PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Chương II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ §1 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT - Một phân thức đại số (hay gọi phân thức) biểu thức có dạng A , A, B đa thức, B khác B A gọi tử thức (hay tử) B gọi mẫu thức (hay mẫu) -Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức - Với hai phân thức A C A C ta nói = A.D=B.C B D B D B BÀI TẬP MẪU Bài 1: Dùng định nghĩa hai phân thức chứng tỏ rằng: a x x2 = x + x + 2x b x ( x + 1) x = x−2 x −x−2 c x + y x + xy = xy − x y − x d ( x − 1)( y − x ) = − x x− y ( x − y) e x2 − 5x + x2 + x − = x+3 x−4 Hướng dẫn giải Ta cần chứng tỏ: x ( x + x ) = ( x + ) x ∗ Cách 1: x ( x + x ) = x + x ( x + ) x = x3 + x Vậy x ( x + x ) = ( x + ) x Do đó: x x2 = x + x + 2x Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 82 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP ∗ Cách 2: Ta có x ( x + x ) = x.x ( x + ) = x ( x + ) = ( x + ) x a * Cách 1: Thực phép nhân: x ( x − x − ) ( x − )( x + 1) *Cách 2: Ta có: ( x − )( x + 1) = x ( x − )( x + 1) = x ( x − x − ) Vậy x ( x + 1) x = x−2 x −x−2 b *Cách 1: Thực phép nhân: ( x + y ) ( x y − x ) ( xy − 1) ( x + xy ) *Cách 2: ( x + y ) ( x y − x ) = ( x + y ) x ( xy − 1) ( ) ( = x + xy ( xy − 1) = ( xy − 1) x + xy ) c *Cách 1: Thực phép nhân: ( x − 1)( y − x )( x − y ) ( x − y ) (1 − x ) *Cách 2: ( x − 1)( y − x )( x − y ) = − (1 − x ) − ( x − y ) ( x − y ) = (1 − x )( x − y )( x − y ) = (1 − x )( x − y ) = ( x − y ) (1 − x ) d *Cách 1: Thực phép nhân: (x ) ( − x + ( x + ) ( x − 3) x + x − ) *Cách 2: ( x − x + ) ( x + ) = ( x − x − x + ) ( x + ) = x ( x − 3) − ( x − 3) ( x + ) = ( x − 3)( x − )( x + ) ( = ( x − 3) ( x − )( x + ) = ( x − 3) x + x − Nhận xét: Để chứng tỏ hai phân thức ) A C nhau, ta dùng B D hai cách sau: *Cách 1: Tính A.D B.C để thấy tích cho ta kết *Cách 2: Từ hai tích A.D B.C (cần có lựa chọn cho thuận lợi biến đổi), cách sử Do đóụng phép tính đa thức như: phép nhân, phân tích đa thức thành nhân tử … để biến đổi tích thành tích Bài 2: Các phân thức sau có hay không? a x − 3x + x − x − x + ; ; x2 − 2x x x2 − 5x b 3x − x + 3x − x + 3x − ; ; x2 − 4x + x2 − 5x + x−3 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 83 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Hướng dẫn giải a Để biết hai phân thức x − 3x + x − ; có hay không, ta cần so sánh x2 − 2x x hai tích: ( x − x + ) x ( x − x ) ( x − 1) Ta có: ( x − x + ) x = x − x + x (x Vậy ) − x ( x − 1) = x − x + x x − 3x + x − = x2 − 2x x Làm tương tự hai phân thức: x −1 x2 − 6x + ; Ta có hai phân thức x x2 − 5x nhau: Do x − 3x + x − x − x + = = x2 − x x x2 − 5x b Làm tương tự a Ta có : 3x − x + = x2 − 4x + Vì vậy: 3x − 5x + 3x − 3x − ≠ x−3 x − 5x + x−3 3x − x + 3x − x + ≠ x2 − 4x + x − 5x + Nhận xét: Khi gặp Do đóạng tập mà có nhiều hai phân thức ta cần lựa chọn phân thức trung gian để Thực phép nhân dễ dàng Chẳng hạn tập trên; a phân thức trung gian x −1 3x − ; b x x−3 Bài 3: Chọn đa thức điền vào chổ trống để có đẳng thức : a x+3 = x − 4x + x − b x +1 = 2 x + x + 3x + Hướng dẫn giải a Để có đẳng thức ta cần có: ( )( x − ) = ( x − x + ) ( x + 3) = ( x − ) ( x + 3) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 84 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP = ( x − )( x − )( x + 3) = ( x − )( x + 3)( x − ) Vậy đa thức cần tìm ( x − )( x + 3) hay x + x − b Ta cần có: ( x + 1)( ) = ( x + 1) ( x + x + 1) = ( x + 1) ( x + x + x + 1) = ( x + 1) x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1)( x + 1)( x + 1) = ( x + 1)( x + 1) Vậy đa thức cần tìm ( x + 1) hay x + x + Nhận xét: Ta cần ý đến tích có chỗ trống để biến đổi tích cho xuất nhân tử có tích C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Dùng định nghĩa hai phân thức chứng tỏ rằng: a ( ) x x2 + ( x − 3) ( x + 1) = 2x 2x − −x − x + 27 c = x − (1 − x ) x − x + ( e x−4 x − x − 36 = b ) , x>4; x+3 x3 − x − x + x +1 f = x − x + 14 x − x − x2 − x + 2x2 − x + = x−6 2x − 2− x x3 − d = x − (5 − x ) x2 + x + ( x−4 x − x − 36 = ) −1 , x4 x − = − x , x