Bộ giáo trình toán cao cấp của Jean Marie Monier với nhiều bài tập có lới giải được sử dụng là giáo trình chính thống trong nhiều trường đại học, cao đẳng đào tạo chuyên sâu về khoa học tự nhiênBộ sách gồm 7 cuốn:Tập 1: Giải tích 1Tập 2: Giải tích 2Tập 3: Giải tích 3Tập 4: Giải tích 4Tập 5: Đại số 1Tập 6: Đại số 2Tập 7: Hình họcNăm thứ nhất học Tập 1, 2 và 5.Năm thứ 2 học Tập 3, 4, và 6.Tập 7 Hình học bổ trợ kiến thức năm thứ 2.
Trang 1GIAI TICH3
KH 5° (ìnn
500 bai tip c0 lời gi
Trang 2
Giáo trình Tốn - Tập 3 GIẢI TÍCH 3
Cuốn sách này được xuất bản
trong khn khổ Chương trình Đào tạo Kỹ sư Chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ giúp của Bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Cours de mathématiques - 3
ANALYSE 3
Trang 3Giáo trình Tốn
Tập 3
GIẢI TÍCH 3 Giáo trình và 500 bài tập có lời giải
Người dịch -
NGUYEN VAN THƯỜNG
(Tái bản lần thứ hai)
Trang 4Cours de mathématiques - 3
ANALYSE 3
Cours et 500 exercices corrigés
2° année MP PSI PC PT
Jean-Marie Monier
Professeur en classe de Spéciales
au lycée la Martiniére-Monplaisir a Lyon
Trang 5dành cho sinh viên giai đoạn I các trường đại học công nghệ quốc gia (năm
thứ 1 và thứ 2, mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I dai hoc khoa
học, và cho các thí sinh dự thì tuyển giáo sư trung học phổ thông
Bố cục của bộ giáo trình như sau : Tập 1 : Giải tích 1 nh x 4
Tập 2: Giải tích 2 } Giải tích năm thứ 1
Tập 3 : Giải tích 3 } Giải tích năm thứ 2 Tập 4 : Giải tích 4
Tạp 5 : Dai sé 1 Đại số năm thứ Ì
Tập 6 : Giải tích 2 Đại số năm thứ 2
Tap 7 : Hình học Hình học năm thứ 1 và thứ 2
Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong, mỗi chương độc giả sẽ thấy
nhiêu bài tập có lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã có trong bộ bài tập có lời giải gồm tám tập mới xuất bản
Nhiều vấn đề ở ranh giới của chương trình được để cập ở cuối chương, dưới
dạng các bổ sung có lời giải
Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả Xin vui lòng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bản Dunod, 5, phố Laromiguiére,
75005 Paris Jean-Marie Monier
Lai cam on
Toi xin bay tổ tại đây lòng biết ơn đến rất nhiều bạn đồng nghiệp đã vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc của bản đánh máy, là : Robert
AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain BERNARD, Isabelle BIGEARD, Jacques BLANC, Gérard BOURGIN, Gérard-Pierre BOUVIER, Gérard CASSAYRE, Gilles CHAFFARD, Jean-
Yves CHEVROLAT, Jean-Paul CHRISTIN, Yves COUTAREL, Catherine
DONY, Hermin DURAND, Jean FEYLER, Nicole GAILLARD, Marguerite
GAUTHIER, Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, Alain GOURET, André
GRUZ, André LAFFONT, Jean-Marc LAPIERRE, Jean-Paul MARGIRIER, Annie MICHEL, Rémy NICOLAI, Michel PERNOUD, Jean REY, René ROY, Philippe SAUNOIS, Patrice SCHWARTZ va Gérard SIBERT
Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc Nhà xuất bản Dunod, Gisdle Maius va Michel Mounic, mà trình độ chun mơn và tính kiên trì đã tạo điều kiện hoàn thành
Trang 6VI Mục lục
Mục lục
Phần thứ nhất - Giáo trình
Chương 1 Khơng gian vectơ định chuẩn 3
1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn : 3 1.1.1 Chuẩn, khoảng cách liên kết 3
1.1.2 Quả cầu, hình cầu 43
4.1.3 Bộ phận giới nội của một kgvức 14
1.14 Lân cận 16
1.1.5 Tap mé, tập đóng 17
4.4.6 So sánh các chuẩn 22
4.1.7 Miền trong, bao đóng, biên 27 4.1.8 Khoảng cách từ một điểm đến một bộ phận khác
rỗng của một kgvđc 32
1.9 _ Dãy trong một kgvđc 34
4.10 Bổ sung : điểm tụ, điểm cô lập 41
4.2 Giới hạn, tính liên tục 4 1.2.1 Giới hạn 43 1.2.2 _ Tính liên tục 47 "1.2.3 Tính liên tục đều 53 1.2.4 Anh xa Lipschitz 54 1.2.5 _ Bổ sung : đồng phôi 57 1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục 59 1.3 Tính compac 65 1.3.1 Đại cương 65
1.3.2 Trường hợp không gian hữu hạn chiều 72
4.4 Không gian đủ TT?
1.4.1 Dãy Cauchy 77
4.4.2 Bộ phận đủ 79
1.4.3 Phần nâng cao dành cho khoa MP* : định lý điểm bất động 84 1.5 Tính liên thông theo củng 86 4.5.1 Tính liên thơng theo cung trong một kgvđc hữu hạn chiều 86 4.5.2 Bé sung: Tinh lién thong 90 1.5.3 Bổ sung : Thành phần liên thông 95 1.6 Không gian tiền - Hilbert 98
1.6.1 Tích vơ hướng 98
4.6.2 Các bất đẳng thức và các chuẩn Euclide 402
1.6.3 Tính trực giao 107
1.8.4 Thủ tục trực giao hoá Schmidt 412
Trang 7Chương2 — Hàm vectơ một biến thực 2.1 Đại cương 2.4.4 Cấu trúc của E* 2.4.2 Tính chấn lễ 2.1.3 — Tính tuần hồn 2.1.4 — Ánh xạ bị chặn 2.1.5 Giới hạn 2.1.6 — Tính liên tục từng khúc 2.2 Đạo hàm
2.2.1 Đạo hàm tại một điểm
2.2.2 — Các tính chất đại số của các ánh xạ khả vi tại một điểm
2.2.3 Ánh xạ đạo hàm
22.4 Đạo hàm cấp cao 2.2.5 — Lớp của một ánh xạ 2.26 — Bổ xung: vì phân
2.2.7 Đạo hàm các hàm lấy giá trị ma trận 2.3 Tích phân trên một đoạn
23.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10 2.3.11 2.3.12
Tích phân các ánh xạ bậc thang trên một đoạn Dãy ánh xạ (sơ lược)
Xấp xÏ đều bằng những ánh xạ bậc thang hay bằng những ánh xạ afin từng khúc và liền tục
Tich phân các ánh xạ liên tục từng khúc trên một đoạn
Tổng Riemann
Tích phân và đạo hàm
Bất đẳng thức số gia hữu hạn
Đổi biến
Phép tích phân từng phần
Cơng thức Taylor với phần dư tích phân Định lý thay thế
Tích phân phụ thuộc một tham biến
2.4 So sánh trong lân cận một điểm
2.4.4 2.4.2 2.43
Tính trội, ưu thể Ham tương đương Khai triển hữu hạn vectơ
2.5 Tích phân trên một khoảng bất kỳ
2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4
