Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO năm 2017

Cặp có thứ tự các số nguyên (x, y) được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số. chung lớn nhất của x và y bằng 1[r]

Thứ Ba, ngày 18 tháng năm 2017

Bài Với số nguyên a01, xét dãy số nguyên dương a a a0, 1, 2, xác định bởi:

1

3

n n

n

n

a a

a

a



  

nếu số nguyê n,

trường hợp ngược lại,

với số nguyên n 

Hãy xác định tất số a0 cho tồn số A mà an A với vơ hạn số n

Bài Kí hiệu  tập số thực Hãy tìm tất hàm số :f  cho với số thực x y,

( ( ) ( )) ( ) ( )

f f x f y  f x y  f xy

Bài Một thợ săn thỏ tàng hình chơi trò chơi sau mặt phẳng Điểm xuất phát A0 thỏ điểm xuất phát B0 cô thợ săn trùng Sau n – lượt chơi, thỏ điểm An1 cô thợ săn điểm Bn1 Ở lượt chơi thứ n, có ba điều xảy theo thứ tự đây:

(i) Con thỏ di chuyển cách không quan sát tới điểm An cho khoảng cách An1 An

(ii) Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn điểm Pn, đảm bảo khoảng cách Pn An không lớn

(iii) Cô thợ săn di chuyển cách quan sát tới điểm Bn cho khoảng cách Bn1 Bn

Hỏi điều sau sai hay đúng: cho dù thỏ có di chuyển điểm thiết bị định vị thông báo có điểm nào, thợ săn ln chọn cho cách di chuyển cho sau

10 lượt chơi, ta khẳng định chắn khoảng cách thỏ không vượt 100?

Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm

Thứ Tư, ngày 19 tháng năm 2017

Bài 4. Cho R S hai điểm phân biệt đường trịn  cho RS khơng phải

đường kính Cho  tiếp tuyến R  Lấy điểm T cho S trung điểm

đoạn thẳng RT Lấy điểm J cung nhỏ RS  cho đường tròn ngoại tiếp

 tam giác JST cắt  hai điểm phân biệt Gọi A giao điểm gần R 

và  Đường thẳng AJ cắt lại  K Chứng minh KT tiếp xúc với 

Bài 5. Cho số nguyên N  Có N(N  1) cầu thủ bóng đá, khơng có hai

người có chiều cao, đứng thành hàng ngang Ngài Alex muốn đưa N(N – 1) cầu thủ khỏi hàng cho hàng ngang nhận được, gồm 2N cầu thủ lại, N điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:

(1) khơng có cầu thủ đứng hai cầu thủ cao nhất,

(2) khơng có cầu thủ đứng cầu thủ cao thứ ba cầu thủ cao thứ tư,



(N) khơng có cầu thủ đứng hai cầu thủ thấp Chứng minh Ngài Alex ln làm điều

Bài 6. Cặp có thứ tự số nguyên (x, y) gọi điểm nguyên thủy ước số

chung lớn x y Cho tập S gồm hữu hạn điểm nguyên thủy Chứng minh tồn số nguyên dương n số nguyên a a1, 2, , an cho với điểm (x, y) thuộc S, ta có:

1 2

0 1

n n n n n

n n

a x a x  y a x  y a xy  a y



     

Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm