Đang tải... (xem toàn văn)
Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm.. Định lí.[r]
(1)ĐẠO HÀM I TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b), x0 ∈ (a;b) Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ
số x → x0 gọi đạo hàm hàm số cho x0, kí hiệu f'( x0) hay y'( x0) Như vậy:
f'( x0 ) =
Nếu đặt x - x0 = ∆x ∆y = f(x0+∆x) - f(x0) ta có
f'(x0) =
Đại lượng ∆x gọi số gia đối số x0 đại lượng ∆y gọi số gia tương ứng hàm số
2 Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa
Bước 1. Với ∆x số gia số đối x0 ,tính ∆y = f(x0+∆x)- f(x0);
Bước 2. Lập tỉ số ;
Bước 3. Tính
Nhận xét: thay x0 x ta có định nghĩa quy tắc tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x ∈ (a;b)
3 Quan hệ tính liên tục tồn đạo hàm
Định lí Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục x0.
Chú ý.
Định lí tương đương với khẳng định : Nếu y = f(x) gián đoạn x0 khơng có đạo hàm điểm
Mệnh đề đảo định lí khơng Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm
4 Ý nghĩa hình học đạo hàm
Nếu tồn tại, f'(x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0(x0;f(x0)) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M0(x0;f(x0))
y - f(x0) = f'(x0)(x-x0) 5 Ý nghĩa vật lí đạo hàm
v(t) = s'(t) vận tốc tức thời chuyển động s = s(t) thời điểm t
II BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: y = 2x 1 x0 = 5
Giải: Tập xác định D =
1 x : x
2
Với x số gia x0 = cho 5+ x
y = 2(5 x) 1 - 10 1
Ta có: y x =
9 x x
Khi đó: y’(5)= x y lim
x
=
x
9 x x lim
x x
=
x
9 x lim
x x
=
x
2 lim
9 x
(2)Bài : Chứng minh hàm số
x y
x
liên tục x0 = 0, khơng có đạo hàm điểm đó.
HD: Chú ý định nghĩa: x =
x ,neáu x -x ,neáu x<0
Cho x0 = số gia x
y = f(x0+x) –f(x0) = f(x) –f(0) = x x
y x
=
x x x
Khi x 0+ ( x > 0) Ta có: x y lim
x
= x
x lim
x x
= x
1 lim
x
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
x ,
,
neáu x x neáu x<0
a) Cm hàm số liên tục x = 0b) Hàm số có đạo hàm điểm x = hay không ? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh hàm số y = f(x) =
2 (x 1) , n
, n
eáu x
-x eáu x<0 khơng có đạo hàm x = Tại x =
hàm số có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh hàm số y = f(x) =
2 (x 1) ,
,
2
neáu x (x+1) neáu x<0
khơng có đạo hàm x0 = 0, liên tục
HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; x y lim
x
= -2; x y lim
x
= 2 x y lim
x
x y lim
x
hàm số khơng có đạo hàm x0 =
b) Vì lim f (x)x 0 =1; lim f (x)x 0 =1; f(0) = lim f (x)x 0 = lim f (x)x 0 = f(0) = hàm số liên tục x0 = 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x, sin x
Neáu x Neáu x<0
a) Chứng minh hàm số đạo hàm x = b) Tính đạo hàm f(x) x =4
HD:a) Vì x 0lim f (x) =xlim cos x0 =1 xlim f (x)0 =xlim ( sin x)0 = 0; f(0) = cos0 = xlim f (x)0 xlim f (x)0
hàm số không liên tục x0 = (hàm số gián đoạn x0 = 0)
Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau:
1 y = (x2-3x+3)(x2+2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9
(3)3 Tìm đạo hàm hàm số: y = 3x x x
Giải: y’ =
3x ' x x
+
2
3x x ' x
=
2
3 x
x
=
2
3x
x x
=
2
3 x
x
+
1 3x
x x 2 x
3 y =
x 1
x
4 y = 3 x 1 x 3x
5 y = (x2-1)(x2-4)(x2-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x)
7 y =
1 x
1 2x
8 y =
3 2x 2x
9 y = x x
; Đs:-
1 (x 1)(x 1)
10 y =
2 x x
; Đs:- 2 2x (1 x )(1 x )
11 y = cos2
1 x
1 x
; Đs:
1 x
sin
x (1 x ) x
12 y = (1+sin2x)4; Đs:(1 sin x) sin 2x
13 y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
14 y =
sin x cos x sin x cos x
; Đs:
2 (sin x cos x)
15 y = sin 3x sin x.cos x
518) y = f(x) = x
1 cos x ; y’ = cos x x sin x
1 cos x
519) y = f(x) = tan x
x ; y’ = 2 x sin x cos x
x cos x
522) y = f(x) = sin x
1 cos x ; y’ = 1 cos x
523) y = f(x) =
x
sin x cos x ; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x) sin 2x
526) y = f(x) =
tan x
4 ; y’ = tan3x.
