Giáo trình Toán tập 1 (Giải tích 1) của Jean-Marie Monier

Bộ giáo trình toán cao cấp của Jean Marie Monier với nhiều bài tập có lới giải được sử dụng là giáo trình chính thống trong nhiều trường đại học, cao đẳng đào tạo chuyên sâu về khoa học tự nhiên Bộ sách gồm 7 cuốn: Tập 1: Giải tích 1 Tập 2: Giải tích 2 Tập 3: Giải tích 3 Tập 4: Giải tích 4 Tập 5: Đại số 1 Tập 6: Đại số 2 Tập 7: Hình học Năm thứ nhất học Tập 1, 2 và 5. Năm thứ 2 học Tập 3, 4, và 6. Tập 7 Hình học bổ trợ kiến thức năm thứ 2.

Trang 1

TT”

XIN | GIẢI TÍ0H |

Á (ito tinh vi

300 bat tip 6 loi gia

Trang 2

Giáo trình Tốn - Tập 1

GIẢI TÍCH 1

Cuốn sách này được xuất bản

trong khuơn khổ Chương trình

Đào tạo Kỹ sư Chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ giúp của Bộ phận Văn hĩa và Hợp tác của

Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng

hịa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Cours de mathématiques - 1

ANALYSE 1

Cet ouvrage, publié dans le cadre

du Programme de Formation

d'Ingénieurs d’Excellence au

Vietnam, bénéficie du soutien du Service Culturel et de Coopération de YAmbassade de France en

Trang 3

Jean - Marie Monier

Giáo trình Tốn

Tap 1

GIAI TICH 1

Giáo trình và 300 bài tập cĩ lời giải

(Tái bản lần thứ tư)

Người dịch :

LÝ HỒNG TÚ

Hiệu đính :

NGUYEN VAN THUONG

Trang 4

Cours de mathématiques - 1

ANALYSE I

Cours et 300 exercices corrigés

1° année MPSI PCSI PTSI

Jean-Marie Monier

Professeur en classe de Spéciales

au lycée la Martiniére-Monplaisir a Lyon

Trang 5

Lời tựa

Thuở cịn là một học sinh trung học trễ tuổi, tơi vẫn mang một sự tơn

kính gân như thần thánh đối với các cuốn sách giáo khoa Khi đĩ, đối với

tơi, các cuốn sách giáo khoa, mà cứ đâu năm học lại được một bàn tay

mẫn cán bọc lại cẩn thận, cĩ ý nghĩa như thế nào thì tơi cũng khơng thể

nĩi lên chính xác được : điều chấc chắn là chúng chứa đựng Chân lý Chẳng

hạn, tơi cho rằng chỉ cĩ thể phát biểu một định lý theo đúng từng câu chữ như trong sách giáo khoa Lúc đĩ các giáo sư chưa sử dụng thường xuyên các tờ sao chụp (ơn tập và bổ sung ly thuyết, để bài tập ) ; ngày nay thì tơi nghĩ rằng tình hình đĩ là do những khĩ khăn về sao chụp hơn là vì các

giáo sư đĩ lại khơng muốn để lại dấu ấn cá nhân qua việc lựa chọn những

bài tập độc đáo Các giáo sư khi đĩ thường xuyên tham chiếu đến các sách giáo khoa, tuân thú trung thành trình tự của sách giáo khoa, lấy bài tập từ

sách giáo khoa Tuy nhiên tơi vẫn cịn nhớ đã rất lúng túng khi thày giáo

Tốn, ở lớp cuối cấp Trung học phổ thơng, mà tơi cũng rất tơn sùng, đơi khi lại phát biểu một số lời phê phán đối với một cuốn sách mà chính ơng ta đã khuyên chúng tơi sử dụng! Cịn các tác giả của các cuốn sách đĩ thì lại càng bí ẩn : họ là ai, các vị thân linh nấm giữ Tri thức đĩ? Sau này,

tất nhiên là các mối quan hệ của tơi với tư cách sinh viên đối với các cuốn

giáo trình đã thay đổi dẫn, nhưng hình như tơi vẫn giữ lại cách tiếp cận

vừa ham thích vừa tơn kính đĩ, chắc là do ngây thơ, cách nhìn vốn đã ngăn

cân tơi khơng làm những việc chẳng hạn như ghí nhận xét ở lê trang sách

- tơi sẽ khơng nhại việc làm của một Pierre de Fermat! - và cả cái định kiến tơn trọng sẽ khiến cho tơi khĩ mà soạn thảo được một bân nhận xét khách quan

Khơng một giáo sư nào, đù cho là một tác giả đã viết giáo trình, lại nghĩ

đến việc thay việc giảng dạy sống động bằng một cuốn sách Nhưng một

giáo trình được xuất bản, nếu trung thành với nội dung va tinh thân của

chương trình của một lớp, cĩ thể giúp ích rất nhiều cho những sinh viên

chăm chỉ Người sinh viên, nhất là các sinh viên mới bắt đầu học, sẽ cảm thấy yên tâm khi cĩ được một lược đỗ sáng sủa, chính xác, chặt chè, một

Trang 6

một cách hợp lí, một cách nhìn tồn cục đối với các vấn đề được khảo sát

trong cuốn sách Người sinh viên sẽ tia chắc là sẽ m được trong cuốn sách đĩ một phép chứng minh chưa thấu hiểu, một thí dụ hay phân thí dụ giúp cho việc nắm vững hơn một khái niệm, câu giải đáp cho một câu hơi

mà anh ta khơng dám nêu ra

Để cuốn sách cĩ thể hồn thành vai trị trợ lý đĩ - tuy thụ động nhưng luơn luơn cĩ mặt - tơi cho rằng cuốn sách phải thật gần gũi với những khúc mắc trực tiếp của người sinh viên, khơng địi hồi những hiểu biết chưa thấu hiểu, khơng làm cho người sinh viên chán nân do thường xuyên đưa ra những khái niệm quá tỉnh tế ; tuy nhiên cuốn sách đĩ vẫn phải chứa đựng một nội dung đủ để cĩ thể tạo nên dược những cơ sở chấc chắn làm Tiên tắng cho trí thức khoa học

Như thế chúng ta dễ hình dung được rằng việc biên soạn một bộ giáo

trình đành cho sinh viên các lớp dự bị hay sinh viên học phân 1 bậc đại

học, sẽ địi hỏi, cùng với sự hiểu biết chuyên mơn cân thiết, một trình độ

sư phạm chấc chắn, được rèn luyện qua kinh nghiệm giảng day lau nam &

các cấp học đĩ, một đức tính kiên trì và tỷ mỉ to lớn

Jean-Marie Monier da da ding cam để thực hiện cơng việc lớn lao đĩ,

và những cuốn sách mà ơng ta cho ra mắt chúng ta hơm nay - nối tiếp các tập bài tập vốn đã gặt hái thành cơng mà chúng ta đều biết - đã chứng tỏ

rằng ơng ta đã đi đúng hướng; tơi nghĩ rầng Ơng ta đã đạt được mục tiêu

để ra, tức là biên soạn những giáo trình hồn chỉnh đành cho tất cả các

sinh viên, chứ khơng riêng cho những sinh viên tương lai của Trường Bách

khoa Tất nhiên sau này họ sẽ đọc và thưởng thức những cuốn sách chuyên

sâu những người sẽ tiếp tục học lên Trước mất, sau khi học xong lớp

cuối cấp, họ cân phải thấu hiểu đây đủ những khái niệm cơ sở mới (tính

liên tục, sự hội tụ, cấu trúc tuyến tính ) ; người đọc SẼ được một bàn tay

chắc chấn dẫn ‹ất từng bước, bàn tay đĩ sẽ là chỗ tựa vững chắc mỗi khi

xuất hiện nguy cơ : những đoạn nhận xét đối với một số sai lâm chính là

kết quả của sự quan sát nhiều lần các sai lâm mà sinh viên mắc phải

Suốt trong quá trình học, thường xuyên cĩ những bài tập để người sinh viên tập dượt : vài chục trang sau đĩ, anh ta sẽ cảm thấy hài lịng khi nhận

ra rằng minh đã đạt được kết quả đúng din do đi đúng hướng, hoặc thu lượm được một chỉ dẫn quý báu để tiếp tục nghiên cứu thêm : thật vậy