Hàm khả tích với giá trị thực dương hay bằng không Hàm giá trị phức khả tích
Trang 82.5.5 Tích phân phụ thuộc một tham số Bổ sung
Chương 3 Chuỗi
3.† Chưỗi với số hạng thuộc một kgvức
3.1.1 Đại cương
3.1.2 Cấu trúc đại số của các chuỗi hội tụ
3.2 Chuỗi với các số hạng thuộc R„
3.2.1 Bổ đề cơ bản 3.2.2 Các định lý so sánh
3.2.3 Chuỗi Riemann
3.2.4 Chuỗi luỹ thừa
3.3 Chuỗi với số hạng thuộc một kgvđc
3.3.4 Điều kiện cần và đủ Cauchy 3.3.2 Sự hội tụ tuyệt đối
3.3.3 Các chuỗi thông dụng trong một đại số Banach
3.3.4 Dãy khả tổng thực hay phức
3.3.5 Chuỗi đan dấu
3.3.6 Thí dụ về việc sử dụng một khai triển tiệm cận 3.3.7 So sánh về một chuỗi với một tích phân 3.3.8 Khảo sát giá trị của tổng của một chuỗi 3.3.9 Cộng các hệ thức so sánh
3.3.10 Bổ sung : nhóm các số hạng
3.4 Họ khả tổng
3.4.1 Khái niệm về tập đếm được
3.4.2 Họ khả tổng những phần tử của K Bổ sung
Phần thứ hai Chi dan và trả lời các bài tập
Trang 104.1 Các khái niệm tôpô trong không gian veotơ định chuẩn 3
Chương 1
Không gian vectơ định chuẩn
Trong chương 1 nay, I chi fÈ hoặc É
"Trong Tap 1 chúng ta đã khảo sát sơ bộ van dé này (chương 3, 4.12)
Chúng ta sẽ viết tất không gian vectơ là kgv
1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn
1.1.1 Chuẩn, khoảng cách liên kết
1) Định nghĩa chuẩn, các thí dụ
® Đinhnghĩa Mọi ánh xạN: E —> IR thỏa mãn:
@ WaeK, Vrek, N(Ax) = | AL NG) đ) VxeE, (NG@)=0=x=0)
đi) v@,y)eE2, NG+y)<NG@) + NÓ)
gọi là một chuẩn trén IK-kgv E
Đôi khi người ta còn thêm điều kiện: iv) VxeE,N@) >0, điểu kiện này thực ra là thừa (xem đưới đây)
Mọi cặp (E,Đ), trong đó È là một TK-kgv và N 1A mot chuẩn trên E, là một
không gian vectơ định chuẩn (viết tất là kgvác)
Nhận xét:
Cho (E,N) là một E -kgv
1) Ap dung (i) cho trường hợp 2 = 0, ta suy ra N(O) = 0
2) Với mọi x thuộc E, nếu &p dung (iii) cho x ta sé suy rat
0 = N(O) = N(x + 0) S NQ@) + NGx) = NG) + 1-IlNG@) =2NGœ) va do d6 N(x) 2 0
Trang 11Thường một chuẩn trên E được ký hiệu là ||.ÍÏ:Z -—x | JR,hoặclà Wl xe
Nếu như khơng có nguy cơ nhầm lấn thì ta ký hiệu E thay vì Œ,N)
Thí dụ:
1) Ba chuẩn thơng dụng trên KẾ” (cũng được gọi là các chuẩn mẫu trên I£”)
Co né NỀ, Với mọi x = Gụả x,) thuộc I ", xét các số thực |x|h |>|; -|*j,, xác
định bởi:
kh k,“ (Sa P= Mex lái: kel
Chúng ta hãy kiểm chứng lại rằng các ánh xa IR Ì + IR b 1 +k: KB OR được định nghĩa như trên đúng là những chuẩn Các phép tính sau đây đúng cho mọi x= („ *,), y = (i y,) thuộc TC”, và mọi  thuộc KK
9 @ak=S Eal= Adal lal
k=l
@ fe, =9 = Spl 200 (Vk Ee {1, n], |xe|= 0)
kel
e(vke (1 2h m=O ©x=0
A 8
Git) [x+y => he +y|< Sœilsisb
k=l kel hit hút bi +bh- ba [ab = 1# Ỉ {wry Dt ï 1 ¬|Š] “kilt, k=l a
Trang 121.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vecta dinh chuẩn 5
đi) Bất đẳng thức Jx+›j; <|t[, +|yÏ; đã được chứng minh với K = E khi khảo sát tích vơ hướng (xem Tập 5, 10.1.2, Định lý 2) Tuy nhiên ở đây chúng ta
vẫn có một cách chứng mình sơ cấp
bob shh tbh bok shh hb bb +b
=3 dx +yeP fea?’ -beP<2hb bb
k=l
oe Soa sr =|3_x»|<i4,bls
kel kel
(ở đây chúng ta thấy lại bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong Ik")
° > 2K S > lePbyP
1<k,l<n Isk,isn
„
° > dea? bal? Lar? lye? — 2 5k5 ~ xi2» z0
isk<isn
2
© > been xe} 20
Isk<isn
Chuẩn | |, gọi là chugn Euclide thong thuimg trên R” néu = B , là chuẩn
Hermite thông thường trên C'néu K=C
i A =_ Max (Äx¿|)= |A| Max =l^
©) Pax, = Max (aseb= [4] Max bez] = 1] Ph,
ii =0 © Max |x| =0
Gi) kh ° Max |x|
« (VẺ e{[1, m1,|xe|=0) x=0
sở = Mt
Git) [x+y Max | kkx +»:|
< Mi Max Mi
Max (eel +e : Max [eal Mex bel
=Èl.+bl.:
2) Với mọi ø thuộc NÏ và mọi p thuộc [1; +co[, ánh xạ:
I-l;: Ke ——+ _ R
ˆ “6S ),
kel
1a mét chudn trén K*, goi !4 chudn Halder (xem bai tap 1.1.8)
Các chuẩn ||, |-|[ trơng thí dụ 1) đểu là những trường hợp riêng của chuẩn |.|,,với p=l,p=2
'Với mọi x = (xị, , xu) thuộc IK”, ta c6: il, — Max |x;] (xem bai tap 1.1.8,
Trang 13đ)), chính điều này lý giải cách ký hiệu Velo:
3) Cho X là một tập hợp không rống; tập hợp BOS KK) các ánh xạ bị chặn từ X đến K là một -kgv (xem Tập 1 4.1.8, Mệnh để 3)
Ánh xạ J.|„ : BÓZK)———>,W fo Supls] xe là một chudn trén BOX; IK)
Thực vậy, với mọi f, # thuộc BỌC, T) và mọi  thuộc T&›
@ Í/1„ = Snp|2/@|=|llSep|/Gs] = 21 le xeX xeX
úp Jÿ[LL Oe ve EX È@J=0©/=0 đi ]ƒ +z|„ = Sup|/Œœ)+zG)| < Sup 4/œ|+|eœÙ
xeX xeX
€ Sup [fo)|+ Sup |e] =F tele - xeX xeX
Chon | |, rn BOG IK ) duge goi la chudn hoi tu déu vi 1 (xem Tập 4, 4.1.1),
một đấy (ƒ„) hội tạ đêu đến ƒ trên X khi và chỉ khi:
'Tôn tại N 6Ñ sao cho với mọi n >z Đ,ƒ„ -f © BOK)
ụ -f, 29 no
4) Cho (a,b) € TR? thỏa mãn ø < b, và E = C({4; b, I£) là KK -kgv các ánh xạ
liên tục từ [ø; b] đến IK Chúng ta hãy xét các số thực Jl;fl; xác định với mọi ƒ
thuộc bởi: 1
ihe fire Whe [(urF
Ta kiểm chứng rằng các ánh xạ || - | › ||- L;: Cda;1, K ) > RR xác định như trên
đây là những, chuẩn Với mọi ƒ, ø thuộc C({a;b], IK) va migi A thudc KK ta có:
M L
q0 |/l=0© {i =0œƒ/=0,
vìƒ liên tục (xem Tập 1, 6.2.5, Hệ quả 4) Gi) [fre = [eas [0
- Ñ14: [8-hbh
1
Trang 144.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn
+
sl [ve F =a
Gi) [F290 = i 20 f=0,
vì ƒ liên tục (xem Tập 1, 6.2.5, Hệ quả 4)
(iii) Bat đẳng thức |ƒ +zj, <||ƒ[; +|g], là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz đối với các tích phân:
ƒ i { (i P| [| (xem Tap 1, 6.2.5, Định lý)
5) Tổng quát, với cách ký hiệu như ở 4), với mọi p thuộc [1; +oo[, ánh xa:
|-Ï,: Czb,KЗ—> Ru f t? ( ũ HP ỳ
là một chuẩn, gọi là chuẩn Hölder (xem bài tập 1.1.9)
Với mọi ƒ thuộc Cdø;b], E2), ta có |/|,———> SP ÈG| œem bài tập 1.1.9, PP? xea,b| 4),
chính điều này lý giải cho ký hiệu |/|L- 2) Khoảng cách liên kết với một chuẩn
$ Địnhnghĩa Cho(E,|.|) là một kgvác; ánh xạ đ: EP > IR xác
định bởi:
V@&y)e E2, dœy)= |x—3Ì được gọi là khoảng cách liên kết với I-|- Nói riêng: vxe E, -4(0+) = |*|-
$ | Mệnh để1 ChoŒ,| |) là một kgvác và d là khoảng cách liên kết
với | + I- 'Ta có:
1) V&xy)e #!, đ@x) = đGy)
2) V@&xy)e E*, (dxy)=0 © xe y)
3) Vany.ze BE, d(xz) < dy) + 40,2) 4) Vayle E2, Vie IK, d(x, dy) = laldtx,y)
5) W(xy.z)e E*, d(x+z, y+z) = dy)
Trang 15Chứng mình:
Daya = fy-x[=]He-y)] = be-9 = den) 2)4xy»=0 & [x-3|=0 œx-y=0 ©x=y
3) đœ,2)= [x—z|=lă~»+0œ-2ÏÌ< lrn + Jy-zÏ z4&»)+402) 4) d(dx, hy) = Yax—Ayl = [AG-y)] = Lal be-all = lA|4œy)
5) dœ+z, y+2) = x+z)~O@+?Ì|| = lz-= 4œ»
Nhận xét:
1) Cho tập hợp E; khoảng cách trên E là bất kỹ ánh xad: E> IR thỏa mãn các điều kiện 1), 2), 3) trên đây Mọi cặp (E4), trong đó E là một tập hợp và đ là một khoảng cách trên E, được gọi là không gian mêtric
2) Nếu E là một IK -kgvde và 4: E2—>E là một ánh xạ thỏa man nam điều
kiện 1), 2), 3), 4), 5) trên đây, thì tồn tại một và chỉ một chuẩn || | trên E sao cho:
vœy)e E2, đ@¿) =|x ~3Ÿ|
(xem bài tập 1.1.2)
3) Ta có thể minh họa hình học các tính chất 3), 4), 5) như sau (đối với chuẩn
Euclide thông thường trên RẺ):
IN 2 ¥, y TH À‹ / đ sea 5 : zee
‘Tinh chất 3): Tinh chất 4): Tinh chat 5):
bất đẳng thức tam giác tính thuần nhất dương — tính bất biến qua phép tịnh tiến
4) Ménh dé2 (Bất đẳng thức tam giác ngược)
Cho (E ,|| |) là một kgvác và đ là khoảng cách liên kết với I-|-Ta ó
có:
0 vœ¿) « £?, |x~ 3| >| EI-B |
2)V@,y¿2)e E, dœy) > |d@6z)— d2) Chứng mình:
9 BỊ =l«—»+3| < |x—zJ+, từ 46 suy mê El-lb|< *->Ì-
Bằng cách hoán vị x và y ta được: |›]~|£|<ly-xÏ =l+z-3|-
Như vậy ta có:
Trang 16-4.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn
2 4œ» = [z~v| =lx~2~œ~2|
>|lx-z|-lb-2|= |2 - 42)|-
3) Cách xây dựng chuẩn
a) Chuẩn cảm sinh trên một không gian vecto con Cho (Z,,| - |) tà một kgvắc và đ là khoảng cách liên kết với | |
=_ Với mọi kgvc F của E, ánh xạ iow là một chuẩn trên F, gọi là x 1? lh
chuẩn cảm sinh trên # bởi || || (cña E), cũng được ký hiệu là || |
e - Với mọi bộ phận X của £, anh xa XxX———> R_ duge goi là
(Gy) Re 4Œ)
khoảng cách cảm sinh trên X bởi 4, vẫn ký hiệu là d
Với mọi kgvc F của E, rõ ràng là khoảng cách cảm sinh trên F bởi đ cũng là khoảng
cách liên kết với chuẩn cảm sinh trên F bởï || | b) Chuẩn trên một tích hữu hạn những K -kgvde
n
Chon € N*, (Ey Noises, A ohting K-kgvde, £ = [] Ey Với mọi x = Gụ 2)
k=l
thuộc E, xết các số thực v;(+), v;(+), v„(+) định nghĩa như sau:
1
" " 2
nề = 3 NgOy), v@)=| 3) (@WGk))? ve) = Max NO)
let kel 1<k<n
Các ánh xạ vụ, v„ vụ là những chuẩn trên E (phép chứng minh tương tự như ở Thí dụ
n
1)), gọi là các chuẩn mẫu rên TU liên kết với N,
l kel
4) Đại số định chuẩn
Ta nhớ lại rằng một đại số (hoặc TE:-đại số) là một IK-kgv Á được trang bị một luật
hợp thành trong, ở đây chỉ bằng ký hiệu hoặc bằng cách không viết ký hiệu nào cả, thỏa mãn các điều kiện:
Œ) , phân phối đối với +:
x(y+2)= xy+?
VằŒ,y,2)€ AŸ, (y+2)x =yx+zx
Gi) VAEK, Viqy)e A, (Aady = Ay) =2(Ay)
Nếu thêm nữa có tính giao hốn (tương ứng: kết hợp, tương ứng: có phần tử trung hịa), thì ta nói rằng A là một IE-đại số giao hoán (tương ứng: kết hợp, tương ứng: có don vi)
Trang 17$ Đinhnghĩa Cho A 1a mot K -đại số, N là một chuẩn trên l-kgv A
1) Ta nói rằng ý tương thích với phép nhân trên A khi và chỉ khi:
3CeR,, Vớ,y) 6A?, NGy) < CNQ)NG)
2) Ta nói rằng N là một chuẩn đại số khi và chỉ khi: V(6xy)=A?, NŒy) < NGÀNO)
Mọi cặp (A,N) trong đó A là một ÏỆ -đại số và N là một chuẩn đại số trên Á
gọi là một ïK-đại số định chuẩn
$ | Mệnh để Với mọi tập hợp không rỗng X, BÉ Bf) là một đại số định
chuẩn, trong đó luật thứ ba là phép nhân
Chứng mình:
Ta đã biết rằng (RŒ, KE ) ,|| | ) là một kgvức
Hơn nữa, BŒY, IE) là một đại số và:
vực &@1EY |8|, < VÌ, le
(xem Tập 1, 4.1.8, Mệnh để 3) a
Dưới đây (xem 1.2.6) chúng ta sẽ thấy rằng nếu / ,|| |) là một K-kgvde, thi
(£69.||- ||) là một IÉ-đại số định chuẩn
Bài tập
© 1.1.1 Cho Œ, | |) là mộtK -kgvác, (, y) e E? ; chứng minh rằng :
kl+M < kr+k-3-
9 4.1.2 Cho E là mot K-kgy, d: £ + R 1a mot ánh xạ sao cho với mọi (x,y,z) thuộc BY
va moi 4 thude IK ; 1) dQx) = dy)
2) d4xy)=0€Ầx=y
3) d(xz) < đŒy) + 402) 4) (dx, dy) [A] day) 5) d(x+z,y+z) =d(xy)
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một chuẩn À trên £ sao cho:
Trang 181.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 11
1.4.3 Cho E là một K-kgv, N: E —> IR là một ánh xạ thỏa mãn:
)YxeE-(0Ì, NG)>0
2)N@)=0
3) Vixy) € BY, VÀ ef, NG@x+y) < [al NG) + NG)
Chứng minh rằng N là một chuẩn trên E
4.1.4 Cho £ là mộtlÉ-kgv,p elf”, Mị, N, là những chudn tren E , (đi đ,) €
RP - ((0, 0)], N: É —>TE xác định bởi:
WxeE, Ng)= ae -
k=l
Chứng minh rằng Ñ là một chuẩn trên E
41.5 ChoE=C(0/1,E),p TỶ, ý ) 6 ÉP, N: TR” —> IR là ánh xạ xác định bởi:
1
Ven) ER, NG queen Xp) = ƒ Sx #0) ár
6 lke
Tim một điều kiện cần và đũ đối với (ff) 48 NM mot chudn tren RY,
41.6 ChoE,Flàhai IK-kgv,|| [p là mot chudn wen F,fe CIEF), NE) Ro x|/Gl|z
Tìm một điều kiện cần và đủ đối với ƒ để M là một chuẩn trên E,
4.47 Cho (n,p) € N? sa0chop$n,A= (4), €M,,(K), (Gon @) EE
N: IK" IK xác định bởi:
"
Vău,.,x,) 6Í", NOs) = Š đ > 2
isl j=l
Chứng minh rằng N là một chuẩn khi và chỉ khi:
n=p
AeGL,(K)
Viell,.„n|, ajeRy
4.1.8 Chuẩn Hölder trên K.”
P pol
Chon e N*,p 11; tool, = (vậy: i P
a) Chứng mình rang Via, b) € (R)%, abs ta? shoe P.4
Trang 19VE anh) €K, finn, = » bal? fs
kel
và cũng tương tự đối với || kL
b)* Chứng minh rằng với mọi (x, y) thude (K"}' ta có: a
a) Sau s kt, bl, (tương tự như bất đẳng thức Cauchy-Schwar2),
kal
trong đó (xi, X,) = Z VÀ (Vu V.) =
B) Jx+z{,<l,*|t,-
©) Từ đó suy ra rằng || l, là một chuẩn trên ÏƑ.*, gọi là chuẩn Hölđer
d) Chứng minh rằng với mọi x thuộc IẾ”, ta có: Kl, _— kk[„ trong đó H.= Max bel VOLTS (Xp Ky)
9 1.1.9 Chudn Hélder trén C([a:b}, TK)
Cho (a, b)e R? sao cho a < b, E = Cia: bl, EE), p € ]; +oel, 4 = a P-
2) Ching minh: V(a, A) < (R.}', đổ <-LaP+—Øf (xem bai đập 1.1.8, a) p4
Ta đùng ký hiệu || I, 46 chi anh xa E> RR xd dinh bai:
1
vfeE, u,-([ bus
và cũng ký hiệu tương tự đối với || 1, :
b) Chứng minh rằng với mọi (, g) thuộc È Ê ta có:
[74st le
đ J/+al,<Vl,+ld,
â) T ú suy ra rằng || L là một chuẩn trên E, gọi là chuẩn Hölder
dỳ' Chứng minh rằng với mọi ƒ thuộc E ta có:
Va.»
trong đồ |ƒ||; = Self @
af
a)
ộ 4.1.10 Cho mot kgvde Œ, | |), (6, b) e Œ - (0 xE, ƒ: R——>, R Chứng re [+H
minh rằng ƒ lồi (nghĩa là:
Trang 204.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn
1.1.2 Quả cầu, hình câu
Cho (| 4 > mot K-kgvde va dla khoảng cách liên kết
$ Đinhnghĩa Choz€E,r€ IRỶ ; ta định nghĩa các bộ phận sau đây +
của E, được gọi theo thứ tự là quả cầu mở, quả cầu đóng có tâm ø và
bán kính r:
Bia; r) = {x € E; da, x) < r} Bia; r) = {x € E; da, x) < rì
Ta cũng định nghĩa hình cầu tam a va ban kính r như sau: S(@; r) = (x € E; d(a, x) = Te Nhận xét:
1) Nếu E # (0} thì với mọi 4, b thuộc E và mọi z, s thuộc R} „ta CÓ:
BQ; r) = B(b;s) hay a=b B(a; r) = Bhs) © Pass hay Sa; 1) = Ss)
xem bai tap 1.1.11, 5)
Như thế một quả cầu mở (tương ứng: đóng, tương ứng: hình cầu) của E chỉ có một
"tam" và một "bán kính" duy nhất
2) Nếu (E,4) là một không gian mêtric (xem 1.1.1, Nhận xé0, thì ta định nghĩa như trên các tập hợp B(4; r), B(4; r), S(4; r), nhưng có thể có B(4; r) = B(b;s) với a# b hay r#s
Ching han, d: N? > I nếu xzy làmộtkhoảng cách trên N, va với mọi (ø, ở)
Œ) jo néux=y
thuộc N? va mai (7,5) thudc ]1; +o0[? , ta c6: B(a; r) = B(b;s) = N
Ta có thể ky hiéu B,(a; r) thay vi B(a; r) để tránh nhầm lẫn, nếu như đang xét nhiều
kgvức
Thí dụ:
Trong ït? ta có thể minh họa hình học các quả cầu đóng có tâm Ø và bán kính 1 đối
với ba chuẩn thông dụng như sau:
B41, 0) B41, 09
Trang 21
Bài tộp
0 4211 ChoŒ |.]}) làmộtkgvớc, (ø6) € £, (rs) € (RLY 4.<H-10} Ching
minh: 1) B(; z) + B(b;9) = B(4+b; r+3) 2) ABI; 1) = B(42:|Ä| r) 3) BEG p)D B(bi) # Ø © |ø—b[r+# 4) BCG) C BGs) @ [øT BỈ 5-7 5) BQ; 2) = BUbis) of = res
(la sé gid thiet ring E > (0] d6i v6i 4) và 5)
0 4442 ChoE là một K-kẹv, N, va N; hai chudn wen 2a ¢ Eyre RY; gidsir
By, (a7) = By, (@:7) Ching minh ring N, = No
9 4.4.43 Chứng minh rằng trong mọi kgvde moi quê cầu mở (tương ứng: đóng) đều tôi
113 Bộ phận giới nội của một kgvde
Cho (E,[ [) 18 mot I-kevde va 4 là khoảng cách liên kết voil| |
$ Đinhnghĩa1 Một bộ phận A của E được gọi là giới nội khi và chỉ khi:
AM ER,, Vay) € AY, day) <M
4 | Mệnh để1 Mot bo phan A của E là giới nội khi và chỉ khi:
3CeR,,WxeA, ff sc
Ching minh:
1) Gid sir A giới noi; tan wi ME R,s2ocho: VG, y) € AY, d(xy) <M
Nếu Á = Ø thì tổn tại z € A, và với moi x thuge A ta có:
fl s [x-af + fo] s M+ fel -
2) Đảo lai, gid sit t6n tai C € IR, thỏa mẫn: Vx € A, Il < ¢
Trang 221.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 15
Nhận xét:
Một bộ phận A của E giới nội khi và chỉ khi tồn tại một quả cầu đóng (hoặc một quả cầu mở) chứa A
$ Đinhnghĩa2 ChomộttậphợpX,/ X—› E là một ánh xạ; ta nói rằng ƒ bị chặn khi và chỉ khi (X) 18 một bộ phận giới nội cla E Nhu thé f: X—> Ebj chin khi và chỉ khi t6n tai C € IR, théa man:
x eX J/fœ)| <€
$ Đinhnghĩa3 Chomột bộ phận giới nội không rỗng A của È Đường kính của A, ký hiệu điam(4), được định nghĩa bởi:
diam(A)= Sup d(x,y) -
(xy)eA?
Ta chú ý rằng, với mọi bộ phan Á không giới nội và không rỗng của E: diam(E) = + œ
Như vậy, với mọi bộ phận không rồng A của E: 4 giới nội khi và chỉ khi
diam(A) < + 00
+ Mệnh để 2
1) Cho A, 8 € fÐ () sao cho A C Ö Nếu ð giới nội thì A cũng giới
nội ; nếu hơn nữa Á # Ø thì :
diam(A) < diam(8)
2) Cho n EN’, A, , 4„ là những bộ phận giới nội của E; khi đó
n
Ai giới nội
i=l
3) Mọi bộ phận hữu hạn của E đều giới nội Chứng mình: ˆ
1) Hiển nhiên
2) Vì Á,, , Á„ giới nội , nên tổn tại C¡„ , C„ € IR, sao cho:
Vie[1, n],VxeA, |<€,
Khi đó nếu ký hiệu C = Max C¡, ta sẽ có: 1<i<n
"
Vx € Us bi sc
i=l
a
điều này chứng tô rằng Us giới nội
Trang 233) Suy từ 2) với chú ý rằng mọi đơn tử đều giới nội 1.1.4 Lân cận
Cho (£,] |) là một K-kgvdc và đ là khoảng cách liên kết với|| |
$ Định nghĩa1 Choae E,V %8); ta nói rằng V là một lân cận của ø (trong E) khi và chỉ khi tổn tại r € Rt sao cho B(a;r) c V
Ta ký hiệu tập hợp các lân cận của a (trong E) là V2(2) (hoặc Va))
+ Mệnh dé1 Choaec<E (i) We V,fa), aeV
đi VV e Vj(a), VW e BCE), WcW = We 44)
ñ
Gil) Vn EN", WV Vane Ye (1) vi; eV eta)
i=l Chứng mình:
() và G0: Hiển nhiên
(ii) Vì Vạ„ V„eV;(4), nên tổn tại rụ , r„ thuộc RỲ sao cho:
Viel1„.,nÌ, BŒ r)C Vị fn a
Ký hiệu r= Min 9, taco: r >0 và Bí; r) = [Pe c ñ W ie ie
Nhận xét:
1) Tinh chat (ii) trên đây chứng, tô rằng, với moi ho Wher những lân cận của
a,thi U V; là một lân cận của 4
ie
2) Giao cba một họ vô hạn những lân cận của 2 có thể không phải là một lân
cận của a, chẳng hạn như thí dụ sau đây trong tập TR thông thường: (Hf) 7 AL /neN’
+ Mệnh đề 2 Cho (ab) EỄ sao cho a # b; tổn tại Ý € V?(a ) và
We V?Œ) sao cho VfW = Ø
Ta nói rằng mọi kgvác đều là không gian tách
Trang 241.1 Các khéi niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn 1Ÿ
Phép chứng minh trên đây cũng chứng tô một cách tổng quát hơn rằng mọi không gian mêtric đều là không gian tách (sau khi đã định nghĩa một cách thích hợp khái niệm lân cận trong một không gian mêtric)
$ Đinhnghĩa2 (Lân cận của một điểm trong một bộ phận)
ChoA € P(E), ae A,V © P(A) Ta nói rằng V là một lân cận của
atrong A khi và chỉ khi tổn tại V,€ V22) sao cho V = V¡ f1 A
Tap hợp các lân cận của a trong A ký hiệu là V42)
Nhận xét:
ChoA e 9(Œ),aeA, V€ (4); V là một lân cận của a trong A khi và chỉ khi : 3r>0, Banna cv
1.1.5 Tập mở, tập đóng,
Cho Œ,{| |) là một fŠ-kgvác và đ là khoảng cách liên kết với|.|-
1) Tập mở
$ Đinhnghĩa Một bộ phận Q của E được gọi là mỡ (trong E) khi và chỉ khi:
WwxeQ, Q€ W0)
Ta cũng nói rằng ( là một bộ phận (hay: tập) mở (của E)
Như thế Q là một bộ phận mở của Z khi và chỉ khi Q ]à lân cận (trong E) của mọi
điểm của nó
Thí dụ: ⁄2
Moi qua cầu mở của E là một bộ phận mở của E,
Thực vậy, với mọi (a, r) thuộc E x Riva
mọi x thuộc B(2;r) ta có:
Trang 25$| Mệnh để 1
@ Ø và Eà những tập mở của E
đi) Với mọi tập Ï và mọi họ (9; )¡ „nhưng t tập mở của E, U Q,là
iel
một tap mé cia E
Gii) V6i moi n thudc NỈ và mọi tập mở /2)„ , (2„ của E, A Ql i=l một tập mở của E
Chứng mình:
@) — Hiển nhiên
Gi) Choxe Us; ; tốn tại fp € Fsa0 cho x € M4, Vi Q4, 1A mot tập mỡ
tel
của E, nên Qụ € VeCe)s 1 M% S[_]O; nén ta suy ra (xem 1.1.4.Menh 8 1):
jel
Us: € x(x) Điều này chứng tỏ Us: s là một tập mở của E
iel ieT
"
(ii) Choxe Í \Q; ; với mọi í thuộc {1 8} ,Q; € Vz(3; suy ra (xem i i iol
1.1.1, Mệnh để Giì)): Ơn € V;@z) Điều này chứng tô As, là một tập mở
ist ist
của E
Nhận xét: Giao của một họ vô hạn những tập mỡ có thể không phải là một tập mở Chẳng hạn trong lR thông thường, với mọi ø thuộc W al là một tập mở, "nh
nhưng ñ kK 1 = {0} lại không phải là một tập mở của R
neN*
Tổng ‹ quất hơn, với mọi kgvde E # {0}, mọi đơn tử của E không phải là một bộ phận mở của E
Tổng qi hóa: Khơng gian topơ là mọi cặp ŒX, ©), trong 46 X1& một tập hợp và
Ø Tà một tập hợp những bộ phận của X thỏa mãn: @Øe ƯĨ và Xe 2
Gi)_ Với mọi họ (Q,),„, những phần tử của Ó, ta có: Usie oe iel
(đi) Với mọi họ hữu hạn (Qi) er những phần tử của O , tacé: (2: €O
Trang 264.4 Các khái niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn
Néu (%, ©) 1a mot không gian topo thì Ø được gọi là tôpô của % O ), và các phần
tử của @ được gọi là các tập mở của (X, OQ)
Nếu (E,} |) 18 mot K-kgvdc , khi ky higu khoảng cách liên kết với] | ad, thita
đã thấy (xem 1.1.1, 2), Mệnh để 1) rằng (E, 4) là một không gian mêtric; ký hiệu tà tập hợp các tập mở của Ế (theo định nghĩa trên), thi (E, ©) la một không gian
tôpô
“Tên tại những không gian tôpô (X, © ) khong metric hóa được, tức là trên X không
tổn tại khoảng cách d nào sao cho © là tập hợp các tập mở của (XZ); chẳng hạn:
X=10,11, Ø= 1Ø, (0,11
$ | Mệnh để2 Chone N,(E¿,N¿) ¡<£<„ là những lŠ-kgvốc, F =
n :
Tl Ex , v là chuẩn xác định trên Ebổi:
k=l
Vặ, xp) e É, v(r,.xụ) = Max Ny 1<k<n (xem 1.1.1, 3), b))
Với mỗi k thuộc {1 n}, cho G¿ là một tập mở của Eạ Khi đó
n
II Q¿ là một tập mở của E
k=l Chứng mình:
a
Cho x= Geo) e] [% „ Với mỗi k thuộc (1„ n}, x, € Q và Qý là tập mỡ
kel
cha E, , do đó tơn tại r, € Ri, sao cho Bg, (x57) ¢ Oy Ky higu r= Min r>0, sn
ta được:
n n A
BA r)= [ [Pace e] [Ba Gem 1a: :
Fel fl kel
x
Nhu vay 1l là lân cận của mọi điểm của nó, do đó là tập mở
kel
Nhận xét:
'Với các ký hiệu trong mệnh để trên đây, có thể tơn tại những tập mở của É khơng có
"
dạng 1n _ Chẳng hạn, Q = }-1; OF UJO; 1Í là một tập mỡ của RỂ và không tổn
k=l
tại mot cp ($2, 2,) nhiing bd phan của R sao cho Q = Q, XQ)
Trang 272) Tập đóng
$ Đinhnghĩa Một bộ phận Ƒ của E được gọi là đóng (trong #) khi
và chỉ khi c Œ) là một bộ phận mở của E
Ta cũng nói ring F là một bộ phận (hay: tập) đóng (của E)
Thí dụ:
Mọi quả câu đóng của E là một bộ phận đóng của ® EB
Thực vậy, với mọi (4, r) thuge Ex Ri, va moi x
thuộc [z (B(4;?)), ta có:
Bœ; đ(x) -r) C Úc (B(@; ?))
$ | Mệnh để 1
đ) _ Ø và E là những tập đóng của E
Gi) Với mọi tập J va moi ho diet những tập déng cia E, ñ Fla
ief
một tập đóng của £ Rn
đi) Với mọi n thuộc NỈ và mọi tập đóng #, , F„ của E, U Fla i=l
một tập đóng của E Chứng mình:
Chỉ cần chuyển sang các phần bù trọng mệnh đê tương tự đối với các tập mở (xem
1.1.5, Mệnh để 1) Chẳng hạn đối với (ii) lược đồ phép chứng minh như sau:
(Vie{1, n},f, đồng) @ (Vie[1, , n}, gŒ;)mở)
= lóc m > [Coe
i=l
Nhận xét:
1) Hợp của một họ vô hạn những tập đồng, của E có thể không phải là một
tập đóng của E Chẳng bạn, trong IR thong thường, với mọi x thuộc ]0;1J, don tir {x}
là một tập đóng, nhưng U {x} thi lai bang JO;1[, đây khong phải là một tap đồng
xe]J0IL
Trang 281.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn 21
2) Một bộ phận của E có thể vừa mở vừa đóng, chẳng hạn như Ø
3) Một bộ phận của E có thể không mở cũng không đóng, chẳng hạn như
10;1] trong EE thơng thường
Thí dụ:
1) Mọi hình câu đều đóng, vì: S(zz) = B(z) n(B(4;0)
2) Mọi đơn từ đếu đóng, vì: (+] = ( ] BS”)
reRy
3) Mọi bộ phận hữu hạn đêu đóng, vì là hợp của một số hữu hạn đơn tử
$| Mệnhđể2 Cho n thuộc NỈ, (E¿,N¿)¡<¿<„là những lŠ-kgvớc, ‘Ke! 1<&k<
n
E=[l]E,.vl chuẩn xác định trên E bởi:
k=l
VOC er Xq) EE, Viney Xe) = Max Ny (xy) 1<k<n
(xem 1.1.1, 3), b))
Giả sử F, là một tập đóng của E, ,với mọi k thuộc {1, , n} Khi đó
n 1I #ÿ là một tập đóng của È k=1 Chứng mình: a " «(Tf Us , trong đồ : k=l kl
= Og (A) x By xX Bg woes OF Ey x x Ey Le (Fa)
4
Theo 1.1.5, Mệnh để 1, (¡), mỗi Q, là một tập mở của E, và do đó Us: cũng vậy;
kel
"
cuối cùng II F„ là một tập đóng của E
kel
Nhận xét:
Với các ký hiệu như trong mệnh để trước thì có thể tồn tại những tập đóng của E
A
không thuộc dang Tt Fy Chang han F = (G1, 1), (1,1)} 18 mot tap déng cha E?,
ket
Trang 293) Bộ phận mở và bộ phận đóng của một bộ phận của $ Đinhnghĩa ChoAc P Œ)
(i) Moi bé phận U cha A sao cho tổn tại một tập mở @ của E thỏa mãn U =QnA, được gọi là tập (hay: bộ phận) mở của A (hoặc: mở
tương đối của )
(ii) Mọi bộ phận G cia A sao cho tén tai mét tap déng F của E thỏa
mãn G =E n4, được gọi là tập (hay: bộ phận) đóng cia A (hoặc:
đóng tương đối của 4)
Người ta cũng nói rằng các Lập mở (tương đối: đóng) của Á_ là các vết trên 4 của các tập mở (tương ứng: đóng) của E
Với a € A và r € +, ta thường ký hiệu:
Bas r) = Bai) NA = be € AS dax) <r; ta cũng định nghĩa tương tự cho Bu(4; r), S„(4; r)
Khi thay kgvức E bởi một bộ phận Á của E, thì các kết quả ở 1.1.5, 1) và 2) vẫn còn
đáng
Nhận xét:
Cân chú ý rằng một tập mở của Á có thể không phải là một tập mở của E
Ching han, trong I thơng thường thì [0;1[ là một tập mở của [0;1] (d T0;1{=
T1; 100; 1D, nhưng (0; 1Í lại không phải là một tập mở của ÏÈ
1.1.6 So sánh các chuẩn
$ Đinh nghĩa Cho Ela mét K-kgv, N,N’ hai chuẩn trên E Ta nói
rằng N tương đương với N’, va ky hiệu N ~ N’, khi và chi khi: Blo, ECR, Vee E, ONG) SN'@) SANGO)
$| Mệnh để1 Quan he "tong duong với" là một quan hệ tương
đương trong tập hợp các chuẩn trên E Chứng mình:
1) Tính phản xạ: Hiển nhiên 2) Tính đối xứng:
Nếu N 2 N thì tổn tai (a, 8) € (RY sao cho:
Trang 3014.4 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 23
va do dé N’~ N
3) Tinh bdc cầu:
Nếu (N~Ñ' và N'~ N”) thì tốn tại (œ Ø, 7% DE CR’, yf sao cho:
WweE, fen <N'œ)< 8NŒœ)
N(©<N"()S ðN'œ)
từ đó sUY Tả: WxeE, oyN(x) <SN"@)< BồN(@œ), và do đó Đ ~ N”
Thí đụ :
Ba chuẩn thông dụng trên JK” (xem 1.1.1) tương đương với nhau, vì với mọi x= (ụ , x„) thuộc lK" ta có: n
Max || <del n Max |x|
1
» oy
reghle( Se sn Max]
"
Nhận xét :
Nếu E # {0} thì hai chuẩn N, N ° trên E tương đương với nhau khí và chỉ khi ae x
và x bi chan khi x chay khắp Z - {0} Bang lập luận phần đảo ta suy ra rằng
x
5 # ty cũ NŒ)
nếu tồn tại một dãy (x,) „eạ những, phần tử của E - (0} sao cho Nz.) a! :
hoặc È CH)_— —>+eo , thì N và N' khơng tương NŒạ) "9
đương ỳ
a
Thí dụ : +
Các chuẩn | |, và | [2 trên E= C0: 1], R) em 1
1.1.1) không tương đương với nhau vì, nếu ta ký hiệu
ƒ:I01 > R 1
a(l-nx) néax € [Úc] P
7 | ạ mmzeÐ 5 ox
với mọi ø thuộc ĐŸ, thì ta có:
Webs 55 sac "
Trang 314 | Ménh dé2 Cho E là một iK-kgvđc, N, Á ' là hai chuẩn trên E Hai
tính chất sau đây tương đương với nhau: @ 3aeR,, vreE, N@)<aNG@)
Œ Mọi đấy (x„)„ hội tụ đến 0 trong Œ, N) cing hội tụ đến 0 trong
(E,N} Ỷ
Chứng mình:
@ > Gi):
Giả sử tên tại ø e R1 sao cho: VxeE, N@) < ø NÓ)
Cho (x„)„ là một đấy hội tụ đến 0 trong (E, N), tức là sao cho: N(x,) — 0 Vì: VneN, 0<NWŒ,)<eøNG,), nên ta suy ra N’ (x,) mw? tức là &x,)
hội tụ đến 0 trong (E, M)
(i) > @:
Ta chứng minh mệnh dé phản đảo, tức là: (không ()) => (khong (ii))
Giả thiết: lưeR) ,3xeE, NQ) > aNG)
Áp dụng giả thiết này cho ø = n, với mọi ø thuộc Ñ*, ta suy ra ring tén tai u, € E
sao cho:
Nu, ) > nN(u, ) Nói riêng: WneN ,u,+0
1 Với mọi œ thuộc Ñ ta ký hiệu x„= Uys
xnN@)
Một mặt: N(&,) = 1s, 0, vậy (x,)„hội tụ đến 0 trong (E, N) vn
Mặt khác thì: No) = No 5 he, nN (un)
do đó (x,),, khong hdi ty dén 0 trong (E, N’) a
Nhén xét:
Cho E là một IK-kgv, N, N' là hai chuẩn trên E, Ø (tương ứng: Z2" ) là tôpô của
Œ,M) (ương ứng: (E.N') @xem 1.1.5, 1), phần tổng quát hóa), Ta có:
N~N'œ O=0" Thue vay:
1) Giả thiết N ~ N 5 t6n tai (a, A) € (RE: Ỷ sao cho:
Vie E, œNW@œ)<N '@)< BN)
ChoQe O,aeQ; téntair € R} sao cho B„(;r) C Q@ Điều này chứng tỏ
răng Ö là lân cận của mọi điểm thuộc (E, Ñ , do đó Ư e2", Quan hệ bao hàm này chứng tò Ø C @Ø'
Trang 321.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vecto dinh chuẩn 25
2) Ngược lại, giả thiết Ø = 0"
'Ta có: BO; DEO,
vay ByO; 1) e V,z„3(0)
Như thế tổn tại ø € R1 sao cho B„.(0; 2) C By: 1)
Với mọi x thuộc E - [Ú} ta có:
(_ P Pp p
N (a5) Pcp = serrate Bri AC BHO: D == (0; By; 1
2 = £ N'Q) ›
oN fol 1> 2 NỌ@) < N()
Điều này chứng tỏ rằng tôn tại œ R (a= £) sao cho: Vxe E, œNQ@) <NỢ)
Bằng cách hoán vị các vai trò của N va N’, ta chứng tỏ được sự tổn tai cha Be R} sao cho:
VxeE, N’Q)S BNO)
Cuối cùng, N va N' tong đương với nhau Xem thêm 1.2.6, Mệnh để 2
Bai tap
© 4/414 — Cho (a,b) e E2 tha ming <b, = Ca; 4B), |e Ebb?
những chuẩn trên E xác định bởi:
+
= de, = Pa = Sy
Whe ioe b= [vel VI.= se 6l
(xem 1.1.1, 1)
1
<œ-a)?
a) Ching minh: VƒeE, ,<e~2”l, Ll
Wh s-0 HAL,
b) Chứng mính rằng || |, › | - |, | - Ís từng đôi một không tương đương
9 44.45 Cho Ela tập hợp các ánh xạ ƒ liên tục từ IE đến IE sao cho các ánh xạ ƒ và ƒ?
Trang 3326 Chương1 Không gian veciơ định chuẩn
Xét các ánh xạ | |, [-ÿ;: —> IR xác định bởi:
1
El= [jlzole — the (Cc [oP ay
a) Ching minh ring || |, va | |, 1 những chuẩn trên E
b) Chứng minh rằng tổn tại hai day (F) „e¡ » (8) yew hig phén tử thuộc E - (0) thỏa
ăn: Mab,
man: ieok yo
[abr Aba
Nhu vậy cả hai tỷ số rh và rr đều không bị chặn trên E - {0}
Tạ Thị
Hãy so sánh với bài tập 1.1.14
ộ 4.4.46 Cho E=C([0; 1), RB); vi mdi ợ thuộc Eta ký hiệu N„:E => R
re? Pil
a) Xác định một điều kiện cần và đủ đối với ø để cho Nợ là một chuẩn
b) Xác định một điều kiện cần và đủ đối với ø để cho N„ và Ñ) là những chuẩn tương đương
e) Với (ø, y) e E?, hãy xác định một điều kiện cần và đủ đối với (ø, ) để cho Nẹ và
Ný là những chuẩn tương đương
0 4117 ChoE=C0; 1J,R), øe E thỏa mãn f @ #0 Taky hitu N, Ny: ER
+f let
© 44.48 ChoElà tập hợp các ánh xạ/# {0:1] > BR thuộc lớp C' trên [0,1], và thỏa mãn ÑO) =0, N_, NV”; E —»1t là các ánh xạ xác định bởi:
Nef) = Sup [fo] +e[0:1] Neo(f)= Sap|ƒ0) :e[01]
là các ánh xạ xác định bởi: M@=|/@|+ Í t1 x,0* ||
Chứng mình rằng N, Mẹ là những chuẩn trên E, và chúng tương đương
Chứng mình rằng N, và Á ˆ là những chuẩn trên E, nhưng chúng không tương đương
0 4.149 Chop€lf, E=Œ(0:11.7), vàánhxạ vy, E> IR xéc dinh với moik thuộc {0, ,p} béi:
%O= dye) + Sop {Poo}
Kiểm chứng lại rằng vụ „ , v„ là những chuẩn tren £, va hay so sdnh chiing véi nhau
(ỡ đây vụ = | - |„)-
Trang 341.1 Các khái niệm t6pé trong khéng gian vecto dinn chuan 27
(hãy chứng minh rằng £ L> Lại khả tích trên ]0;1))
ft
a) Chứng minh rằng ] | là một chuẩn trên E
b) | | và |- || có tương đương không?
4.1.21 Véimoiday L=(A,)jen thude 2%, ta cho liên kết ánh xạ Ä, : SOK) 0 dat
a N
tương ứng mọi đa thức P = ax! véi N, (P)= Yel -
k=O k=0
a) Tìm điều kiện cần và di để M, là một chuẩn
by) ChOL= (Oy nen ECC! M= Gs) nen € (Cj tìm điều kiện cần và đủ đối với L.M dé, vaN,, la nhimg chudn tuong đương,
1.17 Miền trong, bao đóng, biên
Cho (E,|| |), một E-kgvác và đ là khoảng cách liên kết với || |
+ Định nghĩa 1 Cho A € % ()
1) Miền trong của A, ký hiệu là A „ là hợp của các tập mở của E bao
ham trong A:
4s U =
©: tập mở của E Qca
Các phần tử của Á được gọi là điểm trong của A
2) Bao đóng của A, ký hiệu là A, là giao của các bộ phận đóng của E
có chứa A:
Z= Í\ r
E: tập đóng của E
F5A
Các phần tử của Á được gọi là điểm đính của A
3) Biên của A, ký hiệu là Ø (4), là bộ phận của E xác định bởi:
ô(A)= [z(Ã)= Ä - Â
Trang 35| Mệnh để1 Với mọi bộ phận A của E: @_ az(b= (4)
b) z(0=(b(4)Ÿ
(i) a) Ala tập mở lớn nhất của E (theo nghĩa bao hàm) bao hàm trong A
b) A là tập đóng nhỏ nhất của E (theo nghĩa bao hàm) có chứa A
(ii) ø) A mởkhi và chỉ khi A = A
b) A đóng khi và chỉ khi A = A (iv) ð(4) là một tập đóng của É
Chứng mình:
da) [zÀ)=ữ U al= đ fz(@)=
Ơ: tập mở của E QcA 0: tap mờ của £ QCA
= ñ F = (pA)
Ftp déng cha E
F ais)
b) Ap dung a) cho [z(4) thay vì A, ta được:
2 =œ(E(@)= 6(G[(6{Ÿ))= Gay’
Gi) a) = Â là một hợp của những tập mở, do đó là một tập mở
© Hiển nhiên là Á ŒẢ
« Cho ©, là một tập mở của E sao cho Q,c A; ta c6: Qe U Q=A
Ob thp mở của E
Rea
bỳ Suy ra từ a) bằng cách chuyển qua các phần bù
(iii) a) ©) Néw A mé thì OQ =A, WIG A cũng có mật trong ©z tập mở của E
QCA
hợp đang xét, do đó Á =Á
+ Ngược lại, nếu A= A thì vì Á là một tập mở nên 4 cũng là một tập
mở
Trang 3614.1 Các khái niệm tôpô trong khéng gian vecta dinh chuẩn 29
(iv) 8@)= Ä-Á= Ẩn [gQÄ) = ANG (A) Ie giao cha hai tập đóng
+ Mệnh để 2 Choxc€ E, A € % (#) Ta có:
@ xe AE YW
đ)xe à œ (We Ve), VO AƠ@) Ching mink:
() â Gidsitx ¢ A; vậy tổn tại một tập mở Ö của E sao choOcA vax Q Như thế ta có:
Q e¿@) và QCA, và ta suy ra Á œ ¿Œ)
© Dio lại, giả thiết A e L¿@ Tên tạir 6 RÝ, sao cho BQ; r) CA Như
vậy:
Banc LU
O% tap m6 cia E QcA
vayxe A
Gre Ao xeGÍ(Œ (Ay) Jeo Khong (av eVOd, VeCe(A))
© (WeVG), Vơ[(A))© (VVeVG), Vode)
Mệnh để 3 Với mọi bộ phận A, ở của E ta có:
@) A=A (i) A=A
Gi) ACB > AcB (i) ACB ACB
Gi) AUB = AUB Gi) (ANB) =ANB
AB Gv) (UB)DAUB
(iv) ANBCARB Chứng mình:
{) — A đóng vì Á là giao của một họ những tập đóng
Giả thiết A C8; _ là một tập đồng chứa B, do đó chứa A Vì Ä là
Gi)
Trang 37B A
đi) * SA BCAUOB = ACAVB AUBc AUB BCAUB
© ÃU là một tập đóng của E chia AU B, và AB Tà tập đóng của £ nhỏ nhất có chứa Av2Ö, vậy ÁL2 BC AUB
| ANBCA ANBCA — —
{iv} > = ANB Cc AUB
AoBcb AnBcB
'Ta chứng minh các tính chất từ ( đến (iv) bằng cách chuyển qua các phần bù trong,
các tính chất tir (i) dén (iv); ching han:
tz((A¬#Y}= F(A) = GA =
= AVG (B= Ce(Ayulg(B)= Án Š)
Nhận xét:
Đao hàm thức ngược lại trong tính chất (Iv) (hoặc (iv) 06 thé sai, chẳng hạn như
trong thí dụ: E = !E thông thường, Á = RẺ.,B= R}, A¬B=Ư =Ø, AnB=R_AR, = {9}
$ Đinhnghĩa2 Một bộ phận Á của E được gọi là trù mật trong E
khi và chỉ khi A =E
Thí dụ:
1) Trong IR thông thường thì và f(Q) đêu trù mật trong iF (xem Tap 1, 1.2.3, 4) và 5))
2) Q? tr mat trong E>
Bai tap
4.4.22 ChoE 18 mot kgvde, 218 mot tap mỡ của , à € TC"; chứng mình rằng Á€ là một tập mở của E
ộ 4.1.23 Cho E 1a mot kgvde, A € P(E} ching minh rằng A UCg(A) tro mi
trong £
9 — 1424 — Cho£ làmộtkgvde, A, Be (EB) giá thiết 4 và Z trù mật trone E-
Trang 381.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 3Ÿ 4.425 Cho£ làmộtkgvdc, Á,B $ (E); giả thiết A ma va A, Ế trù mật trong E Chứng minh ring A > B wi mat trong E
4.4.26 Hay cho moe thi dụ về các bộ phận đóng A, B cia I sao cho:
AUB, Aus, (AuBy, AUB
khác nhau từng đôi một
4.4.27 Hãy cho một thí dụ về một bộ phận A của BR sao cho 14 bộ phận sau đây của Ê khác nhau từng đôi một:
A AL, AS A, CAU CÁ Cea) (œŒ Get),
4.1.28 Trong tap IR thong thudng ta xét:
A -{ 1 tạp Ga0eR,xR , xtn
Tinh A va A
4.129 Cho là một kgvức
a) a) Chứng minh rằng với mọi tập mỡ Ứ, V của Ế ta có: TAV= Uov
B) Từ đó suy ra rằng, với mọi tập đồng F, G của E:
(FUGY = Fag
b) Suy ra rằng với mọi bộ phận 4, B ca Eta c6:
ANB =AMB và AUB= mlel u wlel
4.4.30 Cho E là -kgv các ánh xạ liên tục từ (0; +01 tới IR và Ƒ là bộ phận của E tạo nên bởi các ánh xạ liên tục đều từ {O; +e{ tới E
Ching minh ring Ê = Ø, với giả thiết là E được trang bị một chuẩn nào đó
4.431 Cho E là một kgvốc, Á và E là hai bộ phận của E sao cho AB =Ø
Chứng minh rằng:
ô(A2Øø= ô(4)2 20)
444132 ChoE£ =C(I0:11,E), với chudn | [L.A = tf e & Vx € [0 1/9 #01,
Tinh A va A
Trang 39Xác định À, Ä và ơ (4) © 1⁄134' Bộ phận đồng dịa phương
Cho E Tà mộckgváe, A e %8 (E); chứng mính rằng hai tính chất sau đây tương đương:
Œ)_ Với mọi a thuộc A, tốn tại một lần cận V Grong E) của a sao cho Ví A là
một tập đóng trong Ÿ
(ii) Tén tai Q là một tập mở của É và một lập đóng F của E sao cho
A=8af
Nếu Á thỏa man (i) hoặc (ii) thì ta nói ring A là một bộ phận đồng địa phương của E
11.8 — Khoảng cách từ một điểm đến một bộ phận khác rỗng của một
kgvde
Cho (E,| |) là một 'É-kgvác và ở là khoảng cách liên kết với | |
$ Địnhnghia1 Chore E, A là một bộ phận khác rỗng của E; khoảng cách từ x đến Á là số thực ký hiệu là d(x,4), xác định bởi:
d(x,A)= Inf d(x) aeA
"Tập hợp (d2; 4 € ÁJ là một tập hợp khác rỗng của ¡&, bị chặn dưới bởi 0, do đó có biên dưới
Nhận xét:
Có thể xây ra trường hợp “không đạt tới" đựx, a), tức là không, tồn tại phan cr a nào của Á théa man d(xA) = d(x, ay, chang han trong T8 thông thường, A = [Ô; 1(,x=2
$| Mệnh đề Chore E, A là một bộ phận khác rỗng của E; ta có:
d(xA)=0 © x€ A
Ching mink:
1) Giả sit dA) = 0 Cho V € 1⁄2); tổn tại r € Rr, sao cho Boy 7) c V, và do dA) =O<r, nén tồn tại a e A sao cho d(x, a) <r Nhu thế tả có:
aeB(;r)CV,
vàa 6Á, vì vậy VAA #Ø Điều này chứng tỏ rằng V V € Vw, VA #2, va
do dé (xem 1.1.7, Menh dé 2), x € A
Trang 404.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 33
Vay tôn tại ø € A sao cho d(x, A} < £ từ đó suy ra d(x,A) $ d(x,a) < 6 Nhu thé: Ve>0,0<đ(6+,Á)<e, vàdovậy d(x,A)=0
$ Định nghĩa2 Cho 4, 8 là hai bộ phận khác rỗng của E; khoảng
cách giữa A và 8 là số thực ký hiệu là đ(A,B), xác định bởi: d(A,B) = Inf — d(a,b)
(a,beAxB
Dinh nghia nay hop Ié vi tap hop {d(a.b); (œ,b) e AxB| là một bộ phận khác rồng của F , bj chan duéi bai 0, nén có biên dưới
Nối riêng, với mọi x thuộc E và mọi bộ phận khác rỗng Á của E ta có:
d(x,A) = d({x},A)- Nhận xét:
1) Ánh xạ (eŒ~lØIŸ -> ]§ có thể không phải là một khoảng cách
(A,B) 4(A,B}
(xem 1.1.1, 2), Nhận xét) trên tập hợp $ (2) - {@} Thực vậy, có thể xảy ra trường
hợp d(A,B) = 0 va A # B; chẳng bạn trong E thông thường với A = R_, 8= R¿
Hơn nữa cịn có thể xảy ra trường hợp d(A,C) > d(A.B) + 4(8,C3; chang han trong F
thông thường, A = }-œ; -1], B = ]-2; 2{, C = (1; +0 [
2) Có thể xây ra trường hợp Á “¬ 8 = Ø2 và đ(A,B) = 0; chẳng hạn trong KR
thông thường:
A=[L-L0t, a=)œ11
Bòi tập
0 4135 — ChoE là một kgvéc, A„B là hai bộ phận khác rổng của E, dy:
E > R , cing tuong ty d6i v6i đ; Chứng mình: x ÐdG4)
dị“, © A=B
0 4.1.36 Cho £ là mộtkgvác, A, È là hai bộ phận khác rổng và giới nội của E Chứng,
mình:
diam(AUB) < điam(A) + diam(B) + 4(A,B)
& 4.4.37 Cho E là một kgvdc, A, 8 là hai bộ phận khác rỗng của E; C, Ð là hai bộ phận của E thỏa mãn:
AcccA và BeDcB