Bộ giáo trình toán cao cấp của Jean Marie Monier với nhiều bài tập có lới giải được sử dụng là giáo trình chính thống trong nhiều trường đại học, cao đẳng đào tạo chuyên sâu về khoa học tự nhiên Bộ sách gồm 7 cuốn: Tập 1: Giải tích 1 Tập 2: Giải tích 2 Tập 3: Giải tích 3 Tập 4: Giải tích 4 Tập 5: Đại số 1 Tập 6: Đại số 2 Tập 7: Hình học Năm thứ nhất học Tập 1, 2 và 5. Năm thứ 2 học Tập 3, 4, và 6. Tập 7 Hình học bổ trợ kiến thức năm thứ 2.
Trang 1emma NỔ 0o li cee tel i A
(áo trìth Tốn - Tap 5
ĐẠI SO | (ido trinh va
600 bai tip co loi gia
Trang 2Giáo trình Tốn - Tập 5
ĐẠI SỐ 1
Cuốn sách này được xuất bản trong khuôn khổ Chương trình Đào tạo Kỹ sư Chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ giúp của Bộ phận Văn hóa và Hợp tác của
Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng
hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Cours de mathématiques - 5
ALGEBRE 1
Cet ouvrage, publié dans le cadre
du Programme de Formation
d'Ingénieurs d’Excellence au
Vietnam, bénéficie du soutien du
Service Culturel et de Coopération
de TAmbassade de France en
Trang 3Jean - Marie Monier
Giáo trình Tốn
Tập 5
ĐẠI SỐ 1
Giáo trình và 600 bài tập có lời giải
(Tái bản lần thứ năm)
Người dịch :
Nguyễn Tường - Nguyễn Văn Nghị
Hiệu đính :
Nguyễn Văn Thường
Trang 4Cours de mathématiques - 5
ALGEBRE 1
Cours et 600 exercices corrigés
1* année MPSỊ PCSỊ PTSI
Jean-Marie Monier
Professeur en classe de Spéciales au lycée la Martiniére-Monplaisir @ Lyon
Trang 5Lời nói đầu
Bộ giáo trình Tốn mới này, với nhiều bài tập có lời giải, được biên soạn
đành cho sinh viên giai đoạn l các trường đại học công nghệ quốc gia (năm thứ 1 và thứ 2, mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I đại học khoa học, và cho các thí sinh dự thỉ tuyển giáo sư trung học phổ thông
Bố cục của bộ giáo trình như sau:
Tập: Giải tích Ì
Tập2: Giải tích 2
oi tích năm thứ 1 (xuất bản lần thứ 2, 6/1996)
Tập 3: Giải tích 3Ì Gin a Tạp4: Giải teat Giải tích năm thứ 2 (xuất bản lần thit 2, 6/1997) ậ ải tíc| pon ứ 3n Tần thứ 6 7
Tập 5: Đại số 1: Đại số năm thứ Í Tập 6: Đại số 2: Đại số năm thứ 2
Tập 7: Hình học: Hình học năm thứ I và năm thứ 2
Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong rnỗi chương độc giả sẽ thấy nhiều bài tập có lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã có trong bộ bài tập có lời giải gồm tám
tập mới xuất bản Nhiéu van dé & ranh gi: đạng các bổ sung có giảị
của chương trình được đề cập ở cuối chương, dưới Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả Xin vui lòng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bản Dunod, 5, phố Laromiguière,
75005 Paris
Trang 6Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ tại đây lồng biết ơn đến các bạn đồng nghiệp đã vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hị ặc của bản đánh máy, là: Reber
AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain BERNARD, Jean-Philippe BERNẸ Mohamed BERRAHO, Isabelle
BIGEARD, Jacques BLANC, Gérard BOURGIN, Gérard-Picrre BOUVIER, Gérard CASSAYRE, Gilles CHAFFARD, Jean-Paul CHRISTIN, Yves COUTAREL, Gilles DEMEUSOIS Catherine DONY, Hermin DURAND, Jean FEYLER, Marguerite GAUTHIER, Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, André GRUZ, Andsé LAFONT, Jean-Mare LAPIERRE, Annie MICHEL, Rémy NICOLAI, Michel PERNOUD, Jean REY, Sophie RONDEAU, René ROY, Nathalie va Philippe SAUNOIS, Patrice SCIIWARTY, Gérard SIBERT, Mimoun TAIBẸ
Tôi xin bày tỏ niềm thương tiếc chân thành ong Alain GOUREF quá cố
Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc Nhà xuất bản Dunod, Gisèle Maus và Michel Mounic, mà trình độ chun mơn và tính kiên trì đã tao điều Kiện hoàn thành các tập sách nàỵ
Trang 7Muc luc tap 5
PHAN THU NHAT - GIAO TRINH
Chương 1 - Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
1.1 Tập hợp 1.1.1 Một số yếu tố logic 1.1.2 Tập hợp 1.1.3 Quan hệ bao hàm 1.1.4 Các phép toán trong 8Œ) 1.2 Quan hệ 1.2.1 Đại cương
1.2.2 Quan hệ tương đường 1.2.3 Quan hệ thứ tự
1-3 Ánh xạ
1.3.1 Các định nghĩa
1.3.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
1.3.3 Thu hẹp và thác triển của ánh xa
1.3.4 Thứ tự và ánh xạ
1.3.5 Ảnh và nghịch ảnh của các bộ phận qua một ánh xạ
1.3.6 Họ
Bồ sung
Chương 2 - Cấu trúc đại số
Trang 8II Mục lục 2.3 Vành 55 2.3.1 Các định nghĩa 55 2.3.2 Các phép toán trong một vành 55 2.3.3 Vanh con 58 2.3.4 Đồng cấu vành - 59 2.3.5 Vanh nguyên á0 2.4 Thể 61 Bổ sung 63
Chương 3 - Số nguyên, số hữu tỷ 67
3.1 Các tính chất của MN 67
3.1.1 Cấu trúc của R] 67
3.1.2 Nguyên lý quy nạp 68
3.1.3 Tính chia hết trong NY 69
3.2 Tập hợp hữu hạn, tap hợp vô hạn 72
3.2.1 Tập hợp cùng lực lượng 72 3.2.2 Tập hợp hữu hạn 72 3.2.3 Tập hợp vô hạn 76 3.3 Giải tích tổ hợp T8 3.3.1 Hoán vị T8 3.3.2 Chỉnh hợp 78 3.3.3 Tổ hợp 79 3.4 Nhóm đối xứng 84 3.4.1 Cấu trúc của Ø, 84 3.4.2 Chuyển vị 84 3.4.3 Chu trình 88 3.5 Phép dém 9 3.5.1 Các phép đếm cổ điển 9 3.5.2 Ví dụ về đếm 91 3-6 Các tính chất của Z % 3.7 Các tính chất cha % Chương 4 - Số học trong 99 4.1 Tính chia hết 99 4.1.1 Đại cương 99
Trang 94.2 Ước chung lớn nhất - Bội chung nhỏ nhất
4.2.1 Đại cương
4.2.2 Tính chất
4.2.3 Thuật tốn EucHide
4.3 Số nguyên tố cùng nhau 4.3.1 Đại cương 4.3.2 Định lý Bezout 4.3.3 Tính chất 4.3.4 Úng dụng 4.4 Số nguyên tố 4.4.1 Đại cương 44.2 Thể 7/„7;, p nguyên tố 4.4.3 Phân tích nguyên tố Bổ sung
Chương 5 - Đa thức, phân thức hữu tỷ
5.1 Đại số K[X] Định nghĩa Phép cộng Phếp nhân - Luật ngoài Phép hợp đa thức Phép đạo hàm Hàm đa thức
„ Khái niệm về đa thức nhiều ẩn 5.2 Số học trong K[X]
5.2.1 Tính chia hết
Phép chia Euclide 5.2.3 UCLN, BCNN
5.2.4 Đa thức nguyên tố cùng nhau Đa thức bất khả quy
Phép chia theo lũy thừa tang
5.3 Không điểm của đa thức 5.3.1 Đại cương Đa thức tách được Sử dụng phép đạo hàm "Trường hợp CỊX] 5.3.5 Trường hợp IR[X] 5.4 Phân thức hữu tỷ 5.4.1 Thé K(X)
5.4.2 Phân tích thành phân thức đơn giản
Trang 10Mục lục
Chương 6 - Không gian vectơ
6.1 Cấu trúc không gian vectơ 6.2 Không gian vectơ con
6.3 Tính phụ thuộc và tính độc lập tuyến tính 63.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 Họ phụ thuộc, họ độc lập
Không gian con sinh bởi một bộ phận
Tổng của nhiều kgvc THỌ sinh, cơ sở 6.4 Lý thuyết về số chiều Chương 7 - Ánh xạ tuyến tính 7.1 Đại cương 7.1.1 7.1.2 7.1.3 Các dịnh nghĩa Hạt nhân, ảnh Ánh xạ tuyến tính và họ vectơ
7.2 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính
7.2.1
7.242 7.243
Khơng gian veclơ Z2, P)
Phép hợp
Nhóm G#(E)
7.3 Trường hợp hữu hạn chiều 743.1 7.3.2 Định lý về hạng và các hệ quả Số chiều của //#, #) Bổ sung Chương 8 - Ma trận 8.1 Phép tính ma trận 8.1.1, 8.1.2 8.1.3 8.1.4 8.1.5 8.1.6 8.1.7 8.1.8 8.1.9 Khái niệm ma trận nh xạ tuyến tính Khơng gian vectơ Mu „(K)
Phép nhân ma trận
Nhém GL,(A)
Hạng của một ma trận
Trang 118.2 Đổi cơ sở
8.2.1 Ma trận chuyển cơ sở
8.2.2 Déi co sở đối với mội vectơ
8.2.3 Đồi cơ sở đối với một ánh xạ tuyến tính
8.2.4 Đổi cơ sở đố với một tự đồng cấu
8.3 Các ma trận dáng chú ý
8.3.1 Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng
8.3.2 Ma trận tam giác
ân đường chéo
Bổ sung
Chương 9 - Định thức, hệ tuyến tính
9.1 Anh xa da tuyến tính
9.1.1 Dai cuong
9.1.2 Anh xa da tuyến tính thay phiên
9.2 Định thức của một họ m vectơ trong một cơ sở của mội kẹv ø chiều
9.2.1 Không gian Á(#)
9.2.2, Tinh chất
9.3 Định thức của một tự đồng cấu 9.4 Định thức của một ma trận vuông 9.5 Khai triển theo một hàng
9.5.1 Phần phụ đại số và định thức con
9.5.2 Ma trận phụ hợp
9.6 Tính định thức
9.6.1 Định thức của ma trận tam giác
9.6.2 Thao tác trên đồng và cột
9.6.3 Trường hợp n=2,n=3
9.6.4 Dinh thie Vandermonde
9.7 Định hướng một không gian vectơ thực hữu hạn chiều 9.8 Hang vi ma tran con
Trang 12Mục lục
Chương 10 - Không gian vectơ Euclide (Nghiên cứu sơ bộ)
10.1 Tích vô hướng
10.1.1 Dai cuong `
10.1.2 Các bất đẳng thức và chuẩn Euclid
10.1.3 Tính trực giao
10.2 Không gian vectơ Euclide
10.2.1 Thủ tục trực giao hóa Schmidt
10.2.2 Phép chiếu trực giao, phép đối xứng trực giao
10.2.3 Siêu phẳng, 10.3 Nhóm trực giao
10-3.1 Tự đồng cấu trực giao
10.3.2 Ma trận trực giao
10.4 Hình học vectơ Euclide phẳng
10.5 Hình học vectơ Euclide 3 chiều
10.5.1 Tự đồng cấu trực giao của E; 10.5.2 Tích vectơ
Bồ sung
PHẦN THỨ HAI
CHỈ DẤN VÀ TRẢ LỜI CÁC BÀI TẬP
Chương 1, 385; Chương 2, 397; Chương 3, 415; Chương 4, 429; Chương 5, 475;
339 339 339 342 345 348 348 352 354 356 356 358 362 367 367 375 380
Chương 6, 507; Chương 7, S17; Chương 8, 531; Chương 9, 547: Chương 10, 561
Bảng ký hiệu
Bảng thuật ngữ
575 S77
Trang 13Phần thứ nhất
Trang 14Chương 1
Ngôn ngữ cua lý thuyết tập hợp
Mục đích chương này là trình bày một bảng từ vựng và các tính chất của lý thuyết tập hợp “ngây thơ”, có thể sử đụng được và được sử dụng trong mọi lĩnh vực của
Toán học, mà không che giấu một cách vơ ích hiệu lực tổng quát của chúng, nhưng cũng không phát triển vô bổ
Chúng tôi cho rằng độc giả đã biết những tính chất sơ cấp của tập hợp các số tự nhiên tT = {0, 1, 2, }
1.1 Tập hợp
1.1.1 Một số yếu tố lôgic
Một khẳng định (hoặc: tính chất p có thể đúng (Ð) hoặc sai (S) (đúng hoặc
sai, chứ không phải đồng thời đúng và sai) Một bảng chân lý ghỉ lại hai khả
năng đó: Pp Đ KY Một định lý (hoặc: mệnh đề) là một khẳng định đúng Phủ định của một khẳng định p 2 p không p là một khẳng định được ký hiệu là D 3
khơng p (hoặc: Ìp) được xác định
bởi bảng chân lý bên Ss Đ
Các phép liên kết lôgic và (hội), hoặc (tuyển), => (kéo theo), © (tương đương lơgic) được xác định bởi:
Trang 15Chương Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
“và” có thể ký hiệu là: A; “hoặc” là: v.Cách ký hiệu ÿ có thể tiện lợi hơn
ˆ 4
là: p và
Trong phép kéo theo p => g, p được gọi là giả thiết, z là kết luận
Phép kéo theo ¢ => p được gọi là đảo (hoặc: khẳng định đảo) của phép kéo
theo p > q
Ta có thể diễn tả p > bằng một trong các cách sau đây: muốn có p, cần có đ
muốn có 4, thì có p là đủ
nếu p, thì đ
p là một điều kiện đủ để có 4 4 là một điều kiện cần để có p
"Tương đương lơgic p © 4 có thể diễn tả bởi: muốn có p, cần và đủ là có 4
p là điều kiện cần và đủ (ĐKCĐ) để có g p khi và chỉ khi ¿ (hoặc: nếu và chỉ nếu 4}
Một định lý lôgic (cũng gọi mệnh đề hằng đúng) là một khẳng định đúng với bất kỳ các trị chân lý của các phần tử hợp thành Sau đây là một số ví dụ trong số các định lý lơgic có ích nhất:
(p hose p) © p ( vàp) ©œp
p hoặc (khơng p): luật bài trung
không (p va (khong p))
p>p
pop
khong (khong p) = p
(p va (p => @)) => ạ: quy tắc suy diễn, hoặc tam đoạn luận (>4) © ((khơng p) hoặc 4)
(p => q) © ((khơng 4) = (khơng p)): nguyên lý phản đảo (không (p hoặc 4)) c> (không p) và (không 4))
(khong (p và 4) c (hông p) hoặc (không 4)) (không ( = 4)) c (p và (không 4))
(Œ và q) và r) © (p và (4 và r)): tính kết hợp của và
(œ hoặc đ) hoặc r) © (p hoặc (4 hoặc r)): tính kết hợp của hoặc
((p va q) hoặc r) © (( hoặc r) và (q hoặc r)): tính phân phối của hoặc đối với và
((p hoac g) và r) © ((p và r) hoặc (4 và r)): tính phân phối của và đối với hoặc
(œ =4) và (4= r)) => (p— r): tính bắc câu của phép kéo theọ
“Theo quy ước, ta viết p = q = r thay cho: (p => q) va (q => r)
Trang 1611 Tập hợp
không |không 3 (khong (7 > g) ©=
P]q|P^4løa| „ p1 (khơng 4) (p va chong @))
Đ D Ss 8 s Đ p| Ss § Đ Đ D DB 8Ð Đ 5 Ss 8 D Ss |S D 5 pd S Đ Suy luận phản chứng
Để chứng minh rằng p = ø là đúng, ta giả thiết p là đúng và ø là sai, và ta ching minh rằng điều đó dẫn đến mâu thuẫn
Việc đó quy về chứng mỉnh rằng @ và (không )) là sai, tức là (không p}
hoặc ¿ là đúng, đó chính là p => ¿ Bài tập ð_ Chứng mình các định lý lơgic sau: 4) © 4) © â p) i =Â c b) J7? =>i‡PCPT rSpP qeor e) @ = (q=?) © (Ứ và @) = r) đ) (tp hoặc 4) = ?) © (@ => r) và (q — r) 11.2 Tập hợp
Ta sẽ chỉ giới hạn trong khái niệm ngây thơ (trực quan) về tập hợp, mà không đề cập đến khái niệm vẻ quan hệ “tập hợp hóa” Một tập hợp (hay tập) là một sự tụ tập những đối tượng, chẳng hạn (0, I, 3}, {x e F¿ x > 2} Ký hiệu x € # có nghĩa: x thuộc (hoặc: là phần tử của) E; phủ định của nó được ký hiệu x £ Ff Ký hiệu Ø chỉ tập hợp rồng, là tập hợp khơng có một phần tử nàọ
Một tập hợp có một phần tử x và chỉ một được gọi một dom từ và được ký
hiệu {x]
Lượng từ phổ cập V đọc là “với mọi” hoặc “với bất kỳ” hoặc
Lượng từ tôn tại 3 đọc là “tồn tại ít nhất một phần tử”, Ký hiệu 3! có nghĩa:
tồn tại một và chỉ một phần tử
Chữ tác động bởi một lượng từ là câm, có thể được thay thế bởi bất kỳ một
chữ nào (chưa mang một ý nghĩa nào):
(VxeE, PQ@)) © (Vy 6#, P(y)) re £, PW} 3 Gv € £, P &))
Phú định một câu lượng hóa
Ta có: ln (Vxef7,P(+))) @ (re E, khong P(x)
ˆ 1(không (xe E,P(x)) = (ve Eykhong P(x)
Trang 17
Chương! Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
Mọi câu lượng hóa bất đầu bởi 3x e Ø là saị Mọi câu lượng hóa bắt đầu bởi
Vx e Ø là đúng
Nói chung ta không thể thay đổi thứ tự các lượng từ trong một câu lượng hóạ Ching han: (Vx e H, 3y e N, x < y) là đúng, nhưng (3y e 11, Vz e \1,x < y)
là saị
Tuy nhiên, nếu các tập hợp E, E° cố định thì:
(VxeE,Vx' cE°,P(x,x')) ©(V+' 6É,Vxe E, PG&,x)) và (Œx e E, 3x! e É, Pặ&,x))) GY € EB 3x e E, PQx, x)))
1.13 Quan hé bao ham
@ Binh nghia Cho hai tap hop £, F, ta néi rang E bao ham trong F (hoac:
E Ja một bộ phận của F, hoặc E là một tập hợp con (hay tập con) cua F; hoặc: F bao ham 6), va ta ky higu E c F (hoac: F E), khi và chi khi: Vxe Exe F
Ta ký hiệu tập hợp cdc bo phan cia E 1a Y(E) VÍ DỤ: ‹Ổ (2= (Ø} * PO, 1)) = (Ø, 10}, {1}, 19, H} NHAN XET: HNAc PE CACE Dix} e 8Œ) ©x 6Ẹ
Ta ký hiệu E c # thay cho: EC Ƒ và E z F #
Ta ky hiệu E ơ F để chỉ phủ định của E c Ƒ, tức là: Ave Exe F
Tacé: E=FO(CECFvaF cE)
EGF (axe E,x¢F)
Vay: E#F & |hoic © lhoặc
FE (3y<F,ye£ E)
Ta chứng mình dễ dàng các tính chất sau đây đối với mọi tập hợp E, F, G: « @cEECE
Trang 181.1 Tập hợp
1.1.4 Các phép toán trong %()
®$ Định nghĩa 1 Cho Ƒ là một tập hop, A, B € (#) Ta định nghĩa các bộ phận sau của Ƒ:
»(4)= [x€ E; x ¢ A}, phần bù của A trong E
« AUB={xeE;xeAhoicx € 8}, hợp của A và 8
© ANB={xeE;xeAvaxe B}, giao cha A và B
« A-B=(xeE;xeAvaxe¢ B}, hidud trirB
+ AyB=(A-B)U(B-A), hiéu déi ximg cua A và B
E B
'Ðể tránh sự lẫn lộn có thể xảy ra với một ý nghĩa khác của "-" (trong các nhóm Abel,
các khơng gian vectơ, ) ta có thể ký hiệu A \ Ø thay cho A - B
Céch ky higu A thay cho 6,(A) có thể tiện lợi, nếu khơng có nguy cơ lẫn lộn
Trang 19Chuong! Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
'Ta sẽ thừa nhận rằng Định nghĩa trên có thể mở rộng ra trường hợp khi 4 va B không,
"trực tiếp" là những bộ phận của cùng một tập hợp Ẹ Chẳng hạn, nếu F, G là hai tập
hợp, ta thừa nhận rằng có thể dinh nghia F UG, F AG, F - G, F ¿ Œ tương tự như
trên đâỵ
Hai tap hop F, G được gọi là rời nhau khi và chỉ khi F ¬ G = Ø
Độc giả có thể chứng mình, xem như bài tập, các tính chất sau đây: với mọi bộ phan
A,B,C của một tập hợp E:
«_ Dz(Ø) = E, [zŒ) = Ø, z0) = Á
+ At!Ø=Ø\UJAÁ=A (Ø là phần tử trung hòa đối với +) Át2Á=A (mọi phần tử của 8ˆ) là lũy đẳng đối với c2)
AVE=E (E hap thu đối với +)
AVB=B @ AcB
AUB=BUA (U ¢6 tinh giao hodn)
(AVB)UC=AUCBULO) (cé tinh két hgp)
+ À=ØA=Ø (© hap thu đối với ¬)
AQA=A (moi phan tr cla BL) là lũy ding d6i vdi m)
AnoE=Ạ (Ƒ là phần tử trung hòa đối với 4)
AOSB=A©AcCB
AnaB=B©SA_ (có tính kết hợp)
+ 0(4U B)=£,(A) 7 0,08), (4 7 B) = C,{A) ©2 z(B) (các luật De Morgan) + An (BU=(Aơ 8) â (AC) (phõn phi ca đối voi U)
Ax2(ĐŒ)= (Á © Bì ¬ (A x2 C) (phân phối của ‹+ đối với ¬) AO(At2B)=A2(AaB)=A — (các đẳng thức mođun)
+ O(A)=E-A,A-O=A
A-B=Q@AcB
A-B=ANCAB)=A- (AB)
« AxB=B,A (Acé6 tinh giao hodn)
Ax@=A_ (@ laphén tir trung hoa déi vdi A)
A, A= (mọi phần tử của P(E) 1a đối xứng của chính nó đối với A}
Trang 2011 Tập hợp
$ Định nghĩa 2 Cho # là một tập hợp, ? là một bộ phận cia P(E) Ta
nói ring © 1a một phân hoạch của £ khi và chỉ khi:
@MVAER A#@
Gi) VAE RVBER A#BD>ANB=O) đi) Vxe E, 3A 6 72 xeẠ
VÍ DỤ:
1) Với mọi tập khác rỗng E, {£} và {{x}; x e E} là những phân hoạch của £ 2) Đối với mọi tập E và mọi bộ phận A của /: khác Ø và khác /⁄, {Ạ „(4)] là một phân hoạch của /
3) (RL, {0}, Ry } la mot phan hoach cia Ik + Bai tap
9 1.1.2 Cho#
lột tập hợp Chứng minh rằng với mọi bộ phận Ạ 8 C, 2 của E thị: 4) ÁC B © l0) [0 © A BR=8 ©ẰAnaB=A«A-R=Ø@œlz(A)v2B=E hịA BC (AS€)Ó (Bn t3) CAUBEANC @BCACC 4) ra eReC AUB=AUC e}A-BJUIA-C)=A- (BAC) ,0(A-)- (A-€)=(A - 8) C = (Á O C) =8
0 Ane Egle eee
NAU(BAAUC)=AUBOC) DANBYUANC) =ANBUC)
An R=CnDS( (BC) (A© (BS Ð)=A
kỊ(AAR=CaD,CUOD=E,CCA,DC B) m (C = A, Ð = BỘ © 4.1.8 Cho £là một tập hợp, X Y, Z, X, Y, Z #82) Giả thiết ràng:
Trang 2110 Chương! Ngôn ngữ của tý thuyết tập hợp
9 1.1.4 Cho E 1a mot tap hgp, 4, 8 e %8(), Giải trong ŸÄ¿) các phương trình sau: a)X UA=B
bX NAzB c)X-A=B jĐX4AA=B
9 1.1.5 Cho Z là một tập hợp, ??là một phân hoạch của Z, „A là một bộ phận của #2
B=0,(A) Ta kg higu:
F=[xeE;, 3A czẠxe€A), G=lxeE;3B Bx eR) a) Chứng mình rằng zA (tương ứng: Z) là một phân hoạch của # (tương ứng: Ở) b) Chứng minh: Œ = 0,7)
9 1.1.6 Cho £ là một tập hợp, 2 € N’, A,, ., A, a nhing bộ phận của E sao cho:
Ø=A,C 4iC^Ạ C 4;=Ẹ
+ # *
¬~ -
‘Ta ky ligu B, = A, -A,,
Trang 2212 Quanhé 11
1.2 Quan hệ
1.21 Đại cương
® Định nghĩa 1 Với hai phân tử x, y, tập hợp ({x], {x, y}} được gọi là cặp Gy)
Đây là một cách định nghĩa (+, y) như là việc cho hai phần tử x, y (không nhất thiết khác nhau) theo một thứ tự nhất định: x trước, y saụ
®| Mệnh để 1 Với mọi phần tử x, y, x”, y, ta có:
Y= OL ye {" = y
Chitng minh:
+ Phép kéo theo â l hin nhiờn
ô Giả sử (x, y) = œ2 y9, tức là: {1x}, Íx,yH = (dah 0% Te
Nếu v #+”, thì {x) # {x'}, vậy 1x} = (x2 y} và {x, y] = (x], suy ra x =y” vax’ = ỵ Những khi đó {{x}, bx, x1] = 11x71, (xỶ xÌ], suy ra {x} = ('}, x = +", mâu thuẫn
Vậy tà có x = x”, suy ra (x, y} = |x, y1 = lx, y], và vì vậy y = y- " Vậy ta có thể nói rằng cập (x, y) là cách cho x và y "trong thứ tự đó”
& Định nghĩa 2 Cho hai tập hợp £, F Ta gọi tập hợp các cặp (+, y) sao cho x e Z và y e Ƒ là tích Descarfes của E và F :
ExEF=lQ@,y);xe E và y e F) Tập hợp # x E thường được ký hiệu EB
Trong thực hành, đáng lẽ viết V(x, y) e f2, ta có thể viết V+, y € E, Từ định nghĩa dé đàng suy ra:
+l Mệnh để 2 Với mọi tập hợp E, F.G, H:
D ExE=Ø œ(Œ.= Ø hoặc P = Ø)
2) ExF=Fx l' Œ = Ø hoặc F = Ø hoặc E = F)
Trang 23Chudng1 = Ngon ngif cilia ly thuyét tap hợp
NHÂN XÉT:
Có thể ( x f) Ó (G xH) # (E k2 G) x Œ (2 H), chẳng hạn như trong ví dụ sau:
E=F={0},G=H= {1} "
Chon € 7Ÿ), E,, , E„ là những tập hợp Với mọi xị thuộc &), ., x„ thuộc E„
ta ký hiệu (\, xu) = ( (ŒXụ, 32), x;), .; xu), gọi là một bộ-n, và ký hiệu là
TH: (hoặc E, x x E,) ; tích Đescartes của E¡, E„ là tập hợp các
isl
b6-n (x), ., x„) trong đó xị € E), ., x, e E„ Một bộ-3 được gọi là một bộ bạ
Rõ ràng rằng với mọi (x,, , x,) và mọi (ị, y,) thuộc | ] E;,ta có:
isl (a, My) = Os Wn) CWE | (1, , 2}; = y)-
® Định nghĩa 3 Cho hai tap hop E, F
Mọi bộ ba (E, 77 Ƒ), trong d6 71a mot b6 phan cia E x F gọi là quan hệ
(hoặc: tương ứng) từ £ đến Ƒ Ta ký hiệu «Ry thay cho (x, y) ¢ £ được gọi là tập nguồn của
£ được gọi là tập đích của R
7 được gọi là đồ thị của &
Ta có thể biểu diễn một quan hệ bằng một biểu đồ (hình tên) trong đó mũi
tên đi từ x đến y khi và chỉ khi xKỳ Ví dụ:
R F E eee beet oy ze mi ee 3® ted
D6 thi cla Ra: ((1, a), (1, 6), (2, d)}- a
Hai quan hệ ®, $1a bang nhau khi và chỉ khi:
& và Scó cùng một tập nguồn, ký hiệu là E
& và S có chung một tập đích, ký hiệu là #
V(x,y)eExƑ,(xKy© xS) s
Néu Ra mot quan hé tir £ dén F, ta ky hi¢u # (hoặc: không “) là quan hệ
từ E đến £ xác định bởi:
Trang 2442 Quanhé 13
@ Binh nghia 4 Cho £, F, Glaba tap hop, &# (tương ứng: 5) là một quan
hệ từ E đến Ƒ (tương ứng: từ dén G) Ta định nghĩa quan hệ hợp (hoặc: tích) của & và “, ký hiệu là S o R, từ # đến G hởi:
V(v,z) € xŒ, Ọ Son ren VÍ DỤ: 1) R Ss ae | ]J ———T` « ns | Leb yer Le be a ed s5 N | Be en 50-7 od E G SOR
2) E=F =G la tap hợp các dường thẳng của mot mat phang afin Fuclide
®= S= 1, tính trực giaọ
Thế thi So R=// (tinh song song), vì với mợi dường thẳng D, 2” của E: " co JD LD
DID & [2 € TH) Vay trong trường hợp này ta có thể viết: L s L=/
+| Mệnh để 3 (Tính kết hợp của phép hựp các quan hệ)
Cho £, Ƒ, G, H là những tập hợp, # (tương ứng: 5, tương ứng: 7) là một
quan hệ từ # đến Ƒ (tương ứng: /- đến Œ, tương ứng: Œ đến #ï) Thế thì (a có:
Trang 25age Ca
Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp Chứng mình:
Trude tidn, (To S)o #vÀ To (So Á) có chung một tập nguồn (5) và một tập dich UD
Tiả sử (x, ) 6 Ê x H, Ta có:
vy “Ky
x(7To 3o |3yeF ỷoSt ° „, |ldyef,3:eG,ty% : 1
° (se {1 * ‘| er To(SoRt
@ Dinh nghia 5 Cho £, Ƒ là hai tập hợp, #?là một quan hệ từ 7 đến / Ta
định nghĩa quan hệ ngược của , ký hiệu là # ”, từ # đến £, bởi: Vane Ex Fk, WR ive xy)
Chẳng hạn quan hệ ngược của < trong 1Í là >
+| Mệnh để 4
1) Voi moi quan hệ KW: (R") = &
2) Cho EF, Œ là những tập hợp, #? (tương ứng: S) 1a một quan hệ từ /2
đến # (tương ứng: #° đến Œ) Tạ có:
(So@)'=w@*oS”
Ching wnnh: 1) DS dang
2) Voi moi (x, z) thuge Bx G:
2(So Rex SoRe [se re) yS2
oS [ ef, pl ezR os
NA
+$ Định nghĩa 6 Một quan hệ #? từ 72 đến Ƒ được gọi là mội quan hệ hai ngôi khi và chỉ khi /
trong Ẹ
Ẹ Lúc đó ta nói ring ® 14 một quan hệ hai ngôi
Phân lớn các quan hệ được dùng ương Toán học là những quan hệ hai ngôi (< trong i,
tính chia hết trong 1 ( hoạc bao hầm trong S8), hoạc các ánh xa (xem 1.3 đưới đây)
+$ Định nghĩa 7 Cho /° là mội tập hợp, # là một quan hệ hai ngôi trong É,
A e 38Œ)) Quan hệ hai ngôi trong A, ký hiệu là #„, xác định bởi: VỆ, v) € AY Ry ee vRy)
Trang 261.2 Quanhé 15 Vi DU:
Quan hệ cảm sinh tren tập hợp Z7các số nguyên tố (#?= {2, 3, 5, 7, 11, }), bởi tính chia hết trong , là quan hệ bang nhaụ
¢ Binh nghia 8 Một quan hệ hai ngôi ® tong một tập hợp # được gọi là: phan xạ khi và chỉ khi: Wv 6 #2, vA
đối xứng khí và chỉ khi: Ví, y) © ES, Ww AX* >xÄA*)
phản đối xứng khi và chỉ khi: Víx, v) e /2, (i Dye) ) { Jary
bắc cầu khi và chỉ khi: V(y, y, z) € tụ => vn]
VÍ DỤ:
1) Quan hệ < trong 1] Tà phản xạ, không đối xứng, phân dối xứng, bác cầu 2} Quan hệ L trong tập hợp các dường thẳng của mạt phẳng alïn I2uelide là đối xứng, nhưng không phản xạ, không phản đối xứng không bác cầu,
1.2.2 Quan hệ tương đương
+ Định nghĩa 1 Cho # là một quan hệ hai ngôi trong một tập hựp #
Ta nói rằng là một quan hệ tương dương khi và chỉ khi: £?7là phán xạ,
đối xứng và bắc cầụ
¢ Định nghĩa 2 Cho #£ là một quan hệ hai ngôi trong một tập hợp /-
Với mọi x thuộc /2, lớp tương dương của + (modulo R) ka tập hợp, ký hiệu là cl,(2 (hoặc +, hoặc Y, hoạc +) được xác định bởi:
c0 = {y © BS wRy}
Mỗi phần từ của cï,(+) được gọi là một đại điện của cho) 'Tập thương
modulo #ÿ, tứ
bởi Z2, và ký hiệu
à E/&, là tập hợp các lớp tương đương
E[R= feldayex € Eh
vi DU:
1) Quan hé bàng nhau trong một tập lí lợp bất kỳ /2 là mot quan hệ tương đương Với mỗi + thuộc #, ta có cl-(+) = {+}, : ={(ala e]Ị
2) Trong một tập hợp #, quan hệ #? xác định hởi
hệ tương đương Với mọi + thuộc #2, ta có cl(x) = &
Trang 27
Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
3) Với mọi ø thuộc '#”, quan hệ "là đồng dự với modulo ¡", được xác định bởi: VỤ, y) e 22, @œ=y[n| cn Ìx- y)
là một quan hệ tương đương (xem dưới day, 4.1.2, Mệnh đẻ) Với mọi x thuộc 2, lớp của x được gọi là lớp modulo ø của x, và được ký hiệu là í (hoặc x, hoặc š}, va:
4 =lv+nk& 2}
4) Trong tập hợp ở các đường thẳng afin của một mat phang afin P, quan hệ song song IA mot quan hệ tương đương Với mọi Ð thuộc 4, lớp modulo song song của D được gọi là phương của Ð
+| Mệnh để Cho một tập hợp Ẹ
1) Với mọi quan hệ tương đương R trong E, tap thương #/Z là một phân
hoạch của Ẹ
2) Với mọi phân hoạch Z2của E, quan hệ £ xác định trong E bởi:
va, y) € E2, [+ Ă [2 e nh 4]
1à một quan hệ tương đương trong £, va P= E/R Chứng mình:
1) Giả sử £ là một quan hệ tương đương trong È + (Wx € E,cl,£x) # D), vix € cla)
© Gid sit (x,y) € EB? sao cho cl dn) Nel, G4
Vay tén tai z cl,/a) ¬ cláy) Khi đồ ta có x#€ z và y€*z, vì vay (do tính đối xứng và bác câu) xKỳ Suy ra clelx) C cl„(y) Thật vậy, giả sử ? e clz(x); ta có 2Rt va xRy, do đó y/t tức là e clăy) Hơn nữa, vì x và y có những vai trò đối xứng nên: clz/+) = clxÁ1)
+ VI (Vx e E,x e clz(x)), nên hợp các phần tử của E/ là Ẹ
2) Ngược lại, giả sử 72là một phân hoạch của E và £ là quan hệ được xác định
trong E bởi:
2 xeP
Vệ, y) 6E”, [se =[s<rrS7)|
a) « Vì (Vx e E, 3P e #,x e P), nên ta có: Vx œ É, xKk, vậy R phan xạ
« Với mọi (x, y) thuộc £?:
xeP ( yeP
xRy© (srcedyS)s[srepEp]=»e 3 vậy # đối xứng
+ Giả sử (x, y, z) © B? sao cho xy va yẹ Tén tại P, Ở € /2sao cho: bế; và
ze
yeẹ ViPAQ4@ va P 1a mot phan hoach, nên tá có P = Ĩ và tp «v ra
Trang 281.2 Quanhé 17
by) œ) Giả sử x € Ẹ lồn tại P e ?? sao cho x e /, và khi đó ta có cl,(x) = P Thật vậy: 5 Với m
y thuộc P, Ụ : p „ VẬY XÂY,
ôVi mi y thuc cl,4â), tổn tại @ e Z?sao cho ÿ : 5 ,Vvà@=P.(@WìP cứ,
Qe PR P¬Q#Ø), vậy yeP Điều này chứng tỏ rằng: //Á?C #2
B) Ngược lại, giả sử e ?? Tên tại x e P và Khi đó tá có: cl,(x) = P theo œ)
y chứng tổ rằng: Z?c- #/Á
NHẬN XÉT:
1) Nếu £?1à một quan hệ tương đương trong E, thì với mọi (+, y) thuộc #”:
xây © cl(v) = cl{y) © + 6 cly) © y € chr)
2) Mệnh để trên nêu bật song ánh (xem 1.3.2, Định nghĩa 1) giữa tập hợp các quan hệ tương đương trên # và tập hợp các phân hoạch của ?
Bai tap
9 1.2.4 Cho £ 1a mot tập hợp &là một quan he phan xg trong £ sao cho:
oy
ER, l8 > onạ
Kiểm chứng rằng # là một quan hệ tương đương
Vụ,
9 422 Cho
quan l
à một tập hep, RIA mst quan hệ phần xạ và bắc cầu trong #2, © là một
xác định trong / bởi:
xs) @ (Ry va YR) Kiểm ching rang + là mội quản hệ tương đường
0 1.2.3 Xet trong & quan hệ Ä?xúc định bởi
ree -
a) Kiểm chứng ràng #} là một quan hệ tương đương, hộ Với mọi x thuộc #t, tính cl; (1)
9 1.2.4 Cho # là một quan hệ được xác định trong š„ ĐƠI:
(xÌ+2)0°* D sứ) +21G2 + 1), a) Kiểm chứng ràng #? là một quan hệ tương đương Ba War ine 6 thins
Trang 29
Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp 1.2.3 Quan hệ thứ tự
1) Đại cương
+ Định nghĩa 1 Cho /7là một quan hệ hai ngôi trong một tập hợp /2
Ta nói rằng Ä' là một quan bệ thứ tự khi và chi khi: ® phan xa, phan đối xứng và bắc cầụ
'Ta thường nói thứ tự thay cho: quan hệ thứ tự Một quan hệ thứ tự thường được ký
hiệu < (chẳng hạn, < thông thường trong + 1 hoạ *
Một tập hợp được sáp thứ tự (hay: được sáp) là một cạp (4, Ấ) trong đó Ja mot thứ tự trên #2
+ Định nghĩa 2 Cho Œ2, X) là một tập hợp được sắn thứ tự
D Hai phần tứ x, y của # được gọi là xo sánh dược (đối với <) khi và
chỉ khi:
ẹSy hoặc ySx,
2) Ta noi rằng £ là một quan hệ thứ tự toàn phản (hoa
toàn phản) khi và chỉ khi mọi pha in tử của /; đều so sánh được từng đơi, tức là:
Víx, vì € f2, ( y hoặc v S 3)
VÍ DỤ:
1) š thông thường trong '* là một thứ tự toàn phần
2 là một tập hợp có ít nhất hai phần tức, thì quan hệ bao hầm trong Ơ2 Tà
một thứ tự khơng tồn phần "
Cho (2, %) là một tập hợp được sắp Ta định nghĩa trong 2 một quan hệ, ky hiệu là , gợi là thứ tự nghiêm ngặt ứng với %, xác định bởi:
frsy
va, yek, \ " NAY
Va chi phản xạ
rằng (nếu khác rồng), ~ không phải là một quan hệ thứ tự, vì nó khơng Quan he ngược (xem 1.2.1, Dinh nghia 5) ca mot thet ues trong & là một thứ tự ký hiệu là > ; nói khác đi:
Vary elie eyo yu
Nếu % là một thứ tự trên , thì vớt mỗi bộ phận A của /, quan hệ cảm sinh
bởi < trong A (xem 1.2.1, Dinh nghia 7) là một thứ tự, được gọi là thứ tự
Trang 304.2 Quan hé
2) Các phần tử đặc biệt của một tập hợp được sắp thứ tự @ Định nghĩa 1 Cho (7, <) là một tập hợp được sắp thứ tự
1) Cho A € XE), v € Ẹ Ta nói rằng + là một chặn trên (hoặc: cận trên)
(tương ứng: chặn dưới (hoặc: cận dưới) của A trong E khi và chỉ khi:
VaecA,d« x (tương ứng: Và 6 Á, x Sa)
2) Cho A € PF) Ta ndi rằng A bị chặn trên (tương ứng: bị chặn dưới) trong # khi và chỉ khi Á có ít nhất một chặn trên (tương ứng: chặn
dưới) trong E, tức là:
Sve E,Vae Ava <x (1wong ting: dy € E, Va € Ay x <a)
3) Cho A € P(E), a € Ẹ Ta néi rằng œ là một phần tử lớn nhất (tương
ứng: bé nhất) của A khi và chỉ khi:
aeA „ aca
tương ứng: +
VaeA, axa VaeA, axa
4) Cho A € P(E), x © Ạ Ta nói rằng + là một phần tử cực đại (tương ứng: cục tiểu) của A khi và chỉ khi:
Va € A, (x <a = x = a) (tuong ting: Va € A, (aX V4 =a) “Ta có thể ký hiệu tập hợp các chặn trên (tương ứng: chặn dưới) của A trong £ là
Majz(A) (tương ứng: Min,(4)) Với (2, b) e EẺ, ta nói rằng b là một chặn trên của a
(hoặc ơ là một chặn dưới của b) khi và chỉ khi a =)
NHẬN XÉT:
1) Nếu a, / là những phần tử lớn nhất của A, thì ø < Ø GÀ ø e A và / là một phần tử lớn nhất của A), và tương tự Ø=é ø, suy ra # = Ø Như thế, một bộ phận A
của E có nhiều nhất một phần tử lớn nhất Nếu 4A có một phần tử lớn nhất (tương ứng:
bé nhất) thì nó được ký hiệu Max(4) (tương ứng: Min(4))
2) Một bộ phận A của Z có thể có hoặc khơng có phần tử lớn nhất Chẳng hạn,
trong (:„ <), _ cớ một phần tử lớn nhất (là 0), nhưng ”, khơng có phần tử lớn nhất
3) Một bộ phận A của £ có thể khơng có phần tử cực đại, hoặc có một, hoặc có nhiềụ Chẳng hạn:
* trong ), z, khơng có phần tử cực đại
«+ trong C?, <), |Ú; 1] có một phần tử cực đại và chỉ một, đó là 1 và đó cũng là phần tử lớn nhat cua (0; 1}
Trang 31
Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
4) Nếu (E, <) được sắp thứ tự toàn phần, thì £ có nhiều nhất một phần tử cực đại,
đó cũng là phần tử lớn nhất của Z Thật vậy, nếu x là phần tử cực dai cia E, thi vi =
là thứ tự toàn phần trong E, nên ta có:
Va 6 A,{a < x hoặc x < 4)
và như vậy: Va e E, (a < x hoặc x = đ), tức là: Va e E,a 4x
'Vậy khái niệm phân tử cực đại chỉ có ích trong trường hợp < là thứ tự không tồn phần
® Định nghĩa 2 Cho (E, =) là một tập hợp được sắp thứ tự, A 8Œ) 1) Nếu tập hợp Majz(4) các chặn trên (hoặc: cận trên) của 4 trong E có một phần tử bé nhất M, thì 1 được gọi là biên trên (hoặc: cận trên
đúng) của 4 (trong E) và được ký hiệu Sup;(4), hoặc Sup(4)
2) Nếu tập hợp Minz(4) các chặn dưới (hoặc: cận dưới) của A trong E có một phân tử lớn nhất ơm, thì z được gọi là biên dưới (hoặc: cận dưới
đúng) của a (trong È) và được ký hiệu Inf;(4) hoặc Inf(4)
Nếu A gồm hai phần tử x y, hoặc một họ các phần tit (x), ¢ » thi ta sẽ ký hiệu Supz(x, y), Infz(x, y), Sup x;, Inf x; thay cho Sup,(A), Inf,(A)
le Í€ NHẬN XÉT:
Cho (E, <) là một tập được sắp thứ tự, Á e 4E), M e Ẹ Muốn cho A/ là biên trên (nếu tồn tại) của A trong E, cần và đủ là:
VaeA, a <M
fie E, (WaeA,asa)= M s x)
VÍ DỤ:
1) E = 3, < thông thường, Á = 40; If
Ta có: » Majz(A) = [1; +œ|, vậy Sups(A) tổn tại và Supz(4) = 1 « Min,(A) = }-s; 0|, vậy Inf,(4) tổn tại và Inf,(A) = 0
Ta chú ý rằng, theo ví dụ trên, biên trên (tương ứng: biên đưới) của A trong È, nếu
tơn tại, có thể không thuộc Ạ
2) E= Q, S thong thutng, A = {x € G57 <2)
Ta có: Majz(A4) = {x 6 Q„¡ xŸ >2) = [x © G5 27 > 2}, tap nly khong c6 phần tử bé nhất (tức là: 2 # ); vậy A không có biên trên trong Ẹ
3) E = PF), trong đó Ƒ là một tập hợp, C là quan hệ bao hàm Với mọi (X, Y) thuộc E2, ta có:
Supù(X )=XÝ và Infy p(X Y=X OỴ
4) E = - {0; 1}, 118 tinh chia hét Với mợi (x, y) thuộc EÊ, ta có (xem 4.2.2,
Mệnh để 3) :
Sup(x, y) = x v y = BƠNNG, v), Tnf(x, y) =x A y= ƯCLNG, y)
`
rẻ
xế
Ry
Trang 321.2) Quan hé
NHAN XKT:
1) + Sup,(Ø) là phần tử bé nhất của # (nếu tơn tại)
« Inf,4Ø) là phần tữ lớn nhất của /¿ (nếu tồn tại)
2) Với mọi hộ phận khác rỗng A của #, nếu Inf,(A) và Supz(A) tổn tại, thì:
Inf,(4) < Supz(4)
Bài tập 5
© 4/25 Cho£= (1.2.3.4 5J, @là Z1
quan hệ thứ tự xác định trong £ bởi 2 + 4 biểu đổ bên (theo quy ước khơng có
tinh phan xa va tinh bac cfu), A= {2, 3], S ¡Z
={2.41.C= 11.2
an Ạ B,C, khdo sat sy tén tại và trị có thể có của tập hợp các chạn trên củạ
Tap hep cic phần tử cực đại, biên trên, và phần tử lớn nhất của chúng
Với mỗi bộ p|
chúng trong £
© 1.2.8 a) Cho Œ, 5) là một tập hợp được sáp thứ tự A, # là hai bộ phận củạ
cho AB Chứng minh rang, néu A va # có các biên trên (cận trên đúng) trong, Supa) < Sup,()
40
hi
b) Cho bạ ví dụ về các lập hợp được sắp thứ tự @, ) va ca bộ phận ,1, 8 của £ sao cho A C8 và thỏa mãn:
Aco bién trên trong &
3 khơng có biến tren trong
A khơng có biê n trẻ n trong #
Ö có biên trẻ n trong £
Trang 33“0,
? — Chương1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp Oo 1, 7? Thứ tựtích
Cho (E, 4), ứ°, *) là hai tập hợp được sắp thứ tự Z?là quan hệ xác định trong #£ x # bởi:
os
& PW Ye t ue
a) Chứng minh 27 1a mOt the ty tren £ x £, gọi là tu rự tích của các thứ Lự trên #2 và trên 7
b) Lấy # = F = IR được trang bị thứ tự thông thường
œ) Với mọi cập (x, y) của RỂ, xác định tập hợp các chạn trên đối với # "của (x, v) trong, 1
B) Thứ tự 7?có là một thứ tự toàn phần trong 'FÊ không? ÿ)_ Xác định tập hợp các phần tử cực đại của A = (Ux ¥) €
thứ tự #2
x+ y>ÓJ đối với
* ÿP có biên trên đối với F*hay không? và nếu có, hãy xác định bien trên đó
© 1.2.8 Thứ tự từ điển
Cho (#È, 5) 3) ia hai tập hợp được sáp thứ tự £ là quan hệ xác định trong #2 x 7° bởi: xa
(xi) £ Q7, y) € | hoặc : Œ=xvà ySy)
+) Chứng mình ràng £ là một thứ tự trên £ x # gor ka fut ae aie ciển (của các thứ tự trên È và
wen F)
b) Chứng minh ràng nếu “ của /2 và của /° là thứ tự toàn phần, ti Z là một thứ tự toàn phân
€) Lấy # = E = l, được trang bị thứ tự thông thường
@) Với mọi cạp (x, y) thuộc ấy xác định tap hop trong RẺ
ác chan trên dối với £ của (x v)
Trang 3441.3 Anhxa 23
13 Anh xa
13.1 Các định nghĩa
© Định nghĩa 1 Cho hai tập hợp E, Ƒ
Hàm từ E đến Ƒ là một quan hệ ƒ từ £ đến F thỏa mãn:
V(,y,y)e€ExFxF, fy»sv),
afy }
Khi đó ta thường ký hiệu y = ffx} hon lax fỵ
ập hợp (hoặc miền) xác định của hàm ƒ, ký hiệu Def(/) là tập hợp các phần tử x của E sao cho tổn tại y € F théa man y = ffx)
Với mọi x thuộc E, nếu tồn tại phần tử y của F sao cho y = ffx), thi y được gọi là ảnh của x bởi ƒ (hay: qua j)
Với mọi y thuộc F, mot phan tử x của E sao cho y = /{4) (có thể khơng tồn
tại phần tử +, tồn tại một, tồn tại nhiều) được gọi là một tạo ảnh của y bởi
f (hay: qua f)
Như vậy, một quan hệ là một hàm khi và chỉ khi mỗi phần tử của tập nguồn có quan hệ với nhiều nhất một phần tử của tập đích
+$| Mệnh để 1 Nếu ƒ là một hàm từ £ dén F va ø là một hàm từ F dén G, thi
quan hé ge f (xem 1.2.1, Định nghĩa 4) là một hàm từ E đến Œ
Chứng mình
sé wi 7 ee
Gid st (x, 2, 2) © E x G x G sao cho: SỬ (x, 2, 2’) {rect , Tén tai (, y) € F? sue cho: ại @, y)
t ƒyvàygz vị af à vì / là một hà a có: y = y’ Se 28? va là một hàm, }y§Z nên ta kết luận z
® Định nghĩa 2 Một hàm ƒtừ £ đến F được gọi là một ánh xạ khí và chỉ
khi Def(f) = Ẹ Tap hợp các ánh xạ từ # vào # được ký hiệu là F*
Nói khác đi, một quan hệ 7c từ £ đến F là một ánh xạ khi và chỉ khi, voi moi x thud
E, t6n tai một và chỉ một phần tử y của # sao cho x£ ỵ Ký hiệu #Ê sẽ được lý
dưới đây (3.5.1)
Một ánh xạ ƒtừ E đến # được ký hiệu f:E -» F , trong dé chữ x là cam
x fis)
NHAN XET:
Trang 35Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
o| Mệnh để 2 Nếu ƒ: # —> F, g: FƑ => G là hai ánh xạ, thì ham hop
øs ƒ là một ánh xạ
Chứng mình:
Theo Ménh dé 1, ge f đã là một hàm Cho x e Ẹ Vì / là một ảnh xạ nên tôn tại y € Ƒ
sao cho y = f(x) Ngoai ra, vi g 1à một ánh xạ, nên tổn tại z € G sao cho z = g(y) Vay
theo dinh nghia cla øs ƒ ta có: z= (#s ƒ }G) NHẬN XÉT:
Nếu ƒ: E —y F, ø: F —> Ở là hai ánh xạ, thì ta có:
Wxe E,(ge f)@œ) = gứ[z))
¢|M@nh dé3 (Tính kết hợp của phép hợp các ánh xạ)
Với mọi ánh xạ ƒ: E >8: FOG, A: GOH, tac:
(ie pho f =holgof)
Chứng minh:
Đó là một trường hợp riêng của 1.2.1, Mệnh để 3
NHAN XE’ Phép hop c
ánh xạ không giao boán, tức là c6 thé go f # fog Chang han,
:R->R và g:RE->E không giao hoán đối với s „vi: 8 Bì
xpath yey
vee ih KH hai (foghay= {02 =x? +1
và đạc biệt (go f)U) #(fe8) CD)
VÍ DỤ:
1) Véi tập hợp É bất kỳ, ta ký hiệu lú;: E—>E , gọi là ánh xạ đồng nhất (hoặc XX
phép đồng nhất) của Ẹ
2) Cho Z là một tập hợp, A € P(E); anh xa nhúng chính (ác từ Á vào # là ánh xa, ký hiệu i„ „ (hoặc i„), xác định bởi:
ing ACẸ
xE>x
3) Cho E là một tập hợp, ƒ: £ —> E là một ánh xạ Ta ký hiệu ƒ' = Td, f! =f va với mọi ø thuộc Ñ- {0, 11.ƒ”= ƒ » ƒ "1, nếu khơng có nguy cơ bị lẫn với các phép
sae ft font 3 c =
toán khác ( ” có thể chỉ 7 ,£' có thể chỉ đạo hàm cấp n cha f )
4) Cho £, F la hai tap hợp, ¿ e È Ánh xạ hàng a là ánh xạ thường được ký hiệu
Trang 364.30 Ann xa 25 `5) Cho E là một tập hợp Với tap con A tùy ý của E, ta định nghĩa hàm đặc trưng
(hoac: hàm chỉ) của Á, ký hiệu x„ (hoặc: g,) nhu sau:
Yt E> {0,1}
1 néuxed xR 0 néux ele (A)
6) Cho n € HN’, Ey, E, là những tập hợp Với mỗi í thuge (1, ., 2}, ta định
nghĩa ánh xạ chiếu chính tác thứ ¿, ký hiệu là p,, như sau:
Pt Ey, xX x FE, OE (X15 es XQ) PG Chẳng hạn, với # = 2: pik, xb, E, va pi By x BE, > Ey 4) PX (X1,%2) ty NHẬN XÉT: Với mọi ánh xạ ƒ: E —> F, ta có: ƒslde=ƒ và ld; sƒ =ƒ
@ Định nghĩa 3 Một bộ phận A của một tập hợp E được gọi là ổn định dối với một ánh xạ ƒ: E —> E khi và chỉ khi: Va € A, fla) € Ạ
‘ap
1.3.1
° Cho E là một tập hợp Với mọi bộ phận A cia E, ta ký hiệu: @„ : E —> {0, 1} 1nếux €4 x Onéuxe A —
là hàm đặc trưng của A (xem Ví dụ 5), trong đó Á =Ũ (A)
Chứng minh các công thức sau đối với mọi bộ phận A, # của E:
ACBâđứ,S% 2A = BS O= Oe
3) ĐÃ =Øa 4) Đang =ØAØn
5) øy =lTØa 6) ØẠ;p = Øa T0a — ØA0p ?) 0A_g =ØẴØz)
8) Ø^pg = ØA +0p ~2040g = (0A —0g)” = |ÐA —Ø5| -
ô 43.2 Cho E, F là hai tập hợp, {118 tap hop các cập (X /) tạo thành bởi một bộ phận khác rng X của E và một ánh xạ ƒ từ X vào Ƒ Ta định nghĩa trong ¿ƒ một quan hệ, ký hiệu Z2 là:
xcx
WxeX, ƒ@&)=ƒ'Œœ)
a) Chứng minh rằng # là một quan hệ thứ tự trong ¿⁄
b) Các phần tử cực đại (tương ứng : cực tiểu) của ¿4 đối với R 1a gỉ
Trang 376 Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hop
E 0 43.3 ChE F.GE FG’ la ohimg tip hop wd
a rr Œ
f g
là những biểu đổ giao hoán, tức Tà sao Cho tre ƒ = fiou vi w oy
p hy fF
Chứng mình ràng biểu đổ z Vw— có tính giáo hoán
kt gef
9 1.3.4 Nhân tử hóa một ánh xa
Cho £, /2, G là ba tập hợp khác rỗng,
ay Cho f: E> Fg: BG la hai anh xạ Chimg minh rang, dé t6n tai ks F G sao cho
Bo ts 6
biduđ nw “a fb là giao hoán (tức là: #e ƒ = g ), điều kiện cần và đủ là: 8 ( Sze dis
Viaasye YO) = f4) = 800 = BO’)
b) Cho hai ảnh xạ ø :É —>G, 6 = FG, Ching minh rang, dé ton tar fs £ > F sao cho G
bos
bidu dé fd Uh Tà giao hoãn (tức Ï