Trang 7

Tơi đã nĩi về vai trị cơ bản mà một cuốn giáo trình, được sử dụng

trong một thời gian dài như một cơng cụ tra cứu, cĩ thể cĩ trong việc hình thành một trí tuệ khoa học trế trung Như vậy cấu trúc, cách biên soạn và

trình bày một cuốn giáo trình là những yếu tố cơ bản : ở đây chúng ta chỉ được phép tạo ra một cái gì hồn hảo Đĩ chính là ý nghĩa của cơng việc

mà J-M Monier đã hồn thành, với một trình độ hiểu biết, một cách lựa chọn và sự kiên trì tuyệt vời, từ bản thảo đâu tiên tới những cơng việc sửa

chữa cuối cùng, tới từng chỉ tiết, trước khi hồn chỉnh Các tập sách này đáp ứng đúng một nhu câu thực sự hiện cĩ, và tơi tin chắc rằng chúng sẽ được đĩn chào nồng nhiệt từ đối tượng của chúng là các sinh viên - và chấc chắn là cả những người khác nữa - những người sau này sẽ nĩi rằng :

"Tơi đã học được nên tảng Tốn học trong các cuốn Monier !“

H.DURAND

Giáo sư Tốn đặc biệt Trường Trung học

Trang 8

Lời nĩi đầu

Bộ giáo trình Tốn mới này, với nhiều bài tập cĩ lời giải, được biên soạn

dành cho sinh viên giai đoạn I các trường đại học cơng nghệ quốc gia (năm thứ 1 và thứ 2, mợi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I đại học khoa hoc, va cho cdc thf sinh dy thi tuyển giáo sư trung học phổ thơng

Bố cục của bộ giáo trình như sau:

Tập! : Giải tích1

Tập2: Giải ent Giải tích năm thit-1

Tập 3: Giải tích 3 Tp4 : Giải tích A Giải tích năm thứ 2 wae ye 3 + Tập 5: Đại số |:

Tap 6: Dai số 2: Daisé nam thir2

Tap 7: Hình học: Hình học nam thit 1va thứ 2

Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong mỗi chương độc giả sẽ thấy nhiều bài tập cĩ lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã cĩ trong bộ bài tập cĩ lời giải gồm tám tập mới xuất bản

Đại số — năm thứ ]

Nhiều vấn đề ở ranh giới của chương trình được để cập ở cuối chương, dưới dạng các bổ sung cĩ giải

Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả Xin vui lịng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bản Dunod, 5, phố Laromiguière,

75005 Paris

Trang 9

Lời cảm ơn

Tơi xin bay tỏ tại đây lịng biết ơn đến rất nhiều bạn đồng nghiệp đã vui

lịng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc của bản đánh máy, là:

Robert AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain BERNARD, Isabelle BIGEARD, Jacques BLANC, Gérard

BOURGIN, Gérard-Pierre BOUVIBR, Gérard CASSAYRE, Gilles

CHAFFARD, Jean-Yves CHEVROLAT, Jean-Paul CHRISTIN, Yves

COUTAREL, Catherine DONY, Hermin DURAND, Jean FEYLER, Nicole GAILLARD, Marguerite GAUTHIER, Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, Alain GOURET, André GRUZ, André LAFFONT, Jean-Marc LAPIERRE, Jean-Paul MARGIRIER, Annie MICHEL, Rémy NICOLAI, Michel PERNOUD, Jean REY, René ROY, Philippe SAUNOIS, Patrice

SCHWARTZ va Gérard SIBERT

Cuối cùng, tơi cảm ơn sâu sắc Nhà xuất bản Dunod, Gisèle Mạus va Michel Mounic, mà trình độ chuyên mơn và tính kiên trì đã tạo điểu kiện hồn thành các tập sách này

Trang 10

Mục lục Tạp 1

PHAN THU NHAT - GIAO TRINH Chương I - Số thực

1.1 Mở đầu 3.2 Số thực

1.2.1 Sự tơn tại và duy nhất của R 1.2.2 Các tính chất sơ cấp của số thực 1.2.3 Các tính chất cơ bản cia R 1.3 Đường thẳng số mở rộng R Bổ sung Chương II - Số phức 2.1 Mở đầu 2.2 Thể số phức 2.2.1, Định nghĩa

2.2.2 Số phức liên hợp, phân thực, phân ảo 2.2.3 Mođun

2.2.4 Agumen

2.3 Biểu diễn hình học các số phức

2.3.1 Mặt phẳng phức

2.3.2 Biểu diễn hình học của phép cộng trong C

2.3.3 Biểu điễn hình học phép nhân trong C

2.3.4 Các ánh xạ z L> AZ + b

2.3.5 Điêu kiện cân và đủ để ba điểm trên mặt phẳng phức thắng hang 2.3.6 Điêu kiện cần và đủ để bốn điểm trên

mặt phẳng phức đồng chu hoặc thẳng hàng 2.4 Lũy thừa và căn số

2.4.1 Hàm mũ biến số thuân áo

Trang 11

XIV Mục lục

2.4.2 Căn bậc n của một số phức khác khơng 2.4.3 Các căn bậc n của Ì

2.4.4 Nhĩm các căn bậc ø của 1

2.5 Úng dụng số phức vào lượng giác

2.5.1, Khai triển cosn9, sinn9, tantÐ

2.5.2 Tuyến tính hĩa cosP9, sinP8, cosPơsinP6

Bổ sung

Chương II - Dãy số

3.1 Dãy hội tụ, phân kỳ

3.1.1 Định nghĩa

3.1.2 Các tính chất vê thứ tự của các dãy số thực hội tụ

3.1.3 Các tính chất đại số của day so hoi tụ

3.1.4 Các ví dụ sơ cấp về đãy

3.2 Tính đơn điệu

3.2.1 Dây thực đơn điệu

3.2.2 Dãy kê nhau 3.3 Dãy con

3.4 Một số loại dãy thơng thường

3.4.1, Dãy ađn truy hồi cấp một với hệ số khơng đổi 3.4.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai với hệ số khơng đổi

3.4.3 Dãy truy hồi loại u„.¡ = /0„)

Bổ sung

Chương IV - Hàm một biên

lây giá trị thực hoặc phức

4.1 Đại số các hàm

4.1.1 Đại số K*

4.1.2 Quan hệ thứ tự trong RỄ

4.1.3 Tính chân lẻ

4.1.4 Tỉnh tuân hồn

Trang 12

4.1.7 Tính đơn điệu

4.1.8 Ánh xạ bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn

4.2, Giới hạn

4.2.1 Khái niệm giới hạn

4.2.2 Thứ tự và giới hạn

4.2.3 Các phép tốn đại số đối với các hàm cĩ giới hạn 4.2.4 Trường hợp hàm đơn điệu

4.3 Tính liên tục

4.3.2, Các phép tốn đại số trên các ánh xạ liên tục 4.3.3 Liên tục trên một khoảng

4.3.4 Tính liên tục trên một đoạn

4.3.5, Ánh xạ ngược

4.3.6 Tính liên tục đều

4.3.7 Anh xa Lipschitz

Chuong V - Dao ham

5,1 Đạo hàm

5.1.1, Đạo hàm tại một điểm

5.1.2 Các tính chất đại số của các hàm khả vi tại một điểm

5.1.3, Anh xa dao ham

5.1.4 Các đạo hàm cấp cao

5.1.5 Lớp của một hàm

5.1.6, Vi phan

5.2 Định lý Rolle, định lý số gia hữu hạn

5.2.1 Dinh lý Rolle

3.2.2 Định lý số gia hữu hạn

5.3 Sự biến thiên của hàm

5.3.1 Khảo sát tính đơn điệu của ham kha vi 5.3.2 Khảo sát các cực trị của một hàm khả vi

5.4 Hàm lồi

Trang 13

XVI Mục lục

Chương VI - Tích phân 183

6.1 Tích phân các ánh xạ bậc thang trên một đoạn 183

6.1.1 Đại số các ánh xạ bậc thang trên một đoạn 183 6.1.2 Tích phân một ánh xạ bậc thang trên một đoạn 185

6.2 Tích phân các ánh xạ liên tục

từng khúc trên một đoạn 188

6.2.1, Dai số các ánh xạ liên tục từng khúc trên một đoạn 188

6.2.2 Xấp xỉ một ánh xạ liên tục từng khúc

trên một đoạn bằng những ánh xạ bậc thang 189 6.2.3 Tích phân trên một đoạn một ánh xạ liên tục từng khúc 191

6.2.4 Các tính chất đại số 193 6.2.5 Các tính chất liên quan đến thứ tự 194 6.2.6 Hệ thức Chasles 199 6.2.7 Tổng Riemann 20 6.3 Mớ rộng cho các hàm cĩ giá trị phức 205 6.4“ Tích phân và đạo hàm 207

6.4.1, Hàm tích phân của cận trên 207

6.4.2 Nguyên hàm 210

6.4.3 Phép đổi biến 213 6.4.4 Phép tích phân từng phân 214

6.4.5 Cơng thức Taylor với phân dư tích phân 216 6.4.6 Xấp xỉ một tích phân, phương pháp hình chữ nhật,

phương pháp hình thang 219

PHAN THU HAI

chi DAN VA TRA LOI CUA CAC BAI TAP

Trang 14

Phần thứ nhất

Trang 15

Chương 1

Số thực

1.1 M6 dau

Tap hop N = (0, 1, 2, 3, } các số tự nhiên thuộc về cơ sở của phép đếm Đo trong N khơng cĩ các phần tử mà tổng với 1 hoặc với 2 bằng 0, nên người ta đã xây dựng tập hợp các số nguyên (tương đối) Z = { —2, —L, 0, 1, 2, ] Sau đĩ, do trong Z khong cé các phần tử mà tích với 2 hoặc 3 bằng 1, nên người ta đã xây dựng tập các số hữu tỷ Q, tập này được trang bị một cấu trúc

thể giao hốn sắp thứ tự tồn phần, nghĩa là cĩ hai luật hợp thành trong +, -,

và một quan hệ thứ tự tồn phần < sao cho:

{Q.,+„) là một thể giao hốn:

œ<b =a+r<b+c

Vặ,b,c)e Q,1a<b =#-cSb+c

Ose

Ta thấy ngay, chẳng hạn là khơng tồn tại số hữu tỷ nào mà bình phương

2

bằng 2 Thật vậy, nếu tồn tai (m7, 2) ¢ N* sao cho 2= (2) thì các số mũ n

của 2 trong các dạng phân tích (thành thừa số) nguyên tố của mỂ và 2/ sẽ cĩ tính chắn lẻ khác nhau

Những "số" cĩ ích khác trong Giải tích cổ điển như e, x cũng khơng phải là số hữu tỷ

Do đĩ cần phải xây dựng một thể số rộng hơn Q: đĩ sẽ là thể các số thực

Bai tap

Ta giá thiết tổn tại (m, n) e N*? sao cho m = 2n", và ta lìm cách dẫn đến mâu thuẫn

Trang 16

4 Chương1 Số thực

a) Chứng minh rằng tồn tại p e ÌN* sao cho m = ø + p, rồi tồn tại ¿ ¢ N* sao chon =p+q;

suy ra đ? = 2p`, sau đĩ suy ra mâu thuẫn bằng cách lặp lại thủ tục này

bJ Chứng minh rằng 2 chia hết m, rồi 2 chia hết ø, từ đĩ dẫn đến mâu thuẫn nếu ta giả thiết

ƯCLNớn, n) = 1

e) Giả thiết ƯCLNữn, ø) = 1 Chứng mình rằng ø chia hết (m ~ n)(m + n), và mặt khác UCLN(a, m—n) bing UCLN(nm +n) = 1, từ đĩ đẫn đến mâu thuẫn

4) Giả thiết mm và ø nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng mœˆ # 2ø” l3]

1⁄2 Số thực

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất của R

'Ta thừa nhận sự tồn tại và duy nhất, khơng kể đến cách ký hiệu, của tập hợp

R được trang bị hai luật hợp thành trong +, - và một quan hệ < sao cho:

1) (R,+,) 14 mot thể giao hốn

2)< là một quan hệ thứ tự tồn phần trong R asb <a+cSb+c

3)V(,b,e)eRŸ,Ja<b

0<c

4) Mọi bộ phận khơng rỗng và bị chặn trên của R đều cĩ một biên trên (hoặc cận trên đúng) thuộc R

}>eese

Ta nhấc lại rằng:

(R, +, -) là một :hể giao hốn, nghĩa là:

+ c6 tinh két hop: V(a, b,c) < R’, (a+b)+e=a+(b+c)

+ cĩ tính giao hốn: V{(4, b) € R,a+b=b+a

R cĩ phần tử trung lập đối với phép +, ký hiệu là 0:

VaeR,z+0O=O+a=a

mọi phần tử z thuộc R đều cĩ phần tử đối, ký hiệu là —a:

WaeR, at+(-a)=(-a) +a=0

Trang 17

1.2 Số thực

R cĩ phần tử trung lập đối với phép -, ký hiệu là 1:

VaeR, al=la=a

moi phần tử a thuộc R - {0} đều cĩ phần tử nghịch đảo, ký hiệu ø”: VaeR-{0}, aa! =a'a=1

a(b+c)}>a:b+a-e

- phân phối đối với phép cộng: V{z,b,c)cRŸ, P P php 5 (a s)<

(b+c}'a=b-a+e-a

< là một quan hệ thứ tự tồn phần trong R nghĩa là: S cétinh phan xa: Vae R, asa

< cĩ tính phản đối xứng: v{z,b}e R2, [fete]

sa

2 tính bắc cả, 3 asb

S$ c6 tinh bac cdu: Va,b,c)eR › >ase

bse < la thi ty toan phan: v(a,b)eR?, (ø<bhoạcb<a)

Cho một bộ phận A của R và một phần tit x cla R

* Ta nĩi x là một chặn trên (hay cận trên) của 4 trong R khi va chỉ khi

VaeA, asx

® Ta nĩi x là một chặn dưới (hay cận dưới) của A trong R khi và chỉ khi:

VaeA, xSa

Ta nĩi x là phân tử lớn nhất của A khi và chỉ khi x € A va x 1A mét

chặn trên của A trong R

® Ta nĩi x là phân tử bé nhất của A khi và chỉ khi x e A và x là một chặn dưới của A trong R

Nếu A cĩ phần tử lớn nhất x, thì A cĩ một và chỉ một phần tử lớn nhất

(vì < cĩ tính phản đối xứng) khi đĩ ta ký hiệu x = pnC4) hay x = Max(4)

Tương tự, nếu A cĩ phần tử bé nhất x thì ta ký hiệu x=ptbn(4) hay

x = Min(A)

Khi A 1a mét tap hitu han khéng réng, g6m cdc phin tit ay, ,a,, ta thudng ky hiệu Max (2z¡, ,ø„) hay Maxa, thay cho Max|zi, 2„); cũng ký hiệu

t<iSn tương tự đối với phần tử bé nhất

Một bộ phận A của R được gọi là bị chặn trên (tương ứng: bị chặn dưới) trong R khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một chặn trên (tương ứng: chặn dưới)

Trang 18

Chương 1 Số thực

cha A trong E Ta nĩi A bị chặn khi và chỉ khi A bj chặn trên và bị chặn dưới

Cho một bộ phận 4 của R:

e Ta gọi phần tử bé nhất trong các chặn trên của 4, nếu tồn tại, là biên trên (hay: cận trên đúng) của A trong &; phần tử này được ký hiệu là

Sup (A) hay Sups(4)

« Ta gọi phần tử lớn nhất trong các chặn dưới của 4, nếu tồn tại, là biên dưới (hay : cận dưới đúng) Phần tử này được ký hiệu Inf(A) hay

Inf,(A)

Với (a, bì 6 E2, a< b cĩ nghĩa: a < b và a#b Ta cĩ thể viết b >4

(tương ứng: b > a) thay cho a < b (tương ứng: a< b)

Các phần tử của E được gọi là các số thực

Ký hiệu 1 là phần tử trung lập của phép nhân trong E Với mọi # € Z, ta ký

hiệu số thực xác định bởi:

1+1+,„+l (nlần) nếu ne Ïl*

nì m40 nếu n =0

(SD+(<1+~+(©1) Cnlẩn) nếun € Z`

lanl

V6i moi q € Ø, tổn tại (m, n) € Z x Z* sao cho g= 5, và ta ký hiệu a

q-1=n-1)0r1)”; định nghĩa này là hợp lệ vì nếu q=>== với (m, n), non

(n’, n’) déu thu6c 72 x Z*, thi men’? = mˆ-n, từ đĩ: Gm-1)0-1) = Gn? 1) va (m-1)r ly = Œm-D@£-U?

Với mọi g € 0, ta cĩ thể đồng nhất 4 với đ'1, và đồng nhất Q với {4-1; g@eG} và như vậy ta coi 9 là một bộ phận của R

Với mọi x e ** ta thường ký hiệu L thay cho x” x

Ta ky hieu Fy= (x € Fy x2 0}, B= {xe Ri xs 0}, Rt EB — {0}, E}= E.- (0),E' =3 _- 10]

Với (a,b) e #2 sao cho a<b; ta định nghĩa trong f chín loại khoảng:

Trang 19

1⁄2 Số thực

[ứ b[= lxelR¿a<x<b], 1a; b]={x eR:ø<x<b}

]¿; bE= {xe R;œ<x<P} jo; af = {x e Rix <a} ]—%; ¿] = {xe Ri x<a} Ja; tof = {x € Rpa <x}

[a; +0[ = fx € Ria sx} jo; tof = R

Các khoảng [ø; b], ]—e; ø]}, [a, +eo[, ]—œ, +©[ được gọi là đĩng

Các khoảng ]œ; ð[, ]—œ; a{, ]a, +e[, ]—-s, +s[ được gọi là mở Các khoảng [ø; b[, }a, b] được gọi là nửa đĩng hoặc nửa mở

Với các ký hiệu trên, các số thực ø (hoặc b) được gọi là các mút của khoảng

Cho 7 là một khoảng của R, bao đĩng của ï, ký hiệu T, là một khoảng cùng cĩ các mút với / và chứa cả những mút thực của 7, nếu cĩ

°

Phan trong cita /, ky hiệu 7, là khoảng thu được từ ƒ bằng cách bỏ các mút, nếu cĩ

Nhu vậy, v6i moi (a, 6) € RẺ sao cho ø < b:

[#;b1=[&:{ = }a:b]=]a;6[={b], ]~%¡a]=]= %;4[=]—= %4],

]e;+e[ =[@;+œ[ =[a;+e[, ]—~ ©;+eo[ =]~ œ;+e[,

(B= (a R= Yas B= Ja, Bl =e: bt, Fer) = Feral = Jn; al,

(HAL = [EAH = Je; 400), TS L=]-euail,

Độc giả sẽ thấy một sự khảo sát đây đủ vẻ sự tồn tại và duy nhất của R trong

Giáo trình Tốn học tập 2, Dunod, của J.—M Amaudiès va H.Fraysse

1.2.2 Các tính chất sơ cấp của số thực 1) Vuyz eR, wsyooxtzsy+z)

x<«y

2) Vx,y,veR, =x+u<y+v|

usv

Từ đĩ bằng phép quy nạp đơn giản, với moi ne N¥ 01.05 YpYn © Re

Trang 20

Chương1 Số thực

4) Vx,yeR, Vzc R1},Œœ<y x2 < y2) Osxsy 5} VayuveR, ( =xuŠ yw | Osusy “usV < Ÿ — xu < yu, và {rs => yusyv, sy Thực vậy, (rs H

Từ đĩ bằng phép quy nạp đơn giản ta cĩ:

Với mọi ne ÏN*, xị, x„, y, y„€ R:

n n

(Vie fn} 0<x, <y;}> 1l: < ]I» :

isl i=l

Trudng hop riéng: Vn 6 N*, Vy) e RỶ, (0 <x<y— <9,

6) Vay) € k:ƒ.sse1<1)

yox

xsy

7) Yxyuy eR, =x+<y+vi

u<v

Thực vậy: (y + v) — (x + w) = (yT— x) + (9 — ) >(y— Từ đĩ suy ra với mọi ø € NP Aen Yon eR:

Vie {hua} x; Sy;

b c{lL nm} Xi, < Vi, > des xy

Tính chất này được sử dụng một cách thuận tiện hơn đưới dang sau:

Vie{l, n} x,<,

=Wiefl, n}x, = y,)

Ta ciing suy ra: Vn € N*, V(x, y) € R2 s(asy@x' sy’)

Giá trị tuyệt đối của một số thực

¢ Định nghĩa Giá trị tuyệt đối của x e R là một số thực, ký hiệu ||

x néux20

xác định bởi: fs = ¿ `

Trang 21

1.2 Số thực

“Ta cĩ các tính chất sau:

1) VxeR, |x|Ì= MaxŒ, —)

2) vxeR, |xzl>0

3) vxeR, (lxÌ=0œx=0)

4 vœ»eR°, (lzyl= lxlly

Suyra: Vane NỈ, Văi, , x„e R,

ˆ an [7a

Trudng hop rieng: Vn eN, VxeR, |z”l=lzP

+

Ix”

6) Vớ,y) e R2, |x+ y|< |xl+ |yÌ, bất đẳng thức tam giác (quy vê 4)

" bằng cách bình phương) n SS ist i=l Max(x, y) =1 +y+k -¥) 7) Vœy)eR?, 2 MinGx,y)= + y =|x= |) 5) VxeR 2 x Ta suy ra: Vn € N¥,Vxj, 4, € R,

Ta được kết quả sau cùng này bằng cách phân thành hai trường hợp x < y,

<z

8) Vœ,y) eR2, |Íx|~ly|Í< lz—>Ï

vi lxl=lx-y+yls |x—yl+Ìy |, nên Ixl-lyls |z — y |; và tương tự lyl-lxls ly-xl=lx-yl

Khoang cach théng thudng trong R

+ Định nghĩa Khoảng cách thơng thường trong R là ánh xạ adRxROR

Gyr |=-94

V6i (x, y) € R’, s6 thuc d(x, y) duge gọi là khoảng cách từ x đến y Điều này ứng với hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa hai điểm của một

đường thẳng

"Ta cĩ các tính chất sau, suy ra trực tiếp từ các tính chất của giá trị tuyệt đối: 1) Vớ,y) eR, (dặœ,y)=0 @ x=ÿ)

Trang 22

1 Qhương Sốthực

.2) Vú, y) e R, d(y, x) = đệ, y)

(ta nĩi đ cĩ tính đối xứng)

3) Wx, y, 2) € RY, d(x, 2) < d(x, y) + d(y, z)

(ta nĩi d thoả mãn bất đắng thức tam giác)

4) VŒ,y,z) e R”, lđặ, y) ~ đề, 2 Í< độ, 2)

(bất đẳng thức tam giác ngược)

Bất đẳng thức Cauchy~Schwarz

2

VneN),Wx,,.x„,\ y„ 6Đ, (Es ] < (E(x)

isl tl al Ta sẽ trình bày ba cách chứng minh bất đẳng thức quan trọng này:

a „ 3 A 2

($*}$»)-(É»›) 4] rl +=l

=> (2y!+xiy)-2xyx,y,)= D 6y, —x/y,} >0, Isteysn Istepsn

(ii) Bat ding thức là hiển nhiên khí Š`y? =0, nên cĩ thể giả thiết

P

2

Khi đĩ: 0< (($z k -[§x»: b.] datas ial

eee HE)

(iii) Chi ý rằng: VÀ e R, Š (A x, + y,}Ÿ >0, nghĩa là (VAeR, T()) > 0)

r=[

trong đĩT: R—>R xác định bởi:

VAeR, T@) -(#s)# ray, Ja+(Ey?))

asl tel +=l

n

«Nếu 3'x? >0 thì do tam thức thực 7 cĩ giá trị > Ú trên R nên cĩ

Trang 23

12 Sốthự 11

n

e Nếu Yi? =0 thì (Ví e {1, n}, x; =0), và bất đẳng thức cần

ist

chứng minh là hiển nhiên

Trường hợp đẳng thức trong bất đẳng thức Cauchy—-Schwarz

1) Cho (xụ, x,)Ĩ, y,) là hai phần tử của 3" sao cho đẳng thức xảy ra

trong bất đẳng thức Cauchy—Schwarz, nghĩa là:

$s] (§Jê]

Lặp lại các phép tính ở (), ta được: VỤ, j) € {1, , ny, XY;= XYi- Gia st (4), ,x,) # (0, ,0); thé thi t6n tai i, € {1, , 2} sao cho Xi, # 9

Ta suy ra: VJ e (1, }, 3, =x

Như vậy, tồn tại @ EX sao cho Ớ\, y„) = đĨ4, , Xu)

2) Ngược lại, giả sử tổn tai @ ER sao cho: Vj € (1, n}, y= ax Khi dé

b sỹ (aS) -e(#z] |

tlpHirlsbl<6)

Vậy (Es) l$?)

Cuối cùng: bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trở thành đẳng thức khi và chỉ

khi: ta cĩ : Œ¡, z„) = (0, ,0) hoặc

BAER , Ops Yn) = AX)

Trang 24

12 Chương 1 Số thực

Bài tập

01.2.4 Tim một ví dụ về ánh xạ ƒ: E2—>R sao cho khơng tồn tại cặp 4nh xa (g, A) tis R vao

E thoả mãn V(x,y) e RỂ, ƒ#, y) = a(x) + AQ)

91.22 01.2.3 91.24 012.5 01.2.6 01.2.7 0128

Giải các hệ phương trình sau với ẩn là (x,y,z) € RẺ:

x+y=? x2+2yz=x a) 11.1 b) {y2+2zx=y xy Z z2+2xy=z x+y?+z2 =3 wee y= Tz 23 Ø)472+x=8z a - xey+z=l2 z+x +y =3 x>0,y>0,z>0 3,

các phương trình sau, với ẩn là (x, y, 2) € R

a) 332+ y) +zŸ = 2x0 +2) b) 332 + 4y” + 1822 — duy — 1232 =0,

Chứng minh rằng với mọi (x.},z/) e 8F:

x?+y? =2 x2+z2 =2 z2+t2=2 œjy? +? =2, xz = yt x=ứt Chon 6 N~ {0,1}, xụ , xy e R; chứng minh: (xỆ +1] + + XÃ = XI ngs Hae tnt FA) PE Chứng mình rầng với mọi ø e N và x e R-{1}: m4 TT x“ -Ì | alts +» oT (= +x +1) #0 x1 +0 yt

Ching minh: Wx € R, 8-2 +f eit S50

Chứng mình các bất đẳng thức sau day và khảo sát các trường hợp xây ra ding thức:

a) V(,b)e(R„}”, a3 +b3+232ab+a+b

b) V(œ,b)e(R+Ÿ”, Vụ e NT, (w—1)a" + bt > nahnlp

c) V(a,b,c)e R3, a2 +b2 +c2 > ab+ ác tbc

d) V(,b,e)e(R„)`, abc >(a+b—eXb+c~đ)(e+a~b)

ec} V(b,c)e(R,}Ẻ, a3 + b3 +c3 2 a1b + bỀc +c1a

Trang 25

12 Sốthự 13 2 2 ø V(be)e(R„}, ma e ]

kh} V(a,b,e) 6 es}, ment

dl+e

iY V(a.beye fey, +

13

01.240 Cho (øe)e [R}}a=a+ 7 Bubsti pecs :

hứng mính rằng: Max(ø.8 2) >2

n

04.214 Chon ¢ N*,a, 4, € R,; chứng mình rằng: | [ (1+ a,)2 1+

=Ì

và khảo sát trường hợp đẳng thức

" 91/2/12 Choa N”,,, 4, € |l; +ee[ ; chứng mình rằng: ø+ | ]a, >1+

wl

và khảo sát trường hợp đẳng thức (Sử dụng bài tập 1.2.11)

z

94/2/18 Chọn € N”a, 4„ € |1: £6|: chứng mình rồng: ] ]Ú +ø¡}> -Ê

(Sử dụng bài tập 1.2.1)

2m1

9.2/14 Ching minh rằng: n eN”,V+ e |0; 1 v2 ]l;+øl, —EC z@n+nr _*

01.2.15* VéineN- {0,1}, tinh: Max > &,-x/)] Ott ER" 1gtcjsn 0555 Syst

01.2.46 - Chứng mình rằng với mọi n e N: [ ¡=0 1 I 1 < v (x+y ox xen ” 9.2/47 Chứng mìnhrằngVxelt,VneN, > is] a

91/2/18 Chon 6N”, Gi ,x,) € R” sao cho [xj] =1 va

#=l

Trang 26

1.2.3 Các tính chất cơ bản của R 1) Biên trên

Ta nhắc lại tiên đề về biên trên (cận trên đúng) trong R: mọi bộ phận khơng rỗng và bị chặn trên của R đều cĩ một biên trên trong R

Chú ý đến tập các phần tử đối của các phần tử thuộc bộ phận đang xét, ta cũng cĩ: mọi bộ phận khơng rỗng và bị chặn dưới của lR đều cĩ một biên

dưới trong R

Bai tap

n

a} ef „ ¬ b) e-fiecar 2 men” „

1.2.20 Cho A, B là hai bộ phận khéng réng cia R; ky higu:

A+B=lxeR:3(4b)e AxBx=a+b|- AB=lxrelR; 3(a.b)« Ax B,x= ab} -âa=lxeR:-xe 4) 4l =lxeR,3ae 4, ax =1}

4)

b,

«)

Giả sử A và bị chặn trên, chứng mình rằng A + 8 cĩ biên trên trong R va Sup(A + B) = Sup(A) + Sup(B)

Giả sử A bị chạn trên, chứng mỉnh rảng -A cĩ biến đưới trong R và

Inf(-A) = —Sup(A)

Giả sử A và B bị chặn trên, chứng mính rằng A ©2 8 cĩ biên trên trong R và Sup(AUB) = Max(Sup(A), Sup(B))

Giả sử A và B bi chan, ky hitu A, =A OR,,A-=AOR_, B= BOR, B= BOR a) Chứng mình rằng nếu A, # Ø và B, # Ø thì A,B, cĩ biên tren trong R và:

Sup(A,8,) = Sup(A,)Sup(B,)

Ø) Khảo

át tương tự với Sup(A,B_) Sup(A—B,) Sup(A—B_) z)_ Suy ra rằng AB cĩ biên trên trong R và:

Sup(AB) = Max(Sup(A,)Sup(8,), Inf(4,)Sup(Ư_), Sup(A.)Inf(,)., Inf(4.)Enf(8 )) ở đây, theo quy ước, ta khơng xét các biên đối với tập rồng

ð)_ Cho kết quả tương tự đối với Inf(A?)

Giả sử (0 # Á CR „ và A bị chặn trên; hãy chứng mính rằng Aˆ" cĩ biên đưới trong Rv Inf(£”)=

Sup(4)

Trang 27

12 Sốthự 15

Cho ø 6 ]l; +o| và ne ÌN*; chúng ta sẽ chứng minh rằng tổn tại một phần tử

b thuộc R, sao cho b"= a

Dat E = (x € Ry xs a); E khong rong (vi 1 € £), bao ham trong R va bi

chan trén béi a, vi néu x € E thi x’< a < a" Theo tiên để vé bién trén trong R, E cĩ một biên trén } trong R

eb>l>0vìleE

e Giả thiết b" < a; ta sé chứng minh rằng tổn tại a € Đ} sao cho (b+ 0)" <a

Cho z e]0; 1| bất kỳ; khai triển theo cơng thức nhị thức Newton:

đ

(b+ 0)" -6"=S cho hak

k=l

Với moi k € {1,10}: b'*al <b"'a vib2 1va0<a@ <1 Do dé:

(b+a)" -2" lệnh =br a tbl

k=l

Tén tai sé thuc @ sao cho0< aml ar yp! a-b" Tớ:

ray" sb" +2" -yo™acb" sao" Jaa

Vậy b+ ức E và b + œ> b, mâu thuẫn với định nghia b là biên trên của E

trong R

Cho /Ø € 0; Al bat kỳ; khai triển theo cơng thức nhị thức Newton:

fn "

p" ~(b-8 y =p" sick ark k = vicky tar’g ke

k=0 ks]

k

Với mọi ke {L,I tyes k =cbt-'(2] <bhỞ —pPhh vì b> 1 } 2 b

và Feyoutt Do d6: b= (b- A" s [Sethe =f" -1}o"'s

k=l

Bt ›

Tén tai một số thực Ø sao cho: 0 < P< ni và do đĩ:

