Đột phá kỳ thi THPT Quốc gia môn toán phần Hình học

Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy một góc 45 ... Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và [r]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung có đỉnh chung có cạnh chung

•Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác

2.Khối đa diện

Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian giới hạn hình đa diện

Chú ý:

• Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện

•Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh

•Mỗi hình đa diện có cạnh • Khơng tồn hình đa diện có cạnh • Khơng tồn hình đa diện có:

+Số mặt lớn số cạnh +Số đỉnh lớn số cạnh

Các hình khối đa diện:

Các hình khơng phải khối đa diện:

3.Khối đa diện đều

Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

• Các mặt đa giác n cạnh

•Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại  n; p

Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh M tổng mặt khối đa diện loại  n; p Ta có:

pĐ = 2C = nM

(7)

PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH 1 Khối đa diện đều

Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại

Tứ diện  3;3

Khối lập phương 12  4;3

Bát diện 12  3;

Mười hai mặt 20 30 12  5;3

Hai mươi mặt 12 30 20  3;5

2 Mặt phẳng đối xứng

Hình Số mặt phẳng đối xứng

Tứ diện

Hình lập phương

Hình chóp tứ giác

Hình hộp chữ nhật

Bát diện

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Ví dụ 1: Hình đa diện khơng có tâm đối xứng?

(8)

A Tứ diện đều. B Bát diện đều

C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều

Hướng dẫn Hình tứ diện khơng có tâm đối xứng

→ Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình khối sau:

Hình Hình Hình Hình

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi là:

A 1. B 2. C 3. D 4.

Hướng dẫn

Khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm thuộc đoạn thẳng AB thuộc khối

Có hai khối đa diện lồi là: Hình hình → Chọn B

Ví dụ 3: Trong phát biểu sau, phát biểu sai:

A Hình chóp hình chóp có tất cạnh bên đáy đa giác đều. B Trong hình chóp góc cạnh bên mặt đáy nhau.

C Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy. D Hình chóp hình chóp có tất cạnh nhau.

Hướng dẫn Hình chóp thỏa mãn hai điều kiện sau:

+ Đáy đa giác

+ Chân đường cao hình chóp tâm đáy

Các mặt bên hình chóp tam giác cân nên cạnh bên hình chóp chưa cạnh đáy đáp án D phát biểu sai

→ Chọn D

(9)

Ví dụ 4: Một hình chóp có 46 cạnh có mặt?

A 24. B 46. C 69. D 25.

Hướng dẫn Giả sử đa giác đáy có n cạnh, n đỉnh, Hình chóp có 2n cạnh Ta có: 2n 46  n 23

Suy hình chóp có 23 cạnh, từ có 23 mặt bên mặt đáy Vậy tổng cộng hình chóp có 24 mặt

→ Chọn A

Ví dụ 5: Khối tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC BD Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành:

A Hai khối tứ diện khối chóp tứ giác. B Hai khối tứ diện.

C Một khối tứ diện khối chóp tứ giác. D Hai khối chóp tứ giác.

Hướng dẫn

Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành khối tứ diện ABMN khối chóp tứ giác A.MNDC → Chọn C

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là:

A 10. B 8. C 6. D 4.

Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng hình đa diện loại  4;3 là:

A 9. B 8. C 7. D 6.

Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Tồn hình đa diện có số cạnh 7.

B Tồn hình đa diện có số cạnh nhỏ 7. C Số cạnh đa diện luôn lớn 6. D Tồn hình đa diện có số cạnh lớn 7.

Câu 4: Tổng độ dài tất cạnh khối mười hai mặt cạnh 2.

A 8 B 16 C 24 D 60

Câu 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

(10)

A Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh. B Tồn hình đa diện có số cạnh mặt nhau. C Số đỉnh số mặt hình đa diện ln nhau. D Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt nhau.

Câu 6: Gọi m số mặt đối xứng hình lập phương, n số mặt đối xứng hình bát diện Khi đó:

A Khơng thể so sánh m n. B m n.

C m n. D m n.

Câu 7: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp.

B Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp. C Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp. D Hình có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 8: Phát biểu sau đúng?

A Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt. B Hình hai mươi mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt. C Hình hai mươi mặt có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt. D Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt.

Câu 9: Một hình đa diện có mặt tam giác số mặt M số cạnh C đa diện thỏa mãn A 3C M. B C M 2.  C M C. D 3M 2C.

Câu 10: Số đỉnh hình mười hai mặt là:

A 12. B 19. C 20. D 24.

Câu 11: Trung điểm cạnh tứ diện tạo thành A đỉnh hình tứ diện đều.

B đỉnh hình bát diện đều. C đỉnh hình mười hai mặt đều. D đỉnh hình hai mươi mặt đều. Câu 12: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Tồn khối tứ diện khối đa diện đều. B Tồn khối lăng trụ khối đa diện đều. C Tồn khối hộp khối đa diện đều.

D Tồn khối chóp tứ giác khối đa diện đều. Câu 13: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng?

A 1. B 2. C 3. D 4.

Câu 14: Tổng góc đỉnh tất mặt khối đa diện loại  3;5 là:

A 12  B 16  C 20  D 24 

Câu 15: Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là:

A 10. B 8. C 6. D 4.

(11)

Câu 16: Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Tính S A S 3a  B S 3a 2 C S 3a  D S 8a 

Câu 17: Hình đa diện hình vẽ bên có mặt?

A 11. B 12. C 13. D 14.

Câu 18: Cho hình sau:

Hình Hình Hình Hình

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện là:

A 1. B 2. C 3. D 4.

Đáp án:

1 - C - A - A - D - D - D 7- B - D - C 10 - C

11 - B 12 - D 13 - D 14 - C 15 - C 16 - C 17 - B 18 - C

(12)

CHUN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM

1 Thể tích khối chóp V B.h

3  Trong đó:

B: diện tích đáy

h: chiều cao hình chóp

2 Các cơng thức hình học phẳng hay sử dụng a Hệ thức lượng tam giác vuông

Cho ABC vng đường cao AH ta có: • Định lý Pitago: BC2 AB2AC2

• BA2 BH.BC; CA2 CH.CB • AB.AC BC.AH

• 12 12 12 AH AB AC

b Hệ thức lượng tam giác thường

 Định lý côsin: a2 b2 c2 2bc.cosA 2

b   a c 2ac.cosB

2 2

c   a b 2ab.cosC

 Định lý sin: a b c 2R

sin A sin Bsin C  Định lý đường trung tuyến:

2 2

2 a

2b 2c a m

4

 



2 2

2 b

2a 2c b m

4

 



2 2

2 c

2a 2b c m

4

 

 c Các cơng thức tính diện tích

 Cơng thức tính diện tích tam giác:

   

a

1 a.b.c

S a.h a.bsin C p.r p p a p b p c

2 4R

       

Trong đó:

R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp

nửa chu vi a b c

p

2   

(13)

Đặcbiệt:

vuông A: ABC

 S 1AB.AC

2  cạnh a: ABC

 S a2

4 

 Diện tích hình vng: S = cạnh cạnh

 Diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài chiều rộng  Diện tích hình thoi: S 1đường chéo đường chéo

2

 

 Diện tích hình thang: S (đáy lớn + đáy nhỏ) chiều cao

 

 Diện tích hình bình hành: S = đáy chiều cao  Diện tích hình trịn: S .R2

d Các hệ thức quan trọng tam giác

PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH

Bài tốn Hình vẽ Thể tích

Thể tích tứ diện ABCD cạnh a VABCD a3

12 

Thể tích hình chóp S.ABC với mặt (SAB), (SAC), (SBC) vng góc với đơi một, diện tích tam giác ,S1 S2, S3

1 S.ABC

2S S S V

3 

Thể tích tứ diện ABCD gần (các cặp cạnh đối tương ứng nhau)

, ,

AB BC a  BC AD b  AC BD c 

(14)

 2 2 2 2 2 2 ABCD

2

V a b c a c b c b a

12

      

Thể tích hình chóp biết ba cạnh bên ba góc đỉnh SA a , SB b ,

, , ,

SC c ASB x BSC y  

CSA z

2 2

ABCD

V abc 2cos x.cos y.cos z cos x cos y cos z

    

Thể tích hình chóp tam giác cạnh đáy a, cạnh bên b

2 2

S.ABC

a 3b a V

12  

Thể tích hình chóp tam giác cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 

3 S.ABC

a tan V

24  

Thể tích hình chóp tam giác cạnh bên b, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

3

S.ABC

3a sin cos V

4

 

 Thể tích hình chóp tam giác

cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

3 S.ABC

a tan V

12  

Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên b

2 2

S.ABCD

a 4b 2a V

6  

Khi hình chóp tứ giác có tất cạnh a

3 S.ABCD

a V

6  Thể tích hình chóp tứ giác có

cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt đáy góc SMO 

3 S.ABCD

a tan V

6  

Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, SAB   với

3

S.ABCD

a tan

V

6

  

(15)

;  

 

 

Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh bên b, góc tạo mặt bên mặt đáy SMO  với

0;     

 

 

3

S.ABCD 3

2 4b tan V

3 tan  

 

Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy 1 Phương pháp giải

Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy:

1 V B.h

3  Trong đó:

h = độ dài đường cao = độ dài cạnh bên vng góc với đáy

Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA 4, AB 6, BC 10   CA 8 Tính thể tích khối chóp S.ABC

A V 40. B V 192. C V 32. D V 24.

Hướng dẫn

Vì SA vng góc với đáy nên chiều cao h SA Xét tam giác ABC, ta có:

2 2 2

AB AC 6 8 10 BC

Suy tam giác ABC vng A, diện tích tam giác ABC là:

ABC

1

B S AB.AC 6.8 24

2

   

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

SABC ABC

1 1

V B.h S SA 24.4 32

3 3

   

→ Chọn C

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc

(16)

với mặt đáy SB a 5 Tính thể tích V khối chóp S.ABC

A. B. C. D.

3 a

V

3

 V a 3. V a 33 .

2

 V a 33

6  Hướng dẫn

Do tam giác ABC tam giác nên diện tích đáy là:  2

2 ABC

2a

B S 3a

4

  

Vì SA vng góc với đáy nên chiều cao hình chóp là:

2 2

h SA  SB AB  5a 4a a Vậy thể tích V khối chóp S.ABC là:

3

S.ABC

1 a

V B.h a 3.a

3 3

  

→ Chọn A

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với (ABC), đáy ABC tam giác vng cân A, , góc SB (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC

BC 2a 30

A B C D

3 a

V

3

 V a3

9

 V a3

mà nên AB hình chiếu SB lên suy góc SB

 

SB ABC B SAABC ABC

góc

ABC SBA 30 

Tam giác ABC vuông cân A, BC 2a AB AC a 2  a

SA AB.tan 30 a

3

   

Diện tích tam giác ABC là: 2

ABC

S AB a

2

 

S.ABC ABC

1 a a

V SA.S a

3 3

  

→ Chọn C

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC cạnh a, CA a Hai mặt ABC ASC vng góc với SBC Thể tích hình chóp là:

A V a 33 B C D

12

 V a 33

2

 V a 33

4

 V a3

(17)

Do

   

 

ABC SBC

SAC SBC AC SBC

ABC SAC AC

 



  



  



Suy AC chiều cao hình chóp Ta có: AC a

Tam giác SBC cạnh a nên diện tích đáy

ABC

a S

4 

2

SBC

1 a a

V S AC a

3 12

  

→ Chọn A

Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A V 3a  B V 3a3. C D

3

 V a  V a3.

Ta có diện tích đáy là:

2 ABCD

S AB.AD a a 3  a Ta có:

  BC SA

BC SAB BC SB

BC AB

 

   

 



SBC  ABCDBC Vì BCAB; BC SB

   

 SBC , ABCD   SB, AB SBA 60

    

Xét tam giác SAB vng A có: SA

tan 60 SA AB tan 60 a AB

     

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

2

S.ABCD ABCD

1

V S SA a 3.a a

3

  

→ Chọn C

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, BC a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 45 Tính thể tích V khối chóp S.ABC

(18)

Trang

A B C D

3 a

V

12

 V a3

4

 V a3

6

 V a 33

Do ABC tam giác vuông cân A, BC a 2 nên

BC

AB=AC a

2

 

Diện tích tam giác ABC là:

2 ABC

1 a

S AB.AC

2

 

Kẻ SM vng góc với BC

 

BC SA

BC SAM BC SM

BC SM

 

   

 



SBC  ABCBC Vì BC SM ; BCAM

   

 SBC , ABC   SM, AM SMA 45

    

Do tam giác SAM vng cân A nên ta có SA AM a 2

 

2

S.ABC ABC

1 a a a

V S SA

3 2 12

  

→ Chọn A

3 Bài tậptựluyện

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. B. C. D.

3 a 13

V

2

 V a3

12

 V 3a 133

2

 V 5a 133

2 

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA a Mặt đáy (ABCD) hình thoi cạnh a, góc ABC 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

A. B. C. D.

3 a

6

3 a

3 2a

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB 2a, BAC 60   Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA a 3 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. V a  B. V 3a  C. V 2a  D. V 4a 

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60 Thể tích hình chóp S.ABCD là:

(19)

A. B. C. D.

a

3 a

3 3a

3 a

Đáp án

1 - B - A - C - D

Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy 1 Phương pháp giải

Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy:

1 V h.B

3  Trong đó:

h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh chóp mặt bên vng góc với cạnh đáy

Chú ý:

Cho mặt phẳng hai mặt phẳng (P) (Q)    

   

P Q

P Q a

  

 



Khi đó:

   

b P

b Q

b a 

  

  

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác đều, nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A a 33 B

3 a

C a3 D

3 a

Hướng dẫn

Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD

SAB  ABCDAB Gọi H trung điểm AB

ABC

 SHAB

Do SHABCD 

Đường cao hình chóp SH Diện tích đáy ABCD là:

2 ABCD B S a

Tam giác SAB nên h SA a

 

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: ABCD

1 a

V h.B SH.S

3

  

→ Chọn B

(20)

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABC

A B C D

3 6a

24

3 6a

12

3 6a

Hướng dẫn

Tam giác SAB vuông cân S SA a nên AB a 2.

Gọi M trung điểm AB, ta có SMAB SM AB a (SM đường trung tuyến tam giác

2

 

SAB vuông cân S)

Mặt khác SAB  ABC, SMAB SAB  ABCAB nên

 

SM ABC

Suy SM đường cao hình chóp S.ABC ứng với đáy tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:  2 ABC

a S

4 

Thể tích khối chóp S.ABC là:

 2

3

S.ABC ABC

a

1 a a

V SM.S

3  12

  

→ Chọn C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 2a , AD a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD

A V 2a3 B C. D

3

 V a3

3

 V 2a3

3

 V 3a3

Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là: ABCD

S AB.AD 2a a 2a  

Ta có:

 

SC ABCD C

 

SH ABCD

Do SC, ABCD SCH 45  

Do tam giác SHC vuông cân H nên SH HC. Mà HC BH2BC2  a2a2 a SH.

(21)

Vậy tích khối chóp S.ABCD là:

3

ABCD ABCD

1 2a

V S SH 2a a

3 3

  

→ Chọn A

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có góc SC mặt đáy 45, đáy ABC tam giác vuông A có AB 2a , góc ABC 60  hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A V 2.a 393 B C D

3

 V a 393

3

 V 2.a 373

3

 V 4.a 393

Gọi H trung điểm AB Theo đề ta có SHABC  Ta có:

 

SC ABC C

 

SH ABCD

Do SC, ABC SCH 45  

Tam giác SHC vuông cân H nên SH HC

Vì ABC tam giác vng A có AB 2a , góc ABC 60  Ta có AC AB.tan 60  2a

Diện tích tam giác ABC là: ABC

1

S AB.AC 2a

2

  

Tam giác AHC vng A: HC AH2AC2 a 13. Do SH HC a 13. 

Vậy tích khối chóp S.ABC là:

3

S.ABC ABC

1 2a 39

V SH.S a 13.2a

3 3

  

→ Chọn A

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng, mặt bên (SAB) tam giác nằm

trong mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) a Tính

thể tích V khối chóp S.ABCD

A. V 1a 3 B. C. D

3

 V a  V 2a 3

3

 V 3a 3

Gọi M, H trung điểm AB, CD

 

SM ABCD

  CDMHCDSMH 

(22)

Đặt AB x MH AD x,SM AB x

2

     

Kẻ MK vng góc với SH K SH  MKSCD  Tam giác SMH vng M, có:

2

2 2 2

1 1 1 7

x a

MK SM MH 3a 7 x x 3 9a 3x

7

        

   

   

   

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

 2 ABCD

1 3a 3a

V SM.S a

3 2

  

→ Chọn D

Câu 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC

A. B. C. D.

3 a a a 24 a 16

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD 3a Hình chiếu vng góc H đỉnh



S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A. V a3 B. C. D.

3

 V 2a3

3

 V 2a3

13

 V 2a3

5 

Câu 3. Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD a Tính thể tích tứ diện

A. B. C. D.

3 a a a 36 a 36 Đáp án:

1 – C – A – D

Dạng 3: Khối chóp đều 1 Phương pháp giải Thể tích hình chóp :

1 V h.B

3  Trong :

h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh tới tâm hình chóp

Ví dụ: Cho chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích chóp S.ABC

A a 113 B 12

3 a 12

11

C D

3 a 12 a 11

(23)

Chú ý:

Khối chóp tam giác có đáy tam giác đều, chân đường vng góc hạ từ đỉnh tâm đáy Khối chóp tứ giác có đáy hình vng, chân đường vng góc hạ từ đỉnh giao điểm hai đường chéo

Hướng dẫn

Gọi O trọng tâm tam giác ABC Vì tam giác ABC nên SOABC 

Xét tam giác ABC đều, ta có: 2 a a

AO AH

3 3

  

Trong tam giác vuông SOA

2 2 11a

SO SA OA

  

a 11

h SO

3

  

ABC

a

B S

4

 

ABC

1 a 11

V S SO

3 12

 

→ Chọn A 2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ABCD

A B C D

3 a

12

3 a

12

3 a

Hướng dẫn

Gọi O trọng tâm ABC, ABCD tứ diện nên DOABC Tam giác ABC cạnh a nên diện tích tam giác ABC là:

2 ABC

a

S

4 

Gọi I trung điểm AB Do đáy tam giác nên

(24)

2

V S DO

3 12

 

→ Chọn A

Ví dụ 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh bên 2a, góc cạnh bên mặt đáy

60

A 2a 33 B 2a3 C 2a 33 . D

3 6a

Hướng dẫn

Gọi O giao điểm hai đường chéo Vì tứ giác S.ABCD tứ giác nên SOABCD Ta có:

 

SB ABCD B

 

SO ABCD

Do SB, ABCD SBO 60   Xét tam giác SBO vuông O

1 OB SB.cos 60 2a a

2

   

Độ dài đường cao: SO SB.sin 60 2a a

   

Xét tam giác ABO vuông O: AB AO2BO2 a 2. Diện tích đáy ABCD là:

 2

2

ABCD

S AB  a 2a

Vậy thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD là:

ABCD

1 2a

V SO.S 2a a

3 3

  

→ Chọn C

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. B. C. D.

3 8a 3 a 3 4a 3 2a Trang 21 Trong tam

Vậy thể tích

giác vuông DOC:

(25)

Trang 14 Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp S.ABC

A. B. C. D.

3 a

12

3 a

24

3 a

24

3 a

24

Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. B. C. D.

3 a

12 Đáp án:

1 – C – C – D

Dạng 4: Tỉ số thể tích 1 Phương pháp giải

Cho hình chóp S.ABC, cạnh SA, SB, SC lấy A , B  C

Khi ta có:

S.A B C S.ABC

V SA SB SC

      

Chú ý:

Công thức áp dụng cho hình chóp tam giác

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD tích V điểm M, N, P thỏa mãn điều kiệnAM 2AB , Mệnh đề AN 3AC  AP 4AD 

đúng?

A VAMNP V B 24

 VAMNP 24V

C VAMNP 8V D VAMNP V  Hướng dẫn

Từ giả thiết, ta có:

nên

AM 2AB  AB AM nên

AN 3AC  A C AN 3 nên

AP 4AD  A D AP 4

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có:

(26)

Trang 15 A.BCD

A.MNP

V AB AC AD 1 1

V AM AN AP    2 24 Suy VA.MNP 24.VA.BCD 24V

→ Chọn C 2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC Đặt MNPA BC Khi SABC

V k

V  giá trị k là:

A 8 B C 8 D

7

1 Hướng dẫn

Do M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC nên ta có: SM SN SP

SA  SB SC 

Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích ta có:

SMNP SABC

V SM SN SP 1 1

V  SA SB SC2 28 Do đó:

MNPABC SABC SMNP SMNP

SABC SABC SABC

V V V V 7

1 k

V V V 8



       

→ Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao 9, diện tích đáy Gọi M trung điểm cạnh SB N thuộc cạnh SC cho NS 2NC Tính thể tích khối chóp A.BMNC

A. V 15. B V 5. C V 30. D V 10.

Hướng dẫn

Từ giả thiết, ta có SN SC 3

SM SB  Thể tích khối chóp VS.ABC 1.9.5 15

3

 

Ta có S.AMN

S.AMN S.ABC S.ABC

V SM SN 1

V V

V  SB SC  3 3

ABMNC S.ABC S.MNP S.ABC S.ABC S.ABC

1 2

V V V V V V 15 10

3 3

      

→ Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N thuộc cạnh SB, SC cho SM MB , Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi Khẳng

SN 2CN V1VS.AMN V2 VABCNM

định sau đúng?

(27)

Trang 16

A V1V2 B V1 1V2 C D

3

 V1 1V2

2

 V1 2V2

Do SM MB SM SB

  

SN

SN 2CN

SC

   

 

Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích, ta có:

S.AMN S.ABC

V SM SN

V  SB SC  33

S.AMN S.ABC ABCNM S.ABC

1

V V V V

3

   

Vậy V1 1V2  → Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Mặt phẳng   qua A, B trung điểm M SC Mặt phẳng   chia khối chóp cho thành hai phần tích V1, V2 với

Tính tỉ số

V V

2 V V

A B C D

2

V

V 

1

V

V 8

1

V

V 8

1

V

V 5 Hướng dẫn

Kẻ MN CD N CD , suy ABMN thiết diện khối chóp Ta có VS.ABMN VS.ABMVS.AMN

S.ABM

S.ABM S.ABC S.ABCD S.ABC

V SM 1

V V V

V  SC  2 2 

S.AMN

S.AMN S.ABCD S.ACD

V SM SN 1

V V

V  SC SD 4 8

Do VS.ABMN 1VS.ABCD 1VS.ABCD 3VS.ABCD

4 8

  

Suy VABMNDC 5VS.ABCD

 Vậy

2

V

V 5 → Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tỉ số thể tích khối chóp S.MNPQ khối chóp S.ABCD bằng:

(28)

Trang 17

A 1 B C D

8

1 16

1

1 Hướng dẫn

Ta có:

Tỉ số S.MNP S.ABC

V SM SN SP 1 1

V  SA SB SC2 28 Tỉ số S.MPQ

S.ACD

V SM SP SQ 1 1

V  SA SC SD 2 2 8

S.MNPQ S.MNP S.MPQ S.ABC S.ACD S.ABCD

1 1

V V V V V V

8 8

     

1

2 V

1

V V

8 V

   

→ Chọn A

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với đáy SA a 2 Gọi B , D  hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng AB D  cắt SC C Thể tích khối chóp S.AB C D   là:

A B C D

3 2a

V

9

 V 2a3

3

 V a3

9

 V 2a 33

Gọi O tâm hình vuông ABCD I SO B D   CAI SC. Ta có: BC AB BC AB

BC SA



   

 



Lại có ABSBABSC, tương tự AD SC Do AC SC

Xét tam giác SAB có: 2

2

SB SA

SB SB SA

SB SB



    

Tương tự

2

SC SA

SC SC



 

Do S.AB C , tính chất đối xứng nên: S.ABC

V 2

V

   

3

S.AB C D

S.ABCD S.ABCD

V a a

; V V

V 3

      

→ Chọn C

(29)

Trang 18 Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy, SA a , ABC cạnh 2a Gọi M, N thuộc cạnh SB, SC cho SM MB,SN   2CN Tính thể tích khối AMNCB

A. 3a3 B. C. D.

9

3 3a

Câu 2. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng   qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

A. B. C. D.

3

5 Đáp án:

1 – A - C

PHẦN 4: BÀI TẬPTỔNGHỢP

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD

A. V 2a3 B. C. D.

6

 V 2a3

4

 V 2a 3 V 2a3.

3 

Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ABC AB 3a , BC 4a , AC 5a , Thể tích khối tứ diện ABCD là:

AD 6a

A. 6a 3 B.12a 3 C. 18a 3 D. 36a 3

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy AB a , AC 2a , BAC 120  Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. V a3 21 B. C. D.

14

 V a3 21

13

 V 2a3 21

13

 V 3.a3 21

14 

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB 3a , AD 4a , SAABCD, SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. V 20a  B. V 20a 2. C. V 30a  D. V 22a 

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a   , ASB 90 , BSC 120 , ASC 90   Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. B. C. D.

3 a

12

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB a , BC 2a Gọi H trung điểm cạnh AB, SH vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SA a Tính thể tích hình chóp S.ABCD

2 

A. V a3 B. C. D.

3

 V 2a3

3

 V 2a3

13

 V 2a3

5 

Câu 7. Cho chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích chóp S.ABC

(30)

Trang 19

A. B. C. D.

3 a 11

12

3 a 12

11

3 a

12

3 a

11

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, cạnh bên SD vng góc với đáy, cho AB AD a  , CD 3a , SA a 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. 2a3 B. C. D.

3

3 4a

3 a

3 2a

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB a , ACB 60 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45 Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. a 33 B. C. D.

6

3 a

18

3 a

12

Câu 10. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B, D trung điểm SB SD Mặt phẳng AB D  cắt SC C Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB C D   S.ABCD

A. B. C. D.

2

1

1 Đáp án:

1 - D - B - A - A - D - B - A - D - B 10 - C

(31)

Trang CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CHUYÊN ĐỀ 3: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM

1 Định nghĩa

Cho hai mặt song song () (') Trên () ta lấy đa giác lồi A1A2 An, qua đỉnh ta dựng

đườngthẳng song song cắt (’) A1’A2’ An’ Hình bao gồm hai đa giác A1A2 An, A1’A2’ An’ hình bình hành A1A2A1’A2’, gọi hình

lăngtrụ

Chú ý:

Các mặt đáy hình lăng trụ song song với

Các mặt bên hình bình hành

Hai đáy hình lăngtrụ hai đa giác 2 Các lăngtrụđặcbiệt

- Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc vớiđáy

Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình

lăngtrụ

Lúc mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữnhật

- Hình lăngtrụđều: Là hình lăngtrụđứng có đáy

đa giác

Các mặt bên lăng trụ hình chữnhật

- Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành

- Hình hộp đứng: hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành

- Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữnhật

- Hình lập phương: hình lăngtrụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng

Hình lăngtrụđứng

Hình lăngtrụ tam giác có đáy tam giác

Hình lăngtrụtứ giác có đáy hình vng Hình hộp

- Hình hộp đứng có mặt bên hình chữ nhật, mặt đáy hình bình hành

- Hình hộp chữ nhật có tất mặt hình chữ nhật

- Hình lập phương có tất mặt hình vng

3 Thể tích khốilăngtrụ

(32)

Trang V = B.h

Trong đó:

- B diện tích đáy,

- h hiều cao khốilăngtrụ

4 Thể tích khốihộpchữnhật V = a.b.c

Trong đó: a, b, c ba kích thước củakhốihộpchữ nhật

5 Thể tích khốilậpphương V = a3

Trong đó: a độ dài cạnhcủa hình lậpphương

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khốilăngtrụđứng 1 Phương pháp giải

Thể tích khốilăngtrụđứng

V = B.h Trong đó:

B diện tích đáy

h độ dài cạnh bên củakhốilăngtrụ

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy

ABC tam giác vuông cân A, AB = a, BB' = 2a Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C' A C

3 2a V

3

 V a3

3  B V a D V 2a

Hướngdẫn

Độ dài chiều cao củakhốilăngtrụ h = BB' = 2a

Vì đáy tam giác vng cân A nên AB = AC = a

Diện tích đáy là:

(33)

Trang

ABC

1 a

S AB.AC a.a

2 2

  

Vậythể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C' là:

3 ABC

a V BB'.S 2a a

2

  

Chọn B 2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác đềucạnh a, AB' = 2a Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C’

A V a3 B C D V = 2a3

 V 3a3

2

 V 3a3

4 

Hướngdẫn

Tam giác ABC tam giác nên có diện tích là:

ABC 3a S

4 

Do A’B’A vuông cân A’ nênA A' ( ' ) B A 2( 'B')A  a 3

Vậythể tích V củakhốilăngtrụ

3 ' ' '

3 '

4 A B C

a V A A S   Chọn C

Ví dụ 2: Cho hình lăngtrụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác đềucạnh a, tam giác A’B’A cân Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’

A V 3a3 B C D V = 2a3 12

 V 3a3

4

 V 3a3

3 

Hướngdẫn

Tám giác ABC tam giác nên có diện tích đáy là:

ABC 3a S

4 

Do A’B’A vuông cân A’ nên A’A = A’B’ = a Do đóchiều cao củalăngtrụ h = A’A = a

Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:

2

ABC

a 3a V AA '.S a

4

  

Chọn B

Ví dụ 3: Cho lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A AB = a, AC = a , mặt phẳng (A’BC) tạovớiđáymột góc 30° Thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:

(34)

Trang A B C D

3 a

4

3 a

3

3 a

7

3 a

8

Hướngdẫn Diện tích đáycủalăngtrụ là:

2 ABC

1 a

S AB.AC

2

  

Kẻ AMBCvới M thuộc BC Vì BCAA 'nên BC (A 'MA) Suy A 'MAA 'BC , ABC   30

Tám giác ABC vuông A nên ta có:

2 2 2

1 1 1

AM  AB AC a 3a 3a Suy AM a Ta có:

2

 AA ' AM.tan 30 a 3 a

2

   

2

ABC.A 'B'C' ABC

a a a

V AA '.S

2



  

Chọn A

Ví dụ 4: Cho hình lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A, AB = a, AB' hợp vớiđáymột góc 60° Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'

A B C D

3.a V

6

 V 3a3 V a3

3

 V 3.a3

2 

Hướngdẫn

Do tam giác ABC vuông cân A nên AB = AC = a

1 a

S AB.AC

2

 

Do AA ' (A 'B'C ') (AB';(A 'B'C ')) AB'A ' 60   Xét tam giác AB’A’ vuông A’:

 A 'A A 'B'.tan AB'A ' a 3 

2

ABC

a 3a V AA '.S a

2



  

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình lăngtrụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a, AB' hợp vớimặtphẳng (ACC’A’) góc 60° Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'

A V 3a3 B C D

 V 3a3

6

 V a3

3

 V 3a3

2 

(35)

Trang

Hướngdẫn

Do tam giác ABC vuông cân A nên AB = AC = a

1 a

S AB.AC

2

 

Do AA ' A 'B' A 'B' A 'C ' A 'B' (ACC 'A ') 

(AB';(A 'B'C ')) B'AA ' 60

   

Xét tam giác AB’A’ vuông A’: 



A 'B' A 'B' a tan B'AA ' A 'A

A 'A tan B'AA '

   

Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’

2

ABC

a a 3a

V AA '.S

3



  

Chọn B

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAC 30 , Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABCD.A'B'C'D'

AB' 2a

A V 3a3 B C D

 V 3a3

2

 V 3a3

8

 V 3a3

8 

Hướngdẫn

Do A’B’C’D’ hình thoi cạnh a B'A 'C ' 30 nên A’B’D’ tam giác đềucạnh a Diện tích đáycủa lăngtrụ là:

2 A 'B'C'D' A 'B'D'

3a

S 2S

2 

 

Xét tam giác A’AB’ vng A’, ta có:

2

A 'A (B'A) (A 'B') a

Vậythể tích củakhốilăngtrụ là:

A 'B'C'D' 3a V AA '.S

2

 

Chọn B

Ví dụ 7: Mộttấm bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắtbỏ điở góc bìa hình vng

cạnh 12 cm rồigấplại thành hộpchữnhật khơng có nắp Tính thể tích hộp

A 4800 cm3 B 1400 cm3 C 1200 cm3 D 4000 cm3

Hướngdẫn

(36)

Trang Theo đề bài, ta có AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = 12cm

Do ABCD hình vng có AB = 44cm – 24cm = 20cm chiều cao hộp h = AA’ = 12cm

Vậythể tích hộp V = SABCD.h = 4800 cm3 Chọn A

Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết AB = 3cm, Thể tích khối lăng trụđã cho là:

BC ' 2cm

A 27cm3 B 27cm3 C D

2

3 27

cm

3 27

cm

Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên Tính theo a thể tích củakhốilăngtrụ

AA ' a 2

A 2a3 B 2a3 C D

2

3

2a 2 2a3

Câu Cho lăngtrụđứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD’ lăngtrụhợpvớiđáy ABCD góc 30° Tính tổngdiện tích mặt bên củalăngtrụ

A B C D

2 a

6

2 a

6

2 a

4

2 4a

3

Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a, (AB'C')

hợpvớimặtđáymột góc 30° Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'

A B C D

3 6a V

6

 V 6a3

36

 V 6a3

12

 V 6a3

4 

Đáp án:

1 - B - A - D - C Dạng 2: Khốilăngtrụđều

1 Phương pháp giải

Thể tích khốilăngtrụđứng

V = B.h Trong đó:

B diện tích đáy (đáy đa giác đều), h độ dài

cạnh bên củakhốilăngtrụ

Ví dụ: Tính thể tích củakhối lăngtrụ tam giác

ABC.A'B'C' có tấtcả cạnhđềubằng 2a A V 3a C V 3a3

4  B D

3 3a V

3

 V 3a3

Hướngdẫn

(37)

Trang Do ABC.A'B'C' lăng trụ nên đường cao lăngtrụ BB' = 2a

Diện tích đáy là:

2 ABC

(2a)

S 3a

4

  

Vậythể tích củakhốilăngtrụ là:

ABC

V BB'.S  2 3a Chọn A

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B'C Mặt phẳng (A'BC) chia khối lăng trụ thành hai

phần.Tỉsốthể tích hai phầnđóbằng:

A B C D

1

3

Hướngdẫn

Mặt phẳng (A'BC) chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành hai phần A'.ABC A'B'C'CB Gọi V thể

tích củalăngtrụ ABC.A’B'C' Ta có:

A '.ABC ABC ABC.A 'B'C'

A 'B'C'BC A '.ABC

1 1

V AA '.S V V

3 3

1

V V V V V V

3

  

     

Suy tỉsốthể tích hai phầnđóbằng A '.ABC A 'B'C'BC

V

V 

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình lăngtrụ tam giác ABC.A'B'C' cỏ cạnhđáy a, (AB'C') hợpvớimặt đáymột

góc 60° Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'

A B C D

3a V

24

 V 3a3

4

 V 3a3

8

 V 3a3

8 

Hướngdẫn

Vì hình lăngtrụ tam giác nên đáy tam giác đềucạnh a Diện tích đáy

ABC 3a S

4 

(38)

Trang

Gọi M trung điểm B’C’ Do tam giác A’B’C’ nên A'M  B'C' Kết hợp với AA'  B'C' suy B'C'  (AMA') => B'C'  AM

Do ((AB'C');(A'B'C’)) = AMA ' = 60° Xét tam giác AMA' vuông A':

 3a

A 'A A 'M tan AMA '

 

Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’

2

ABC

3a a 3 3a V AA '.S

2



  

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình lăngtrụ ngũ giác ABCDE.A'B'C'D'E' có cạnhđáy 2, cạnh bên Thể

tích củakhốilăngtrụđã cho gầnbằng giá trị sau đây?

A V 22,02 B V 7,34 C V 32,02 D V 27,53

Hướngdẫn

Do ABCDE.A’B’C’D’E’ lăngtrụđều nên đường cao củalăngtrụ BB’ =

Ta có:  



360 HB'

B'OC ' 72 HOB' 36 OH

5 tan HOB' tan 36



        

 Do SA 'B'C'D'E ' 5S OB'C' OH.B'C '1

2 tan 36



  



Vậythể tích củakhốilăngtrụđã cho là: A 'B'C'D'E '

20

V BB'.S 27,53

tan 36

  

 Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh đáy a,cạnh bên 2a Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABCDEF.A'B'C'D'E'F'

A B C D

3 3a V

2

 V 3a V 3a V 3a3

3 

Hướngdẫn

(39)

Trang Do ABCDEF.A'B'C'D'E'F' lăngtrụđều nên đường cao củalăngtrụ BB' = 2a

Ta có: B'OC ' 360 60 OB'C 'là tam giác

6 

   

Do đó:

2

A 'B'C'D'E 'F' OB'C'

3a 3a

S 6S

4



  

Vậythể tích củakhốilăngtrụđã cho là:

A 'B'C'D'E '

V BB'.S 3 3a Chọn B

Câu Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ

A 8a3 B 9a3 C 18a3 D 21a3

Câu Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ biết (ABC’) hợp với đáy góc 60và diện tích tam giác ABC 3a2

A 6a3 B C D

4

3

a

3

a

3

a

Câu Tính thể tích V củakhốilăngtrụtứ giác ABCD.A'B'C'D' có tấtcả cạnhđềubằng 2a

A V 8a3 B C D

3

 V 2a3

3

 V 8a V 3a

Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy a, AC' hợp với mặt phẳng

(ABB’A’) góc 45° Tính thể tích V củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'

A V 6a3 B C D

24

 V 3a3

4

 V 6a3

8

 V 6a3

4 

Đáp án:

1 – C – C – C - C Dạng 3: Khốilăngtrụ xiên

1 Phương pháp giải

Thể tích khốilăngtrụ xiên V = B.h Trong đó:

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a hình

chiếucủa A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung

(40)

Trang 10 B diện tích đáy

h khoảng cách đường cao hạtừđỉnhbất kì xuống mặtphẳngđáy

điểmcủa BC Tính thể tích củakhốilăngtrụđó

A C

3a

3 3a

8 B a 33 D

8

3 a

8

Hướngdẫn

Gọi H trung điểmcủacạnh BC, theo đề ta có A 'H(ABC)

Vì tam giác ABC tam giác nên

ABC

a a

AH ;S

2 

 

Tam giác vuông A’HA:

2

2 2 3a 3a

AH A 'A AH 3a

4

    

Do đó,thể tích củakhốilăngtrụ là:

2

ABC.A 'B'C' ABC

3a a 3a

V A 'H.S

2



  

Chọn C 2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên hợpvớiđáy ABC góc 60° Tính thể tích lăngtrụ

a

A 3a3 B C D

3 a

8

3 3a

8

3 a

8

Hướngdẫn Kẻ C’H  (ABC) nên H hình chiếucủa CC’ (ABC) Ta có CC ' (ABC) C,CH ' (ABC)  

Xét tam giác vuông CHC’, ta có: 3a

C 'H CC '.sin 60

  

Do tam giác ABC tam giác nên:

ABC

a S

4 

Vậythể tích lăngtrụ là:

(41)

Trang 11

ABC

3a V S C 'H

8

 

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A, AB = a, hình chiếu

vng góc A' (ABC) trung điểm H củacạnh BC, tam giác A'HA tam giác cân Tính thể tích

củakhốilăngtrụ ABC.A'B'C'

A B C D

2a V

4

 V 2a3

12

 V 2a3

3

 V 2a3

2 

Hướngdẫn

Tam giác A’HA vuông cân H  A 'H AH a 2

 

1 a

S AB.AC

2

 

ABC 2a V A 'H.S

4 

 

Chọn A

Ví dụ 3: Cho hình lăngtrụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác đềucạnh a, hình chiếu vng góc A' (ABC) trung điểm BC, A’A hợp với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A'B'C'

A B C D

3a V

8

 V a V 3a3

3

 V 3a3

8 

Hướngdẫn

A 'A (ABC) A 

Do A’H  (ABC)  (A’A;(ABC)) = A 'AH 60   Xét tam giác A’HA vuông H, ta có:

 3a

A 'H AH.tan A 'AH

 

Do ABC tam giác nên diện tích tam giác ABC

2 ABC

3a S

4 

ABC

3 3a V A 'H.S

8 

 

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình lăngtrụ ABC.A’B’C’, ABCđều có cạnhbằng a, AA' = a đỉnh A’ cách A, B, C Gọi M trung điểmcủacạnh BC Thể tích khốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:

(42)

Trang 12 A B C D

3 a

2

3 a

4

3 a

8

3 a

3

Hướngdẫn

Gọi O tâm tam giác ABC, A’ cách đỉnh A, B, C nên hình chiếu vng góc A’ lên

mặtphẳng (ABC) trùng vớitrọng tâm O Do A’O  (ABC)

Ta có tam giác ABC đềucạnh a nên:

a a

AM , AO AM

2 3

  

ABC

a S

4  

Xét tam giác A’OA vng O, ta có:

2 2 a a

A 'O AA ' AO a

3

    

Thể tích khốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:

2

ABC

a a a

V S A 'O

4



  

Chọn B

Ví dụ 5: Cho khốilăngtrụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích Khoảng cách

giữacạnh CC’ mặt (ABB’A’) Thể tích khốilăngtrụ là:

A 10 B 12 C 14 D 16

Hướngdẫn Kẻ thêm hình, ta dựngkhốihộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:

ABC.A'B'C ' ABCD.A'B'C 'D'

1

V V

2 

Xem khốihộp ABCD.A’B’C’D’ khốilăngtrụ có hai đáy ABB’A’ DCC’D’

Vậy VABCD.A'B'C 'D' SABB'A'.h,trong

và

h d(C,(ABB ' A ')) d(CC ',(ABB ' A ')) 7   SABB'A' 4

ABC.A'B'C '

1

V 4.7 14

2

  

Chọn C

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ADC 120  , (ADC'B') hợpvớiđáymột góc 45° Tính thể tích củakhốilăngtrụ ABCD.A'B'C'D'

A B C D

3

a V

4

 V 3a3

2

 V 3a3

4

 V 3a3

2 

(43)

Trang 13

Hướngdẫn

Do A'B'C'D' hình thoi cạnh a ADC 120  nên A B D' ' ' tam giác đềucạnh a

2

A'B'C 'D' A'B'D'

a a

S 2S

4



  

D’M đường cao tam giác D’C’B’ nên: a

D 'M 

D 'MB'C'B'C' (D'DM) B'C' DM Do ((ADC 'B ');(A 'B 'C ' D ')) DMD ' 45  

Suy D’MD vuông cân D’ D ' D D 'M 3a

  

Vậythể tích củakhốilăngtrụ ABCD.A’B’C’D’ là:

3 A'B'C 'D'

3a V DD '.S

4

 

Chọn C

Ví dụ 7: Cho khốilăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đếnđườngthẳng BB’ 2, khoảng cách từ

A đến đường thẳng BB’ CC’ 3, hình chiếu vng góc A lên mặtphẳng

(A’B’C’) trung điểm M B’C’và A‘M = Thể tích củakhốilăngtrụđã cho

A B C D

3

Hướngdẫn

Dựng AKBB 'AKA ' A,tươngtựdựng AEC 'CAEA ' A

Từđó A ' A(AKE)AA' KE

Do ta có EK B 'B EK d(C,BB ') EK C 'C

 

  

 



Suy tam giác AKE vuông A, suy AI = với I trung điểmcủa KE Suy MI

(44)

Trang 14 Do A ' A (AKE) MI (AKE)

AM (A 'B 'C ') 



 

 



Suy AKE , A 'B 'C '   MI,AMAMI Suy cos (AKE),(A 'B 'C ') MI

AM

 

Neen AKE

ABC.A'B'C ' ABC

S

V S AM 3.2

cos

   

 Chọn A

Câu Cho lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB = AC = a,BAC 120  Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’

A 8a3 B C D

3

3 a

3

a

3

3 a

Câu Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác đềucạnh a Hình chiếucủa A’

xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AA’ hợp vớiđáy ABC góc 60° Tính thể tích khốilăngtrụ

A 3a3 B C D

3

3 a

3

3 a

3

3 a

Câu Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC’) hợp với đáy

(ABCD) góc 60° Tính thể tích khốihộpchữnhật

A 6a3 B C D

2

3

6 a

3

6 a

3

6 a 12

Đáp án:

1 – B – B - A

Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên Tính theo a thể tích khối lăng trụ

AA ' a 2

A 2a3 B 2a3 C D

2

3

2a 2 2a3

Câu Cho hinh hộpđứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọnbằng 60° Đường chéo lớncủađáy bằngđường chéo nhỏcủalăngtrụ Tính thể tích hình hộp

A 3 6a3 B C D

2

3

6 a

3

6 a

3

2 a

Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng B Cho AB = 3a, BC = 4a, CC' = 2a Thể tích lăngtrụ bằng:

A 24a3 B 4a3 C 12a3 D 8a3

(45)

Trang 15 Câu Thể tích hình lăngtrụ tam giác đềucạnhđáybằng a, cạnh bên 2a

A B C D 2a3

3 a a 3 a

Câu Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a tổng diện tích mặt bên 3a2

A B C D

3

a V

6

 V a 33

12

 V a3

3

 V a 33

4  Câu Tính thể tích V củakhốilăngtrụ tam giác có tấtcả cạnhbằng a

A B C D

3

a V

6

 V a 33

12

 V a 33

2

 V a 33

4 

Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC tam giác vuông cân B Tính thể tích V củakhốilăngtrụđã cho

AC 

A B C D V = a3

3

a V

6

 V a3

3

 V a3

2 

Câu Khốilậpphương có độ dài đường chéo d thể tích củakhốilậpphương là:

A d3 B 3d3 C 3d3 D d 33

9

Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC a 2 , mặt bên (A’BC) hợp với mặt đáy (ABC) mơt góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ

A B C D

3 a a a 3 a 6

Câu 10 Cho lăngtrụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A AB = a, AC a 3 , mặt phẳng (A’BC) tạovớiđáymột góc 30° Thể tích củakhốilăngtrụ ABC.A’B’C’ là:

A B C D

3 a 2a 3 3a 3a

Câu 11 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên hợpvớiđáy ABC góc 60° Tính thể tích lăngtrụ

a

A B C D

3 3a a 3a a

Câu 12 Cho hình lăngtrụ ABC.A’B’C’, đáy ABC cóAC  3, BC = 3a, ACB 30  Cạnh bên hợpvới mặtphẳngđáy góc 60° mặtphẳng (A'BC) vng góc vớimặtphẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho HC = 2BH mặt phẳng (A'AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích khối lăng trụ

ABC.AB’C’ là:

A B C D

3 3a 9a 9a 3 3a

Câu 13 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’, có cạnh đáy a, đường chéo BC’ mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30° Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

(46)

Trang 16

A B C D

3

a

3

a

3

a 6

3

a

Câu 14 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C có đáy ABC tam giác vng A với AC = a, , biết BC' hợpvới (AA'C'C) góc 30° Thể tích lăngtrụ là:

 ACB 60 

A 3a 33 B 2a 63 C a 33 D a 63

Đáp án:

1 – A – C – C – B – D – D – C – D – D 10 - A 11 – A 12 – B 13 – D 14 - D

(47)

Trang

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ 1: MẶT NÓN

PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM 1 Mặt nón trịn xoay

Đường thẳng d , cắt O tạo thành góc  với 0    90 , mp  P chứa d ,  P

quay quanh trục  với góc khơng  đổi Ta mặt nón trịn xoay đỉnh O

  gọi trục

 d đượcgọi đường sinh  Góc 2 gọi góc ởđỉnh

2 Hình nón trịn xoay, khối nón trịn xoay

Cho tam giác SOA vng Quay tam giác O

quanh cạnh góc vng SO tạo hình nón trịn xoay

Khối nón phần khơng gian giớihạnbởimột hình nón trịn xoay, kểcả hình nón

Các thông sốthườnggặp:

 r OA OB  : bán kính đáy

 h SO : chiều cao hình nón  I SA: đường sinh hình nón  SAB: góc ởđỉnh

3 Các cơng thức khối nón

 Mối liên hệgiữa , :h l r 2 2 2 h r l

 Diện tích xung quanh:

xq S rl

 Diện tích đáy:

2 d S r

 Diện tích tồn phần:

2 tp xq d

S S S rlr

 Thể tích khối nón:

2 1

V r h

3 

 Chu vi đáy:

d C 2 r

Ví dụ: Hình nón có chiều cao 4, bán kính đáy

 Độ dài đường sinh là:

2 2 2 3 2

l h r 3 4 25 l 5

xq

S rl .3.5 15   Diện tích đáy:

2 2

d

S r .3 9

 Diện tích tồn phần: tp xq d

S S S 159 24

2 2

1 1

V r h .3 12

3 3 

  

(48)

Trang  Chu vi đáy:

d

C 2 r 6    

4 Hình nón cụt

 

xq 1 2 S l r r

 Diện tích tồn phần:

 

tp 1 2 1 2 S  r  r lr lr

 2 2 1 1 2 2 1

V h r r r r

3

  

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối nón 1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón là:

A. 20 a 2 B. 40 a 2 C. 24 a 2 D. 12 a 2 Hướngdẫn

Áp dụng công thức h2r2 l2, đường sinh hình nón là:

   2 2

2 2 2

l r h  4a  3a  25a 5a Diện tích xung quanh hình nón là:

2 xq

S rl.4a.5a 20 a  Chọn A



Hướngdẫn

Ta có: 2 2

d

S 25 r 25 r 25 r 5cm

2

125 1 125

V r h h 5cm

3 3 3

  

    

Vậyđường sinh hình nón là: l r2h2  52 52 5 2cm

Chọn B



Ví dụ 2: Một khối nón có diện tích đáy 25 cm2 thể tích 125 Khi đường sinh 3

 cm3 khối nón bằng:

A. 2 5cm B. 5 2cm C. 5cm D. 2cm

(49)

Trang

Hướngdẫn

Góc ởđỉnh ASB 60  nên tam giác SAB tam giác

r OA 2a  SA AB SB 2r 4a   

Chiều cao hình nón vớichiều cao tam giác SAB cạnh 4a

nên h SO 4a 3 2 3a

2

  

Thể tích khối nón là:

 2 3

2

1 1 8 3a

V r h 2a 3a

3 3 3



 

  

Chọn D



Hướngdẫn

Vì ABCD hình vng cạnh nên a AC a 2

2 2 2 2

SA SC AC  6a 2a 2a

Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay có đường cao là:

, độ dài bán kính

h SA 2a  r AC a 2

Thể tích củakhối nón trịn xoay là:

3

2 2

1 1 4 a

V r h .2a 2a

3 3 3



 

  

Chọn A



Hướngdẫn

Khi quay ABO quanh trục AO ta hình nón có bán kính đáy l OB , đường sinh l AB a Xét tam giác ABO vng ta có:O

Ví dụ 3:Mộtkhối nón có bán kính r 2a , góc ởđỉnh 60 Tính thể tích củakhối nón

A. 8 3a3 B. 2 2a3 C. D.

3

 a3 3

3

 8 3a3

3 

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , a SA vng góc với đáy,

Khi tam giác quay quanh cạnh đường gấp khúc tạo thành hình nón

SC a 6 SAC SA SAC

trịn xoay Thể tích củakhối nón trịn xoay là:

A. B. C. D.

3 4 a

3

 a3 2

3

 a3 3

3

 a3 3

6 

Ví dụ 5: Cho ABO vng , O BAO 30 , AB a , quay ABO quanh trục AO ta hình nón có diện tích xung quanh bằng:

A. a2 B. a2 C. D.

2

 a2

4

 2 a 2

(50)

Trang

a l OB AB.sin 30

2

   

Vậydiện tích xung quanh hình nón là:

2 xq

a

S rl

2  

 

Chọn B



Hướngdẫn

Chu vi hình trịn ban đầu là: C 12   

Sau cắtbỏ hình trịn 1 bán kính , , ghép bán kính lại cho thành hình

4 OA OB

nón nên độ dài cung AB (bằng chu vi hình trịn) 3 với chu vi đáycủa hình nón Do ta có bán

4

kính đáycủa hình nón là:

3 .12

3 4 9

.12 2 r r

4 2 2



 



   

Đường sinh hình nón độ dài OA l OA 6:  

Chiều cao hình nón là:

2

2 2 2 9 3 7

h l r 6

2 2

       

  Vậythể tích củakhối nón là:

2 2

1 1 9 3 7 81 7 V r h . .

3 3 2 2 8



   

    

 

Chọn A



Ví dụ 6: Cho hình trịn có bán kính 6, hình vẽ

Cắtbỏ hình trịn 1 bán kính , , ghép bán kính đólại cho thành hình nón Thể

4 OA OB

tích khối nón tươngứngđó là:

A. 81 7 B. C. D.

8

 9 7

8

 81 7

4

 9 7

2 

(51)

Trang

Câu 1. Cho ABO vuông , O BAO 30 , AB a , quay ABO quanh trục AO ta hình nón có

diện tích xung quanh bằng:

A. a2 B. a2 C. D.

2

 a2

4

 2 a 2

Câu 2. Một hình nón có đường sinh 6cm, diện tích xung quanh 240 cm2 Đường kính đường trịn đáy hình nón bằng:

A. 3 30cm B.40 cm C.60 cm D.80 cm

Câu 3. Một hình nón có đường sinh 8cm, diện tích xung quanh 240 cm2 Đường kính đường trịn đáy hình nón bằng:

A. 2 30cm B.30 cm C.60 cm D.50 cm

Đáp án:

1 – B – D – C

Dạng 2: Thiết diện khối nón 1 Phương pháp giải

Trườnghợp 1: Thiếtdiện qua trụccủa hình nón: mp  P qua trụccủa hình nón cắtmặt nón theo

đường sinh SA SB, (AB đường kính đáy).Thiếtdiện tam giác cân SAB

Thiếtdiện qua trụccủa hình nón thơng thường hay gặpởmộtsốdạngnhư:

 Thiếtdiện qua trục tam giác vuông cân: AB SA 2  Thiếtdiện qua trục tam giác đều: AB SA SB 

 Thiếtdiện qua trục có góc ởđỉnh (góc ASB) bằngsốđộ cho trước…

Trườnghợp 2: Thiếtdiện qua đỉnhcủa hình nón: mp  P qua đỉnhcủa hình nón cắtmặt nón theo

đường sinh SA SB, (AB dây cung củađáy).Thiếtdiện tam giác cân SAB

(52)

Trang Chú ý:

Kẻ OH AB H trung điểmcủa AB Góc giữamặtphẳng SAB vớiđường trịn đáy SHO

Kẻ OK SH OK d O, SAB  

Trườnghợp 3: Thiếtdiện vng góc vớitrụccủa hình nón song song vớiđường trịn đáy hình nón: mp vng góc vớitrục hình nón Giao tuyến mộtđường trịn

 P

Hướngdẫn Gọi SAB thiếtdiện qua trụccủa hình nón (như hình vẽ)

Tam giác SAB cân tam giác cân nên S I SA SB a  Do đó, AB SA a 2  r SO OA 1AB a 2

2 2

   

2 xq

a 2 a 2

S rl . .a

2 2



 

  

Chọn B



Hướngdẫn Gọi SAB thiếtdiện qua trụccủa hình nón (như hình vẽ)

Theo đề ta có r a

Tam giác SAB có góc ởđỉnhbằngASB 120  Do đóASO 60 

Ví dụ 1:Một hình nón có thiếtdiện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện

tích xung quanh hình nón bằng:

A. a2 B. C. D.

2

 a2 2

2

 3 a2

2

 a2

Ví dụ 2:Một hình nón có bán kính đường trịn đáy a Thiếtdiện qua trụccủa hình nón tam giác có góc ởđỉnhbằng 120 Tính thể tích V củakhối nón

A. B. C. D.

3 a V

6 

 V a3 3

3 

 V a3 3

9 

 V a3

3  

(53)

Trang Xét tam giác SAO vuông , ta có:O

a a 3

h SO

tan60 3

  



Vậythể tích V củakhối nón là:

3

2 2

1 1 a 3 a 3

V r h a

3 3 3 9



 

  

Chọn C



Hướngdẫn

Mặtphẳng  P qua đỉnh hình nón khơng qua trục hình nón cắt hình nón theo giao

tuyến tam giác cân SAB (như hình vẽ)

Ta có giao tuyến tam giác cân có độ dài cạnhđáy AB 2

Đường sinh hình nón là:

2 2 2 2

SA SB l   h r  4 3  25 5

Gọi M trung điểmcạnhđáy AB tam giác cân SAB Xét tam giác SAM vng M , ta có:

2 2

SM  SA AM 2 6

Diện tích S củathiếtdiệnđượctạo là:

SAB

1 1

S S SM AB .2 2 6

2 2

   

Chọn D



Hướngdẫn Gọi I trung điểmcủa AB OI AB, SI  AB, OI 2 Xét hai tam giác vuông SAO SAI ta có:



3 AO SA.cos SAO SA.cos 30 SA.

2 SA AI SA.cos SAI SA.cos 60

2 

   

 

    



Ví dụ 3: Cho hình nón trịn xoay có đường cao h 4 , r 3 , mặtphẳng  P qua đỉnh hình nón

nhưng khơng qua trục hình nón cắt hình nón theo giao tuyến tam giác cân có độ dài cạnh đáybằng Tính diện tích S củathiếtdiệnđượctạo

A. S  91 B. S 3 C. S  19 D. S 6

Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểmthuộcđường trịn đáycủa hình nón cho khoảng cách từ O đến AB SAO 30 ; SAB 60  Tính diện tích xung quanh hình nón

A. 4 3 B. 3 2 C. D.

4 

2 3 3 2

(54)

Trang

Do đó: AI 1

AO  3

Mặt khác:

   2

AI 1 6 OI 2

cos IAO sin IAO 1 cos IAO OA 6 AO   3     3 OAOA 

Mà SA OA 6 2 2 2

cos 30 3

  



Diện tích xung quanh hình nón là:

xq

S rlOA.SA 6 2 4  3 Chọn A



Hướngdẫn Gọi O tâm đường trịn đáycủa hình nón

Từ O kẻ OH AB (HA HB ), kẻ OK SH

hay

    

OK SAB d O; SAB OK

    d O; P  OK

Xét tam giác OAH vng H, ta có:

 

2 2

2

2 2 2 AB 2 3

OH OA AH r 2a a

2 a

 

        

   

Suy SOH có SO OH a nên vng cân O Do đókhoảng cách từ O đếnmặt SAB là:

1 1 a 2

d OK SH .a 2

2 2 2

   

Chọn D



Hướngdẫn

Gọithiếtdiện qua đỉnh SAB, tâm đường tròn đáy O Gọi H trung điểmcủa AB Góc SAB đáy là: SHO 60 

Giảthiết cho SAB đềucạnh cm SH 4 3 2 3cm

2

  

Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h a bán kính đáy r 2a Mặtphẳng  P qua S cắt đường tròn đáytại A B cho AB 3a Tính khoảng cách d từ tâm củađường tròn đáyđến  P

A. d 3a B. C. D.

2

 d a d 5a

5

 d 2a

2 

Ví dụ 6: Cho hình nón có thiếtdiện qua đỉnh S tạovớiđáy góc 60 tam giác đềucạnhbằng cm Thể

tích củakhối nón là:

A. 9 cm3 B. 4 3 cm3 C. 3 cm3 D. 7 cm3

(55)

Trang Xét tam giác SOH vuông O, ta có:

cm

SO 3

sin60 SO sin60 SH .2 3

SH 2

      

cm

SO 3

OH

tan60 3

 



Xét tam giác OAH vng O, ta có:

cm

2

2 2 3 2

OA OH AH 2 7

3

 

      

 

Thể tích củakhối nón là:

 2  2 2

1 1 1

V h.r .SO OA .3. 7 7

3 3  3  

     cm3

Chọn D



Hướngdẫn

Gọimặtphẳng qua đỉnh (SAB) SA, SB hai đường sinh

Từ O kẻ OH  AB,từ O kẻ OK SH

     3a

OK SAB d O; SAB OK

5

    

Xét tam giác SOH vng O, ta có:

2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 16

OK OS OH 3a a OH OH 9a

5

      

 

 

 

3

OH a

4

 

2

2 2 2 3 5

SH SO OH a a a

4 4

 

     

 

Xét tam giác AOH vuông H, ta có:

2 2

2 2 5a 3a

AH OA OH a AB 2a

4 4

   

         

   

Vậydiện tích thiếtdiệntạobởi  P hình nón là:

Ví dụ 7: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h a bán kính đáy r 5a Một mặt phẳng 4

  P

qua đỉnhcủa khối nón có khoảng cách đến tâm O đáybằng 3a Diện tích thiếtdiện tạobởi

5  P

và hình nón là:

A. 5a2 B. C. D.

2

2 5

a 4

2 15

a 4

2 7

a 2

(56)

Trang 10

2 SAB

1 1 5 5

S SH AB a.2a a

2 2 4 4

  

Chọn B



Hướngdẫn

Vì AO// BO nên áp dụngđịnh lý Talet tam giác SBO, ta có:

SO AO 6 AO

AO 2

SO AO 15 5

   

    

Thể tích củakhối nón có chiều cao là:

 2

2 2

1 1 1

V r h AO .SO .6 2 8

3 3   3  

   

Chọn A



Hướngdẫn

Gọi , V1 V2 lầnlượt thể tích N1, N2 , r1 r2 lầnlượt bán kính đáycủa N1, N2 ta có:

2

2 2

1 1

r h

V r h

1 3

1

8 V r 40 r 40

3  

  

Mặt khác ta có:

2 2

2

2 2 2

2

1 1 1

r h r r h

r 40 r r 40

             

Ví dụ 8: Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính 10 Mặt phẳng vng góc vớitrục cắt hình nón theo giao tuyến mộtđường trịn hình vẽ

Tính thể tích củakhối nón có chiều cao

A. 8 B. 24 C. 96 D. 200

9 

Ví dụ 9: Mộtvật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N1 mộtmặtcắt

song song vớimặtđáycủa đểđượcmột hình nón nhỏ N2 tích 1 thể tích Tính chiều

8 N1

cao h hình nón N2

A. cm B. 10 cm C. 20 cm D. 40 cm

(57)

Trang 11 Do thay vào ta được:

cm

3

1 h h 1

h 20 8 40 40 2

 

     

 

Vậychiều cao h hình nón N2 20 cm

Chọn C



Câu 1. Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón bằng:

A. a2 B. C. D.

2

 a2 2

2

 3 a2

2

 a2

Câu 2.Cắtkhối nón bởimộtmặtphẳng qua trụctạo thành tam giác ABC có cạnhbằng a, biết B, C thuộcđường trịn đáy.Thể tích củakhối nón là:

A. a3 3 B. 2 a3 C. D.

9

 a3 3

24

 3a3

8 

Câu 3. Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N1 mặtcắt

song song vớimặtđáycủa đểđượcmột hình nón nhỏ N2 tích 1 thể tích Tính chiều

64 N1

cao h hình nón N2?

A. cm B. 10 cm C. 20 cm D. 40 cm

Câu 4.Một hình nón có đường sinh a góc ởđỉnhbằng 90 Cắt hình nón bằngmặtphẳng  P

qua đỉnh cho góc  P mặtđáy hình nón 60 Khi đódiện tích thiếtdiện là:

A. B. C. D.

2 2a 3

 3a2

2

 2 a2

3

 3 a2

2  Đáp án:

1 – B – C – B - A

Dạng 3: Khối nón nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện 1 Phương pháp giải

- Một hình chóp gọi nộitiếpmột hình nón nếu:

 Đáycủa hình chóp đa giác nộitiếpđáycủa hình nón  Đỉnhcủa hình chóp đỉnhcủa hình nón

Khi đóchiều cao h hình nón bằngvớichiều cao hình chóp

Bán kính đáycủa hình nón bán kính đường trịn ngoạitiếpđáycủa hình chóp - Một hình chóp gọi ngoạitiếpmột hình nón nếu:

 Đáycủa hình chóp đa giác ngoạitiếpđáycủa hình nón  Đỉnhcủa hình chóp đỉnhcủa hình nón

Khi đóchiều cao h hình nón bằngvớichiều cao hình chóp

Bán kính đáycủa hình nón bán kính đường trịn nộitiếpđáycủa hình chóp

(58)

Trang 12

Hướngdẫn

Hình nón đỉnh S đáy đường trịn ngoạitiếp ABCD có chiều cao bằngchiều cao hình chóp h SO , bán kính đáy bán kính đường trịn ngoạitiếp ABCD: r AO đường sinh l SA

Vì SAB 60  nên tam giác SAB nên SA AB a  Xét tam giác SAO vng O, ta có:

2

2 2 2 2a a 2

h SO SA AO a

4 2

     

Bán kính đáycủa hình nón là:

1 1 a 2

r AO AC a 2

2 2 2

   

Vậythể tích hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoạitiếp ABCD là:

2

3 2

1 1 a 2 a 2 a 2

V r h .

3 3 2 2 12



  

    

 

Chọn B



Hướngdẫn Gọi O trọng tâm tam giác ABC Ta có: SOABC

Hình nón đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp ABC có chiều cao chiều cao hình chóp h SO , bán kính đáy bán kính đường trịn ngoạitiếp ABC: r AO đường sinh l SA

Xét tam giác ABC cạnh a, ta có: AH a 3

2 

Do O tâm tam giác ABC nên: OA 2AH 2 a 3. a 3

3 3 2 3

  

Do r AO a 3 ,

3

  l SA a 

Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay ngoạitiếptứdiệnđều là:

2 xq

a 3 a 3

S rl . .a

3 3



 

  

Chọn C



Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnhđáybằng a, góc SAB 60  Thể tích hình nón

đỉnh S đáy dường tròn ngoạitiếp ABCD là:

A. a3 3 B. C. D.

12

 a3 2

12

 a3 2

6

 a3 3

6 

Ví dụ 2: Hình nón trịn xoay ngoạitiếptứdiệnđềucạnh a, có diện tích xung quanh là:

A. B. C. D.

2 xq

a S

3 

 Sxq a2 2

3 

 Sxq a2 3

3 

 Sxq a2 3

6  

(59)

Trang 13

Hướngdẫn Gọi H trọng tâm tam giác BCD Ta có: AH BCD

Hình nón đỉnh A đáy đường trịn nội tiếp BCD có chiều cao chiều cao hình chóp h AH , bán kính đáy bán kính đường

tròn nội tiếp BCD: r HM (M trung điểm BC) đường sinh

lAM

Vì tam giác BCD đềucạnh a nên DM a 3

2 

Do H tâm tam giác BCD nên: MH 1DM 1 a 3. a 3

3 3 2 6

  

Vì cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 45 nên ADH  45 ,

tam giác AHD vuông cân

2 2 a 3 a 3

AH HD DM .

3 3 2 3

   

Do r HM a 3,h AH a 3

6 3

   

Thể tích khối nón là:

2

3 2

1 1 a 3 a 3 a 3

V r h . .

3 3 6 3 108



   

    

 

Chọn B



Hướngdẫn Gọi , O O lầnlượt tâm hai đáy

Hình nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD có đường trịn đáyngoạitiếp hình vuông A B C D   

nên có đường cao h OO  AAa, bán kính đáy bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng : , đường sinh

A B C D    r O A   l OA 

Do A B C D    hình vng cạnh a nên

1 1 2

r O A A C .a a

2 2 2

   

   

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đềucạnhđáybằng a, cạnh bên tạovớiđáymột góc 45 Tính thể

tích khối nón nộitiếp chóp tam giác đềuđó

A. a2 3 B. C. D.

108

 a3 3

108

 a3 3

6

 a2 3

6 

Ví dụ 4: Cho hình lậpphương ABCD.A B C D    có cạnh a, hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường trịn đáyngoạitiếp hình vng A B C D    Diện tích xung quanh hình nón

đó là:

A. a2 3 B. C. D.

3

 a2 2

2

 a2 3

2

 a2 6

2 

(60)

Trang 14 Xét tam giác OO A  vuông O, độ dài đường sinh hình nón là:

   

2

2 2 a 2 2 6

l OA O A OO a a

2 2

 

   

       

 

2

a a 6 a 3

S rl . .

2 2 2



 

  

Chọn C



Câu 1. Cho S.ABCD hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 45 Hình nón

đỉnh S, đáy đường trịn nộitiếp hình vng ABCD, có diện tích xung quanh là:

A. 2 B. C. D.

xq

S 2 a 2

xq

S a Sxq a2 3

4 

 Sxq a2

4  

Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Diện tích xung quanh hình nón ngoạitiếp hình chóp S.ABC

A. 2 a 2 B. 3 a2 C. D.

2

 2 a2

3

 3 a2

3  Câu 3.Mộtkhốitứdiệnđều có cạnh a nộitiếpmột hình nón Thể tích khối nón

A. B. C. D.

3 3 a

27

 6 a3

27

 3 a3

9

 6 a3

9  Đáp án:

1 – C – C – B

Câu 1. Mệnh đề sau mệnh đềsai?

A. Hình trụ ln chứamộtđường trịn

B. Hình nón ln chứamộtđường trịn

C. Hình nón ln chứamộtđườngthẳng D.Mặttrụ ln chứamộtđườngthẳng

Câu 2. Cho khối nón tích 100 , biết tỉ số đường cao đường sinh khối nón

81 

bằng 5 Tính diện tích xung quanh củakhối nón

3

A. 10 B. C. D.

9

 10 5

3

 10 5

9

 10

3 

Câu 3.Một hình nón có đường cao h 20 cm, bán kính đáy r 25 cm Tính diện tích xung quanh

hình nón đó:

A. 5 41 B. 25 41 C. 75 41 D. 125 41

(61)

Trang 15

Câu 4.Một hình nón có bán kính đáybằng R, đường cao 4R Khi đó, góc ởđỉnh hình nón

3 2

Khi đókhẳngđịnh sau khẳngđịnhđúng?

A. tan 3 B. C. D.

5

  cot 3

5

  cos 3

5

  sin 3

5  

Câu 5. Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh đoạn thẳng AC hình

lậpphương ABCDA BC D   có cạnh b quay xung quanh trục AA Diện tích S là:

A. b2 B. b2 2 C. b2 3 D. b 62

Câu 6.Một hình nón có thiếtdiện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng 3a Diện

tích xung quanh hình nón

A. B. C. D.

2 a 2

 2

16 a

2

9 a 2

2

 2

a 

Câu 7. Cho hình nón có chiều cao h góc ởđỉnh 90 Thể tích củakhối nón xác địnhbởi hình nón trên:

A. B. C. D.

3 h 3

 6 h3

3

 2 h3

3

 2 h 3

Câu 8. Cho hình nón có thiếtdiện qua trục tam giác Khai triển hình nón theo mộtđường sinh, ta

đượcmột hình quạt trịn có góc tâm Trong  kếtluận sau, kếtluận đúng?

A. B. C. D.

2 

  2

3 

  3

4 

   

Câu 9. Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh 2a Mộtmặtphẳng qua đỉnh S cắt hình nón theo

mộtthiếtdiện,diện tích lớnnhấtcủathiếtdiện

A. 2a2 B. a2 C. 4a2 D. 3a2

Câu 10. Hình chữnhật ABCD có AB 6 , AD 4 Gọi M, N, P, Q lầnlượt trung điểmbốncạnh AB, BC, CD, DA Cho hình chữnhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật trịn xoay

tích bằng:

A. V 8 B.V 6 C. V 4 D. V 2

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính

diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD A. B. 3 2 xq a 6

S a ;V

12  

  2 3

xq

a 3

S a ;V

12     C. D. 3 2 xq a 3

S 2 a ;V

12  

  2 3

xq

a 6

S 2 a ;V

6  

 

Câu 12.Khối nón có chiều cao 3a Thiếtdiện song song cách mặtđáymột đoạnbằng a, có diện

tích 64 a2 Khi đó,thể tích củakhối nón

9 

A. 16 a 3 B. 25 a3 C. D.

3 

3

48 a 16 a3

3 

(62)

Trang 16

Đáp án:

1 – C – D – D – D – D – C – A – D – A 10 – A

11 – B 12 - A

(63)

Trang

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ 2: MẶT TRỤ

PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM

1 Mặt trụ tròn xoay

Trong mặt phẳng  P cho hai đường thẳng l 

song song nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng  P quanh trục cố định  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ

Đường thẳng gọi trục.

Đường thẳng l gọi đường sinh

Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ

2 Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ

Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ

Đường thẳng AB gọi trục : bán kính đáy

r AD BC 

: đường sinh hình trụ

l CD

: chiều cao hình trụ

AB CD h 

3 Công thức khối trụ

Mối liên hệ h l:

h l

Diện tích xunh quanh: xq

S  2 rl

Diện tích hai đáy:

2đ

S  2 r

Diện tích tồn phần:

tp xq 2ñ

S S S    2 rl r

Thể tích khối trụ:

V r h

Ví dụ: Hình trụ có chiều cao 4, bán kính đáy Độ dài đường sinh là:

l h 4 

Diện tích xunh quanh: xq

S    2 rl 2.3.4 24 

Diện tích hai đáy:

2

2ñ

S    2 r  18

Diện tích tồn phần:

       

tp xq 2ñ

S S S 24 18 42

Thể tích khối trụ:

2

V r h .3 36 

(64)

Trang

AB CD hai đường kính

bất kì đáy hình trụ ABCD  

1

V AB.CD.OO sin AB,CD

6 



Đặc biệt AB CD

ABCD

1

V AB.CD.OO

6 



Hình trụ cụt  

xq

S  R h h

2 h h1

V R

2

  

   

 

Hình nêm loại 2 3

V R tan

 

Hình nêm loại 2 3

V R tan

2

 

   

 

Chỏm cầu  2

xq

S  2 Rh  R h

(65)

Trang

 

2 2

xq

h h

S h R h 3r

3

  

     

 

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối trụ

Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 có chiều cao đường kính đáy Thể tích khối trụ tương ứng bằng:

A 2 B . C 3 D 4

Hướng dẫn

Vì khối trụ có chiều cao đường kính đáy nên h 2r r h

2

  

Goi l độ dài đường sinh hình trụ: l h

xq

S      2 rl rl

Thay r h vào ta

2

 l h h h h h 22

2     

Do r h

2   

Thể tích khối trụ là: V r h 22  

→ Chọn A

Ví dụ 2: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 vàAD 2 Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng:

A 2 B 3 C 4 D 8

Hướng dẫn

Theo giả thiết ta hình trụ có chiều caoh AB 1  , bán kính đáy r AM AD

  

Do diện tích tồn phần hình trụ là: Stp      2 rh r2 1.1 1   4

→ Chọn C

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a góc BDC 30  Quay hình chữ nhật xung quanh

(66)

Trang cạnh AD Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành là:

A a B 2 a C a2 D

3

2

a 

Hướng dẫn

Khi quay hình chữ nhật xung quanh cạnh AD ta hình trụ hình vẽ Hình trụ tạo thành có bán kính r AB a  đường sinh l BC

Xét tam giác BCD vuông C, ta có

Ta có: l BC CD tan300 a a

3

   

Diện tích xunh quanh hình trụ tạo thành là:

xq

a a S rl a

3



    

→ Chọn C

Ví dụ 4: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)

A 700 cm 2 B 754,25 cm 2 C 750,25 cm 2 D 756,25 cm 2 Hướng dẫn

Tổng diện tích tính tổng diện tích xung quanh hình trụ diện tích đáy, với diện tích vành khăn

Hình trụ có chiều cao đường sinh h l 30  , bán kính đáy r 35 20 15cm

2



 

Diện tích xunh quanh hình trụ là: Sxq rl 30 450 cm15

2

     

Diện tích đáy hình trụ là:

2

ñ

15

S r cm

2         

Diện tích vành khăn là:

2

2 2

vk

35 15

S R r cm

2

   

         

   

Vậy tổng diện tích vải cần có để làm mũ là:

(67)

Trang

Ta có  

2 2

2

xq ñ vk

15 35 15

S S S S 450 756,25 cm

2 2

     

               

     

→ Chọn D

Ví dụ 5: Từ tơn hình chữ nhật có kích thước 50 cm 240 cm    , người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

Cách 2; Cắt tôn ban đầu thành hai tơn nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 thể tích thùng gị theo cách Khi tỉ số bằng:

2

V V

A 1 B 1 C 2 D 4

2

Hướng dẫn Ở cách 1, thùng tạo thành có chiều cao h 50 cm  

Chiều dài hình chữ nhật với chu vi đáy hình trụ tạo thành Gọi bán kính đáy hình trụ tạo thành cách , ta có: r1 r 240 1  r1 120 cm



Do thể tích thùng gị theo cách là:  

2

3

120

V   .  50 cm 

 

Ở cách 2, thùng tạo thành có chiều cao h 50 cm  

Một nửa chiều dài hình chữ nhật với chu vi đáy hình trụ tạo thành Gọi bán kính đáy hình trụ tạo thành cách , ta có: r2 r2 240 r2 60 cm

2

   



Do thể tích thùng gị theo cách là:  

2

3

60

V     2    50 cm 

   

 

(68)

Trang Tỉ số bằng:

2

V V

2

1

2

120

.50

V 2

V 60

2 50

 

   

 

 

   

 

   

   

 

→ Chọn C

Ví dụ 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏAB 1 , đáy lớnCD 3 , cạnh bên AC 2, quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành

A V 3  B V C D

3

  V

3

  V

3  

Hướng dẫn Kẻ AK CD, BH CD 

Ta có HK AB CK DH 1

2 

     

Xét tam giác AKC vng K, ta có AK AC KC2  1 

Thể tích khối trịn xoay tạo thành thể tích khối trụ có bán kính , chiều cao trừ thể tích hai khối nón

r AK 1  CD 3

(khối nón đỉnh A, đỉnh B đáy đáy hình trụ) Thể tích khối trụ lớn là: V1 .AK CD 32  

Thể tích hai khối nón là: V2 2.1 AK CK2

3



  

Vậy thể tích V khối trịn xoay tạo thành

 

      

 

1

2

V V V

3

→ Chọn C

Ví dụ 7: Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước có dung tích V cm 3 Hỏi bán kính đáy trụ nhận giá trị sau để tiết kiệm vật liệu

A x V B C D

4 



V x

 3 

3V x

2

V x

2 



Hướng dẫn

Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R, cho Stp nhỏ Gọi h chiều cao hình trụ, ta có: V R h2 h V2

R

   



2 2

tp ñ xq

V V

S 2.S S R Rh R R R

R R

 

             



  

(69)

Trang

 

      

    

 

2

2 3 3

2

V V V V V

2 R R

2 R R R R

Do Stp nhỏ

2

V

4 



Dấu xảy R2 V R3 V R V

2 R 2

    

  

→ Chọn D

Câu Một hình trụ có bán kính r 50 cm có chiều caoh 50 cm Diện tích xung quanh hình trụ bằng:

A 2500 cm 2 B 5000 cm 2 C 2500 cm 2 D 5000 cm 2

Câu Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 AD 2 Quay hình chữ nhật xung

quanh trục AB ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ đó:

A Stp  12 B Stp  6 C Stp  4 D Stp  8

Câu Một hình trụ có bán kính bằngr a , độ dài đường sinhl 2a Diện tích tồn phần hình trụ bằng:

A 6 a B 2 a C 4 a D 5 a

Đáp án:

1 – B – A – A

Dạng 2: Thiết diện khối trụ cắt mặt phẳng.

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính r) mp   vng góc với trục ta đường trịn 

có tâm bán kính r với r bán kính mặt trụ đó.

Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r) mp   khơng vng góc với trục cắt tất 

cả đường sinh, ta giao tuyến đường elip có trục nhỏ 2r trục lớn 2r ,

sin

trong góc trục mp     với 00   900 mặt trụ

Cho mp   song song với trục mặt trục tròn xoay cách khoảng d. 

Nếu d r mp   cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện hình chữ nhật Nếu d r mp   tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh

Nếu d r mp   không cắt mặt trụ

(70)

Trang 2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh a cm   tích là:

A  cm3 B 2 cm C 3 cm D 4 cm

Hướng dẫn

Thiết diện qua trục khối trụ hình vng ABCD hình vẽ Hình vng cạnh a cm   nên

 

   

AB 2r r cm

Chiều cao khối trụ là: h AD cm   

Thể tích khối trụ là:

 

2

V r h cm 

→ Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình trụ có trục OO', thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Mặt phẳng (P) song song với trục cách trục khoảng Tính diện tích thiết diện trục cắt a

2  P

A a 32 B .a2 C 2a 32 D a2

Hướng dẫn

Do hình trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a nên bán kính hình trụ làr a , chiều cao đường sinh hình trụ l h 2a 

Gọi thiết diện trục cắt mặt phẳng  P ABCD Kẻ OH vng góc với AB

 

  a

OH d O, P

 

BC h 2a, OA r a   

Xét tam giác OHA vng H, ta có:

2 2 a a

AH OA OH a

2

 

     

 

Do AB 2AH a 3 

Diện tích thiết diện ABCD SABCD AB.BC a 3.2a 2a 3 

→ Chọn C

Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4, thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB'A', biết cạnh thiết diện dây

 

đường trịn đáy hình trụ căng cung 1200 Diện tích thiết diện ABB'A'

A B 2 C 2 D 3

(71)

Trang Hướng dẫn

Gọi l, r độ dài đường sinh bán kính hình trụ Do thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên r

2 

Ta có: Sxq          2 rl l2 l r

Xét tam giác OHA vng H, ta có:

 AH 

sin AOH AH OA.sin AOH AB 2AH

OA

      

Vậy diện tích thiết diện bằng: S AA'.AB 3  → Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình trụ có đường trịn đáy  O và O , bán kính đáy chiều cao a Các điểm A, B thuộc đường tròn đáy  O và O cho AB 3a Thể tích khối tứ diện ABOO' là:

A B C D .

3

a

3

a

3

a

3

a

Hướng dẫn Kẻ AA' song song với trục OO'

Tam giác AA'B vuông A', ta có:

2 2

A'B AB AA'  3a a a

Xét tam giác O'A'B có

2 2

A'B 2a O'B' O'A'

Suy tam giác O'A'B vuông O' Suy BO' vng góc với O'A Suy BO' vng góc với AOO' Thể tích khối tứ diện ABOO' là:

  

ABOO' AOO'

1 1 a

V BO'.S a .a

3

→ Chọn C

Ví dụ 5: Cho hình trụ có hai đáy hình trịn  O và O Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B cho góc AB mặt phẳng chứa đường trịn đáy 450 khoảng cách đến trục OO' a Biết

2

bán kính đáy a, tính thể tích khối trụ theo a

A B C D

3

a V

6 

 V a 23 V a 23

2 

 V a 23

3  

(72)

Trang 10 Hướng dẫn

Kẻ AC song song với OO'

Góc AB mặt phẳng đáy ABC 45

ĐặtOO' h Gọi I trung điểm BC

  O'I BC, O'I AC  O'I ABC

Do đó: d AB;OO'  IO' a

2

 

Tam giác ABC vuông C có ABC 45 nên ABC tam giác vuông cânBC AC h 

Xét tam giác CIO' vng I, ta có: 2

2 2 h a

CO' CI IO' a h a

2

 

        

   

Thể tích khối trụ là: V a a 22  a 23 → Chọn B

Ví dụ 6: Cho hình trụ có chiều cao h 2 , bán kính đáyr 3 Một mặt phẳng  P khơng vng góc với đáy hình trụ, cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB CD cho ABCD hình vng Tính diện tích S hình vng ABCD

A S 12  B S 12 C S 20 D S 20 

Hướng dẫn Kẻ thiết diện qua trục BB'DD' hình trụ

Gọi độ dài cạnh hình vng ABCD x, x 0

Do CD BC CD BB'C CD B'C

CD BB'

 

   

  

Do tam giác B'CD vng C Khi B'D đường kính đường trịn  O'

Xét tam giác B'CD vng C, ta có: (1)

2 2 2

B'D CD CB' 4r x CB'

Xét tam giác BB'C vuông B, ta có: (2)

2 2 2

BC BB' CB' x  h CB'

Từ (1) (2)

2

2 4r h

x 20

2 

  

Suy diện tích hình vng ABCD S 20

→ Chọn C

Ví dụ 7: Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD canh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn thứ hai hình trụ Mặt phẳng

(73)

Trang 11 tạo với đáy hình trụ góc Diện tích xung quanh hình trụ thể tích V khối trụ là:

ABCD 450

xq

S

A B

2

xq

a 3 a

S ;V

3

 

  Sxq a 22 ;V a3

3 32

 

 

C D

2

xq

a 3 a

S ;V

4 16

 

  Sxq a 32 ;V a3

2 16

 

 

Hướng dẫn Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB CD

Khi đó: OM AB O'N DC

Giả sử I giao điểm MN OO' Đặt R OA, h OO' 

Trong tam giác IOM vuông cân O nên:

2 h a

OM OI IM h a

2 2 2

     

Ta có:

2

2 2 2 2

2 2 a a a a 3a

R OA AM MO

2 4 8

 

         

   

Diện tích xung quanh Sxq hình trụ là: xq

a a a

S Rh

2



    

Thể tích V khối trụ là:

2

2 3a a a

V R h

8 16



    

→ Chọn D

Câu Một hình trụ  H có diện tích xung quanh 4 Biết thiết diện  H qua trục hình vng Diện tích tồn phần  H

A 6 B 10 C 8 D 12

Câu Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ BiếtAB 4a, AC 5a  Thể tích khối trụ

A 16 a B 8 a C 4 a D 12 a

Câu Một hình trụ có bán kính đáy 50 cm có chiều cao 50 cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100 cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ

A d 50 cm B d 50 3cm C d 25cm D d 25 3cm

Đáp án:

1 – A – D – C

Dạng 3: Khối trụ nội tiếp, khối trụ ngoại tiếp.

(74)

Trang 12 1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hình tứ diện ABCD cạnh a Xét hình trụ có đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC có chiều cao chiều cao tứ diện Diện tích xung quanh hình trụ bằng:

A B C D

2

a 3

 a 22

2

 a 22

3

 a 32

2 

Hướng dẫn Gọi O tâm tam giác ABC M trung điểm BC

Hình hình trụ có đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC có chiều cao chiều cao tứ diện bán kính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC:

h DO r OM

Do hình tứ diện ABCD cạnh a nên tam giác ABC tam giác

cạnh a AM a

2

 

O tâm tam giác ABC nên AO 2AM

3

a a 

 

Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC: r MO AM

3

a

  

Xét tam giác DOA vng O, ta có:

2 2 a a

3

h DO DA AO a

3

 

      

 

Diện tích xung quanh hình trụ là:

xq

a S rl rh

3      

→ Chọn C

Ví dụ 2: Một hình trụ có đáy hai hình trịn   O;6 ; O';6 vàOO' 10 Một hình nón có đỉnh O' có đáy hình trịn  O;6 Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần Thể tích phần khối trụ cịn lại (khơng chứa khối nón) bằng:

A 60 B 90 C 120 D 240

Hướng dẫn

Hình trụ có chiều cao h OO' 10  bán kính đáy r 6 nên khối trụ tích là: V h r1  2 360

Hình nón có đỉnh O', chiều cao h OO' 10  bán kính đáy r 6

nên khối nón tích là: V2 1h r2 120

3

   

Vậy thể tích phần khối trụ cịn lại (khơng chứa khối nón) là:

1

V V V  240

→ Chọn D

(75)

Trang 13 Ví dụ 3: Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Thể tích khối trụ bằng:

A a3 B a3 C D

2

 a3

3

 a3

4 

Hướng dẫn

Hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a nên có chiều cao với chiều cao hình lập phương h a bán kính đáy bán kính đường trịn nội tiếp đáy ABCD

Đáy hình trịn nội tiếp hình lập phương cạnh a nên có r a

2 

2 3

2 a a

V r h a

2

  

       

→ Chọn D

Ví dụ 4: Trong khơng gian, cho hình lăng trụ tam giác cạnh đáy 3a cạnh bên 4a Tính diện tích tồn phần khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác

A Stp a 32  B Stp  a 6   C Stp  2a 6   D Stp  a2 8 6 

Hướng dẫn

Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có chiều cao với chiều cao khối lăng trụ l h AA' 4a   bán kính bán kính đường trịn

ngoại tiếp tam giác ABC: r OB

Vì tam giác ABC cạnh 3a nên BH 3a

2 

Khối trụ có bán kính: r BO 2BH 3a a

3

   

2 xq

S  2 .a 3.4a a 

Diện tích tồn phần hình trụ là:

 

2 2

tp

S     2 rl r a 6a   a 6

→ Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A, vớiAB a Góc A'B mặt đáy 450 Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng:

A a2 B 3 a C 2 a D 2 a

(76)

Trang 14 Hướng dẫn

Hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao chiều cao hình trụ h AA' bán kính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC có BC a 2 Gọi O trung điểm BC, tam giác ABC vng cân A nên O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC,

BC r OB OC

2

  

Do AA'ABC nên góc A'B ABC góc



A'BA 45 AA' AB a 

Hình trụ có:

BC a r

2

l h AA' a 

  



   



xq

S   2 rl a

→ Chọn D

Ví dụ 6: Cho hình nón đỉnh S, mặt đáy hình trịn tâm O, bán kính R= (cm) có thiết diện qua trục tam giác Cho hình trụ có hai đường trịn đáy  O;r  I;r , có thiết diện qua trục hình vng, biết đường trịn  O;r nằm mặt đáy hình nón, đường trịn  I;r nằm mặt xung quanh hình nón (I thuộc đoạn SO) Tính thể tích khối trụ

A 432 26 45 cm   3 B 1296 26 45 cm   3 C 1296 cm   3 D 432 cm   3

Hướng dẫn

Hình nón có bán kính đường trịn đáy R cm   có thiết diện qua trục tam giác nên ta có:

SM 2R 12 cm  SM

SO 3cm

2

 

Đặt SI x , BI / /AO nên ta có:

BI SI r x r x

OM SO  6 3   3

Chiều cao hình trụ là: h OI SO OI x    

Do đó, thiết diện qua trục hình trụ hình vng khi:

 

2x 18

h 2r x x 18

3

       



Khi đó:

(77)

Trang 15

  h  

h x 12 3 , r 3

      

  2    

2

V r h  3   12 3 1296 26 45 cm   

 

→ Chọn B

Câu Cho hình lập phương có cạnh a hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi S1 diện tích mặt của hình lập phương, S2 diện tích xung quanh hình trụ Hãy tính tỉ số

1

S S

A B C D

1

S

S   21

S





1

S

S 2 21

S

 

Câu Một hình trụ có bán kính đáyr 5cm , chiều caoh 7cm Diện tích xung quanh hình trụ là:

A 35 cm 2 B 70 cm 2 C 70 cm 2 D

3   

2

35 cm 

Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi  O  O' hai đường trịn nội tiếp hình vng ABCD A'B'C'D' Hình trụ có hai đáy  O  O' tích là:

A 1 a3 B C D

3

3

2 a a3 a3

2 

Câu Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy cạnh bên Thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ là:

A .1 B . C D

2

1

2

2 Đáp án:

1 – D – B – D – A

Câu Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ có đường cao h a thể tích V a3

A Sxq  4 a2 B C D

xq

S  6 a

xq

S  8 a

xq

S  2 a

Câu Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 4 BC = Gọi P, Q điểm cạnh AB CD cho: BP 1, QD 3QC  Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ

A 10 B 12 C 4 D 6

Câu Cho hình vuông ABCD cạnh cm Gọi M, N trung điểm AB CD Quay hình vng ABCD xung quanh MN Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành là:

(78)

Trang 16 A 64 cm 2 B 32 cm 2 C 96 cm 2 D 126 cm 2

Câu Cho hình chữ nhật ABCD cóAB 3, BC 4  Gọi V , V1 2 thể tích khối trụ sinh quay hình chữ nhật quanh trục AB BC Khi tỉ số bằng:

2

V V

A .4 B . C D .

3

9 16

6

Câu Hình trụ có bán kính 5, khoảng cách hai đáy Diện tích tồn phần hình trụ bằng:

A 10 B 85 C 95 D 120

Câu Hình chữ nhật ABCD cóAB cm,AD cm  Thể tích khối trụ hình thành quay hình

chữ nhật ABCD quanh đoạn AB

A 25 cm B 75 cm C 50 cm D 45 cm

Câu Thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh 2a Gọi S1 S2 diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ Chọn kết luận kết luận sau:

A 4S 3S1  2 B 3S1 2S2 C 2S1 S2 D 2S 3S1 2

Câu Một hình trụ có hai đáy ngoại tiếp hai đáy hình lập phương Biết thể tích khối trụ

2 

thể tích khối lập phương bằng:

A 1. B 2. C .1 D .

4

3

Câu Cắt hình trụ  T mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện tích 30cm2 chu vi 26 cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy hình trụ  T Diện tích tồn phần  T là:

A 69 cm 2 B C D

2   

2

69 cm 23 cm 2 23 cm 2

2 

Câu 10 Cho khối trụ có chiều cao cm, bán kính đường trịn đáy cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm Diện tích thiết diện tạo thành là:

A 16 5cm2 B 32 3cm2 C 32 5cm2 D 16 3cm2

Câu 11 Hai bạn Tú Qn có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b Bạn Tú cuộn bìa theo chiều dài cho hai mép sát dùng băng dính dán lại hình trụ khơng có đáy tích V1 (khi chiều rộng bìa chiều cao hình trụ) Bạn Quân cuộn bìa theo chiều rộng theo cách tương tự hình trụ tích V2 Tính tỉ số

2

V V

A B C D

2

V a

V  b 12

V b

V a 12

V ab

V  12

V

V ab

Câu 12 Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a.

(79)

Trang 17

A B C D

3

a V

4 

 V a3 V a3

6 

 V a3

2  

Câu 13 Cho hình trụ có bán kính đáy R, độ dài đường cao h Đường kính MN đáy vng góc với đường kính PQ đáy Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng:

A 2 Rh2 B C D

3

2

1 Rh

2

1 Rh

2

2Rh

Câu 14 Tỉ số thể tích khối trụ nội tiếp khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a bằng:

A .1 B . C . D .

2

1

Câu 15 Một hình thang vng ABCD có đường cao AD = a, đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 2a Cho hình thang quay quanh cạnh CD, ta khối trịn xoay tích

A V a3 B C D

3

  V a  V a3

3

  V a3

3  

Câu 16 Một hình trụ có bán kính đáy 50 cm có chiều cao 50 cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ

A d 50cm B d 50 3cm C d 25cm D d 25 3cm

Đáp án:

1 – D – B – A – A – D – B – B – A – A 10 – C

11 – A 12 – D 13 – A 14 – A 15 – A 16 – C

(80)

Trang CHƯƠNG 2: Mắt nón, mặt trụ, mặt cầu

CHUYÊN ĐỀ 3: KHỐI CẦU PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM

1 Mặt cầu

Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi gọi mặt cầu có tâm O bán kính R, kí hiệu S(O;R)

Mặt cầu S O; R M OM R 

2 Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho điểm A mặt cầu S(O;R) Ta có:

Điểm A thuộc mặt cầu OA = R Điểm A nằm mặt cầu OA < R Điểm A nằm ngồi mặt cầu OA > R

3 Hình cầu, khối cầu.

Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O;R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu S(O;R)

Khối cầu S O; R M OM R 

4 Giao mặt cầu mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) Khi h = OH khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P)  Nếu h > R: mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu  Nếu h = R: mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu

tại điểm H Ta có OH(P)

Điểm H gọi điểm mặt cầu S (O;R) mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu

(81)

Trang Vậy ta có: Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P)

tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) điểm H (P) vng góc với bán kính OH điểm H

 Nếu h < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn có bán kính r R2h2 Đặc biệt h = mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn lớn có bán kính r = R

5 Giao mặt cầu với đường thẳng Tiếp tuyến mặt cầu Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng ∆ Gọi H

hình chiếu vng góc tâm O d = OH khoảng cách từ O đến ∆

 Nếu d < R, đường thẳng ∆ cắt mặt cầu hai điểm M, N

Đặc biệt, d = đường thẳng ∆ qua tâm O cắt mặt cầu hai điểm A, B Khi AB đường kính mặt cầu

 Nếu d = R, đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu điểm H

( H gọi tiếp điểm đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu)

 Nếu d > R, đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu

(82)

Trang 6 Các công thức khối cầu

Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S R  Khối cầu bán kính R tích là: V R3

3

 

Ví dụ: Mặt cầu có bán kính R = 3a Diện tích mặt cầu là:

 2

2

S R   4 3a  36 a

Thể tích khối cầu là:

 3

3

4

V R 3a 36 a

3

     

PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH Hình chóp có cạnh bên SA vng

góc với đáy, đáy có bán kính đường trịn ngoại tiếp r

Nếu đáy tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c, nửa chu vi p

   

abc r

4 p p a p b p c 

  

Nếu đáy tam giác

a r

3



Nếu đáy hình vng cạnh a

a r

2



Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

2 2 SA

R r

4

 

Hình chóp có cạnh bên SA có:

SO vng góc với đáy với O tâm hình trịn ngoại tiếp đáy Nếu đáy hình vng, O giao điểm hai đường chéo

Nếu đáy tam giác vuông, O trung điểm cạnh huyền

Nếu đáy tam giác đều, O trọng tâm

2 SA

R

2SO



(83)

Trang Hình chóp có cạnh bên

nhau SA có:

SO vng góc với đáy với O tâm hình trịn ngoại tiếp đáy Nếu đáy hình vng, O giao điểm hai đường chéo

Nếu đáy tam giác vuông, O trung điểm cạnh huyền

Nếu đáy tam giác đều, O trọng tâm

2 SA

R

2SO



Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với đáy

Giao tuyến mặt bên (SAB) mặt phẳng đáy AB

R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên đáy

2

2 2

1

AB

R R R

4

  

Dạng 1: Tính diện tích, thể tích khối cầu 1 Phương pháp giải

Ví dụ 1: Mặt cầu có bán kính R tích là:

A R3 B C D

3 

3

8 R 4 R 8 R

Hướng dẫn Áp dụng cơng thức V R3 ta có:

3

 

Thể tích khối cầu có bán kính R là: V  R 6 8 R3

3

   

 Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính Khi thể tích khối trịn xoay sinh bằng:

A 32 a3 B C D

3 

3

4 a 3

3

8 a 3

3

64 a

3 

Hướng dẫn

Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính ta khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a

(84)

Trang Vậy thể tích khối cầu là: V R3  2a 32 a3

3 3

     

 Chọn A

Ví dụ 3: Một khối cầu có diện tích đường trịn lớn 2π diện tích khối cầu là:

A B C D

3 4 8 16

Hướng dẫn Gọi r bán kính mặt cầu

Diện tích đường trịn lớn πr2. Theo giả thiết:     r2 2 r 2 Vậy diện tích mặt cầu là: S r   2 8  Chọn C

Ví dụ 4: Một mặt cầu có bán kính 10cm Một mặt phẳng cách tâm mặt cầu cm cắt mặt cầu theo đường trịn Chu vi đường trịn bằng:

A 6π cm B 12π cm C 24π cm D 16 5 cm

Hướng dẫn Gọi I tâm mặt cầu O tâm đường trịn

OI khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng cắt Ta có IA = 10, OI =

Xét tam giác IOA vng O Ta có: OA IA2IO2 6cm

Vậy chu vi đường tròn là: cm

C r 12     Chọn B

Ví dụ 5: Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O, biết thiết diện qua trục hình vng diện tích mặt cầu 72 cm 2 Tính diện tích xung quanh hình trụ

A 12 cm 2 B 16 cm 2 C 18 cm 2 D 36 cm 2

Hướng dẫn Ta có diện tích mặt cầu là:

   

2

mc

S  4 R 72 cm  R cm

Thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên h = 2r Nên: R r 2   r cm 

Do diện tích xung quanh hình trụ là:  2

S rh 36 cm     Chọn D

(85)

Trang Ví dụ 6: Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Xét hai mặt cầu sau:

Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ, gọi mặt cầu nội tiếp hình trụ

Mặt cầu qua hai đường trịn đáy hình trụ, gọi mặt cầu ngoại tiếp hình trụ

Kí hiệu S1 diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ, S2 diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Tính tỉ số

1

S S

A B C D

2

S

S 4

1

S

S 

1

S

S 

1

S

S 3

Hướng dẫn

Gọi a cạnh hình vng thiết diện Khi bán kính đáy hình trụ r a

2

 Mặt cầu nội tiếp hình trụ có bán kính bán kính đáy hình trụ R1 r a

2

  Diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ

2

1

a

S R a

2         

 

Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có bán kính nửa đường chéo hình vng R2 a

2

 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ

2

a

S R a

2

 

      

 

Vậy, tỉ số

2

S S

2

S a



 

  Chọn B

Ví dụ 7: Một bình đựng nước có dạng hình nón ( khơng có đáy), đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn ngồi 18π (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước ( hình dưới) Tính thể tích nước cịn lại bình

A 24π (dm3) B 54π (dm3) C 6π (dm3) D 12π (dm3) Hướng dẫn

Gọi R bán kính khối cầu thể tích nước tràn nửa thể tích khối cầu

(86)

Trang

3

1

R 18 R

2 3     dm

Suy chiều cao nón h = 2R = dm

Gọi r bán kính đáy nón 12 12 12 r 3dm, suy

r h R  

dm3.

2 N

1

V r h 24

3

   

Vậy thể tích nước cịn lại 24    18 6 dm3.  Chọn C

Câu 1. Mặt cầu (S) tích 36π dm3 Diện tích mặt cầu (s) bằng

A. 24π cm2. B. 36π cm2. C. 18π cm2. D. 20π cm2.

Câu 2. Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính r = 5cm Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu (S) theo dây cung AB = 6cm Khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆

A. cm B. 2cm C. cm D. cm

Câu 3. Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính r = 3a Mặt phẳng   cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường trịn có diện tích a2 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  

A. 3a B. 2a C. 2a D. 3a

Đáp án:

1 – B – D – C

Dạng 2: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp 1 Phương pháp giải

Cho hình chóp S.A1A2 An (đáy đa giác nội tiếp) Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo ba bước:

 Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

 Bước 2: Qua H dựng ∆ vng góc với mặt phẳng đáy ∆ trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Bước 3: Lập mặt phẳng trung trực   cạnh bên Tâm O mặt cầu giao điểm ∆ mặt phẳng  

Bán kính: R = OA (=OS)

(87)

Trang Chú ý:

 Một số trường hợp đặc biệt xác định trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy

Tam giác vng Tam giác Tam giác

 Cơng thức tam giác đồng dạng: ∆SMO đồng dạng với ∆SIA

SO SM MO

SA  SI  IA

2.1 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy

Cách 1: Cho hình chóp S.A1A2 An có cạnh bên SA  (A1A2 An) đáy A1A2 An nội tiếp đường tròn tâm O

Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (A1A2 An) O

Dựng đường trung trực ∆ cạnh SA1, cắt d I

Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS

Ta có MIOA1 hình chữ nhật Xét ∆MA1I vng M có:

2

2 2

1 1

SA

R A I MI MA A O

2

 

      

 

Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Gọi h chiều cao hình chóp r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy bán kính mặt cầu là:

2 h

R r

2

 

   

 

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy, ABC tam giác vuông A biết AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A 5a B 5a C 10a D 2a

Hướng dẫn

(88)

Trang Cách 1: Gọi O trung điểm cạnh BC Do O tâm đường

trịn ngoại tiếp tam giác ABC vuông A

Dựng trục d đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, mặt phẳng (SA,d) vẽ trung trực cạnh SA cắt d I

Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính R = IA = IB = IC = IS

Ta có tứ giác NIOA hình chữ nhật Xét tam giác NAI vng N có:

2 2 2 2

2 2 SA BC SA AB AC SA

R IA NI NA AO 5a

2 2



       

              

       

Cách 2: Tam giác ABC vng A nên bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy

2

BC AB AC

r 5a

2



  

Đường cao h = SA = 10a

Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

2 h

R r

2

 

   

 

 2 10a

R 5a 5a

2

 

   

 

 Chọn A

2.2 Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy

Đối với dạng mặt bên vng góc thường tam giác vng, tam giác cân tam giác

Cách 1: Xác định trục d đường tròn đáy.

Xác định trục ∆ đường trịn ngoại tiếp mặt bên vng góc với đáy

Giao điểm I d ∆ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Gọi R1, R2 bán kính mặt bên, mặt đáy, a độ dài cạnh chung mặt bên vng góc đáy

bán kính mặt cầu là:

2 2

a

R R R

4

  

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A V B C D

3



 V 15

54



 V

27



 V 15

18

 

Hướng dẫn

Cách 1: Gọi M trung điểm AB SM  AB (vì tam giác SAB đều). Mặt khác ( SAB)  (ABC) nên SM  (ABC)

(89)

Trang 10 Tương tự ta có CM  (SAB)

Gọi G K tâm tam giác ABC SAB Trong mặt phẳng (SMC), kẻ đường thẳng Gx//SM kẻ đường thẳng Ky  SM

Gọi O Gx Ky, ta có:  

 

OG SAB

OK ABC

  

 

Suy OG, OK trục tam giác ABC tam giác SAB

Do ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Tứ giác OKMN hình chữ nhật có MK MG nên OKMG hình vng

6

 

Do OK Ta có:

6

 SK 2SM 3

3 3

  

Xét tam giác SKO vng K có OK2 SK2 3 15

36

OS    

Do bán kính mặt cầu cần tìm R OS 15

6

 

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:

3

4 15 15

V R

3 54

  

     

 

Cách 2: Gọi R1, R2 bán kính mặt bên, mặt đáy Ta có R1 R2 CG 2CM 3

3 3

    

Độ dài cạnh chung mặt bên vng góc đáy a =

Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

2 2

a

R R R

4

  

2

3 15

R

3

   

      

   

Vậy thể tích khối cầu là: V R3 15

3 54



  

 Chọn B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A a 21 B C D

6

a 21

a 3

a

Hướng dẫn

(90)

Trang 11 Bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy R1 AC a

2

 

Bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên R2 SG a 3

 

Cạnh chung mặt bên (SAB) mặt đáy AB = a Vậy bán kính mặt cầu là:

2 2

a a a a 21

R

2

     

         

   

 Chọn A

2.3 Hình chóp

Cách 1: Gọi O tâm đáy, SO trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực cạnh SA cắt SO I, I tâm mặt cầu

 Bán kính là:

SN SI

SNI SOA

SO SA

    R IS SN.SA SA2

SO 2SO

  

Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Giả sử hình chóp có cạnh bên SA, đường cao SO bán kính mặt cầu là:

2

SA R

2SO 

Ví dụ 4: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên SA a 3

A 2a B C D

2

3a 2

a

3a

Hướng dẫn

Gọi O tâm tam giác ABC, ta có SOABC nên SO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi N trung điểm SA, mặt phẳng (SAO) kẻ trung trực SA cắt SO I IS = IA = IB = IC nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bán kính mặt cầu R = SI

Ta có AO a 3. a 3,SO SA2 AO2 2a

3 3

    

Vì hai tam giác SNI SOA đồng dạng nên ta có SN SI

SO SA

(91)

Trang 12

Suy

2

SN.SA SA 3a

R SI

SO 2SO

   

 Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAC cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A R a B R a C D

2

 R a

2

 R a

3

 Hướng dẫn

Ta có: SA = a

Xét tam giác SAC cạnh a, ta có SO a

2



Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có bán kính mặt

2

SA R

2SO

 cầu ngoại tiếp hình chóp là:

2

SA a a

R

2SO a 3

2

  

 Chọn D

2.4 Mặt cầu nội tiếp hình chóp

Điều kiện tồn mặt cầu nội tiếp khối chóp: Nếu đáy hình chóp tồn điểm cách tất mặt xung quanh hình chóp hình chóp có hình cầu nội tiếp

Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vng góc đỉnh trùng với điểm đáy mà cách tất mặt bên:

- Xác định điểm O cách đáy - Nối đỉnh hình chóp với O đoạn thẳng

- Dựng mặt phẳng phân giác góc nhị diện đáy Giao điểm mặt phẳng phân giác với đường thẳng tâm hình cầu nội tiếp cần tìm

Cơng thức tính nhanh:

Nếu đặt V thể tích khối chóp Stp tổng diện tích mặt đáy mặt bên chóp (diện tích tồn phần) bán kính r mặt cầu nội tiếp khối chóp là:

tp

3V r

S



Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD

A 2a B C D

8



a



a



a 12

 Hướng dẫn

(92)

Trang 13 Cách 1: Gọi O tâm hình vng ABCD.

Suy O cách mặt bên hình chóp tứ giác S.ABCD

Suy điểm thuộc SO cách mặt bên hình chóp tứ giác S.ABCD (1)

Gọi M, N trung điểm AB, CD Khi tam giác SMN cân S nên SO đường phân giác góc MSN

Trong tam giác SMN, kẻ phân giác góc SMN cắt SO I Suy IO = IH hay I cách mặt đáy mặt bên (SAB) (2)

Từ (1) (2) suy I cách mặt hình chóp tứ giác S.ABCD Hay I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD

Bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD bán kính đường trịn nội tiếp tam giác SMN nên:

SMN

a

2 a

S SM SN MN 2SM MN 2 a a

r , p

p với 2 2

     

    

2 SMN

1 a a

S SO.MN a

2 2

   

Suy ra:

 

2

a

4

r a

4

a a

2



  

 

Cách 2: (Công thức tính nhanh)

3

2 2

S.ABCD

a a a

SO SA AO V a

2

     

2

2 2

tp ABCD SAB

a

S S 4S a a a

4



     

Áp dụng công thức ta có:

 

3 S.ABCD

2

a

3

3.V 6 a

r a

S a a 3



   

 

 Chọn C

Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh a Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC

(93)

Trang 14

A a B C D

6

a 12 12

a

a 12

Hướng dẫn

Xét tam giác ABC cạnh a, ta có

2 ABC

a a

AM ,S

2 

 

Gọi O tâm đáy, ta có: AO 2.AM a a

3 3

  

Xét tam giác SOA vuông O:

2

2 2 a a

SO SA AO a

3

 

     

 

2

2 SAB

a

S 4.S a

4



  

Thể tích hình chóp là: VS.ABC 1SO.S ABC a a a3

3  12

  

Áp dụng cơng thức tính nhanh, ta có:

3 S.ABC

2

a

3

3.V 12 a a

r

S a 12

   

 Chọn D

Câu 1. Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD cạnh a có bán kính

A a B. C. D.

2

a

4 a 2a

Câu 2. Hình chóp S.ABC có SA SB SC  a có chiều cao a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A. B. C. D.

2 mc

9a S

2

 Smc a2

2



 Smc a2

4



 Smc 9a2

4



Câu 3. Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho?

(94)

Trang 15

A. B. C. D.

3

24 15 a 27

 25 15 a3

27

 20 15 a3

27

 24 15 a3

25



Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD theo a

A. a 12 B. C. D.

12

a

a 2

a 21

Đáp án:

1 – B – B – C – D

Dạng 3: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp lăng trụ 1 Phương pháp giải

1.1 Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

 Để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ phải hình lăng trụ đứng có đáy lăng trụ hình đa giác nội tiếp đường trịn

 Phương pháp chung tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:

Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ  O1O2 trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy

Gọi I trung điểm O1O2

Suy ra:

IA IB IC IA ' IB IC '

     

- Trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

- Bán kính:

2

2 2

1

O O

R IA AO IO AO

2

 

      

 

Chú ý:

Đối với hình hộp chữ nhật: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp , a, b, c ba kích

2 2

a b c

R

2

 

 thước

(95)

Trang 16 1.2 Mặt cầu nội tiếp lăng trụ

- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R a

2



- Đường cao hình lăng trụ đường kính hình cầu nội tiếp

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC tam giác vng C, AC a; BC a 2  Góc đường chéo AC mặt bên A C CA  với mặt đáy 30 Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ

A 10 a2 B C D

7

 10 a2

3

 8 a2

9

 10 a2

9

 Hướng dẫn

Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy

Vì tam giác ABC vng C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy trung điểm O1 cạnh huyền AB, tương tự ta có O2 trung điểm A B  Trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu IA

Ta có:  

     

AC ABC A

AC ; ABC AC ; AC C AC 30

C C ABC C

  

        

   



Xét tam giác ACC vuông C, ta có:

1

CC a

tan 30 CC a IO CC

AC

  

      

Xét tam giác ACB vng C, ta có:

2 2

1

a

AB AC BC a 2a a AO

2

      

Xét tam giác AIO1 vng O1, ta có:

(96)

Trang 17

2

1

a a 30

IA IO AO a

6

   

       

   

Diện tích khối cầu là:

2

30 10 a

S a

6

  

   

 

 Chọn B

Ví dụ 2: Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

A a 39 B C D

6

a 12

2a 3

4a

Hướng dẫn Gọi O1, O2 lượt tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy

Ta có trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

1

IO O O 2a a

2

  

Vì tam giác ABC cạnh a AO1 a a

3

  

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:

 Chọn C

2

2 2

1 1

O O a 2a

R IA AO IO AO a

2 3

 

   

           

 

   

Ví dụ 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A B C D    có cạnh

A 32 B 36 C 64 D 4

Hướng dẫn

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A B C D   có bán kính r AC

2

  Ta có AC 3 r 3

2

    

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương

3

4

V r 36

3

     

 Chọn B

Câu 1. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, 2a, 2a bằng:

(97)

Trang 18

A. B. C. D.

3

9 a

 9 a3

8

 27 a3

2

 36 a

Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:

A. B. C. D.

3

7 a 21

54

 7 a 33

54

 7 a3 7

54

 7 a3 21

18



Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC tam giác vng A, AC b; ACB 60   Đường chéo BC mặt bên BB C C  tạo với mặt phẳng AA C C   góc 30 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho

A. b B. C. D.

2 b

b

6 2b

Đáp án:

1 – A – A – B PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Cho mặt cầu có diện tích , bán kính mặt cầu là:

2

8 a



A. a B. C. D.

3

a 3

a

Câu 2. Cho hình cầu tích bẳng a3 , bán kính mặt cầu là:

27



A. a B. C. D.

3

a 3

a

Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính (cm) Diện tích mặt cầu là:

A. 100 cm 3 B. 400 cm 2 C. 500 cm 2 D. 100 cm 2

Câu 4. Khối cầu (S) có diện tích mặt cầu 16π Tính thể tích khối cầu

A. 32 B. C. D.

9 

32

3 

32

9 

32

3 

Câu 5. Cho khối cầu tích 36 cm 3 Bán kính R khối cầu là:

A. R cm   B. R cm   C. R cm   D. R cm 

Câu 6. Cho mặt cầu có diện tích , bán kính mặt cầu là:

2

8 a



A. a B. C. D.

2

a

a 3

a

Câu 7. Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A. Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp

(98)

Trang 19 B. Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp

C. Hình chóp có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp D. Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp

Câu 8. Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có SA = a, AB = b, AC = c Mặt cầu qua đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng:

A. a b c  B. C. D.

3

  2 2 2

2 a b c a2 b2 c2

2  

2 2

a b c

Câu 9. Mặt cầu tâm O bán kính R = 17 dm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu cho giao tuyến qua ba điểm A, B, C mà AB = 18 dm, BC = 24 dm, CA = 30 dm Tính khoảng cách từ O đến (P)

A. dm B. dm C. 14 dm D. 16 dm

Câu 10. Cho mặt cầu bán kính r hình trụ có bán kính đáy r chiều cao 2r Tỉ số thể tích khối cầu khối trụ là:

A. B. C. D.

2

1

Câu 11. Hai khối cầu (O1;R1) (O2;R2) có diện tích S1, S2 Nếu R2 2R1

S S

A. 16 B. C. D.

Câu 12. Cho hình trụ có bán kính đáy cm, trục OO 8cm mặt cầu đường kính OO Hiệu số diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ là:

A. 6π cm2. B. 16π cm2. C. 40π cm2. D. 208π cm2.

Câu 13. Người ta bỏ bốn bóng bàn kích thước, bán kính a vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn Biết bóng bàn nằm cùng, bóng tiếp xúc với mặt đáy mặt đáy hình trụ Lúc đó, diện tích xung quanh hình trụ bằng:

A. 8 a B. 4 a C. 16 a D. 12 a

Câu 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A. B. C. D.

3

16a 14

49

 2a3 14

7

 64a3 14

147

 64a3 14

49



Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A. B. C. D.

3

5a 15

18

 5a3 15

54

 4a3 3

27

 5a3

3



Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = Cạnh bên SA = vng góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

A. B. C. D.

2

3

2

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Tính diện tích  

AB BC a 3, SAB SCB 90     a

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

(99)

Trang 20

A. S a  B. S 16 a  C. S a  D. S 12 a 

Đáp án:

1 – A – A – D – D – B – B – D – C – B 10 – C 11 – C 12 – B 13 – C 14 – C 15 – B 16 – C 17 – D

(100)

Trang CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ trục tọa độ không gian

Trong không gian hệ gồm ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz đơi vng góc với gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ

Trục Ox: trục hoành Trục Oy: trục tung Trục Oz: trục cao

Các mặt phẳng chứa hai trục tọa độ gọi mặt phẳng tọa độ, kí hiệu (Oxy), (Oyz), (Ozx)

Gọi i1;0;0 , j 0;1;0 , k 0;0;1 ba vecto đơn vị ba trục Ox, Oy, Oz

2 Tọa độ vecto

Trong không gian Oxyz, với vecto u tồn ba số (x;y;z) cho u xi y j xk     Ta gọi ba số (x;y;z) tọa độ vecto Kí u hiệu: u x y z ; ;  u x y z; ; 

Biểu thức tọa độ phép tốn vecto: • Cho hai vecto u x y z 1; ;1 1,v x y z 2; ;2 2, ta có:

 2; y1 2; z1 2

u v   x x y z

 2; y1 2; z1 2

u v   x x y z

 1; ky ; kz ,1 1

ku  kx k R • Độ lớn vecto:

2 2 u  x x x

•Tích vơ hướng hai vecto: 2

u v x x  y y z z •Góc hai vecto:

  2

2 2 2 1 2

x x y y z z u v

cos u v

u v x y z x y z

             

Với u v , 0 Đặc biệt:

Ví dụ:

•u1; 3; 4   u i  3j4 k

 

1;0; 4

w 3;1;0 w 3

1 1

0;0; 0

2 2

v v i j k i k

i j k i j

n u i j k k

                                              

• Cho hai vecto u1; 3; ,  v 2;3;5: 1 2; 3; 5  1;0;9

u v        

1 2; 3; 5 3; 6; 1

u v         

1 1 1

.1; ( 3); ; ;

2u 2 2



   

    

   



• Độ lớn vecto:

2 2

1 ( 3) 26

u     

• Tích vơ hướng hai vecto: 1.( 2) ( 3).3 4.5

u v       • Góc hai vecto:

  2 2 2

1.( 2) ( 3).3 4.5

1 ( 3) ( 2)

cos u v     

     

 

9

26 38 247

 

(101)

Trang • Hai vecto

1 2

x x

u v y y

z z           

• Hai vecto u v phương ; 0,

u kv v     k R

•u  v u v   0 x x1 2y y1 2z z1 20

3 Tọa độ điểm

Với điểm M, tồn ba số (x;y;z) cho OM xi y j zk   Ta gọi ba số (x;y;z) tọa độ điểm M

Kí hiệu: M x y z ; ;  hay M x y z; ;  Do OM xi y j zk  M x y z ; ; 

Nếu điểm M có tọa độ (x;y;z) x, y, z gọi hoành độ, tung độ cao độ điểm M

Nhận xét:

Điểm M thuộc trục Ox, Oy, Oz:

 ;0;0 ; 0; ;0 M Ox M x M Oy M y

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) có z = 0, thuộc mặt phẳng (Oyz) có x = 0, thuộc mặt phẳng (Oxz) có y =

Biểu thức tọa độ điểm:

Cho bốn điểm A x y z A; A; A ,B x y zB; B; B,

ta có:  C; C; C , D; D; D C x y z D x y z • ABxB x yA; By zA; B zA

•B xB xA 2 yByA 2 zB zA

• Trung điểm I AB có tọa độ là:

; ;

2 2

A B A B A B x x y y z z I    

 

• Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ là:

; ;

3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G       

 

• Điểm N AB theo tỉ số k:

Ví dụ:

   

3 3; 1; 3; 1;

2 2; 1;0 2; 1;0

1 1

0;0; 0;0;

2 2

OM i j k OM M

ON i j ON N

OP k OP P

                                          

Cho bốn điểm A1; 2; ,  B 2; 2;1 , , ta có:

0; 3; , 2;0;0

C  D

•AB2 1; 2;1 3     1; 4; 4 

•AB 2 1  2  2 2 2 1 32  33 • Trung điểm I AB có tọa độ là:

1 2 3

; ; ;0;

2 2

I          

   

• Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ là:

1 2 3

; ; 1; 1;

3 3

G            

   

• Điểm N chia AB theo tỉ số 2:

1 2.1 2.( 2) 2.1

2 ; ;

1 2

NA NBN        

  

 

 

1; 6;5  

(102)

Trang

; ;

1 1

A B A B A A x kx y ky z kz NA k NB N

k k k

               

4 Tích có hướng hai vecto

• Trong khơng gian Oxyz, cho hai vecto: , Tích có hướng  1; ;1 1

u x y z vx y z2; ;2 2

hai vecto vecto có tọa độ u v n xác định sau:

 

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

; ;

y z z x x y n

y z z x x y

y z y z z x z x x y x y

 

  

 

   



• Kí hiệu: n   u v ,  • Nhận xét:

, , , ,

i j k j k i k i j

                

• Cho u v  , 0 Gọi n   u v , , ta có:

,

n u  

nv  

• n   u vsin , u v 

• Nếu hai vecto u, v phương :

,

u v

     

•Nếu ba vecto u, , v w đồng phẳng thì:

, w

u v

  

   

Do để chứng minh u, , không v w đồng phẳng, ta cần chứng minh: u v   ,  w

Ví dụ: tính tích có hướng hai vecto

,

 3;3;1

u   v1;1; 1 

Cách 1:

3 1 3

, ; ;

1 1 1

u v    

    

     

      

 

3 1.1;1.1 ; 3.1 4; 2;

       

   

Cách 2: Phương pháp sử dụng CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường vecto:

Mode

Bước 2: Nhập vecto u: 1, nhập tọa độ vecto : 3

u 

Bước 3: Nhập vecto :v AC Shift

Nhập tọa độ vecto v:1 1

Bước 4: Tính tích có hướng hai vecto u AC:

5

Shift  shift 

Ta kết là:u v ,       4; 2; 6

Dạng 1: Xác định tọa độ vecto, áp dụng tính chất phép tốn vecto

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vecto : a1; 2; 3 ,b2;1;1, Tìm tọa độ vecto

 3;1;0

c 



3

u  a b c 

A. u 10;7; 7  B. u4;9; 7  C. u 10;7;7 D. u  10; 7;7  Hướng dẫn

(103)

Trang

Cách 1: Ta có : 3a 3;6; , 2  b 4; 2; ,  c 3; 1;0  

Suy ra: u 3a2b c    3 3;6 1; 0       10;7; 7 

Cách 2: Phương pháp sử dụng CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường vecto: Mode

Bước 2: Nhập vecto a: 1, nhập tọa độ vecto a: 3

Bước 3: Nhập vecto b AC Shift: 1, nhập tọa độ vecto b 1 Bước 4: Nhập vecto c AC Shift: 1, nhập tọa độ vecto c

Bước 5: Tính tọa độ vecto u AC:  Shift   Shift  Shift 5  Ta kết u 10;7; 7 

Chọn A 

Ví dụ 2: Cho ba vecto a 0;1;3 , b5; 1;0 ,  c3,1, 2 Hãy biểu diễn vecto d5;10;12 theo ba vecto a b c  , ,

A. 15 B.

2

d  a b c

    18 20

7 7

d  a b c

   

C. 15 D

2

d   a b c

    18 20

7 7

d  a b c Hướng dẫn

Gỉa sử có phân tích d d ma nb pc   , ta có:

1 5

7 10

2

12 15

2

m

n p

m n p n

m p

p

   

 

 

      

 

   

  



Vậy 15

2

d   a b c

   

Chọn C 

Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto um; 2; m1 Tìm tất giá trị m để hai vecto phương

3; 4;6

v  m



,

u v 

A. m = B. m = -2 C. m = D. m = -1 Hướng dẫn

Với m = -2; u     2; 2; ; v3;0;6

(104)

Trang Vì nên hai vecto khơng phương, m = -2 khơng thỏa mãn

2

  u v,

 

Với m 2 Để hai vecto u v , phương

1

2 1

2

3

m m

m

m    

  

    



   

  

 Chọn C



Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a m m;1; ,b3;m2;3 Giá trị m để vecto phương với vecto là:a b

A. m 2 B. m = -3

C. m = D. m = m = -1

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto Tọa độ vecto

2;3; , 0; 3; ; 1; 2;3

a  b  c  n3a2b c 

A. n 5;5; 10  B. n5;1; 10  C. n 7;1; 4  D n5; 5; 10  

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a 2;1;1, c3; 1; 2  Tọa độ vecto b thõa mãn biểu thức 2b a   3c0 là:

A. 3;1; B. C. D.

2

 

 

 

 

1

; 2;

2

 

  

 

 

7

; 2;

2

 

 

 

 

3

; 2;

2



 

 

 

Đáp án:

1 - D - A - C Dạng 2: Tọa độ điểm đặc biệt

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;0 , B 0;0;1 , C 3;1;1 Để ABCD hình bình hành tọa độ điểm D là:

A. D1;1; 2 B. D4;1;0 C. D  1; 1; 2 D. D 3; 10

Hướng dẫn Gọi tọa độ D Dx; y; z

Ta có: BA1;0; ,  CDx3;y1;z1

ABCD hình bình hành  

3

1 4;1;0

1

x x

BA CD y y D

z z

  

 

 

       

     

 

 

(105)

Trang Chọn B



Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm B1; 2; ,  C 7; 4; 2  Nếu E điểm thỏa mãn đẳng thức CE2EB tọa độ điểm E là:

A. 3; ;8 B. C. D.

3        8 ;3; 3        3;3;        1; 2;       Hướng dẫn

Gỉa sử E x y z ; ; CEx7;y4;z2 , EB 1 x; 2  y; z

Ta có:

 

3

8 8

2 2 3; ;

3 3

2 8

3

x

x x

CE EB y y y E

z z z                                       Chọn A 

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A1;0;1 ,

, Tìm tọa độ điểm A’ 2;1; 2

B D1; 1;1 ,  C4;5; 5 

A. A  2;1;1 B. A3;5; 6  C. A5; 1;0  D. A2;0; 2 Hướng dẫn

Gọi tọa độ C x y z ; ; , A    x y z; ; 

Ta có: AB1;1;1 , DCx1;y1;z1 

 

1

1 2;0;

1

x x

AB DC y y C

z z                             

2;5; , 1; ;

1

5 3;5;

1

CC AA x y z

x x

CC AA y y A

z z                                   Chọn B 

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;3 ; B 1; 2;1 Đặt

với M điểm nằm mặt phẳng Oxy Tìm tọa độ điểm M để p đạt giá trị nhỏ

p MA MB 

A. ( 1; 2; 0) B. ( 1; 2; 2) C. ( 0; 2; ) D. ( -1; 1; ) Hướng dẫn

Cách 1: Gỉa sử Mx; y;0(Oxy)

(106)

Trang Gọi I trung điểm AB I1; 2; 2MI 1 x; 2y; 2

Ta có: MA MB  2MI P MA MB  2 MI

P đạt giá trị nhỏ  MI ngắn  M chân đường vng góc hạ từ I xuống mặt phẳng Oxy

   

1

2 1; 2;0

M I M I M

x x

MI Oxy y y M

z

  



    

 



Cách 2: Vì điểm M thuộc mặt phẳng Oxy nên có zM 0, ta loại đáp án B,C

Thay tọa độ điểm M thuộc hai đáp án lại vào p, chọn giá trị M làm biểu thức p nhỏ Đáp án A, M1; 2;0, ta MA0;0;3 , MB0;0;1

0;0; 4

MA MB   p MA MB 

   

Đáp án D, M1;1;0, ta MA2;1;3 , MB2;1;1 4; 2; 4 42 22 42 6 4 MA MB   p MA MB         

Chọn A 

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 2;1 ,  B 3; 2;1  Tọa dộ điểm C đối xứng với A qua B là:

A. C1; 2;1 B. C1; 2; 1   C. C1; 2; 1  D. C4; 2;1 

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A3; 2; ,  B 2; 2; ,  Điểm sau trọng tâm tam giác ABC?

 3;6; 2 C  

A. G4;10; 12  B. 4; 10; C. D.

3

G  

  G4; 10;12 

4 10 ; ; 3

G  

 

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 , B 1;1;0 , C 1;0; 2 Khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến trung điểm cạnh AB bằng:

A. B. C. D.

2

3

2

Đáp án

1 - D – D - B

Dạng 3: Tích vơ hướng, góc ứng dụng

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;1;0 , B 3;0; 4,C0;7;3 Khi cos AB BC ,  bằng:

(107)

Trang

A. 14 B. C. D.

3 118



3 59

14 57

14 57  Hướng dẫn

Ta có: AB   1; 1; , BC3;7; 1   AB BC  14

  14

,

3 118

AB BC cos AB BC

AB BC



 

   

 

Chọn A 

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto tạo với góc a b 120 Biết a 3,b 5thì a b  bằng:

A. B. C 4 D.

Hướng dẫn Ta có: a2  a2 9,b2  b2 25

 2  

2 2 2

2 .cos , 2.3.5 25 49

2

a b  a b a  a b b a  a b a b b       

             

Vậy a b  7 Chọn D 

Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M2;3; ,  N 1;1;1, Với giá trị m tam giác MNP vuông N?

1; 1; 2 P m

A. m = B. m = C. m = D. m = Hướng dẫn

Ta có: NM3; 2; ,  NP2;m2;1 NM NP  6 2m  2 2 m

Tam giác MNP vuông N  NM NP  0 2m  0 m

Chọn D 

Ví dụ 4: Cho hai vecto a1; 2;3 , 1; 1;0 b   Tìm vecto vng góc với hai vecto biết c c  27, tạo với k0;0;1 góc tù

A. c   3; 3;3  B. c3;3;   C. c1;1;5  D. c0;0; 27  Hướng dẫn

Gọi tọa độ vecto cx y z; ; 

Vì c   a x 2y3z0,c b    x y nên ta có hệ:

2

0

3

y x

x y z

x y x

x y z x

 

  

 

  

   

   

 

(108)

Trang Do cx x x; ; 

Góc hai vecto c k  

2

cos ;

3

c k x

c k

c k x



 

   

 

Để tạo với c k0;0;1 góc tù x >

Mặt khác: c  27 nên x2x2 ( x)2  27 3x2 27x2   9 x 3 (do x > 0) Vậy vecto c cần tìm c3;3; 3 

Chọn B 

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A2;3; ,  B 4; 6; ,   C 3;9; 9  Tọa độ điểm M a ; b;c làm cho biểu thức P AM2BM2CM2 đạt giá trị nhỏ Tính tổng a + b + c

A. B. C. D. -1

Hướng dẫn

Cách 1: Gọi M a b c ; ; 

Ta có PAM2BM2CM2

                 

     

2 2 2 2 2

2 2

min

2 9

3 3 12 24 241

3 4 16 178

3 178 178

1

178

4

a b c a b c a b c

a b c a b c

a a b b c c

a b c

a P b c                                                        

Vậy a + b + c = + – = -1

Cách 2: Gọi G trọng tâm tam giác ABC

 

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

AM AM AG GM AG GM AG GM

BM BM BG GM BG GM BG GM

CM CM CG GM CG GM CG GM

P AM BM CM

                                            

2 2

3

MG GA GB GC GM AG BG CG

MG GA GB GC GM

MG GA GB GC

     

    

   

     

Do đó: P GA 2GB2GC2

 

min 1; 2;

P M G 

Do a + b + c = + – = -1 Chọn D



(109)

Trang 10

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto m1;0; ,  n0;1;1 Kết luận sau sai?

A. m n   1 B.m n ,    1; 1;1 

C. không phương.m n D. Góc m n 60

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto có độ dài Biết a b bằng:

 ,

a b    a b 

A. B. C. D.

2

3 2

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a 1; ; ,m   b 2;1;3 , a b  khi:

A. m = -1 B m = C. m = D. m = -2

Đáp án

1 - D - C - B

Dạng 4: Tích có hướng ứng dụng tích có hướng.

Ứng dụng tích có hướng:

Để chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện, ta chứng minh:   AB AC AD,  0 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD   AB AC, 

Diện tích tam giác ABC: ,

ABC

S   AB AC

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD A B C D ' ' ' '   AB AD AA,  ' Thể tích tứ diện ABCD: ,

6

ABCD

V    AB AC AD

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A0; 2; ,  B 3;1; ,  C 4;3;0, Tìm m để A, B, C, D đồng phẳng

1; 2; 

D m

A. m 5 B. C. m = D. m =

13

m 

Hướng dẫn Ta có: AB   3; 1;1 , AC 4;1; , AD1;0; m  

 

, 3;10;1 ,

AB AC AB AC AD m m

          

    

(110)

Trang 11 A, B, C, D đồng phẳng   AB AC AD,       0 m m

Chọn C 

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A2; 1;6 ,  B   3; 1; 4, Thể tích tứ diện ABCD bằng:

5; 1;0 , D 1; 2;1   C 

A. V = 30 B. V = 40 C. V = 50 D. V = 60 Hướng dẫn

Ta có: AB  5;0; 10 ,  AC3;0; ,  AD  1;3; 5 

 

, 0; 60;0 , 180

AB AC AB AC AD

      

    

Thể tích tứ diện ABCD : , 30

ABCD

V    AB AC AD  Chọn A



Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; ,  B 2;1;1 , C 0;1; 2 Gọi trực tâm tam giác ABC Giá trị x + y + z bằng:

( ; ; )

H x y z

A. B. C. D.

Hướng dẫn Gỉa sử H x y z ; ;  trực tâm tam giác ABC

 1; 2; ,  2; 1; ,  2;0;1 ,  1; 1;3 , 1; 1; 2

AH  x y z BH  x y z BC  AC   AB 

    

 

, 1; 5;

AB AC

 

    

H trực tâm tam giác ABC, ta có:    

     

1 2 3 2

3

5

1 2

,

AH BC x z x z x

BH AC x y z x y z y

x y z z

x y z

AB AC AH

            

 

                

   

               

 

 

 



   

   Vậy x + y + z =

Chọn A 

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;3 , B 2; 2;0 ,  C 3; 2;1 Diện tích tam giác ABC bằng:

A. 62 B. 62 C. 12 D.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD A0;0;1 , B 0;1;0 ,

, Thể tích tứ diện ABCD bằng: 1;0;0

C D2;3; 1 

(111)

Trang 12

A. B. C. D.

3

V 

2

V 

6

V 

4

V 

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;1 , B 2;1;3 , C 1; 4;0 Tọa độ trực tâm H tam giác ABC là:

A. ; 15; B. C. D.

13 13 13



 

 

 

8 15 ; ; 13 13 13

 

 

 

8 15 ; ; 13 13 13

 

 

 

 

8 15 ; ; 13 13 13

 

 

 

 

Đáp án

1 - A 2 - C 3 - B

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vecto ua b c; ;  Khi độ dài u tính theo cơng thức sau đây?

A. a b c  B. a2b2c2 C. a + b + c D. a2b2c2

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto a  1;1;0 , b1;1;0 , c1;1;1 Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?

A. a  B. c  C. a b D. b c

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M2; 3;5 ,  N 4;7; ,  P 3; 2;1 ,

Bộ ba điểm sau thẳng hàng? 1; 8;12

Q 

A. N, P, Q B. M, N, P C. M, P, Q D. M, N, Q

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M3;1; 2  Điểm N đối xứng với M qua trục Ox có tọa độ là:

A. 3;1; 2 B.   3; 1; 2 C. 3;1;0 D. 3; 1; 2 

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0; 4 Mệnh đề mệnh đề sau?

A. cos 65 B. C. D.

65

A sin 61

65

A SABC  61 SABC  65

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto a 0;1; ,  b1; 2;1 , Để ba vecto đồng phẳng giá trị m là:

4;3; 

c m



A. m = 14 B. m = C. m = -7 D. m =

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u1;1; ,  v1;0;m Tìm m để góc hai vecto u v , có số đo 45?

A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m2

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, M’ hình chiếu vng góc M3; 2;1 trục Ox M’ có tọa độ là:

(112)

Trang 13

A. 0;0;1 B. 3;0;0 C. 3;0;0 D. 0; 2;0

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A1;0;1 ,

giao điểm hai đường chéo Diện tích hình bình hành ABCD bằng: 2;1; 2

B 3;0;3

2

I 

 

A. B. C. D.

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A1; 2; ,  B 2; 1;3 ,  Độ dài đường cao tam giác ABC hạ từ A bằng:

 4;7;5 C 

A. 110 B. C. D.

57

555 26

1110 57

111 57

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a 1;log 3;5 m b,3;log 25; 33   vng góc với khi:

a b

A. m3 B. C. D.

3

m

5

m

3

m 

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 2; 10 1;0 ,  B 2; 7;3, Đặt với M điểm nằm mặt phẳng Oyz Giá trị nhỏ  2, 5,3

C P MA MB MC    P là:

A. 2 1. B. C. D.

Đáp án

1 – B - D - D - D - C - A - C - B - C 10 - B 11 - B 12 – C

(113)

Trang

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Vectơ pháp tuyếncủamặtphẳng

Cho mặtphẳng   , vectơ n n   0 đượcgọi vectơ pháp tuyến

(VTPT) mặt phẳng   nằm đường thẳng vng góc vớimặtphẳng  

Chú ý:

Mộtmặtphẳng có vơ sốvectơ pháp tuyến

Nếu n mộtvectơ pháp tuyến kn vecto pháp tuyến

2 Phương trình tổng quát củamặtphẳng  Trong hệtrụctọađộ Oxyz, mặtphẳng   có

phương trình tổng qt là:

, A, B, C khơng

0 Ax By Cz D   

đồngthờibằng

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng    ; ; 

n A B C



 2;3; 1

n  

 Mặtphẳng   qua điểm M x y z 0; ;0 0 có vectơ pháp tuyến n A B C; ; , có phương

trình là:

 0  0  0

A x x B y y C z z 

Ví dụ:

Phương trình mặtphẳng:

2x – y + 3z = có VTPT n2; 1;3  x + 3z = có VTPT n 1;0;3

z = có VTPT n0;0;1

 Mặtphẳng   qua điểm M1; 2;3 , có vecto pháp tuyến n  2;3; 1 , có phương trình là:

     

2 3

2x 11

x y z

y z

            

3 Các trườnghợp riêng

Xét phương trình mặtphẳng   :Ax By Cz D   0 với A2B2C2 0

Các hệsố Phương trình mặtphẳng   Tính chấtmặtphẳng  

D = Ax + By + Cz =   qua gốctọađộ O

A = By + Cz + D =   //Ox Ox 

B = Ax + Cz + D =   //Oy Oy 

C = Ax + By + D =   //Oz Oz 

A = B = Cz + D =   //(Oxy)     Oxy

A = C = By + D =   //(Oxz)     Oxz

B = C = Ax + D =   //(Oyz)     Oyz

(114)

Trang

4 Phương trình đoạnchắn

Phương trình mặt phẳng qua ba điểm

 ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 

A a Ox B b Oy C c Oz

được gọi phương trình đoạn

a b c, , 0

chắn có dạng:

1

x y z

a b  c

Ví dụ:

Phương trình đoạnchắn qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;-3) có dạng:

1

x y z 



5 Vị trí tươngđốigiữa hai mặtphẳng Cho hai mặtphẳng:

   

1 1

2 2

:

A x B y C z D A x B y C z D

 

       

Khi đóvị trí tương đốigiữa hai mặt phẳng  

và   :        

1 1

2 2

1 1

2 2

/ / A B C D

A B C D

 

   

    

cắt

     A B C1: 1: 1 A B C2: 2: 2

Đặcbiệt:       A A1 2 B B1 2C C1 2 0

 Vị trí tương đối   :x2y3z 0  với

:   : 2x 4 y6z 0 

Vì nên

2



  

     / / 

  : 2x 4  y6z 0 

Vì nên

2



  

        

  :x4y6z 0  Vì nên cắt

1

 

    

6 Khoảng cách từmộtđiểmtớimộtmặtphẳng Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm

đếnmặtphẳng :  0; ;0 0

M x y z  

Ax + By + Cz + D = tính theo công

thức:

 

  0

2 2

, Ax By Cz D

d M

A B C

    

 

Khoảng cách từđiểm M1; 2; 4  đếnmặtphẳng

( ) :2P x2y z  8 0:

 

     

 2

2

2 2.2

,

2

d M P       

  

7 Góc hai mặtphẳng

Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

(Q) có vectơ pháp tuyến

 P  ; ; 

n  A B C



 Q  ; ; 

n A B C  

Khi góc hai mặtphẳng (P) (Q) là:    

     

   

 

2 2 2

cos cos ,

90 P Q P Q P Q n n n n n n

AA BB CC

A B C A B C

                        

Cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 2017 0  , Góc hai mặtphẳng (P)  Q y z:  2017 0

và (Q):

Ta có n P 2;1; 2  vectơ pháp tuyếncủamặt phẳng (P), n Q 0;1; 1  vectơ pháp tuyếncủa mặtphẳng (Q)

   

      

   

 

3

cos , cos ,

2

, 45

P Q

P Q n n

P Q

  

  

 

(115)

Trang

Dạng 1: Viếtphương trình mặtphẳng

Các trườnghợp hay gặpcủaphương trình mặtphẳng:

Trườnghợp 1:Phương trình mặtphẳngđi qua điểm M x y z 0; ;0 0, có VTPT nA B C; ; , có phương

trình là:

 0  0  0

A x x B y y C z z 

Trường hợp 2: Phương trình mặt phẳng qua M, có cặp VTCP , u v VTPT mặt phẳng

,

n  u v

  

Trường hợp 3: Phương trình mặt phẳng qua M x y z 0; ;0 0, song song với mặt phẳng

có phương trình

 P Ax By Cz D:    0 A x x  0B y y  0C z z  00

Trườnghợp 4:Phương trình mặtphẳngđi qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng, VTPT củamặt phẳng n   AB AC, 

Trườnghợp 5:Phương trình mặtphẳngđi qua điểm M, vng góc với hai mặtphẳngcắt (P) (Q), VTPT củamặtphẳng n n  P ,n Q 

Trườnghợp 6:Phương trình mặtphẳng trung trựccủađoạnthẳng AB

Đi qua trung điểm I AB ; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z

I    

  

 

Nhận VTPT n AB 

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, mặtphẳng  P : 2x 3 y z  1 có mộtvectơ pháp tuyến là:

A n4 2;3;1 B. n3 1; 2;3 C. n2   1;3; 2 D. n12;3; 1 

Hướngdẫn

Mặtphẳng  P : 2x 3 y z  1 có mộtvectơ pháp tuyến n4 2;3;1

Chọn A 

Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(3;4;5) có vectơ pháp

tuyến n1; 3; 7   là:

A. P x: 3y7z 20 0  B  P x: 3y7z 44 0 

C.  P : 3x4y5z 44 0  D.  P x: 3y7z 44 0 

Hướngdẫn

Mặtphẳng (P) qua điểm M(3;4;5) có vectơ pháp tuyến n 1; 3; 7   Khi đóphương trình mặtphẳng (P) là:

     

1 x 3 y4 7 z5   0 x 3y7z 44 0 

Chọn D 

Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A(-1;1;1), B(2;1;0), C(1;-1;2) Mặt phẳng qua A vng góc với BC có phương trình là:

(116)

Trang

A. 3x + 2z – = B. x + 2y - 2z – =

C. x + 2y – 2z + = D. 3x + 2z + =0

Hướngdẫn

Mặtphẳngđi qua A vng góc với BC có vectơ pháp tuyến n BC     1; 2; 2 Khi đóphương trình mặtphẳngcần tìm là:

     

1 x y z x 2y x 2y 2z

                 

Chọn C 

Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình mặtphẳng (P) qua gốctọađộ song song vớimặt phẳng (Q): 5x – 3y + 2z + 10 =

A. (P): 5x – 3y + 2z + = B. (P): 5x – 3y + 2z + =

C. (P): 5x – 3y + 2z = D (P): 5x + 3y - 2z =

Hướngdẫn

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có VTPT với mặt phẳng (Q),

phương trình mặtphẳng (P) có dạng: 5x – 3y + 2z + D = Mà (P) qua gốctọađộ nên 5.0 – 3.0 + 2.0 + D =

Vậyphương trình mặtphẳng (P) là: 5x – 3y + 2z =

Chọn C 

Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB, biết

A(2;3;-4), B(4;-1;0)

A (P): 3x + y – 2z + = B. (P): 3x + y – 2z – =

C. (P): x – 2y + 2z – = D. (P): x – 2y + 2z + =

Hướngdẫn

Mặtphẳng trung trựccủađoạnthẳng AB mặtphẳngđi qua trung điểmcủa AB vng góc với AB

Gọi I trung điểmcủa AB Khi đótọađộđiểm I là:

 

2

3

1 3;1;

2

4

2

A B I

x x

x

y y

y I

z z

z

 

   

 

 

     

 

   

   



Vì (P) AB n P / /AB2; 4; 4  2 1; 2; 2  Chọn nP 1; 2; 2 

Phương trình mặtphẳng (P) là:

1.(x – 3) – 2.(y – 1) + 2.(z + 2) = 0x – 2y + 2z + =

Chọn D 

Ví dụ 6: trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;-2;4), B(3;2;-1), C(-2;1;-3)

A. (P): x – 2y + 4z – =0 B. (P): 13x – 29y – 18z + =0

C (P): x – 2y + 4z + =0 D (P): 13x – 29y – 18z – =0

(117)

Trang

Hướngdẫn

Mà AB2; 4; 5 , AC   3;3; 7 

 

4 5 2

, ; ; 13; 29;18

3 7 3

AB AC    

 

   

   

 

 

Phương trình mặtphẳng (P) qua ba điểm A, B, C có VTPT n  AB AC,   13; 29;18

Phương trình củamặtphẳng (P) là:

13.(x – 1) – 29.(y+2) – 18.(z – 4) = 013x – 29y – 18z + =

Chọn B 

Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ vng góc với hai

mặtphẳng (Q): 2x – y + 3z – = (R): x + 2y +z =

A. (P): 7x – y – 5z = B (P): 7x – y + 5z =

C. (P): 7x + y – 5z = D (P): 7x – y + 5z =

Hướngdẫn

Mặtphẳng (Q) mặtphẳng (R) có vectơ pháp tuyếnlầnlượt nQ 2; 1;3 ,

  

1; 2;1 R

n  Vì    

    P Q P Q, R P R

P Q n n

n n n

P R n n

 

    

   

 

 

 

 

    

 

1 3 2

, ; ; 7;1;5

2 1 1

Q R

n n    

    

   

Phương trình mặtphẳng (P) qua gốctọađộ có vectơ pháp tuyến nP   7;1;5 là: -7(x – 0) + 1(y – 0) + 5(z – 0) = -7x + y + 5z =  7x – y – 5z =

Chọn A 

Ví dụ 8: Viếtphương trình mặtphẳng   di qua A(2;-1;3) giao tuyến hai mặtphẳng x – y + z – = y + 2z +4 =

A. 2x + 3y – 2z – = B -9x + 11y – 5z + 44 =

C 2x + 3y – 2z + = D -9x + 11y – 5z – 44 =

Hướngdẫn

Xét hệgồm hai mặtphẳng:

2z

x y z y

    

    

Cho x = 0, ta đượchệ: 4

2z

y z y

y z

    

 

      

 

Ta có điểm D (0;-4;0) thuộc giao tuyến Tươngtự cho z = 1, ta

6

x y

      

Ta có điểm E(-3;-6 ;1) thuộc giao tuyến

Do đómặtphẳng   mặtphẳngđi qua ba điểm A, D, E Ta có: AD    2; 3; 3, AE     5; 5; 2

 

D, E 9;11;

n  A A   

(118)

Trang

Mặtphẳng   qua ba điểm A, D, E nên nhận làm n vectơ pháp tuyến

Vậyphương trình mặtphẳng   là: -9x + 11(y + 4) – 5z = hay -9x + 11y – 5z + 44 =

Chọn B 

Câu 1. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến nP củamặtphẳng (P): -x + 2y + 5z – 12 = là:

A. nP 1; 2;5  B. nP 1; 2; 5   C. nP 2; 4;10 D. nP   2; 4; 10 

Câu 2. Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (1;1;-1) có vectơ pháp

tuyến nP 1;1;1 là:

A. x + y – z – = B. x + y + z – = C. x + y + z – = D. x + y + z + =

Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình tổng qt củamặtphẳng (P) chứa Ox vng góc với mặtphẳng (Q): -x + 2y – 8z – =

A. (P): x – z = B. (P) x + y = C. (P): y + 4z = D. (P): 4y + z =

Câu 4. Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặtphẳng trung trực (P) củađoạnthẳng AB, biết

A (2;1;1), B (2;-1;-1)

A. (P): y + z = B. (P): x + y +z – =

C. (P): x – = D. (P): y + z – =

Câu 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm O, B (-2;-1;3), C (4;-2;1)

A. (P): 5x + 14y + 8z – = B. (P): 5x + 14y + 8z +1 =

C. (P): 5x + 14y + 8z = D. (P): 5x + 14y + 8z +3 = Đáp án:

1 – B – B – D – A – C

Dạng 2: Phương trình đoạnchắn

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặtphẳng (P) song song vớimặtphẳng (Q): Vectơ

1

x y z

   sau vectơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P)?

