Đang tải... (xem toàn văn)
Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy một góc 45 ... Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và [r]
(1)(2)(3)(4)(5)(6)CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1 Hình đa diện
Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:
• Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung có đỉnh chung có cạnh chung
•Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác
2.Khối đa diện
Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian giới hạn hình đa diện
Chú ý:
• Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện
•Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh
•Mỗi hình đa diện có cạnh • Khơng tồn hình đa diện có cạnh • Khơng tồn hình đa diện có:
+Số mặt lớn số cạnh +Số đỉnh lớn số cạnh
Các hình khối đa diện:
Các hình khơng phải khối đa diện:
3.Khối đa diện đều
Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
• Các mặt đa giác n cạnh
•Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại n; p
Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh M tổng mặt khối đa diện loại n; p Ta có:
pĐ = 2C = nM
(7)PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH 1 Khối đa diện đều
Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại
Tứ diện 3;3
Khối lập phương 12 4;3
Bát diện 12 3;
Mười hai mặt 20 30 12 5;3
Hai mươi mặt 12 30 20 3;5
2 Mặt phẳng đối xứng
Hình Số mặt phẳng đối xứng
Tứ diện
Hình lập phương
Hình chóp tứ giác
Hình hộp chữ nhật
Bát diện
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Ví dụ 1: Hình đa diện khơng có tâm đối xứng?
(8)A Tứ diện đều. B Bát diện đều
C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều
Hướng dẫn Hình tứ diện khơng có tâm đối xứng
→ Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình khối sau:
Hình Hình Hình Hình
Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi là:
A 1. B 2. C 3. D 4.
Hướng dẫn
Khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm thuộc đoạn thẳng AB thuộc khối
Có hai khối đa diện lồi là: Hình hình → Chọn B
Ví dụ 3: Trong phát biểu sau, phát biểu sai:
A Hình chóp hình chóp có tất cạnh bên đáy đa giác đều. B Trong hình chóp góc cạnh bên mặt đáy nhau.
C Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy. D Hình chóp hình chóp có tất cạnh nhau.
Hướng dẫn Hình chóp thỏa mãn hai điều kiện sau:
+ Đáy đa giác
+ Chân đường cao hình chóp tâm đáy
Các mặt bên hình chóp tam giác cân nên cạnh bên hình chóp chưa cạnh đáy đáp án D phát biểu sai
→ Chọn D
(9)Ví dụ 4: Một hình chóp có 46 cạnh có mặt?
A 24. B 46. C 69. D 25.
Hướng dẫn Giả sử đa giác đáy có n cạnh, n đỉnh, Hình chóp có 2n cạnh Ta có: 2n 46 n 23
Suy hình chóp có 23 cạnh, từ có 23 mặt bên mặt đáy Vậy tổng cộng hình chóp có 24 mặt
→ Chọn A
Ví dụ 5: Khối tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC BD Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành:
A Hai khối tứ diện khối chóp tứ giác. B Hai khối tứ diện.
C Một khối tứ diện khối chóp tứ giác. D Hai khối chóp tứ giác.
Hướng dẫn
Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành khối tứ diện ABMN khối chóp tứ giác A.MNDC → Chọn C
PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là:
A 10. B 8. C 6. D 4.
Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng hình đa diện loại 4;3 là:
A 9. B 8. C 7. D 6.
Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Tồn hình đa diện có số cạnh 7.
B Tồn hình đa diện có số cạnh nhỏ 7. C Số cạnh đa diện luôn lớn 6. D Tồn hình đa diện có số cạnh lớn 7.
Câu 4: Tổng độ dài tất cạnh khối mười hai mặt cạnh 2.
A 8 B 16 C 24 D 60
Câu 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
(10)A Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh. B Tồn hình đa diện có số cạnh mặt nhau. C Số đỉnh số mặt hình đa diện ln nhau. D Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt nhau.
Câu 6: Gọi m số mặt đối xứng hình lập phương, n số mặt đối xứng hình bát diện Khi đó:
A Khơng thể so sánh m n. B m n.
C m n. D m n.
Câu 7: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp.
B Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp. C Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp. D Hình có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 8: Phát biểu sau đúng?
A Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt. B Hình hai mươi mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt. C Hình hai mươi mặt có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt. D Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt.
Câu 9: Một hình đa diện có mặt tam giác số mặt M số cạnh C đa diện thỏa mãn A 3C M. B C M 2. C M C. D 3M 2C.
Câu 10: Số đỉnh hình mười hai mặt là:
A 12. B 19. C 20. D 24.
Câu 11: Trung điểm cạnh tứ diện tạo thành A đỉnh hình tứ diện đều.
B đỉnh hình bát diện đều. C đỉnh hình mười hai mặt đều. D đỉnh hình hai mươi mặt đều. Câu 12: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?
A Tồn khối tứ diện khối đa diện đều. B Tồn khối lăng trụ khối đa diện đều. C Tồn khối hộp khối đa diện đều.
D Tồn khối chóp tứ giác khối đa diện đều. Câu 13: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng?
A 1. B 2. C 3. D 4.
Câu 14: Tổng góc đỉnh tất mặt khối đa diện loại 3;5 là:
A 12 B 16 C 20 D 24
Câu 15: Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là:
A 10. B 8. C 6. D 4.
(11)Câu 16: Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Tính S A S 3a B S 3a 2 C S 3a D S 8a
Câu 17: Hình đa diện hình vẽ bên có mặt?
A 11. B 12. C 13. D 14.
Câu 18: Cho hình sau:
Hình Hình Hình Hình
Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện là:
A 1. B 2. C 3. D 4.
Đáp án:
1 - C - A - A - D - D - D 7- B - D - C 10 - C
11 - B 12 - D 13 - D 14 - C 15 - C 16 - C 17 - B 18 - C
(12)CHUN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Thể tích khối chóp V B.h
3 Trong đó:
B: diện tích đáy
h: chiều cao hình chóp
2 Các cơng thức hình học phẳng hay sử dụng a Hệ thức lượng tam giác vuông
Cho ABC vng đường cao AH ta có: • Định lý Pitago: BC2 AB2AC2
• BA2 BH.BC; CA2 CH.CB • AB.AC BC.AH
• 12 12 12 AH AB AC
b Hệ thức lượng tam giác thường
Định lý côsin: a2 b2 c2 2bc.cosA 2
b a c 2ac.cosB
2 2
c a b 2ab.cosC
Định lý sin: a b c 2R
sin A sin Bsin C Định lý đường trung tuyến:
2 2
2 a
2b 2c a m
4
2 2
2 b
2a 2c b m
4
2 2
2 c
2a 2b c m
4
c Các cơng thức tính diện tích
Cơng thức tính diện tích tam giác:
a
1 a.b.c
S a.h a.bsin C p.r p p a p b p c
2 4R
Trong đó:
R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp
nửa chu vi a b c
p
2
(13)Đặcbiệt:
vuông A: ABC
S 1AB.AC
2 cạnh a: ABC
S a2
4
Diện tích hình vng: S = cạnh cạnh
Diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài chiều rộng Diện tích hình thoi: S 1đường chéo đường chéo
2
Diện tích hình thang: S (đáy lớn + đáy nhỏ) chiều cao
Diện tích hình bình hành: S = đáy chiều cao Diện tích hình trịn: S .R2
d Các hệ thức quan trọng tam giác
PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH
Bài tốn Hình vẽ Thể tích
Thể tích tứ diện ABCD cạnh a VABCD a3
12
Thể tích hình chóp S.ABC với mặt (SAB), (SAC), (SBC) vng góc với đơi một, diện tích tam giác ,S1 S2, S3
1 S.ABC
2S S S V
3
Thể tích tứ diện ABCD gần (các cặp cạnh đối tương ứng nhau)
, ,
AB BC a BC AD b AC BD c
(14) 2 2 2 2 2 2 ABCD
2
V a b c a c b c b a
12
Thể tích hình chóp biết ba cạnh bên ba góc đỉnh SA a , SB b ,
, , ,
SC c ASB x BSC y
CSA z
2 2
ABCD
V abc 2cos x.cos y.cos z cos x cos y cos z
Thể tích hình chóp tam giác cạnh đáy a, cạnh bên b
2 2
S.ABC
a 3b a V
12
Thể tích hình chóp tam giác cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc
3 S.ABC
a tan V
24
Thể tích hình chóp tam giác cạnh bên b, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc
3
S.ABC
3a sin cos V
4
Thể tích hình chóp tam giác
cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc
3 S.ABC
a tan V
12
Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên b
2 2
S.ABCD
a 4b 2a V
6
Khi hình chóp tứ giác có tất cạnh a
3 S.ABCD
a V
6 Thể tích hình chóp tứ giác có
cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt đáy góc SMO
3 S.ABCD
a tan V
6
Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, SAB với
3
S.ABCD
a tan
V
6
(15);
Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh bên b, góc tạo mặt bên mặt đáy SMO với
0;
3
S.ABCD 3
2 4b tan V
3 tan
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy 1 Phương pháp giải
Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy:
1 V B.h
3 Trong đó:
B: diện tích đáy
h = độ dài đường cao = độ dài cạnh bên vng góc với đáy
Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA 4, AB 6, BC 10 CA 8 Tính thể tích khối chóp S.ABC
A V 40. B V 192. C V 32. D V 24.
Hướng dẫn
Vì SA vng góc với đáy nên chiều cao h SA Xét tam giác ABC, ta có:
2 2 2
AB AC 6 8 10 BC
Suy tam giác ABC vng A, diện tích tam giác ABC là:
ABC
1
B S AB.AC 6.8 24
2
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
SABC ABC
1 1
V B.h S SA 24.4 32
3 3
→ Chọn C
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc
(16)với mặt đáy SB a 5 Tính thể tích V khối chóp S.ABC
A. B. C. D.
3 a
V
3
V a 3. V a 33 .
2
V a 33
6 Hướng dẫn
Do tam giác ABC tam giác nên diện tích đáy là: 2
2 ABC
2a
B S 3a
4
Vì SA vng góc với đáy nên chiều cao hình chóp là:
2 2
h SA SB AB 5a 4a a Vậy thể tích V khối chóp S.ABC là:
3
S.ABC
1 a
V B.h a 3.a
3 3
→ Chọn A
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với (ABC), đáy ABC tam giác vng cân A, , góc SB (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC
BC 2a 30
A B C D
3 a
3 a
V
3
V a3
9
V a3
4 Hướng dẫn
mà nên AB hình chiếu SB lên suy góc SB
SB ABC B SAABC ABC
góc
ABC SBA 30
Tam giác ABC vuông cân A, BC 2a AB AC a 2 a
SA AB.tan 30 a
3
Diện tích tam giác ABC là: 2
ABC
S AB a
2
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
S.ABC ABC
1 a a
V SA.S a
3 3
→ Chọn C
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC cạnh a, CA a Hai mặt ABC ASC vng góc với SBC Thể tích hình chóp là:
A V a 33 B C D
12
V a 33
2
V a 33
4
V a3
12 Hướng dẫn
(17)Do
ABC SBC
SAC SBC AC SBC
ABC SAC AC
Suy AC chiều cao hình chóp Ta có: AC a
Tam giác SBC cạnh a nên diện tích đáy
ABC
a S
4
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
2
SBC
1 a a
V S AC a
3 12
→ Chọn A
Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A V 3a B V 3a3. C D
3
V a V a3.
3 Hướng dẫn
Ta có diện tích đáy là:
2 ABCD
S AB.AD a a 3 a Ta có:
BC SA
BC SAB BC SB
BC AB
SBC ABCDBC Vì BCAB; BC SB
SBC , ABCD SB, AB SBA 60
Xét tam giác SAB vng A có: SA
tan 60 SA AB tan 60 a AB
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
2
S.ABCD ABCD
1
V S SA a 3.a a
3
→ Chọn C
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, BC a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 45 Tính thể tích V khối chóp S.ABC
(18)Trang
A B C D
3 a
V
12
V a3
4
V a3
6
V a 33
18 Hướng dẫn
Do ABC tam giác vuông cân A, BC a 2 nên
BC
AB=AC a
2
Diện tích tam giác ABC là:
2 ABC
1 a
S AB.AC
2
Kẻ SM vng góc với BC
BC SA
BC SAM BC SM
BC SM
SBC ABCBC Vì BC SM ; BCAM
SBC , ABC SM, AM SMA 45
Do tam giác SAM vng cân A nên ta có SA AM a 2
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
2
S.ABC ABC
1 a a a
V S SA
3 2 12
→ Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
A. B. C. D.
3 a 13
V
2
V a3
12
V 3a 133
2
V 5a 133
2
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA a Mặt đáy (ABCD) hình thoi cạnh a, góc ABC 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
A. B. C. D.
3 a
6
3 a
3 a
3 2a
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB 2a, BAC 60 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA a 3 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
A. V a B. V 3a C. V 2a D. V 4a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60 Thể tích hình chóp S.ABCD là:
(19)A. B. C. D.
a
3 a
3 3a
3 a
Đáp án
1 - B - A - C - D
Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy 1 Phương pháp giải
Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy:
1 V h.B
3 Trong đó:
B: diện tích đáy
h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh chóp mặt bên vng góc với cạnh đáy
Chú ý:
Cho mặt phẳng hai mặt phẳng (P) (Q)
P Q
P Q a
Khi đó:
b P
b Q
b a
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác đều, nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A a 33 B
3 a
C a3 D
3 a
Hướng dẫn
Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD
SAB ABCDAB Gọi H trung điểm AB
ABC
SHAB
Do SHABCD
Đường cao hình chóp SH Diện tích đáy ABCD là:
2 ABCD B S a
Tam giác SAB nên h SA a
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: ABCD
1 a
V h.B SH.S
3
→ Chọn B
(20)2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABC
A B C D
3 6a
3 6a
24
3 6a
12
3 6a
Hướng dẫn
Tam giác SAB vuông cân S SA a nên AB a 2.
Gọi M trung điểm AB, ta có SMAB SM AB a (SM đường trung tuyến tam giác
2
SAB vuông cân S)
Mặt khác SAB ABC, SMAB SAB ABCAB nên
SM ABC
Suy SM đường cao hình chóp S.ABC ứng với đáy tam giác ABC
Diện tích tam giác ABC là: 2 ABC
a S
4
Thể tích khối chóp S.ABC là:
2
3
S.ABC ABC
a
1 a a
V SM.S
3 12
→ Chọn C
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 2a , AD a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD
A V 2a3 B C. D
3
V a3
3
V 2a3
3
V 3a3
2 Hướng dẫn
Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là: ABCD
S AB.AD 2a a 2a
Ta có:
SC ABCD C
SH ABCD
Do SC, ABCD SCH 45
Do tam giác SHC vuông cân H nên SH HC. Mà HC BH2BC2 a2a2 a SH.
(21)Vậy tích khối chóp S.ABCD là:
3
ABCD ABCD
1 2a
V S SH 2a a
3 3
→ Chọn A
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có góc SC mặt đáy 45, đáy ABC tam giác vuông A có AB 2a , góc ABC 60 hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
A V 2.a 393 B C D
3
V a 393
3
V 2.a 373
3
V 4.a 393
3 Hướng dẫn
Gọi H trung điểm AB Theo đề ta có SHABC Ta có:
SC ABC C
SH ABCD
Do SC, ABC SCH 45
Tam giác SHC vuông cân H nên SH HC
Vì ABC tam giác vng A có AB 2a , góc ABC 60 Ta có AC AB.tan 60 2a
Diện tích tam giác ABC là: ABC
1
S AB.AC 2a
2
Tam giác AHC vng A: HC AH2AC2 a 13. Do SH HC a 13.
Vậy tích khối chóp S.ABC là:
3
S.ABC ABC
1 2a 39
V SH.S a 13.2a
3 3
→ Chọn A
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng, mặt bên (SAB) tam giác nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) a Tính
thể tích V khối chóp S.ABCD
A. V 1a 3 B. C. D
3
V a V 2a 3
3
V 3a 3
2 Hướng dẫn
Gọi M, H trung điểm AB, CD
SM ABCD
CDMHCDSMH
(22)Đặt AB x MH AD x,SM AB x
2
Kẻ MK vng góc với SH K SH MKSCD Tam giác SMH vng M, có:
2
2 2 2
1 1 1 7
x a
MK SM MH 3a 7 x x 3 9a 3x
7
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
2 ABCD
1 3a 3a
V SM.S a
3 2
→ Chọn D
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC
A. B. C. D.
3 a a a 24 a 16
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD 3a Hình chiếu vng góc H đỉnh
S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
A. V a3 B. C. D.
3
V 2a3
3
V 2a3
13
V 2a3
5
Câu 3. Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD a Tính thể tích tứ diện
A. B. C. D.
3 a a a 36 a 36 Đáp án:
1 – C – A – D
Dạng 3: Khối chóp đều 1 Phương pháp giải Thể tích hình chóp :
1 V h.B
3 Trong :
B: diện tích đáy
h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh tới tâm hình chóp
Ví dụ: Cho chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích chóp S.ABC
A a 113 B 12
3 a 12
11
C D
3 a 12 a 11
(23)Chú ý:
Khối chóp tam giác có đáy tam giác đều, chân đường vng góc hạ từ đỉnh tâm đáy Khối chóp tứ giác có đáy hình vng, chân đường vng góc hạ từ đỉnh giao điểm hai đường chéo
Hướng dẫn
Gọi O trọng tâm tam giác ABC Vì tam giác ABC nên SOABC
Xét tam giác ABC đều, ta có: 2 a a
AO AH
3 3
Trong tam giác vuông SOA
2 2 11a
SO SA OA
a 11
h SO
3
Diện tích tam giác ABC là:
ABC
a
B S
4
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
ABC
1 a 11
V S SO
3 12
→ Chọn A 2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ABCD
A B C D
3 a
12
3 a
12
3 a
3 a
Hướng dẫn
Gọi O trọng tâm ABC, ABCD tứ diện nên DOABC Tam giác ABC cạnh a nên diện tích tam giác ABC là:
2 ABC
a
S
4
Gọi I trung điểm AB Do đáy tam giác nên
(24)2
V S DO
3 12
→ Chọn A
Ví dụ 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh bên 2a, góc cạnh bên mặt đáy
60
A 2a 33 B 2a3 C 2a 33 . D
3 6a
Hướng dẫn
Gọi O giao điểm hai đường chéo Vì tứ giác S.ABCD tứ giác nên SOABCD Ta có:
SB ABCD B
SO ABCD
Do SB, ABCD SBO 60 Xét tam giác SBO vuông O
1 OB SB.cos 60 2a a
2
Độ dài đường cao: SO SB.sin 60 2a a
Xét tam giác ABO vuông O: AB AO2BO2 a 2. Diện tích đáy ABCD là:
2
2
ABCD
S AB a 2a
Vậy thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD là:
ABCD
1 2a
V SO.S 2a a
3 3
→ Chọn C
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. B. C. D.
3 8a 3 a 3 4a 3 2a Trang 21 Trong tam
Vậy thể tích
giác vuông DOC:
(25)Trang 14 Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp S.ABC
A. B. C. D.
3 a
12
3 a
24
3 a
24
3 a
24
Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC
A. B. C. D.
3 a
3 a
3 a
3 a
12 Đáp án:
1 – C – C – D
Dạng 4: Tỉ số thể tích 1 Phương pháp giải
Cho hình chóp S.ABC, cạnh SA, SB, SC lấy A , B C
Khi ta có:
S.A B C S.ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
Chú ý:
Công thức áp dụng cho hình chóp tam giác
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD tích V điểm M, N, P thỏa mãn điều kiệnAM 2AB , Mệnh đề AN 3AC AP 4AD
đúng?
A VAMNP V B 24
VAMNP 24V
C VAMNP 8V D VAMNP V Hướng dẫn
Từ giả thiết, ta có:
nên
AM 2AB AB AM nên
AN 3AC A C AN 3 nên
AP 4AD A D AP 4
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có:
(26)Trang 15 A.BCD
A.MNP
V AB AC AD 1 1
V AM AN AP 2 24 Suy VA.MNP 24.VA.BCD 24V
→ Chọn C 2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC Đặt MNPA BC Khi SABC
V k
V giá trị k là:
A 8 B C 8 D
7
7
1 Hướng dẫn
Do M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC nên ta có: SM SN SP
SA SB SC
Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích ta có:
SMNP SABC
V SM SN SP 1 1
V SA SB SC2 28 Do đó:
MNPABC SABC SMNP SMNP
SABC SABC SABC
V V V V 7
1 k
V V V 8
→ Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao 9, diện tích đáy Gọi M trung điểm cạnh SB N thuộc cạnh SC cho NS 2NC Tính thể tích khối chóp A.BMNC
A. V 15. B V 5. C V 30. D V 10.
Hướng dẫn
Từ giả thiết, ta có SN SC 3
SM SB Thể tích khối chóp VS.ABC 1.9.5 15
3
Ta có S.AMN
S.AMN S.ABC S.ABC
V SM SN 1
V V
V SB SC 3 3
ABMNC S.ABC S.MNP S.ABC S.ABC S.ABC
1 2
V V V V V V 15 10
3 3
→ Chọn D
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N thuộc cạnh SB, SC cho SM MB , Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi Khẳng
SN 2CN V1VS.AMN V2 VABCNM
định sau đúng?
(27)Trang 16
A V1V2 B V1 1V2 C D
3
V1 1V2
2
V1 2V2
3 Hướng dẫn
Do SM MB SM SB
SN
SN 2CN
SC
Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích, ta có:
S.AMN S.ABC
V SM SN
V SB SC 33
S.AMN S.ABC ABCNM S.ABC
1
V V V V
3
Vậy V1 1V2 → Chọn C
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Mặt phẳng qua A, B trung điểm M SC Mặt phẳng chia khối chóp cho thành hai phần tích V1, V2 với
Tính tỉ số
V V
2 V V
A B C D
2
V
V
1
V
V 8
1
V
V 8
1
V
V 5 Hướng dẫn
Kẻ MN CD N CD , suy ABMN thiết diện khối chóp Ta có VS.ABMN VS.ABMVS.AMN
S.ABM
S.ABM S.ABC S.ABCD S.ABC
V SM 1
V V V
V SC 2 2
S.AMN
S.AMN S.ABCD S.ACD
V SM SN 1
V V
V SC SD 4 8
Do VS.ABMN 1VS.ABCD 1VS.ABCD 3VS.ABCD
4 8
Suy VABMNDC 5VS.ABCD
Vậy
2
V
V 5 → Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tỉ số thể tích khối chóp S.MNPQ khối chóp S.ABCD bằng:
(28)Trang 17
A 1 B C D
8
1 16
1
1 Hướng dẫn
Ta có:
Tỉ số S.MNP S.ABC
V SM SN SP 1 1
V SA SB SC2 28 Tỉ số S.MPQ
S.ACD
V SM SP SQ 1 1
V SA SC SD 2 2 8
S.MNPQ S.MNP S.MPQ S.ABC S.ACD S.ABCD
1 1
V V V V V V
8 8
1
1
2 V
1
V V
8 V
→ Chọn A
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với đáy SA a 2 Gọi B , D hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng AB D cắt SC C Thể tích khối chóp S.AB C D là:
A B C D
3 2a
V
9
V 2a3
3
V a3
9
V 2a 33
3 Hướng dẫn
Gọi O tâm hình vuông ABCD I SO B D CAI SC. Ta có: BC AB BC AB
BC SA
Lại có ABSBABSC, tương tự AD SC Do AC SC
Xét tam giác SAB có: 2
2
SB SA
SB SB SA
SB SB
Tương tự
2
SC SA
SC SC
Do S.AB C , tính chất đối xứng nên: S.ABC
V 2
V
3
S.AB C D
S.ABCD S.ABCD
V a a
; V V
V 3
→ Chọn C
3 Bài tậptựluyện
(29)Trang 18 Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy, SA a , ABC cạnh 2a Gọi M, N thuộc cạnh SB, SC cho SM MB,SN 2CN Tính thể tích khối AMNCB
A. 3a3 B. C. D.
9
3 3a
3 3a
3 3a
Câu 2. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
A. B. C. D.
3
3
3
5 Đáp án:
1 – A - C
PHẦN 4: BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD
A. V 2a3 B. C. D.
6
V 2a3
4
V 2a 3 V 2a3.
3
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ABC AB 3a , BC 4a , AC 5a , Thể tích khối tứ diện ABCD là:
AD 6a
A. 6a 3 B.12a 3 C. 18a 3 D. 36a 3
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy AB a , AC 2a , BAC 120 Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC
A. V a3 21 B. C. D.
14
V a3 21
13
V 2a3 21
13
V 3.a3 21
14
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB 3a , AD 4a , SAABCD, SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V 20a B. V 20a 2. C. V 30a D. V 22a
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ASB 90 , BSC 120 , ASC 90 Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. B. C. D.
3 a
3 a
3 a
3 a
12
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB a , BC 2a Gọi H trung điểm cạnh AB, SH vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SA a Tính thể tích hình chóp S.ABCD
2
A. V a3 B. C. D.
3
V 2a3
3
V 2a3
13
V 2a3
5
Câu 7. Cho chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích chóp S.ABC
(30)Trang 19
A. B. C. D.
3 a 11
12
3 a 12
11
3 a
12
3 a
11
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, cạnh bên SD vng góc với đáy, cho AB AD a , CD 3a , SA a 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. 2a3 B. C. D.
3
3 4a
3 a
3 2a
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB a , ACB 60 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45 Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. a 33 B. C. D.
6
3 a
18
3 a
3 a
12
Câu 10. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B, D trung điểm SB SD Mặt phẳng AB D cắt SC C Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB C D S.ABCD
A. B. C. D.
2
1
1
1 Đáp án:
1 - D - B - A - A - D - B - A - D - B 10 - C
(31)Trang CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHUYÊN ĐỀ 3: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Định nghĩa
Cho hai mặt song song () (') Trên () ta lấy đa giác lồi A1A2 An, qua đỉnh ta dựng
đườngthẳng song song cắt (’) A1’A2’ An’ Hình bao gồm hai đa giác A1A2 An, A1’A2’ An’ hình bình hành A1A2A1’A2’, gọi hình
lăngtrụ
Chú ý:
Các mặt đáy hình lăng trụ song song với
Các mặt bên hình bình hành
Hai đáy hình lăngtrụ hai đa giác 2 Các lăngtrụđặcbiệt
- Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc vớiđáy
Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình
lăngtrụ
Lúc mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữnhật
- Hình lăngtrụđều: Là hình lăngtrụđứng có đáy
đa giác
Các mặt bên lăng trụ hình chữnhật
- Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành
- Hình hộp đứng: hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành
- Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữnhật
- Hình lập phương: hình lăngtrụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng
Hình lăngtrụđứng
Hình lăngtrụ tam giác có đáy tam giác
Hình lăngtrụtứ giác có đáy hình vng Hình hộp
- Hình hộp đứng có mặt bên hình chữ nhật, mặt đáy hình bình hành
- Hình hộp chữ nhật có tất mặt hình chữ nhật
- Hình lập phương có tất mặt hình vng
3 Thể tích khốilăngtrụ
(32)Trang V = B.h
Trong đó:
- B diện tích đáy,
- h hiều cao khốilăngtrụ
4 Thể tích khốihộpchữnhật V = a.b.c
Trong đó: a, b, c ba kích thước củakhốihộpchữ nhật
5 Thể tích khốilậpphương V = a3
Trong đó: a độ dài cạnhcủa hình lậpphương
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khốilăngtrụđứng 1 Phương pháp giải
Thể tích khốilăngtrụđứng
V = B.h Trong đó:
B diện tích đáy
h độ dài cạnh bên củakhốilăngtrụ
Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy
ABC tam giác vuông cân A, AB = a, BB' = 2a Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C' A C
3 2a V
3
V a3
3 B V a D V 2a
Hướngdẫn
Độ dài chiều cao củakhốilăngtrụ h = BB' = 2a
Vì đáy tam giác vng cân A nên AB = AC = a
Diện tích đáy là:
(33)Trang
ABC
1 a
S AB.AC a.a
2 2
Vậythể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C' là:
3 ABC
a V BB'.S 2a a
2
Chọn B 2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác đềucạnh a, AB' = 2a Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C’
A V a3 B C D V = 2a3
V 3a3
2
V 3a3
4
Hướngdẫn
Tam giác ABC tam giác nên có diện tích là:
ABC 3a S
4
Do A’B’A vuông cân A’ nênA A' ( ' ) B A 2( 'B')A a 3
Vậythể tích V củakhốilăngtrụ
3 ' ' '
3 '
4 A B C
a V A A S Chọn C
Ví dụ 2: Cho hình lăngtrụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác đềucạnh a, tam giác A’B’A cân Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’
A V 3a3 B C D V = 2a3 12
V 3a3
4
V 3a3
3
Hướngdẫn
Tám giác ABC tam giác nên có diện tích đáy là:
ABC 3a S
4
Do A’B’A vuông cân A’ nên A’A = A’B’ = a Do đóchiều cao củalăngtrụ h = A’A = a
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
2
ABC
a 3a V AA '.S a
4
Chọn B
Ví dụ 3: Cho lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A AB = a, AC = a , mặt phẳng (A’BC) tạovớiđáymột góc 30° Thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
(34)Trang A B C D
3 a
4
3 a
3
3 a
7
3 a
8
Hướngdẫn Diện tích đáycủalăngtrụ là:
2 ABC
1 a
S AB.AC
2
Kẻ AMBCvới M thuộc BC Vì BCAA 'nên BC (A 'MA) Suy A 'MAA 'BC , ABC 30
Tám giác ABC vuông A nên ta có:
2 2 2
1 1 1
AM AB AC a 3a 3a Suy AM a Ta có:
2
AA ' AM.tan 30 a 3 a
2
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
2
ABC.A 'B'C' ABC
a a a
V AA '.S
2
Chọn A
Ví dụ 4: Cho hình lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A, AB = a, AB' hợp vớiđáymột góc 60° Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'
A B C D
3.a V
6
V 3a3 V a3
3
V 3.a3
2
Hướngdẫn
Do tam giác ABC vuông cân A nên AB = AC = a
Diện tích tam giác ABC là: ABC
1 a
S AB.AC
2
Do AA ' (A 'B'C ') (AB';(A 'B'C ')) AB'A ' 60 Xét tam giác AB’A’ vuông A’:
A 'A A 'B'.tan AB'A ' a 3
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
2
ABC
a 3a V AA '.S a
2
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a, AB' hợp vớimặtphẳng (ACC’A’) góc 60° Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'
A V 3a3 B C D
V 3a3
6
V a3
3
V 3a3
2
(35)Trang
Hướngdẫn
Do tam giác ABC vuông cân A nên AB = AC = a
Diện tích tam giác ABC là: ABC
1 a
S AB.AC
2
Do AA ' A 'B' A 'B' A 'C ' A 'B' (ACC 'A ')
(AB';(A 'B'C ')) B'AA ' 60
Xét tam giác AB’A’ vuông A’:
A 'B' A 'B' a tan B'AA ' A 'A
A 'A tan B'AA '
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’
2
ABC
a a 3a
V AA '.S
3
Chọn B
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAC 30 , Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABCD.A'B'C'D'
AB' 2a
A V 3a3 B C D
V 3a3
2
V 3a3
8
V 3a3
8
Hướngdẫn
Do A’B’C’D’ hình thoi cạnh a B'A 'C ' 30 nên A’B’D’ tam giác đềucạnh a Diện tích đáycủa lăngtrụ là:
2 A 'B'C'D' A 'B'D'
3a
S 2S
2
Xét tam giác A’AB’ vng A’, ta có:
2
A 'A (B'A) (A 'B') a
Vậythể tích củakhốilăngtrụ là:
A 'B'C'D' 3a V AA '.S
2
Chọn B
Ví dụ 7: Mộttấm bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắtbỏ điở góc bìa hình vng
cạnh 12 cm rồigấplại thành hộpchữnhật khơng có nắp Tính thể tích hộp
A 4800 cm3 B 1400 cm3 C 1200 cm3 D 4000 cm3
Hướngdẫn
(36)Trang Theo đề bài, ta có AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = 12cm
Do ABCD hình vng có AB = 44cm – 24cm = 20cm chiều cao hộp h = AA’ = 12cm
Vậythể tích hộp V = SABCD.h = 4800 cm3 Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết AB = 3cm, Thể tích khối lăng trụđã cho là:
BC ' 2cm
A 27cm3 B 27cm3 C D
2
3 27
cm
3 27
cm
Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên Tính theo a thể tích củakhốilăngtrụ
AA ' a 2
A 2a3 B 2a3 C D
2
3
2a 2 2a3
Câu Cho lăngtrụđứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD’ lăngtrụhợpvớiđáy ABCD góc 30° Tính tổngdiện tích mặt bên củalăngtrụ
A B C D
2 a
6
2 a
6
2 a
4
2 4a
3
Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a, (AB'C')
hợpvớimặtđáymột góc 30° Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'
A B C D
3 6a V
6
V 6a3
36
V 6a3
12
V 6a3
4
Đáp án:
1 - B - A - D - C Dạng 2: Khốilăngtrụđều
1 Phương pháp giải
Thể tích khốilăngtrụđứng
V = B.h Trong đó:
B diện tích đáy (đáy đa giác đều), h độ dài
cạnh bên củakhốilăngtrụ
Ví dụ: Tính thể tích củakhối lăngtrụ tam giác
ABC.A'B'C' có tấtcả cạnhđềubằng 2a A V 3a C V 3a3
4 B D
3 3a V
3
V 3a3
Hướngdẫn
(37)Trang Do ABC.A'B'C' lăng trụ nên đường cao lăngtrụ BB' = 2a
Diện tích đáy là:
2 ABC
(2a)
S 3a
4
Vậythể tích củakhốilăngtrụ là:
ABC
V BB'.S 2 3a Chọn A
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B'C Mặt phẳng (A'BC) chia khối lăng trụ thành hai
phần.Tỉsốthể tích hai phầnđóbằng:
A B C D
1
1
3
Hướngdẫn
Mặt phẳng (A'BC) chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành hai phần A'.ABC A'B'C'CB Gọi V thể
tích củalăngtrụ ABC.A’B'C' Ta có:
A '.ABC ABC ABC.A 'B'C'
A 'B'C'BC A '.ABC
1 1
V AA '.S V V
3 3
1
V V V V V V
3
Suy tỉsốthể tích hai phầnđóbằng A '.ABC A 'B'C'BC
V
V
Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình lăngtrụ tam giác ABC.A'B'C' cỏ cạnhđáy a, (AB'C') hợpvớimặt đáymột
góc 60° Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'
A B C D
3a V
24
V 3a3
4
V 3a3
8
V 3a3
8
Hướngdẫn
Vì hình lăngtrụ tam giác nên đáy tam giác đềucạnh a Diện tích đáy
ABC 3a S
4
(38)Trang
Gọi M trung điểm B’C’ Do tam giác A’B’C’ nên A'M B'C' Kết hợp với AA' B'C' suy B'C' (AMA') => B'C' AM
Do ((AB'C');(A'B'C’)) = AMA ' = 60° Xét tam giác AMA' vuông A':
3a
A 'A A 'M tan AMA '
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’
2
ABC
3a a 3 3a V AA '.S
2
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hình lăngtrụ ngũ giác ABCDE.A'B'C'D'E' có cạnhđáy 2, cạnh bên Thể
tích củakhốilăngtrụđã cho gầnbằng giá trị sau đây?
A V 22,02 B V 7,34 C V 32,02 D V 27,53
Hướngdẫn
Do ABCDE.A’B’C’D’E’ lăngtrụđều nên đường cao củalăngtrụ BB’ =
Ta có:
360 HB'
B'OC ' 72 HOB' 36 OH
5 tan HOB' tan 36
Do SA 'B'C'D'E ' 5S OB'C' OH.B'C '1
2 tan 36
Vậythể tích củakhốilăngtrụđã cho là: A 'B'C'D'E '
20
V BB'.S 27,53
tan 36
Chọn D
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh đáy a,cạnh bên 2a Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABCDEF.A'B'C'D'E'F'
A B C D
3 3a V
2
V 3a V 3a V 3a3
3
Hướngdẫn
(39)Trang Do ABCDEF.A'B'C'D'E'F' lăngtrụđều nên đường cao củalăngtrụ BB' = 2a
Ta có: B'OC ' 360 60 OB'C 'là tam giác
6
Do đó:
2
A 'B'C'D'E 'F' OB'C'
3a 3a
S 6S
4
Vậythể tích củakhốilăngtrụđã cho là:
A 'B'C'D'E '
V BB'.S 3 3a Chọn B
3 Bài tậptựluyện
Câu Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ
A 8a3 B 9a3 C 18a3 D 21a3
Câu Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ biết (ABC’) hợp với đáy góc 60và diện tích tam giác ABC 3a2
A 6a3 B C D
4
3
a
3
a
3
a
Câu Tính thể tích V củakhốilăngtrụtứ giác ABCD.A'B'C'D' có tấtcả cạnhđềubằng 2a
A V 8a3 B C D
3
V 2a3
3
V 8a V 3a
Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy a, AC' hợp với mặt phẳng
(ABB’A’) góc 45° Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'
A V 6a3 B C D
24
V 3a3
4
V 6a3
8
V 6a3
4
Đáp án:
1 – C – C – C - C Dạng 3: Khốilăngtrụ xiên
1 Phương pháp giải
Thể tích khốilăngtrụ xiên V = B.h Trong đó:
Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a hình
chiếucủa A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung
(40)Trang 10 B diện tích đáy
h khoảng cách đường cao hạtừđỉnhbất kì xuống mặtphẳngđáy
điểmcủa BC Tính thể tích củakhốilăngtrụđó
A C
3a
3 3a
8 B a 33 D
8
3 a
8
Hướngdẫn
Gọi H trung điểmcủacạnh BC, theo đề ta có A 'H(ABC)
Vì tam giác ABC tam giác nên
ABC
a a
AH ;S
2
Tam giác vuông A’HA:
2
2 2 3a 3a
AH A 'A AH 3a
4
Do đó,thể tích củakhốilăngtrụ là:
2
ABC.A 'B'C' ABC
3a a 3a
V A 'H.S
2
Chọn C 2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên hợpvớiđáy ABC góc 60° Tính thể tích lăngtrụ
a
A 3a3 B C D
3 a
8
3 3a
8
3 a
8
Hướngdẫn Kẻ C’H (ABC) nên H hình chiếucủa CC’ (ABC) Ta có CC ' (ABC) C,CH ' (ABC)
Xét tam giác vuông CHC’, ta có: 3a
C 'H CC '.sin 60
Do tam giác ABC tam giác nên:
ABC
a S
4
Vậythể tích lăngtrụ là:
(41)Trang 11
ABC
3a V S C 'H
8
Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A, AB = a, hình chiếu
vng góc A' (ABC) trung điểm H củacạnh BC, tam giác A'HA tam giác cân Tính thể tích
củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'
A B C D
2a V
4
V 2a3
12
V 2a3
3
V 2a3
2
Hướngdẫn
Tam giác A’HA vuông cân H A 'H AH a 2
Diện tích tam giác ABC là: ABC
1 a
S AB.AC
2
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
ABC 2a V A 'H.S
4
Chọn A
Ví dụ 3: Cho hình lăngtrụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác đềucạnh a, hình chiếu vng góc A' (ABC) trung điểm BC, A’A hợp với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
A B C D
3a V
8
V a V 3a3
3
V 3a3
8
Hướngdẫn
A 'A (ABC) A
Do A’H (ABC) (A’A;(ABC)) = A 'AH 60 Xét tam giác A’HA vuông H, ta có:
3a
A 'H AH.tan A 'AH
Do ABC tam giác nên diện tích tam giác ABC
2 ABC
3a S
4
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
ABC
3 3a V A 'H.S
8
Chọn D
Ví dụ 4: Cho hình lăngtrụ ABC.A’B’C’, ABCđều có cạnhbằng a, AA' = a đỉnh A’ cách A, B, C Gọi M trung điểmcủacạnh BC Thể tích khốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
(42)Trang 12 A B C D
3 a
2
3 a
4
3 a
8
3 a
3
Hướngdẫn
Gọi O tâm tam giác ABC, A’ cách đỉnh A, B, C nên hình chiếu vng góc A’ lên
mặtphẳng (ABC) trùng vớitrọng tâm O Do A’O (ABC)
Ta có tam giác ABC đềucạnh a nên:
a a
AM , AO AM
2 3
Diện tích tam giác ABC là:
ABC
a S
4
Xét tam giác A’OA vng O, ta có:
2 2 a a
A 'O AA ' AO a
3
Thể tích khốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
2
ABC
a a a
V S A 'O
4
Chọn B
Ví dụ 5: Cho khốilăngtrụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích Khoảng cách
giữacạnh CC’ mặt (ABB’A’) Thể tích khốilăngtrụ là:
A 10 B 12 C 14 D 16
Hướngdẫn Kẻ thêm hình, ta dựngkhốihộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:
ABC.A'B'C ' ABCD.A'B'C 'D'
1
V V
2
Xem khốihộp ABCD.A’B’C’D’ khốilăngtrụ có hai đáy ABB’A’ DCC’D’
Vậy VABCD.A'B'C 'D' SABB'A'.h,trong
và
h d(C,(ABB ' A ')) d(CC ',(ABB ' A ')) 7 SABB'A' 4
ABC.A'B'C '
1
V 4.7 14
2
Chọn C
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ADC 120 , (ADC'B') hợpvớiđáymột góc 45° Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABCD.A'B'C'D'
A B C D
3
a V
4
V 3a3
2
V 3a3
4
V 3a3
2
(43)Trang 13
Hướngdẫn
Do A'B'C'D' hình thoi cạnh a ADC 120 nên A B D' ' ' tam giác đềucạnh a
2
A'B'C 'D' A'B'D'
a a
S 2S
4
D’M đường cao tam giác D’C’B’ nên: a
D 'M
D 'MB'C'B'C' (D'DM) B'C' DM Do ((ADC 'B ');(A 'B 'C ' D ')) DMD ' 45
Suy D’MD vuông cân D’ D ' D D 'M 3a
Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABCD.A’B’C’D’ là:
3 A'B'C 'D'
3a V DD '.S
4
Chọn C
Ví dụ 7: Cho khốilăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đếnđườngthẳng BB’ 2, khoảng cách từ
A đến đường thẳng BB’ CC’ 3, hình chiếu vng góc A lên mặtphẳng
(A’B’C’) trung điểm M B’C’và A‘M = Thể tích củakhốilăngtrụđã cho
A B C D
3
Hướngdẫn
Dựng AKBB 'AKA ' A,tươngtựdựng AEC 'CAEA ' A
Từđó A ' A(AKE)AA' KE
Do ta có EK B 'B EK d(C,BB ') EK C 'C
Suy tam giác AKE vuông A, suy AI = với I trung điểmcủa KE Suy MI
(44)Trang 14 Do A ' A (AKE) MI (AKE)
AM (A 'B 'C ')
Suy AKE , A 'B 'C ' MI,AMAMI Suy cos (AKE),(A 'B 'C ') MI
AM
Neen AKE
ABC.A'B'C ' ABC
S
V S AM 3.2
cos
Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu Cho lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB = AC = a,BAC 120 Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’
A 8a3 B C D
3
3
3 a
3
a
3
3 a
Câu Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác đềucạnh a Hình chiếucủa A’
xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AA’ hợp vớiđáy ABC góc 60° Tính thể tích khốilăngtrụ
A 3a3 B C D
3
3
3 a
3
3 a
3
3 a
Câu Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC’) hợp với đáy
(ABCD) góc 60° Tính thể tích khốihộpchữnhật
A 6a3 B C D
2
3
6 a
3
6 a
3
6 a 12
Đáp án:
1 – B – B - A
PHẦN 2: BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên Tính theo a thể tích khối lăng trụ
AA ' a 2
A 2a3 B 2a3 C D
2
3
2a 2 2a3
Câu Cho hinh hộpđứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọnbằng 60° Đường chéo lớncủađáy bằngđường chéo nhỏcủalăngtrụ Tính thể tích hình hộp
A 3 6a3 B C D
2
3
6 a
3
6 a
3
2 a
Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng B Cho AB = 3a, BC = 4a, CC' = 2a Thể tích lăngtrụ bằng:
A 24a3 B 4a3 C 12a3 D 8a3
(45)Trang 15 Câu Thể tích hình lăngtrụ tam giác đềucạnhđáybằng a, cạnh bên 2a
A B C D 2a3
3 a a 3 a
Câu Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a tổng diện tích mặt bên 3a2
A B C D
3
a V
6
V a 33
12
V a3
3
V a 33
4 Câu Tính thể tích V củakhốilăngtrụ tam giác có tấtcả cạnhbằng a
A B C D
3
a V
6
V a 33
12
V a 33
2
V a 33
4
Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC tam giác vuông cân B Tính thể tích V củakhốilăngtrụđã cho
AC
A B C D V = a3
3
a V
6
V a3
3
V a3
2
Câu Khốilậpphương có độ dài đường chéo d thể tích củakhốilậpphương là:
A d3 B 3d3 C 3d3 D d 33
9
Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC a 2 , mặt bên (A’BC) hợp với mặt đáy (ABC) mơt góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ
A B C D
3 a a a 3 a 6
Câu 10 Cho lăngtrụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A AB = a, AC a 3 , mặt phẳng (A’BC) tạovớiđáymột góc 30° Thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:
A B C D
3 a 2a 3 3a 3a
Câu 11 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên hợpvớiđáy ABC góc 60° Tính thể tích lăngtrụ
a
A B C D
3 3a a 3a a
Câu 12 Cho hình lăngtrụ ABC.A’B’C’, đáy ABC cóAC 3, BC = 3a, ACB 30 Cạnh bên hợpvới mặtphẳngđáy góc 60° mặtphẳng (A'BC) vng góc vớimặtphẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho HC = 2BH mặt phẳng (A'AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích khối lăng trụ
ABC.AB’C’ là:
A B C D
3 3a 9a 9a 3 3a
Câu 13 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’, có cạnh đáy a, đường chéo BC’ mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30° Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
(46)Trang 16
A B C D
3
a
3
a
3
a 6
3
a
Câu 14 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C có đáy ABC tam giác vng A với AC = a, , biết BC' hợpvới (AA'C'C) góc 30° Thể tích lăngtrụ là:
ACB 60
A 3a 33 B 2a 63 C a 33 D a 63
Đáp án:
1 – A – C – C – B – D – D – C – D – D 10 - A 11 – A 12 – B 13 – D 14 - D
(47)Trang
CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ 1: MẶT NÓN
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM 1 Mặt nón trịn xoay
Đường thẳng d , cắt O tạo thành góc với 0 90 , mp P chứa d , P
quay quanh trục với góc khơng đổi Ta mặt nón trịn xoay đỉnh O
gọi trục
d đượcgọi đường sinh Góc 2 gọi góc ởđỉnh
2 Hình nón trịn xoay, khối nón trịn xoay
Cho tam giác SOA vng Quay tam giác O
quanh cạnh góc vng SO tạo hình nón trịn xoay
Khối nón phần khơng gian giớihạnbởimột hình nón trịn xoay, kểcả hình nón
Các thông sốthườnggặp:
r OA OB : bán kính đáy
h SO : chiều cao hình nón I SA: đường sinh hình nón SAB: góc ởđỉnh
3 Các cơng thức khối nón
Mối liên hệgiữa , :h l r 2 2 2 h r l
Diện tích xung quanh:
xq S rl
Diện tích đáy:
2 d S r
Diện tích tồn phần:
2 tp xq d
S S S rlr
Thể tích khối nón:
2 1
V r h
3
Chu vi đáy:
d C 2 r
Ví dụ: Hình nón có chiều cao 4, bán kính đáy
Độ dài đường sinh là:
2 2 2 3 2
l h r 3 4 25 l 5
Diện tích xung quanh:
xq
S rl .3.5 15 Diện tích đáy:
2 2
d
S r .3 9
Diện tích tồn phần: tp xq d
S S S 159 24
Thể tích khối nón:
2 2
1 1
V r h .3 12
3 3
(48)Trang Chu vi đáy:
d
C 2 r 6
4 Hình nón cụt
Diện tích xung quanh:
xq 1 2 S l r r
Diện tích tồn phần:
tp 1 2 1 2 S r r lr lr
Thể tích khối nón:
2 2 1 1 2 2 1
V h r r r r
3
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối nón 1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón là:
A. 20 a 2 B. 40 a 2 C. 24 a 2 D. 12 a 2 Hướngdẫn
Áp dụng công thức h2r2 l2, đường sinh hình nón là:
2 2
2 2 2
l r h 4a 3a 25a 5a Diện tích xung quanh hình nón là:
2 xq
S rl.4a.5a 20 a Chọn A
Hướngdẫn
Ta có: 2 2
d
S 25 r 25 r 25 r 5cm
2
125 1 125
V r h h 5cm
3 3 3
Vậyđường sinh hình nón là: l r2h2 52 52 5 2cm
Chọn B
Ví dụ 2: Một khối nón có diện tích đáy 25 cm2 thể tích 125 Khi đường sinh 3
cm3 khối nón bằng:
A. 2 5cm B. 5 2cm C. 5cm D. 2cm
(49)Trang
Hướngdẫn
Góc ởđỉnh ASB 60 nên tam giác SAB tam giác
r OA 2a SA AB SB 2r 4a
Chiều cao hình nón vớichiều cao tam giác SAB cạnh 4a
nên h SO 4a 3 2 3a
2
Thể tích khối nón là:
2 3
2
1 1 8 3a
V r h 2a 3a
3 3 3
Chọn D
Hướngdẫn
Vì ABCD hình vng cạnh nên a AC a 2
2 2 2 2
SA SC AC 6a 2a 2a
Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay có đường cao là:
, độ dài bán kính
h SA 2a r AC a 2
Thể tích củakhối nón trịn xoay là:
3
2 2
1 1 4 a
V r h .2a 2a
3 3 3
Chọn A
Hướngdẫn
Khi quay ABO quanh trục AO ta hình nón có bán kính đáy l OB , đường sinh l AB a Xét tam giác ABO vng ta có:O
Ví dụ 3:Mộtkhối nón có bán kính r 2a , góc ởđỉnh 60 Tính thể tích củakhối nón
A. 8 3a3 B. 2 2a3 C. D.
3
a3 3
3
8 3a3
3
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , a SA vng góc với đáy,
Khi tam giác quay quanh cạnh đường gấp khúc tạo thành hình nón
SC a 6 SAC SA SAC
trịn xoay Thể tích củakhối nón trịn xoay là:
A. B. C. D.
3 4 a
3
a3 2
3
a3 3
3
a3 3
6
Ví dụ 5: Cho ABO vng , O BAO 30 , AB a , quay ABO quanh trục AO ta hình nón có diện tích xung quanh bằng:
A. a2 B. a2 C. D.
2
a2
4
2 a 2
(50)Trang
a l OB AB.sin 30
2
Vậydiện tích xung quanh hình nón là:
2 xq
a
S rl
2
Chọn B
Hướngdẫn
Chu vi hình trịn ban đầu là: C 12
Sau cắtbỏ hình trịn 1 bán kính , , ghép bán kính lại cho thành hình
4 OA OB
nón nên độ dài cung AB (bằng chu vi hình trịn) 3 với chu vi đáycủa hình nón Do ta có bán
4
kính đáycủa hình nón là:
3 .12
3 4 9
.12 2 r r
4 2 2
Đường sinh hình nón độ dài OA l OA 6:
Chiều cao hình nón là:
2
2 2 2 9 3 7
h l r 6
2 2
Vậythể tích củakhối nón là:
2 2
1 1 9 3 7 81 7 V r h . .
3 3 2 2 8
Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Ví dụ 6: Cho hình trịn có bán kính 6, hình vẽ
Cắtbỏ hình trịn 1 bán kính , , ghép bán kính đólại cho thành hình nón Thể
4 OA OB
tích khối nón tươngứngđó là:
A. 81 7 B. C. D.
8
9 7
8
81 7
4
9 7
2
(51)Trang
Câu 1. Cho ABO vuông , O BAO 30 , AB a , quay ABO quanh trục AO ta hình nón có
diện tích xung quanh bằng:
A. a2 B. a2 C. D.
2
a2
4
2 a 2
Câu 2. Một hình nón có đường sinh 6cm, diện tích xung quanh 240 cm2 Đường kính đường trịn đáy hình nón bằng:
A. 3 30cm B.40 cm C.60 cm D.80 cm
Câu 3. Một hình nón có đường sinh 8cm, diện tích xung quanh 240 cm2 Đường kính đường trịn đáy hình nón bằng:
A. 2 30cm B.30 cm C.60 cm D.50 cm
Đáp án:
1 – B – D – C
Dạng 2: Thiết diện khối nón 1 Phương pháp giải
Trườnghợp 1: Thiếtdiện qua trụccủa hình nón: mp P qua trụccủa hình nón cắtmặt nón theo
đường sinh SA SB, (AB đường kính đáy).Thiếtdiện tam giác cân SAB
Thiếtdiện qua trụccủa hình nón thơng thường hay gặpởmộtsốdạngnhư:
Thiếtdiện qua trục tam giác vuông cân: AB SA 2 Thiếtdiện qua trục tam giác đều: AB SA SB
Thiếtdiện qua trục có góc ởđỉnh (góc ASB) bằngsốđộ cho trước…
Trườnghợp 2: Thiếtdiện qua đỉnhcủa hình nón: mp P qua đỉnhcủa hình nón cắtmặt nón theo
đường sinh SA SB, (AB dây cung củađáy).Thiếtdiện tam giác cân SAB
(52)Trang Chú ý:
Kẻ OH AB H trung điểmcủa AB Góc giữamặtphẳng SAB vớiđường trịn đáy SHO
Kẻ OK SH OK d O, SAB
Trườnghợp 3: Thiếtdiện vng góc vớitrụccủa hình nón song song vớiđường trịn đáy hình nón: mp vng góc vớitrục hình nón Giao tuyến mộtđường trịn
P
2 Ví dụ minh họa
Hướngdẫn Gọi SAB thiếtdiện qua trụccủa hình nón (như hình vẽ)
Tam giác SAB cân tam giác cân nên S I SA SB a Do đó, AB SA a 2 r SO OA 1AB a 2
2 2
Vậydiện tích xung quanh hình nón là:
2 xq
a 2 a 2
S rl . .a
2 2
Chọn B
Hướngdẫn Gọi SAB thiếtdiện qua trụccủa hình nón (như hình vẽ)
Theo đề ta có r a
Tam giác SAB có góc ởđỉnhbằngASB 120 Do đóASO 60
Ví dụ 1:Một hình nón có thiếtdiện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện
tích xung quanh hình nón bằng:
A. a2 B. C. D.
2
a2 2
2
3 a2
2
a2
Ví dụ 2:Một hình nón có bán kính đường trịn đáy a Thiếtdiện qua trụccủa hình nón tam giác có góc ởđỉnhbằng 120 Tính thể tích V củakhối nón
A. B. C. D.
3 a V
6
V a3 3
3
V a3 3
9
V a3
3
(53)Trang Xét tam giác SAO vuông , ta có:O
a a 3
h SO
tan60 3
Vậythể tích V củakhối nón là:
3
2 2
1 1 a 3 a 3
V r h a
3 3 3 9
Chọn C
Hướngdẫn
Mặtphẳng P qua đỉnh hình nón khơng qua trục hình nón cắt hình nón theo giao
tuyến tam giác cân SAB (như hình vẽ)
Ta có giao tuyến tam giác cân có độ dài cạnhđáy AB 2
Đường sinh hình nón là:
2 2 2 2
SA SB l h r 4 3 25 5
Gọi M trung điểmcạnhđáy AB tam giác cân SAB Xét tam giác SAM vng M , ta có:
2 2
SM SA AM 2 6
Diện tích S củathiếtdiệnđượctạo là:
SAB
1 1
S S SM AB .2 2 6
2 2
Chọn D
Hướngdẫn Gọi I trung điểmcủa AB OI AB, SI AB, OI 2 Xét hai tam giác vuông SAO SAI ta có:
3 AO SA.cos SAO SA.cos 30 SA.
2 SA AI SA.cos SAI SA.cos 60
2
Ví dụ 3: Cho hình nón trịn xoay có đường cao h 4 , r 3 , mặtphẳng P qua đỉnh hình nón
nhưng khơng qua trục hình nón cắt hình nón theo giao tuyến tam giác cân có độ dài cạnh đáybằng Tính diện tích S củathiếtdiệnđượctạo
A. S 91 B. S 3 C. S 19 D. S 6
Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểmthuộcđường trịn đáycủa hình nón cho khoảng cách từ O đến AB SAO 30 ; SAB 60 Tính diện tích xung quanh hình nón
A. 4 3 B. 3 2 C. D.
4
2 3 3 2
(54)Trang
Do đó: AI 1
AO 3
Mặt khác:
2
AI 1 6 OI 2
cos IAO sin IAO 1 cos IAO OA 6 AO 3 3 OAOA
Mà SA OA 6 2 2 2
cos 30 3
Diện tích xung quanh hình nón là:
xq
S rlOA.SA 6 2 4 3 Chọn A
Hướngdẫn Gọi O tâm đường trịn đáycủa hình nón
Từ O kẻ OH AB (HA HB ), kẻ OK SH
hay
OK SAB d O; SAB OK
d O; P OK
Xét tam giác OAH vng H, ta có:
2 2
2
2 2 2 AB 2 3
OH OA AH r 2a a
2 a
Suy SOH có SO OH a nên vng cân O Do đókhoảng cách từ O đếnmặt SAB là:
1 1 a 2
d OK SH .a 2
2 2 2
Chọn D
Hướngdẫn
Gọithiếtdiện qua đỉnh SAB, tâm đường tròn đáy O Gọi H trung điểmcủa AB Góc SAB đáy là: SHO 60
Giảthiết cho SAB đềucạnh cm SH 4 3 2 3cm
2
Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h a bán kính đáy r 2a Mặtphẳng P qua S cắt đường tròn đáytại A B cho AB 3a Tính khoảng cách d từ tâm củađường tròn đáyđến P
A. d 3a B. C. D.
2
d a d 5a
5
d 2a
2
Ví dụ 6: Cho hình nón có thiếtdiện qua đỉnh S tạovớiđáy góc 60 tam giác đềucạnhbằng cm Thể
tích củakhối nón là:
A. 9 cm3 B. 4 3 cm3 C. 3 cm3 D. 7 cm3
(55)Trang Xét tam giác SOH vuông O, ta có:
cm
SO 3
sin60 SO sin60 SH .2 3
SH 2
cm
SO 3
OH
tan60 3
Xét tam giác OAH vng O, ta có:
cm
2
2 2 3 2
OA OH AH 2 7
3
Thể tích củakhối nón là:
2 2 2
1 1 1
V h.r .SO OA .3. 7 7
3 3 3
cm3
Chọn D
Hướngdẫn
Gọimặtphẳng qua đỉnh (SAB) SA, SB hai đường sinh
Từ O kẻ OH AB,từ O kẻ OK SH
3a
OK SAB d O; SAB OK
5
Xét tam giác SOH vng O, ta có:
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 16
OK OS OH 3a a OH OH 9a
5
3
OH a
4
2
2 2 2 3 5
SH SO OH a a a
4 4
Xét tam giác AOH vuông H, ta có:
2 2
2 2 5a 3a
AH OA OH a AB 2a
4 4
Vậydiện tích thiếtdiệntạobởi P hình nón là:
Ví dụ 7: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h a bán kính đáy r 5a Một mặt phẳng 4
P
qua đỉnhcủa khối nón có khoảng cách đến tâm O đáybằng 3a Diện tích thiếtdiện tạobởi
5 P
và hình nón là:
A. 5a2 B. C. D.
2
2 5
a 4
2 15
a 4
2 7
a 2
(56)Trang 10
2 SAB
1 1 5 5
S SH AB a.2a a
2 2 4 4
Chọn B
Hướngdẫn
Vì AO// BO nên áp dụngđịnh lý Talet tam giác SBO, ta có:
SO AO 6 AO
AO 2
SO AO 15 5
Thể tích củakhối nón có chiều cao là:
2
2 2
1 1 1
V r h AO .SO .6 2 8
3 3 3
Chọn A
Hướngdẫn
Gọi , V1 V2 lầnlượt thể tích N1, N2 , r1 r2 lầnlượt bán kính đáycủa N1, N2 ta có:
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
r h
V r h
1 3
1
8 V r 40 r 40
3
Mặt khác ta có:
2 2
2
2 2 2
2
1 1 1
r h r r h
r 40 r r 40
Ví dụ 8: Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính 10 Mặt phẳng vng góc vớitrục cắt hình nón theo giao tuyến mộtđường trịn hình vẽ
Tính thể tích củakhối nón có chiều cao
A. 8 B. 24 C. 96 D. 200
9
Ví dụ 9: Mộtvật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N1 mộtmặtcắt
song song vớimặtđáycủa đểđượcmột hình nón nhỏ N2 tích 1 thể tích Tính chiều
8 N1
cao h hình nón N2
A. cm B. 10 cm C. 20 cm D. 40 cm
(57)Trang 11 Do thay vào ta được:
cm
3
1 h h 1
h 20 8 40 40 2
Vậychiều cao h hình nón N2 20 cm
Chọn C
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón bằng:
A. a2 B. C. D.
2
a2 2
2
3 a2
2
a2
Câu 2.Cắtkhối nón bởimộtmặtphẳng qua trụctạo thành tam giác ABC có cạnhbằng a, biết B, C thuộcđường trịn đáy.Thể tích củakhối nón là:
A. a3 3 B. 2 a3 C. D.
9
a3 3
24
3a3
8
Câu 3. Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N1 mặtcắt
song song vớimặtđáycủa đểđượcmột hình nón nhỏ N2 tích 1 thể tích Tính chiều
64 N1
cao h hình nón N2?
A. cm B. 10 cm C. 20 cm D. 40 cm
Câu 4.Một hình nón có đường sinh a góc ởđỉnhbằng 90 Cắt hình nón bằngmặtphẳng P
qua đỉnh cho góc P mặtđáy hình nón 60 Khi đódiện tích thiếtdiện là:
A. B. C. D.
2 2a 3
3a2
2
2 a2
3
3 a2
2 Đáp án:
1 – B – C – B - A
Dạng 3: Khối nón nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện 1 Phương pháp giải
- Một hình chóp gọi nộitiếpmột hình nón nếu:
Đáycủa hình chóp đa giác nộitiếpđáycủa hình nón Đỉnhcủa hình chóp đỉnhcủa hình nón
Khi đóchiều cao h hình nón bằngvớichiều cao hình chóp
Bán kính đáycủa hình nón bán kính đường trịn ngoạitiếpđáycủa hình chóp - Một hình chóp gọi ngoạitiếpmột hình nón nếu:
Đáycủa hình chóp đa giác ngoạitiếpđáycủa hình nón Đỉnhcủa hình chóp đỉnhcủa hình nón
Khi đóchiều cao h hình nón bằngvớichiều cao hình chóp
Bán kính đáycủa hình nón bán kính đường trịn nộitiếpđáycủa hình chóp
(58)Trang 12
2 Ví dụ minh họa
Hướngdẫn
Hình nón đỉnh S đáy đường trịn ngoạitiếp ABCD có chiều cao bằngchiều cao hình chóp h SO , bán kính đáy bán kính đường trịn ngoạitiếp ABCD: r AO đường sinh l SA
Vì SAB 60 nên tam giác SAB nên SA AB a Xét tam giác SAO vng O, ta có:
2
2 2 2 2a a 2
h SO SA AO a
4 2
Bán kính đáycủa hình nón là:
1 1 a 2
r AO AC a 2
2 2 2
Vậythể tích hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoạitiếp ABCD là:
2
3 2
1 1 a 2 a 2 a 2
V r h .
3 3 2 2 12
Chọn B
Hướngdẫn Gọi O trọng tâm tam giác ABC Ta có: SOABC
Hình nón đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp ABC có chiều cao chiều cao hình chóp h SO , bán kính đáy bán kính đường trịn ngoạitiếp ABC: r AO đường sinh l SA
Xét tam giác ABC cạnh a, ta có: AH a 3
2
Do O tâm tam giác ABC nên: OA 2AH 2 a 3. a 3
3 3 2 3
Do r AO a 3 ,
3
l SA a
Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay ngoạitiếptứdiệnđều là:
2 xq
a 3 a 3
S rl . .a
3 3
Chọn C
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnhđáybằng a, góc SAB 60 Thể tích hình nón
đỉnh S đáy dường tròn ngoạitiếp ABCD là:
A. a3 3 B. C. D.
12
a3 2
12
a3 2
6
a3 3
6
Ví dụ 2: Hình nón trịn xoay ngoạitiếptứdiệnđềucạnh a, có diện tích xung quanh là:
A. B. C. D.
2 xq
a S
3
Sxq a2 2
3
Sxq a2 3
3
Sxq a2 3
6
(59)Trang 13
Hướngdẫn Gọi H trọng tâm tam giác BCD Ta có: AH BCD
Hình nón đỉnh A đáy đường trịn nội tiếp BCD có chiều cao chiều cao hình chóp h AH , bán kính đáy bán kính đường
tròn nội tiếp BCD: r HM (M trung điểm BC) đường sinh
lAM
Vì tam giác BCD đềucạnh a nên DM a 3
2
Do H tâm tam giác BCD nên: MH 1DM 1 a 3. a 3
3 3 2 6
Vì cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 45 nên ADH 45 ,
tam giác AHD vuông cân
2 2 a 3 a 3
AH HD DM .
3 3 2 3
Do r HM a 3,h AH a 3
6 3
Thể tích khối nón là:
2
3 2
1 1 a 3 a 3 a 3
V r h . .
3 3 6 3 108
Chọn B
Hướngdẫn Gọi , O O lầnlượt tâm hai đáy
Hình nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD có đường trịn đáyngoạitiếp hình vuông A B C D
nên có đường cao h OO AAa, bán kính đáy bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng : , đường sinh
A B C D r O A l OA
Do A B C D hình vng cạnh a nên
1 1 2
r O A A C .a a
2 2 2
Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đềucạnhđáybằng a, cạnh bên tạovớiđáymột góc 45 Tính thể
tích khối nón nộitiếp chóp tam giác đềuđó
A. a2 3 B. C. D.
108
a3 3
108
a3 3
6
a2 3
6
Ví dụ 4: Cho hình lậpphương ABCD.A B C D có cạnh a, hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường trịn đáyngoạitiếp hình vng A B C D Diện tích xung quanh hình nón
đó là:
A. a2 3 B. C. D.
3
a2 2
2
a2 3
2
a2 6
2
(60)Trang 14 Xét tam giác OO A vuông O, độ dài đường sinh hình nón là:
2
2 2 a 2 2 6
l OA O A OO a a
2 2
Vậydiện tích xung quanh hình nón là:
2
a a 6 a 3
S rl . .
2 2 2
Chọn C
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Cho S.ABCD hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 45 Hình nón
đỉnh S, đáy đường trịn nộitiếp hình vng ABCD, có diện tích xung quanh là:
A. 2 B. C. D.
xq
S 2 a 2
xq
S a Sxq a2 3
4
Sxq a2
4
Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Diện tích xung quanh hình nón ngoạitiếp hình chóp S.ABC
A. 2 a 2 B. 3 a2 C. D.
2
2 a2
3
3 a2
3 Câu 3.Mộtkhốitứdiệnđều có cạnh a nộitiếpmột hình nón Thể tích khối nón
A. B. C. D.
3 3 a
27
6 a3
27
3 a3
9
6 a3
9 Đáp án:
1 – C – C – B
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Mệnh đề sau mệnh đềsai?
A. Hình trụ ln chứamộtđường trịn
B. Hình nón ln chứamộtđường trịn
C. Hình nón ln chứamộtđườngthẳng D.Mặttrụ ln chứamộtđườngthẳng
Câu 2. Cho khối nón tích 100 , biết tỉ số đường cao đường sinh khối nón
81
bằng 5 Tính diện tích xung quanh củakhối nón
3
A. 10 B. C. D.
9
10 5
3
10 5
9
10
3
Câu 3.Một hình nón có đường cao h 20 cm, bán kính đáy r 25 cm Tính diện tích xung quanh
hình nón đó:
A. 5 41 B. 25 41 C. 75 41 D. 125 41
(61)Trang 15
Câu 4.Một hình nón có bán kính đáybằng R, đường cao 4R Khi đó, góc ởđỉnh hình nón
3 2
Khi đókhẳngđịnh sau khẳngđịnhđúng?
A. tan 3 B. C. D.
5
cot 3
5
cos 3
5
sin 3
5
Câu 5. Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh đoạn thẳng AC hình
lậpphương ABCDA BC D có cạnh b quay xung quanh trục AA Diện tích S là:
A. b2 B. b2 2 C. b2 3 D. b 62
Câu 6.Một hình nón có thiếtdiện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng 3a Diện
tích xung quanh hình nón
A. B. C. D.
2 a 2
2
16 a
2
9 a 2
2
2
a
Câu 7. Cho hình nón có chiều cao h góc ởđỉnh 90 Thể tích củakhối nón xác địnhbởi hình nón trên:
A. B. C. D.
3 h 3
6 h3
3
2 h3
3
2 h 3
Câu 8. Cho hình nón có thiếtdiện qua trục tam giác Khai triển hình nón theo mộtđường sinh, ta
đượcmột hình quạt trịn có góc tâm Trong kếtluận sau, kếtluận đúng?
A. B. C. D.
2
2
3
3
4
Câu 9. Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh 2a Mộtmặtphẳng qua đỉnh S cắt hình nón theo
mộtthiếtdiện,diện tích lớnnhấtcủathiếtdiện
A. 2a2 B. a2 C. 4a2 D. 3a2
Câu 10. Hình chữnhật ABCD có AB 6 , AD 4 Gọi M, N, P, Q lầnlượt trung điểmbốncạnh AB, BC, CD, DA Cho hình chữnhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật trịn xoay
tích bằng:
A. V 8 B.V 6 C. V 4 D. V 2
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính
diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD A. B. 3 2 xq a 6
S a ;V
12
2 3
xq
a 3
S a ;V
12 C. D. 3 2 xq a 3
S 2 a ;V
12
2 3
xq
a 6
S 2 a ;V
6
Câu 12.Khối nón có chiều cao 3a Thiếtdiện song song cách mặtđáymột đoạnbằng a, có diện
tích 64 a2 Khi đó,thể tích củakhối nón
9
A. 16 a 3 B. 25 a3 C. D.
3
3
48 a 16 a3
3
(62)Trang 16
Đáp án:
1 – C – D – D – D – D – C – A – D – A 10 – A
11 – B 12 - A
(63)Trang
CHƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ 2: MẶT TRỤ
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Mặt trụ tròn xoay
Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng l
song song nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng P quanh trục cố định đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ
Đường thẳng gọi trục.
Đường thẳng l gọi đường sinh
Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ
2 Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ
Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ
Đường thẳng AB gọi trục : bán kính đáy
r AD BC
: đường sinh hình trụ
l CD
: chiều cao hình trụ
AB CD h
3 Công thức khối trụ
Mối liên hệ h l:
h l
Diện tích xunh quanh: xq
S 2 rl
Diện tích hai đáy:
2đ
S 2 r
Diện tích tồn phần:
tp xq 2ñ
S S S 2 rl r
Thể tích khối trụ:
V r h
Ví dụ: Hình trụ có chiều cao 4, bán kính đáy Độ dài đường sinh là:
l h 4
Diện tích xunh quanh: xq
S 2 rl 2.3.4 24
Diện tích hai đáy:
2
2ñ
S 2 r 18
Diện tích tồn phần:
tp xq 2ñ
S S S 24 18 42
Thể tích khối trụ:
2
V r h .3 36
(64)Trang
PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH
AB CD hai đường kính
bất kì đáy hình trụ ABCD
1
V AB.CD.OO sin AB,CD
6
Đặc biệt AB CD
ABCD
1
V AB.CD.OO
6
Hình trụ cụt
xq
S R h h
2 h h1
V R
2
Hình nêm loại 2 3
V R tan
Hình nêm loại 2 3
V R tan
2
Chỏm cầu 2
xq
S 2 Rh R h
(65)Trang
2 2
xq
h h
S h R h 3r
3
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối trụ
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 có chiều cao đường kính đáy Thể tích khối trụ tương ứng bằng:
A 2 B . C 3 D 4
Hướng dẫn
Vì khối trụ có chiều cao đường kính đáy nên h 2r r h
2
Goi l độ dài đường sinh hình trụ: l h
xq
S 2 rl rl
Thay r h vào ta
2
l h h h h h 22
2
Do r h
2
Thể tích khối trụ là: V r h 22
→ Chọn A
Ví dụ 2: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 vàAD 2 Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng:
A 2 B 3 C 4 D 8
Hướng dẫn
Theo giả thiết ta hình trụ có chiều caoh AB 1 , bán kính đáy r AM AD
Do diện tích tồn phần hình trụ là: Stp 2 rh r2 1.1 1 4
→ Chọn C
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a góc BDC 30 Quay hình chữ nhật xung quanh
(66)Trang cạnh AD Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành là:
A a B 2 a C a2 D
3
2
a
Hướng dẫn
Khi quay hình chữ nhật xung quanh cạnh AD ta hình trụ hình vẽ Hình trụ tạo thành có bán kính r AB a đường sinh l BC
Xét tam giác BCD vuông C, ta có
Ta có: l BC CD tan300 a a
3
Diện tích xunh quanh hình trụ tạo thành là:
xq
a a S rl a
3
→ Chọn C
Ví dụ 4: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)
A 700 cm 2 B 754,25 cm 2 C 750,25 cm 2 D 756,25 cm 2 Hướng dẫn
Tổng diện tích tính tổng diện tích xung quanh hình trụ diện tích đáy, với diện tích vành khăn
Hình trụ có chiều cao đường sinh h l 30 , bán kính đáy r 35 20 15cm
2
Diện tích xunh quanh hình trụ là: Sxq rl 30 450 cm15
2
Diện tích đáy hình trụ là:
2
2
ñ
15
S r cm
2
Diện tích vành khăn là:
2
2 2
vk
35 15
S R r cm
2
Vậy tổng diện tích vải cần có để làm mũ là:
(67)Trang
Ta có
2 2
2
xq ñ vk
15 35 15
S S S S 450 756,25 cm
2 2
→ Chọn D
Ví dụ 5: Từ tơn hình chữ nhật có kích thước 50 cm 240 cm , người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):
Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng
Cách 2; Cắt tôn ban đầu thành hai tơn nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 thể tích thùng gị theo cách Khi tỉ số bằng:
2
V V
A 1 B 1 C 2 D 4
2
Hướng dẫn Ở cách 1, thùng tạo thành có chiều cao h 50 cm
Chiều dài hình chữ nhật với chu vi đáy hình trụ tạo thành Gọi bán kính đáy hình trụ tạo thành cách , ta có: r1 r 240 1 r1 120 cm
Do thể tích thùng gị theo cách là:
2
3
120
V . 50 cm
Ở cách 2, thùng tạo thành có chiều cao h 50 cm
Một nửa chiều dài hình chữ nhật với chu vi đáy hình trụ tạo thành Gọi bán kính đáy hình trụ tạo thành cách , ta có: r2 r2 240 r2 60 cm
2
Do thể tích thùng gị theo cách là:
2
3
60
V 2 50 cm
(68)Trang Tỉ số bằng:
2
V V
2
1
2
120
.50
V 2
V 60
2 50
→ Chọn C
Ví dụ 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏAB 1 , đáy lớnCD 3 , cạnh bên AC 2, quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành
A V 3 B V C D
3
V
3
V
3
Hướng dẫn Kẻ AK CD, BH CD
Ta có HK AB CK DH 1
2
Xét tam giác AKC vng K, ta có AK AC KC2 1
Thể tích khối trịn xoay tạo thành thể tích khối trụ có bán kính , chiều cao trừ thể tích hai khối nón
r AK 1 CD 3
(khối nón đỉnh A, đỉnh B đáy đáy hình trụ) Thể tích khối trụ lớn là: V1 .AK CD 32
Thể tích hai khối nón là: V2 2.1 AK CK2
3
Vậy thể tích V khối trịn xoay tạo thành
1
2
V V V
3
→ Chọn C
Ví dụ 7: Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước có dung tích V cm 3 Hỏi bán kính đáy trụ nhận giá trị sau để tiết kiệm vật liệu
A x V B C D
4
V x
3
3V x
2
V x
2
Hướng dẫn
Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R, cho Stp nhỏ Gọi h chiều cao hình trụ, ta có: V R h2 h V2
R
2 2
tp ñ xq
V V
S 2.S S R Rh R R R
R R
(69)Trang
2
2 3 3
2
V V V V V
2 R R
2 R R R R
Do Stp nhỏ
2
2
V
4
Dấu xảy R2 V R3 V R V
2 R 2
→ Chọn D
2 Bài tậptựluyện
Câu Một hình trụ có bán kính r 50 cm có chiều caoh 50 cm Diện tích xung quanh hình trụ bằng:
A 2500 cm 2 B 5000 cm 2 C 2500 cm 2 D 5000 cm 2
Câu Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 AD 2 Quay hình chữ nhật xung
quanh trục AB ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ đó:
A Stp 12 B Stp 6 C Stp 4 D Stp 8
Câu Một hình trụ có bán kính bằngr a , độ dài đường sinhl 2a Diện tích tồn phần hình trụ bằng:
A 6 a B 2 a C 4 a D 5 a
Đáp án:
1 – B – A – A
Dạng 2: Thiết diện khối trụ cắt mặt phẳng.
1 Phương pháp giải
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính r) mp vng góc với trục ta đường trịn
có tâm bán kính r với r bán kính mặt trụ đó.
Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r) mp khơng vng góc với trục cắt tất
cả đường sinh, ta giao tuyến đường elip có trục nhỏ 2r trục lớn 2r ,
sin
trong góc trục mp với 00 900 mặt trụ
Cho mp song song với trục mặt trục tròn xoay cách khoảng d.
Nếu d r mp cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện hình chữ nhật Nếu d r mp tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh
Nếu d r mp không cắt mặt trụ
(70)Trang 2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh a cm tích là:
A cm3 B 2 cm C 3 cm D 4 cm
Hướng dẫn
Thiết diện qua trục khối trụ hình vng ABCD hình vẽ Hình vng cạnh a cm nên
AB 2r r cm
Chiều cao khối trụ là: h AD cm
Thể tích khối trụ là:
2
V r h cm
→ Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình trụ có trục OO', thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Mặt phẳng (P) song song với trục cách trục khoảng Tính diện tích thiết diện trục cắt a
2 P
A a 32 B .a2 C 2a 32 D a2
Hướng dẫn
Do hình trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a nên bán kính hình trụ làr a , chiều cao đường sinh hình trụ l h 2a
Gọi thiết diện trục cắt mặt phẳng P ABCD Kẻ OH vng góc với AB
a
OH d O, P
BC h 2a, OA r a
Xét tam giác OHA vng H, ta có:
2 2 a a
AH OA OH a
2
Do AB 2AH a 3
Diện tích thiết diện ABCD SABCD AB.BC a 3.2a 2a 3
→ Chọn C
Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4, thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB'A', biết cạnh thiết diện dây
đường trịn đáy hình trụ căng cung 1200 Diện tích thiết diện ABB'A'
A B 2 C 2 D 3
(71)Trang Hướng dẫn
Gọi l, r độ dài đường sinh bán kính hình trụ Do thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên r
2
Ta có: Sxq 2 rl l2 l r
Xét tam giác OHA vng H, ta có:
AH
sin AOH AH OA.sin AOH AB 2AH
OA
Vậy diện tích thiết diện bằng: S AA'.AB 3 → Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình trụ có đường trịn đáy O và O , bán kính đáy chiều cao a Các điểm A, B thuộc đường tròn đáy O và O cho AB 3a Thể tích khối tứ diện ABOO' là:
A B C D .
3
a
3
a
3
a
3
a
Hướng dẫn Kẻ AA' song song với trục OO'
Tam giác AA'B vuông A', ta có:
2 2
A'B AB AA' 3a a a
Xét tam giác O'A'B có
2 2
A'B 2a O'B' O'A'
Suy tam giác O'A'B vuông O' Suy BO' vng góc với O'A Suy BO' vng góc với AOO' Thể tích khối tứ diện ABOO' là:
ABOO' AOO'
1 1 a
V BO'.S a .a
3
→ Chọn C
Ví dụ 5: Cho hình trụ có hai đáy hình trịn O và O Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B cho góc AB mặt phẳng chứa đường trịn đáy 450 khoảng cách đến trục OO' a Biết
2
bán kính đáy a, tính thể tích khối trụ theo a
A B C D
3
a V
6
V a 23 V a 23
2
V a 23
3
(72)Trang 10 Hướng dẫn
Kẻ AC song song với OO'
Góc AB mặt phẳng đáy ABC 45
ĐặtOO' h Gọi I trung điểm BC
O'I BC, O'I AC O'I ABC
Do đó: d AB;OO' IO' a
2
Tam giác ABC vuông C có ABC 45 nên ABC tam giác vuông cânBC AC h
Xét tam giác CIO' vng I, ta có: 2
2 2 h a
CO' CI IO' a h a
2
Thể tích khối trụ là: V a a 22 a 23 → Chọn B
Ví dụ 6: Cho hình trụ có chiều cao h 2 , bán kính đáyr 3 Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy hình trụ, cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB CD cho ABCD hình vng Tính diện tích S hình vng ABCD
A S 12 B S 12 C S 20 D S 20
Hướng dẫn Kẻ thiết diện qua trục BB'DD' hình trụ
Gọi độ dài cạnh hình vng ABCD x, x 0
Do CD BC CD BB'C CD B'C
CD BB'
Do tam giác B'CD vng C Khi B'D đường kính đường trịn O'
Xét tam giác B'CD vng C, ta có: (1)
2 2 2
B'D CD CB' 4r x CB'
Xét tam giác BB'C vuông B, ta có: (2)
2 2 2
BC BB' CB' x h CB'
Từ (1) (2)
2
2 4r h
x 20
2
Suy diện tích hình vng ABCD S 20
→ Chọn C
Ví dụ 7: Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD canh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn thứ hai hình trụ Mặt phẳng
(73)Trang 11 tạo với đáy hình trụ góc Diện tích xung quanh hình trụ thể tích V khối trụ là:
ABCD 450
xq
S
A B
2
xq
a 3 a
S ;V
3
Sxq a 22 ;V a3
3 32
C D
2
xq
a 3 a
S ;V
4 16
Sxq a 32 ;V a3
2 16
Hướng dẫn Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB CD
Khi đó: OM AB O'N DC
Giả sử I giao điểm MN OO' Đặt R OA, h OO'
Trong tam giác IOM vuông cân O nên:
2 h a
OM OI IM h a
2 2 2
Ta có:
2
2 2 2 2
2 2 a a a a 3a
R OA AM MO
2 4 8
Diện tích xung quanh Sxq hình trụ là: xq
a a a
S Rh
2
2
Thể tích V khối trụ là:
2
2 3a a a
V R h
8 16
→ Chọn D
3 Bài tậptựluyện
Câu Một hình trụ H có diện tích xung quanh 4 Biết thiết diện H qua trục hình vng Diện tích tồn phần H
A 6 B 10 C 8 D 12
Câu Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ BiếtAB 4a, AC 5a Thể tích khối trụ
A 16 a B 8 a C 4 a D 12 a
Câu Một hình trụ có bán kính đáy 50 cm có chiều cao 50 cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100 cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
A d 50 cm B d 50 3cm C d 25cm D d 25 3cm
Đáp án:
1 – A – D – C
Dạng 3: Khối trụ nội tiếp, khối trụ ngoại tiếp.
(74)Trang 12 1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hình tứ diện ABCD cạnh a Xét hình trụ có đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC có chiều cao chiều cao tứ diện Diện tích xung quanh hình trụ bằng:
A B C D
2
a 3
a 22
2
a 22
3
a 32
2
Hướng dẫn Gọi O tâm tam giác ABC M trung điểm BC
Hình hình trụ có đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC có chiều cao chiều cao tứ diện bán kính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC:
h DO r OM
Do hình tứ diện ABCD cạnh a nên tam giác ABC tam giác
cạnh a AM a
2
O tâm tam giác ABC nên AO 2AM
3
a a
Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC: r MO AM
3
a
Xét tam giác DOA vng O, ta có:
2 2 a a
3
h DO DA AO a
3
Diện tích xung quanh hình trụ là:
xq
a S rl rh
3
→ Chọn C
Ví dụ 2: Một hình trụ có đáy hai hình trịn O;6 ; O';6 vàOO' 10 Một hình nón có đỉnh O' có đáy hình trịn O;6 Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần Thể tích phần khối trụ cịn lại (khơng chứa khối nón) bằng:
A 60 B 90 C 120 D 240
Hướng dẫn
Hình trụ có chiều cao h OO' 10 bán kính đáy r 6 nên khối trụ tích là: V h r1 2 360
Hình nón có đỉnh O', chiều cao h OO' 10 bán kính đáy r 6
nên khối nón tích là: V2 1h r2 120
3
Vậy thể tích phần khối trụ cịn lại (khơng chứa khối nón) là:
1
V V V 240
→ Chọn D
(75)Trang 13 Ví dụ 3: Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Thể tích khối trụ bằng:
A a3 B a3 C D
2
a3
3
a3
4
Hướng dẫn
Hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a nên có chiều cao với chiều cao hình lập phương h a bán kính đáy bán kính đường trịn nội tiếp đáy ABCD
Đáy hình trịn nội tiếp hình lập phương cạnh a nên có r a
2
Thể tích khối trụ là:
2 3
2 a a
V r h a
2
→ Chọn D
Ví dụ 4: Trong khơng gian, cho hình lăng trụ tam giác cạnh đáy 3a cạnh bên 4a Tính diện tích tồn phần khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác
A Stp a 32 B Stp a 6 C Stp 2a 6 D Stp a2 8 6
Hướng dẫn
Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có chiều cao với chiều cao khối lăng trụ l h AA' 4a bán kính bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC: r OB
Vì tam giác ABC cạnh 3a nên BH 3a
2
Khối trụ có bán kính: r BO 2BH 3a a
3
Diện tích xung quanh hình trụ là:
2 xq
S 2 .a 3.4a a
Diện tích tồn phần hình trụ là:
2 2
tp
S 2 rl r a 6a a 6
→ Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A, vớiAB a Góc A'B mặt đáy 450 Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng:
A a2 B 3 a C 2 a D 2 a
(76)Trang 14 Hướng dẫn
Hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao chiều cao hình trụ h AA' bán kính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC có BC a 2 Gọi O trung điểm BC, tam giác ABC vng cân A nên O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC,
BC r OB OC
2
Do AA'ABC nên góc A'B ABC góc
A'BA 45 AA' AB a
Hình trụ có:
BC a r
2
l h AA' a
Diện tích xung quanh hình trụ là:
xq
S 2 rl a
→ Chọn D
Ví dụ 6: Cho hình nón đỉnh S, mặt đáy hình trịn tâm O, bán kính R= (cm) có thiết diện qua trục tam giác Cho hình trụ có hai đường trịn đáy O;r I;r , có thiết diện qua trục hình vng, biết đường trịn O;r nằm mặt đáy hình nón, đường trịn I;r nằm mặt xung quanh hình nón (I thuộc đoạn SO) Tính thể tích khối trụ
A 432 26 45 cm 3 B 1296 26 45 cm 3 C 1296 cm 3 D 432 cm 3
Hướng dẫn
Hình nón có bán kính đường trịn đáy R cm có thiết diện qua trục tam giác nên ta có:
SM 2R 12 cm SM
SO 3cm
2
Đặt SI x , BI / /AO nên ta có:
BI SI r x r x
OM SO 6 3 3
Chiều cao hình trụ là: h OI SO OI x
Do đó, thiết diện qua trục hình trụ hình vng khi:
2x 18
h 2r x x 18
3
Khi đó:
(77)Trang 15
h
h x 12 3 , r 3
Thể tích khối trụ là:
2
2
V r h 3 12 3 1296 26 45 cm
→ Chọn B
2 Bài tậptựluyện
Câu Cho hình lập phương có cạnh a hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi S1 diện tích mặt của hình lập phương, S2 diện tích xung quanh hình trụ Hãy tính tỉ số
1
S S
A B C D
1
S
S 21
S
S
1
S
S 2 21
S
S
Câu Một hình trụ có bán kính đáyr 5cm , chiều caoh 7cm Diện tích xung quanh hình trụ là:
A 35 cm 2 B 70 cm 2 C 70 cm 2 D
3
2
35 cm
Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi O O' hai đường trịn nội tiếp hình vng ABCD A'B'C'D' Hình trụ có hai đáy O O' tích là:
A 1 a3 B C D
3
3
2 a a3 a3
2
Câu Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy cạnh bên Thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ là:
A .1 B . C D
2
1
2
2 Đáp án:
1 – D – B – D – A
PHẦN 4: BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ có đường cao h a thể tích V a3
A Sxq 4 a2 B C D
xq
S 6 a
xq
S 8 a
xq
S 2 a
Câu Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 4 BC = Gọi P, Q điểm cạnh AB CD cho: BP 1, QD 3QC Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ
A 10 B 12 C 4 D 6
Câu Cho hình vuông ABCD cạnh cm Gọi M, N trung điểm AB CD Quay hình vng ABCD xung quanh MN Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành là:
(78)Trang 16 A 64 cm 2 B 32 cm 2 C 96 cm 2 D 126 cm 2
Câu Cho hình chữ nhật ABCD cóAB 3, BC 4 Gọi V , V1 2 thể tích khối trụ sinh quay hình chữ nhật quanh trục AB BC Khi tỉ số bằng:
2
V V
A .4 B . C D .
3
3
9 16
6
Câu Hình trụ có bán kính 5, khoảng cách hai đáy Diện tích tồn phần hình trụ bằng:
A 10 B 85 C 95 D 120
Câu Hình chữ nhật ABCD cóAB cm,AD cm Thể tích khối trụ hình thành quay hình
chữ nhật ABCD quanh đoạn AB
A 25 cm B 75 cm C 50 cm D 45 cm
Câu Thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh 2a Gọi S1 S2 diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ Chọn kết luận kết luận sau:
A 4S 3S1 2 B 3S1 2S2 C 2S1 S2 D 2S 3S1 2
Câu Một hình trụ có hai đáy ngoại tiếp hai đáy hình lập phương Biết thể tích khối trụ
2
thể tích khối lập phương bằng:
A 1. B 2. C .1 D .
4
3
Câu Cắt hình trụ T mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện tích 30cm2 chu vi 26 cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy hình trụ T Diện tích tồn phần T là:
A 69 cm 2 B C D
2
2
69 cm 23 cm 2 23 cm 2
2
Câu 10 Cho khối trụ có chiều cao cm, bán kính đường trịn đáy cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm Diện tích thiết diện tạo thành là:
A 16 5cm2 B 32 3cm2 C 32 5cm2 D 16 3cm2
Câu 11 Hai bạn Tú Qn có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b Bạn Tú cuộn bìa theo chiều dài cho hai mép sát dùng băng dính dán lại hình trụ khơng có đáy tích V1 (khi chiều rộng bìa chiều cao hình trụ) Bạn Quân cuộn bìa theo chiều rộng theo cách tương tự hình trụ tích V2 Tính tỉ số
2
V V
A B C D
2
V a
V b 12
V b
V a 12
V ab
V 12
V
V ab
Câu 12 Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a.
(79)Trang 17
A B C D
3
a V
4
V a3 V a3
6
V a3
2
Câu 13 Cho hình trụ có bán kính đáy R, độ dài đường cao h Đường kính MN đáy vng góc với đường kính PQ đáy Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng:
A 2 Rh2 B C D
3
2
1 Rh
2
1 Rh
2
2Rh
Câu 14 Tỉ số thể tích khối trụ nội tiếp khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a bằng:
A .1 B . C . D .
2
1
1
1
Câu 15 Một hình thang vng ABCD có đường cao AD = a, đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 2a Cho hình thang quay quanh cạnh CD, ta khối trịn xoay tích
A V a3 B C D
3
V a V a3
3
V a3
3
Câu 16 Một hình trụ có bán kính đáy 50 cm có chiều cao 50 cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
A d 50cm B d 50 3cm C d 25cm D d 25 3cm
Đáp án:
1 – D – B – A – A – D – B – B – A – A 10 – C
11 – A 12 – D 13 – A 14 – A 15 – A 16 – C
(80)Trang CHƯƠNG 2: Mắt nón, mặt trụ, mặt cầu
CHUYÊN ĐỀ 3: KHỐI CẦU PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Mặt cầu
Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi gọi mặt cầu có tâm O bán kính R, kí hiệu S(O;R)
Mặt cầu S O; R M OM R
2 Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho điểm A mặt cầu S(O;R) Ta có:
Điểm A thuộc mặt cầu OA = R Điểm A nằm mặt cầu OA < R Điểm A nằm ngồi mặt cầu OA > R
3 Hình cầu, khối cầu.
Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O;R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu S(O;R)
Khối cầu S O; R M OM R
4 Giao mặt cầu mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) Khi h = OH khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) Nếu h > R: mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu Nếu h = R: mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm H Ta có OH(P)
Điểm H gọi điểm mặt cầu S (O;R) mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu
(81)Trang Vậy ta có: Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P)
tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) điểm H (P) vng góc với bán kính OH điểm H
Nếu h < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn có bán kính r R2h2 Đặc biệt h = mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn lớn có bán kính r = R
5 Giao mặt cầu với đường thẳng Tiếp tuyến mặt cầu Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng ∆ Gọi H
hình chiếu vng góc tâm O d = OH khoảng cách từ O đến ∆
Nếu d < R, đường thẳng ∆ cắt mặt cầu hai điểm M, N
Đặc biệt, d = đường thẳng ∆ qua tâm O cắt mặt cầu hai điểm A, B Khi AB đường kính mặt cầu
Nếu d = R, đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu điểm H
( H gọi tiếp điểm đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu)
Nếu d > R, đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu
(82)Trang 6 Các công thức khối cầu
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S R Khối cầu bán kính R tích là: V R3
3
Ví dụ: Mặt cầu có bán kính R = 3a Diện tích mặt cầu là:
2
2
S R 4 3a 36 a
Thể tích khối cầu là:
3
3
4
V R 3a 36 a
3
PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH Hình chóp có cạnh bên SA vng
góc với đáy, đáy có bán kính đường trịn ngoại tiếp r
Nếu đáy tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c, nửa chu vi p
abc r
4 p p a p b p c
Nếu đáy tam giác
a r
3
Nếu đáy hình vng cạnh a
a r
2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
2 2 SA
R r
4
Hình chóp có cạnh bên SA có:
SO vng góc với đáy với O tâm hình trịn ngoại tiếp đáy Nếu đáy hình vng, O giao điểm hai đường chéo
Nếu đáy tam giác vuông, O trung điểm cạnh huyền
Nếu đáy tam giác đều, O trọng tâm
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
2 SA
R
2SO
(83)Trang Hình chóp có cạnh bên
nhau SA có:
SO vng góc với đáy với O tâm hình trịn ngoại tiếp đáy Nếu đáy hình vng, O giao điểm hai đường chéo
Nếu đáy tam giác vuông, O trung điểm cạnh huyền
Nếu đáy tam giác đều, O trọng tâm
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
2 SA
R
2SO
Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với đáy
Giao tuyến mặt bên (SAB) mặt phẳng đáy AB
R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên đáy
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
2
2 2
1
AB
R R R
4
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính diện tích, thể tích khối cầu 1 Phương pháp giải
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Mặt cầu có bán kính R tích là:
A R3 B C D
3
3
8 R 4 R 8 R
Hướng dẫn Áp dụng cơng thức V R3 ta có:
3
Thể tích khối cầu có bán kính R là: V R 6 8 R3
3
Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính Khi thể tích khối trịn xoay sinh bằng:
A 32 a3 B C D
3
3
4 a 3
3
8 a 3
3
64 a
3
Hướng dẫn
Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính ta khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a
(84)Trang Vậy thể tích khối cầu là: V R3 2a 32 a3
3 3
Chọn A
Ví dụ 3: Một khối cầu có diện tích đường trịn lớn 2π diện tích khối cầu là:
A B C D
3 4 8 16
Hướng dẫn Gọi r bán kính mặt cầu
Diện tích đường trịn lớn πr2. Theo giả thiết: r2 2 r 2 Vậy diện tích mặt cầu là: S r 2 8 Chọn C
Ví dụ 4: Một mặt cầu có bán kính 10cm Một mặt phẳng cách tâm mặt cầu cm cắt mặt cầu theo đường trịn Chu vi đường trịn bằng:
A 6π cm B 12π cm C 24π cm D 16 5 cm
Hướng dẫn Gọi I tâm mặt cầu O tâm đường trịn
OI khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng cắt Ta có IA = 10, OI =
Xét tam giác IOA vng O Ta có: OA IA2IO2 6cm
Vậy chu vi đường tròn là: cm
C r 12 Chọn B
Ví dụ 5: Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O, biết thiết diện qua trục hình vng diện tích mặt cầu 72 cm 2 Tính diện tích xung quanh hình trụ
A 12 cm 2 B 16 cm 2 C 18 cm 2 D 36 cm 2
Hướng dẫn Ta có diện tích mặt cầu là:
2
mc
S 4 R 72 cm R cm
Thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên h = 2r Nên: R r 2 r cm
Do diện tích xung quanh hình trụ là: 2
S rh 36 cm Chọn D
(85)Trang Ví dụ 6: Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Xét hai mặt cầu sau:
Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ, gọi mặt cầu nội tiếp hình trụ
Mặt cầu qua hai đường trịn đáy hình trụ, gọi mặt cầu ngoại tiếp hình trụ
Kí hiệu S1 diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ, S2 diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Tính tỉ số
1
S S
A B C D
2
S
S 4
1
S
S
1
S
S
1
S
S 3
Hướng dẫn
Gọi a cạnh hình vng thiết diện Khi bán kính đáy hình trụ r a
2
Mặt cầu nội tiếp hình trụ có bán kính bán kính đáy hình trụ R1 r a
2
Diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ
2
2
1
a
S R a
2
Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có bán kính nửa đường chéo hình vng R2 a
2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ
2
2
2
a
S R a
2
Vậy, tỉ số
2
S S
2
2
S a
S a
Chọn B
Ví dụ 7: Một bình đựng nước có dạng hình nón ( khơng có đáy), đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn ngồi 18π (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước ( hình dưới) Tính thể tích nước cịn lại bình
A 24π (dm3) B 54π (dm3) C 6π (dm3) D 12π (dm3) Hướng dẫn
Gọi R bán kính khối cầu thể tích nước tràn nửa thể tích khối cầu
(86)Trang
3
1
R 18 R
2 3 dm
Suy chiều cao nón h = 2R = dm
Gọi r bán kính đáy nón 12 12 12 r 3dm, suy
r h R
dm3.
2 N
1
V r h 24
3
Vậy thể tích nước cịn lại 24 18 6 dm3. Chọn C
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Mặt cầu (S) tích 36π dm3 Diện tích mặt cầu (s) bằng
A. 24π cm2. B. 36π cm2. C. 18π cm2. D. 20π cm2.
Câu 2. Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính r = 5cm Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu (S) theo dây cung AB = 6cm Khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆
A. cm B. 2cm C. cm D. cm
Câu 3. Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính r = 3a Mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường trịn có diện tích a2 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
A. 3a B. 2a C. 2a D. 3a
Đáp án:
1 – B – D – C
Dạng 2: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp 1 Phương pháp giải
Cho hình chóp S.A1A2 An (đáy đa giác nội tiếp) Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo ba bước:
Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Bước 2: Qua H dựng ∆ vng góc với mặt phẳng đáy ∆ trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 3: Lập mặt phẳng trung trực cạnh bên Tâm O mặt cầu giao điểm ∆ mặt phẳng
Bán kính: R = OA (=OS)
(87)Trang Chú ý:
Một số trường hợp đặc biệt xác định trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy
Tam giác vng Tam giác Tam giác
Cơng thức tam giác đồng dạng: ∆SMO đồng dạng với ∆SIA
SO SM MO
SA SI IA
2 Ví dụ minh họa
2.1 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy
Cách 1: Cho hình chóp S.A1A2 An có cạnh bên SA (A1A2 An) đáy A1A2 An nội tiếp đường tròn tâm O
Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (A1A2 An) O
Dựng đường trung trực ∆ cạnh SA1, cắt d I
Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS
Ta có MIOA1 hình chữ nhật Xét ∆MA1I vng M có:
2
2 2
1 1
SA
R A I MI MA A O
2
Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Gọi h chiều cao hình chóp r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy bán kính mặt cầu là:
2 h
R r
2
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy, ABC tam giác vuông A biết AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A 5a B 5a C 10a D 2a
Hướng dẫn
(88)Trang Cách 1: Gọi O trung điểm cạnh BC Do O tâm đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABC vuông A
Dựng trục d đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, mặt phẳng (SA,d) vẽ trung trực cạnh SA cắt d I
Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính R = IA = IB = IC = IS
Ta có tứ giác NIOA hình chữ nhật Xét tam giác NAI vng N có:
2 2 2 2
2 2 SA BC SA AB AC SA
R IA NI NA AO 5a
2 2
Cách 2: Tam giác ABC vng A nên bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy
2
BC AB AC
r 5a
2
Đường cao h = SA = 10a
Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
2 h
R r
2
2 10a
R 5a 5a
2
Chọn A
2.2 Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy
Đối với dạng mặt bên vng góc thường tam giác vng, tam giác cân tam giác
Cách 1: Xác định trục d đường tròn đáy.
Xác định trục ∆ đường trịn ngoại tiếp mặt bên vng góc với đáy
Giao điểm I d ∆ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Gọi R1, R2 bán kính mặt bên, mặt đáy, a độ dài cạnh chung mặt bên vng góc đáy
bán kính mặt cầu là:
2 2
a
R R R
4
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A V B C D
3
V 15
54
V
27
V 15
18
Hướng dẫn
Cách 1: Gọi M trung điểm AB SM AB (vì tam giác SAB đều). Mặt khác ( SAB) (ABC) nên SM (ABC)
(89)Trang 10 Tương tự ta có CM (SAB)
Gọi G K tâm tam giác ABC SAB Trong mặt phẳng (SMC), kẻ đường thẳng Gx//SM kẻ đường thẳng Ky SM
Gọi O Gx Ky, ta có:
OG SAB
OK ABC
Suy OG, OK trục tam giác ABC tam giác SAB
Do ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Tứ giác OKMN hình chữ nhật có MK MG nên OKMG hình vng
6
Do OK Ta có:
6
SK 2SM 3
3 3
Xét tam giác SKO vng K có OK2 SK2 3 15
36
OS
Do bán kính mặt cầu cần tìm R OS 15
6
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:
3
4 15 15
V R
3 54
Cách 2: Gọi R1, R2 bán kính mặt bên, mặt đáy Ta có R1 R2 CG 2CM 3
3 3
Độ dài cạnh chung mặt bên vng góc đáy a =
Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
2 2
a
R R R
4
2
3 15
R
3
Vậy thể tích khối cầu là: V R3 15
3 54
Chọn B
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
A a 21 B C D
6
a 21
a 3
a
Hướng dẫn
(90)Trang 11 Bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy R1 AC a
2
Bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên R2 SG a 3
Cạnh chung mặt bên (SAB) mặt đáy AB = a Vậy bán kính mặt cầu là:
2 2
a a a a 21
R
2
Chọn A
2.3 Hình chóp
Cách 1: Gọi O tâm đáy, SO trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực cạnh SA cắt SO I, I tâm mặt cầu
Bán kính là:
SN SI
SNI SOA
SO SA
R IS SN.SA SA2
SO 2SO
Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Giả sử hình chóp có cạnh bên SA, đường cao SO bán kính mặt cầu là:
2
SA R
2SO
Ví dụ 4: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên SA a 3
A 2a B C D
2
3a 2
a
3a
Hướng dẫn
Gọi O tâm tam giác ABC, ta có SOABC nên SO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi N trung điểm SA, mặt phẳng (SAO) kẻ trung trực SA cắt SO I IS = IA = IB = IC nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bán kính mặt cầu R = SI
Ta có AO a 3. a 3,SO SA2 AO2 2a
3 3
Vì hai tam giác SNI SOA đồng dạng nên ta có SN SI
SO SA
(91)Trang 12
Suy
2
SN.SA SA 3a
R SI
SO 2SO
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAC cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
A R a B R a C D
2
R a
2
R a
3
Hướng dẫn
Ta có: SA = a
Xét tam giác SAC cạnh a, ta có SO a
2
Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có bán kính mặt
2
SA R
2SO
cầu ngoại tiếp hình chóp là:
2
SA a a
R
2SO a 3
2
Chọn D
2.4 Mặt cầu nội tiếp hình chóp
Điều kiện tồn mặt cầu nội tiếp khối chóp: Nếu đáy hình chóp tồn điểm cách tất mặt xung quanh hình chóp hình chóp có hình cầu nội tiếp
Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vng góc đỉnh trùng với điểm đáy mà cách tất mặt bên:
- Xác định điểm O cách đáy - Nối đỉnh hình chóp với O đoạn thẳng
- Dựng mặt phẳng phân giác góc nhị diện đáy Giao điểm mặt phẳng phân giác với đường thẳng tâm hình cầu nội tiếp cần tìm
Cơng thức tính nhanh:
Nếu đặt V thể tích khối chóp Stp tổng diện tích mặt đáy mặt bên chóp (diện tích tồn phần) bán kính r mặt cầu nội tiếp khối chóp là:
tp
3V r
S
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
A 2a B C D
8
a
a
a 12
Hướng dẫn
(92)Trang 13 Cách 1: Gọi O tâm hình vng ABCD.
Suy O cách mặt bên hình chóp tứ giác S.ABCD
Suy điểm thuộc SO cách mặt bên hình chóp tứ giác S.ABCD (1)
Gọi M, N trung điểm AB, CD Khi tam giác SMN cân S nên SO đường phân giác góc MSN
Trong tam giác SMN, kẻ phân giác góc SMN cắt SO I Suy IO = IH hay I cách mặt đáy mặt bên (SAB) (2)
Từ (1) (2) suy I cách mặt hình chóp tứ giác S.ABCD Hay I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
Bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD bán kính đường trịn nội tiếp tam giác SMN nên:
SMN
a
2 a
S SM SN MN 2SM MN 2 a a
r , p
p với 2 2
2 SMN
1 a a
S SO.MN a
2 2
Suy ra:
2
a
a
4
r a
4
a a
2
Cách 2: (Công thức tính nhanh)
3
2 2
S.ABCD
a a a
SO SA AO V a
2
2
2 2
tp ABCD SAB
a
S S 4S a a a
4
Áp dụng công thức ta có:
3 S.ABCD
2
a
3
3.V 6 a
r a
S a a 3
Chọn C
Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh a Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC
(93)Trang 14
A a B C D
6
a 12 12
a
a 12
Hướng dẫn
Xét tam giác ABC cạnh a, ta có
2 ABC
a a
AM ,S
2
Gọi O tâm đáy, ta có: AO 2.AM a a
3 3
Xét tam giác SOA vuông O:
2
2 2 a a
SO SA AO a
3
2
2 SAB
a
S 4.S a
4
Thể tích hình chóp là: VS.ABC 1SO.S ABC a a a3
3 12
Áp dụng cơng thức tính nhanh, ta có:
3 S.ABC
2
a
3
3.V 12 a a
r
S a 12
Chọn D
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD cạnh a có bán kính
A a B. C. D.
2
a
4 a 2a
Câu 2. Hình chóp S.ABC có SA SB SC a có chiều cao a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A. B. C. D.
2 mc
9a S
2
Smc a2
2
Smc a2
4
Smc 9a2
4
Câu 3. Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho?
(94)Trang 15
A. B. C. D.
3
24 15 a 27
25 15 a3
27
20 15 a3
27
24 15 a3
25
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD theo a
A. a 12 B. C. D.
12
a
a 2
a 21
Đáp án:
1 – B – B – C – D
Dạng 3: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp lăng trụ 1 Phương pháp giải
1.1 Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ phải hình lăng trụ đứng có đáy lăng trụ hình đa giác nội tiếp đường trịn
Phương pháp chung tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:
Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ O1O2 trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy
Gọi I trung điểm O1O2
Suy ra:
IA IB IC IA ' IB IC '
- Trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
- Bán kính:
2
2 2
1
O O
R IA AO IO AO
2
Chú ý:
Đối với hình hộp chữ nhật: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp , a, b, c ba kích
2 2
a b c
R
2
thước
(95)Trang 16 1.2 Mặt cầu nội tiếp lăng trụ
- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R a
2
- Đường cao hình lăng trụ đường kính hình cầu nội tiếp
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vng C, AC a; BC a 2 Góc đường chéo AC mặt bên A C CA với mặt đáy 30 Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ
A 10 a2 B C D
7
10 a2
3
8 a2
9
10 a2
9
Hướng dẫn
Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy
Vì tam giác ABC vng C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy trung điểm O1 cạnh huyền AB, tương tự ta có O2 trung điểm A B Trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu IA
Ta có:
AC ABC A
AC ; ABC AC ; AC C AC 30
C C ABC C
Xét tam giác ACC vuông C, ta có:
1
CC a
tan 30 CC a IO CC
AC
Xét tam giác ACB vng C, ta có:
2 2
1
a
AB AC BC a 2a a AO
2
Xét tam giác AIO1 vng O1, ta có:
(96)Trang 17
2
2
1
a a 30
IA IO AO a
6
Diện tích khối cầu là:
2
2
30 10 a
S a
6
Chọn B
Ví dụ 2: Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
A a 39 B C D
6
a 12
2a 3
4a
Hướng dẫn Gọi O1, O2 lượt tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy
Ta có trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
1
1
IO O O 2a a
2
Vì tam giác ABC cạnh a AO1 a a
3
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:
Chọn C
2
2
2 2
1 1
O O a 2a
R IA AO IO AO a
2 3
Ví dụ 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh
A 32 B 36 C 64 D 4
Hướng dẫn
Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A B C D có bán kính r AC
2
Ta có AC 3 r 3
2
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương
3
4
V r 36
3
Chọn B
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, 2a, 2a bằng:
(97)Trang 18
A. B. C. D.
3
9 a
9 a3
8
27 a3
2
36 a
Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:
A. B. C. D.
3
7 a 21
54
7 a 33
54
7 a3 7
54
7 a3 21
18
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vng A, AC b; ACB 60 Đường chéo BC mặt bên BB C C tạo với mặt phẳng AA C C góc 30 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho
A. b B. C. D.
2 b
b
6 2b
Đáp án:
1 – A – A – B PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Cho mặt cầu có diện tích , bán kính mặt cầu là:
2
8 a
A. a B. C. D.
3
a 3
a
a
Câu 2. Cho hình cầu tích bẳng a3 , bán kính mặt cầu là:
27
A. a B. C. D.
3
a 3
a
a
Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính (cm) Diện tích mặt cầu là:
A. 100 cm 3 B. 400 cm 2 C. 500 cm 2 D. 100 cm 2
Câu 4. Khối cầu (S) có diện tích mặt cầu 16π Tính thể tích khối cầu
A. 32 B. C. D.
9
32
3
32
9
32
3
Câu 5. Cho khối cầu tích 36 cm 3 Bán kính R khối cầu là:
A. R cm B. R cm C. R cm D. R cm
Câu 6. Cho mặt cầu có diện tích , bán kính mặt cầu là:
2
8 a
A. a B. C. D.
2
a
a 3
a
Câu 7. Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A. Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp
(98)Trang 19 B. Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp
C. Hình chóp có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp D. Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp
Câu 8. Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có SA = a, AB = b, AC = c Mặt cầu qua đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng:
A. a b c B. C. D.
3
2 2 2
2 a b c a2 b2 c2
2
2 2
a b c
Câu 9. Mặt cầu tâm O bán kính R = 17 dm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu cho giao tuyến qua ba điểm A, B, C mà AB = 18 dm, BC = 24 dm, CA = 30 dm Tính khoảng cách từ O đến (P)
A. dm B. dm C. 14 dm D. 16 dm
Câu 10. Cho mặt cầu bán kính r hình trụ có bán kính đáy r chiều cao 2r Tỉ số thể tích khối cầu khối trụ là:
A. B. C. D.
2
2
1
Câu 11. Hai khối cầu (O1;R1) (O2;R2) có diện tích S1, S2 Nếu R2 2R1
S S
A. 16 B. C. D.
Câu 12. Cho hình trụ có bán kính đáy cm, trục OO 8cm mặt cầu đường kính OO Hiệu số diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ là:
A. 6π cm2. B. 16π cm2. C. 40π cm2. D. 208π cm2.
Câu 13. Người ta bỏ bốn bóng bàn kích thước, bán kính a vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn Biết bóng bàn nằm cùng, bóng tiếp xúc với mặt đáy mặt đáy hình trụ Lúc đó, diện tích xung quanh hình trụ bằng:
A. 8 a B. 4 a C. 16 a D. 12 a
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
A. B. C. D.
3
16a 14
49
2a3 14
7
64a3 14
147
64a3 14
49
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A. B. C. D.
3
5a 15
18
5a3 15
54
4a3 3
27
5a3
3
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = Cạnh bên SA = vng góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A. B. C. D.
2
3
2
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Tính diện tích
AB BC a 3, SAB SCB 90 a
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a
(99)Trang 20
A. S a B. S 16 a C. S a D. S 12 a
Đáp án:
1 – A – A – D – D – B – B – D – C – B 10 – C 11 – C 12 – B 13 – C 14 – C 15 – B 16 – C 17 – D
(100)Trang CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Hệ trục tọa độ không gian
Trong không gian hệ gồm ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz đơi vng góc với gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ
Trục Ox: trục hoành Trục Oy: trục tung Trục Oz: trục cao
Các mặt phẳng chứa hai trục tọa độ gọi mặt phẳng tọa độ, kí hiệu (Oxy), (Oyz), (Ozx)
Gọi i1;0;0 , j 0;1;0 , k 0;0;1 ba vecto đơn vị ba trục Ox, Oy, Oz
2 Tọa độ vecto
Trong không gian Oxyz, với vecto u tồn ba số (x;y;z) cho u xi y j xk Ta gọi ba số (x;y;z) tọa độ vecto Kí u hiệu: u x y z ; ; u x y z; ;
Biểu thức tọa độ phép tốn vecto: • Cho hai vecto u x y z 1; ;1 1,v x y z 2; ;2 2, ta có:
2; y1 2; z1 2
u v x x y z
2; y1 2; z1 2
u v x x y z
1; ky ; kz ,1 1
ku kx k R • Độ lớn vecto:
2 2 u x x x
•Tích vơ hướng hai vecto: 2
u v x x y y z z •Góc hai vecto:
2
2 2 2 1 2
x x y y z z u v
cos u v
u v x y z x y z
Với u v , 0 Đặc biệt:
Ví dụ:
•u1; 3; 4 u i 3j4 k
1;0; 4
w 3;1;0 w 3
1 1
0;0; 0
2 2
v v i j k i k
i j k i j
n u i j k k
• Cho hai vecto u1; 3; , v 2;3;5: 1 2; 3; 5 1;0;9
u v
1 2; 3; 5 3; 6; 1
u v
1 1 1
.1; ( 3); ; ;
2u 2 2
• Độ lớn vecto:
2 2
1 ( 3) 26
u
• Tích vơ hướng hai vecto: 1.( 2) ( 3).3 4.5
u v • Góc hai vecto:
2 2 2
1.( 2) ( 3).3 4.5
1 ( 3) ( 2)
cos u v
9
26 38 247
(101)Trang • Hai vecto
1 2
x x
u v y y
z z
• Hai vecto u v phương ; 0,
u kv v k R
•u v u v 0 x x1 2y y1 2z z1 20
3 Tọa độ điểm
Với điểm M, tồn ba số (x;y;z) cho OM xi y j zk Ta gọi ba số (x;y;z) tọa độ điểm M
Kí hiệu: M x y z ; ; hay M x y z; ; Do OM xi y j zk M x y z ; ;
Nếu điểm M có tọa độ (x;y;z) x, y, z gọi hoành độ, tung độ cao độ điểm M
Nhận xét:
Điểm M thuộc trục Ox, Oy, Oz:
;0;0 ; 0; ;0 M Ox M x M Oy M y
Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) có z = 0, thuộc mặt phẳng (Oyz) có x = 0, thuộc mặt phẳng (Oxz) có y =
Biểu thức tọa độ điểm:
Cho bốn điểm A x y z A; A; A ,B x y zB; B; B,
ta có: C; C; C , D; D; D C x y z D x y z • ABxB x yA; By zA; B zA
•B xB xA 2 yByA 2 zB zA
• Trung điểm I AB có tọa độ là:
; ;
2 2
A B A B A B x x y y z z I
• Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ là:
; ;
3 3
A B C A B C A B C x x x y y y z z z G
• Điểm N AB theo tỉ số k:
Ví dụ:
3 3; 1; 3; 1;
2 2; 1;0 2; 1;0
1 1
0;0; 0;0;
2 2
OM i j k OM M
ON i j ON N
OP k OP P
Cho bốn điểm A1; 2; , B 2; 2;1 , , ta có:
0; 3; , 2;0;0
C D
•AB2 1; 2;1 3 1; 4; 4
•AB 2 1 2 2 2 2 1 32 33 • Trung điểm I AB có tọa độ là:
1 2 3
; ; ;0;
2 2
I
• Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ là:
1 2 3
; ; 1; 1;
3 3
G
• Điểm N chia AB theo tỉ số 2:
1 2.1 2.( 2) 2.1
2 ; ;
1 2
NA NBN
1; 6;5
(102)Trang
; ;
1 1
A B A B A A x kx y ky z kz NA k NB N
k k k
4 Tích có hướng hai vecto
• Trong khơng gian Oxyz, cho hai vecto: , Tích có hướng 1; ;1 1
u x y z vx y z2; ;2 2
hai vecto vecto có tọa độ u v n xác định sau:
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
; ;
; ;
y z z x x y n
y z z x x y
y z y z z x z x x y x y
• Kí hiệu: n u v , • Nhận xét:
, , , ,
i j k j k i k i j
• Cho u v , 0 Gọi n u v , , ta có:
,
n u
nv
• n u vsin , u v
• Nếu hai vecto u, v phương :
,
u v
•Nếu ba vecto u, , v w đồng phẳng thì:
, w
u v
Do để chứng minh u, , không v w đồng phẳng, ta cần chứng minh: u v , w
Ví dụ: tính tích có hướng hai vecto
,
3;3;1
u v1;1; 1
Cách 1:
3 1 3
, ; ;
1 1 1
u v
3 1.1;1.1 ; 3.1 4; 2;
Cách 2: Phương pháp sử dụng CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường vecto:
Mode
Bước 2: Nhập vecto u: 1, nhập tọa độ vecto : 3
u
Bước 3: Nhập vecto :v AC Shift
Nhập tọa độ vecto v:1 1
Bước 4: Tính tích có hướng hai vecto u AC:
5
Shift shift
Ta kết là:u v , 4; 2; 6
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định tọa độ vecto, áp dụng tính chất phép tốn vecto
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vecto : a1; 2; 3 ,b2;1;1, Tìm tọa độ vecto
3;1;0
c
3
u a b c
A. u 10;7; 7 B. u4;9; 7 C. u 10;7;7 D. u 10; 7;7 Hướng dẫn
(103)Trang
Cách 1: Ta có : 3a 3;6; , 2 b 4; 2; , c 3; 1;0
Suy ra: u 3a2b c 3 3;6 1; 0 10;7; 7
Cách 2: Phương pháp sử dụng CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường vecto: Mode
Bước 2: Nhập vecto a: 1, nhập tọa độ vecto a: 3
Bước 3: Nhập vecto b AC Shift: 1, nhập tọa độ vecto b 1 Bước 4: Nhập vecto c AC Shift: 1, nhập tọa độ vecto c
Bước 5: Tính tọa độ vecto u AC: Shift Shift Shift 5 Ta kết u 10;7; 7
Chọn A
Ví dụ 2: Cho ba vecto a 0;1;3 , b5; 1;0 , c3,1, 2 Hãy biểu diễn vecto d5;10;12 theo ba vecto a b c , ,
A. 15 B.
2
d a b c
18 20
7 7
d a b c
C. 15 D
2
d a b c
18 20
7 7
d a b c Hướng dẫn
Gỉa sử có phân tích d d ma nb pc , ta có:
1 5
7 10
2
12 15
2
m
n p
m n p n
m p
p
Vậy 15
2
d a b c
Chọn C
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto um; 2; m1 Tìm tất giá trị m để hai vecto phương
3; 4;6
v m
,
u v
A. m = B. m = -2 C. m = D. m = -1 Hướng dẫn
Với m = -2; u 2; 2; ; v3;0;6
(104)Trang Vì nên hai vecto khơng phương, m = -2 khơng thỏa mãn
2
u v,
Với m 2 Để hai vecto u v , phương
1
2 1
2
3
3
m m
m m
m m
m
m
Chọn C
2 Bài tậptựluyện
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a m m;1; ,b3;m2;3 Giá trị m để vecto phương với vecto là:a b
A. m 2 B. m = -3
C. m = D. m = m = -1
Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto Tọa độ vecto
2;3; , 0; 3; ; 1; 2;3
a b c n3a2b c
A. n 5;5; 10 B. n5;1; 10 C. n 7;1; 4 D n5; 5; 10
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a 2;1;1, c3; 1; 2 Tọa độ vecto b thõa mãn biểu thức 2b a 3c0 là:
A. 3;1; B. C. D.
2
1
; 2;
2
7
; 2;
2
3
; 2;
2
Đáp án:
1 - D - A - C Dạng 2: Tọa độ điểm đặc biệt
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;0 , B 0;0;1 , C 3;1;1 Để ABCD hình bình hành tọa độ điểm D là:
A. D1;1; 2 B. D4;1;0 C. D 1; 1; 2 D. D 3; 10
Hướng dẫn Gọi tọa độ D Dx; y; z
Ta có: BA1;0; , CDx3;y1;z1
ABCD hình bình hành
3
1 4;1;0
1
x x
BA CD y y D
z z
(105)Trang Chọn B
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm B1; 2; , C 7; 4; 2 Nếu E điểm thỏa mãn đẳng thức CE2EB tọa độ điểm E là:
A. 3; ;8 B. C. D.
3 8 ;3; 3 3;3; 1; 2; Hướng dẫn
Gỉa sử E x y z ; ; CEx7;y4;z2 , EB 1 x; 2 y; z
Ta có:
3
8 8
2 2 3; ;
3 3
2 8
3
x
x x
CE EB y y y E
z z z Chọn A
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A1;0;1 ,
, Tìm tọa độ điểm A’ 2;1; 2
B D1; 1;1 , C4;5; 5
A. A 2;1;1 B. A3;5; 6 C. A5; 1;0 D. A2;0; 2 Hướng dẫn
Gọi tọa độ C x y z ; ; , A x y z; ;
Ta có: AB1;1;1 , DCx1;y1;z1
1
1 2;0;
1
x x
AB DC y y C
z z
2;5; , 1; ;
1
5 3;5;
1
CC AA x y z
x x
CC AA y y A
z z Chọn B
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;3 ; B 1; 2;1 Đặt
với M điểm nằm mặt phẳng Oxy Tìm tọa độ điểm M để p đạt giá trị nhỏ
p MA MB
A. ( 1; 2; 0) B. ( 1; 2; 2) C. ( 0; 2; ) D. ( -1; 1; ) Hướng dẫn
Cách 1: Gỉa sử Mx; y;0(Oxy)
(106)Trang Gọi I trung điểm AB I1; 2; 2MI 1 x; 2y; 2
Ta có: MA MB 2MI P MA MB 2 MI
P đạt giá trị nhỏ MI ngắn M chân đường vng góc hạ từ I xuống mặt phẳng Oxy
1
2 1; 2;0
M I M I M
x x
MI Oxy y y M
z
Cách 2: Vì điểm M thuộc mặt phẳng Oxy nên có zM 0, ta loại đáp án B,C
Thay tọa độ điểm M thuộc hai đáp án lại vào p, chọn giá trị M làm biểu thức p nhỏ Đáp án A, M1; 2;0, ta MA0;0;3 , MB0;0;1
0;0; 4
MA MB p MA MB
Đáp án D, M1;1;0, ta MA2;1;3 , MB2;1;1 4; 2; 4 42 22 42 6 4 MA MB p MA MB
Chọn A
2 Bài tậptựluyện
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 2;1 , B 3; 2;1 Tọa dộ điểm C đối xứng với A qua B là:
A. C1; 2;1 B. C1; 2; 1 C. C1; 2; 1 D. C4; 2;1
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A3; 2; , B 2; 2; , Điểm sau trọng tâm tam giác ABC?
3;6; 2 C
A. G4;10; 12 B. 4; 10; C. D.
3
G
G4; 10;12
4 10 ; ; 3
G
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 , B 1;1;0 , C 1;0; 2 Khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến trung điểm cạnh AB bằng:
A. B. C. D.
2
2
3
2
Đáp án
1 - D – D - B
Dạng 3: Tích vơ hướng, góc ứng dụng
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;1;0 , B 3;0; 4,C0;7;3 Khi cos AB BC , bằng:
(107)Trang
A. 14 B. C. D.
3 118
3 59
14 57
14 57 Hướng dẫn
Ta có: AB 1; 1; , BC3;7; 1 AB BC 14
14
,
3 118
AB BC cos AB BC
AB BC
Chọn A
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto tạo với góc a b 120 Biết a 3,b 5thì a b bằng:
A. B. C 4 D.
Hướng dẫn Ta có: a2 a2 9,b2 b2 25
2
2 2 2
2 .cos , 2.3.5 25 49
2
a b a b a a b b a a b a b b
Vậy a b 7 Chọn D
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M2;3; , N 1;1;1, Với giá trị m tam giác MNP vuông N?
1; 1; 2 P m
A. m = B. m = C. m = D. m = Hướng dẫn
Ta có: NM3; 2; , NP2;m2;1 NM NP 6 2m 2 2 m
Tam giác MNP vuông N NM NP 0 2m 0 m
Chọn D
Ví dụ 4: Cho hai vecto a1; 2;3 , 1; 1;0 b Tìm vecto vng góc với hai vecto biết c c 27, tạo với k0;0;1 góc tù
A. c 3; 3;3 B. c3;3; C. c1;1;5 D. c0;0; 27 Hướng dẫn
Gọi tọa độ vecto cx y z; ;
Vì c a x 2y3z0,c b x y nên ta có hệ:
2
2
0
3
y x
x y z
x y x
x y z x
(108)Trang Do cx x x; ;
Góc hai vecto c k
2
cos ;
3
c k x
c k
c k x
Để tạo với c k0;0;1 góc tù x >
Mặt khác: c 27 nên x2x2 ( x)2 27 3x2 27x2 9 x 3 (do x > 0) Vậy vecto c cần tìm c3;3; 3
Chọn B
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A2;3; , B 4; 6; , C 3;9; 9 Tọa độ điểm M a ; b;c làm cho biểu thức P AM2BM2CM2 đạt giá trị nhỏ Tính tổng a + b + c
A. B. C. D. -1
Hướng dẫn
Cách 1: Gọi M a b c ; ;
Ta có PAM2BM2CM2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
min
2 9
3 3 12 24 241
3 4 16 178
3 178 178
1
178
4
a b c a b c a b c
a b c a b c
a a b b c c
a b c
a P b c
Vậy a + b + c = + – = -1
Cách 2: Gọi G trọng tâm tam giác ABC
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
AM AM AG GM AG GM AG GM
BM BM BG GM BG GM BG GM
CM CM CG GM CG GM CG GM
P AM BM CM
2 2
2 2
2 2
3
3
3
MG GA GB GC GM AG BG CG
MG GA GB GC GM
MG GA GB GC
Do đó: P GA 2GB2GC2
min 1; 2;
P M G
Do a + b + c = + – = -1 Chọn D
(109)Trang 10
2 Bài tậptựluyện
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto m1;0; , n0;1;1 Kết luận sau sai?
A. m n 1 B.m n , 1; 1;1
C. không phương.m n D. Góc m n 60
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto có độ dài Biết a b bằng:
,
a b a b
A. B. C. D.
2
3 2
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a 1; ; ,m b 2;1;3 , a b khi:
A. m = -1 B m = C. m = D. m = -2
Đáp án
1 - D - C - B
Dạng 4: Tích có hướng ứng dụng tích có hướng.
1 Phương pháp giải
Ứng dụng tích có hướng:
Để chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện, ta chứng minh: AB AC AD, 0 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD AB AC,
Diện tích tam giác ABC: ,
ABC
S AB AC
Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA, ' Thể tích tứ diện ABCD: ,
6
ABCD
V AB AC AD
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A0; 2; , B 3;1; , C 4;3;0, Tìm m để A, B, C, D đồng phẳng
1; 2;
D m
A. m 5 B. C. m = D. m =
13
m
Hướng dẫn Ta có: AB 3; 1;1 , AC 4;1; , AD1;0; m
, 3;10;1 ,
AB AC AB AC AD m m
(110)Trang 11 A, B, C, D đồng phẳng AB AC AD, 0 m m
Chọn C
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A2; 1;6 , B 3; 1; 4, Thể tích tứ diện ABCD bằng:
5; 1;0 , D 1; 2;1 C
A. V = 30 B. V = 40 C. V = 50 D. V = 60 Hướng dẫn
Ta có: AB 5;0; 10 , AC3;0; , AD 1;3; 5
, 0; 60;0 , 180
AB AC AB AC AD
Thể tích tứ diện ABCD : , 30
ABCD
V AB AC AD Chọn A
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; , B 2;1;1 , C 0;1; 2 Gọi trực tâm tam giác ABC Giá trị x + y + z bằng:
( ; ; )
H x y z
A. B. C. D.
Hướng dẫn Gỉa sử H x y z ; ; trực tâm tam giác ABC
1; 2; , 2; 1; , 2;0;1 , 1; 1;3 , 1; 1; 2
AH x y z BH x y z BC AC AB
, 1; 5;
AB AC
H trực tâm tam giác ABC, ta có:
1 2 3 2
3
5
1 2
,
AH BC x z x z x
BH AC x y z x y z y
x y z z
x y z
AB AC AH
Vậy x + y + z =
Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;3 , B 2; 2;0 , C 3; 2;1 Diện tích tam giác ABC bằng:
A. 62 B. 62 C. 12 D.
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD A0;0;1 , B 0;1;0 ,
, Thể tích tứ diện ABCD bằng: 1;0;0
C D2;3; 1
(111)Trang 12
A. B. C. D.
3
V
2
V
6
V
4
V
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;1 , B 2;1;3 , C 1; 4;0 Tọa độ trực tâm H tam giác ABC là:
A. ; 15; B. C. D.
13 13 13
8 15 ; ; 13 13 13
8 15 ; ; 13 13 13
8 15 ; ; 13 13 13
Đáp án
1 - A 2 - C 3 - B
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vecto ua b c; ; Khi độ dài u tính theo cơng thức sau đây?
A. a b c B. a2b2c2 C. a + b + c D. a2b2c2
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto a 1;1;0 , b1;1;0 , c1;1;1 Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?
A. a B. c C. a b D. b c
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M2; 3;5 , N 4;7; , P 3; 2;1 ,
Bộ ba điểm sau thẳng hàng? 1; 8;12
Q
A. N, P, Q B. M, N, P C. M, P, Q D. M, N, Q
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M3;1; 2 Điểm N đối xứng với M qua trục Ox có tọa độ là:
A. 3;1; 2 B. 3; 1; 2 C. 3;1;0 D. 3; 1; 2
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0; 4 Mệnh đề mệnh đề sau?
A. cos 65 B. C. D.
65
A sin 61
65
A SABC 61 SABC 65
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto a 0;1; , b1; 2;1 , Để ba vecto đồng phẳng giá trị m là:
4;3;
c m
A. m = 14 B. m = C. m = -7 D. m =
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u1;1; , v1;0;m Tìm m để góc hai vecto u v , có số đo 45?
A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m2
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, M’ hình chiếu vng góc M3; 2;1 trục Ox M’ có tọa độ là:
(112)Trang 13
A. 0;0;1 B. 3;0;0 C. 3;0;0 D. 0; 2;0
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A1;0;1 ,
giao điểm hai đường chéo Diện tích hình bình hành ABCD bằng: 2;1; 2
B 3;0;3
2
I
A. B. C. D.
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A1; 2; , B 2; 1;3 , Độ dài đường cao tam giác ABC hạ từ A bằng:
4;7;5 C
A. 110 B. C. D.
57
555 26
1110 57
111 57
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a 1;log 3;5 m b,3;log 25; 33 vng góc với khi:
a b
A. m3 B. C. D.
3
m
5
m
3
m
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 2; 10 1;0 , B 2; 7;3, Đặt với M điểm nằm mặt phẳng Oyz Giá trị nhỏ 2, 5,3
C P MA MB MC P là:
A. 2 1. B. C. D.
Đáp án
1 – B - D - D - D - C - A - C - B - C 10 - B 11 - B 12 – C
(113)
Trang
CHƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Vectơ pháp tuyếncủamặtphẳng
Cho mặtphẳng , vectơ n n 0 đượcgọi vectơ pháp tuyến
(VTPT) mặt phẳng nằm đường thẳng vng góc vớimặtphẳng
Chú ý:
Mộtmặtphẳng có vơ sốvectơ pháp tuyến
Nếu n mộtvectơ pháp tuyến kn vecto pháp tuyến
2 Phương trình tổng quát củamặtphẳng Trong hệtrụctọađộ Oxyz, mặtphẳng có
phương trình tổng qt là:
, A, B, C khơng
0 Ax By Cz D
đồngthờibằng
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ; ;
n A B C
2;3; 1
n
Mặtphẳng qua điểm M x y z 0; ;0 0 có vectơ pháp tuyến n A B C; ; , có phương
trình là:
0 0 0
A x x B y y C z z
Ví dụ:
Phương trình mặtphẳng:
2x – y + 3z = có VTPT n2; 1;3 x + 3z = có VTPT n 1;0;3
z = có VTPT n0;0;1
Mặtphẳng qua điểm M1; 2;3 , có vecto pháp tuyến n 2;3; 1 , có phương trình là:
2 3
2x 11
x y z
y z
3 Các trườnghợp riêng
Xét phương trình mặtphẳng :Ax By Cz D 0 với A2B2C2 0
Các hệsố Phương trình mặtphẳng Tính chấtmặtphẳng
D = Ax + By + Cz = qua gốctọađộ O
A = By + Cz + D = //Ox Ox
B = Ax + Cz + D = //Oy Oy
C = Ax + By + D = //Oz Oz
A = B = Cz + D = //(Oxy) Oxy
A = C = By + D = //(Oxz) Oxz
B = C = Ax + D = //(Oyz) Oyz
(114)Trang
4 Phương trình đoạnchắn
Phương trình mặt phẳng qua ba điểm
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a Ox B b Oy C c Oz
được gọi phương trình đoạn
a b c, , 0
chắn có dạng:
1
x y z
a b c
Ví dụ:
Phương trình đoạnchắn qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;-3) có dạng:
1
1
x y z
5 Vị trí tươngđốigiữa hai mặtphẳng Cho hai mặtphẳng:
1 1
2 2
:
:
A x B y C z D A x B y C z D
Khi đóvị trí tương đốigiữa hai mặt phẳng
và :
1 1
2 2
1 1
2 2
/ / A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
cắt
A B C1: 1: 1 A B C2: 2: 2
Đặcbiệt: A A1 2 B B1 2C C1 2 0
Vị trí tương đối :x2y3z 0 với
: : 2x 4 y6z 0
Vì nên
2
/ /
Vị trí tương đối :x2y3z 0 với
: 2x 4 y6z 0
Vì nên
2
Vị trí tương đối :x2y3z 0 với
:x4y6z 0 Vì nên cắt
1
6 Khoảng cách từmộtđiểmtớimộtmặtphẳng Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm
đếnmặtphẳng : 0; ;0 0
M x y z
Ax + By + Cz + D = tính theo công
thức:
0
2 2
, Ax By Cz D
d M
A B C
Khoảng cách từđiểm M1; 2; 4 đếnmặtphẳng
( ) :2P x2y z 8 0:
2
2
2 2.2
,
2
d M P
7 Góc hai mặtphẳng
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
(Q) có vectơ pháp tuyến
P ; ;
n A B C
Q ; ;
n A B C
Khi góc hai mặtphẳng (P) (Q) là:
2 2 2
cos cos ,
90 P Q P Q P Q n n n n n n
AA BB CC
A B C A B C
Cho mặt phẳng P : 2x y 2z 2017 0 , Góc hai mặtphẳng (P) Q y z: 2017 0
và (Q):
Ta có n P 2;1; 2 vectơ pháp tuyếncủamặt phẳng (P), n Q 0;1; 1 vectơ pháp tuyếncủa mặtphẳng (Q)
3
cos , cos ,
2
, 45
P Q
P Q n n
P Q
(115)Trang
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viếtphương trình mặtphẳng
1 Phương pháp giải
Các trườnghợp hay gặpcủaphương trình mặtphẳng:
Trườnghợp 1:Phương trình mặtphẳngđi qua điểm M x y z 0; ;0 0, có VTPT nA B C; ; , có phương
trình là:
0 0 0
A x x B y y C z z
Trường hợp 2: Phương trình mặt phẳng qua M, có cặp VTCP , u v VTPT mặt phẳng
,
n u v
Trường hợp 3: Phương trình mặt phẳng qua M x y z 0; ;0 0, song song với mặt phẳng
có phương trình
P Ax By Cz D: 0 A x x 0B y y 0C z z 00
Trườnghợp 4:Phương trình mặtphẳngđi qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng, VTPT củamặt phẳng n AB AC,
Trườnghợp 5:Phương trình mặtphẳngđi qua điểm M, vng góc với hai mặtphẳngcắt (P) (Q), VTPT củamặtphẳng n n P ,n Q
Trườnghợp 6:Phương trình mặtphẳng trung trựccủađoạnthẳng AB
Đi qua trung điểm I AB ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
Nhận VTPT n AB
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, mặtphẳng P : 2x 3 y z 1 có mộtvectơ pháp tuyến là:
A n4 2;3;1 B. n3 1; 2;3 C. n2 1;3; 2 D. n12;3; 1
Hướngdẫn
Mặtphẳng P : 2x 3 y z 1 có mộtvectơ pháp tuyến n4 2;3;1
Chọn A
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(3;4;5) có vectơ pháp
tuyến n1; 3; 7 là:
A. P x: 3y7z 20 0 B P x: 3y7z 44 0
C. P : 3x4y5z 44 0 D. P x: 3y7z 44 0
Hướngdẫn
Mặtphẳng (P) qua điểm M(3;4;5) có vectơ pháp tuyến n 1; 3; 7 Khi đóphương trình mặtphẳng (P) là:
1 x 3 y4 7 z5 0 x 3y7z 44 0
Chọn D
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A(-1;1;1), B(2;1;0), C(1;-1;2) Mặt phẳng qua A vng góc với BC có phương trình là:
(116)Trang
A. 3x + 2z – = B. x + 2y - 2z – =
C. x + 2y – 2z + = D. 3x + 2z + =0
Hướngdẫn
Mặtphẳngđi qua A vng góc với BC có vectơ pháp tuyến n BC 1; 2; 2 Khi đóphương trình mặtphẳngcần tìm là:
1 x y z x 2y x 2y 2z
Chọn C
Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình mặtphẳng (P) qua gốctọađộ song song vớimặt phẳng (Q): 5x – 3y + 2z + 10 =
A. (P): 5x – 3y + 2z + = B. (P): 5x – 3y + 2z + =
C. (P): 5x – 3y + 2z = D (P): 5x + 3y - 2z =
Hướngdẫn
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có VTPT với mặt phẳng (Q),
phương trình mặtphẳng (P) có dạng: 5x – 3y + 2z + D = Mà (P) qua gốctọađộ nên 5.0 – 3.0 + 2.0 + D =
Vậyphương trình mặtphẳng (P) là: 5x – 3y + 2z =
Chọn C
Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB, biết
A(2;3;-4), B(4;-1;0)
A (P): 3x + y – 2z + = B. (P): 3x + y – 2z – =
C. (P): x – 2y + 2z – = D. (P): x – 2y + 2z + =
Hướngdẫn
Mặtphẳng trung trựccủađoạnthẳng AB mặtphẳngđi qua trung điểmcủa AB vng góc với AB
Gọi I trung điểmcủa AB Khi đótọađộđiểm I là:
2
2
3
1 3;1;
2
4
2
A B I
A B I
A B I
x x
x
y y
y I
z z
z
Vì (P) AB n P / /AB2; 4; 4 2 1; 2; 2 Chọn nP 1; 2; 2
Phương trình mặtphẳng (P) là:
1.(x – 3) – 2.(y – 1) + 2.(z + 2) = 0x – 2y + 2z + =
Chọn D
Ví dụ 6: trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;-2;4), B(3;2;-1), C(-2;1;-3)
A. (P): x – 2y + 4z – =0 B. (P): 13x – 29y – 18z + =0
C (P): x – 2y + 4z + =0 D (P): 13x – 29y – 18z – =0
(117)Trang
Hướngdẫn
Mà AB2; 4; 5 , AC 3;3; 7
4 5 2
, ; ; 13; 29;18
3 7 3
AB AC
Phương trình mặtphẳng (P) qua ba điểm A, B, C có VTPT n AB AC, 13; 29;18
Phương trình củamặtphẳng (P) là:
13.(x – 1) – 29.(y+2) – 18.(z – 4) = 013x – 29y – 18z + =
Chọn B
Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ vng góc với hai
mặtphẳng (Q): 2x – y + 3z – = (R): x + 2y +z =
A. (P): 7x – y – 5z = B (P): 7x – y + 5z =
C. (P): 7x + y – 5z = D (P): 7x – y + 5z =
Hướngdẫn
Mặtphẳng (Q) mặtphẳng (R) có vectơ pháp tuyếnlầnlượt nQ 2; 1;3 ,
1; 2;1 R
n Vì
P Q P Q, R P R
P Q n n
n n n
P R n n
1 3 2
, ; ; 7;1;5
2 1 1
Q R
n n
Phương trình mặtphẳng (P) qua gốctọađộ có vectơ pháp tuyến nP 7;1;5 là: -7(x – 0) + 1(y – 0) + 5(z – 0) = -7x + y + 5z = 7x – y – 5z =
Chọn A
Ví dụ 8: Viếtphương trình mặtphẳng di qua A(2;-1;3) giao tuyến hai mặtphẳng x – y + z – = y + 2z +4 =
A. 2x + 3y – 2z – = B -9x + 11y – 5z + 44 =
C 2x + 3y – 2z + = D -9x + 11y – 5z – 44 =
Hướngdẫn
Xét hệgồm hai mặtphẳng:
2z
x y z y
Cho x = 0, ta đượchệ: 4
2z
y z y
y z
Ta có điểm D (0;-4;0) thuộc giao tuyến Tươngtự cho z = 1, ta
6
x y
Ta có điểm E(-3;-6 ;1) thuộc giao tuyến
Do đómặtphẳng mặtphẳngđi qua ba điểm A, D, E Ta có: AD 2; 3; 3, AE 5; 5; 2
D, E 9;11;
n A A
(118)Trang
Mặtphẳng qua ba điểm A, D, E nên nhận làm n vectơ pháp tuyến
Vậyphương trình mặtphẳng là: -9x + 11(y + 4) – 5z = hay -9x + 11y – 5z + 44 =
Chọn B
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến nP củamặtphẳng (P): -x + 2y + 5z – 12 = là:
A. nP 1; 2;5 B. nP 1; 2; 5 C. nP 2; 4;10 D. nP 2; 4; 10
Câu 2. Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (1;1;-1) có vectơ pháp
tuyến nP 1;1;1 là:
A. x + y – z – = B. x + y + z – = C. x + y + z – = D. x + y + z + =
Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình tổng qt củamặtphẳng (P) chứa Ox vng góc với mặtphẳng (Q): -x + 2y – 8z – =
A. (P): x – z = B. (P) x + y = C. (P): y + 4z = D. (P): 4y + z =
Câu 4. Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặtphẳng trung trực (P) củađoạnthẳng AB, biết
A (2;1;1), B (2;-1;-1)
A. (P): y + z = B. (P): x + y +z – =
C. (P): x – = D. (P): y + z – =
Câu 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm O, B (-2;-1;3), C (4;-2;1)
A. (P): 5x + 14y + 8z – = B. (P): 5x + 14y + 8z +1 =
C. (P): 5x + 14y + 8z = D. (P): 5x + 14y + 8z +3 = Đáp án:
1 – B – B – D – A – C
Dạng 2: Phương trình đoạnchắn
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặtphẳng (P) song song vớimặtphẳng (Q): Vectơ
1
x y z
sau vectơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P)?
A n (1; 2;3) B.n(1; 2;3) C. 1; ;1 D.
2 n
( 6;3; 2)
n
Hướngdẫn
Mặtphẳng : 6x 2z có VTPT
1
x y z
Q y n Q 6;3; 2 Vì (P) song song vớimặtphẳng (Q) nên mặtphẳng (P) có VTPT vớimặtphẳng (Q) Do n P 6;3; 2
Chọn D
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặtphẳng (P) qua ba điểm A (0;0;3), B (0;2;0), C (6;0;0)
A. (P): x – 3y – 2z – = B (P): x + 3y + 2z – =
C. (P): x + 3y – 2z – = D (P): x + 3y + 5z + =
(119)Trang
Hướngdẫn
Mặtphẳng (P) qua ba điểm A (0;0;3), B (0;2;0), C (6;0;0) Khi phương trình mặtphẳngđoạnchắn (P) là:
1 2z
6
x y z
x y
Chọn B
Ví dụ 3: Cho điểm G (2;-1;4), viết phương trình mặt phẳng qua G, cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượttại A, B, C cho G trọng tâm tam giác ABC
A B.
6 12
x y z
2x4y z 12 0
C. 2x 4 y z 12 0 D
6 12
x y z
Hướngdẫn
Gọi giao củamặtphẳng với trục Ox, Oy, Oz lầnlượt là: A x 0;0;0, B0; ;0y0 , C0;0;z0 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
hay
3 3
A B C G
A B C G
A B C G
x x x
x
y y y
y
z z z
z 0 0 0 6 3 12 x x y y z z
Vậyphương trình mặtphẳng là: hay
6 12
x y z
2x 4 y z 12 0
Chọn B
Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (-1;2;4) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C cho OA=OB=OC
A. (P): x + y – z + = B. (P): x + y + z – =
C. (P): x + 2y + z – = D (P): x + 2y + 3z – 15 =
Hướngdẫn
Mặtphẳng (P) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C, nên tọađộ điểm A, B, C lầnlượt
là: A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) với a,b,c > Mà ta có OA=OB=OC nên a b c a b c Khi đóphương trình mặtphẳng (P) là: x y z a b c
Mà M P a
a a a a
Vậyphương trình mặtphẳng (P) là:
5 5
x y z
x y z
Chọn B
Ví dụ 5:Phương trình mặt phẳng qua điểm M (2;3;1) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại A, B, C cho thể tích tứdiện OABC đạt giá trịnhỏnhất có dạng ax + by + cz – 18 = Tính tổng ab – c ?
A 9 B. C. 16 D 1
(120)Trang
Hướngdẫn
Mặtphẳng cắt ba tia Ox, Oy, Oz ba điểm A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) Do đóphương trình mặtphẳng là: x y z (a,b,c > 0) (1)
a b c
Mặtphẳng qua M nên ta có 1 (2)
a b c
Ta có:
3
OABC OBC
V OA S abc
Áp dụngbấtdẳngthức Cauchy cho ba sốdương ; ; ta có:2
a b
1 c
, hay
3
2
1
a b c abc
162 27
6
abc abc VOABC 27
Do Min VOABC 27
Dấubằngxảy hay
2
2
1
a b c
a b c
6
2 1
9
3
a b
a b c
c
Vậy thể tích tứdiện OABC đạt giá trị nhỏ VOABC 27 mặt phẳng có phương
trình là: 18
6
x y z
x y z
Do a = 3, b = 2, c = ab – c =
Chọn B
2 Bài tậptựluyện
Câu 1: Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặtphẳng (P) qua ba điểm A (-5;0;0), B (0;1;0), C (0;0;7)
A (P): 7x + 35y – 5z + 35 = B. (P): 7x – 35y – 5z + 35 =
C (P): 7x – 35y + 5z + 35 = D (P): 7x – 35y – 5z – 35 =
Câu 2: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (-1;2;4) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C cho OA = OB = OC
A (P): x + y – z + = B. (P): x + y + z – =
C. (P): x + 2y + z – = D. (P): x + 2y + 3z – 15 =
Câu 3: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (4;-3;1) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C cho tam giác ABC
A. (P): x + y + z – = B. (P): x + 2y + z – =
C. (P): x + 2y + 2z – 12 = D. (P): x + 2y + 3z – 16 = Đáp án:
1 – C – B – A
Dạng 3: Vị trí tươngđốicủa hai mặtphẳng
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặtphẳng (P): 2x – y + 2z – = Mặtphẳng sau vng góc với (P)?
(121)Trang
A x – 4y + z – = B x + 4y – z – =
C. –x + 4y + z – = D x + 4y + z – =
Hướngdẫn Mặtphẳng (P) có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 2
Mặtphẳng x + 4y + z – = có vectơ pháp tuyến n 1; 4;1
Ta có n P n 0 n P n (P) vng góc vớimặtphẳng x + 4y + z – =
Chọn D
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x y z 0và Tìm m để (P) song song với (Q)
Q : 2x my2z 0
A. Không tồntại m B.m = -2 C m = D. m =
Hướngdẫn
Hai mặtphẳng (P) (Q) song song với 1 1
2 m 2
Do khơng tồntại m thỏa mãn yêu cầuđề
Chọn A
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 2 y mz 9 Với giá trị m hai mặtphẳng vng góc với nhau?
Q : x2m1y z
A. m = -1 B m = C m = D. m =
Hướngdẫn Mặtphẳng (P) có vectơ pháp tuyến n 1; 2;m
Mặtphẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n 1; 2m1;1
Hai mặtphẳng (P) (Q) vng góc với n n 0 1.1 2 m 1 m.1 0 m 1
Chọn A
2 Bài tậptựluyện
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x + y – 2z – = 0, (R): x – y + = Khẳngđịnh sau sai?
Q x y z: 2
A. (R) vng góc với (Q)
B. (P) vng góc với (Q)
C. (R) vng góc với (P)
D. (P), (Q), (R) đôimột song song với
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): nx + 7y – 6z + = song song với Khi giá trịcủa m, n là:
Q : 3x my 2z 7
A. 7, B C D
3
m n 9,
3
m n 7,
3
m n 3,
7
m n
Đáp án:
1 – D – C
(122)Trang 10 Dạng 4: Các tốn liên quan tới góc khoảng cách
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : 2x 2 y z 11 0 Khoảng cách hai mặtphẳngđóbằng:
Q : 2x+2y z 4
A. B 5 C 7 D.
Hướngdẫn
Ta có n P 2; 2; 1 n Q P / / Q d P , Q d M P , với M Q
Ta lấy M 1; 1;0 Q
2
2
2 11
, ,
2
d P Q d M P
Chọn B
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 2z 0 , lậpphương trình mặt phẳng
(Q) song song vớimặtphẳng (P) cách mặtphẳng (P) mộtkhoảngbằng
A Q : 2x y 2z24 0 Q : 2x y 2z30 0
B Q : 2x y 2z30 0 Q : 2x y 2z18 0
C Q : 2x y 2z18 0
D Q : 2x y 2z30 0
Hướngdẫn
Vì mặtphẳng (Q) song song vớimặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, nên mặtphẳng (Q) có phương trình
dạng 2x y 2z D 0
Ta có d P , Q d M Q , 9 với M mộtdiểmbất kì thuộc (P)
Lấy M (0;-3;0) P , ta có:
2
2
2.0 2.0 24
, 9 27
30
2
D D D
d M Q D
D
Vậyphương trình mặtphẳng (Q) là: 2x y 2z24 0 2x y 2z30 0
Chọn A
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x y z Điểmnằm trục Oy cách hai mặtphẳng (P), (Q) có tọađộ là:
Q x y z: 5
A. (0;2;0) B (0;-2;0) C (0;3;0) D. (0;-3;0)
Hướngdẫn Giảsử M (0;y;0) Oy ; ,
3
y
d M P
;
3
y
d M Q
, , 5
1
3
y y y y
d M P d M Q y
y y
Vậy M (0;2;0)
Chọn A
(123)Trang 11
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0;2), B (0;-1;2) mặt phẳng
Tìm tọađộđiểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏnhất
P : x 2 y2z12 0
A. M2; 2;9 B ; 18 25;
11 11 11
M
C. 7 31; ; D
6
M
2 11 18
; ;
5 5
M
Hướngdẫn
Cách 1: Thay tọađộ A (1;0;2), B (0;-1;2) vào phương trình mặtphẳng (P), ta thấy P(A).P(B) > nên hai
điểm A, B phía vớiđốivớimặtphẳng (P)
Gọi A điểmđốixứngcủa A qua (P) Ta có MA MB MA MB A B
Nên MA MB nhỏnhấtbằng A B M A B P
Phương trình đườngthẳng AAđi qua A (1;0;2) vng góc với
(P) AA:
2 2
x t
y t
z t
Gọi H hình chiếu vng góc A lên (P) H AA P
Giải phương trình + t +2.2t – 2(2-2t) + 12 = t = -1 0; 2; 4
H
điểmđốixứngcủa A qua (P) H trung điểm
A AA A 1; 4;6
Phương trình đườngthẳng A B qua B (0;-1;2) có VTCP A B 1;3; 4 là:
;
2
x t
A B y t
z t
nên giảiphương trình t + 2(-1 + 3t) – 2(2 – 4t) +12 =
M A B P
5 t
Vậy 2; 11 18;
5 5
M
Cách 2: Do điểm M thuộc (P) nên thếtọađộđiểm M đáp án vào phương trình mặtphẳng (P) ta loại đáp án B
Với M2; 2;9 ta có MA MB 54 62 15
Với 7 31; ; ta có
6
M
11 41 5441
12
12 12
MA MB
Với 2; 11 18; ta có
5 5
M
3 26 26
5
5 65
MA MB
Chọn D
Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A (3;1;1), B (7;3;9), C (2;2;2) mặt phẳng
Tìm tọađộđiểm M mặtphẳng (P) cho nhỏnhất
P : x y z MA2MB3MC
(124)Trang 12
A. 13; 16; B C D.
9 9
M
13 16 ; ; 9
M
13 ; ; 7
M
13
; ;
7 7
M
Hướngdẫn
Cách 1: Gọi I điểmthỏa mãn IA2IB3 IC 0 IA2 IA AB 3 IA AC 0
1 23 13 25
; ;
3 6
AI AB AC I
Mặt khác:
2 2( ) 3( ) ( ) 6
MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI IA IB IC MI MI
Do MA2MB3MC nhỏnhất MI nhỏnhất hay M hình chiếucủa I lên mặtphẳng (P) Dùng cơng thức tính nhanh tọađộ hình chiếu ta 13; 16;
9 9
M
Chú ý: Cơng thức tính nhanh tọađộ hình chiếu vng góc M (x;y;z) củađiểm I x y z 0; ;0 lên mặtphẳng
(P): ax + by + cx + d = là:
0
0 2
0
0 2
0
0 2
( )
( )
( )
a ax by cz d
x x
a b c
b ax by cz d
y y
a b c
c ax by cz d
z z
a b c
Cách 2: Do điểm M thuộc (P) nên thếtọađộđiểm M đáp án vào phương trình mặtphẳng (P) ta loại đáp án B, D
Với 13; 16; ta có
9 9
M
2 2
50 20 56 6036
2 26
3 3
MA MB MC
Với 13 6; ; ta có
7 7
M
2 2
2 18 20 788 28
MA MB MC
Chọn A
2 Bài tậptựluyện
Câu 1: Mặtphẳng (Q) qua A (1;-2;-5) song song vớimặtphẳng (P): x – y + = cách (P) mộtkhoảng bằng:
A 4 B 2 C 2 D
Câu 2: Trên mặt phẳng Oxy điểm E có hồnh độ 1, tung độ ngun cách hai mặt phẳng
, Tọađộcủa E là:
P : x 2 y z 1 Q : 2x y z
A (1;4;0) B (1;-4;0) C. (1;0;4) D. (1;0;-4)
Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P x: 4y8z12 0 , Q : xmz0 Tìm số nguyên m để ((P),(Q)) = 45
A. 10 B. C D.
Đáp án:
1 – C – B – B
(125)Trang 13
PHẦN 3: BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu 1: Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình tổng qt củamặtphẳng (R) chứatrục Oz
A. R :Ax By D 0 B. R :Ax By 0
C. R By Cz D: 0 D. R By Cz: 0
Câu : Trong không gian Oxyz, lậpphương trình tổng quát củamặtphẳng (P) chứa Oy vng góc với mặtphẳng Q x y z: 1
A. P x y: 0 B. P :y4z0
C. P x z: 0 D. P x y: 0
Câu 3: Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình mặtphẳng (P) qua điểm M (1;-2;3) song song với phươngcủa hai vectơa3; 1; , b0;3; 4
A. P x: 2y3z 53 0 B. P x: 2y3z + 53 0
C. P : 2x12y9z + 53 0 D. P : 2x12y9z 53 0
Câu 4: Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, xác địnhcặp giá trị (k;m) để cặp mặt phẳng sau
song song với nhau: 2x + ky + 3z – = , mx – 6y – 6z – =
A. (3;-4) B. (4;-3) C. (-4;3) D. (4;3)
Câu 5: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) qua A (1;3;-2) vng góc với đườngthẳng BC với B (0;2;-3) C (1;-4;1)
A. P x: 6y4z 25 0 B. P x: 6y4z 25 0
C. P x: 3y2z 25 0 D. P x: 3y2z 25 0
Câu 6: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A (0;1;1), B (-1;0;2) vng góc vớimặtphẳng (Q): x – y + z + = là:
A. (P): x + y + = B. (P): y + z – =
C. (P): x – y + z = D. (P): x + y + z – =
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3;2;-1), B (5;-2;-1), C (-3;8;1) Gọi M, N, P trung điểmcủa ba cạnh AB, BC, CA Phương trình mặtphẳng (MNP) là:
A. (MNP): 2x – y – 3z – = B. (MNP): -2x + y – 3z + =
C. (MNP): 2x + y + 3z – = D. (MNP): 2x – y + 3z + =
Câu 8: Tồn mặt phẳng (P) vng góc với hai mặt phẳng :x y z 1 0, cho khoảng cách từgốctọađộđếnmặtphẳng (P) ?
: 2x y 3z 4 26
A. B. C. D. Vô số
Câu 9: Trong không gian tọađộ Oxyz, cho hai điểm A (0;0;-3), B (2;0;-1) Tìm tọađộđiểm M thuộcmặt phẳng (P) : 3x – y – z + = để tam giác MAB
A. M0; 2; 1 2; 2; B.
3 3
M
M0; 2; 1
3 10
; ;
2
M
C. M0; 2; 1 17 1; ; D.
3 6
M
2
; ;
3 3
M
2 10 ; ; 3
M
(126)Trang 14
Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c), b > 0, c > mặt phẳng (P): y – z + = Xác định b,c biếtmặtphẳng (P) vng góc với (ABC) khoảng cách từ O đến
(ABC)
3
A. b = c = B C. b = c = D. b = c =
2
b
2 c Đáp án
1 – B – C – D – A – A – B – C – C – A 10 – B
(127)Trang CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM 1 Vectơchỉphươngcủađườngthẳng
Vectơ u a b c ; ; gọi vectơ phương (VTCP)
của đường thẳng d đường thẳng d song song với giá củavectơ u
Nhận xét: Nếu ulà vectơ phương đường thẳng d k (ku 0) vectơ phươngcủa d
2 Phương trình tham sốcủađườngthẳng
Phương trình đường thẳng d qua Ax ; y ; z0 0 0, VTCP u a b c ; ; có phương trình tham số là:
0 0
;
x x at y y bt t z z ct
Ví dụ:
Phương trình đường thẳng d qua A2;5; 3 , VTCP u2;1; 2 có phương trình tham số là:
2 ;
3
x t y t t z t
3 Phương trình tắc
Phương trình đường thẳng d qua Ax ; y ; z0 0 0, VTCP u a b c ; ; , (a,b,c0) có phương trình
tắc là:
0 0
x x y y z z a b c
Phương trình đường thẳng d qua A2;5; 3 , VTCP u2;1; 2 có phương trình tắc là:
2 2
x y z 4 Vị trí tươngđốigiữađườngthẳng mặtphẳng
Cho mặtphẳng :Ax By Cz D 0 có vectơ pháp tuyến n ( ; ; )A B C
Đườngthẳng d qua , VTCP
0 0
x x at y y bt z z ct
x ; y ; z0 0
M u a b c ; ;
Phương pháp Phương pháp
cắt d
( ) n u 0 Aa Bb Cc 0
0 0
0
/ /
0 Aa Bb Cc
n u d
Ax By Cz D M
Giảiphương trình:
A(x0 + at)+B(y0 + bt)+C(z0 + ct)+D=0 (1)
Phương trình (1) có mộtnghiệm ( )
cắt d
Phương trình (1) vơ nghiệm / /d
(128)Trang
0
0
d
0 Aa Bb Cc
n u
Ax By Cz D M
Phương trình (1) vơ sốnghiệm d
6 Vị trí tươngđốigiữa hai đườngthẳng
Cho hai đườngthẳng:
d1đi qua M1(x1;y1;z1), có vectơchỉphương
1 1; ;;1
u a b c
d2đi qua M2 (x2;y2;z2), có vectơchỉphương
2 2; ;;2
u a b c
d1 d2 chéo u u1, 2.M M1 0
d1 d2đồngphẳng u u1, 2.M M1 0
d1 d2cắt
1 2
1
,
,
u u M M u u 1 2
2
,
/ /
,
u u d d
u M M 1 2
2
,
,
u u d d
u M M
Ví dụ:
Cho đườngthẳng:
1
3 :
x t
d y t
z t :
20
x t
d y t
z t
d1đi qua M1(-3;-2;6), có vectơchỉphương
1 2;3;
u
d2đi qua M2 (5;-1;20), có vectơchỉphương
2 1; 4;1
u
1, 19; 2; 11
u u
1 8;1;14
M M
1, 19.8 2.1 11.14
u u M M
Do d1 d2cắt
7 Góc hai đườngthẳng
Cho hai đườngthẳng:
d1 qua M1(x1;y1;z1), có vectơchỉphương
1 1; ;;1
u a b c
d2đi qua M2 (x2;y2;z2), có vectơchỉphương
2 2; ;;2
u a b c
Góc đườngthẳng d1 d2
0
1
1 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 2
, , ,90
cos
d d
u u a a b b c c
u u a b c a b c
Góc đườngthẳng d1 d2
0
1
1
2 2 2
1
, , ,90
2.1 3.( 4) 4.1 6 cos
522 ( 4)
d d u u u u
8 Góc giữađườngthẳng mặtphẳng.
Cho mặtphẳng : Ax+By+Cz+D=0 có vectơ
pháp tuyến n A B C; ; ;
Đườngthẳng d qua M(x0;y0;z0) có vectơchỉ
Ví dụ:
Cho đườngthẳng d: 1 3và mặt
1 2
x y z
phẳng (P): 2x - 2y + z – = Sin góc d (P) là:
(129)Trang
phương u a b c; ; ; Góc
0
2 2 2
, , ,90
sin
d
n u Aa Bb Cc
n u a b c A B C
Ta có u 1; 2; 2 là vec tơchỉphươngcủađường thẳng d n2; 2;1 là vectơ pháp tuyếncủamặt phẳng (P) u n 2 4
sin ,( ) cos ,
9
n u d P u n
n u
9 Khoảng cách từmộtđiểmtớimộtđườngthẳng
Đườngthẳng d qua M(x0;y0;z0) có vectơchỉ
phương u a b c; ; ;
Khoảng cách từđiểm A(x1;y1;z1) đếnđườngthẳng d là:
, u MA
d A d
u
Ví dụ:
Cho điểm A(-2;2;3) đườngthẳng
Khoảng cách từ A đến
1 :
2
x y z
đườngthẳng là:
Lấyđiểm M(1; 2;1) MA ( 3;0; 2)
Ta có u (2; 2;3)là vectơchỉphươngcủađường thẳng
, ( 4;13; 6) , , 13 MA u MA u d A u
10 Khoảng cách hai đườngthẳng chéo nhau d1 qua M1(x1;y1;z1), có vectơchỉphương
1 1; ;;1
u a b c
d2đi qua M2 (x2;y2;z2), có vectơchỉphương
2 2; ;;2
u a b c
Gỉasử d1,d2 chéo nhau, đó:
2
1
1
, ,
,
u u M M d d d
u u
Khoảng cách hai đườngthẳng d1:
2 1 x t y t z d2: 2 Lấyđiểm
1 1
x y z
và chọn làm vectơchỉ
1(1; 1;1)
M d u1 2;1;0
phươngcủađườngthẳng d1, điểm M2(2; 2;3) d2
và chọn u2 1;1;1 làm vectơchỉphươngcủa đườngthẳng d2
1
1
1 2
1
1
(1; 1; 2) , (1; 2;3)
, 9 9 14
, 14 14 , M M u u
u u M M d d d
u u
PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH
(130)Trang 1 Tọađộ hình chiếucủamộtđiểm lên trụctọađộ
Cho điểm A(x0;y0;z0), hình chiếu vng góc A lên trụctọađộ Ox, Oy, Oz lầnlượt điểm có tọađộ M(x0;0;0), N(0;y0;0), P(0;0;z0)
Cho điểm A(x0;y0;z0), hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) điểm có tọađộ M(x0;y0;0), N(0;y0;z0), P(x0;0;z0)
2 Hình chiếu H điểm A’ đốixứngvới A qua mặtphẳng (P). Cho điểm A(x0;y0;z0) mặtphẳng (P): Ax+By+Cz+D=0, A (P). Hình chiếu H A lên mặtphẳng (P) là:
0 0
H
H
H
x x At y y Bt z z Ct
Điểm A’ đốixứngvới A qua mặtphẳng (P) là:
'
'
'
2 2 A
A
A
x x At
y y Bt
z z Ct
Vớihằngsố 0
2 2
Ax By Cz D t
A B C
3 Mặtphẳng phân giác hai mặtphẳng giao nhau
Xét mặtphẳng :a x b y c z d1 1 1 10; :a x b y c z d2 2 2 2 0 Khi đóphương trình mặtphẳng phân giác góc tạobởi là:
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2
a x b y c z d a x b y c z d
a b c a b c
4 Phương trình đường phân giác tam giác Xét tam giác ABC, đóđường phân giác góc A có VTCP là:
1
u AB AC AB AC
Đường phân giác ngồi góc A có VTCP là: 1
u AB AC AB AC
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viếtphương trình đườngthẳng
1 Phương pháp giải
Các trườnghợp hay gặpcủaphương trình đườngthẳng
Trườnghợp 1: Phương trình đườngthẳng qua hai điểm A,B, VTCP củađườngthẳng u AB
Trường hợp 2: Phương trình đường thẳng qua qua M, song song với đường thẳng ,
VTCP củađườngthẳng d u d u
Trườnghợp 3: Phương trình đường thẳng qua qua M, vng góc vớimặtphẳng (P), VTCP
củađườngthẳng d u n ( )P
(131)Trang
Trường hợp 4: Phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng cắt (P) (Q) qua
điểm A tìm cách giảihệphương trình ( )vớiviệcchọn giá trịbấtkỳ cho mộtẩn.Vectơchỉ
( ) P Q
phương u n ( )P ,n( )Q
Trườnghợp 5: Phương trình đườngthẳngđi qua điểm M vng góc với hai đườngthẳng d1 d2, VTCP củađườngthẳng d
1, d d u u u
Trườnghợp 6: Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc cắtđườngthẳng H hình
chiếucủa M đườngthẳng d, đóphương trình đường d có VTCP u MH
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, điểm dướiđâythuộcđườngthẳng d: 2? 1
x y z A N(2;-1;2) B M(-2;-2;1) C P(1;1;2) D Q(-2;1;-2)
Hướngdẫn
Thay tọađộđiểm N vào đườngthẳng d ta 2 1 nên điểm N không thuộc d 1
Thay tọađộđiểm M vào đườngthẳng d ta 2 nên điểm M không thuộc d 1
Thay tọađộđiểm P vào đườngthẳng d ta 1 nên điểm P không thuộc d 1
Thay tọađộđiểm Q vào đườngthẳng d ta 2 1 2 nên điểm Q thuộc d 1
Chọn D
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho đườngthẳng d: Vectơ vectơchỉphương
4
x y z
củađườngthẳng d?
A u (1; 2;0) B u ( 1; 2;0) C u(4; 1;5) D.u (4; 1; 5)
Hướngdẫn
Ta có phương trình đườngthẳng d:
x y z
Nên mộtvectơchỉphươngcủađườngthẳng d u (4; 1; 5) Chọn D
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tham sốcủađường thẳng d qua hai điểm A(1;2;3) B(2;1;1) là:
(132)Trang A B C D
1 :
3
x t
d y t
z t : x t
d y t
z t : x t
d y t
z t : x t
d y t
z t Hướngdẫn
Ta có A B d, AB d u AB(1; 1; 2)
Phương trình đườngthẳng d qua hai điểm A(1;2;3) có VTCP u(1; 1; 2) là:
1 :
3
x t
d y t
z t Chọn B
Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng d qua điểm M(2;-1;3) vng góc với mặtphẳng (P): x + 6y - 4z - 1=0 là:
A B x t y t z t :
3
x t
d y t
z t C D
1
x y z
2
x y z
Hướngdẫn
Đườngthẳng d vng góc vớimặtphẳng (P): x + 6y - 4z - 1=0, nên ta có u d nP (1;6; 4) Khi đóphương trình đườngthẳng d qua điểm M(2;-1;3) có VTCP ud (1;6; 4) là:
hay x t y t z t
2
x y z
Chọn C
Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tham số củađường thẳng d qua điểm N(-1;2;-3) song song vớiđườngthẳng : 1
2
x y z
A B C D
: 2 3
x t
d y t
z t : 2
3
x t
d y t
z t : 2
3
x t
d y t
z t : 2
3
x t
d y t
z t Hướngdẫn
Vì đường thẳng d song song với đường thẳng : 1 , nên đường thẳng d có VTCP 2
x y z
(2; 2; 3)
d
u u
(133)Trang
Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm N(-1;2;-3) có VTCP u d u (2; 2; 3)
: 2 3
x t
d y t
z t
Chọn D
Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 1
x y z
Phương trình đườngthẳng nằm (): x + 2y - 3z – = cắt hai đường thẳng d1
2
1
:
1
x t
d y t
z t
và d2
A B 1
x y z
3 1
x y z C D
5 1
x y z
8 3
x y z
Hướngdẫn Gọi d đườngthẳngcần tìm
Gọi A d 1 ( ) , ta có:
1 (2 ;1 ;1 ),
( ) 2(1 ) 3(1 ) (3; 2; 1)
A d A a a a
A a a a a A
Gọi B d 2( ) , ta có:
1 (1 ; ; ),
( ) 2( b) 3( b) ( 2; 1; 2)
B d B b b b
B b b B
d qua điểm A(3;-2;-1) có vectơchỉphương AB ( 5;1; 1)
Vậyphương trình tắccủa d 1
x y z Chọn C
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : mặtphẳng (P): x+y-z+1=0 2
x y z
Đườngthẳng d nằm (P) đồngthờicắt vng góc với có phương trình là: A B C D
1 x t y t z t x t y t z t 2 x t y t z t x t y t z t Hướngdẫn
Đườngthẳng d nằm (P) đồngthờicắt vng góc với nên d có vectơchỉphương là:
(134)Trang
( ), (1; 3)
d P
un u
Gọi M (P), ta có: (2 1; ; 2),
(P) (2 2) (3; 2; 2)
M M t t t
M t t t t M
Tọađộ giao điểmcủa (P) M(3;-2;2), d qua M(3;-2;2)
Vậyphương trình d x t y t z t Chọn D
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) nhận vectơ
làm vectơchỉphương là: (4;0; 2)
u
A. B. C. D.
1 :
3 x t d y z t : x t d y z t : x t d y z t :
3 x t d y z t
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-1;3), B(4;3;-1), C(3;-2;3) Phương trình đườngthẳng d
đi qua điểm A song song với BC là:
A. B.
4 :
1
x t
d y t
z t :
3
x t
d y t
z t
C. : 1 D.
7
x y z
d :
x y z d
Đáp án:
1-A 2-B
Dạng 2: Hình chiếu vng góc 1 Phương pháp giải
Để tìm giao điểm đường thẳng d: mặt phẳng (P):
0 0
x x y y z z a b c
Ax+By+Cz+D=0
Bước 1: Gọi H d (P)
H thuộc d nên gọitọađộcủa H theo ẩn t
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 3y - z + = đường thẳng d có phương
trình 1 Tìm tọađộ giao điểm H
2
x y z
mặtphẳng (P) đườngthẳng d: A H(-1;-2;2) B H(1;-2;4) C H(1;0;-1) D H(1;0;9)
Hướngdẫn Gọi H thuộcđườngthẳng d H(2t+1;2t;-3t-1)
(135)Trang H(x0+at;y0+bt;z0+ct)
Bước 2: Thay tọa độ H vào mặt phẳng (P): A(x0+at)+B(y0+bt)+C(z0+ct)+D=0 giải ẩn t
Từđó ta tìm giao điểm H
Để tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng (P) ta làm theo bước sau:
Bước 1: Viếtphương trình đườngthẳng d qua M vng góc vớimặtphẳng (P), có VTCP u d n P
Bước 2: Gọi H d (P) Gọi H theo ẩn t thuộc đườngthẳng d
Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào mặt phẳng (P),
giải t, từđượctọađộđiểm H
Để tìm hình chiếu H điểm M lên đườngthẳng d ta làm theo bước sau:
Bước 1: Viếtphương trình mặtphẳng (P) qua M vng góc vớiđườngthẳng d, có VTPT n P ud
Bước 2: Gọi H d (P)
Gọi H theo ẩn t thuộcđườngthẳng d
Vì H d (P) nên
2t + + 3( 2t) – (-3t – 1) + = 11t = -11 t = -1
Do H(-1;-2;2) Chọn A
Ví dụ: Cho điểm M(-4;5;-1) mặt phẳng (P): x+y+3z-9=0 Tọa độ hình chiếu vng góc H
M mp (P) là:
A H(-3;-3;1) B H(3;3;1) C H(3;-6;-2) D H(-3;6;2)
Hướngdẫn
Đườngthẳng d qua M(-4;5;-1) vng góc với mặtphẳng (P) nên d có VTCP ud (1;1;3)
Phương trình đườngthẳng d là:
4
1
x t
y t
z t
Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d H d (P)
Vì H thuộc d H(-4+t;5+t;-1+3t)
H (P) (- - t) + ( + t) + 3(-1 + 3t) - 9=0 11t-11=0 t=1 H(-3;6;2)
Chọn D
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1) đường thẳng d có phương trình Điểm H(a;b;c) hình chiếu
14
x y z
vng góc điểm A lên đường thẳng d Tính
tổng a+b+c:
A B C D
Hướngdẫn
Phương trình mặt phẳng (P) qua A, vng góc với
d có VTPT n P ud (4;1; 2) 4(x-1) + 1(y-1) – 2(z-1)=0 4x + y – 2z – =
Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d H d (P)
Gọi H thuộc d H(14+4t;t;-5-2t)
(136)Trang 10
Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào mặt phẳng (P),
giải t, từđó tìm đượctọađộđiểm H
H (P) 4( 14 + 4t) + t - 2(-5 -2t) - 3=0 21t = -63 t = -3
Vậy H(2;-3;1)
Do a=2; b= -3; c=1 a+b+c=0 Chọn C
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tọađộđiểmđốixứngcủa M(-3;1;-1) qua đườngthẳng d:
4 x t y t z t
A (-2;-5;-3) B (2;-5;3) C (5;-7;-3) D (5;-7;3)
Hướngdẫn
Phương trình mặtphẳng (P) qua M, vng góc với d có VTPT n P ud (3; 4; 2) 3(x + 3) + 4(y - 1) + 2(z + 1) =
3x + 4y + 2z + =
Điểm H hình chiếu vng góc M lên đườngthẳng d nên có tọađộ H(4+3t;1+4t;3+2t) H (P) 3(4 + 3t) +4(1 + 4t) + 2(3 + 2t) + = t = -1 H(1;-3;1)
M’ đốixứngvới M qua d nên H trung điểmcủa MM’
' ' ' ' ' '
2 2 5
2 2 M M H
M H M
M M
H M H M
M H M
M M
H
x x x
x x x y y
y y y y z z z z z z
Vậy M’(5;-7;3) Chọn D
Ví dụ 2: Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d: mặtphẳng (P): 2 x t y t z t
x-y+z-1=0 Phương trình đườngthẳng hình chiếu vng góc d (P) là: A B C D
2 x t y t z t 2 x t y t z t 2 x t y t z t 2 x t y t z t Hướngdẫn Gọi () mặtphẳngchứa d vng góc với (P)
Cặp VTCP () ud ( 1; 2; 1), n P (1; 1;1) n u n d, P (1;0; 1)
(137)Trang 11
Chọn M(1;2;-1) d (): x – z - 2=0
Khi đó’ cần tìm giao tuyếncủa (P) () nên thỏa mãn hệ
2 x y z x z
Đặt x = t, ta có phương trình tham sốcủa 2 x t y t z t
Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 12 cắtmặt phẳng
4
x y z (P): 3x + 5y – z – = tạiđiểm A có tọađộ là:
A. (2;0;4) B. (0;1;3) C. (1;0;1) D. (0;0;-2)
Câu 2. Cho điểm A(6;2;-1) hai đườngthẳng M, N lầnlượt
1
d : ; ' :
1 2
1
x t
x y z
d y t
z hình chiếu vng góc A đườngthẳng d d’ Độ dài MN là:
A. MN 13 B. MN 31 C. MN 3 D. MN 41
Câu 3. Cho đường thẳng d : mặt phẳng (P): 4x-y-z+7=0 Phương trình đường thẳng
7
x y z
d’ hình chiếucủađườngthẳng d lên mặtphẳng (P) là:
A. B. C. D.
1 ' :
x t
d y t
z t ' :
2
x t
d y t
z t ' :
3
x t
d y t
z t ' :
5 x t
d y t
z t Đáp án:
1-D 2-C 3-B
Dạng 3: Vị trí tươngđối
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, giá trịcủa m đểđườngthẳng d: song song vớimặt
3
x y z m
phẳng (P): x – 3y + 6z = là:
A m = -4 B m = -3 C m = -2 D m =
Hướngdẫn Đườngthẳng d có vec tơchỉphương u (3; ; 2)m
Mặtphẳng (P) có vectơ pháp tuyến n (1; 3;6)
/ /( ) 3 12
d P u n u n m m
Vậy giá trị m cần tìm m = -3
(138)Trang 12 Chọn B
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): (d’):
x y z
Vị trí tươngđốicủa đườngthẳng d d’ là: x t y t z t
A d d’ song song với B d d’ trùng C d d’ cắt D d d’ chéo
Hướngdẫn
Ta có (d): 4 2
x y z x y z
Đườngthẳng d qua M(2;-4;1) có vectơ chỉphương u(2;3; 2) , đường thẳng d’ qua M’(0;1;-1) có vectơchỉphương u' (4;6; 4) MM' ( 2;5; 2)
u u , ' phương u MM , ' không phương
Vậy d d’ song song với Chọn A
Ví dụ 3: Trong khơng gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng (d): (d’): 1 x mt y t z t ' 2 ' ' x t y t z t Tìm tấtcả giá trịcủa m để d cắt d’
A m = B m = C m = D m = -1
Hướngdẫn
Đườngthẳng d qua M(1;0;-1) có vectơchỉphương u(m;1; 2)
Đườngthẳng d’ qua M’(1;2;3) có vectơchỉphương u ( 1; 2; 1) MM' (0; 2; 4) Ta có: u u , ' ( 5; m 2; m 1), , ' u u MM ' 10 m
d cắt d’
5
, ' 2 0
0
, ' '
10
u u m
m m
u u MM
m Chọn A
2 Bài tậptựluyện
Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): (d’): Khẳngđịnh
3 2 x t y t z t ' ' 20 ' x t y t z t
nào sau đâyđúng:
A Đườngthẳng d trùng vớiđườngthẳng d’
(139)Trang 13 B. Hai đườngthẳng d d’ chéo
C Đườngthẳng d song song vớiđườngthẳng d’ D.Đườngthẳng d cắtđườngthẳng d’
Câu 2. Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, đườngthẳng vuông góc vớimặtphẳng
x y z
mặtphẳng sau đây:
A 6x – 4y – 2z + = B. 6x + 4y + 2z + = C. 6x – 4y + 2z + = D. 6x + 4y – 2z + =
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 5, d’:
x y z
Vị trí tươngđốicủa d d’ là: 1
4
x y z
A. Song song với B.Cắt tạiđiểm M(3;2;6) C. Cắt tạiđiểm M(3;2;-6) D. Chéo
Đáp án:
1-D 2-C 3-B
Dạng 4: Góc khoảng cách 1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’: 1
x y z Góc d d’ là:
2 2017 1
x y z
A 30o B 45o C 60o D 135o
Hướngdẫn
Ta có u(1;1; 2) vectơchỉ phương củađường thẳng d u' ( 1;1; 2) vectơchỉ phương đườngthẳng d’ u u ' 1 2
'
cos( , ') cos , '
2.2 '
u u d d u u
u u
Vậy (d,d’) = 30o 0o≤ (d,d’) ≤ 90o Chọn A
Ví dụ 2: Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đường thẳng (): điểm A(2;-2
x y z 5;-6) Tìm tọađộđiểm M nằm cho AM 35
A M(1;0;-1) M(5;0;-7) B M(1;-2;-1) M(5;0;-7) C M(1;-2;0) M(5;0;-7) D M(1;-2;-1) M(-3;-4;5)
Hướngdẫn
(140)Trang 14 Vì M M(1 ; 2 t t; )t AM (2 1;t t 3; 3t 5) Ta có:
2 2 (1; 2; 1)
35 (2 1) ( 3) (3 5) 35
2 (5;0; 7)
t M
AM t t t t t
t M
Chọn B
Ví dụ 3: Trong khơng gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng (d): mặtphẳng (): 1
x y z
x – 2y – 2z + = Tìm điểm A d có hồnh độ dương cho khoảng cách từ A đến () A A(0;0;-1) B A(-2;1-2) C A(2;-1;0) D A(4;-2;1)
Hướngdẫn Gọi A(2t;-t;t-1) d với t > Ta có:
,( ) 22( t) 2(t 1) 52 2 3 ( 2) ( 2)
t t
d A
(do t>0)
2
8 t t t
t A(2;-1;0)
Chọn C
Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d: , gọi đường thẳng qua điểm
1 x t y t z
A(1;2;3) vectơ phương u (0; 7; 1) Đường phân giác góc nhọn tạobởi d có phương
trình là:
A B C D 10 12 x t y t z t 10 12 x t y t z t 2 x t y t z t 11 x t y t z t Hướngdẫn
Ta có VTCP d: u1 (1;1;0), VTCP của u (0; 7; 1) Góc vectơchỉphương là: 1
1
cos , u u u u u u
Nên ta chọn VTCP d : u ( 1; 1;0)ngượchướngvới VTCP u1
Áp dụng cơng thức tính nhanh, VTCP củađường phân giác:
1 1 12
1; ; 5;12;1 5
2
m u u u u
Chọn w (5;12;1) VTCP củađường phân giác tạmgọi d’
Dễthấy d d’ qua điểm A(1;2;3) d’: 12
x y z
(141)Trang 15 Thay điểm (-4;-10;2) ởđáp án A vào thấythỏa mãn
Chọn A
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;3;1), B(2;3;5) đường thẳng : Điểm M mà MA2+MB2nhỏnhất có tọađộ:
1 1
x y z
A M(-1;0;4) B M(1;-2;0) C M(-1;-3;1) D M(2;-3;-2)
Hướngdẫn
Cách 1: Gọi I trung điểmcủađoạnthẳng AB H hình chiếucủa I lên đườngthẳng Khi ta có:
2 2 2 2
2 2 4 .
2 2
MA MB AB MI AB HI AB MI MA MB MA2+MB2nhỏnhất chỉ M trùng với H.
Ta có I(0;3;3), H thuộcđườngthẳng nên H(1-t;-2+t;2t) IH (1 ; 5t t t; 3) Do HI vng góc nên ta có HI u 0 (1 t) ( t) 2(2t 3) t
Vậy M(-1;0;4)
Cách 2: Giảsử M(-t+1;t-2;2t) d Ta có: MA2 = t2 + (t-6)2 + (2t-2)2 = 6t2 - 20t + 40
MB2 = (-t + 2)2 + (t - 4)2 + (2t - 4)2 = 6t2 - 28t + 36 Do MA2+MB2 = 12t2 - 48t + 76 = 12(t-2)2 + 28 ≥ 28.
Vậy min(MA2+MB2) = 28 t = M(-1;0;4). Chọn A
2 Bài tậptựluyện
Câu 1.Khoảng cách đườngthẳng (d): (d’): là:
2
x t
y t
z t
2
x t
y t
z t
A 4 B 2 C D.
5
2
Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + = đường thẳng d: Gọi Q mặtphẳngchứa d song song với (P) Khoảng cách hai mặtphẳng
1
x y z (P) (Q) là:
A B C D.
14
9 14 14
3 14
3 14 14
Câu 3. Trong không gian tọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d: 1 mặtphẳng (P): 1
x y z
x + y + z + = Khoảng cách giữađườngthẳng d mặtphẳng (P) bằng:
A B 8 C D.
3
8 3
3 Đáp án:
(142)Trang 16 1-B 2-B 3-C
PHẦN 4: BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho đườngthẳng (d): Vectơ vectơchỉphương
6 x t y t z t
đườngthẳng d?
A. u(1; 1; 2) B. u(1; 2;0) C. u(0; 1;6) D. u(0;1; 6)
Câu 2. Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tắccủađường thẳng d qua điểm M(1;-2;3) song song vớiđườngthẳng
1
:
3 x t y t z t
A. d : B.
2 1
x y z
1 d :
2 1
x y z
C. d : D.
2 1
x y z
1 d :
2 1
x y z
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đườngthẳng : 1 Đườngthẳng d 1
x y z
đi qua M song song với là:
A. B.
2 1
x y z
2 1
x y z
C. D.
2 1
x y z 2 1
x y z
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Đường thẳng d qua điểm
d : x t y t z điểm sau đây:
A. M(-1;6;-2) B. M(0;12;-3) C. M(1;8;1) D. M(1;18;-3)
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho đườngthẳng : 1 Điểm M thuộcđườngthẳng d có
x y z d
cao độbằng có tọađộ :
A. M(3;-2;4) B. M(4;3;-2) C. M(-2;3;-1) D. M(3;-2;4)
Câu 6. Cho điểm A(-1;0;2), B(2;1;-1), C(0;-3;4) đườngthẳng d : 11 14 D điểm
2
x y z
thỏa mãn Tọađộđiểmđốixứngcủa D qua đườngthẳng d là:
AB CD
A. ' 1; 5; B. D’(9;0;-5) C. D’(5;-3;1) D. D’(1;-6;3) 3
D
(143)Trang 17 Câu 7. Cho điểm A(2;1;-3), B(-3;5;2) đường thẳng d : Phương trình đườngthẳng
1
x y z
đốixứngvớiđườngthẳng AB qua d là:
A. B. C. D.
1 ' ' ' x t y t z t
1 ' ' ' x t y t z t
1 ' ' ' x t y t z t
1 ' ' ' x t y t z t
Câu 8.Đườngthẳng sau song song với d : 4
x y z
A. B.
1
x y z
2 4 1
x y z
C. D.
1
x y z
1 1
x y z
Câu 9. Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d: mặtphẳng (P): 1
x y z
x + y - z + m = Với giá trị m đườngthẳng d song song vớimặtphẳng (P) A. m B. m = C. m > D. m
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’: 2
x y z
1 1 2
x y z
Khoảng cách d d’ là:
A. B. C. D.
3
4
4
Câu 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;-1;3) đường thẳng d Khoảng cách 2 x t y z t
từ A đếnđườngthẳng d là:
A. B. 14 C. D.
Câu 12. Cho đường thẳng : Xác định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng
2
x y z
cách từ M đếnbằng OM với O gốctọađộ
A. (-1;0;0) (1;0;0) B. (2;0;0) (-2;0;0) C. (1;0;0) (-2;0;0) D. (2;0;0) (-1;0;0) Câu 13. Góc giữađườngthẳng mặtphẳng (P): y – z + = là:
5 d : x t y z t
A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o
Câu 14. Trong không gian tọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d : điểm A(1;7;3) Tìm
x y z
tọađộđiểm M thuộc d cho khoảng cách hai điểm A, M 30, biết M có hồnh độ ngun
(144)Trang 18 A. 51 17; ; B. (9;1;-3) C. (3;-3;1) D. (6;-1;2)
7 7 Đáp án:
1-A 2-C 3-D 4-D 5-A 6-D 7-B 8-D 9-A 10-B
11-B 12-D 13-A 14-C
(145)Trang CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRONG TÂM Phương trình tắc mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặtcầu S tâm I a;b;c , có bán kính R có phương trình là:
x a 2 y b 2 z c2 R 2
Ví dụ:
Mặtcầu S tâmI 1; 2;3 ,bán kính
Phương trình tắccủamặtcầu là:
2 2 2
x 1 y 2 z 16
2 Phương trình tổng quát mặt cầu Trong không gian Oxyz, dạng khai triển
với
2 2
x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d =
phương trình tổng quát
2 2
a + b + c d >
mặtcầu tâm I a; b; c , có bán kính
2 2
R a + b + c d
Phương trình tổng quát củamặtcầu là:
2 2
x y z 2x + 4y 6 z 2
3 Vị trí tương đối hai mặt cầu Cho hai mặtcầu:
có tâm
2 2 2 2
1 1 1
S : x a y b z c R
, bán kính
1 1
I a ;b ;c R1
có tâm
2 2 2 2
2 2 2
S : x a y b z c R
, bán kính
2 2
I a ;b ;c R2
Ta có: I I1 2 a2a1 2 b2b1 2 c2c12
Nếu: I I1 2 R1R2 , hai mặtcầu S , S1 2 lồng
nhau
Nếu I I1 2 R1R2 , hai mặtcầu S , S1 2 tiếp xúc
Nếu R1R2 I I1 2 R1R ,2 hai mặtcầu cắt theo giao tuyến đường tròn
S , S1
Nếu I I1 2 R1R2, hai mặtcầu S , S1 2 tiếp xúc
Nếu I I >R1 2 1R ,2 hai mặtcầu S , S1 2 ngồi
Ví dụ:
Cho mặtcầu: x 1 2 y 2 2 z 32 9 có tâmI 1; 2;31 , bán kính R1 3
có tâm ,
2 2 2
2
S : x y 1 z 4 I 0;1;32
bán kính R2 2 Ta có:
2 2 2
1
I I 1 1 3 10
1
R R 5
1
R R 1
Do R1R2 I I1 2 R1R2 nên hai mặtcầu cắt theo giao tuyến đường tròn
S , S1
(146)Trang 4.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu
Cho mặtcầu S tâm I a;b;c , bán kính R, có
phương trình:
2 2 2 2
S : x a y b z c R
Và mặtphẳng P có phương trình:
P : Ax By Cz D 0
Gọi H hình chiếucủa I lên mặtphẳng P Ta có:
2 2
Aa+Bb+Cc+D IH d I; P
A + B + C
Nếu IH > R, mặtphẳng P không cắtmặtcầu
S
Nếu IH R, mặtphẳng P tiếp xúc vớimặtcầu
Mặtphẳng gọi tiếpdiệncủamặtcầu
S P
S
Nếu IH < R,mặtphẳng P cắtmặtcầu S theo
thiếtdiện mộtđường trịn C có tâm H, bán kính r xác định theo cơng thức r2 R2IH2
Ví dụ:
Cho mặt cầu S tâm I 1;2;3 bán kính R =
có phương trình:
S : x2y2z22x 4y 6 z 5 0
và mặtphẳng P : x y z 0.
Gọi H hình chiếucủa I lên mặtphẳng P Ta có:
2 2
1+2+3
IH d I; P R
1 + +
Vì IH > R,mặtphẳng P không cắtmặtcầu S
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tâm bán kính phương trình mặt cầu 1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặtcầu S : x + 3 2 y + 1 2 z 12 2 Tâm S có tọa độ là:
A. 3; 1;1. B.3; 1;1 . C.3;1; 1 . D.3;1 1 .
Hướngdẫn
Mặtcầu S : x + 3 2 y + 1 2 z 12 2 có tâm I 3; 1;1 bán kính R
Chọn A
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình Tìm tọađộ tâm I bán kính R
2 2
x y z 2x 4y + 6 z 2 S
A.Tâm I1; 2; 3 bán kính R 4. B.Tâm I1; 2;3 bán kínhR 4.
C.Tâm I1; 2;3 bán kính R 4. D.Tâm I1; 2;3 bán kính R 16.
(147)Trang
Hướngdẫn
Dựa vào phương trình mặtcầu S : x2y2z22x 4y + 6 z 2 0, ta có: tâm I 1; 2; 3
bán kính R 1 222 3 2 2 16 4
Chọn A
Ví dụ 3: Phương trình S : x2y2z22mx + 4y + 2mzm25m 0 phương trình mặtcầuvớiđiều kiện m?
A. m 1. B m C D
m
m m
m 4.
Hướngdẫn
Tương ứng với dạng tổng quát x2y2z22ax + 2by + 2cz d 0, ta có phương trình
có a = m, b = , c = , d =
S : x2y2z22mx 4y 2mz m 25m 0 2 m m25m
Phương trình S phương trình mặtcầu khi: hay
2 2
a b c d 2 2 2 2 m
m m m 5m m 5m
m
Chọn C
2 Bài tập tự luyện
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z 32 16 Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu S
A. I 2; 1; , R 16. B. I 2;1; , R 4.
C. I 2; 1;3 , R 16. D. I 2; 1;3 , R 4.
Câu Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x + 1 2 y 2 2 z 32 12 Khẳng định sai khẳngđịnh sau?
A. S qua điểm N 3; 4; B. S qua điểm M 1;0;1
C. S có bán kính R 3. D. S có tâm I 1; 2;3
Câu Trong không gian vớihệtọa độ Oxyz, cho mặtcầu S : x2y2z22x 4y 0. Tìm tọađộ
tâm I bán kính R củamặtcầu S
A. I 1; 2;0 , R 3. B. I 1; 2;0 , R 4. C. I 1; 2;0 , R 3. D. I 1; 2;0 , R 4.
Đáp án:
1 B A A
(148)Trang Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu
1 Phương pháp giải
Các trườnghợp hay gặpcủaphương trình mặtcầu:
Trườnghợp 1: Mặtcầu tâm I, qua điểm A
Khi bán kính R IA xAxI 2 yAyI 2 zAzI2 Trườnghợp 2: Mặtcầuđường kính AB,
Tâm I trung điểm AB I A B; A B; A B
2 2
x x y y z z
Bán kính R IA xAxI 2 yAyI 2 zAzI2 Trườnghơp 3: Mặtcầungoạitiếptứdiện ABCD
Bước 1: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng x2y2 z22ax 2by 2cz d 0 với
2 2
a b c d
Bước 2: Vì điểm A, B, C, D thuộcmặtcầu nên ta thay tọađộcủa A, B, C, D vào đượchệphương trình
bốnẩn
2 2
A A A A A A 2
B B B B B B 2
C C C C C C 2
D D D D D D
x y z 2ax 2by 2cz d
x y z 2ax 2by 2cz d
x y z 2ax 2by 2cz d
x y z 2ax 2by 2cz d
Bước 3: Giải a, b, c, d , từđó tìm đượcphương trình mặtcầu
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho A 2;1;0 , B 2; 1; Viếtphương trình mặtcầu S có tâm B
đi qua điểm A
A S : x 2 2 y 1 2 z 22 24 B. 2 2 2
S : x 2 y 1 z 24
C S : x 2 2 y 1 2z2 24. D S : x 2 2 y 1 2 z 22 24.
Hướngdẫn
Phương trình mặtcầu S có tâm B 2; 1; 2 qua điểm A có bán kính là:
2 2 2
R AB 2 1 2 2
Vậyphương trình mặtcầu S : x 2 2 y 1 2 z 22 24
Chọn B
(149)Trang Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho A 2;1;0 , B 2; 1; Viếtphương trình mặt cầu S có đường
kính AB
A. S : x2y2 z 12 24. B S : x2y2 z 12 6.
C S : x2y2 z 12 6. D S : x2y2 z 12 24.
Hướngdẫn
Phương trình mặtcầu S có đường kính AB có
Tâm I trung điểmcủa AB I A B; A B; A B
2 2
x x y y z z
0;0;1
Bán kính
2 2
2 1
AB 24
R
2 2
Vậyphương trình mặtcầu S : x2y2 z 12 6.
Chọn C
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCO với
Tìm bán kính mặtcầu ngoạitiếptứdiện ABCO
A 1; 2; 2; , B 1; 2; , C 1;0; 1 S
A 9 B C D
2
443
443
443 10
Hướngdẫn
Gọi phương trình mặt cầu có dạng x2y2z22ax 2by 2cz d 0 vớia2b2 c2 d 0 Vì
điểm A, B, C, O thuộcmặtcầu nên ta có hệ:
2 2 2
2 2
d
1 2 2a 4b 4c d d 0
a 10
1 2a 4b 2c d 2a 4b 4c
1
2a 4b 2c = c
1 2a 2c 10
2a 2c
d 19
b 10
Vậy bán kính mặtcầungoạitiếp R a2 b2 c2 d 443.
10
Chọn D
Ví dụ 4: Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho điểm A 2; 1;0 mặtphẳng P : x 2y z 0
Gọi I hình chiếu vng góc A mặtphẳng P Viếtphương trình mặtcầu S qua điểm A có tâm I
A. S : x 1 2 y 1 2 z 12 6 B S : x 1 2 y 1 2 z 12 6
(150)Trang
C S : x 1 2 y 1 2 z 12 6 D 2 2 2
S : x 1 y 1 z 6
Hướngdẫn
Gọi d đườngthẳng qua A vng góc vớimặtphẳng P u d nP 1; 2;1
Phương trình đườngthẳng d là:
x t y 2t z t
nên tọađộđiểm I nghiệmcủahệ
d P I
x t t
y 2t x
I 1;1;
z t y
x 2y z z
Bán kính mặtcầu R IA
Vậyphương trình mặtcầu S là: S : x 1 2 y 1 2 z 12 6
Chọn C
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x y z điểm
2 1
Phương trình mặtcầu có tâm I tiếp xúc với d là:
I 1; 2;3
A x 1 2 y 2 2 z 32 5 B 2 2 2
x 1 y 2 z 50
C x + 1 2 y 2 2 z 32 50 D 2 2 2
x 1 y 2 z + 50
Hướngdẫn
d qua A 1; 2; 3 có vectơchỉphương u 2;1; 1 d I,d IA; u u
Do đó, suy mặtcầu có tâm I 1; 2;3 , bán kính R d I,d 5
Vậyphương trình mặtcầu là: x 1 2 y +2 2 z 32 50
Chọn B
Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;0 , B 2;3; 2 đường thẳng
Viếtphương trình mặtcầu qua hai điểm A, B có tâm nằm đườngthẳng d
x 2t d : y
z 2t
S
A S : x 1 2 y 1 2 z 22 17 B 2 2 2
S : x 1 y 1 z 9
C S : x 1 2 y 1 2 z 22 5 D 2 2 2
S : x 1 y 1 z 16
Hướngdẫn
(151)Trang
Giảsử I 2t 1; t; t d tâm củamặtcầu S
2 2 2 2 2 2 2 2
IA = 2t 1 t 2 t 9t 6t +2, IB = 2t 3 t 2t 9t 14t + 22 Vì IA IB 9t26t +2 9t 214t + 22 t 1.
Tọađộ tâm I củamặtcầu I 1; 1; 2 bán kính R IA 17
Vậyphương trình mặtcầu S là: S : x 1 2 y 1 2 z 22 17
Chọn A
3 Bài tập tự luyện
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E 2;1;1 , F 0;3; Phương trình mặt cầu
đường kính EF là:
S
A S : x 1 2 y 2 2z2 3. B S : x 1 2 y 2 2z2 9.
C S : x 1 2 y 2 2z2 3. D S : x 1 2 y 2 2z2 9.
Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2;3 , A 1;1; Phương trình mặtcầu S
tâm I qua điểm A là:
A S : x 1 2 y 2 2 z 32 B 2 2 2
S : x 1 y 2 z 2
C S : x 1 2 y 2 2 z 32 D 2 2 2
S : x 1 y 2 z 2
Câu Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 2;1;1 mặt phẳng P : 2x y 2z 0.
Viếtphương trình mặtcầu S tâm I tiếp xúc vớimặtphẳng P
A. S : x 2 2 y 1 2 z 12 4 B. 2 2 2
S : x 2 y 1 z 9
C S : x 2 2 y 1 2 z 12 3 D 2 2 2
S : x 2 y 1 z 5
Đáp án:
1 A D A
Dạng 3: Vị trí tương đối 1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian vớihệtọađộ Oxyz, cho điểm I 2;1; 1 mặtphẳng P : x 2y 2z 0 Bán kính mặtcầu S tâm I tiếp xúc vớimặtphẳng P là:
A 1 B 1 C 1 D
3
1
Hướngdẫn
(152)Trang Bán kính mặtcầu S là:
2
2
2 2.1 1
R d I, P
1 2
Chọn A
Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2; 2 mặt phẳng P : 2x 2y z 0 Viết phương
trình mặtcầu S tâm I cắtmặtphẳng P theo mộtđường trịn có chu vi 8π
A. S : x 1 2 y 2 2 z 22 36 B 2 2 2 313
S : x y z
3
C. S : x 1 2 y 2 2 z 22 313 D
9
2 2 2 313
S : x y z
9
Hướngdẫn
Bán kính đường trịn là: r C 2π
Ta có:
2 2
2.1 2.2 1.2 13
d I, P
3 2
Do bán kính củamặtcầu S là:
2
2 13 313
R r d I, P
3
Vậyphương trình mặtcầu S là: S : x 1 2 y 2 2 z 22 313
Chọn C
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 32 1 điểm A 2;3; 4 Xét điểm M thuộc S cho đường thẳng AM tiếp xúc với S , M thuộc mặt phẳng có phương
trình là?
A. x y z 0. B. 2x 2y 2z 15 0.
C. x y z 0. D. 2x 2y 2z 15 0.
Hướngdẫn
Cách 1: Mặtcầu S có tâm I 1; 2;3 bán kính R 1.
Ta có IA = Khi AM IA2R2 2.
Hạ MHAI AH AM2
AI
hay AH = AI2 HA 2HI H 10; ;
3 3
Khi ta có M thuộc mặt phẳng P qua H nhận vectơ IA1;1;1 làm
vectơ pháp tuyến nên M P : x y z 0.
(153)Trang Cách 2: Ta có AM = IA2R2 2.
M thuộcmặtcầu tâm A bán kính AM M thuộc S
Tọađộ M nghiệmcủahệphương trình:
2 2 2
x y z
x y z
Trừ hai vếcủahệphương trình ta đượcđiểm M thuộcmặtphẳng P : x y z 0.
Chọn A
2 Bài tập tự luyện
Câu Trong phương trình sau, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm ?
2 2 2
S : x 1 y 3 z 49 M 7; 1;5
A P : 6x 2y 3z 55 0.1 B P : 6x 2y 2z 34 0.2
C P : 2x 2y 3z 27 0.3 D P : 6x 2y 3z 55 0.4
Câu Trong không gian vớii hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 3x 4y 12 0 mặt cầu
Khẳngđịnh sau đâyđúng?
2 2 2
S : x y z 1
A P qua tâm củamặtcầu S
B P tiếp xúc vớimặtcầu S
C P cắtmặtcầu S theo mộtđường tròn mặtphẳng P qua tâm củamặtcầu S D P khơng có điểm chung vớimặtcầu S
Đáp án:
1 A D
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình S : x2y2 z2 x y 2z 10 0
Khẳngđịnh sau đúng?
A S mặtcầu có tâm I 1; ; B phương trình mặtcầu
2
S
C S mặtcầu có bán kính R 46 D mặtcầu có tâm
2
S I 1; ;
2
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình
2 2 2 2 2
1
1
S : x y z 4, S : x y z 9,
2 2 2
3
4
S : 2x 2y 2z
9
(154)Trang 10 Có phương trình phương trình mặtcầu?
A 1. B 2. C 3. D 0.
Câu Trong khơng gian vớihệtọa độ Oxyz, phương trình S : x2y2z22m x 4my 8m2 2 4 0
là phương trình mặtcầuvớiđiềukiện m?
A m m B m
C m D m m
Câu Trong hệtọađộ Oxyz, cho mặtcầu S tâm I bán kính R mặtphẳng α Nếu d I,α Rthì vị
trí tươngđốigiữamặtcầu S mặtphẳng α là: A Mặtphẳng α tiếp xúc vớimặtcầu S B Mặtphẳng α cắtmặtcầu S
C Mặtphẳng α mặtcầu S khơng có điểm chung
D Mặtphẳng α cắtmặtcầu S hoặctiếp xúc vớimặtcầu S
Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho điểm I 1; 3; 2 , gọi A giao điểmcủađườngthẳng
mătphẳng Viếtphương trình mặtcầu tâm I qua điểm A
x t d : y t
z
P : x 2y z 0 S
A S : x 1 2 y 3 2 z 22 21 B 2 2 2
S : x 1 y 3 z 5
C S : x 1 2 y 3 2 z 22 21 D 2 2 2
S : x 1 y 3 z 25
Câu 6.Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho hai mặtphẳng P : x y 0, Q : x 2y z 0 Gọi
mặt cầutiếp xúc vớimặt phẳng có tâm thuộcmặtphẳng Bán kính mặt
S P A 1;0; 2 Q
cầu S bằng:
A 3 B 2 C 4 D 3
Câu Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2; ,A 1;0; Phương trình mặtcầu
tâm I qua điểm A là:
S
A S : x 1 2 y 2 2 z 32 5 B 2 2 2
S : x 1 y 2 z 53
C S : x 1 2 y 2 2 z 32 5 D 2 2 2
S : x 1 y 2 z 53
Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho mặtcầu S : x 1 2 y 2 2 z 32 56 Gọi I tâm củamặtcầu S Giao điểmcủa OI mặtcầu S có tọađộ là:
A 1; 2; 3 3; 6;9 B 1; 2; 3 3; 6;9
C 1; 2; 3 3; 6; D 1; 2; 3 3;6;9
(155)Trang 11 Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho mặtcầu S : x2 y2z22x 6y 4z 0. Biết OA
đường kính củamặtcầu S Tọađộđiểm A là:
A 1;3; B 1; 2;3 C 2; 6; D 2;6;
Câu 10 Trong không gian vớihệtọađộ Oxzy, cho mặtcầu S : x2y2z22x 4y 6z + m 0. Tìm m để S tiếp xúc vớimặtphẳng P : x 2y 2z 0
A m 2. B m 2 C m 10 D m 10.
Câu 11 Trong không gian vớihệtọa độ Oxyz, cho mặtcầu S : x2y2z24x 2y 10z + 14 0
mặtphẳng P : x y z 0. Mặtphẳng P cắtmặtcầu S theo mộtđường trịn có chu vi là:
A 8π B 4π C.4π D 2π
Câu 12 Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2; , gọi A giao điểm đường
thẳng d :x y z mặtphẳng Viếtphương trình mặtcầu tâm
2
P : 2x 2y z 0 S
I qua điểm A
A S : x 1 2 y 2 2 z 32 21 B 2 2 2
S : x 1 y 2 z 25
C S : x 1 2 y 2 2 z 32 21 D 2 2 2
S : x 1 y 2 z 25
Đáp án:
1 B B A D D A D B C 10 D 11 B 12 D
(156)Trang
CHƯƠNG 3
CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Ứngdụngphương pháp tọađộ tốn hình chóp
1.Phương pháp giải Cách chọnhệtrụctọađộ:
- Hệtrụctọađộnằm đườngthẳngđôimột vng góc
- Gốctọađộthường chân đường cao hình chóp, lăngtrụ có đáy hình vng, hình chữnhật,
tam giác vng trung điểmcủacạnh đó,hoặc theo giảthiếtcủa tốn
Mộtsố cách chọnhệtrụctọađộ:
Tứdiện
Hình chóp đáy tứ giác lồi
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứdiện OABC có OA, OB, OC đơimột vng góc với nhau, OA OB a;OC 2a Gọi
M trung điểmcủa AB Khoảng cách hai đườngthẳng OM AC bằng:
A. 2a B. C. D.
3
2a 5
2a
2a
Hướngdẫn Gắnhệtọađộ Oxyz hình vẽ
(157)Trang
a a
O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0;a;0 ,C 0;0; 2a , M ; ;0 2
a a
AC a;0; 2a ,OC 0;0; 2a ,OM ; ;0
2
2 2
a a 3a
OM, AC a; a; OM, AC a a
2 2
2
OM, AC OC a OM, AC OC a
Khoảng cách hai đường thẳng OM AC
OM, AC OC a2 2a
d OM, AC
3a 3
OM, AC
2
→Chọn A
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc với Gọi M, N, P tươngứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V
AB 6a, AC 7a, AD 4a củatứdiện AMNP là:
A. 7a3 B. C. D.
2
3
14a 28a3
3
3
7a
Hướngdẫn
Do AB; AC; AD đơimột vng góc với chọnhệtrụctọađộ Oxyz theo hình vẽ Chọn a = 1, ta có tọađộ điểm:
A 0;0;0 , B 0;6;0 ,C 7;0;0 , D 0;0;
Khi đóđể tính thể tích tứdiện AMNP ta cần tìm tọađộ A; M; N; P M; N; P trung điểmlầnlượtcủa
BC; CD; BD ta có tọađộ đỉnhnhư sau: M trung điểm BC nên có tọađộ M 7;3;0 ,
2
N trung điểm CD nên có tọađộ N 7;0; ,
P trung điểm BD nên có tọađộ P 0;3; 2
7
AM ;3;0 , AN ;0; , AP 0;3;
2
21 21
AM, AN 6; 7; ; AM, AN AP 3.7 42
2
Tính thể tích V củatứdiện AMNP là:
1
V AM, AN AP
6
Thay a = vào đáp án, ta thấyđáp án D đáp án →Chọn D
(158)Trang
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SAABCD SA = 2a Gọi M, N lầnlượt trung điểmcủa SA, SD Tính khoảng cách từ A đếnmặtphẳng (BCM)
A a B. a C. a D.
2
a 2
Hướngdẫn
Chọnhệtrụctọađộ Oxyz có A O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa AS Khi đó:
a
A 0;0;0 , B a;0;0 ,C a;a;0 , D 0;a;0 , M 0;0;a , N 0; ;a
Ta có: BC0;a;0 , BM a;0;aBC, BMa ;0;a2 2
Mặt phẳng (BCM) có vectơ pháp tuyến
1
n BC, BM 1;0;1
a
Phương trình (BCM) là: x + z – a =
Vậykhoảng cách từ A đếnmặtphẳng (BCM) là:
2a 2 a
d A, BCM
2 1
→Chọn D
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác Gọi M, N, P, K lầnlượt trung điểmcủa DC, BC, SB, SD Tính khoảng cách
mp SAD mp ABCD
giữa hai đườngthẳng MK AP
A a B. C. D.
10
a 10
a
a 12
Hướngdẫn
Gọi O trung điểmcủa AD Chọnhệtrụctọađộ Oxyz hình vẽ Khi đó:
a a a a
A 0; ;0 , B a; ;0 ,C a; ;0 , D 0; ;0
2 2
a a a
N a;0;0 ,S 0;0; , M ; ;0
2 2
a a a a a
K 0; ; , P ; ;
4 4
a a a a
MK ; ; 2;1;
2 4
Đườngthẳng MK có vectơchỉphương a2;1;
(159)Trang
a a a a
AP ; ; 2;1;
2 4
Đườngthẳng AP có vectơchỉphương b 2;1; Ta có: a, b 2 3; 2;0 , AK 0;3a a 3;
4
Vậy d MK; AP a, b AK 3a 3a
2 15
a, b
→Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD 4a3 Tính
3
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)
A. 2a B. C. D.
3
4 a
8 a
3 a
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo vớiđáy góc 45 Khoảng cách từđiểm B đếnmặtphẳng (SCD)
A. a B. C. D.
3
a
a
a 3
Đáp án
Dạng 2: Ứngdụngphương pháp tọađộ tốn hình lăngtrụ
1 Bài tậptựluyện
Ví dụ 1: Cho hình lậpphương ABCD.A’B’C’D’ có cạnhbằng a Gọi M N lầnlượt trung điểmcủa
AD BB’ Tính thể tích củakhốitứdiện A’CMN
A. a3 B. C. D.
4
3
a
3
a 16
3
a 32
Hướngdẫn Chọnhệtrụctọađộ Oxyz hình vẽ, ta có:
A 0;0;0 , B a;0;0 ,C a;a;0 , D 0;a;0 ,
A ' 0;0;a , B' a;0;a ,C ' a;a;a , D ' 0;a;a
Thể tích củakhốitứdiện A’CMN là:
1
V A ' N, A 'M A 'C
6
Ta có:
1 - B - A
(160)Trang
a a a a
N a;0; , M 0; ;0 A ' N a;0; , A 'M 0; ; a , A 'C a;a; a
2 2
2
2
a a
A ' N, A 'M ;a ;
4
3
3
a a
A ' N, A 'M A 'C a a
4
Vậythể tích củakhốitứdiện A’CMN là:
3
1 a
V a
6
→Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân, Gọi G, G’ lầnlượt trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ I tâm
AA ' 2a, AB AC a
của hình chữnhật AA’B’B Tính khoảng cách hai đườngthẳng IG G’C, biết hai đường thẳng song song với
A 2a B. C. D.
41
5 a
41
5 3a
41
5 4a
41
Hướngdẫn Chọnhệtrụctọađộ Oxyz hình vẽ A O 0;0;0 Khi đótọađộcủa điểm là:
a a a a a
B a;0;0 ,C 0;a;0 , A ' 0;0; 2a , B' a;0; 2a ,C ' 0;a; 2a ,G ; ;0 ,G ' ; ; 2a , I ;0;a
3 3
( I I’ trung điểmcủa AB’ A’B)
a a a 2a a 2a
IG ; ; a ,G 'C ; ; 2a ,GC ; ;0
6 3 3
G 'C,GC
d IG,G 'C d G,G 'C
G 'C
Ta có G 'C,GC 4a 2a2; 2;0
3
Vậy d IG,G 'C 2a
41
→Chọn A
Ví dụ 3: Cho hình lậpphương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình vng A’B’C’D’ M điểm thuộc đường thẳng OI cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai
mặtphẳng (MC’D’) (MAB) bằng:
A 6 13 B. C. D.
65
6 85 85
17 13 65
7 85 85
(161)Trang
Hướngdẫn
Khơng giảm tính tổng qt, giảsửcạnh hình lậpphươngbằng Gắnhệtrụctọađộnhư hình vẽ, cho
gốctọađộ trùng vớiđiểm B’ Khi đó, C ' 6;0;0 , D ' 6;6;0 , M 3;3;1 , A 0;6;6 , B 0;0;6
MC' 3; 3; ,MD' 3;3; 1
Suy vectơ pháp tuyếncủa (MC’D’) là:
1
nMC',MD' 6;0;18 6 1;0;3
MA 3;3;5 , MB 3; 3;5
Suy vectơ pháp tuyếncủa (MAB) là:
1
nMA, MB 30;0;18 6 5;0;3
Gọi góc hai mặtphẳng (MC’D’) (MAB), ta có
1
1
n n 14
cos =
340 n n
Vậy sin 1 cos2 85
85
→Chọn B
2 Bài tậptựluyện
Câu Cho hình lăngtrụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác đềucạnh a Hình chiếu vng góc A’
mặtphẳng (ABC) trung điểmcạnh AB, góc giữađườngthẳng A’C mặtphẳngđáy 60 Tính theo a khoảng cách từđiểm B đếnmặtphẳng (ACC’A’)
A. a B. C. D.
13
13a 13
3a 13
a 13
Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB AD a, AA ' b Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích củakhốitứdiện BDA’M
A. B. C. D.
2
a b V
2
V a b2
4
V a b2
8
V a b2
16
Đáp án
1 - C - B
Phần 2: BÀI TẬPTỰLUYỆN
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC là:
A. B. C. D.
10
1
5 10
10
Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnhđáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC)
A. B. C. D.
2
a
16
2
a 10 16
2
a 10 32
2
a
32
(162)Trang
Câu 3. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh AB AD a, AA'=a
2
góc BAD 60 Gọi M, N lầnlượt trung điểmcủa cạnh A’D’ A’B’ Tính khoảng cách hai
đườngthẳng A’C MN
A. a 15 B. C. D.
10
a 15
a 15 20
a 15 15
Câu 4. Cho hình lăngtrụ tam giác ABC.A B C1 1 có đáy tam giác đềucạnh a, có AA1 2a vng góc vớimặtphẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1 Lấy điểm M di động AA1 Tìm giá trịlớn
nhấtcủadiện tích tam giác MC1D
A. B. C. D.
1
2 MC D
3a S
4
1
2 MC D
5a S
4
1 MC D
a 42
S
4
1 MC D
a 15 S
4
Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a mặtphẳng (C’AB) hợpvới mặtđáy (ABC) góc 0 90 Tìm để hai mặtphẳng (ABC’) (A’B’C’) vng góc
với
A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
Câu 6. Cho tứdiện S.ABC có SC CA AB a 2,SC ABC, tam giác ABC vuông A Các điểm
cho Tính t để MN ngắnnhất
M SA, N BC AM CN t t 2a
A. t a B. C. D.
3
t 2a
3
t a t a
2
Câu 7. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh
Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểmđối xứng C qua M Tính
SA 4, AC 3, BC 1
góc tạobởi hai mặtphẳng (SHB) (SBC)
A. 82 35'57 '' B. 97 24'2'' C. 63 30' D. 15 14'13''
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a, đáy ABCD hình thang vng A B, Gọi E, F lầnlượt trung điểmcủa AD SC Xác định tâm I bán kính R
AB BC a, AD 2a
mặtcầungoạitiếptứdiện SCDE
A. I a; 2a;3a , R a 11 B.
2
I a;a 2;a , R a 11
3
C. I 2a;a 2;a , R a 11 D.
4
I a 3a 3a; ; , R a 11
2 2
Đáp án:
1-D 2-B 3-C 4-D 5-C 6-B 7-A 8-D
(163)(164)Trang
CHƯƠNG VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Địnhnghĩa véc tơ
Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu,điểm điểmcuối
Vectơ có điểmđầu A, điểmcuối B ta kí hiệu: AB
Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y,
Vectơ – khơng vectơ có điểmđầu trùng điểmcuối Kí hiệu 0
2 Hai vec tơ phương, hướng, hai vec tơbằng nhau.
Đườngthẳngđi qua điểmđầu điểmcuốicủavectơgọi giá củavectơ Độ dài đoạnthẳng AB gọi độ dài vectơ AB, kí hiệu AB Ta có AB AB Hai vectơ có giá song song trùng gọi vectơ phương
Hai vectơ hướng Hai vectơngượchướng Hai vectơbằng
Hai vectơ phươngnếu chúng hướng độ dài
Chú ý: Vectơ – không hướngvớimọivectơ
3 Các quy tắcvề vec tơ
Quy tắc ba điểm:Với ba điểmbấtkỳ A, B, C ta có AB AC CB
Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD hình bình hành ta có: AC AB AD Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB, M điểmbất kì: 2MI MA MB Quy tắctrọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC: GA GB GC 0
(M điểmbấtkỳ)
3MG MA MB MC
Quy tắc tam giác đốivớihiệu hai vectơ:với ba điểmbất kì A, B, C ta có: AB CB CA
Vec tơđốicủavectơ kí a hiệu a Đặcbiệt a a 0, AB BA
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác địnhmộtvectơ 1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho điểm khơng thẳng hàng, xác địnhđược vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểmcuối điểm trên?
A. 21 B. 42 C. 12 D.
Hướngdẫn
Lấy điểmbất kì điểm ta đượcmộtđoạnthẳng, có C27 21 đoạnthẳng
a
A
B
(165)Trang
Mỗimộtđoạnthẳngtạo thành vectơ, ví dụđoạnthẳng AB sẽtạo hai vectơ AB BA
Vậysốvectơđượctạo 2C27 42
→Chọn B
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Khẳngđịnh
nào sau sai?
A. MN QP B. QP MN C. MQ NP D. MN AC
Hướngdẫn
Ta có MN / /PQ (do song song ) MN PQ
AC2
Nên MNPQ hình bình hành
Do MN QP, QP MN , MQ NP đáp án Đáp án MN AC sai MN AC
2
→Chọn D
2 Bài tậptựluyện
Câu 1. Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ không, phươngvới có điểmđầu
và điểmcuối đỉnhcủalục giác là:
A. B. C. D.
Câu 2.Gọi M, N lầnlượt trung điểmcủa cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏicặpvectơ sau hướng?
A. MN CB B. AB MB C. MA MB D. AN CA
Câu 3. Hai vectơgọi khi:
A. Giá chúng trùng độ dài chúng
B. Chúng trùng vớimột cặpcạnhđốicủamột hình bình hành
C. Chúng trùng vớimột cặpcạnhđốicủamột tam giác D. Chúng hướng và độ dài chúng
Đáp án:
1 – B – B – D
Dạng 2: Các phép toán vectơ 1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA MB MC 0 Mệnh đề sau
đúng?
A. M trung điểmcủa BC B. M trung điểmcủa AB
C. M trung điểmcủa AC. D. ABMC hình bình hành
Hướngdẫn
MA MB MC 0 MA MB MC BA MC
(166)Trang
Vậy ABMC hình bình hành
→Chọn D
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F trung điểmcủa cạnh BC, CA, AB Hệthức đúng? A. AB BE CF AB AC BC B. AB BE CF AF CE BD
C. AD BE CF AE BF CD D. AD BE CF BA BC AC Hướngdẫn
Áp dụng quy tắccộng ta
AD BE CF AE ED BF FE CD DF AE BF CD ED FE DF AE BF CD →Chọn C
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểmcủa, I trung điểm AM Khẳngđịnh sau đúng?
A. IB 2IC IA 0 B. IB IC 2IA 0
C. 2IB IC IA 0 D. IB IC IA 0
Hướngdẫn
Vì M trung điểmcủa BC nên theo quy tắc trung tuyến ta có: IB IC 2IM
Mặt khác I trung điểm AM nên IA IM 0
Suy IB IC 2IA 2IM 2IA IM IA 0
→Chọn B
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vng cân đỉnh C, AB Tính độ dài AB AC A. AB AC B. AB AC 5
C. AB AC D. AB AC 3
Hướngdẫn
Ta có AB 2AB CB 1
Gọi I trung điểm BC Xét tam giác ACI vuông C, ta có:
2
AI AC CI
2
Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:
5
AC AB 2AI AC AB AI
2
→Chọn A
(167)Trang
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vng A có ABC 300 BC a 5 Tính độ dài củavectơ AB AC
A. a B. a C. a D. a
Hướngdẫn Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD
Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữnhật suy
AD BC a 5
Vậy AB AC AD AD a 5 →Chọn B
2 Bài tậptựluyện
Câu 1. (ID:8129)Cho tam giác ABC cạnh a Tìm khẳngđịnhđúng? A. AB AC a B. AB AC a 3
C. AB AC a D.
2
AB AC 2a
Câu 2. (ID:8223)Cho hình chữnhật ABCD tâm O Trong mệnhđề sau, mệnhđề đúng? A. AB BC BD 0 B. AC BD CB DA 0
C. AD DA 0 D. OA BC DO 0
Câu 3. (ID:13413)Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH Khẳngđịnh sau sai?
A. AH HB AH HC B. AH AB AH AC
C. BC BA HC HA D. AH AB AH
Đáp án:
1 – B – D – B
Dạng 3: Phân tích vec tơ.Quỹ tích vec tơ 1 Phương pháp giải
Phân tích vectơ: Sử dụng định lí vectơ phân tích thành vectơ không phương Sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành phép cộngvectơ, quy tắc ba điểm phép trừ hai
vectơđể phân tích mộtvectơ theo nhiềuvectơ
Quỹ tích vectơ:Để tìm tậphợpđiểm M thỏa mãn mộtđẳngthứcvectơ ta biếnđổiđẳngthứcvectơđóđưa tậphợpđiểmcơbảnđãbiết
Nếu phương trình có dạng MA MB , A, B cố định tập hợpđiểm M đường trung trực củađoạnthẳng AB
Nếuphương trình có dạng MA a , A cốđịnh, a độ dài đãbiết tậphợpđiểm M đường
trịn có tâm A, bán kính a
(168)Trang
Tập hợp điểm cách đường thẳng cắt đường phân giác góc tạo hai
đườngthẳngđó 2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M trung điểmcủa BC, I trung điểm AM Khẳng định sau
đâyđúng?
A. AI 1AB AC B.
4
1
AI AB AC
4
C. AI 1AB 1AC D.
4
1 1
AI AB AC
4
Hướngdẫn
Vì M trung điểmcủa BC nên AB AC 2AM (1)
Mặt khác I trung điểmcủa AM nên 2AI AM (2)
Từ (1) (2) suy ra:
1
AB AC 4AI AI AB AC
4
→Chọn A
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD cạnh AB, CD lấy điểm M, N cho 3AM 2AB Tính vectơ theo hai vectơ
3DN 2DC MN AD, BC
A. MN 1AD 1BC B.
3
1 2
MN AD BC
3
C. MN 1AD 2BC D.
3
2 1
MN AD BC
3
Hướngdẫn
Ta có MN MA AD DN MN MB BC CN
Suy 3MN MA AD DN MB BC CN
MA 2MB AD 2BC DN 2CN
Theo ra, ta có MA 2MB 0 DN 2CN 0
Vậy 3MN AD BC MN 1AD 2BC
3
→Chọn C
Ví dụ 3: Cho hình chữnhật ABCD I giao điểmcủa hai đường chéo Tìm tập hợp điểm M thỏa
mãn MA MB MC MD
A. Trung trựccủađoạnthẳng AB B. Trung trựccủađoạnthẳng AD
C.Đường tròn tâm I, bán kính AC D.Đường trịn tâm I, bán kính
2
AB BC
(169)Trang
Hướngdẫn
Gọi E, F lầnlượt trung điểmcủa AB, CD Khi theo cơng thứcđường trung tuyến ta có:
MA MB 2ME MC MD 2MF
Do MA MB MC MD 2 ME MF ME MF
Vì E, F điểm cố định nên từđẳng thức (*) ta có tập hợp điểm M đường trung trực củađoạn thẳng EF trung trựccủađoạnthẳng AD
→Chọn B
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức
đường trịn cốđịnh có bán kính R Tính bán kính R theo a 2MA 3MB 4MC MB MA
A. r a B. C. D.
3
r a
9
r a
2
r a
6
Hướngdẫn Gọi G trọng tâm tam giác ABC
Ta có 2MA 3MB 4MC MI IA MI IB MI IC
Chọnđiểm I cho 2IA 3IB 4IC 0 3 IA IB IC IC IA 0
Mà G trọng tâm tam giác ABCIA IB IC 3IG
Khi 9IG IC IA 0 9IG AI IC 0 9IG CA
Do đó:
AB
2MA 3MB 4MC MB MA 9MI 2IA 3IB 4IC AB 9MI AB MI
9
Vì I điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M cần tìm đường trịn tâm I bán kính
AB a r
9
→Chọn B
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. (ID:8212) Cho tam giác ABC, E điểm nằm cạnh BC cho BE 1BC Hãy chọn đẳng
4
thức đúng?
A. AE 3AB 4AC B. AE 3AB 1AC
4
C. AE 3AB 1AC D.
4
1 1
AE AB AC
4
Câu 2. (ID:13287) Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Tính AB theo AM BC
(170)Trang
A. AB AM 1BC B.
2
1
AB BC AM
2
C. AB AM 1BC D.
2
1
AB BC AM
2
Câu 3. (ID: 13471) Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, Với I trung điểm AB Tìm tập hợp
điểm M thỏa mãn đẳngthức MA MB MA MB A.Đường tròn tâm I, đường kính AB
2
B.Đường trịn đường kính AB
C.Đường trung trựccủađoạnthẳng AB
D.Đường trung trựccủađoạnthẳng IA
Đáp án:
1 – B – C – B Phần BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu 1. (ID: 8162) Cho tam giác ABC Nhận định sau sai?
A. AB BC B. AB AC
C. AB BC D. AC,BC không phương Câu 2. (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c Khi đó:
A.Điềukiệncần đủđể A, B, C thẳng hàng AB AC phương
B.Điềukiệnđủđể A, B, C thẳng hàng vớimọi M AB MA phương C.Điềukiệncầnđể A, B, C thẳng hàng vớimọi M AB MA phương D.Điềukiệncần đủđể A, B, C thẳng hàng AB AC
Câu 3. (ID: 13434) Cho tam giác vng cân ABC A cóAB a Tính AB AC
A. AB AC a 2 B. AB AC a
2
C. AB AC 2a D. AB AC a
Câu 4. (ID:13482) Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa MA MB MC 3
A. B. C. D. Vô số
Câu 5. (ID:8214) Số vec tơ có điểm đầu điểm cuối điểm phân biệt cho trước là:
A. 12 B. 21 C. 27 D. 30
Câu 6. (ID:8222) Cho tam giác ABC cạnh a Khi AB AC :
A. B. a C. a D.
3 a
(171)Trang
Câu 7. (ID:13288) Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau đúng?
A. AG 2AB AC B.
3
1
AG AB AC
3
C. AG 1AB 2AC D.
3
2
AG AB 3AC
3
Câu 8. (ID:13474) Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MA MC
A.Đường trung trựccủađoạnthẳng BC B.Đường trịn đường kính BC
C.Đường trịn tâm G, bán kính a D.Đường trung trựccủađoạnthẳng AG
3
Câu 9. (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt cốđịnh,với I trung điểmcủa AB Tìm tậphợp
điểm M thỏa mãn đẳngthức 2MA MB MA 2MB
A.Đường trung trựccủađoạnthẳng AB B.Đường trịn đường kính AB
C.Đường trung trựccủađoạnthẳng IA D.Đường trịn tâm A, bán kính AB
Đáp án:
1 – C – A – A – D – D – B – B – A – A
(172)Trang
CHƯƠNG VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1 Trục độ dài đạisố trục
• Địnhnghĩa: Trụctọađộ (hay gọitắt trục) mộtđường thẳng đóđã xác địnhmộtđiểm O gọi
điểmgốc mộtvectơđơnvị e
• Điểm O gọi gốctọađộ
• Hướngcủavectơđơnvị hướngcủatrục
• Ta kí hiệutrụcđó O; e
• Cho M mộtđiểm tùy ý trục O; e Khi có nhấtmột số k cho OM ke Ta gọisố k
đó tọađộcủađiểm M đốivớitrụcđã cho
• Cho hai điểm A B trục O; e Khi có số a cho AB ae Ta gọisố a độ dài
đạisốcủavectơ AB đốivớitrụcđã cho kí hiệu a AB
2 Hệtrụctọađộ
Hệgồm hai trục tọađộ Ox, Oy vng góc với
Vectơđơnvị Ox, Oy lầnlượt , O i j gốc tọađộ, Ox trục hoành, Oy trục tung
3 Tọađộcủavectơ
u x; y u x; y u xi yj
x gọi hoành độcủavectơ u
y gọi tung độcủavectơ u
Các công thứcvectơ:
Cho hai vectơ uu ; u , v1 2 v ; v1 2
• 1
2
u v
u v
u v
• u v u1v ; u1 2v2; • u v u1v ; u1 2v2; • ku(ku1;ku2),kR
• Độlớncủavectơ 2
1
u u u
• Hai vectơ u u ; u , v1 2 v ; v1 2 phương có số k cho u1kv1
2
u kv
• Tích vơ hướng: u.v u v cos u, v
(173)Trang
1 2 u.v u v u v
1 2 u v u v u v 0
• Góc hai vectơ: 1 2
2 2
1 2
u v u v u.v
cos u; v
u v u u v v
4 Tọađộcủamộtđiểm
M x; y OM xi yj.
Các công thức:
Cho ba điểm A x ; y , B x ; y , C x ; y A A B B C C • ABxBx ; yA ByA
• AB AB xBxA 2 yByA2
• Tọađộ trung điểm I AB: A B A B
1
x x y y
x , y
2
• Tọađộtrọng tâm G tam giác ABC: A B C A B C
G G
x x x y y y
x , y
3
• Tọađộđiểm M chia AB theo tỉsố A B A B
M M
x kx y ky
k 1: x , y
1 k k
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tọađộvectơ, tích vơ hướngcủa hai vectơ
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a2; , b 5;3 Tọađộvectơ u 2a b là:
A 7; 7 B 9; 11 C 9;5 D 1;5
Hướngdẫn
Ta có: 2a4; , b 5; 3
Ta có: u 2a b 4 5; 3 9; 11
Chọn B
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u 1; , v 1; m Tìm m để hai vectơ , vng góc u v với
A 1 B C D
2
1
3
1
Hướngdẫn
Ta có: u v u.v 1.1 2.m m
2
Chọn B
(174)Trang Ví dụ 3: Trong mặtphẳng Oxy, cho hai vectơ u 1; , v1; 3 Góc hai vectơ là:
A 450 B 600 C 300 D 1350
Hướngdẫn
Ta có:
0
2 2
1.1 2.3
cos u; v u; v 135
2
1
Chọn D
Ví dụ 4: Cho hai vectơ , có giá vng góc a b với a 4, a b Độ dài b bằng:
A 9. B C 3. D 1.
Hướngdẫn
Ta có: a b 5 a b 25a2b22a.b 25 Vì a b a.b 0 , ta có:
2
2
a b 25 b 25 a 9 b 3
Chọn C
Ví dụ 5: Cho hai vectơ a 3; , b 1; 7 Tìm tọađộvectơ c biết c.a 9, c.b 20 A c 1; 3 B c 1;3 C c1; 3 D c 1;3
Hướngdẫn Gọitọađộvectơ cx; y
Ta có: c.a 3x 2y 9 c.b x 7y 20
Do có hệ:
x 7y
3x 2y x
c 1;3 y
0
Chọn B
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a m;1 , b3; m 2 Giá trị m để vectơ a phươngvớivectơ là:b
A m B C D
m
m
m
m
m
m
m
Hướngdẫn Vectơ a phươngvớivectơ b a kb
Hay
k m
m 3k m 3k
1
1 k m k 3k k
3
m
(175)Trang
Chọn D
Ví dụ 7: : Cho ba vectơ a 2;1 , b 3; , c 7; Biểudiễnvectơ qua c vectơ , a b
A a 22b 3c B C D
5
22
a b c
5
22
a b c
5
22
a b c
5
Hướngdẫn Giảsử c ma nb , ta có hệphương trình:
22 m
7 2m 3n 5
2 m 4n
n
Vậy a 22b 3c
5
Chọn D
2 Bài tập tự luyện
Câu (ID: 9106) Khẳng định khẳng định sau? A Hai vectơ a 6;3 b 2;1 ngược hướng với B Hai vectơ a 5;0 b 4;0 hướng với C Vectơ c 7;3 vectơđối vectơ d 7;3
D Hai vectơ a 6;3 b 2; phương với
Câu (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a 0;1 , b 1; , c 3; 2 Tọa độ vectơ u 3a 2b 4c là:
A 10;15 B 15;10 C 10; 15 D 10;15
Câu (ID:8722) Trong mặtphẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB5,AC5,A 300 Giá trịbiểuthức
là:
AB.AC
A 25 B C D –25.
2
25
25
2
Câu (ID:8750) Cho hai vectơ , cho a b a 3, b 5, a, b 1200 Độ dài vectơ a b bằng:
A 19 B 7. C 4. D 2.
Đáp án:
1 – B – A – A – B
Dạng 2: Tọađộđiểm
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặtphẳng Oxy, cho điểm A 1;3 , B 4;0 Tọađộđiểm M thỏa mãn 3AM AB 0
(176)Trang là:
A M 4;0 B M 5;3 C M 0; 4 D M 0; 4
Hướngdẫn Gọitọađộđiểm M M x ; y M M
M M AM x 1; y 3 , AB ;0 3 3; 3
Ta có:
M M
M M
3 x x
3AM AB M(0; 4)
y
3 y
Chọn C
Ví dụ 2: Trong mặtphẳng Oxy, cho điểm A 1;3 , B 4;0 Tìm điểm C đốixứngcủa A qua B
A C 7,15 B C 6,14 C C 5,12 D C 15,7
Hướngdẫn
C đốixứngvới A qua B nên B trung điểmcủa AC
Tọađộđiểm B B A C C B A
B A C C B A
2x x x x 2x x
2y y y y 2y y 15
Chọn A
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 2;5 , B 1;1 , C 3;3 điểm E thỏa mãn Tọađộđiểm E là:
AE 3AB 2AC
A 3; 3 B 3;3 C 3; 3 D 3;3
Hướngdẫn Giảsửtọađộđiểm E a; b AEa 2; b 5
Ta có: AB 1; , AC 1; 2 3AB 2AC 5; 8
a a
AE 3AB 2AC E 3;
b b
Chọn C
Ví dụ 4: Trong mặtphẳng Oxy, cho hai điểm A 1;1 , B 3;3 Tìm tọađộđiểm M trục Oy để tam giác MAB cân M
A 4;0 B 4;0 C 0; D 0; 4
Hướngdẫn Giảsử M 0; y OyMA 1;1 y , MB 3;3 y Vì tam giác MAB cân M nên ta có:
2 2
2
MA MB 1 y 9 y 4y 16 0 y Vậy M 0; 4
(177)Trang
Chọn C
Ví dụ 5: Cho M 2;0 , N 2; , P 1;3 lầnlượt trung điểm cạnh BC, CA, AB củaABC Tọa độ B là:
A 1;1 B 1; 1 C 1;1 D 1; 1
Hướngdẫn
Vì BPNM hình bình hành nên ta có:
B N P M B B
B N P M B B
x x x x x 2 x
y y y y y y
Vậy B 1;1
Chọn C
Ví dụ 6: Trong mặtphẳng Oxy, cho A m 1; l , B 2; 2m , C m 3;3 Tìm giá trị m để A, B, C ba điểmthẳng hàng?
A m 2 B m 0 C m 3 D m 1
Hướngdẫn
Ta có: AB 3 m;3 2m , AC 4;
Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB phươngvới AC
3 m 2m
m
4
Chọn B
Ví dụ 7: Cho A 1; , B 2;6 Điểm M trục Oy cho ba điểm A, B, M thẳng hàng tọađộ
A 0;10 B C D
3
0; 10 10;0 10;0
Hướngdẫn
Ta có: M trục OyM 0; y
Ba điểm A, B, M thẳng hàng AB phươngvới AM Ta có AB 3; , AM 1; y 2
Do đó, AB phươngvới AM y y 10
3
Vậy M 0;10
3
Chọn A
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với AB 5 AC 1 Tính toạ độ điểm D chân đường phân giác góc A, biết B 7; , C 1; 4
(178)Trang
A 11; B C D
2
2;3 2;0
11 ; 2
Hướngdẫn
Theo tính chấtđường phân giác:
DB AB
5 DB 5DC DB 5DC
DC AC
Gọi
D x; y DB x; y ; DC 1 x; y
Suy ra:
7 x x x
y y y
Vậy D 2;3
Chọn B
Ví dụ 9: Trong mặtphẳng tọađộ cho ba điểm A 1; , B 2; 2 C 4; 2 Xác định tọađộ điểm M cho tổng MA22MB23MC2 nhỏnhất
A M 3;1 B C D
2
3
M ;
2
3
M ;1
2
3
M ;
2
Hướngdẫn
2 2 2 2 2 2
2 2
MA MB 3MC x 1 y 4 2 x 2 y 2 3 x 4 y 2
2 2
2 147 147
6x 18x 6y 12y 93 2x y
2 2
Do MA22MB23MC2 nhỏnhấtbằng 147 Dấubằngxảy
2
3
2x x
2
y y 1
Vậy M 3;1
Chọn C
2 Bài tập tự luyện
Câu (ID:9161) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 5; , B 10;8 Tọa độ AB là:
A 2; B 15;10 C 5;6 D 5;6
Câu (ID:9175) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A 3;1 , B 2; , C 1;6 , D 1; 6 Hỏi điểm G 2; 1 trọng tâm tam giác sau đây?
A Tam giác ABC. B Tam giác ABD. C Tam giác ACD. D Tam giác BCD.
(179)Trang Câu (ID:9192) Trong mặtphẳng Oxy, cho hai điểm A 1;0 , B 1;0 Tìm tọađộđiểm N để tam giác ABN vng cân A
A 1; 2 0;3 B 2; 1 0; C 1; 2 2; 1 D 1; 2 1; 2
Câu (ID:9191) Trong mặtphẳngtọađộ Oxy, cho hai điểm M 2; , N 1;1 Tọađộđiểm P trục
Ox thỏa mãn M, N, P thẳng hàng là:
A 0; B 0; 4 C 4;0 D 0;
Đáp án:
1 – C – B –D – D
Dạng 3: Ứngdụng tích vơ hướngcủa hai vectơ
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặtphẳng Oxy, cho tam giác ABC có A 2;1 , B 1; , C 3;0 Cơsin góc A tam giác ABC bằng:
A B C D
5
5
1
1
Hướngdẫn
Ta có: AB 3;1 , AC 1; 1
2 2 2 2
3 1
cos A cos AB, AC
5
3 1
Chọn A
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a Độ dài củavectơ v 1OA 1OB là:
4
A a B C a. D
12
1 a
5 a
Hướngdẫn
Vì tam giác OAB vng OOA.OB 0
Ta có:
2
2
2 1 1 1 2 25
v OA OB OA OA.OB OB a a a
4 16 16 144
Vây v a
12
Chọn A
Ví dụ 2: Trong mặtphẳng Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B 3;1 , C 0; 4 Gọi A hình chiếucủa A
cạnh BC Tọađộđiểm A là:
(180)Trang A 0; B 1;3 C 2;3 D 0;3
Hướngdẫn Giảsử A x; y
AA x 1; y , BA x 3; y , BC 3;3
Vì A hình chiếucủa A cạnh BC nên B, A, C thẳng hàng AA BC
3 x y x
AA BC
x 3k y
BA kBC y 3k 2
k
Vậy A 1;3
Chọn B
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 3; , B 4;3 Tìm tọa độ điểm C để tam giác CAB vuông cân C
A 1; 1 0;6 B 1;0 0;6 C 1;0 0;5 D 1; 1 0;5
Hướngdẫn
Giảsử C có tọađộ C x; y CA x; y ,CB 4 x;3 y
Vì tam giác CAB vuông cân C
2 2 2 2
3 x x y y
CA.CB
CA CB 3 x 2 y 4 x 3 y
2 x y
x y x 5y
7x y x
y
Vậy C 1; 1 C 0;6
Chọn A
Ví dụ 4: Trong mặtphẳng tọađộ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B 4; , C 2; 3 Tọa độ tâm
đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC là:
A 1; B C D
2 1 ; 2 ; 2 1 ; 2 Hướngdẫn Giảsử I a; b tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC
2 2 2 2 2 2
2 2
IA a b , IB a b , IC a b
(181)Trang 10 Ta có hệ:
2 2
2
2 2 2
1 a
a b a b
IA IB 6a 8b 2
6a 12b
IA IC a 1 b 3 a 2 b 3 b
2
Vậy I 1;
2
Chọn D
Ví dụ 5: Trong mặtphẳng tọađộ Oxy, cho tam giác MNP có M 1;0 , N 2;0 , P 2;3 Tọađộ trực
tâm H tam giác MNP là:
A 2; B C D
3 2; 2; 2; Hướngdẫn Giảsử H x; y trực tâm tam giác MNP
Ta có: MHx 1; y , NP 4;3 , NH x 2; y , MP 1;3
MH NP MH.NP
NH MP NH.MP
Ta có hệ:
x
4 x 3y
4 y x 3y
3
Vậy H 2;
3
Chọn A
2 Bài tập tự luyện
Câu (ID:9742) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; , B 3;1 , C 6;0 Sốđo góc B tam giác ABC bằng:
A 450 B 600 C 1200 D 1350
Câu (ID:8744) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB a, AC 2a Khi AB.AC bao nhiêu?
A a B a C a. D 2a.
Câu (ID:8959) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;0 , B 5; , C 2; 4
Tọađộ tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC là:
A 2;1 B 0;1 C 1; D 1;0
Đáp án:
(182)Trang 11 – D – B – D
PHẦN 3: BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu (ID:9095) Trên trục tọa độ O, e cho điểm M cho OM 2e Tọa độ điểm M trục cho là:
A 1. B C –1. D –2.
Câu (ID:8702) Tích vơ hướng hai vectơ a, b a, b 0 số dương khi:
A chia b ều B pha b ương.C 00 a, b 900 D 900 a, b 1800 Câu (ID:9183) Cho hai điểm B 9;7 , C 11; 1 MN 1BC Tọa độ vectơ là:
3
MN
A 2; 8 B 2;8 C 8; D
3
2
; 3
Câu (ID:9238) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 2; , B 0;3 , C 4; 2 điểm D thỏa mãn Tọa độđiểm D là:
2AD 3BD 4CD 0
A 1;12 B 12;1 C 12; 1 D 12; 1
Câu (ID:9188) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 2m; m , B 2m; m Với giá trị m đường thẳng AB qua gốc tọa độ O?
A m 3 B m 5 C m D m 0 Câu (ID:9203) Cho điểm M 2;1 Tọa độđiểm M1 đối xứng với M qua gốc tọa độ O là:
A 2; 1 B 1; 2 C 2; 1 D 1; 2
Câu (ID:9214) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B 3; , C m 4; 2m 1 Tìm m để ba
điểm A, B, C thẳng hàng
A 1. B 0. C –1. D –2.
Câu (ID:9230) Cho tam giác ABC có A 6;1 , B 3;5 trọng tâm tam giác G 1;1 Tọa
độđỉnh C là:
A 6; 3 B 6;3 C 6; 3 D 3;6
Câu (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; , B 0; , C 3; 2 Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành
A D 2;0 B D 4; 4 C D 4; 4 D D 0; 2
Câu 10 (ID:8925) Cho tam giác đều ABC cạnh a Giá trị biểu thức AB.BC BC.CA CA.AB bằng:
A 3a2 B C D
2
3a2
2
2
a
2
2
a
2
Câu 11 (ID:8937) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2; , B 3; , M m;0 Giá trị m để MA2MB2 đạt giá trị
(183)Trang 12
A B 0. C 1. D
2
2
Câu 12 (ID:8964) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 1;3 , B 3;1 trực tâm H 1;1 Tọa độ đỉnh C là:
A 1; 2 B 1; 3 C 1; 3 D 1; 2
Câu 13 (ID:8977) Cho tam giác ABC có A 5;6 , B 3; , C 0; 4 Chân đường phân giác góc A có tọa độ là:
A 5; 2 B 5; C D
2
5
; 3
5
;
2
Câu 14 (ID:8996) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , B 0;1 , M 2m 4; m Giá trị
của m để MA MB lớn là:
A B –1. C . D 1.
2
2
Đáp án:
1 – B – C – D – D – C – A – A – C – B 10 – A 11 – D 12 – C 13 – C 14 – A
(184)Trang
CHƯƠNG : VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Định lí cơsin
Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b AB = c Ta có:
2 2 2 2 2
a b c 2bc.cos A; b c a 2ca.cos B;c a b 2ab.cosC
Hệquả:
2 2 2 2 2
b c a c a b a b c
cos A ;cos B ;cosC
2bc 2ca 2ab
2 Định lí sin
Trong tam giác ABC với BC a, AC b, AB c R bán kính đường trịn ngoạitiếp Ta có:
a b c
2R sin A sinBsin C
3 Độ dài trung tuyến
Cho tam giác ABC với m , m , ma b c lầnlượt trung tuyếnkẻtừ A, B, C Ta có :
2 2 2
2 2
a b c
2 b c a a c b a b c
m ; m ; m
4 4
4 Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu h ,h ,ha b c độ dài đường cao lầnlượttươngứngvới cạnh BC, CA, AB; R, r lầnlượt bán kính đường tròn ngoạitiếp, nội tiếp tam giác; p a b c nửa chu vi tam giác; S
2
là diện tích tam giác Khi ta có:
a b c
1 1
S ah bh ch
2 2
1bcsin A 1casin B 1absinC
2 2
abc 4R
pr
(công thức Hê-rông)
p p a p b p c
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định yếutố tam giác.
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tam giác ABC có A 1500,BC6 Bán kính đường trịn ngoạitiếp tam giác ABC là:
(185)Trang
A. B. C. D 4
2 Hướngdẫn
Áp dụng cơng thức hàm số sin có:
0
BC 2R R BC 6 6.
1
sin A 2sin A 2.sin150 2.sin30 2.
2
Chọn B
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thỏa mãn: b2 c a2 3bc Tính độlớn góc A
A. A 300 B. A 450 C. A 600 D A 750
Hướngdẫn
Theo định lý cơsin ta có:
2 2
b c a 3bc
cosA
2bc 2bc
Vậy A 300
Chọn A
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A có CA 3cm,CB 4cm,sin B Tính diện tích tam giác
2
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D 6cm
Hướngdẫn
Ta có C B nên sin C sin B
2
2
1 1
S CA.CBsin C 3.4 3cm
2 2
Chọn A
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cosA = Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻtừ
A
A. BC 2,ha 29 B.
29
BC 29,ha 29
29
C. BC 17,ha 16 17 D
17
BC 29,ha 29
29
Hướngdẫn
Áp dụngđịnh lí cơsin ta có BC2 AB2AC2 2AB.AC.cosA 4 25 2.4.5.2 17
(186)Trang Suy BC 29
Vì sin A cos A 12 nên sin A 1 cos A2 1 4.
25
Theo công thức tính diện tích ta có SABC 1AB.AC.sin A 1.4.5.4
2
Mặt khác SABC 1a.ha 17.ha
2
2
Từ 1 2 suy 17.ha ha 16 17
2 17
Vậyđộ dài đường cao kẻtừ A ha 16 17
17 Chọn C
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi a BC, b CA,c AB. Khẳngđịnh sau
đúng:
A. GA2GB GC2 2 a 2b2c 2 B. GA2 GB GC2 1a2 b2 c 2
3
C. GA2 GB GC2 1a2 b2 c 2 D
2
GA2 GB GC2 3 a 2b2c 2
Hướngdẫn
Theo tính chấtcủatrọng tâm ta có: GA 2AM
3
2
GA AM
9
Áp dụng công thức tính trung tuyếncủamột tam giác, ta có:
2
2 2 BC 2 a
AM AB AC c b
2 2
2
2 4 2 a 2 a
GA AM c b c b
9 2
Tươngtự:
2
2 2 b
GB a c
9
2
2 2 c
GC a b
9
Do đó: GA2 GB GC2 1a2 b2 c 2
Chọn B
Ví dụ 6: Khi khai quật ngơi mộ cổ, người ta tìm đượcmột mảnhcủa chiếcđĩaphẳng hình trịn bị
(187)Trang
vỡ.Dựa vào tài liệu có, người ta đo kích thước tam giác ABC đĩa AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Các nhà khảocổmuốntạolại chiếcđĩa có kích thướcnhưvậy Hãy giúp nhà
khảocổ tìm bán kính chiếcđĩa?
A. R = 6,735(cm) B. R = 6,535 (cm)
C. R = 5,735 (cm) D R = 5,835 (cm)
Hướngdẫn Cách 1: Ta có: AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Áp dụngđịnh lí hàm số cosin ta có:
430 407
, ,
7 , , ,
cos
2 2
2
AC AB
AB AC AB
BAC
Nhưvậy, sinBAC 1(cosBAC )2 0,323
47 , 11 323 ,
7 , sin
2
BAC BC R
R 5,735 cm
Cách 2:Sửdụng cơng thứcdiện tích a.b.c p p a p b p c Trong đó: Từđó ta
4R
a b c p
2
tìm đượcđáp án 5,735(cm)
Chọn C
2 Bài tậptựluyện
Câu 1. (ID:14020) Cho ABC có AB3;C 450 Bán kính đường trịn ngoại tiếp là:
A. B. C. D.
2 23 22
Câu 2. (ID:14022) Cho ABC có A 450;B 300 Tỉ số AC là:
BC
A. B. C. D.
2 23
1
2
Đáp án:
1 – B - A
Dạng 2: Giải tam giác.
1 Phương pháp giải
Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa mộtsốđiềukiện cho trước Trong toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếutốnhư sau: biếtmột cạnh hai góc kềcạnh đó;biếtmột góc hai cạnhkề góc đó;biết ba cạnh
Để tìm yếutố cịn lại ta sử dụngđịnh lí cơsin định lí sin; định lí tổng ba góc tam giác
bằng 1800 tam giác đốidiệnvới góc lớnhơn có cạnh lớnhơn ngượclạiđối diệnvới cạnhlớnhơn có góc lớnhơn
(188)Trang
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a2 3,b2,C 300 Tính cạnh c, góc A
A. 1200 B. 1100 C. 1200 D 4 1100
Hướngdẫn
Theo định lí cơsin ta có: c2 a2b22ab cosC 12 2.2 3.2.cos30 4.
Vậy c = tam giác ABC cân A có b = c = Ta có C 300 nên B 300 A 1800 2.300 1200
Chọn C
Ví dụ 2:Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 A 870
A. A53,8,C 360,B 570 B. A53,8,B 400,C 530
C. A52,8,B 360,C 570 D A53,8,B 360,C 570
Hướngdẫn
Theo định lí cơsin ta có:
2 2 2
a b c 2bc.cosA 32 45 2.32.45.cos87
Suy raa 53,8.
Theo định lí sin ta có:
0
36
, 53
87 sin 32 sin
sin B
a A b B
Suy C 1800 AB 1800 870 360 570
Chọn D
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có cạnh AC 10 cm, BC 16cm góc C 1100 Tính cạnh AB
tam giác
A. 20 cm B. 21,6cm C. 12,6cm D 12,8 cm
Hướngdẫn Đặt BC a,CA b, AB c.
Theo định lí cơsin ta có:
2 2
c a b 2ab cosC
2
16 10 2.16.10.cos110
2
c 465,44
Vậy c 465,44 21,6 cm.
Chọn B
(189)Trang
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC a,CA b,AB c thỏa mãn hệ thức c b Hãy tính số b c a c
đo góc A?
A. A 1200 B. A 300 C. A 900 D A 600
Hướngdẫn
Ta có
c b 1
b a a c
c a c b b a b a a c
2 2
ca c b ba ba a bc ac
2 2
b c a bc
ta có:
2 2
b c a bc
cosA
2bc 2bc
Vậy A 60
Chọn D
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A 1200,AB1,AC 2Trên cạnh CA kéo dài lấy điểm D cho Tính đoạn AD
BD 2.
A. 2,3 B. C. 4,6 D 2
Hướngdẫn
Áp dụngđịnh lí cosin cho tam giác ABC ta có:
2 2
BC AB AC 2AB.AC.cosBAC 7
BC
Áp dụngđịnh lí sin đốivới tam giác ABC ta được:
14 21 sin sin sin sin BC A AB C A BC C AB
Áp dụngđịnh lí sin đốivới tam giác DBC ta được:
4 sin sin sin sin DB C BC D D BC C DB 66 , 25 D
0
0
0 25,66 (180 120 ) 94,34
180
DBA
Áp dụngđịnh lí sin ta có:
3 , 34 94 sin sin sin sin sin D DBA AB AD DBA AD D AB
(190)Trang
Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu 1. (ID:13999) Cho tam giác ABC biết a cm,b cm,c l cm. Tính góc A,B
A. A 600;B 450 B. A 500;B 450
C. A 450;B 650 D. A 450;B 600
Câu 2. (ID:14030) Cho ABC có A 1500;B 300;AC 3cm Độ dài BC A
A. B. C. D.
Đáp án:
1 – A – D
Dạng 3: Nhậndạng tam giác
1 Phương pháp giải
Sửdụngđịnh lí cơsin; sin; cơng thứcđường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác đểbiếnđổigiả thiếtvềhệthức liên hệcạnh(hoặc góc) từđó suy dạngcủa tam giác
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC 2sinBcosA. Hỏi tam giác ABC tam giác gì?
A. ABC cân B. ABC C. ABC vuông D ABC tù
Hướngdẫn
Áp dụngđịnh lí cơsin sin ta có:
2 2
c b b c a
sinC 2sinBcosA
2R 2R 2bc
2 2
c b c a a b
Suy tam giác ABC cân tạiđỉnh C
Chọn A
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A sinB sin C Hỏi tam giác ABC tam giác gì?
cosB cosC
A. ABC cân B. ABC C. ABC vuông D ABC tù
Hướngdẫn
Ta có: sin A sinB sin C sin A cosB cosC sin B sin C
cosB cosC
2 2 2
a c a b a b c b c
2R 2ca 2ab 2R
2 2 2 2 2
b c a b c a b c 2b c 2c b
3 2 2 2 2 2
b c b c bc a b a c b c b c a b c b c a
(191)Trang vuông A
ABC
Chọn C
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN vng góc với Khi đókhẳng định sau đúng:
A. b2c2 a2 B.b2c2 5a2. C. 2b23c2 5a2. D 5b2c2 a 2
Hướngdẫn
Áp dụnghệthứclượng tam giác ta có: 2
2 b
2 a c b
m
4
2 2
c
2 a b c
m
4
G trọng tâm tam giác ABC
Suy
2 2
2
b
2 a c b
4
BG m
9
2
2
c
2 a b c
4
CG m
9
nên
BM CN BG2 CG2 BC2
2 2 2
2
2 2
2c 2a b 2a 2b c a
9
b c 5a
Chọn B
Ví dụ 4: Tam giác ABC có a + b2 c2 36r2 có tính chất gì?
A. Tam giác cân B B. Tam giác cân A
C Tam giác D Tam giác vuông A
Hướngdẫn
2
2 2
2
p b p c p c p a p a p b
p a p b p c S
a + b c 36 36 36
p p
p
Ta có: p b p c 2p b 2p c a
p b p c p c p a p a p b abc
p 8p
2 2 2
a + b c a b c a b c
a b c
abc abc
Mà a + b2 2c2 ab bc ca
a b c ab bc ca 9abc
(192)Trang
2 2 2
a b c b c a c a b a b c
Vậy tam giác ABC có a + b2 c2 36r2 tam giác ABC Chọn C
3 Bài tậptựluyện
Câu (ID:14506)Tam giác ABC thỏa mãn S ABC 1 Khi tam giác ABC là:
4 a b c a c b
A. Tam giác vuông B B. Tam giác cân A
C Tam giác D. Tam giác vuông A
Câu 2. (ID:14475) Cho tam giác ABC có cạnhthỏa mãn: b b a2 c a2 c 2 Tính sốđo góc A.
A. A 600 B. A 450 C. A 800 D. A 300
Đáp án:
1 – D – A
PHẦN 3: BÀI TẬPTỔNGHỢP
Câu 1. (ID:14027) Tam giác ABC có sinA 1, sinB 4, độ dài đoạn BC Tính độ dài đoạn AC
2
A 24 B 5 C 24 D.
5 245
Câu 2. (ID:14039) Cho tam giác ABC có AB 14 cm,BC 16 cm góc B 1200 Tính cạnh AC
tam giác
A 14 cm B 12.5 cm C 27 cm D. 26 cm
Câu 3. (ID:14068) Cho tam giác ABC có BC cm,CA cm,AB cm. Hãy tính độ dài đường
trung tuyến ma tam giác ABC cho
A 151 cm B C D.
2 151 cm.2 147 cm.2 157 cm.2
Câu 4. (ID:14074) Cho tam giác ABC có AB cm,AC cm,sin A Tính diện tích tam giác
2
A 1 cm B 2 cm C 3 cm D. cm
Câu 5. (ID:14096) Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoạitiếp R = 12, diện tích 20 Tìm tích cạnh tam giác
A 960 B 480 C 240 D. 120
Câu 6. (ID:14484) Gọi m ,m ,ma b c trung tuyếnlầnlượtứngvới cạnh a, b, c tam giác ABC Tính tỉsố:
2 2
a b c
2 2
m m m
a b c
(193)Trang 10
A 4 B C 1 D.
3 abc1
Câu 7. (ID:14433) Tam giác ABC có diện tích S Nếutăngcạnh BC lên lầnđồngthờităngcạnh CA lên lần giữ ngun độlớncủa góc C đódiện tích tam giác mớiđượctạo nên bằng:
A 2S B 6S C 4S D. 3S
Câu 8. (ID:14430) Tam giác ABC có BC a,CA b,AB c đường trung tuyến AM c. Nếuđộ dài
đường trung tuyến AM c kếtluận sau đúng:
A a2 b2c B a2 2 b 2c 2 C a2 2 b 2c 2 D a2 b2c
Câu 9. (ID:14423) Cho hình bình hành ABCD có AD 5,AB 9,BD 10. Độ dài đường chéo AC là:
A 2 B 7 C 6 D.
Câu 10. (ID:14495) Cho tam giác ABC có sốđo ba góc thỏa mãn: sin B sin C = 2sin A.2 2 Kếtluận sau đúng:
A. Tam giác ABC tam giác nhọn B. AB 1800. C. Tam giác ABC vuông A D. A 600
Câu 11. (ID:14469) Hai tàu thủy P Q cách 300 m đồng thờithẳng hàng với chân A
tháp hảiđăngở bờbiển.Từ P Q, người ta nhìn chiều cao AB tháp góc 150và 750 Tính
chiều cao AB tháp hảiđăng?
A. 85,6m B. 86,6m C. 88,6m D. 84,6m
Câu 12. (ID:14468) Từ vị trí A người ta quan sát cao (Hình vẽ) Biết
Tính
45 ,
20 ,
4
m HB m BAC
AH chiều cao BC
A 17,3 m B 12,8 m C.14,5 m D. 18,9 m
Câu 13. (ID:14501) Cho ABC cân A có A a0;ABm D điểm nằm đoạn BC cho BC = 3BD Tính độ dài AD
(194)Trang 11
A 2m sin a B C D.
2
2
8 a
m sin
3
m.sin a
2
a m sin
2
Câu 14. (ID:14460) Cho ABC có BC 5,AC 6,AB 3. Trên đoạn AB, BC lầnlượtlấy điểm
M, K cho BM 2,BK 2. Tính MK
A 3 30 B C D.
5 30 15 30 15 30 15
Đáp án:
1 – C – D – B 4– C – A – B – B – C – D 10 – D 11 – B 12 – A 13 – B 14 – B
(195)Trang
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM
1 Vectơchỉphương
Vectơ u 0 gọi vectơ chỉphương (VTCP) củađường thẳng giá song song
trùng với .
Nhận xét:
Mộtđườngthẳng có vơ sốvectơchỉphương
Nếu u vectơchỉphươngcủa ku k 0 vectơchỉphươngcủa
2 Phương trình tham sốcủađườngthẳng
Cho đường thẳng qua M x ; y0 0 0 u a; b vectơ chỉphương Khi đóphương trình tham số củađườngthẳng có dạng:
,
0 x x at y y bt
t
Nhận xét: A A x 0at; y0bt
3 Phương trình tắccủađườngthẳng
Cho đường thẳng qua M x ; y0 0 0 u a; b (với a 0 ,b 0 ) vectơ phương Khi phương trình tắccủađườngthẳng có dạng:
0
x x y y
a b
4 Vectơ pháp tuyếncủađườngthẳng
Vectơ n 0 gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) giá vng góc với
Nhận xét:
Mộtđườngthẳng có vơ sốvectơ pháp tuyến
Nếu n vectơ pháp tuyếncủa kn k 0 vectơ pháp tuyếncủa
Liên hệgiữavectơchỉ phương vectơ pháp tuyến: vectơ pháp tuyến vectơchỉphương vng góc
với Do đónếu có vectơchỉphương u a; b n b;a mộtvectơ pháp tuyếncủa
5 Phương trình tổng quát củađườngthẳng
Cho đườngthẳng qua M x ; y0 0 0 có vectơ pháp tuyến n a; b Khi đóphương trình tổng qt
củađườngthẳng có dạng: a x x 0 b y y 00
Chú ý:
Nếuđườngthẳng : ax by c 0 n a; b vectơ pháp tuyếncủa
6 Các dạngđặcbiệtcủaphương trình tổng quát
song song trùng vớitrục Ox
: by c 0
song song trùng vớitrục Oy
: ax c 0
(196)Trang
đi qua gốctọađộ
: ax by 0
Phương trình đoạnchắn: qua hai điểm A a;0 ,B 0; b :x y 1với
a b
ab 0
7 Vị trí tươngđốicủa hai đườngthẳng
Cho hai đườngthẳng 1: a x b y c1 1 1 2: a x b y c2 2 2 0
Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 2 ta xét số nghiệm hệ phương trình (I)
1 1
2 2
a x b y c a x b y c
Nếuhệ (I) vô nghiệm, hai đườngthẳng song song
Nếuhệ (I) vô sốnghiệm, hai đườngthẳng trùng
Nếuhệ (I) có mộtnghiệm nhất, hai đườngthẳngcắt Nghiệm củahệ tọađộ giao điểm hai đườngthẳng
Chú ý:
Nếu a b c2 2 0 thì:
1
1
2
a b
a b
//
1
2
2 2
a b c
a b c
1 1
1
2 2
a b c
a b c
a a1 b b1
8 Góc hai đườngthẳng
Góc hai đườngthẳng 1 2 có vectơ pháp tuyến n1 a ; b1 1 n2 a ; b2 2 :
1 2 1 2
1 2 2 2 2 2
1 1 2
n n a a b b
cos , cos n , n
n n a b a b
9 Khoảng cách từmộtđiểmđếnmộtđườngthẳng
Khoảng cách từmộtđiểm M x ; y 0 0 đếnđườngthẳng : ax by c 0 cho công thức:
0
0 2 2
ax by c d M ,
a b
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viếtphương trình đườngthẳng 1 Phương pháp giải
Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB biết A x ; y 1 1,B x ; y 2 2x1x , y2 1y2 là:
1
2
x x y y
x x y y
(197)Trang Đườngthẳng qua điểm M x ; y 0 0 có hệsố góc k có phương trình là: y k x x 0y0
Viếtphương trình đường trung trựccủađoạn AB biết A x ; y 1 1,B x ; y 2 2
Đường trung trực đoạn AB qua trung điểm I x1 x2;y1 y2 AB nhận
2
, làm vectơ pháp tuyến
2 1 AB x x ; y y
Viếtphương trình đường phân giác trong, phân giác tam giác
Cho đườngthẳngcắt nhau: d : A x B y C1 1 1 10; d : A x B y C2 2 2 2 0
Phương trình đường phân giác góc tạobởi đườngthẳngđó là:
1 1 2
2 2
1 2
A x B y C A x B y C
A B A B
Chú ý:
Nếu hai đườngthẳng song song với chúng có vectơ pháp tuyến vectơchỉphương
Hai đườngthẳng vng góc với vectơchỉphươngcủađườngthẳng vectơ pháp tuyếncủa đườngthẳng ngượclại
Cho : Ax By C 0 A x ; y 1 1,B x ; y 2 2
A B nằmvề phía đốivới Ax1By1C Ax 2By2C0
A B nằm khác phía đốivới Ax1By1C Ax 2By2C0
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Lậpphương trình tham sốcủađườngthẳng qua M 2;1 có vectơchỉphương u 3;7
A. : x 3t B. C. D.
y 7t
x 3t :
y 7t
x 3t :
y 7t
x 3t :
y 7t
Hướngdẫn
đi qua có vectơchỉphương nên phương trình tham số có dạng:
M 2;1 u 3;7
x 3t
:
y 7t
t
Chọn A
Ví dụ 2:Phương trình đườngthẳngđi qua A 1;3 có vectơ pháp tuyến n 3; 2 là:
A. 3x 2y 0 B. 3x 2y 0 C. 3x 2y 0 D. 3x 2y 0
Hướngdẫn
Phương trình đườngthẳng có dạng: x 1 2 y 3 3x 2y 0
Chọn C
Ví dụ 3:Viếtphương trình tổng quát củađườngthẳngđi qua điểm A 3; 1 B 1;5
A. 3x y 0 B. 3x y 0 C. x 3y 0 D. 3x y 10 0
(198)Trang
Hướngdẫn
Đườngthẳngđi qua điểmnhậnvectơ AB 2;6 vectơchỉphương suy đườngthẳng có vectơ pháp
tuyến n 6; 2 3;1
Vậyphương trình đườngthẳng là: 3x y 0
Chọn B
Ví dụ 4: Cho điểm A 1;7 ,B 7;5 Viếtphương trình đườngtắc trung trựccủađoạnthẳng AB
A. x y B. C. D.
3
x y
1
x y
1
x y
1
Hướngdẫn
Đường trung trựccủa AB đườngthẳngđi qua trung điểmcủa AB vng góc với AB Ta có I 4;6 trung điểmcủa AB
suy vectơchỉphươngcủađườngthẳng
AB 6; 2 u 2;6 2 1;3
Vậyphương trình đườngthẳng là: x y
1
Chọn B
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A 2;0 ,B 0;3 ,C 3;1 Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình:
A. 5x y 0 B. 5x y 0 C. x 5y 15 0 D. x 5y 15 0
Hướngdẫn
Gọi d đườngthẳngcần tìm Do d song song với AC nên nhận AC 5;1 làm vectơchỉphương
Suy n 1; 5 vectơ pháp tuyếncủa d
có phương trình:
d x 0 5 y 3 x 5y 15 0 Chọn D
Ví dụ 6:Lậpphương trình đường thẳngđi qua điểm M 5; 3 cắt hai trụctọađộtại hai điểm A B cho M trung điểmcủa AB
A. 3x 5y 30 0 B. 3x 5y 30 0 C. 5x 3y 34 0 D. 5x 3y 34 0
Hướngdẫn Gọi A Ox A x ;0 A ;B Oy B 0; y B
Ta có M trung điểm AB A B M A
A B M B
x x 2x x 10
y y 2y y
Suy AB : x y 3x 5y 30
106
Chọn A
(199)Trang
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x y 0 ; AC : 7x y 0 ; Viếtphương trình đường phân giác góc A tam giác ABC
BC :10x y 19 0
A. 12x 4y 0 B. 2x 6y 0 C. 2x 6y 0 D. 2x 6y 0
Hướngdẫn
Do B AB BC nên tọađộcủa B nghiệmcủahệphương trình:
x y x
B 2;
10x y 19 y
Do C AC BC nên tọađộcủa C nghiệmcủahệphương trình:
7x y x
C 1;9
10x y 19 y
Phương trình đường phân giác góc A là:
2 2
2
2x 6y d
x y 7x y
12x 4y d
1 7 1
Xét d : 2x 6y 01 ta có:2xB6yB7 2x C6yC70 Suy B, C nằm khác phía so với phía so d1 với d2
Vậyphương trình đường phân giác góc A là: d : 2x 6y 01
Chọn B
Ví dụ 8: Đường thẳng d qua M 1; 5 cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = 2OB Viết phương trình đườngthẳng d
A. x 2y 11 0 x 2y 0 B. x y 0 x y 0
C. x 2y 11 0 x y 0 D. x y 0 x 2y 0
Hướngdẫn
Cách 1: Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc.
Gọiα góc giữađườngthẳng d trục Ox
Do tam giác OAB vuông O nên ta có: tan BAO OB
OA
Trườnghợp 1: BAO 180 tan
2
Đường thẳng d có hệ số góc qua nên có phương trình là:
2
M 1; 5
1
y x x 2y 11
2
Trườnghợp 2: BAO tan
2
(200)Trang
Đường thẳng d có hệ số góc qua nên có phương trình là:
2 M 1; 5
1
y x x 2y
2
Cách 2: Sử dụng phương trình đoạn chắn.
Giảsử A a;0 ,B 0; b ab 0 ; phương trình đườngthẳng AB là: x y bx ay ab (1)
a b
Do OA = 2OB nên a b a 2b a 2b
Trườnghợp 1: Nếu a = 2b ta có (1) bx 2by 2b 0 x 2y 2b 0 (2) Do M 1; 5 nằm d nên 1 5 2b 0 2b 11
Thay vào (2) ta đượcphương trình đườngthẳng d là: x 2y 11 0
Trườnghợp 2: Nếu a 2b ta có (1) bx 2by 2b 0 x 2y 2b 0 (3) Do M 1; 5 nằm đườngthẳng d nên 1 5 2b 0 2b 9
Thay vào (3) ta đượcphương trình đườngthẳng d là: x 2y 0
Chọn A
3 Bài tậptựluyện
Câu 1.Đường thẳng qua A 1; 2 , nhận n 2; 4 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x 2y 0 B. x y 0 C. x 2y 0 D. x 2y 0
Câu 2.Phương trình đườngthẳng qua A 5;1 song song với d : x y 0 là:
A. 3x 2y 0 B. x y 0 C. 3x 2y 0 D. 3x 2y 0
Câu 3.Phương trình đườngthẳng qua B 2;1 vng góc với d : x 2y 0 là:
A. 3x 2y 0 B. 2x y 0 C. x 2y 0 D. 2x y 0
Câu 4.Viếtphương trình tham sốcủađườngthẳngđi qua điểm A 3; 1 B 1;5
A. x t B. C. D.
y 3t
x t y 3t
x t y 3t
x t y 3t
Câu 5. Cho tam giác ABC có A 2; 1 ,B 1;3 ,C 6;1 Viết phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC
A. x y 0 B. 5x 3y 0 C. 3x 3y 0 D. x y 0
Đáp án
Dạng 2: Vị trí tươngđốicủa hai đườngthẳng 1 Ví dụ minh họa
1 – D – B – D – A – D