Trang 28

Vậy b— / là một chặn trên của E trong R, điều dé mau thuẫn với định nghĩa b là biên trên của £ trong R Điều này chứng tỏ ở" = z

Mặt khác, {x € R,; x” = a} chi cĩ nhiều nhất một phần tử, vì nếu Xsazy"

no}

thi (x —pŠ)xymtr =0, với x >0, y >Ũ, suy ra x= y

¡=0

Truong hop 0 < a < 1 cé thé quy về trường hợp trên bằng cách xét 3; các

a

trường hợp ø = 0, a = 1 cĩ thể thấy ngay

"Tĩm lại:

®| Mệnh để-Định nghĩa Với mọi (z, n) e R,x N, tổn tại b 6 R, 1 duy nhất sao cho b" = a; phần tử b này được ký hiệu là Wa, hay a”, và gọi là căn bậc ø của ¿ Với n = 2 ta ký hiệu Ja thay cho Ma Trong một chương sau, chúng ta sẽ khảo sát tổng quát hơn về x với yeR Bất đẳng thức Minkowski

Với mọi n 6 ÏĐ, xị, X„, Yen € Re

lận») Ee) Ee):

Chứng minh: Bình phương hai vế của bất đẳng thức này, ta quy về bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz

Tam thức bac hai

Với (a, b,c) € R°xRxR, xét tam thc T: ROR

xi> ax2+bx+c và biệt thức A = b’- 4ac

« Nếu A<0 thì với mọi x e R: af(@) >0

4 b a

e Nếu 4=0, 7 cĩ một và chỉ một khơng điểm là “oa? và với mọi 4

Trang 29

12 Sốthự 17

b—JA

2a

e Nếu 4 > 0 thì 7 cĩ hai khơng điểm thực là x=

-b+/jA „ vr box [Uh sof, aT (x) >0

—— Và:

2a vee ba’ al (x) <0

bu ©

Ta cũng cĩ: x'+x'”=——,

a

Ta được các kết quả trên bằng cách viết T(x) dui dạng chính tắc:

2 5 4 T(x) =a (-:#) mm - (néu x’ <x") Bai tap © 1/221 Don gidn: ay Ysf2 +7 ~Ys2-7 bị tầ« bi củng ps

0 1.2.22 Gidi trong R: J3— wderi od

0 1.2.23 Gidi wong R: 313+ x + Y313- x =6

2

a) ea =1 oper ey = 56

G-yŸ =x+y x-y+š~y=30

91225 GiảirongR” x?+y?+z2=49 41,121 ~g bJJx+2jy-1+3z=2=2(x+y+z+1 ) + x yt 2 x-y+z=l 9 4/2/26 Giải trong R*: x<y

a)JS1 b)x+ yat= y+zx = 2+ lXy = E†+ XÿZ =2

A2+y?=z?+t

x+y+z+f=0

Trang 30

18 Chương 1 Sổ thực

9 4/228 Chox, x,, yịa.v, € R, sao cho: Ví e [1 4], x;+y/= Ì,

Với mọi phép thể ơ e Õ,, ta ký hiệu zợ = xơuyto¿ayoayỳaay- Chứng mính rằng khi ơ chạy khắp các tri trong G, thi ít nhất cĩ một trong các zợ khơng lớn hơn 1

91/2/29 Cho n c N ~(0,1], (42) „¡„ „ là một cấp số cộng với các phần tử (huộc R} (nghđa là: 3r € R, Ví e [1 ,n—1] đj„¡ = ø, + r Chứng mình rằng: acl St k=lV#k«l + Yan + ay 9 1.230 Chứng mình rằng: "

a) vneN Wa, ne (Ril xi <3 bị

fal il

b) viabyeR?, ffa—4 =\lal - Jie

9 1.2.31 Xét day Fibonacci (¢,), ọ xúc định bởi:

“hội 1

#ọ=0, 6, = 1 (0H EN, bean = Ga rt Gp) Ta ky hig: œ ~sa+5

a)_ Chứng mình rằng: VaeN, ¿"72 <ảp <e”hÌ, bj Kiểm chứng: vưeN, (n> 4 = n”ư >(n +) e)_ Kiểm chứng: vaeN, 0>13=¿?”2 >a?)

4) — Từ đĩ suy ra tập các n € N sao cho 6,

94/242 Chon € N*,(a e,) € RP; chứng mình rồng: Š` ký > — =

= Wn

Dé giải cde: bai tp ut 1.2.34 dén 1.2.37, cĩ thể sử dụng sự so sảnh giữa các trung bình cộng và trung bình nhân (xem bổ sung đủ ý)

6 1.2.34 Chứng mình rằng với mọi (x, y,z) € (RY: a) yl y) + yey 4 2) 2x2 +3) 2 632

by) xt ayes eBay

0 4.2.35 Chứng mình rằng: Và e NỈ, Vlad) € (RAY

A +

Trang 31

12 Sốthực 19

fn

0 1.2.36 Xét day diéu hod (H,), , 1 xác định bởi: Và e N’,H, = yt Chứng minh rằng

kal

1 1

VneN~{011, nữi+D)P =n S Hạ <n—(n~l)p PhỈ

a) (n+ I)" > 2" al bị (ï+ (204) > Ont)?

3) Tính chất Archimède, phần nguyên của một số thực

«| Định lý R là một thể Archimède, nghĩa là một thể thoả mãn tính

chất Archimède:

VzeR?,VAeR!,3ncÌN,ne>A

Chứng mình: Cho Về e RỲ, VÀ e RĨ., ta lập luận phản chứng, nghĩa là giả thiết

Vn 6 N*,ne <A Khi đĩ, tập hợp E = In£; n € N”| là một bộ phận của R khơng réng và bị chặn, vậy cĩ biên trên ở trong R ( Tiên để về biên trên trong R ) Vib-e<bnenb-ekhong phai là một chặn trên của Ø trong R Do đĩ tồn tại mot x € N’ sao cho ne > b— £, vậy („ + 1)£ > b, điều này trái với định nghĩa của 4

Voi moi x e R, áp dụng định lý trên với £= 1, ta thấy rằng (m € Z⁄ n < x} là một bộ

phận khơng rồng và bị chặn trên của Z, nên cĩ phần tử lớn nhất Từ đĩ ta thu được:

+| Mệnh để - Định nghĩa Với mọi x € R, tổn tại e Z duy nhất sao chon $x < n + 1; ø được gọi là phần nguyên của x, ký hiệu là

E(x), hay Ent(x), hay [x], hay Le]

Bai tap

a) Wavy e Đ, (x<y = E0) < E0)

bị VxelW—,E(Cx) =~E(x) - L

£)j Vậ,y) 6Đ, Eœ+ y) EŒ) ¬ E@) e (0,11 4d) Vxrel,Vae, E(x+ ø)= E(x) + ø,

6 1.2.39 a) Ching minh ring: ¥n € N”, Wi-)< si <l#- #1) in

¡19000

bị Từ đĩ suy ra giá trị của E 1 :

Trang 32

2 4.2.42 Ching minh ring: VaeN, 4 J} E ya =4 Tủ

Se tenth

6 12.44 Với mọin € NY hay tính 5 > ely), :

" ell va)"

nel

9 4.2.46 Ching té ring: Va e RLV EN" de 224) ee

hnghĩa Một bộ phận Ð của R được nĩi là trù mật trong R khi

và chỉ khi: VŒ, y) e RỀ @< y = Gd € Div <d<y))

Cho D là một bộ phận của R tra mat trong R va (x, »)ER® sao cho x < y Thế thì tồn tại một đây (4,)„e;: những phần tử cúa Ð khác nhau từng đơi một, sao cho:

VneNx<dz<y

Thật vậy:

« Nếu tổn tại d„e Ð sao cho + < d„< y, thì tổn tại đ;y†€ Ð sao cho dụ< duy Sở:

