Đề HSG toán 6 năm 16-17

Biết rằng số học sinh đó xếp vừa đủ số ghế ngồi trên các xe.. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?[r]

(1)

PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN LỚP 6

Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài (2,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A, B cách hợp lí:

5 2 1

A

6 12 25 42

  

      

;

10 20 19 15 19 17 26 7.6 B

9.6 4.3  

 ;

b) Cho

2

7.19 7.27 4.9 43.12 17.43

M     

9 11

7.19 7.33 33.10 10.51

N    

. Tính tỉ số ?

M N Bài (2,5 điểm)

a) Tìm số nguyên x, biết:

2 3

3 x 2017 ;

2

 

     

 

b) Tìm số tự nhiên x, biết: 2x2x 1 2x 2 2x 3  2 x 2015 22017 2; c) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:

 2

x y  y z 2015 x z 2017.

Bài (2,0 điểm)

a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh (p + 2015)(p + 2017) chia hết cho 24;

b) Có số nguyên n thỏa mãn 1975 n 2017  và phân số

2

n 82

n 

 chưa tối giản.

Bài (1,5 điểm)

Một trường THCS tổ chức cho 88 học sinh thi đấu thể thao hai loại xe: loại xe 12 chỗ ngồi loại xe chỗ ngồi (không kể người lái xe) Biết số học sinh xếp vừa đủ số ghế ngồi xe Hỏi loại xe có bao nhiêu chiếc?

Bài (2,0 điểm)

Cho hai tia đối Ox Oy Vẽ tia Oz Ot cho

 1

xOz = zOy

2 và

 

xOt = 2tOy

a) Tính số đo zOt;

b) Vẽ thêm 2017 tia phân biệt gốc O (không trùng với tia Ox, Oy, Oz Ot). Hỏi hình vẽ có tất góc? Vì sao?

(2)

Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giáo viên coi thi khơng giải thích thêm.

Họ tên học sinh………SBD……… PHÒNG GD&ĐT

VĨNH YÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017

MƠN: TỐN LỚP 6

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

1 (2đ)

a

A =

2 1 5

3 12 42 25

                     0,25 = 25  = 51 25 0,25 b

10 20 19 15 19 17 26 7.6 B

9.6 4.3  

 =

10 10 20 19 15 15 19 19 17 26 7.2 3 2 3 2

 

0,25

 

30 15

17 28 7.3

3

   0,25     2

2 21 16 4.5

3 81 9.80 36

     0,25 c 27.36

2

19.21 21.27 36.43 43.51

M     

1 1 1 1 1 1 1

3M 19 21 21 27   27 36 36 43 43 51 19 51       0,25

1 1 1 1 1

4 19 28 28 33 33 40 40 51

9 11

28.19 28.33 33.40 40.51

N            

1 1

4N 19 51

0,25

Suy ra:

1

3 4

M N

N

M    0,25

2 (2,5đ)

a 2 1 3 2 1 3 0

3 x 2017

2

1 3

9 x x 15

2 2

 

     

 

      0,5 

3

x 30 x 18

3 2

x 30

3 x 22

2

x 30

2                    Vậy x  22;18

(3)

b

 

x x x x x 2015 2017

x 2015 2017

2 2 2

   

      

      0,25 

Đặt

1 2015

C 2  2 2  2

2 2015 2016

2C 2  2 2 2 2

2016

C 2C C 2   

0,25

Khi

   

x 2016 2016

2  2  Suy ra: x = (thỏa mãn)

Vậy x =

0,25

c

Với

0 a 0 a Z a a

2a a 0  

   

 

Với a Z a  a số chẵn

Mặt khác

 

2

a  a a a 2  

0,25

Với x, y, z số nguyên dương

x y; z x  số

nguyên nên

   

x y  x y 2; z x    z x 2  ;    

2

y z  y z 2 

 

       

2

x y y z 2015 x z

x y x y y z y z z x z x 2014 z x

     

            

Suy ra:

 2

x y  y z 2015 x z 2 

0,25

Mà 2017 không chia hết không tồn số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề

0,25

3 (2đ)

a Nhận xét: Với số nguyên a

 

2a 2a 8 

Thật vậy:

   

2a 2a 2 4a a 8  (Vì a a + hai số nguyên liên tiếp nên

 

a a 2  )

0,25

Vì p số nguyên tố lớn 3, suy p +

(4)

2015 p + 2017 hai số chẵn liên tiếp nên

p 2015 p 2017 8     (1)

Vì p số nguyên tố lớn nên p viết hai dạng: p = 3k +1 p = 3k + (kN*)

+ Nếu p = 3k +1

p 2015 3  (2)

+ Nếu p = 3k +2

p 2017 3  (3)

0,25

Từ (2) (3) suy

p 2015 p 2017 3     (4)

Từ (1) (4) (3, 8) = suy

p 2015 p 2017 24    

0,25

b n2 82 n n 1   83 83

n

n n n

  



   

  

Phân số

n 82

n 

 chưa tối giản

phân số 83

n 1 chưa tối giản

0,25

Tức ƯCLN

83, n 1   n 83  (vì 83 P ) với n Suy

(5)

n 83k   n 83k (k 0; k Z)    Khi đó:

1974 83k 2018

  

23 k 24

   

Do k 0 nên

 

k 23; 22; 21; ; 1;1;2; ;24   Vậy có 47 số nguyên n

thỏa mãn đề

0,5

4 (1,5đ)

Gọi x số xe 12 chỗ ngồi gọi y số xe chỗ ngồi (x, y  * )

0,25

Số học sinh xe loại xe 12 chỗ ngồi 12x ( người)

Số học sinh xe loại xe chỗ ngồi 7y

( người)

Theo đầu ta có: 12x + 7y = 88 (1) Ta thấy 12x 884

 7y4 mà (7, 4) = nên y4 (2) Từ (1) suy 7y < 88 hay y < 13 (3)

Từ (2) (3) suy y 

4;8;12

0,5

Thay y = vào (1) ta 12x + 28 = 88  x = (thỏa mãn)

Thay y = vào (1) ta 12x + 56 = 88 

* x N

Thay y = 12 vào (1) ta 12x + 84 = 88 

* x N

0,5

Vậy có xe loại 12 chỗ ngồi xe loại chỗ

ngồi 0,25

5 (2đ)

t z

y

x O

Hình vẽ TH1

t z

y

(6)

Hình vẽ TH2 a Lập luận tính được:

xOz = 600; xOt = 1200.

0,25

TH1: Nếu Oz Ot thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy

Tính zOt = 600.

0,5

TH2: Nếu Oz Ot thuộc hai nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy Tính zOt = 1800.

0,5

b Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox, Oy, Oz, Ot Tất hình vẽ có n + tia phân biệt

0,25

Cứ tia n + tia tạo với n 3 tia cịn lại thành n 3 góc Có n 4 tia nên tạo thành n3 n4 góc, góc tính lần

0,25

Vậy có tất

 3  4

2

n n

góc Thay n = 2017 ta số góc có là:

2017 2017 4  

2041210

 



0,25

Chú ý: - Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa.