Chuyen de the tich khoi da dien va khoi tron

X¸c ®Þnh c¸c kÝch thíc cña khèi trô ®Ó thÓ tÝch cña khèi trô nµy lín nhÊt.. TÝnh thÓ tÝch cña khèi nãn..[r]

(1)

http://violet.vn/kinhhoa

PhÇn ThĨ tÝch khèi ®a diƯn

A Lý thut

1 Kh¸i niƯm thĨ tÝch cđa khối đa diện ( Xem sgk 12) Các công thøc tÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn

a) thĨ tÝch khèi hép ch÷ nhËt

V = abc với a, b, c kích thước khối lượng chữ nhật b) Thể tích khối chóp

V=

Sđáy h , h: Chiều cao khối chóp c) Thể tích khối lăng trụ

V= Sđáy h , h: Chiều cao khối lăng trụ B tập

VẤN ĐỀ TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

*Phương pháp: Để tính thể tích khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích

+Chia khối đa diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính

+Bổ sung thêm bên ngồi khối đa diện để khối đa diện tính thể tích cơng thức phần bù vo cng tớnh c th tớch

*Các tập

1 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

+Nếu khối chóp có chiều cao đáy ta tính tốn chiều cao, diện tích đáy áp dụng cơng thức:

Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o

b) AB = a, SA = l

c) SA = l, góc mặt bên mặt đáy α

(2)

a) Gọi O tâm ∆ABC

⇒ SO ⊥(ABC) SABC =

2 a a = a

∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o

⇒ SA = AB = SB = a

C S A B O a

SO ⊥ OA ( v× SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (

3

a

3

)2 = 2 3 a a

a   ⇒ SO = a

3

VËy VSABC = S∆ABC SO = 3

1 . a . a . 2 a l 

b) Tương tự câu a đáp số:

VSABC = a 2 a l 

c) Gäi O tâm ABC Gọi A trung điểm BC

DÔ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α Tam giác vuông SOA có:

SO2 = l2 - OA2 = l2 -

AA’2 Tam giác vuông SOA có:

'.sin

sin 13

'

3

1AA SO AA

SO  

 (2)

Tõ (1) (2) ta cã:

4

9

1 AA'sin   AA'.sin  l

O B

A'

A C

a

 AA’2(sin2 α + 4) =9l2 

4 sin '    l AA

S∆ABC =

) (sin 3 sin 3 sin 2 2 2 . . '.         l l l BC AA sin sin sin 3 2 .sin

(3)

⇒VSABC = 3

1

S∆ABC SO = (sin 4). sin 4

sin

3

2

.



 



 l

Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC tính VA’ABC theo a?

Giải

-Gọi H trung điểm BC

⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)

-Ta cã S∆ABC = 21 AB.AC  21a2

-V× A’H ⊥ (ABC) AH AH Tam giác vuông AHA có:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 -

.(a2 + 3a2) hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a

B H C

2a

a a C' A'

⇒VA’ABC = 3

1

S∆ABC A’H = 2

2

1. a 3.a 3 a2

Bài Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a ABC vuông cân có AB = BC =a B trung điểm SB C chân đường cao hạ từ A SAC

a) tÝnh VSABC

b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’) TÝnh VSAB’C’

Gi¶i

a)

S∆ABC = 21BA.BC  21a2; SA =a

⇒ VSABC = 3

1

S∆ABC SA = 6

1

a3

a

C A

a a

B' C'

B

b) ∆SAB cã AB = SA = a SAB cân A AB ⊥ SB B’S = B’B

(4)

⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)

AC’ ⊥ SC

C¸ch

2 2

1 2

' SB a a

AB   

V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’ SC = SA2 AC2  3a

2

' a

SC SA

SC  

B’C’2 = SB’2 - SC’2 = ' '

2

a a B C 

⇒S∆AB’C’ =

3 2

1 AB'.B'C' . a . a  a2

⇒V∆AB’C’ = 3 24 3 36 1.a2 .a  a3

C¸ch

' 1 ' 3 1

2 3 3

a S B S C

S B  S C  a 

' ' ' ' '

' ' '

3 3

3 1 1 1

6 6 6 3 6

3

S A B C S A B C

a

V S A S B S C a

S A B C

V  S A S B S C  a   V  a 

Bµi Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân A, D trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC

Gi¶i

DƠ thÊy

(SB, (ABC)) = α = SBA (SB, (SAD)) = β = BSD ∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC DB = DC

∆SAB cã cos α = SB AB

(1)

BC ⊥ AD BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC)

⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD

a

B

A C

D S

Tam giác vuông SB có sin = SB BD

(5)

Tõ (1) (2) ⇒ cos sin sin

2 a

AB BD

AB 



 ⇒ 

 sin

cos

2 2

2

a AB

AB  

⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB = cos21sin2 a2 cos



S∆SAB =BD.AD =

 

 

  

 



2

sin cos

sin sin

cos cos cos

sin

cos .    

a a

Sin

AB AD

SA = AB tan α = 2  2

sin cos

sin



a

⇒ VSABC = 3

SA.S∆ABC =

 

 2

sin cos

sin



a

 

 2

2

sin cos

sin



a

= 2 2

sin cos

cos sin



a

Bài Cho hình vng ABCD cạnh a nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) phía với mặt phẳng Điểm M không trùng với với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp BAMNC

Giải

Gọi I giao điểm cđa AC vµ BD Ta cã BD ⊥ AC

(vì ABCD hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD)

⇒ BD ⊥ (AMNC)

⇒ BI ⊥ (AMNC)

BI = 2

a BD 

x

n

A

D C

m

B M

N

DiƯn tÝch h×nh thang AMNC lµ S = 2 ) (

) (

m n a

CN AM

AC 



 VAMNC = . . 2 . 22 6 ( )

2 ) ( 3

1 S BI m n a a a2 m n

AMNC   



*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao đáy

Ta cã mét sè nhËn xÐt sau:

- Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

(6)

- Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vng góc với đáy đường cao hình chóp đường cao mặt bên mặt chéo

- Nếu có đường thẳng vng góc với mặt đáy khối chóp đường cao khối chóp song song với đường thẳng

- Nếu đường thẳng nằm đáy khối chóp vng góc vng góc với mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp đường cao khối chóp

đường thẳng kẻ từ đỉnh vng góc với giao tuyến mặt đáy mặt phẳng chứa đỉnh nói

*Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp Bài 6: SABCD có đáy tâm giác cân A, BC =a, ABC = α, cạnh bên nghiêng đáy góc α Tính VSABC

Gi¶i

A S

C B

H

a

-Gọi H hình chiÕu cđa S lªn (ABC)

-Vì cạnh bên nghiêng đáy ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC -Ta có: ∆ABC = 12 AB.AC.sin

mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB =

cos 1 

a ⇒ S∆ABC = 21 2 1sincos 4 2

2

1 sin 2 cos

 

 a a

AB    HA = R =

  2sin sin

2

a

BC 

.Tam giác vuông có tan = AHSH SH = 2sin tan 2cos a

a 

⇒VSABC =   



cos 24

cot cos

2 3

1

3

cot

a a a

ABC SH

S  

Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường

chéo = 60o cạnh bên nghiêng đáy góc 45o Tính VSABCD

(7)

A B

C

O D

-H¹ SO ⊥ (ABCD)

-Vì khối chóp có bên nghiêng đáy ⇒ O tâm đường tròn qua đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD hình ch nht v O = AC BD

-Đặt AC = BD =x Ta cã ShcnABCD =

1

AC.BD.sin60o = . 3

2 2

1 x  x 

⇒ x=3

- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ASC vuông cân S SO = 21 AC 1 ⇒ V

SABCD = 31 3.1 33

Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng

b) TÝnh VSABC

Gi¶i

a)

H

B A

S

C a

  

 

o

ASB SB SA

60 AB = a Tam giác vuông SBC cã BC

2 = SB2 + SC2 = 2a2

- ∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2

(-2

) =3a2 - ∆ABC cã AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vu«ng t¹i B

(8)

V× SA = SB = SL HA = HB = HC H trung điểm AC ABC vuông B

Tam giác vuông SHB cã SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 =

2 a

a  SH 

BH =

3

a AC 

(Hoặc ∆SAC nửa tam giác ⇒ SH = 2

a SA 

)

⇒VSABC = 31 13 21 16 2 12

2

a a

ABC SH ABBCSH aa

S   

Bài 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh = Tính thể tớch chúp SABCD

Đáp số: VSABCD = 4

6

Bài 10: SABCD có đáy hình thang vng A D, ∆SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD

Gi¶i

2a

3a C D

H K

-H¹ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)

-Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh H tâm đường trũn ni tip ỏy

-Gọi K hình chiếu cđa H lªn AD Ta cã HK = AD2  a

-Tam giác vuông SHK có HK = a

SK = 2 3

3 a

a  (vì ∆SAD đều)

⇒SH = 3a2 a2 a

Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a

(9)

⇒VSABCD = 3

5

3

1 . 5 . 2 a3

ABCD SH a a

S

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3, (SAB) (ABCD) M, N - Trung điểm AB, BC Tính VSBMDN

Giải

S

A D

C H

B M

N

∆SAB h¹ SH  AB

(SAB)  (ABCD) ⇒SH  (ABCD) ⇒ SH  (BMDN) S∆CDN = S∆MDA = 4

1

S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN= 2

S⋄ABCD= 2

2a.2a = 2a2 ∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 SAB vuông S

2 2 3

4

1 1

1

a a

a SB SA

SH      ⇒ SH =

a

⇒VSBMDN = 3

S⋄BMDN.SH = 2

3

1 2 . a a3

a

Bài 12: SABCD có ABCD hình thang víi AB = BC = CD =

AD ∆SBD vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB = 8a, SD = 15a Tớnh VSABCD

Giải

-Trong SBD kẻ SH b BD

V× (SBD) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD)

-Tam giác vuông SBD có

2

2 1

1

SD SH

SH  

hay 2

2

225 64

1

a a

SH   hay

S

H

15a 8a

A D

(10)

http://violet.vn/kinhhoa 10

a a

SH 12017

289 14400. 



-V× h×nh thang cã AB = BC = CD =

AD ⇒ Aˆ Dˆ= 60o, B = C = 120o -∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a

∆CBD cã BD2 =2BC2(1+

2

) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 173 a

S∆BCD = 12

3 289

3 289 2

2

1 sin120o . . a2

a

BC  

S⋄ABCD = 3S∆BCD = 12

3 289 a2

⇒VSABCD = 3

S⋄ABCD.SH = 12 12017

3 289

1 a2. a

= 170 3a3

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD hình chữ nhật, ∆SCD cân S nằm mặt phẳng  (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = α nằm mặt

ph¼ng lËp víi (SCD) mét gãc α TÝnh thĨ tÝch khối chóp SABCD

Giải

Trong SCD hạ SH CD Vì SCD cân S

H trung điểm CD SH CD

(SCD) (ABCD

⇒ SH  (ABCD)

Gäi K trung điểm AB

Ta có HK AB AB  SH (v× SH  (ABD))

⇒AB (SKH) AB SK SAB cân S

DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α ∆SAB cã SK = acosα , AB = 2AK = 2asin SHK vuông H có SH =SK.cos = acos2 α

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα = 2a2sin2αcosα

⇒VSABCD =

2 3

3

sin a SABCD

SH

Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông B, SA(ABC) ACB =60o, BC = a, SA = a 3, M trung điểm SB Tính thể tích MABC

Giải Cách

SA b (ABC)

Tõ M kỴ MH // AS cắt AB H

MH (ABC)

Vì M trung điểm SB H- trung điểm

MH=

3

1 SA a

S

A D

C K

B

H

C A

(11)

S∆ABC = 12AB.BC  21a.tan60o.a 21a2

VMABC = 23 4

2 3

1 . . 3.a a3

ABC MH a

S  

C¸ch

2   SMSB V

V

ASABC MABC

VMABC = 2VSABC

mµ VSABC = 31SA.S∆ABC = 3

3 2

2

1a a  a

⇒Vmabc =

3 a

Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD hình vng tâm O, SA  (ABCD), AB = a, SA = a H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Chứng minh SC  (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK

Gi¶i

AH  SB (gt) (1)

BC AB (vì ABCD hình vuông)

BC  SA (v× SA (ABCD))

⇒BC (SAB) BC  AH (2)

Tõ (1) (2) ⇒AH  (SBC

⇒AH SC (3)

Chứng minh tương tự ta có SC AK (4) Từ (3) (4) ⇒ SC  (AKH)

Gäi F = KH ∩ SO (SAC) (AHK) = AF Kéo dài AF cắt SC N Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN E OE b (AHK)

Vì OA = OC; OE//CN OE =

CN Tam giác vuông SAD có 2

1 1

AD AS

AK   ⇒ AK =

2

2 a

a a a AD AS

AD

AS  



Dễ thấy AH =a 32 AKH cân A

DƠ thÊy ∆SBD cã SDSK  KHBD mµ SK = 23

2 2

2

2a a a AK

SA    

SD = a ⇒KHBD  32aa3  32  SFSO HK =

BD = 2 2a

A

C O

H

K a

a N F E

B

D

a

S

y

(12)

OF=3

SO ⇒  SF OF

∆SAC cã : OA=OC ⇒

2

 

SF OF SN OE

⇒OE=

2

SN=

a

S∆AHK=

KH

4 2 HK

AK  =

9 2a2

⇒ V= AHK 

3

S OE

27 2 2 a

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK sau: Chọn hệ toạ độ hình vẽ.Ta có:

A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2) , O(a/2,a/2,0) ∆SKA ∆ SAD ⇒

SD SA SA SK

 ⇒ SK= 2a

⇒K(0,2a/3,a 2/3)

∆ABS cã AS2 SB.SH⇒ SH= 2a

⇒H(2a/3,0,a 2/3)

Ta cã )

3 , , ( a a

AH  )

3 , ,

( a a

AK  ,0)

2 , (a a

AO

[AH,AK] =(

9 ,

2 ,

2

2 a2  a2 a2 

) ⇒ VOAHK=

|[AH,AK].AO|= 27

2

a Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2, SA = a, SA (ABCD) M, N trung điểm AD SC I = BM ∩ AC Tính thể tích hình chóp ANIB

Gi¶i

SA (ABCD), gäi O = AC ∩ BD Trong ∆SAC cã ON // SA

⇒ON  (ABCD) ⇒ NO  (AIB) Ta cã NO = 2

1 SA  a

TÝnh S∆AIB = ?

ABD só I trọng tâm

SABI = 3

2

S∆ABO = 4

1 2.

S⋄ABCD = 32 a.a

=

2

a

⇒ SANIB = 31 NO.S∆AIB = 13 2 62 362

3

.

.a a  a

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, (SAD)

(ABCD) ∆SAD M, N, P trung điểm SB, BC, CD tính thể tích hình chóp CMNP

a K

O C

D A a a

N

I

(13)

Giải

- Gọi E trung điểm AD

(CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD (SAD) (ABCD)SE (ABCD) -Gọi F hình chiếu cđa M lªn (ABCD) ⇒ MF // SE DƠ thÊy F EB F trung điểm EB

Ta cã MF =

SE =

3

1.a  a

S∆CNP =

2 8

1

1 S S a

ABCD

CBD  



VCMNP = 21 S∆NCP.MF

= 96

3

1 a .a  a3

Nhận xét: dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

Bài 18: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Gi¶i

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H hình chiếu B

A’D

Ta cã BH  A’D BH  A’A

BH (AOOA) BH đường cao tø diÖn BAOO’

SAOO’ =

2

a

,

A’B= AB2 AA'2 a ∆A’BD vuông B ⇒ BD=a ∆O’BD ⇒ BH=

2

a

⇒VBAOO’=

BH SAOO’ = 12

3

2

a

A

C N a

D P

B M

F E

S

y

x z

B

A

A' O'

O H

(14)

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA 

(ABCD); (SA, (ABCD) = 60o §iĨm M thc c¹nh SA, AM = 3

a

(BCM) ∩ SD = N TÝnh thÓ tÝch hình chóp SBCMN

Giải

Ta có SAB=600

SAB vuông A có AM=

3

a

,AB=aABM=300 Kẻ SH BM SH đương cao hình chóp S.BCMN

ta có SH=SB sin 300=a BC//(SAD)⇒MN//BC⇒

AD MN SA

SM

 ⇒MN=

3

a

SA SM AD



⇒SBCMN=

3 10 )

(

1 a2

BM BC

MN  

⇒VSBCMN=

SH SBCMN = 27

3 10 a3

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA  (ABCD); SA = 2a M, N trung điểm SA SD Chứng minh BCMN hình chữ nhật tính thể tích hình chóp SBCNM

Gi¶i

Ta cã BC//AD ,BC= AD

2

,MN//AD , MN= AD

2

⇒BC

= MN , BC// MN (1) BC ⊥AB, BC ⊥SA

⇒BC⊥(SAB),BC AM (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã BCNM lµ

hình chữ nhật Kẻ SH BM thi SH (BCNM)

⇒Vsbcnm=

SBCNM.SH=

BC.NM.SH=

3

a

S

A

D

C B

N M

H

A D

S H

(15)

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Hướng dẫn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 12

3

a

+Có thể dùng phương pháp toạ độ

Bµi 22: Tø diƯn ABCD cã AB = x có cạnh lại a.Tính thể tÝch tø diƯn theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn

Gi¶i

a

C¸ch 1:

Gäi H Hình chiếu D lên (ABC) DA = DC = DB = H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC mà ABC cân H CC với C trung điểm AB

SABC=

x x x

AB

CC'. 4 x . 4 2.

4

1

1    

HC = R∆ABC =

4 2

2

1

cos sin sin

2 x

x x

C x

x x C C

 

 

Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 2

2 4

3

1

x x

x 

  



⇒HD =

2

4

x x

 

⇒VABCD =

2 12

4

1 3

1 . . 4 . . 3

2

x x

x HD

S x

x x

ABC    

  

C¸ch 2:

Gọi M trung điểm CD ⇒ CD ABM Vì ∆ACD ∆BCD ⇒ AM = BM =

3

VABCD = 2VCBMA = 2.31CM.S∆ABC = 23 12.SABM S∆ABM = 2

MC’.AB =

2

2 2

3

1x. ( ) (x)  x 3x

H C

B

C

D

B

A

(16)

VABCD = x 3 x 3 x .x

2 12

1   

b) SACD= ⇒d(B,(ACD))= ACD ABCD S V

= x x

3

1 2



c) VABCD =121 121 2 81 2

3  x x 

x x

DÊu “=” x¶y ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x =

3 vµ thĨ tÝch lín nhÊt lµ

8

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy ABCD SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vng góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối lớn

GI¶I

Ta cã BM SH (gt)

BM SA (V× SA  (ABCD)

⇒BM  AH

SABM = SABCD = a2 Mµ SABM =

2

AH.BM ⇒ AH = 2 2 x a a BM a  

∆SAH vu«ng ë A cã SH=

2 2 2 x a a h AH SA    

∆BAH vu«ng ë H cã BH=

2 2 2 x a ax x a a a AH AB      

SABH = AH.BH= 2 x a x a 

VSABH=

2 x a xh a SA SABH 

 a h

ax xh

a3 2

12  

DÊu b»ng x¶y a=x tøc M trïng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy ABC SA=a.Điểm M thuộc cạnh AB.Đặt góc ACM 

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lín nhÊt cđa thĨ tÝch khèi tø diƯn SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn SAKI

§¸p sè: a)Vmax= 12

3

a

b)VSAKI=

) sin ( 24 sin    a

* NHẬN XÉT

(17)

Cã thĨ tÝnh thĨ tÝch khèi ®a diƯn nhê viƯc chia thành các khối nhỏ bổ sung thêm

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC =c

TÝnh thĨ tÝch ABCD

Gi¶i

+Dựng ∆PQR cho B, C, D trung điểm PQ, QR, PR

+S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = 4

1

S∆PQR ⇒ S∆BCD

=

S∆PQR, AD = BC = PR

D trung điểm PR ⇒AR AP Tương tự AP  AQ, AQAR

VAPQR = 4

1

S∆PQRAR

Bµi 26: VABCD =

AD.BC.MN.Sin α Trong ABCD tứ diện có MN độ dài đoạn vng góc chung cặp cạnh đối AD CB, α =(AD, BC)

Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tiết diện

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất góc phẳng đỉnh A B tam diện α AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Gi¶i

-DƠ thÊy∆ SAB, CAB tâm giác cân S C

-Gọi E trung điểm AB AB  SE

AB  CE

⇒AB  (SCE)⇒VSABC = VASEC + VBSEC =

3

S∆SEC.(AE+BE) = 31S∆SEC.AB

TÝnh S∆SEC = ? ∆SEC cân E ES = EC (SAB = ACB (g.c.g))

Gọi F trung điểm SC EF SC

SBC cân B BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC ⇒FBC =

Tam giác vuông EBC có CE = tan

Tam giác vuông FBC có BC = CE2  EB2  (cosEB  cosa2)  2cosa

C A

B S

E

F

a

H

C P

Q

(18)

Sin



= BC FC

⇒ FC = BC sin



= 2cos .sin

 

a

Tam giác vuông EFC có

EF2 = EC2 - FC2 =

2 cos cos sin

4 tan (sin sin

2 2 2        

 a a

a

S∆SEC = 2

EF.SC = EF.FC = 2cos

2

cos

2 sin sin . .sin

     a a 

=

2

2 cos

2 .sin . sin sin

2

 

  

a

VSABC = 2

2 cos

12

3 .sin . sin sin

2

 

  

a

* CHÚ í số tập giải PP toạ độ vơi việc chọn hệ toạ độ dễ dàng

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi, AC =4, BD = 2, A cắt BD O SO (ABCD), SA = 2 Gọi M trung điểm SC, (ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp SABMN

Giải Cách 1:

Ta có AB // CD (gt) (ABM) (SCD) = MN

⇒MN // CD ⇒ N trung điểm SD VSABCD = 2

1

SABCD.SO = 2 AC.BD.SO = 2 8 2 2 . 2 . 4    SDSN V

V SABD SABN

⇒ VSABN = 2

SSABD =

2 1.

