Bài Giải Một Số Bài GTLN Và GTNN – Cực Trị Đại Số

Khi gaëp bieåu thöùc ñaúng caáp, caùch giaûi ta thöôøng söû duïng laø chia vaø ñaët aån phuï ñeå xeùt haøm moät bieán... Daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi..[r]

HƯỚNG DẪN GIẢI GTLN & GTNN CỦA HAØM SỐ GVBM : ĐOAØN NGỌC DŨNG

BÀI 3.9 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau : 1) y = x +

4x (ĐH B 2003) ĐS : Maxy =2 2; miny = –2  Hướng dẫn :

y xác định  – x2  x2  –2  x 

Txñ : D = [–2 ; 2] y’ =

2 2

x

x x x

4

x

      

y’ =  4x2 x 

      

 

  

  

  

  

 



2 x

2 x

0 x

x x x

x

0 x

2

2  x =

f(–2) = –2 ; f(2) = ; f( ) = 2 Vaäy Max y 2

] ; [

x  x = vaø xmin[2;2]y2 x = –2

2) y =

1 x

1 x

2 

 đoạn [–1 ; 2] (ĐH D 2003) ĐS : Maxy = ; miny =  Hướng dẫn :

Txđ : D = R (vì x2 + > 0, x)

y’ =

1 x ) x (

1 x

x

1 x

x ) x ( x

2

2

2

 

   

 

 

y’ =  x = (nhaän) f(–1) = ; f(1) = ; f(2) =

5

Vaäy Maxy

] ; [

x  x = vaø xmin[1;2]y0 x = –1

3) y =

x ) x

(   (DBÑH 2004) ÑS : Maxy =

4

3 ; miny =  Hướng dẫn :

y xác định  – x2  x2  –1  x 

Txñ : D = [–1 ; 1] y’ =

2

x

1 x x

  

 , x  (–1 ; 1)

y’ =  –2x2 – x + =     

  

nhaän) nhaän) ( x

(

x

f(–1) = ; f(1) = ;

4 3 f 

   



Vaäy

4 3 y M ax

] ; [

x  x =21 vaø xmin[1;1]y0 x = 1

4) y x24x21 x23x10 (ÑH D 2010) ÑS : Maxy = ; miny = Điều kiện :

   

  

    

  

   

   

0 10 x x

0 21 x x 10 x x

0 21 x x

2 2

2

21 x x

4 x 10

x x

3 x 10

x x

3 x 21

x x

2 x

y 2 2 2 2

  

 

  

 

  

     

  

y’ = 2x3 x24x212x4 x23x10

         

    

  

  

         

* *

4 x x

* 10 x x x 21 x x x

2 2 2

(*)  (2x – 3)2(4x2 – 16x – 84) = (2x – 4)2(4x2 – 12x – 40)  (2x – 3)2[(2x – 4)2 – 100] = (2x – 4)2[(2x – 3)2 – 49]

 100(2x – 3)2 = 49(2x – 4)2 10(2x – 3) = 7(2x – 4)  x =

3 1, x =

17 29

Kết hợp điều kiện (**) : x =

3 1

Bảng biến thiên :

x

3

1 5

y’  +

y

3

2

Căn bảng biến thiên, ta có : Miny =  x =

3 1

 Cách khác : Điều kiện :

   

   

   

0 10 x x

0 21 x x

2

2  x 

Xét miền 2 < x < 5, ta coù :  

2

2 x 49

x 25

y 

          

Neân  

     

2

2

2 25 x

3 x

3 x 49 x x 49

2 x

x 25

2 x '

y   

               

         

 

 

  

 

     

 

 

1 x x 49

3 x 25

5 ; 2 ; x

2 x 25 x

3 x 49 x

0 x x

5 x

2

2

2

  

     

 

      

   

    

         

              

  

        

        

   

Ta coù : y(2) = ; y 

   

 ; y(5) =

Vaäy

3 y y

5 x

2 

    

 



 Caùch khaùc :

Điều kiện : 2  x 

Vì (x2 + 4x + 21) – (x2 + 3x +10) = x + 11 >  y >

Suy y  , dấu xảy x =

3

1 Vaäy miny =

Tập xác định : D = [2 ; 5]

 

10 x x

3 x 21

x x

4 x x

'f

2

2   

     

  

Cho   x 4x 21 x 2 x 3x 10

2 x x

'f         

       

3 x 17 29 x x

2 x x

1 21 x x

25 10

x

x

49

2 x x

21 x x

4 x x 10 x

x

9 x x

2 x x

2

2 2

2  

     

  

    

     

      

    

     

 

    

 

   

Bảng biến thieân : x 2

3

1 5

f’(x)  

f(x)

3

2

Vaäy  

3 f x f Min

D 

   



 Cách khác : (Theo đáp án đề thi Đại học khối D năm 2010 Bộ Giáo Dục) Ta thấy x2 + 4x + 21 – (x2 + 3x + 10) = x + 11 > nên suy y >

Do y2 x37x  x25x2 x37xx25x

x35x  x27x22 x35x 7xx2 x35x  7xx22 22



vìy 0

2 y

y2    



Vậy giá trị nhỏ f(x) 2, đạt x

(Theo đáp án đề thi Đại học khối D năm 2010 Bộ Giáo Dục) 5)

1 x

3 x x

y

  

 đoạn [0 ; 2] (ĐH D 2011) ĐS : Maxy =

17 ; miny =  Hướng dẫn :

Txñ : D = R \ –1

Ta coù :

 2

2

1 x

x x ' y

 

  y’=  x =  x = – (loại) Mà y(0) = y(2) =

3 17 Vậy giá trị lớn

3

17 giá trị nhỏ 6) 2x2 3x

y

x

 



 đoạn [0 ; 2] (ĐH D 2013) ĐS : Maxy = ; miny =

 Hướng dẫn : Txđ : D = R \ –1

Ta coù :

 

2

2x 4x

y '

x

 



Maø y(0) = ; y(2) =

3 ; y(1) =

Vậy giá trị lớn giá trị nhỏ 7)  

x x x

f   đoạn [1 ; 3] (THPT QG 2015) ĐS : Maxy = ; miny =  Hướng dẫn :

Hàm số f(x) liên tục đoạn [1 ; 3]   2

x x

'f   ; f’(x) =  x =  (1 ; 3) f(1) = ; f(2) ;  

3 13

f 

Vaäy :

  f x

3 ;

1  x = ; max 1;3 f x 5 x =

8*) y = sin5x + cosx (DBÑH 2003) ÑS : Maxy = ; miny = –

 Hướng dẫn :

Xét hàm số : y = y = sin5x + cosx  x[0 ; 2]

y’ = 5sin4x.cosx –

3sinx = sinx(5sin3x.cosx – 3)

y’ =    

  

) ( x cos x sin

) ( x sin

3

(1)  x = k, k  Z

Mà x[0 ; 2] nên x = ; x = 2

Xét hàm số : g(x) = 5sin3x.cosx –

3,  x[0 ; 2]

 g’(x) = 5(3sin2x.cos2x – sin4x) = 5sin2x(3cos2x – sin2x)

g’(x) =    

 



3 tgx

0 x sin



   

 

    

      

0 ) x ( g ; ; ; x

0 ) x ( g ; ; x

 g(x) = : vô nghiệm Ta có : y(0) = ; y() =– ; y(2) =

Vaäy Maxy x =  x = 2 vaø miny x = 

9*) yx6 41x23trên [–1 ; 1] (DBĐH 2003) ĐS : Maxy = ; miny =

9

 Hướng dẫn :

Đặt t = x2 Ta coù : –1  x    t 

Ta coù : y = t3 + 4(1 – t)3 = 3t3 + 12t2 – 12t + 4,  t[0 ; 1]

Khảo sát hàm số f(t) = 3t3 + 12t2 – 12t + 4,  t[0 ; 1]

f’(t) = 9t2 + 24t – 12 = 3(3t2 + 8t – 4),

f’(t) = 

3

t1  , t2 = (loại)

Do  t  1, neân ta có bảng biến thiên f(t)

t

3

f’(t)  +

f(t)

9

Dựa vào bảng biến thiên ta có : Maxy Maxy

] ; [ t ] ; [

9 y y

] ; [ t ] ; [

x    t = 3

2  x =

6



Max y = x = , Miny =

9 4

3 x

10*) y = 

  

   

 2

x x 11

x với x > (DBĐH 2006) ĐS : miny =

2 15

 Hướng dẫn :

  2

2 2 2

3

2

2 2

11 11 14 2x x 11 x 28

y x x y '

2x x 2x 2x x

x

x

y ' 2x x 11 x 28

   

 

           

   

      

Đặt t = x27 x0t x2 7  x2 = t2 –

Ta coù : 2(t2 – 7)t – 11t – 28 =  2t3 – 25t – 28 =  t =  x =

x +

y’  +

y + +

2 15 Từ bảng biến thiên, ta có :

  2

15 y Min

;

0  , x =

B CỰC TRỊ ĐẠI SỐ (BIỂU THỨC HAI BIẾN)  PHƯƠNG PHÁP : Đổi biến đẳng cấp

BAØI 3.10 :  Hướng dẫn :

Biểu thức A biểu thức đẳng cấp bậc hai x, y (cả tử mẫu có bậc 2) Khi gặp biểu thức đẳng cấp, cách giải ta thường sử dụng chia đặt ẩn phụ để xét hàm biến

 Nếu y = x  vaø A =

 Nếu y  0, ta chia tử mẫu cho y2 Đặt

y x

t Khi t  R

1 t t

1 t

A 2

 





Xét hàm số  

1 t t

1 t t

f 2

 



 treân R

Ta coù :    

 2 2

1 t t

1 t t t

'f

 

 

 ;   

 

   

1 t

0 t t

'f vaø lim f t lim f t

x

x   

Suy bảng biến thiên :

t  1 

f’(t)   

f(t)

1

0

2



Dựa vào bảng biến thiên ta suy giá trị lớn A 1, đạt x = 0, y  R* ; giá trị nhỏ A

2

 , đạt x = y  BAØI 3.11

Ta coù : 2 22 22

y xy x

y xy x y xy x A

 

     

 Nếu y0 x1 A1

 Nếu y0

1 y x y x

1 y x y x

A 2

2

       

       

 Đặt

y x

t ta :

1 t t

1 t t A 22

 

 

   

2 2

1 t t

1 t ' A

 



 ; A'0t1

2

x x

t t

lim B lim

t t

 

 

 

 

Bảng biến thiên :

t  1 +

A’ +  +

A

3

1

3

Theo bảng biến thiên, ta :

 MaxA3 đạt t1yx vào  1 : x21x1y1



3 A

min  đạt t1yx vào  1 : y x x

3    

 Caùch khaùc : Điều kiện : 

 

 

0 y

0 x TH1 : x =  A =

TH2 : x  Đặt y = tx, ta có : A =

1 t t

1 t t ) t t ( x

) t t ( x x t tx x

x t tx x

2 2

2

2 2

2 2

 

    

  

 





 At2 + At + A = t2 – t +  (A – 1)t2 + (A + 1)t + A – = (1)

 Nếu A = t =

 Nếu A  : phương trình (1) có nghieäm

  = (A + 1)2 – 4(A – 1)2  –3A2 + 10A –   3A2 – 10A +  

3 A 1 

Vaäy Max y = vaø y =

3

BAØI 3.12 :  Hướng dẫn :

Ta coù : P = 2 y xy

) xy x (

 

 =

2

2

y xy y x

) xy x (

  

 (vì x2 + y2 = theo giả thiết)

 TH1 : y =  P =

 TH2 : y  Đặt x = ty, ta có : P =

3 t t

t 12 t ) t t ( y

) t 12 t ( y y ty y y t

) ty y t (

2 2

2 2 2 2

2 2

 

   

 

 





 Pt2 + 2Pt + 3P = 2t2 + 12t  (P – 2)t2 + 2(P – 6)t + 3P = (1)

Nếu P = t =

4 3

Neáu P  : phương trình (1) có nghiệm   = (P – 6)2 – (P – 2).3P   –2P2 – 6P + 36   2P2 + 6P – 36  

3 P 6 



maø x2 + y2 =  9y2 + y2 =  10y2 =  y = 

10

1  x = 

10 

     

 

   

    

 

10 y

10 x

10 y

10 x

_ Tương tự : P = –6 

     

    

    

  

13 y

13 x

13 y

13 x

Vaäy Max y =

     

 

   

    

 

10 y

10 x

10 y

10 x

vaø y = –6

     

    

    

  

13 y

13 x

13 y

13 x

BAØI 3.13 :  Hướng dẫn :

 Caùch :

Điều kiện x  0, y  Đặt t y y tx (t R, t 0) x

     Ta coù :

  2 2 2 2

xy xy x xy y tx (xtx)x tx t x x (tt )x (1 t t )

2

t t

x (t 0, t 1)

t t

 

    



Mặt khác, ta coù :     

2

2 2

3

3 3 3 3

x y x y xy x y xy

1 x y x y x tx t

A

x y x y x y x y xy tx tx

     

       

          

   

 

Theá x t22 t

t t

  

 vào A, ta có :

2

2

2 2 4 2

2 2 2

2

t t t (t 1) (t 1) t 2t

A A

t t t t

tx t t (t t 1) t t

t

t t t

   

     

      

 

          

         

       

 

   

= B

Tới ta tìm B theo theo hai cách sau :

 Cách a : Dùng đạo hàm :

Xeùt B t22 2t

t t

  

  , t  R

2

2

3t B'

(t t 1)

 

 

 

2 t

B' 3t t

t

 

       

  

2

x x

t 2t

lim B lim

t t

 

 

 

   Baûng biến thiên :

x – –1 +

B’ – + –

1

B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

t R x R

1 Max B t Max A x y

2

        x = –2

1 vaø

2 y

R

x  x = –5

Ta coù : 2 2

t 2t

B B(t t 1) t 2t (B 1)t (B 2)t B

t t

 

             

  (1)

Phương trình có nghiệm

 Xét B = : phương trình (1)  –3t =  t =  phương trình có nghiệm B = (a)  Xeùt B  phương trình (1) có nghiệm t B 2

(B 2) 4(B 1)(B 1)

 

       



2

B B

3B 12B 3B 12B

 

 

 

    

  

B B

3B(B 4) 0 B

 

 



     

  (b)

Từ (a) (b), ta có miền giá trị hàm số :  B 



t R

Max B

  t = (thế B = vào (1)  = 0, ta có : t = 1) Vậy Max A 16x R 

1 y x 

BAØI 3.14 :  Hướng dẫn :

Ta đưa tốn trở việc tìm giá trị lớn hàm số tập tập xác định Đặt t x

y

  Từ điều kiện x0, y0, ta có y

x  , ta :

6 t

2 t t t

1 t P

2 

   

 

Điều kiện

4 y y

1 y y x y xy

2

2  

  



 

       

Bài toán ban đầu phát triển thành :

“Tìm giá trị lớn hàm số     t

2 t t t

1 t t

f

2 

   



 nửa đoạn  

 

4 ;

0 ”

Rõ ràng f liên tục  t

    

4 ;

0

Nếu f đồng biến  t

    

4 ;

0 tức 'f t 0 với     

4 ;

t giá trị lớn f  t      

4 f

Ta coù :  

    

 2 2 3  2

2

2

1 t

1

t t

7 t

t

1

t

t t t

1 t t t t ' t t 'f

   

     

  

     



Vì     

4 ;

t neân 3t76, t2t3tt133 vaø

 

1 t

1

2 

 neân  

1 3

6 t

'f    với

     

4 ; t

Hàm số f đồng biến  t

    

4 ;

 

30

5 f t f max P

max

4 ; t

         

     

 PHƯƠNG PHÁP : Thế biến

BÀI 3.15 :  Hướng dẫn :

Ta coù : x2 x12y0 hay 4x3

Khi : Tx33x29x7

Xét hàm số f x x33x2 9x7, với 4x3

  2

f ' x 3x 6x 3(x 2x 3)

       x

x

 

   



f(–4) = 13 ; f(3) = 20 ; f(1) = –12 ; f(–3) = 20

20

MaxT x;y  3;6 x; y  3; 0

12 T

min  x;y  1;10, BAØI 3.16

 Hướng dẫn :

 Caùch :

Ta coù :

5

x y y x 5

y x

4

4

x x

5

0 x

y

x

4

     



   



    

  

     



    

 

Xét hàm số f(x) = , x ;5

x 4x

 

   

  

     

2 2 2 2

2

4

f '(x) 4x 4x x 4x 3x 8x

x 5 4x

               

 

x (

x (

3

     

nhận) loại)

x 5/4

f’(x)  +

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có S = x =  y =

 Caùch : Áp dụng BĐT côsi cho số dương, ta coù :

5 25 y x

25 y

4 x x x x

5 5

y x x x x

5 y

4 x x x x

5 y

4 x x x x S

5              

     

1 1 1

x x x x 4y

x 4y

y

min S x y

4 x y

x

x 0, y

     

    

  

     

 

   

 

  

 Cách : Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có :

y

1 x y x y

1 y x x

2         (3)

Dấu “=” (3)

   

   

  

    

    

 



4 y

1 x y x

y x

5 y x

y y

1 x

x

2

(3) 

y

1 x y

1 x 4

5   

   

 

       



Vậy S = BAØI 3.17 :  Hướng dẫn :

Điều kiện :

1

1 2x x

x

2

2 x

x



   

     

   

  

So với điều kiện x > 0, ta có : < x  x x

x x x

1 x

1 ' A

 

      

 ;

3 x x x '

A      

Bảng biến thiên :

x 31

A’ + 

A 15

Theo bảng biến thiên, ta : MaxA 15 đạt

3 y

x  



BAØI 3.18 :  Hướng dẫn :

Ta coù : y2xAx4 2x4

 3

3 3 2

A '4x 4 x 4x 4(8 12x 6x  x )8x 24x 48x 32 (x 1)(8x 16x 32)

x '

A   (do x2 – 16x + 32 > 0, x)

Bảng biến thiên :

x  1 +

A’  +

A + +

2

Theo bảng biến thiên, ta : minA2 đạt x1y1 BAØI 3.19

 Hướng dẫn :

Ta có : x2 y2 2y 2x2 vì y0

Do y > neân

2 x   0 2 x vaø x > neân x   23

3 2 x

x

A  

 với 0x

  212 2  2

2

3 2x

A ' 3x x 3x 3x x 3x x x 3x

2 x 2 x



          

  ; A'0x1 vì x0

Bảng biến thiên :

x

A’  +

A 2 2

2

Theo bảng biến thiên, ta : minA2 đạt x1y1 BAØI 3.20 :

Theo giả thiết :

a a b 0

b

b b 4 b

4 3b b

a 3b a 3b

 

     

        

      



      

 

Khi :

b

3 b

1 b

b b

b P

         

Xét hàm  

b

3 b

1 b f

   

 treân  

3 ; Ta coù :  

  b

3 b

3

3 b

'f 2

  

 ;       

 

       

3 b

1 b b

1 b b

'f 2

x

3

y’  

y

4

7 12

Dựa vào bảng biến thiên ta suy giá trị lớn P

4, đạt b = 0, a = ; giá trị nhỏ P 2, đạt b = 1, a =

BAØI 3.21 :  Hướng dẫn :

Từ giả thiết suy : 2

2

x ; y x ; y x ; y

x x x

y y y

x x x

9

x 3x 14x

1 x

2x 14

5 x

 

        

     

     

  

  

           

 



Khi :  

2

2 2

2 x x 5x 9

P 3x x 2x x 5x

x x x x

      

         

   

Xét hàm số  

x x x

f   treân  

5 ;

1 Ta coù :  

x x

'f   2  với 

     

5 ;

x

Do hàm đồng biến  

5 ;

1 Suy : minf   x f1

5 ;

  

  

 ;  

9 f x f max

5 ;

       

   

Vậy giá trị nhỏ P 4, đạt x = 1, y = ; giá trị lớn P 4, đạt x ,

15 52 y  PHƯƠNG PHÁP : Đổi biến – Đổi biến đối xứng

BAØI 3.22 :

 Hướng dẫn : Đổi biến Theo giả thiết :

x x

x x

y y 0 x

1 x x

x y y x

 

 

 

 

        

      

 

     

 

Ta có : y1x00x1 Khi :     x x

1 x

1 x A

   

Đặt  

tx x  x x ; t ' 2x  ; t ' x

  

x 21

t’ + 

t

1

0

Theo bảng biến thiên t

   Khi : A t t

  ; A ' t22 t



  t ;

4

 

  

 hàm A giảm    

4 ;

4 17 A A

min 

     

 đạt t x y

4

   

BAØI 3.23 :  Hướng dẫn :

(Đổi biến kết hợp với BĐT Cô-si)

Ta coù :      

2

2

2 x y

x y xy x y 2xy xy x y xy

4



            

 2  2  2  2

4 x y 12 x y x y 12 x y x y

               

Đặt txy, t2;2

Ta coù : 3 3  3   3  2  3

Px y 3x 3y  xy 3xy xy 3x 3y  t t 3 t 3t  2t 6t Xét f t 2t36t với t2;2

Ta có : 'f t 6t2 6, khoảng 2;2 ; 'f t 0t1

 2

f   , f 1 4, f 1 4, f 2 2  f t

max

2 ;

t  t1, suy maxP4 

  