i t
Wax € EL dy € F, gtx) = Aty)
à: re f =g ), cin vada la:
1.3.2 Đơn ánh, (toàn ánh, song ánh
® Định nghĩa 1 Một ánh xạ ƒ/:/—> Ƒ được gọi là ánh xạ:
« đơn ánh khi và chỉ kh: V(r.x)e £°,(fx) =7) >v= +) « toan anh khi vichi khi: Vy € F, ave Fy = ft)
+ song ánh khi và chỉ khi: ƒ là toàn ánh và đơn ánh, tức là:
WyeU,dlreE, va)
Ta cũng nói đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, tương ứng: song ánh) thay cho ánh xạ
đơn ánh (tương ứng: ánh xạ toần ánh, tương ứng: ánh xa song ánh)
NHÂN XE
1) Một ánh xạƒ: 72 F Ta dom ánh khí và chỉ khi : Vane BR, Ger > fix) ef’)
Nói khác di, f: & > F la don anh khi và chi khi moi phẩn tử của 7° có nhiều nhất một tạo ảnh bởi ƒ trong #:
2) Một ánh xạ /: # —> #' là toần ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của # có ít nhất
một tạo ảnh bởi 6trong #2
Trang 381⁄3 Anhxa 27 vi DU:
1) Néu A cE, ánh xạ nhúng chính tắc i„: A—y XOX E là một đơn ánh, cũng, được gọi đơn ánh chính tac tit A vao Ẹ
2) Cho E là một tập hợp, # là một quan hệ tương đương trong Ẹ Ánh xạ
s: E-xE/K là một toàn ánh, được gọi toàn ánh chính tác từ E lén E/R xb cles)
@ Dinh nghia 2
1) Một song ánh bất kỳ từ £ vào £ gọi là một hoán vị của È
2) Đối hợp (hoặc: ánh xạ đối hợp) của E là một ánh xạ ƒ: E > E bat ky sao cho ƒs ƒ = ld;
e| Mệnh để 1 Hợp của hai đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, tương ứng: song ánh) là một đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, tương ứng: song ánh)
Chứng mình:
Cho hai ánh xạ ƒ: E — F,g:Ƒ — G
1) Giả sử ƒ và ø là đơn ánh
Với mọi (x, x) thuộc F? ta cé:
(go fy) = (ee Fx") Bf) = 86) Sf) =f >=
vậy gof ladon ánh
2) Giả sử ƒ và ø là toàn ánh
Cho z e G Vì ø là toàn ánh nên tổn tại y € Ƒ sao cho z = 8ÿ) Rồi, vì ƒ là tồn ánh
nên tổn tại z e E sao cho y = #1) Vậy ta 6 z = g(x) = (ge f(x), diéu nay ching
t6 go f là toàn ánh
` ƒvàglađonánh _ [go ƒ ladon énh
3) và ø là song ánh) => { Fvaglitoan anh — |go f latoin dh
=> (go f 18 song ánh)
«| Mệnh đề2 Choƒ: E —> F, g: Ƒ > G 1y Nếu øe/ là đơn ánh, thì ƒ là đơn ánh 2) Nếu øe ƒ là toàn ánh, thì ø là tồn ánh
Chứng mình:
1) Giả sử go f là đơn ánh Với mọi (x, x2 thuộc ÉP ta có:
#0 =fŒ) — s00) = g9) © (gs ƒ 19 = (6s ƒ G = x = x
vậy ƒ là đơn ánh
2) Giả sử go ƒ là toàn ánh, Cho z eG, tồn tại x e E sao cho z= (gs ƒ x) = gx),
Trang 39ney
Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp
+| Mệnh để 3 Cho một ánh xạ/ƒ: Ƒ —> Ƒ Để quan hệ ngược của ƒ là một
ánh xạ, cần và đủ là: ƒ là song ánh Hơn nữa, nếu ƒ là song ánh thì ánh xạ ngược ƒ ' của f Ja mot song anh
Chứng mình:
1) Ta nhớ lại rằng quan hệ ngược /ˆ của ƒ (Kem 1.2.1, Định nghĩa 5) được định nghĩa bởi:
VỤẠy)€ExfF, y/'xe©xƒyeœy =/00)
Tacó: (/làsongánh) ©œ(Wy€/,3l2ef, y=/@))
(Vy €F,31x 6E, y ƒ 4) © Œ ' là một ánh xạ)
2) Nếu ƒ là song anh thi f 1a một ánh xạ như trên đã nói) và vì / "1" =/ là
một ánh xạ, nên ƒˆ' là song ánh
@|Ménh dé 4 Nếu ƒ:/ —> F vig: F > G là những song ánh, thì gsf :E — G là song ánh và (ges/}!= ƒ 1a¿!
Ching minh: Do Ménh dé 1 va 1.2.1, Mệnh đề 4 NHẬN XÉT:
Từ nay, ta sẽ không sử dụng tới hạt hệ ngược của mou quan hệ, ngoại trừ trường
hợp khi quan hệ đó là một song ánh Vậy ký hiệu ƒ
giả thiết ƒ là song ánh Tuy nhiên, ta sẽ sử đụng ký hiệu ƒ "(A4 (nghịch ảnh của một
tap con A’ cua tap dich) đối với một ánh xạ ƒ bất kỳ, xem 1.3.5, Định nghĩạ
+| Mệnh để 5 Chof: & > # là một ánh xạ Muốn cho ƒ là song ánh, điều kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ g: ? => E sao cho:
Ve (ete
ƒsg=ldz Hơn nữa, với các giả thiết đó, ta có: ø = ƒ `"
Chứng minh:
) Nếu ƒ là song ánh thì /ˆ tổn tại như là một ánh xạ, và rõ rằng rằng:
tr sƒ=Ng
foflaldy
2) Ngược lại, nếu tôn tại g: F > £ sao cho tý = i „ thì, theo Mệnh đề 2, vì
Id; là đơn ánh và Id; là toàn ánh, ta suy ra ƒ là đơn ánh và toàn ánh, do đó là song ảnh Tương tự đối với g Cuối cùng:
#=g° ° ƒ”)=(g se ƒ' =1dg s ƒ =ƒ”, «| Hệ quả Một ánh xạƒ: # —> £ 1a đối hợp khi và chỉ khi:
In là song ánh
Trang 401⁄3 Anhxa 29
Bai tap
ệ 4.3.5 Cho £, F là hai tập hợp, /: > #.ø: Ƒ — E là hai ánh xạ sao cho foxof la
song ánh Chứng minh ƒ và ạ đều là song ánh
4.3.6 Cho E,E, G là ba tập hợp, ƒ: E —> f2 gÈ — G là hãi ánh xạ Chứng mình: a) Nếu ø© / là đơn ánh và ƒ là tồn án, thì ø la đơn ánh
by Néu ge f là toàn ánh và ¿ là đơn ánh thì / là toàn ánh
1.3.7 Cho hai tập hợp khác rỗng /, /, ƒ: É —> / Chứng mình (sử dụng bài tập L.3⁄4): a) ƒ là đơn ánh khi và clủ khi tổn tại một toàn ánh Ñ ; # —> É sao cho # s / = dụ
b) ƒ là toàn ánh khi và chỉ khi tổn tại một đơn dinh g: F + £ sao cho fog = Id,
4.3.8 Cho hai tập hợp khác rỗng E, ” Chứng minh rang hai tính chất sau đây là tương
dương
(} Tên tại một đơn ánh từ ÿ vào Z
đi) TỔn tại một toàn ánh từ / vào £,
1.3.9 Chof: Tot va g: Hil
xb 2e [y 2 neu y R ehdn vo
nếu y là lễ
a) Khao sat cdc tinh chất don ánh, toàn ánh, song Anh của ƒ và của g
b) Xác định gof va fog
4.3.10 Tích của hai quan hệ tương đương
Gia sit E, F là hai tập hợp, # (tương ứng: =) là một quan hệ tương đương trong E (tương ứng: #), 7 là một quan hệ xác định trong E x Ƒ bởi:
ay Tee t m yoy
a) Hãy kiểm chứng rang 7 la mot quan hé tuong đương trong £ x F
b) Nêu rõ một song ánh giữa L/R x F/S va (E x PY
4.3.11" Trong
P 1a định nghia một quan hệ #? bởi: lasonganh
ƒRe© |3eẸ Ũ 8 ø°ƒ=goÐ
a) Chứng trình rằng R 1A mot quan hé tong dương trong Z b) Có hay khơng ch sh (cdc ham hypebolic)? cosR sin?
e) Tìm một điều kiện cần và đủ đối véi (p, g) eR dé f: RO Rvag: ROR xe xE>x?+px+g là