1 cos x
527) y = f(x) = cosx
3
cos x
; y’ = -sin3x
528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
(4)529) y = f(x) =
3tan3x –tanx + x; y’ = tan4x
535) y = f(x) = tan x
2
; y’ =
x 2cos
2
539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x
544) y = f(x) =
1 tan x
x
; y’ =
2
2
x
1
2x cos x tan x
x x
672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ =
3
2sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) = 2sin x
cos 2x ; y’ = 2sin 2x cos 2x
684) y = f(x) =
x x
tan cot
2
x
; y’ = 2 2(x cos x sin x)
x sin x
685) y = f(x) =
2 x x sin cot
3 2; y’ =
1 x 2x
cot sin
3
2
1 x
sin
2
… 689) y = f(x) = tan x tan x ; y’ =
2
2
tan x(1 tan x) cos x tan x tan x
694) y = f(x) =
6
1
sin 3x sin 3x
18 24 ; y’ = sin53xcos33x
705) y = f(x) = cosx. sin x
; y’ =
3
2 2sin x sin x
706) y = f(x) = 0.4
2 2x
cos sin 0.8x
; y’ = -0.8
2x
cos sin 0.8x
2x
sin cos 0.8x
713) y = f(x) =
1 sin x ; y’ = sin 2x sin x
721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2)
722) y = f(x) =
2cos x cos 2x ; y’ =
2sin x cos 2x cos 2x
BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG
1.Tìm đạo hàm hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ =
2 x cot2x 2 x sin 2x
2 Tìm đạo hàm hàm số: y = 3sin2xcosx+cos2x
y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’
= 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx)
3 Cho hàm số : y = x x x
Tìm TXĐ tính đạo hàm hàm số ? TXĐ: D = R
y’ =
2
2x x x x
2 x x x x
=
2
3
2(x x 1) x(2x 1) x x
=…
(5)Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x
= [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x
=[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x
=
y’ = (đpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’]
= 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx cos2x-sin2x.2cosx.sinx]
= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)
b) y = cos2
x
+cos2
x
+cos2
2 x
+cos2
2 x
-2sin2x.
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị hàm số f'(x)
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị hàm số f'(x)
Bài : Chứng minh hàm số sau thỏa mãn phương trình :
a) y = 2x x ; y3y"+1 = b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0
d) y = x3[cos(lnx)+sin(lnx)]; x2y"-5xy'+10y = e) y = 2 x x 1
; (1+x2)y"+xy'-4y =
Bài : Cho hàm số
y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x
1/ Tính f’(x) f”(x), từ tính f’(0) f”() 2/ Giải phương trình f”(x) = 0.
Bài : Cho hàm số y = f(x) = x
2
cos2x
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) =
Bài : Giải phương trình f’(x) = biết rằng: f(x) = 3x+
60
x
64 x
+5; b) f(x) = sin 3x
3 +cosx-
cos3x sin x
3
Giải:
f’(x) = 60 x
+
2 64.3x
x == 3 60 x
+ 64.3
x == 3
20 64
x x
f’(x) = 20 64
x x