 

2 xy

1 y x

 x1 ; y2 x2 ; y1

 f t

2 ;

t  t1, suy minP4 

  

  

2 xy

1 y x

 x1 ; y2 x2 ; y1

Vậy, maxP4 x;y  1;2, 2;1 minP4 x;y  1;2, 2;1 BAØI 3.24 :

 Hướng dẫn : Từ giả thiết, ta có :

2 2 2 2

(x 4)  (y 4) 2xy 32 x      8x 16 y 8y 16 2xy 32 x  y 2xy 8x 8y   (x y) 8(x y) Do (x + y)2 8(x + y) lại lớn (x + y)2 nên x + y  Do đó, ta có :  x + y 

Ta coù :       x y 3x y

2 y x y x xy y x xy y x

A 3 3        3  2  

Đặt txy, 0t8 xét hàm số   t 3t

3 t t

f  3 2 

Ta coù : 'f t 3t2 3t3,  

2 t t

'f    

 0

f  , f 8 398,

4 5 17

5

f  

  

  

Suy    

4 5 17

5 f t f

8 ;

     

  

 Do

4 5 17

Đẳng thức xảy

4 y x

5 y x

y x

    

  

   

Vaäy

4 5 17 A

min  

BAØI 3.25 :

 Hướng dẫn :

 Nhận xét : Nếu ta rút y từ 2

x y    2 y x (do x, y  R) giải theo kiểu biến biểu thức P có y3 dẫn tới khai triển  23

2 x

  phức tạp Do x2 + y2 = nên ta có :

P = 2(x + y)(x2 – xy + y2) – 3xy = 2(x + y)[(x2 + y2)–2xy] – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy

Ta coù :  

2

2 2 x y

x y (x y) 2xy 2xy (x y) xy

2

 

           

Để quy toán biến ta đặt t = x + y, ta có : xy t2 2

 

Khi :

2 t

2 t t

P  

  



  

 t 6t

2 t t t t t

4      3 2 



Mặt khác, ta có : 2 2

t   x y t (xy) x y 2xy2xy 2xy 4xy

 t2 2

t 2t t t

2

  

          

 

Từ xét hàm số   t 6t

3 t t

f  3 2  , t  [–2 ; 2]  f ’(t) = 3t2 – 3t +

f ’(t) =  3t2 – 3t + = t

t

  

  



(nhaän) (nhaän) f(–2) = –7 ; f(1) = 13

2 ; f(2) =

2

1

x

x y

13

M ax P

2 x y 1 3

y

 

 

   

  

  

  



     

 

 

2 y

2 x

vaø

  

 

   

 

  

    

1 y

1 x

y x

2 y x P

min 2

 Chú ý : Ta có bảng biến thiên sau :

t 2

f’(t) + 

f(t) BAØI 3.26 :

 Hướng dẫn :

2

1 x x

1 x (x 1)(x 2) x 3x x 3x

x x

  

 

              

  

  Tương tự : y

2 +  3y

Do đó, ta có :

  2    

x 2y y 2x x 2y y 2x x y

P

3x 3y 3y 3x x y (x 2) 3y (y 2) 3x x y x y x y

    

       

Đặt t = x + y, suy  t  Xeùt    t 1 t

t t

f  



 , với  t  Ta có :  

 2 4 t 12

1

t t

'f

  

 Suy : f’(t) =  t = Maø  

12 11

f  ;  

f  ;   60 53

f  neân     f t

f   Do đó, P Khi x = 1, y =

8

P Vậy giá trị nhỏ P BAØI 3.27 :

 Hướng dẫn : Đặt x y t 

Ta coù : 3(x y) 4xy 3t 4xy xy 3t

     

Vì x x y t

y

 

      

  x y 4xy

2  

 neân

t   3t t(t 3)   0 t (do t  2)

Vì x1, y1 nên x y 1  xy x y 3t t t 4

             

Vậy 3 t

Ta có :    

2

3 1 3 2 16

C x y 3xy x y t t

x y xy t

 

            

 

Xét hàm số   16

f t t t

4 t

    với 3 t 4, có f ’(t) = 3t t 82

2 t

   

 

  , nên hàm số f(t) đồng biến

treân  3;4 Suy f 3     f t f 113 f t  94

12

    

Do giá trị lớn C

94 , đạt

  

   

 

  

1 y

3 x

xy y x

  

 

3 y

1 x

vaø giá trị nhỏ C

12

113 , đạt

2 y x

9 xy

3 y x

   

  

  

BAØI 3.28 :  Hướng dẫn :

 Nhận xét : Vai trò x, y giống (đối xứng)

 Cách :

Ta có : S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 9xy + 25xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12[13 – 3xy.1] + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12

Đặt t = xy Do x, y số thực không âm nên  

2

x y 1

0 xy t t ;

4 4

  

         

 

Ta coù : S = 16t2 – 2t + 12

Xét hàm f(t) = 16t2 – 2t + 12, 

    

4 ;

t  f ’(t) = 32t – 2,  

16 t t

'f   

Ta coù : f(0) = 12,

16 191 16

1

f 

   

 ,

2 25 f 

   



Vaäy  

2 25 f t f max

4 ;

       

  

 ;   16

191 16

1 f t f

4 ;

       

  

 Giá trị lớn S

25 :   

      

   

  

2 ; y ; x

1 xy

1 y x

 Giá trị nhỏ S

16

191 :  

   



  

 

   

  

4 ;

3 y ; x 16

1 xy

1 y x

hoặc  

  



  



4 ;

3 y ; x

 Caùch :

x y  16x y 34xy 12

S 3  2    2 2  2 2  2 2 2

12 x y x y xy 16x y 34xy 12 x y 3xy 16x y 34xy

           

 

2

2 191

12 3xy 16x y 34xy 4xy

4 16

 

       

 

Mặt khác, x, y không âm xy1 nên ta có

4

y x xy

2

        

  0 4xy 1

Suy : 4xy

4 4

    

2

191 191 191 25 191 191 25

4xy 4xy

16 16 16 16 12 16 16 12

   

            

   

Vaäy

2 25 S 16

191 



16 191

Smin 

x y x y 1 x y 1

x y

1

1 191 200

4xy

4xy (do xy

4xy

4 4

4 16 16

 

      

  

   

           



 

   

 x, y không âm)

 x, y nghiệm phương trình :

2

2

X

1

X X 16X 16X

16 2 3

X

 

  

       

 

  

   

  

   

4 ;

3 y ;

x 

 SM ax 25



x y x y 1 x y 1

1

1

xy

4xy

4xy

16

4

 

      

  

        

 

   



 x, y nghiệm phương trình :

2 2

X X 4X 4X (2X 1) X

4

             x y

2

 

Vậy ta có

16 191

Smin    

  

   

4 ;

3 y ;

x  vaø SM ax 25

2

 x y

 

 Caùch : Phương pháp biến Theo giả thiết :

x x

x x

y y 0 x

1 x x

x y y x

 

 

 

 

        

      

 

     

 

S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 2

4x 3(1 x) 4(1 x) 3x 25x(1 x)

        

   

2

(4x 3x 3)(4x 5x 4) 25x 25x 16x 32x 18x 2x 12

           

Xét hàm soá f(x) =

16x 32x 18x 2x 12 , x  [0 ; 1]  f’(x) = 64x3 – 96x2 + 36x – =

 

1 3

x 16x 16x x x x

2 4

 

 

           

1 25 191 191

f (0) 12 ; f (1) 12 ; f ; f ; f

2 16 16

     

 

       

     

Vậy ta có

16 191

Smin    

  

   

4 ;

3 y ;

x 

vaø M ax

25 S

2

 x y

  BAØI 3.29 :

 Hướng dẫn :

1 xy xy xy xy xy y x

1 2 2      Maët khaùc :  

3 xy xy xy y x xy y x

1 2    2   

Từ đó, ta : xy

1  



Biến đổi : Ax4 y4x2y2 x2y22 3x2y2 1xy2 3x2y2 12xy2x2y2

Đặt txy t 1 

 Xét hàm số : f t 2t2 2t1 với t 1 1 

  

f ' t   4t ;  

2 t t

'f   

t 31

2

1 1

 t

'f + 

 t

f

3

9

1 1

Theo bảng biến thiên, ta :

  

9 t f A

min   đạt

3 y x

t    

  

2 t Maxf

MaxA  đạt

2 xy

t  



Từ giả thiết :  

2 y

x xy y x xy y

x2 2         

 giải hệ :

     

  



2 y

x xy

ta :

      

  

    

     

  

 

2

1 y

2

1 x

2

1 y

2

1 x

(nhớ ta cần đưa vài giá trị giá trị x, y để A max) BAØI 3.30 :

 Hướng dẫn :

Ta đưa toán trở việc tìm giá trị lớn hàm số tập tập xác định Đặt t x

y

  Từ điều kiện x0, y0, ta có y

x  , ta :

6 t

2 t t t

1 t P

2 

   

 

Điều kiện

4 y y

1 y y x y xy

2

2  

  

 

        

“Tìm giá trị lớn hàm số     t

2 t t t

1 t t

f

2 

   



 nửa đoạn  

 

4 ;

0 ”

Rõ ràng f liên tục  t    

4 ;

0

Nếu f đồng biến  t

    

4 ;

0 tức 'f t 0 với

     

4 ;

t giá trị lớn f  t      

4 f

Ta coù :  

    

   3  2

2

2

2

1 t

1

t t

7 t

t

1

t

t t t

1 t t t t ' t t 'f

   

     

  

     



Vì

     

4 ;

t nên 3t76, t2t3tt133

 

1 t

1

2 

 neân  

1 3

6 t

'f    với

     

4 ; t

Hàm số f đồng biến  t

    

4 ;

 

30

5 f t f max P

max

4 ; t

         

     

 Chú ý :

 Cách : Đặt

y x

t từ giả thiết suy :

4 y y

1 y t

2

2  

  

 

    

 hay

4 t 0 

 

     

          

 

    

 

1 y x

2 y x y x y x

1 y x y

x

y x y xy x

y x

P 2 2 2

t 1

6 t t t

1 t

P 2

    



 với

4 t 0 

Xeùt    

1 t

2 t t t

1 t t

f 2

    



 với

4 t 0   

 3  2

2 2t

1

t t

7 t t

'f

   

  

      

4 ;

t :

  27

5 t t

7 t

3

2   



 ,

 

1 t

1

2 



 'f t 0

      

4 ;

t  f đồng biến

    

4 ;

0   

30 10 f t

f  

     

Vaäy

30 10

Pmax   x 21, y2

 Chú ý : Hướng : Ta có :

6 1 t

1 t t

1 t

P 2 

    

      'f t 6t 12t 9t 9t 1

t

t

t t t

1 t t t t t

'f

2

2

           

  

 

   

Mà t0 nên suy f hàm đồng biến Nên  t  

30

5

1 f t

f  

    



Đẳng thức xảy x2 ;

2 y Hướng :

  f t

6 1 t

1

1 t 1 t

1 t t

1 t

P 2  

          



 , t0

   

2

4

t

1

3 t

'f 2   

  

Suy f hàm đồng biến Nên  t  

30

5

1 f t

f  

    

 Đẳng thức xảy x2 ;

2 y

 Caùch :

1 y

xy  hay  

x x

1 x

y 

 

Đặt t x

y  , ta :

1 t

2 t t

t

P 2

    

 

Do t4 nên 1t3t22t23t1, :

 

1 t

1 t

t

P 

    

Tiếp tục đặt u t

t

1 



 ,

3

u Khi ta lại có : 2

u

1 u

P  

 

u u

'f   3  nên maxP đạt t4 hay y4x2

 Caùch :

Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có : xy xy1 nên từ giả thiết suy xyy 

2 y x

0 

Đặt y x

t ta coù :

     

4 ;

t vaø

1 t

2 t t t

1 t

P 2

    

 

Do

4 t

0  neân

16 45 11

1 11 t

2 t t

2

2   

  

              

Suy

1 t

2 t t 15

5 P

    

Xét hàm soá  

1 t

2 t t 15

5 t f

   

 ,

     

4 ; t

Ta coù :  

   30t 1

15 t t

1 15

5 t

'f 2

2

2  

  

 

 ,

      

4 ;

t nên f đồng biến  t

    

4 ;

Do  

30 10 f t f max

4 ;

 

      

   

 Từ suy 30

7 10 P

max  

   

   

 

  

2

y

1 x

xy

0 x y

Vì xy2 4xy nên từ điều kiện toán suy xy 3 xy220xy1  

2

y x y

x2 2  



Đặt t = x + y, ta coù : 2

t     t (t 1)(t     2t 2) t (do t      2t 0, t) t

Đẳng thức xảy

2 y

x  Ta coù  

4 y x y x

2 2

2   Do :

 

          x y  2x y 

4 y x

y x y

x y x y x y x

A 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

2        

    

 

 

  

   

 

Đặt tx2y2

   



 

2 t

với Xét hàm số   t 2t

9 t

f    ,

2 t với  Ta có   t

2 t

'f    ;

2 t

 nên f(t) đồng biến khoảng    



 ; 

2

1 Do  

16 f t

f 

    



Vaäy

16 A

min 

2 y x   Caùch :

 

x y 4xy x y x y x y

2 xy y

x

2

            



  

    x y x y 2x y  2x y 

2 y x y x y x

A 4 4 2  2    4 4 4 2  2 

  x y  2x y 

3 y x

A 4   2  



Maø 4  22 2  2 2 4 4 x2 y22

2 y x y x y

x y x y x y

x            

Khi   x y  2x y 

2 y x

A 2 2  2 2  2  hay x y  2x y  1

4

A  2  

Đặt tx2y22,   t 2t 1

4 A 2

y x

t       ,

2 t

Xét hàm số   t 2t

9 t

f    xác định liên tục nửa khoảng

   

 ;

2

Ta coù  

4 t t

'f      ,

2

t  f đồng biến nửa khoảng  t    

 ;

2

Khi  

16 f t f A

min

; t

        

      

Đẳng thức xảy t BAØI 3.32 :

 Hướng dẫn :

Với a, b dương, ta có :

 2  2 2

2 a b ab (a b)(ab 2) 2 a b aba b ab 2(ab) Chia hai vế cho ab > 0, ta có :

2

a b a b a b 1

2 (a b) 2 (a b)

ab ab b a a b

         

                

     

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : (a b) 1 2(a b) 1 2 a b

a b a b b a

     

             

     

Suy : a b 2 a b

b a b a

      

   

    Đặt

a b a b

t 2

b a b a

Ta coù :    2   2

5 t

2

2t 2 t 2t t 4t 4t 15

3 t

2

  

            

   

(2)

Từ (1) (2), ta có : t



3

3

3

3

a b a b a b a b

3 t 3t

b a b a b a b a

   

         

   



2

2

2

2

a b a b a b

2 t

b a b a b a

 

       

 

Khi : P a33 b33 a22 b22

b a b a

   

      

       

3

4 t 3t 9 t 2 4t 9t 12t 18 Khi đó, ta có : P4t33t 9t224t39t212t18f t

Xét hàm  

f t 4t 9t 12t 18 , t  

  

 ;

2

5 , ta coù :

 t 12t 18t 12 62t 3t 2

'f  2   2   , 2t23t2t2t5  2 t1 0

Vậy f đồng biến  t    

 ;

2

5 , suy  

4 23

5 f t f

P 

      

Dấu “=” xảy với

2 a b b

a  vaø

   

    

b a b

a , tức với a2, b1 a1, b2 Do vậy, ta có

4 23 P

min 

C CỰC TRỊ ĐẠI SỐ (BIỂU THỨC BA BIẾN) BAØI 3.33 :

 Hướng dẫn :

Vì x, y, z > nên theo bất đẳng thức Cauchy, ta :

2 xyz xyz

3 z y x

3     3 3 

Lại theo bất đẳng thức Cauchy : 3

xyz xyz z y x z y x

P       

Đặt

2 t xyz

t3    Xét hàm số :  

t t t

f   với

2 t

0    

t 1 t

'f 2

      

      

2 ; t

t

2

 t

'f 

 t f +

2 15 Từ bảng biến thiên, suy :  

2 15 t f P

min   đạt

2 z y x   

 Chú ý : Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có :  

z y x

9 z

1 y x z y x z y x

          

 

   

z y x

9 z

y x P

    

 (1) Dấu (1) xảy  x = y = z Đặt t = x + y + z,

2 t 0 

Xét hàm số  

t t t

f   với

2 t

0     2 2

t t t

9 t '

BAØI 3.34 :  Hướng dẫn :

 Caùch :

 

        2  2

2 2

c b a 2

c b a 2

c b a b a c b c a b a

4 c b a c b a

      



  

    



  

   



   

  

Vaäy

a b c2

2 27

c b a

8 P

     

 Đặt tabc, t0 ; g t

t

27 t

8

P  2 

 

   2 t3

27

t t

'

g 

 

 vaø g' t 27t 22 8t3 t

        

8 t g

P  ;

8 P

max  xaûy abc2

 Caùch :

Biểu thức P viết lại :

a b a 2cb 2c

9

c b a

4

P 2 2 2

 

     

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cauchy ta có :

    3a 3ba b 4c

54

2 c

2 a

4

P 2 2

  

   

 hay

a b c2

1

27 c b a

8 P

       

Đặt tabc ta coù t0, suy :   2

t 27 t

8 t f

P  

  

   2 t3

27

t t

'f 

 

 với t0 : 'f t 08t327t2108t1080t6

Lập bảng biến thiên ta coù    

8 f t

f   Đẳng thức xảy abc2

 Caùch :

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si liên tiếp hai lần ta có :

           

3 c b a 24

c b a

c b c a b a c b c a b

a                1

Maët khác, ta có : 3a2b2c2abc 2 ab 2 bc 2 ca20

a b c2 3a2 b2 c2

    

  2

Đẳng thức  1 ,  2 xảy abc0

Từ  1 ,  2 suy :  2 2 2

2

2 2a b c

9

c b a

4 P

      

Xét hàm số :  

x

9 x

4 x

f 



 với x0 xa2b2c2 0

Ta có f x xác định liên tục 0;  

 3

2

4 x

2 x

2 x 'f

  

 x x 1216x 111x 360x 432 x 12

'f    3 2     x0

Lập bảng biến thiên hàm f x khoảng 0; ta   x 12

5 x f

max    tức abc2

 Caùch :

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có :

              3a ba b 4c

3 b a c b a c b b a c a b a c b c a b a

 2

c b a

c b a

1   

   



  



Ta lại có : 2 a b c2

3 c b

a      Do :

  2a b c Q

27

c b a

4

P 2

2

      



Đặt a b c t a b c 3t 12

1         

Suy

8 t

9 t

4 12 t

27 t

4

Q 2 2

    

 ; t2

Xét hàm số  

8 t

9 t t

g 2

 

 , t2 ta coù :

          22 2 

2

2

2 2

4 t t

16 t t t t 4

t t

4 t t t

t t

4 t ' g



   

 

      

Ta có với t2 g' t 0t4 Lập bảng biến thiên ta có    

8 g t

g  

Dấu xảy Vậy giá trị lớn P

8

5 abc2

 Caùch :

Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có :   a b c

4 b a 4 c b a c b

a2  2    2    2   2

       

4

16 b a c b a c b a b a

1

2    

     

Lại có :             

2

b a c b a

c b a b a c b c a b

a           

Suy :

    a b 4ca b

18 16

b a c b a

8

P 2

2       

 

Đặt tab2 4cab0 ta coù

t 16 t

8

P 

 

Xét hàm số  

t 18 16 t

8 t

f 



 ; t 0 ;  

 3 t2

18 16

t t

'f 

 

 , 'f t 0t48

Từ đó, lập bất đẳng thức ta  

8 t f max

0

t   

   

2 c b a 48 b a c b a

c b a

b a

2 2

    

    

   

  

Vaäy

8 P max 

 Caùch :

Chúng ta có đánh giá sau :      

2 b a

b a b a b

a2       

    

2 c b a

c b c a c b a c b c

a           

Vì vậy, ta đặt abs ; s22c2 8t :

    t

9 t

2 c s

18

c s

2 c

2 s c s

18

c s

2 c

4 s s

18

c s

2

P 2 2 2

2 2

2

2

2                   



Mặt khác, t nên :      P1;1;1

5

t t

2 t t 8 t

9 t

2

2

2   

 

Vậy giá trị lớn cần tìm

8 5

 Caùch :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có :

 

3 c b a c b

a2      1 vaø  2 4 3 1 a b c 22

3 c b

a     

   

 

 

  2

Từ  1  2 ta suy :

2 c b a

8

c b a

4

2

2         3

Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta lại có :       

2 c b a

c b c a c b c

a          4

Vaø        4a b c2

2

c b a b a c b a b a

3              5

Kết hợp  4  5 lại, ta dễ dàng tìm

     2a b c

27 c

2 b c a b a

9

    

  6

Từ  3  6 ta có :

a b c2

2 27

c b a

8 P

      

Đặt tabc t0 Theo trên, ta coù : 2

t

27 t

8

P 

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta :

2 t t

16  



Do :

8 t

3 t 4 t t 3 t

27 t P

2

2   

  

 

                          

   

Daáu xảy abc2 Vậy

8 MaxP BAØI 3.35 :

 Hướng dẫn : Đặt

c a x ,

c b

y từ giả thiết  x, y > xyxy3, ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức

   3 2

3

3

y x

x y 32

y x 32

P  

   

 Caùch :

Với   x y 2x y 6 x y

4 y x xy y

x              

Khi

   3 2

3

3

y x 64

1 64

1 x

y 64

1 64

1 y

x 32

P  

  

 

       

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có : 32

1 y

x 16

3 y

x

y x 16

3 64

1 64

1 y

x 3 

        

            

 , 32

1 x

y 16

1 x

y 

        



Do : x y Q

3 y

x x

y

P    

   

 

   

Ta coù :          

12 y x

y x xy y x y x y x

y x y x

y x x

y 2

 

         

   

  

Đặt sxy ; pxy s2 4p,s0,p0

Ta có : sp3 vaø   s 23 s

6 s

s s s p s 12

s

s p s

Q 2  2  

         

s 1 s 2s 3s s 2s

2 s s

s s s

3        2       

    

Xét hàm số : f s 3s s22x6, s2

Ta coù :  

6 s s

1 s

s

'f 2 

 

 

 , s2 Suy hàm số f đồng biến 2; Do

min2,f x 6 s2

Vậy giá trị nhỏ P 1 ab1

 Chú ý :

Cách trình bày

Ta có :   

c b c a c

4 c b c

a 

               

 

Đặt

c a x ;

c b

y ; x, y >

Ta có tốn trở thành : x1y14

Tìm giá trị nhỏ cuûa 2

3

y x

x y

y x 32

P  

    

  

     

       

 

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : 

  

 

   

    

  

       

      

  

       

 x

y y

x 16

3

1

1 x

y

1

1 y

x

3 3

3

Suy :     x y 2x y

3 y x

6 y x y x y x x

y y

x

P 2      

   

 

 

    

      

 

   

Đặt txy ta có : x y x y xy x y t x y

1

          

  t 2t 6 2 3t t 2t 6 5

6 t

6 t t

P       2  

   

Xét f t 3t t22t65, t2 có :  

 

1 t t t t

55 t 16 t

t t

1 t

t 'f

2

2

2      

  

 

 

 t2

Suy

min2;f   t f 1 Vậy minP1  Cách :

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương có :

    y

x 2 y

x 32 y

x 32

3 3

3

       

Tương tự với biểu thức cịn lại, từ suy : x y

x y y

x

P   

   

Vaäy,      x y 2xy

3 y x

y y x x y x x

y y

x

P 2 2   2

 

          

   

 

x y x y 2xy

3 xy

xy y x y x

P 2

   

 

      

Đặt txyxy3t0t3

Ta coù : xy24xy0t243t0t24t120t;6  2;

Kết hợp với điều kiện 0t3 ta có t2;3

 

6 t t

1 t

t

'f 2

 

 

 ;  

6 t t

1 t

0 t

'f 2 

 

 

 

Ta coù f 2 3 ; f 3 3 

 f   t f

min

3 ;

2   

Vaäy P23 P1 Dấu xảy xy1abc Vậy minP1 abc

 Cách : Giả thiết

c b c a                 Đặt c a x ,

c b

y x1y14sp3p3s với sxy, pxy

2 s p s p s s y x x y y x y x x y y x 32 P 2 2 3                                                    

   

s s s s s 12 s s s s s s s s s

P 3

3                                     

 , s2

 

2 1 s '

P    , s2

 minPP 2 1

Dấu “=” xảy chẳng hạn xy1

 Chú ý : cách trình bày Hướng :

   x 1y 1 x y xy

c b c a c c b c

a         

               

 với :

c a x ,

c b y

Đặt : uxy vxy, : acbc4c2 uv3v3u

    2 3 2 3 3 c b c a c a b c b a 32 c b a c a b 32 c b a 32 P                                             2 3 2 3 y x x y y x 32 y x c cx cy c cy cx

32  

                                                 

Ta coù :  

4 b a b a b a b a 3 3 3           

  vaø  

2 b a b a b a b a 2 2 2             

Chứng minh :   4a 4b a 3a b 3ab b 3a b a b ab 

4 b a b

a3     3   2  3 3  

   

a a b b a b  3a b a b

3        

  3 3 v u v u u x y y x x y y x 32                                                  u y x y x y x y

x2       

Do :   

2 u u u u u u u v u v u u y x x y y x 32 P 3 2 3                                                       u u u 12 u u u P 3               

 x1y14xy2u2

Bài tốn thành : “Tìm giá trị nhỏ     u u u

g    treân 2;”

Ta coù :    

2 1 u u '

Bảng biến thiên :

u  2 +

 u '

g +

 u g



 2

g  

Vậy : minP1 Hướng :

Đặt acx ; bcy ; x + y = s ; xyp với x, y > 0, ta có : xyzy3p3s

Vì s

p ; s0 neân : s

s s

3   

Lại nhận thấy x, m > ta có : x3m33m2xm  xm 2 x2mm33m2xm

Vậy nên : m

3 x y y x c a b c b a                   

 coù :

b32a3c 32yx3 32m3 96m2yx3m

3 3 ;                   

 y m

x m 96 m 32 x y 32 c a b

32

3

3

Cộng vế theo vế lại có :

                          

 x

y y x 3 x y y x m 64 c a b 32 c b a

32 3

3 3

3

Như :    

x y x y 2xy

3 xy y x xy y x y x x y y x

P 2    

                            s s s s s p s s p s p s

P 2    

                        

Xeùt hàm số :   s 2s 3s s 2s 5

6 s s s s

f         

        

 coù :

     

6 s s s s s s s s s s s

'f 2 2 2 

             

 s2

Vậy hàm số đồng biến, có : Pf   s f 1

Tóm lại, giá trị lớn 1 đạt xy1 tức abc0

 Cách : Từ                                          y x xy y x y x xy xy y x y x xy xy 3 y x xy 2

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta :

     2

2 3 3 y x 12 y x 16 y x 16     

 ;      2

2 3 3 x y 12 x y 16 x y 16      

Do :    

2 y x x y y x 12

P 2

2 2             

Lại có :

         9x y 6xyx y 2x y 9x y x6.1y2x y  2 y x x y y x y x x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                    

Khi :   

     

1 y x 2 y x y x 2

9 32x y

P 2

Đặt t 2x2 y2xy2

Bài tốn trở thành : “Tìm giá trị nhỏ  

2 t t t 3t t

f

2

    

 với t2”

Ta coù :  

 

1

t

t 28 t 36 t

'f 4 

 

 vaø    

3t 2

14 t 24 t t 12 t "

f 2 4 

  

 , t2

Do 'f hàm đồng biến khoảng  t 2; nên     16 25 'f t

'f    

Hàm f hàm đồng biến  t 2; nên f   t f 1

 Caùch :

Từ giả thiết acbc4c2, ta suy : abcab3c2, hay c nghiệm phương trình

a b ab x

x

3 2    (aån x)

Phương trình có ab212ab, từ suy :    

6

ab 12 b a b a

c    2

Tuy nhiên, ta lại có a, b, c > 0, nghiệm    

ab 12 b a b a

c    2 bị loại :

ab  ab212abab  ab2 0 Vì ta có :    

6

ab 12 b a b a

c    2

Ta có đánh giá sau :

          

b a

b a b

a b a b a b a b a

2 2 2 2 2 2 

            

 4abab2  ab2 12ab  ab2 3ab2 2ab2 2a2 b2

  2 2

b a

ab 12 b a

2

2

 

  

Do :  

2 b

a

ab 12 b a b a b a

c

2

2

2  

     

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có :  

16 256

1 a 256

c b a 256

c b a 256

c b c b

a 4

3

3

 

      

Suy :

  a

c b a

c b 256

3 16

1 32 c b

a 32

3

3 

      



   



 Tương tự, có :   b

c a c a

b 32

3

3 

  



Ta lại có :

ab c ab

ac bc ab ab

ac a bc b b

c a a

c

b 2

            

Từ    

6

ab 12 b a b a

c     , ta suy :     ab

6

ab 12 ab ab

ab 12 b a b a

c        

Vì :

ab c b

c a a

c

b

       

Như ta coù :

    8

3 b

c a a

c b c a

b 32 c

3 b

a 32

3 3

3

       



   

     

Tóm lại ta có :    

2 c

b a c

3 a

b 32 c

3 b

a 32

P 3 3    

   

 Cách : Đặt

c a x ,

c b

y ta : x0, y0 Điều kiện toán trở thành : xyxy3 Khi :

   3 2

3

3

y x

x y 32

y x 32

P  

   

Với u0, v0 ta có :          

4 v u v u v u v u uv v u v

u3   3    3   

Do :

     

3

3

3

3

9 y x xy

y x xy y x x

y y

x x

y 32

y x 32

   

 

  

        

 

      

Thay xy3xy vào biểu thức ta :

          3

3

3

3

1 y x

y x

6 y x y x x

y 32

y x

32   

   

 

 

       

x y 1 x y x y 1 x y 2xy x y 1 x y 2x y

P   3 2    3      3    

Đặt txy Suy : t0 vaø P t 13 t2 2t

   



Vì    

4 t t

y x y x xy y x

3         nên t2t60, : t2 Xét f   t t 13 t2 2t

   

 , với t2

Ta coù :    

6 t t

1 t

t t

'f 2

 

 

 

Với t2 ta có : 3t 12



 vaø

 

2 7 t

7

6 t t

1 t

2

2         

 neân   0

2 3 t

'f   

Suy : f   t f 1 Do : P1

 Cách : Đặt

c a x ;

c b

y , ta có : x1y14, biểu thức P viết lại thành :

   3 2

3

3

y x

x y 32

y x 32

P  

   

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có :

    y

x y

x 32

y 2 y

x 32

3 3

3

         

Tương tự :

  x

y x

y 32

3

  

 Do : x x y

y y

x

P   

  



Tới đây, tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta lại có :  

8 xy x 15 y

x x

3 y x 3 y

x

6  

    



Đánh giá tương tự, ta có :

8 xy y 15 x

y

6  



Do đó, ta :   xy x y

4 y x 15 y x

xy y 15

xy x 15

P            

Giả thiết x1y14 viết lại thành xyxy3 Từ ta có : xy2 xyxyxy3, tức xy1

Đặt txy, 0t1 ta có : xy3t : x2y2 xy22xy3t22tt28t9

Do :   t t 8t f t

8 21 29 t t t t 15

P    2        

Ta coù :  

  6t t

t 21

t

t

21

t t

t

21

t t

t

21 t

'f 2 2  

      

      

 

   

 

  21 t

4 21 t

'f       



Điều chứng tỏ 'f hàm nghịch biến  t 0 ta thu : ;1 Pf   t f1 1 t0;1 Đẳng thức xảy xy1, tức abc Vậy minP1

 Cách : Đặt

c a x ;

c b

y , suy : x, y > Đặt txyt0

Ta có :    x 1y 1 xy x y xy t

c b c a c

4 c b b

a            

               



  *

Vì

2

t

y x

xy  

     

 neân  * suy t t 2t 6 t

4 t

3       

Lại có : 2

3

2

3

3

y x

x y

y x 32 c

b c

a

c a

c b 32

c b

c a 32

P  

    

  

     

       

 

                    

             

      

Ta có : x2y2 xy22xyt223tt22t6

Vì  

3 y 16

x

1

1

y

x 3

 

                   

 vaø 16x 3

y

1

1

x

y 3

 

                   



Neân    

16 y x xy

y x y x 16

3 16

1 x

y y

x 16

3 x

y

y

x 3 2

    

 

  

   

    

 

   

     

       



32 t 16

1

1 t 16

3 16

1 t 12

6 t t 16

3 

         

 

   

Vậy P3t5 t22t6 3u8 u27f u với ut13

Ta coù :   u u 9u 7 u 8u 63

7 u

u

u

'f 2 2

2         



 hiển nhiên với u3

Suy f u đồng biến 3; Do : minf   u f

3

u   

Suy P1 đẳng thức xảy x y a b c y

x

2 y x

       

 

   

Vaäy minP1

 Cách : Từ giả thiết ta có : c

b c

a 

             

Đặt

c a x ;

c b

y ; x, y >  x1y14

Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh tìm :

   3 2

3

3

y x x

3 y 32 y

3 x 32

P  

   

Ta coù :  

4 B A B

A3   Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : A3 B3 ABAB

Mà : A3B3ABA2B2ABAB2ABABABAB

Vậy nên ta có :

    x x y 2xy

y y

x x

y 32 y

3 x

32

3 3

3

      

 

     

 mà x1y14xyxy3

Theo Cô-si, ta coù :   x y x y

4 y x y x xy

Vậy P viết lại thành : t 2t f t

1 t P t t 12

t

6 t t

P

3

3

                   

 

       t t t 2t

f

   

 maø ta coù t13113t1 t33t23t1113t3

t 1t 2

t

t3     

 t2 nên P3t5 t22t6

Khảo sát hàm số lập bảng biến thiên đoạn 2; suy giá trị nhỏ P = 1

1 y

x  hay abc0

 Nhận xét : Bài toán chẳng qua đổi biến bất đẳng thức để đưa toán ba biến a, b, c Chúng ta xét đến tập tương tự sau : “Cho x, y  0 thỏa mãn điều kiện : ;1

y x

1  Tìm

giá trị nhỏ biểu thức : 3x y3y x

x

1 y y

1 x

P 2 2   

    

 ”

 Caùch 10 :

Giả thiết biểu thức cần tìm cực trị lộ rõ chất Thực vậy, ta đặt

c a

x  ;

c b y  Khi đó, giả thiết trở thành :   

  

 

          

2 y x

y x xy

y x xy y x Biểu thức viết lại sau :

x y 2x y 3x y x y 2x y 16

1 x

y 3 y

x 32

P 2

                

 

    

Đặt txy2 Khảo sát hàm f t 3t5 t2 2t6 2; ta :

min2;f t 1

Vaäy

minf t t a b c

P

;

2        



 

 Caùch 11 :

Đặt acx ; bcy, giả thiết : x1y14xy2

     2      2

2 2

2 3

3

y x y x 27 xy 54 y x xy y x xy

y x 32 y

x

x y 32

y x 32

P  

  

 



 

     

 

x y  126 x y

y x 32

P 2

2

2 2

     

 