= 2

1 2 1. .  

 SNSD SC SM V V SBCD SBMN

⇒ VSBMN = 4

SSBCD = 2 .

=

⇒VSABMN = VSABN + VSBMN =

Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

DÔ thÊy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0;

2)

Do (ABM) ∩ (SCD) = MN AB // CD

(19)

⇒MN//CD

⇒N lµ trung ®iÓm SD⇒N(0; -

; 2)

SA = (2; 0; -2 2); SM = (-1; 0; - 2); SB = (0; 1; -2 2); SN = (0; -

; - 2) [SA, SM ] = (0; 2; 0)

VSABM = 6

[SA, SM ].SB = 2

VSAMN = 6

[SA, SM ].SN =

VSABMN = VSABM + VSAMN =

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD cã AB = a, AD = b , AA ’= c a)TÝnh thĨ tÝch A’C’BD

b)Gäi M lµ trung điểm CCTính thể tích MABD

giải a) Cách 1:

ThĨ tÝch cđa khèi hép ABCDA’B’C’D’ lµ V = abc

VC’CDB =

6

1

1 '

3

 



 c ab abc

S

CC BCD V

Tương tự ta có VAA’BD= VBA’B’ C’=VD’A’DC’ =

6

V

⇒VA’C’DB = V -4

V =

V=

abc

Cách 2: dùng phương pháp toạ độ

Chọn hệ toạ độ Axyz hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)

DB = (a; -b; 0); DC' = (a; 0; c); DA' = (0; -b;c); [DB,DC'] = (-bc; -ac; ab)

VA’C’DB =

|[DB,DC'].DA'| =

abc

b) Chọn hệ toạ độ hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c) M trung điểm CC’ nên M(a;b;

2

c

) )

0 ; ; ( a b

BD  , ) ; ; ( b c

BM ,BA' (a;0;c); [BD,BM]= ; ) ;

(bc ac ab

VBDA’M =

|[BD,BM].BA'| =

4

3



abc abc 2 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Ta thường áp dụng công thức tính thể tích biết chia nhỏ khối cần tính bổ sung thêm

C B' D' C'

A'

A

D

B x

y

a b

c

(20)

Bài Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác đều, cạnh a A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích lng tr ABCABC

Giải

Gọi O t©m ABC⇒ OA=OB=OC A’A= A’B= A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC) (AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600, A’O ⊥OA (v× A’O⊥ (ABC) Trong tam giác vuông AOA có OA=OA tan 600=a

Vì ∆ABC cạnh a nên S∆ABC = 3a2

⇒VABCA’B’C’=S∆ABC.A’O=

3

a

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích khối lăng trụ

Gi¶i

DƠ thÊy AB (ACC’A’) nªn (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300

ABC vuông A có C=600, AC=b nên BC=2b AB= 3b

vì AB (ACCA) nên AB b AC

ABC vuông A có AC= AB 3b

30 tan ACC vuông C cã (CC’)2=

AC’2- AC2= 9b2- b2=8b2

⇒CC’ = 2b =AA’ S∆ABC = 2

CA.CBsin6oo = 3b2

⇒VABCA’B’C’ =S∆ABC.AA’ = 6b3

B

A

C C' B'

A'

O a

C C' A'

A

B B'

(21)

VẤN ĐỀ tØ sè thÓ tÝch

A/ Phương pháp: Giả sử mặt phẳng α chia khối đa diện thành hai khối tích V1 V2 Để tính k = V21

V

ta cã thÓ:

-TÝnh trùc tiÕp V1, V2 b»ng công thức k

-Tính V2 (hoặc V2) công thức tính thể tích khối Thể tích

V2 (hoặc V1) k Ta có kÕt qu¶ sau:

+Hai khối chóp có diện tích đáy tỉ số thể tích tỉ số hai đường cao tương ứng

+Hai khối chóp có độ dài đường cao tỉ số thể tích tỉ số hai diện tích đáy

+ ' ' '

' '

' SA SB SC

SC SB SA V

V

C B SA

SABC 

(chỉ cho khối chóp tam giác (tứ diện))

B Các tập

Bi 1: Chúp SABCD cú ỏy ABCD

là hình bình hành M trung điểm SC mặt phẳng (P) chứa AM

//BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích hai phần

Gi¶i

C

B O A

S

D

M

B' I D'

-Gäi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM

⇒ I ∈ (P)

C A

B B'

(22)

BD ⊂ (SBD) BD // (P)

⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD 3 2

1 '

'. . . . .

.

'

'    

SO SI SO

SI SD

SD CSB

SB SC SM V

V SCBD

D SMB

(vì I trọng tâm ∆SAC)

9 3 ' '

'. . 1. .

'

'   

SD SD SB SB SA SA V

V SCBD

D SMB

mµ VSABD = VSCBD =

2

VSABCD

2

1

2

4

' '

' ' '

'

1 ' '

1 '

'        

MB ABCDD

MD SAB SABCD

MD SAB D

SAB D

SMB

V V V

V V

V

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy hình vng, SA b (ABCD) (SC, (SAB)) = α

Mắp phẳng (P) qua A vng góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Gi¶i

KÝ hiƯu K1 = VSMAQN V2 = V - V1

Gäi O = AC ∩ BD ∆SAC kỴ AN SC

E = SO ∩ AN E (P) (P) SC

mà BD  SC BD  AC BD  SA

 BD  (SAC) BD ⊂ (SAC)

S

D

C O B

A N M

Q E

⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD CB  AB (gt)

CB  SA (v× SA  (ABCD))

⇒CB  (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = α V1 = 2VSANQ, V = 2VSACB

SB SQ SC SN V

V V

V

SACB SANQ

.

(23)

Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN =

SC SA2

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ SQ =

SB SA2

2 ) (

. 2

2 2

SC SB

SA SB

SA SC SA V

V

 

BC AB (gt)

BC SA (v× SA (ABCD))

BC SB

Tam giác vuông SBC: cos α =

SC SB

⇒ SC =



cos

SB

Tam gi¸c vu«ng SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanα

 



2 sin 1 ) sin (cos

)

( (1. tan ) 2

cos

1      

SA SB SB V

V

  



2 sin

2 sin ) sin 1 (

) sin (

1

1 

 



  

 VVV VV

V V

Bài 3: SABCD hình chóp tứ giác cạnh a, đường cao h Mặt phẳng qua AB

 (SDC) chia chóp làm hai phàn Tính tỉ số thể tích hai phần

Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a M trung điểm CD, N trung điểm A’D’ tính tỉ số thể tích hai phần (MNB’) chia hỡnh lp phng

Giải Gợi ý:

Gọi V1, V2 tương ứng thể tích phần phần thiết diện ta có:

V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)

§Ĩ ý: ED’ = a, FC =

a

, PD’ = 2a

, CQ =

4

a

.Tính V1 =

144 55a3

V2 = V- V1 = a3 - 144 55a3

= 144 89a3



89 55 

V V

D

A

B Q M

C'

B' D'

A' P

E

(24)

Bµi 5: Cho tø diƯn SABC lÊy M, N thuéc c¹nh SA, SB cho

2

 MA SM

, 2

NB SN

Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Giải

Dễ thấy thiết diện hình thang MNEF (với MF // NE) Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS,

V2 = VMNEFAB V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

2 3 1.

.  

 CBCE CA CF V

VSCEF

3

.  

 SMSA

SA SE SE SM V

V

SFEA SFME

9 .

.  



 CBCE

CA FA S

S S S S

S V

V

ABC CEA CEA FEA ABC

FEA SFEA

⇒ V V

VSFME

27 1. 

  .  92

SB SN SA SM V

V

SABE SMNE

3 .

.  



 CBCE

CE EB S

S S S S

S V

V

ABC CEA CEA ABE ABC

ABE SABE

⇒VSABE = 27

V ⇒ V1 = 92 V + 274 V + 27

V = 94 V

2

 V V

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo

Giải

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện ngũ giác MNEFI

Gi V1, V2 tương ứng thể tích phần phần thiết diện, ta có V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF V2 = VNFA’E

+ VNAA’FI + VNACMI

So sánh phần tương ứng ta có V1 = V2  2

1

V V

=

Bài 7: Cho hình vng ABCD cạnh a O= AC BD, õ (ABCD) Lấy S ox, gọi (mặt bên, mặt đáy) mặt phẳng qua AC vng góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A' C

A

B E

M

N

F

B'

C'

C

B A

A' E

M N A'

(25)

* VẤN ĐỀ : Phương pháp thể tích

Chứng minh ng thc, bt ng thC

khoảng cách dùa vµo thĨ tÝch.

Bµi 1: SABC cã SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o

TÝnh D(A,(SBC))

Gi¶i

S∆ABC = 2

AB.BC.sin120o = 2a a

= a3

SSABC = 3

S∆ABC SA= 3

2

a a

= a3 Kẻ SM BC

BC SA (vì SA  (ABC))

⇒BC  AM ⇒ AM = a

SAM vuông A có SM = 3a S∆SBC = SM.BC = 3a2

d(A, (SBC)) = 3

2 3

2

 

 a

a S

V SBC SABC

a

Bài 2: SABC có đáy ABC tam giác cạnh a 3, SA  (ABC), SA =2a Tính d(A, (SBC))

Gi¶i

S∆ABC = 2

o a

a 3.sin60 =

4 3

3

3a2  a2

VSABC =

SA.S∆ABC = 32

a

Gọi M trung điểm BC AM BC

BC SA

⇒BC  SM

AM =

3

3 a

a

SAM vuông A có SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 +

a2 = 254 a2 ⇒ SM =

a S∆SBC = 21 SM.BC = 2

3

a2

B A

S

C

M 3a

2a

B A

S

C M

(26)

d(A, (SBC)) =

3

2

3

3  

 a

a S

V SBC SABC

a

Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = TÝnh

d(A, (BCD))

Gi¶i

C A

B D

4

5

M

Dễ thấy ABC vuông A S∆ABC = 2

AB.AC = VDABC = 3

S∆ABC.DA =

∆DAC cã DC = ∆DAB cã DB =

∆DBC có BC = BD = DBC cân B, gọi M trung điểm DC BM DC BM = 258  17 S∆DBC = 2

1

BM.DC = 21 17.4 = 34 d(A, (DBC)) = 3DBC  1234

DABC S

V

a

Bµi 4: Cho tø diƯn ABCD có AB = a; CD = b, cạnh lại c Tính d(A, (BCD))

Giải

ACD = BCD Gọi M trung điểm CD

⇒AM = BM, DC  (ABM)

Gäi N trung điểm AB MN AB MN2 = BM2 - BN2 = c2 +

4 4

2 2

2 a c b a

b    

S∆AMN =

2 2

4

2

2 2

a b c

a a b c

a     

A N

B

C

D M

(27)

VABCD = VBCMA = 2.31CM.S∆ABM = 23.2b.a4 4c2 b2 a2  12ab 4c2 b2 a2

V∆BCD = BM.CD = 12 4 b

c  b =

b 2 2

4c b

d(A, (BCD)) = 2

2 2

2

2 2

4 4

b c

a b c b

c a b c S

V

a

b ab

BCD ABCB

   

 

 



Bµi 5: Cho tø diện ABCD có AB = CD = x cạnh lại a)tính thể tích tứ diện ABCD theo x

b)TÝnh d(A, (BCD))

Tương tự

Đáp số: VABCD = 6

2

x

, d(A, (BCD)) = x 2

4

x x

x 

 

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi m trung điểm cạnh CC1

Chøng minh MB MA1 tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

Giải

a hệ trục toạ độ A1xyz vng góc hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hướngtheo

A A1

Trục A1y hướng theo A1C1 Trục A1x

tạo với trục Oy góc 90o nằm MP (A1B1C1)

Toạ độ điểm: A1(0 ; 0; 0), B1( ; 2;0)

3 a

a

 , C1(0; 2a; 0) A(0 ; 0; 2a 5), B( ; 2;2a 5)

3 a

a

 , C(0; 2a; 2a 5) M(0; 2a; a 5), BM( ; ;

5

3 a a

 -a 5)

M

A1 (0; 2a; a 5), AB( ; 2; a

a 

0), BM.A1M = 0+5a2 - 5a2 = BM b MA1

ThÓ tÝch khèi chãp AA1BM b»ng V =

|AB [BM,A1M ]| M

A

BM 1 = 5a/2 -a -a 3/2 -a -a 3/2 5a/2 2a a ; a ; 2a = ; ; 3

15

5 2

a

a a



B

A C

2a y x

z

M

C1

A1

(28)

⇒VAA1BM =

15

2

3

1 a . a2 a.a2 0 a2

  

S∆BMA1 =

1

.BM.A1M = 3a2 ⇒ Kho¶ng c¸ch tõ A tíi (BMA1) b»ng h = 3S a35

V 

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm tam giác ABC, đường thẳng qua M // với OA, OB OC cắt mặt OBC, OCA, OAB A1, B1, C1

Chøng minh r»ng:   OC1 1 MC OB

MB OA MA

Gi¶i

Nối M với đỉnh O,A,B,C Khi VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

1= MOABOABC MOBCOABC VMOCAOABC V V

V V

V

 

XÐt VOABCMOAB V

KỴ AH b (OBC), MK b (OBC) AH

//MK

∆OAH ∾ A1MK ⇒ MK AH MA

OA 

1

OA MA AH MK V

V OABC

MOBC  

Tương tự ta có OC MC V

V OABC

MOAB 

; OB

MB V

V OABC

MOCA  VËy   OC1 1

MC OB MB OA MA

Bài 8: Giả sử M điểm nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diện A1, B1, C1, D1

Chøng minh r»ng 11  11  11  DD11 1 MD CC

MC BB

MB AA

MA

Gi¶i

Nối M với bốn đỉnh tứ diện ABCD ta có: V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC

1= V

V V

VMBCD MACD MABD MABC

 



XÐt V VMBCD

Gọi H, K hình chiếu A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒ 11

AA MA AH

MK 

1

AA MA AH

MK V

VMBCD

  Tương tự: BB11

MB V

VMACD

 ;

1

CC MC V

VMABD 

; 11

DD MD V

VMABC



H

B

C A

O

K A1

M

H K A1

A

B

C

(29)

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc SABCD cạnh SA, SB, SC ta lấy điểm A1, B1, C1 cho

2

1 

SA SA

;

1

1 

SB SB

;

1

1 

SC SC

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD t¹i D1 Chøng minh r»ng

1 

SD SD

Gi¶i

Ta cã VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = V 1 1 1

1  . . 

SC SC SB SB SA SA VSABC

VSABC

(1) SD SD SC SC SD SD SA SA VSADC VSADC

1 1 1

1 . . .

9



 (2)

Céng vÕ víi vế (1) (2) ta

SD SD V

VSABCD

1 1 1 . 9  

Tương tự: SD

SD SD SD SB SB SA SA VSABD

VSABD

1 1 1

1 . . .

3   (4) SD SD SD SD SC SC SB SB VSBCD

VSBCD

1 1 1

1 . . .

6 

 (5)

Céng vÕ víi vÕ (4) vµ (5) ta

SD SD V

VSABCD

1 1 1 . 

Tõ (3) vµ (6) ta cã SD SD SD

SD1 1

.

. 92

9

1  

(30)

PhÇn 2: ThĨ tÝch khèi cÇu, khèi trơ, khèi nãn

A Lý thuyết

1.Định nghĩa ( Xem sgk 12)

2.Các công thức:

a)Thể tích khối cÇu V = 3 4R

, R: bán kính mặt cầu b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)ThÓ tÝch khèi nãn V =

Sđáy.h , h: chiều cao

B.Bµi tËp

* VẤN ĐỀ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU, TRỤ, NÓN

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ

Gi¶i

a

C

C' O

O'

A1

A1'

B' B

I

A'

-Gäi O vµ O’ lµ tâm ABC ABC OO trục đường tròn ngoại tiếp ABC vàABC

-Gọi I trung điểm OO IA = IB =IC = IA = IB = IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

-Bán kính mặt cầu R = IA

Tam giác vuông AOI có: AO = 32 23 33

2 a a

AA  

OI = 2

1

1OO' AA' b

⇒AI2=OA2+OI2= 12

7

2

2 b a

a  

⇒ AI = 2a 37

V= 54

21

7 18 7 72

28

7 3

4R   a3.  a3  a3  a3

AI2 = a  b  AI  a  b  R

3

3 12

3

(31)

V= (4 3 )32 .(4 3 2)32

18

2 3

1 3

4R   a  b  a  b

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gi¶i

Gọi O tâm hình vuông ABCD Ta cã SO b

(ABCD), SO lµ trơc cđa ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gäi M lµ trung điểm SA

Trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

OIMA từ giác nội tiếp SI.SO = SM.SA

⇒ SI = SO SA SM

Víi AO = 2

a

, AS = 32

2 30

cos

a a

AO

o   , SO = SA sin30o = 6 a

⇒SI =

3

a a

a

= a

⇒ VMcÇu = 3 3 3

4a  a

* VẤN ĐỀ

Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, kết hợp tớnh thể tích khối cầu

Bài 3: Cho hình trụ có đáy tâm đường trịn tâm O O’ tứ giác ABCD hình vng nội tiếp đường trịn tâm O AA’, BB’ đường sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (A’B”CD) đáy hình trụ 60o Tính thể tích khối trụ

Gi¶i   

 

DC D A

DC AD

' ⇒ADA’ góc (A’B’CD) đáy

Do ú: ADA = 60o

OAD vuông cân nên AD = OA = R

∆ADA’ cã h = AA’ = ADtan60o = R

6 V = R2h = R3

Bài 4: Bên hình trụ có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai hình trụ mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính thể tích khối trụ

A' B'

B

A

D C

a O S

M

D C

B A

(32)

Giải

Gọi I, J trung điểm AB CD Ta có: OI AB;IJ cắt OO ttrung điểm M OO

MIO = 45o góc mặt (ABCD) với đáy, đó:

O’I = 2 2

a

; R =

3

8

2

2 a a

a  

h = 2OM = 2

a

VËy V =R2h =  16

3a3 . a  a3

Bài 5: Một hình trụ có diện tích tồn phần S=6 Xác định kích thước khối trụ để thể tích khối trụ lớn

Gi¶i

STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6⇔R(h+R) = ⇔ Rh + R2 = V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R =

Dựa vào bảng biến thiên ta có VMaxR = vµ h =

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường trịn đáy cung α (P) tạo với đáy góc β Cho khoảng cách từ tâm O đáy đến (P) a Tính thể tích khối nón

Giải

Gọi E trung điểm AB ta cã OES= β ; AOB= α

VÏ OM (SAB) th× SOM= ta cã: SO=



cos

a

vµ OE=



sin

a

Bán kính đáy R=OA=

2 cos sin

cos  

a OE

 ThĨ tÝch khèi nãn lµ:V=

  

 

cos cos sin

3

1

2

2 a

h

R 

Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R M ∈ SO đường tròn (C)

1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) 2.Tìm x để thể tích lớn nhát

Gi¶i

A J

B M'

C' D

O'

O

O A

E B S

(33)

Ta cã ' ( )

' '

x h h R R R R h

x h R R SO SM

 

    

ThÓ tÝch khèi nãn V=

'

( ) ( )

2 2

2 2 3 2 2

2 2

1 1 1

2

3 3 3

R R

R SM h x x x hx h x

h h

       

V’= 3 ,

1 2

2

h hx x

h R

 

 V’ = ⇔

 

 

h x x h

3

x= h (loại)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max x =

h

Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích tồn phần 2.Với x hình trụ tồn tại? Tính thể tích V khối trụ theo x tìm giá trị lớn V

Gi¶i

Ta cã Stp=Sxq+2S®=2 2 2 ( 2)

x xy x

xy    

 Theo gi¶ thiÕt ta cã 2 (xy+x 2)=2 ⇔xy+x2=1 ⇔ y=

x x2 1

.Hình trụ tồn y>0 ⇔1-x2>0 ⇔0<x<1 Khi V=x2y=x(1-x2)= -x3+x

Khảo sát hàm số với x (0,1) ta giá trị lớn V=

3

 x



Bài 9: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy hình trịn tâm O.Trên đường trịn lấy điểm A cố định điểm M di động.Biết AOM= α, nhị diện cạnh AM có số đo β khoảng cách tư O đến (SAM) a.tính thể tích khối nón theo a, α, β

Gi¶i

Gọi I trung điểm AM SAM cân nên SI AM OAM cân nên OI AM

(SOI) AM nên SOI góc phẳng nhị diện cạnh AM SIO =

Kẻ OH (SAM), (SOI)  (SAM)

⇒ H∈ SI vµ OH=a

S

(C) M

O

(C)

(34)

Ta cã OI=

 

  



 ; tan cos

sin cos cos ;

sin sin

a IO

SO a

OI OM

a OH

 



V=

2 cos cos sin

3 sin

2 cos cos

2

3

2 2

 

  

 



OM a a a

SO  

Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB =2R Gọi I điểm AB cho AI=h Một mặt phẳng vuông góc với AB I cắt mặt cầu theo đường tròn (C)

+Tớnh th tớch nún đỉnh A đáy (C)

+Xác định vị trí điểm I để thể tích đạt giá tr ln nht

Giải

Gọi EF ®êng kÝnh (C) ta cã :

I E2=IA.IB=h(2R-h) ⇒

R=IE= h(2Rh)

ThĨ tÝch cÇn tÝnh lµ:V= (2 )

3

1 2

h r h h

r  

 víi 0<h<2R

V’=3(4Rh3h2



,V’=0

3 4R h

 Vmax

3 4R h

 hay AI=

3 4R

………

B O I