- Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi- ét.[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI NGHIỆM NGUYÊN A.Lý thuyết
I Các kiến thức liên quan:
1) Tính chất chia hết số nguyên 2) Tính chất số phương
3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
4) Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm x1; x2 : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
II.Các phương pháp giải phương trình bậc với nghiệm nguyên: - Phương pháp đánh giá
+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ để chặn khoảng giá trị biến +Đưa tổng bình phương để đánh giá
- Sử dụng điều kiện ∆ số phương - Đổi vai trị ẩn
- Đưa phương trình ước số
- Tham số hóa để đưa phương trình ước số - Rút ẩn theo ẩn kia, tách phần ngun
- Nếu phương trình có nghiệm nguyên ta áp dụng hệ thức Vi-ét
Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình:
x2 - xy + y2 = 2x - 3y - ( 1) Giải:
Coi (1) phương trình bậc ẩn y ta được: y2 + ( - x)y + ( x2 - 2x +2 ) = 0(2)
∆ = - 3x2 + 2x + 1
Để phương trình (2) có nghiệm
∆ ≥ - 3x2 + 2x + ≥ -1/3 ≤ x ≤ mà x số nguyên suy x {0; 1}
+) Với x = thay vào (2) ta y2 + 3y + = ta có y1 = - 1; y2 = -2 +) Với x = thay vào (2) ta y2 + 2y + = ta có y3 = - 1
Kết luận: Vậy nghiệm nguyên (x;y) phương trình : (0; -1); (0; -2); (1; -1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình:
x2 + 2y2 + 3xy - x -y + = 0 (1) Giải:
Viết phương trình cho phương trình bậc hai ẩn x ta x2 + ( 3y - 1)x + ( 2y2 - y + 3) = 0 (2)
Có ∆ = y2 - 2y -11
(2) (y - 1)2 - k2 = 12 ( y - +k)(y - - k) = 12
Do y - + k y - - k tính chẵn lẻ y - + k > y - - k nên ta có bảng
sau:
y - + k -2
y - - k -6
y - -4
y -3
+) Với y = thay vào phương trình (2) ta x2 + 14x + 48 = ta có x1 = -8; x2 = - 6 +) Với y = - thay vào phương trình (2) ta
x2 - 10x + 24 = ta có x3 = 6; x4 = 4
Kết luận: Nghiệm nguyên (x;y) phương trình là: ( -8;5); (-6;5); (6;-3); (4;-3) Ví dụ 3:Cho phương trình: 3x2 (2p1)x p 2 6p11 0 ( p tham số)
Tìm số hữu tỉ p để phương trình có nghiệm ngun Giải:
Phân tích: ta coi phương trình bậc với ẩn x ∆ = -8p2-68p -131 đến đây
ta chặn p khơng thể tìm p Do ta cần đổi vai trị ẩn
2 2
3x (2p1)x p 6p11 0 p 2(x3) 3 x x 11 0(*)
Coi phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn p ta có: ∆’ = -2x2 + 5x -2 Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun phương trình:
x2 - 2x - 11 = y2 (x2 - 2x -1) - y2 = 12 (x - 1- y)(x - 1+y) = 12 Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun phương trình:
5x - 3y = 2xy -11 (2x+3)y = 5x + 11 x nguyên 2x + ≠ y = 2+(x+5)/(2x+3) Ví dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên
4 2 2 4 7 5 0
x y x y x y (1)
( HSG Bắc Ninh 2012 – 2013) Coi phương trình bậc ẩn x ta (x2)2 – x2 (y2 + 4) – 2y4 – 7y2 – = 0
có = (y2 + 4)2 - 4(– 2y4 – 7y2 – ) = 9y4 + 36y2 +36 = (3y2 + 6)2
nên (1)
2 2 5 2 1 0
x y x y
…
NX: Nếu vế phải (1) số nguyên khác ta phương trình ước số
Ví dụ: Tìm số ngun dương x y, thoả mãn 2x2- xy+7x+2y y- 2- 7=0 (1)
(3)2x2 – x(y + 7) – y2 + 2y – = 0
Có: = (y +7)2 – 4.2(– y2 + 2y – ) = 9y2 +2y + 105 … Khơng thuận lợi. Do ta coi phương trình (1) phương trình bậc hai ẩn y ta được:
y2 + y(x – 2) – 2x2 – 7x + 7= 0
Có: =(x – 2)2 – 4(– 2x2 – 7x + 7) = 9x2 +24x -24 khơng bình phương xử lý nào?
Ví dụ 6:Cho phương trình :
(m – )x2 - ( 2m + )x + m2 – 2m + =
Tìm tất giá trị ngun m để phương trình có nghiệm số ngun
Ví dụ 6: Tìm tất số tự nhiên a cho phương trình : x2 - a2 x + a +1 = có nghiệm nguyên
Giải:
Với a = phương trình cho vơ nghiệm suy a * Giả sử x1,x2 hai nghiệm PT cho
Theo Vi-ét ta có:
2 2
(1) 1(2)
x x a
x x a
Với a * phương trình có nghiệm ngun nghiệm cịn lại số nguyên
Trừ vế (1) (2) ta :
2
1 2
x x x x a a
2 2
2
(1 ) ( 1) 2 ( 2) ( 2)
( 1)( 1) (2 )( 1)
x x x a a a a a a
x x a a
Vì
2
1
x x a
x x
1.
21
nên:x
1≥x
21
x
1- 10;x
2- 10 (x
1- 1)(x
2- 1) 0 (2 a a)( 1)0 Mà a + > 0 - a 0 a 2 , a*
N
< a 2 a
1;2
+) Với a = pt cho trở thành x2 - x + = (PT vô nghiệm) +) Với a = pt cho trở thành x2 - 4x + =PT có hai nghiệm x1 = 1; x2 = nguyên Vậy với a = PT cho có nghiệm nguyên Bài tập:
(4)Bài 2:Cho phương trình :
(m – )x2 - ( 2m + )x + m2 – 2m + =
Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm số nguyên
Bài 3:Tìm tất số nguyên a để phương trình:
x 2 – ( + 2a ) x + 40 – a = có nghiệm nguyên.
Bài 4: Tìm x, y nguyên thoả mãn: 7x2 + 13y2 = 1820
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 2x6 – 2x3y + y2 = 64
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: a) 2xy – 4x – y = b) 2xy –x – y + = c)6x2 + 7y2 = 229 d) 8x2 – 5y2 + 10x + = 0 Bài 7: Tìm số hữu tỉ x để x2 + x + số phương. Bài 8: Tìm tất số nguyên dương x, y cho: