1 Chứng minh: 101 , công thức với n u1 Giả sử công thức n uk 10 10k k 10 n Vậy un 10k 9k 10k k ta có : uk 1 Ta có: k Cơng thức với n k 1, n Bài 21 Cho Pn n với n 2 2.3 3.4 n n Gọi U n số hạng tổng quát Pn Tìm lim U n Bài giải Cho k k k Ta có: k k k k 1, 2,3, , n ta : Sn  Suy Un  1.4.2.5.3.6 2.3.3.4.4.5 n  n  3  n   n  1 n3 n3  lim U n  lim  n  n   n  1  n  1 u1   Bài 22 Cho dãy un xác định bởi:  un2  2012un n un 1  2013  n ui Thành lập dãy Sn xác định bởi: Sn   Tìm lim S n n  i 1 ui 1  Bài giải Tacó: u  2012un un2  2013un  un un  un  1 un 1  n    un , n  * 2013 2013 2013 u1   u1  u2   un  un 1   *   * Suy un dãy tăng Giả sử u n bị chặn lúc tồn số L cho lim un  L Từ * ta có : lim un 1  lim un  un  1 n   L  2  lim un n  2013 L  L  1 L  (vô lý) L L  2013 L  n  n   n  u n un không bị chặn Suy lim un    lim n  Mặt khác : un2  2012un un  un  1 un 1    un 2013 2013  un  un  1  2013  un 1  un   2013  un 1  1   un  1   u 1   un   un  2013  n1  1   2013     un   un 1   un  un 1   202 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Cho n     u1    2013     2013 1   u2   u1  u2    u2   Tương tự  u2   2013    u3   u2  u3    un   2013    un 1   un  un 1    ui   2013 1   ui 1   un 1   n Cộng vế theo vế ta được: Sn   i 1    lim Sn  lim 2013 1    2013 n  n  un1   u1 2012 xác định sau: un 2012un2 un , n Bài 23 Cho dãy số un u1 u2 lim Chứng minh dãy tăng : un 2012a Giả sử có giới hạn a : a nên lim un un2 un 1un un un Ta có : Vậy : S un un 2012un 1un lim 2012 n u1 un lim n x1n  x2n  x3n  20122 a 1 2012 un * 2012 (vô lí) un xác định bởi: xk Cho dãy số xk Bài 14: a Tìm un un u2 u3 Bài giải 2012un2 , n un * 2! 3! k k 1! Tính: n  x2012 Bài giải Ta có xk k k 2! xk n x2012 x2012 Ta có k k 1! x1n n x2n x1n k! x2n k * 0, k 1! n x2012 , k xk xk 0, k * n 2012.x2012 n x2012 * n 2012.x2012 203 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi xk x2012 1 2! 1 2! 3! k! k 1! k 1! 2013! 1 2013! x1n n Suy lim n x1n x2n x2n n x2012 n x2012 n 2013! 2012 1 2013! Cho dãy số: U n xác định sau: Bài 36: n n Un ,n 2n 1, 2,3, Chứng minh rằng: U1 U2 2k k 1005 1006 U 2010 Bài giải k k 2 Ta có: U k U3 k 2k k k Ta có: Uk k k , k k k k 1 2k 2 Uk k k Do đó: U1 U Vì U3 U k k Suy ra: U1 U Khi k Bài 39: 4k U3 1 2 U k k k k 2 4k k k k k k 1 k 1005 (đpcm) 1006 Tính tổng : S   55  555   55 2010 U1 U U3 U 2010 n Bài giải Ta có  5 S    99  999   99  9 n  n  10n 1  10  9n  5  10 10  1 n  S  10   10   10    10  1    n   9  10  81   204 Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Cho dãy  xn  : x1  , xn 1  Bài 41:   cos 2  xn  cos2  Đặt   2cos 2  xn   cos 2 n yn   i 1 , xi  n  Tìm  để dãy số  yn  có giới hạn hữu hạn tìm giới Bài giải Ta có : 3x  xn sin   cos  2sin  xn 1  n    2 xn sin   2sin   xn 1  3  xn  1    1  n 1  sin  n xn    n n n 1  1   3    yn     i  sin   1  i 1   1  n    n  1  n   sin   2     i 1 xi  i 1 i 1   Vì lim n  nên dãy  yn  có giới hạn hữu hạn sin      k  U1  Bài 44: Cho dãy số U n  thỏa mãn điều kiện :  , n  *  U n 1  U n  n  n  1 U Xác định công thức số hạng tổng quát U n tính lim n n 1 Bài giải   Ta có : U1  U  U1   12 U  U   22 U n  U n 1   n  1   n  1  Do U n   1     n  1   12  22  32    n  1  Bằng qui nạp chứng minh :      n  1  12  22    n  1  Suy Un    n  1 n  n  1 n  2n  1  n  1 n   n  1 n  2n  1  n3  n  Do n3  n  U lim n  lim  n 1 n 1 205 Các toán dãy số ôn học sinh giỏi U1   Cho dãy số U n  có  U n1  U n  n  Bài 45: n  Tìm lim U n n  Bài giải Do U n 1  U n  Khi 1 2 nên U n 1  U n  n với n  n 2 U 32  U 22  2 U 22  U12  U n2  U n21  2n1 Suy 1 1 1 1     n1 = 1+    n1  1  n  2 2 2   1  Vậy lim U n  lim 1  n   n  n    U n2  U12  206 .. .Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi CÁC BÀI TỐN DÃY SỐ ƠN HỌC SINH GIỎI PHẦN u1  Tìm số hạng tổng quát dãy  un  :  * un 1  3un   n   Lời giải Cách Từ hệ thức truy hồi ta có dãy. .. cấp số nhân có v1  , công bội q    v1.q n 1  3 n  n  n 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số un  n3  n  n  Mà  un  g  n   un   g  n   Các tốn dãy số ơn học sinh giỏi Bài Tìm số. .. xn  cos n 13 Các toán dãy số ôn học sinh giỏi u1  Cho dãy số  un  xác định công thức:  Hãy tìm số hạng n u  u  n   2.5 ; n  n  n 1 tổng quát dãy số Giải Bài 20 Theo đề suy u1 