Các phân từ đ„ xác định như vậy khác nhau từng đơi một, bởi vi day (d,)„ey; là đây

tăng nghiêm ngặt Điều này chứng tỏ rằng tập hợp | x; y | ^ Ð là vơ hạn

¢| Dinh ly

Q tri mat trong R

Chứng minh: Cho (x, y) € R® sao chox <yvhe =y—x> 0 Vi R cĩ tính

Archimbde nên tồn tai 1 € NỈ sao cho nể> 1 nghĩa là —<z Đặt sẽ = E0) + Ì n

» m 1

va r=“ ,ta duge: m— 1 Sax <a, ti'dd suy ra xcigxtocxtesy- " ` " n

Bai tap

rằng Ê trù mặt trong R

Trang 33

12 Sốthự 21

9 12.80 Cho D là một bộ phận của lš và trị mật ong Đ, và Ƒ là một bộ phận hữu hạn của D; chứng mình rằng D — F trù mật trong R

8 Số vơ tỷ

Một số thực được gọi vớ tỷ khi và chỉ khi nĩ khơng phải là số hữu tỷ; vậy tập các số vơ tỷ là R — Ơ

'Tập hợp này khơng ổn định đối với phép cong (V2 € R-Q, -¥2 €R-Q,

(5 +Í_ (2) z'& — Q) và với phép nhân (ý2 R-Q, V2-V2 ¢ R-Q)

Tuy vậy ta chú ý rằng: ˆ

vre R-Q Wve Q, x+ye R-Q vxeR-Q, weQ, xryeR-Q vxe R-Q, 1 «R-Q x

«| Mệnh để

R—O trù mật trong R

Chứng mình: Giả sử (x, y)< RỶ sao cho x < y Tơn tại g € Q sao cho -Š<g<->=; J2 j2 nếu ¿ = Ư thì tổn tại ge Q sao cho g <q" < % - Điều đĩ chứng tơ Q/2 -(0] 2 trà

mật trong R (ở đây o2= taJ2:4 <Q)); vì R - Qchứa Q.2 —0] nên R—Q trù mật trong R

Bai tap

9 42/81 Ching minh: a) 42 +13 +46 ¢O ø) 5—4

6 1252 Chore Rho de a sao cho x € Q va ad -— be # 0 Chứng

mình: 28 gQ, cx+d

[mm là PS +5 Vs <|*= a x+2

2x45 sản với Ý5 hơn x+? là v

1

Trang 34

6) Đặc trưng của các khoảng của %

+j Mệnh để Một bộ phận / cha R là một khoảng khi và chỉ khí:

vQGœ,y) eƠ@œ<y=sy]<Ð

Chứng mình: () Nếu 7 là một khoảng của Rvax,ye/saochox Sy, thi [x 91 Cd,

ta thấy rõ điều này bằng cách nhận xét từng trường hợp tùy theo loại khoảng, của Í

(cĩ 9 trường hợp)

(đi) Ngược lại, giả sử ƒ là một bộ phận của E sao cho:

Vằ&,y) 6œ <y=liyICÐ:

Vì Ø là một khoảng, nên ta cĩ thể

1 £ Ø Xét một phần tử cố định ø của J va

đất, = x6 đ;x Sa) = le, dc Ì và Dự= lxehbx>a]l =1e +3 nE:

s— Nếu 2, khơng bị chặn trên, thì với mọi b € [ai ool t6n tai ¢ € D„ sao cho b <c từ đĩ suy tá be Í vì a <b <c, Vậy Dụ= |ại 41

+ Nếu D„ bị chặn trên thi D,, c6 mot bién trên /ổ trong, R và Đụ la: bỊ Với mọi € là: ØL, tổn tại c 6 Ð, sao cho b < c (theo định nghĩa của ); vậy b € ƒ vì

1 Dy= |a: Ø1 hay D„=\ơ; ØÌ-

Do vay D„ là một trong ba khoảng {¿: + l, le; Ø|, l4 B\ Ta thu duge kết quả

tương tự đối với Gụ: G„ là một trong các khoding |-2; «1, fas a], bax al trong đĩ ø= Inf(Œ„) nếu G„ bị chặn dưới

Vi =G, UD, nén ta thily ngay Í là một khoảng trong R

Bai tap

0 4.2.55 Cho hai khoảng J, J trong R khơng rộng và khơng thu vẻ một điểm; chứng t

rằng tồn tại một song ánh tin flea J

1.3 Đường thẳng số mở rộng ®

Ta thêm vào R hai phần tử riêng biệt và khơng thuộc R, ký hiệu là = Và +œ, và mở, rộng các luật hợp thành trong +, - và quan hệ thứ tự <ra R=RU £- œ;+o} như

sau: x + (+00) = (400) + X= +00 vxel$, x+(ø)=(-%)+x=~9 (400) + (+00) = +09, (-œ) +(-œ)=~® WxeR}, xŒœ)=(+9)x= +99, x(—00) = (—%)x = ~% WxeRÏ, xŒœ)=(e)x=—, x(—00) = (-00)x = 490 (+00)(+20) = (-00)(-00) = +90, (400)(—90) = (-20)( +20) = “8° veeR, —~œø<x< +; œ <—9, + OS $9

Trang 35

Bổsung 23

Chú ý rằng các luật +, - trong TR chưa được định nghĩa cho tất cả các phần

tit; (400) + (—œ), (—œ) + (+ø), 0(+œ), (+e)0, 0(—œ), (~o)0 Trong giải tích,

chúng ứng với các dạng vơ định

LIBBI với (zB|e (ay

Trong R chỉ cĩ 4 loại khoảng [#;È].[ä; ĐI; sao cho a<b

*| Mệnh để Mọi bộ phận khơng rỗng của R déu cĩ một biên trên và

một biên dưới trong R

VE DU: Supg (R) = 40, Inf (R) =o, Supy ([-<o; 0Ä) =0 = Supg (]—<; 0):

2

Bo sung

® € 1.1 So sánh trung bình cộng và trung bình nhân: phép chứng minh của Cauchy Với neĐ” và (2), 4„)e(Œ,)”, ta định nghĩa:

" ` 4 à 1 bị „+ đụ lề: = DG “Trung bình cộng của đ đ; yA =1 1

Trung bình nhân của 4,, đ; Ồ: lí-j

i=l

mà ta ký hiệu lần lượt là _A(a yo, bq) V8 GEA ss Sp) 1) Chứng mình bằng quy nạp theo mm:

Vb EN, VOM ye dgn ERG Arend ym PZ GFA ro ye

Nhu vay ta đã chứng mình được bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trang bình nhân

+

Wn NY, Vín ua,) € RY)", ns :[-|

i=l

Một tập hgp E duge goi la dém duce khi va chi khi tn tai mét song ánh từ N lên £

À1) a) Chứng mính rằng mọi bộ phận vơ hạn của một tập hợp đếm được là đếm được

b) Chứng minh rằng nếu hai tập hợp đều đếm được thì hợp của chúng cũng, đếm được

2) Chứng tỏ rằng ánh xạ /:NxN—>Đ° _ là một song ánh

(mịn) rà are"

Trang 36

24 Chương 1 Số thực

B /)Ngườita biết rằng mỗi số thực đều cĩ một biểu dién thập phân đuy nhất (xem 3.2.2, 2))

Giả sử tổn tại một song ánh 9 : N'~a0; 1{; với mỗi neĐÏ ta gọi 8%) = 0, 4,2,2 là biểu diễn thập phân riêng của O(n) Với mỗi neN', xét một số nguyên b„ sao cho Ư < b„ < 8 và b„#a,„„ Chứng mình rằng Ơi) nhỏ hom s6 thc x = 0,b pbs v6i moi neN*

Ký hiệu Š là tập hợp các đoạn của R nghĩa là tập hợp các khoảng đĩng bi chan [a,; a2} của R

khi (a,; a3) chạy khấp RẺ và a, S ay Voi hai phần tir A và B của Š ta ký hiệu:

A+B=[xeR: 14,b)e AB, xe a+b}

IDkiiienu x=ab}

A 1) Dat A= [ay; a9), B= [B,, bp) Ching minh ring:

A+B=[ai+ bị a+ bạ] 6 Š

AB= [Min(a,b,, a,b, apby, apby); Max(Gibi, aba, aybị, a9by)) € 5

2) Kiểm chứng lại rằng với mọi 4, B, C thuge S:

a) A+B=B+A b) (A+B)+C=A+(B+Œ) c) AB=BA d) (ABYC = A(BC) e) A+[00]=A Jf All, SA

g) AB=[0; 0] = (A= (0; 0] hay B= [0; 0)

h)_ A cĩ một phần tử đối xứng đối với ghép + (tương ứng: -) khi và chỉ khí A 1a đơn tử (tương ứng: đơn tử khác [0; 0])

¡)_ AŒ+O)G (AB) + (AC) và cho ví dụ khi bao hàm thức này là nghiêm ngặt ij) A(B+C)=(AB) + (AC) œ (Ví, c) € B x C, bẹ z 0)

B Giải các phương tình sau, với ẩn là X e S:

1)12 3]X=[-1: 2] 2) 11; 2IX= [2 4] 3)[1:4#= (2] 4) [-3; 1]X= [1: 2] 3) I1; 2IX= [~2; 4l

Nhận xát

4L nếu |z| < |2¿| Với mọi Á =[ø;4a]e -Š khác [0:0], ta ký hiệu X(4)= v

nếu |a| > le

^

với A, B e Ÿ cho trước và xét phương trình (1) ÁX= 8, ẩn là X € Š ta cĩ thể chứng minh

sing:

e_ (1) cĩ ít nhất hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: x(A) = x(8) < 0

Trang 37

Chương 2

Số phức

2.1 Mở đầu

Chúng ta da thấy (1.2.3, 2)) rằng các tam thức thực aX) + bX +c cĩ biệt thức A=b°— đạc <0 khơng cĩ khơng điểm thực Tuy nhiên sẽ rất tiện lợi nếu cĩ thể thừa số hố các tam thức như vậy thành đạng «(X — z)(X — /), trong đĩ

ava Ø là những số khơng thực (“ảo”) và thực hiện những phép tính tương tự như các phép tính đã được sử dụng khi ø và / là số thực

Nhằm mục đích ấy, ta thêm vào fŸ một phần tử mới, ký hiệu là ¡ (chữ đầu của từ “imaginaire” (ảo)) và kết hợpi với các số thực x, y để cĩ các số phức

x + iy

2.2 Thể số phức

Ta trang bị cho R hai luật hợp thành trong, ký hiệu là + và - (hay khơng viết đấu đối với trường hợp thứ hai) xác định bởi:

, 1y) =Œ+xyy+p

von yye R, fe Ney ) & xuyxy )

Ge, YOY) = Ory ay tye)

Ta kiểm chứng đễ dàng rằng (RỶ, +, -) là một thể giao hốn, nghĩa là:

+ cé tính giao hốn, kết hợp, cĩ phần tử trung lập (0, 0) và mọi phần tử (t, y) thuộc RỂ đều cĩ phan tử đối xứng (—x, —y) đối với phép +

cĩ tính giao hốn, kết hợp, phân phối đối với phép +, cĩ phần tử trung lập

(1, 0) và mọi phần tử (x, y) thuộc R?- {(0, 0)} đều cĩ phần tử đối xứng

3

ety

Trang 38

26 Chương2 Số phức

Ánh xạ @: IR — R® là đơn ánh và là một đồng cấu thể Vậy ta cĩ thể

xo(@œ0)

đồng nhất (x, 0) với x, thể con R x {0} cha RỶ với R

'Ta ký hiệu tập hợp RỶ là Cvà trang bị cho nĩ hai luật hợp thành trong +, - đã định nghĩa trên đây; các phần tử của C được gọi là các số phức Vay:

Ky hiéu i = (0, 1); i thoả mãn ? =-1.Tacé:

VŒ, y) e RỂ, œ, y)= Œœ, 0/(, 0) +, 000, D = x1 + y = x + iy

Cách viết z = x + Íy, &, y) R? gọi là đạng chính tác (hay dạng đại số) của số phức z

Rõ ràng C là một C -khơng gian vectơ 1 chiểu cĩ một cơ sở là (1), và là một

R-khơng gian vectơ 2 chiểu mà một cơ sở là (1, i) Ánh xạ Rock

(ny) B xtiy

một dẳng cấu R—khơng gian vectơ

Ta ký hiệu C *= € ~{0)

2 văng với noi 4 ; : x=#

Chú ý rằng với mọi (x, y, x, y) eR tacĩ: x+iy=x`+iy` ® { +

y=y

Bài tập

0 2.2.1 Xây dựng C bằng ma trận

0 -

Ký hiệu tr, i) J +? oe = {xl + yi (x, y) R?} Kim ching ring J? = -1 và chứng mình rằng ánh xa 0 : C—> E, cho ứng số phức x + iy, (x, y) e RỂ, với xÏ + /, là

một đẳng cấu thể, Nĩi cách khác 7 đĩng vai trị của ¡ trong C

a) _ Chứng mình rằng XÃ + 1 là bất khả quy trong R[X] b)_ Xét iđêan T của R[X] cảm sinh bởi X” + 1, nghĩa là:

1 =@ˆ+1)RIX]= QC + ĐO: Ở < RỊX]],

và vành-thương C = R[XJ/T Ở day quan hệ tương đương được xác định bởi:

Trang 39

22 Thếsốphức 27

Lớp, theo modulo # của một phân từ P của R[X] được ký hiệu là Ê; các luật hợp thành trong của C là ‡,*, được xác định bởi:

vP,Q €RIXI, | Ê:ơ=0

Hãy chứng mính rằng (C, 3, : ) là một thể giao hốn, và ánh xạ Ð : C~» C, cho ứng mỗi số phức x + iy, (x, y) e RỶ, với x + yX là một đẳng cấu thể Nĩi khác đi, trong C, Ä cĩ vai trị như í trong C

9 2.2.3 Hãy tìm tất cả các ánh xạ /; C—> C sao cho: VzeC, /Œ) +32) =1+2

$ 2.2.4* Với mọi ứn, n) € NẺ và mọi (x, y) € C7 sao chox + y= 1, chứng mình rằng:

A m

fmt Doth ty Cu =1,

k=0 lx0

9 2.25 ChoE,F,G,H là những bộ phận của R”, xác định bởi các hệ thức sau:

* y E: = PF: 2xy+ x2+yẺ x+y G: x3-3xy*+3y=1, H: 3xty-3x~y Chứng mính: E ¬ # = G ¬ H

0 2.2.6 - C6tồntại hay khơng œ, y) Cˆ sao cho: x+ y= 1, xƯ +} =2, x0 +y =3 Ơ 2.27 Tìm tí cả các Œx, y,z) € CỔ sao cho:

x,»,z khác nhau từng đơi

xíx—1)+2yz = Wy—1)+ 22x =2(z~ L)+ 2x 9 2.2.8 Giải hệ phương trình với Ấn Œ, y, Z2) e CẺ:

XY=2, Y=x, ay

2.2.2 Số phức liên hợp, phần thực, phần ảo

@ Binh nghia 1 Với mọi z = x + iy, @, y) € R’, ta định nghĩa (số) liên hợp Z của z boi: 7=x-iy

Ta cĩ các tính chất sau: 1}Vze(C, z= Zz

Trang 40

28 Chương 2_ Số phức

3) Vữự,z') ec’, z=

Hon nia, vi T=1, nén ta thấy rằng ánh xạ “chuyển sang số liên hop” vy: CC là một tự đồng cấu đối hợp của thể C ; yl R-tuyén tính, nhưng

z th

khơng là C-tuyến tính

fi no na

4) Vn 6N), Vữi, „) 6 C”, [Es =x vay] 2% Ta

k=) k=l k=] k=l

"Tính chất này suy ra từ các tính chất 2), 3) bằng một phép quy nạp đơn giản

Các phần tử của tập hợp ¡R = {iy; y e R} được gọi là các số áo thuần tuý hoặc thuần ảo

Ta cĩ thể dùng số liên hợp để “biến đổi” mẫu số thành số thực:

1 x~-iy

= = + Vdi mgi (x, y) e RỶ~[(0, 0)];hoặc là với mọi z e C”:

xtiy x74y

+ Định nghĩa2 Với mọiz=x + iy y) € R’ ta dinh nghia:

phần thực của z là: Re(Z) = x

phần ảo của z là : Im(z) = y Thấy ngay các tính chất sau:

1 _

z=Re(z) + ¡Im(z) Re(2)= (2+)

1)VzeC, f

Định dạng
Số trang	351
Dung lượng	5,47 MB