A n (1; 2;3) B.n(1; 2;3) C. 1; ;1 D.

2 n  

  

( 6;3; 2)

n  



Hướngdẫn

Mặtphẳng  : 6x 2z có VTPT

1

x y z

Q       y   n Q   6;3; 2  Vì (P) song song vớimặtphẳng (Q) nên mặtphẳng (P) có VTPT vớimặtphẳng (Q) Do n P   6;3; 2 

Chọn D 

Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặtphẳng (P) qua ba điểm A (0;0;3), B (0;2;0), C (6;0;0)

A. (P): x – 3y – 2z – = B (P): x + 3y + 2z – =

C. (P): x + 3y – 2z – = D (P): x + 3y + 5z + =

(119)

Trang

Hướngdẫn

Mặtphẳng (P) qua ba điểm A (0;0;3), B (0;2;0), C (6;0;0) Khi phương trình mặtphẳngđoạnchắn (P) là:

1 2z

6

x y z

x y

       

Chọn B 

Ví dụ 3: Cho điểm G (2;-1;4), viết phương trình mặt phẳng   qua G, cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượttại A, B, C cho G trọng tâm tam giác ABC

A B.

6 12

x y z 

2x4y z 12 0

C. 2x 4 y z 12 0 D

6 12

x y z 

Hướngdẫn

Gọi giao củamặtphẳng   với trục Ox, Oy, Oz lầnlượt là: A x 0;0;0, B0; ;0y0 , C0;0;z0 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

hay

3 3

A B C G

x x x

x

y y y

y

z z z

z                   0 0 0 6 3 12 x x y y z z                     

Vậyphương trình mặtphẳng   là: hay

6 12

x y  z 

 2x 4 y z 12 0

Chọn B 

Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (-1;2;4) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C cho OA=OB=OC

A. (P): x + y – z + = B. (P): x + y + z – =

C. (P): x + 2y + z – = D (P): x + 2y + 3z – 15 =

Hướngdẫn

Mặtphẳng (P) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C, nên tọađộ điểm A, B, C lầnlượt

là: A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) với a,b,c > Mà ta có OA=OB=OC nên a  b  c   a b c Khi đóphương trình mặtphẳng (P) là: x y z a   b c

Mà M  P a

a a a a



        

Vậyphương trình mặtphẳng (P) là:

5 5

x y z

x y z

       

Chọn B 

Ví dụ 5:Phương trình mặt phẳng   qua điểm M (2;3;1) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại A, B, C cho thể tích tứdiện OABC đạt giá trịnhỏnhất có dạng ax + by + cz – 18 = Tính tổng ab – c ?

A 9 B. C. 16 D 1

(120)

Trang

Hướngdẫn

Mặtphẳng   cắt ba tia Ox, Oy, Oz ba điểm A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) Do đóphương trình mặtphẳng   là: x y z (a,b,c > 0) (1)

a  b c

Mặtphẳng   qua M nên ta có 1 (2)

a   b c

Ta có:

3

OABC OBC

V  OA S  abc

Áp dụngbấtdẳngthức Cauchy cho ba sốdương ; ; ta có:2

a b

1 c

, hay

3

2

1

a b c abc

    162 27

6

abc  abc VOABC 27

Do Min VOABC 27

Dấubằngxảy hay

2

1

a b c

   

 

    

6

2 1

9

3

a b

a b c

c

       

  

Vậy thể tích tứdiện OABC đạt giá trị nhỏ VOABC 27 mặt phẳng  có phương

trình là: 18

6

x y z

       Do a = 3, b = 2, c =  ab – c =

Chọn B 

Câu 1: Trong khơng gian Oxyz, viếtphương trình mặtphẳng (P) qua ba điểm A (-5;0;0), B (0;1;0), C (0;0;7)

A (P): 7x + 35y – 5z + 35 = B. (P): 7x – 35y – 5z + 35 =

C (P): 7x – 35y + 5z + 35 = D (P): 7x – 35y – 5z – 35 =

Câu 2: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (-1;2;4) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C cho OA = OB = OC

A (P): x + y – z + = B. (P): x + y + z – =

C. (P): x + 2y + z – = D. (P): x + 2y + 3z – 15 =

Câu 3: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (4;-3;1) cắt tia Ox, Oy, Oz lầnlượttại điểm A, B, C cho tam giác ABC

A. (P): x + y + z – = B. (P): x + 2y + z – =

C. (P): x + 2y + 2z – 12 = D. (P): x + 2y + 3z – 16 = Đáp án:

1 – C – B – A

Dạng 3: Vị trí tươngđốicủa hai mặtphẳng

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặtphẳng (P): 2x – y + 2z – = Mặtphẳng sau vng góc với (P)?

(121)

Trang

A x – 4y + z – = B x + 4y – z – =

C. –x + 4y + z – = D x + 4y + z – =

Hướngdẫn Mặtphẳng (P) có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 2 

Mặtphẳng x + 4y + z – = có vectơ pháp tuyến n 1; 4;1

Ta có  n P n 0 n  P  n (P) vng góc vớimặtphẳng x + 4y + z – =

Chọn D 

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : x   y z 0và Tìm m để (P) song song với (Q)

 Q : 2x my2z 0 

A. Không tồntại m B.m = -2 C m = D. m =

Hướngdẫn

Hai mặtphẳng (P) (Q) song song với 1 1

2 m 2

    

 

Do khơng tồntại m thỏa mãn yêu cầuđề

Chọn A 

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : x 2 y mz  9 Với giá trị m hai mặtphẳng vng góc với nhau?

 Q : x2m1y  z

A. m = -1 B m = C m = D. m =

Hướngdẫn Mặtphẳng (P) có vectơ pháp tuyến n 1; 2;m

Mặtphẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n 1; 2m1;1

Hai mặtphẳng (P) (Q) vng góc với n n   0 1.1 2  m 1 m.1 0 m 1

Chọn A 

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x + y – 2z – = 0, (R): x – y + = Khẳngđịnh sau sai?

 Q x y z:    2

A. (R) vng góc với (Q)

B. (P) vng góc với (Q)

C. (R) vng góc với (P)

D. (P), (Q), (R) đôimột song song với

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): nx + 7y – 6z + = song song với Khi giá trịcủa m, n là:

 Q : 3x my 2z 7

A. 7, B C D

3

m n 9,

3

m n 7,

3

m n 3,

7

m n

Đáp án:

1 – D – C

(122)

Trang 10 Dạng 4: Các tốn liên quan tới góc khoảng cách

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 2x 2 y z 11 0 Khoảng cách hai mặtphẳngđóbằng:

 Q : 2x+2y z  4

A. B 5 C 7 D.

Hướngdẫn

Ta có n P 2; 2; 1  n Q    P / / Q d P   , Q d M P ,  với M  Q

Ta lấy M 1; 1;0   Q           

 2

2

2 11

, ,

2

d P Q d M P     

   

  

Chọn B 

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 0  , lậpphương trình mặt phẳng

(Q) song song vớimặtphẳng (P) cách mặtphẳng (P) mộtkhoảngbằng

A  Q : 2x y 2z24 0  Q : 2x y 2z30 0

B  Q : 2x y 2z30 0  Q : 2x y 2z18 0

C  Q : 2x y 2z18 0

D  Q : 2x y 2z30 0

Hướngdẫn

Vì mặtphẳng (Q) song song vớimặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, nên mặtphẳng (Q) có phương trình

dạng 2x y 2z D 0

Ta có d P   , Q d M Q , 9 với M mộtdiểmbất kì thuộc (P)

Lấy M (0;-3;0)  P , ta có:  

   

 2

2

2.0 2.0 24

, 9 27

30

2

D D D

d M Q D

D

      

        

     

Vậyphương trình mặtphẳng (Q) là: 2x y 2z24 0 2x y 2z30 0

Chọn A 

Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : x   y z Điểmnằm trục Oy cách hai mặtphẳng (P), (Q) có tọađộ là:

 Q x y z:    5

A. (0;2;0) B (0;-2;0) C (0;3;0) D. (0;-3;0)

Hướngdẫn Giảsử M (0;y;0) Oy  ;  ,

3

y

d M P 

   ; 

3

y

d M Q  

 

 ,   ,  5

1

3

y y y y

d M P d M Q y

y y

     

        



Vậy M (0;2;0)

Chọn A 

(123)

Trang 11

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0;2), B (0;-1;2) mặt phẳng

Tìm tọađộđiểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏnhất

 P : x 2 y2z12 0

A. M2; 2;9 B ; 18 25;

11 11 11

M  

 

C. 7 31; ; D

6

M 

 

2 11 18

; ;

5 5

M  

 

Hướngdẫn

Cách 1: Thay tọađộ A (1;0;2), B (0;-1;2) vào phương trình mặtphẳng (P), ta thấy P(A).P(B) > nên hai

điểm A, B phía vớiđốivớimặtphẳng (P)

Gọi A điểmđốixứngcủa A qua (P) Ta có MA MB MA  MB A B

Nên MA MB nhỏnhấtbằng A B M  A B  P

Phương trình đườngthẳng AAđi qua A (1;0;2) vng góc với

(P) AA:

2 2

x t

y t

z t

     

   

Gọi H hình chiếu vng góc A lên (P) H AA P

Giải phương trình + t +2.2t – 2(2-2t) + 12 = t = -1 0; 2; 4

H

 

điểmđốixứngcủa A qua (P) H trung điểm

A  AA  A 1; 4;6

Phương trình đườngthẳng A B qua B (0;-1;2) có VTCP A B 1;3; 4  là:

;

2

x t

A B y t

z t

  

        

nên giảiphương trình t + 2(-1 + 3t) – 2(2 – 4t) +12 =

 

M  A B  P

5 t  

Vậy 2; 11 18;

5 5

M  

 

Cách 2: Do điểm M thuộc (P) nên thếtọađộđiểm M đáp án vào phương trình mặtphẳng (P) ta loại đáp án B

Với M2; 2;9 ta có MA MB  54 62 15

Với 7 31; ; ta có

6

M 

 

11 41 5441

12

12 12

MA MB   

Với 2; 11 18; ta có

5 5

M  

 

3 26 26

5

5 65

MA MB   

Chọn D 

Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A (3;1;1), B (7;3;9), C (2;2;2) mặt phẳng

Tìm tọađộđiểm M mặtphẳng (P) cho nhỏnhất

 P : x   y z MA2MB3MC

(124)

Trang 12

A. 13; 16; B C D.

9 9

M  

 

13 16 ; ; 9

M 

 

13 ; ; 7

M 

 

13

; ;

7 7

M  

 

Hướngdẫn

Cách 1: Gọi I điểmthỏa mãn IA2IB3 IC 0 IA2 IA AB  3 IA AC  0

1 23 13 25

; ;

3 6

AI AB AC I 

     

 

  

Mặt khác:

2 2( ) 3( ) ( ) 6

MA MB MC  MI IA  MI IB  MI IC  MI IA IB IC  MI  MI

             

Do MA2MB3MC nhỏnhất MI nhỏnhất hay M hình chiếucủa I lên mặtphẳng (P) Dùng cơng thức tính nhanh tọađộ hình chiếu ta 13; 16;

9 9

M  

 

Chú ý: Cơng thức tính nhanh tọađộ hình chiếu vng góc M (x;y;z) củađiểm I x y z 0; ;0 lên mặtphẳng

(P): ax + by + cx + d = là:

0

0 2

0

0 2

0

0 2

( )

a ax by cz d

x x

a b c

b ax by cz d

y y

a b c

c ax by cz d

z z

a b c

                             

Cách 2: Do điểm M thuộc (P) nên thếtọađộđiểm M đáp án vào phương trình mặtphẳng (P) ta loại đáp án B, D

Với 13; 16; ta có

9 9

M  

 

2 2

50 20 56 6036

2 26

3 3

MA MB MC         

        

Với 13 6; ; ta có

7 7

M 

 

2 2

2 18 20 788 28

MA MB MC     

  

Chọn A 

Câu 1: Mặtphẳng (Q) qua A (1;-2;-5) song song vớimặtphẳng (P): x – y + = cách (P) mộtkhoảng bằng:

A 4 B 2 C 2 D

Câu 2: Trên mặt phẳng Oxy điểm E có hồnh độ 1, tung độ ngun cách hai mặt phẳng

, Tọađộcủa E là:

 P : x 2 y z  1  Q : 2x   y z

A (1;4;0) B (1;-4;0) C. (1;0;4) D. (1;0;-4)

Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P x: 4y8z12 0 ,  Q : xmz0 Tìm số nguyên m để ((P),(Q)) = 45

A. 10 B. C D.

Đáp án:

1 – C – B – B

(125)

Trang 13

Câu 1: Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình tổng qt củamặtphẳng (R) chứatrục Oz

A.  R :Ax By D  0 B.  R :Ax By 0

C.  R By Cz D:   0 D.  R By Cz:  0

Câu : Trong không gian Oxyz, lậpphương trình tổng quát củamặtphẳng (P) chứa Oy vng góc với mặtphẳng  Q x y z:    1

A.  P x y:  0 B.  P :y4z0

C.  P x z:  0 D.  P x y:  0

Câu 3: Trong khơng gian Oxyz, lậpphương trình mặtphẳng (P) qua điểm M (1;-2;3) song song với phươngcủa hai vectơa3; 1; ,   b0;3; 4

A.  P x: 2y3z 53 0  B.  P x: 2y3z + 53 0

C.  P : 2x12y9z + 53 0 D.  P : 2x12y9z 53 0 

Câu 4: Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, xác địnhcặp giá trị (k;m) để cặp mặt phẳng sau

song song với nhau: 2x + ky + 3z – = , mx – 6y – 6z – =

A. (3;-4) B. (4;-3) C. (-4;3) D. (4;3)

Câu 5: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) qua A (1;3;-2) vng góc với đườngthẳng BC với B (0;2;-3) C (1;-4;1)

A.  P x: 6y4z 25 0  B.  P x: 6y4z 25 0 

C.  P x: 3y2z 25 0  D.  P x: 3y2z 25 0 

Câu 6: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A (0;1;1), B (-1;0;2) vng góc vớimặtphẳng (Q): x – y + z + = là:

A. (P): x + y + = B. (P): y + z – =

C. (P): x – y + z = D. (P): x + y + z – =

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3;2;-1), B (5;-2;-1), C (-3;8;1) Gọi M, N, P trung điểmcủa ba cạnh AB, BC, CA Phương trình mặtphẳng (MNP) là:

A. (MNP): 2x – y – 3z – = B. (MNP): -2x + y – 3z + =

C. (MNP): 2x + y + 3z – = D. (MNP): 2x – y + 3z + =

Câu 8: Tồn mặt phẳng (P) vng góc với hai mặt phẳng   :x y z   1 0, cho khoảng cách từgốctọađộđếnmặtphẳng (P) ?

  : 2x y 3z 4 26

A. B. C. D. Vô số

Câu 9: Trong không gian tọađộ Oxyz, cho hai điểm A (0;0;-3), B (2;0;-1) Tìm tọađộđiểm M thuộcmặt phẳng (P) : 3x – y – z + = để tam giác MAB

A. M0; 2; 1  2; 2; B.

3 3

M   

  M0; 2; 1 

3 10

; ;

2

M   

 

C. M0; 2; 1  17 1; ; D.

3 6

M 

 

2

; ;

3 3

M   

 

2 10 ; ; 3

M  

 

(126)

Trang 14

Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c), b > 0, c > mặt phẳng (P): y – z + = Xác định b,c biếtmặtphẳng (P) vng góc với (ABC) khoảng cách từ O đến

(ABC)

3

A. b = c = B C. b = c = D. b = c =

2

b

2 c Đáp án

1 – B – C – D – A – A – B – C – C – A 10 – B

(127)

Trang CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

PHẦN 1: LÝ THUYẾTTRỌNG TÂM 1 Vectơchỉphươngcủađườngthẳng

Vectơ u a b c ; ; gọi vectơ phương (VTCP)

của đường thẳng d đường thẳng d song song với giá củavectơ u

Nhận xét: Nếu ulà vectơ phương đường thẳng d k (ku 0) vectơ phươngcủa d

2 Phương trình tham sốcủađườngthẳng

Phương trình đường thẳng d qua Ax ; y ; z0 0 0, VTCP u a b c ; ; có phương trình tham số là:

 

0 0

;

x x at y y bt t z z ct

            

Ví dụ:

Phương trình đường thẳng d qua A2;5; 3 , VTCP u2;1; 2 có phương trình tham số là:

 

2 ;

3

x t y t t z t               

3 Phương trình tắc

Phương trình đường thẳng d qua Ax ; y ; z0 0 0, VTCP u a b c ; ; , (a,b,c0) có phương trình

tắc là:

0 0

x x y y z z a b c

    

Phương trình đường thẳng d qua A2;5; 3 , VTCP u2;1; 2 có phương trình tắc là:

2 2

x  y  z  4 Vị trí tươngđốigiữađườngthẳng mặtphẳng

Cho mặtphẳng   :Ax By Cz D   0 có vectơ pháp tuyến n ( ; ; )A B C

Đườngthẳng d qua , VTCP

0 0

x x at y y bt z z ct

          

x ; y ; z0 0

M u a b c ; ; 

Phương pháp Phương pháp

cắt d

( ) n u   0 Aa Bb Cc  0

   

0 0

0

/ /

0 Aa Bb Cc

n u d

Ax By Cz D M                    

Giảiphương trình:

A(x0 + at)+B(y0 + bt)+C(z0 + ct)+D=0 (1)

Phương trình (1) có mộtnghiệm ( )

cắt d

Phương trình (1) vơ nghiệm   / /d

(128)

Trang

 

  0

0

d

0 Aa Bb Cc

n u

Ax By Cz D M                   

  Phương trình (1) vơ sốnghiệm d 

6 Vị trí tươngđốigiữa hai đườngthẳng

Cho hai đườngthẳng:

d1đi qua M1(x1;y1;z1), có vectơchỉphương

 

1 1; ;;1

u a b c

d2đi qua M2 (x2;y2;z2), có vectơchỉphương

 

2 2; ;;2

u a b c

 d1 d2 chéo u u1, 2.M M1 0

    d1 d2đồngphẳng u u1, 2.M M1 0

    d1 d2cắt

1 2

1

,

u u M M u u                    1 2

2

,

/ /

,

u u d d

u M M                     1 2

2

,

u u d d

u M M                    

Ví dụ:

Cho đườngthẳng:

1

3 :

x t

d y t

z t              :

20

x t

d y t

z t            

d1đi qua M1(-3;-2;6), có vectơchỉphương

 

1 2;3;

u

d2đi qua M2 (5;-1;20), có vectơchỉphương

 

2 1; 4;1

u 

 

1, 19; 2; 11

u u

   

 

 

1 8;1;14

M M  

1, 19.8 2.1 11.14

u u M M

     

  

Do d1 d2cắt

7 Góc hai đườngthẳng

Cho hai đườngthẳng:

d1 qua M1(x1;y1;z1), có vectơchỉphương

 

1 1; ;;1

u a b c

 

2 2; ;;2

u a b c

Góc đườngthẳng d1 d2

   0 

1

1 1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 1 2

, , ,90

cos

d d

u u a a b b c c

u u a b c a b c

                    

Góc đườngthẳng d1 d2

   0 

1

2 2 2

1

, , ,90

2.1 3.( 4) 4.1 6 cos

522 ( 4)

d d u u u u                        

8 Góc giữađườngthẳng mặtphẳng.

Cho mặtphẳng   : Ax+By+Cz+D=0 có vectơ

pháp tuyến n A B C; ; ;

Đườngthẳng d qua M(x0;y0;z0) có vectơchỉ

Ví dụ:

Cho đườngthẳng d: 1 3và mặt

1 2

x  y  z 

phẳng (P): 2x - 2y + z – = Sin góc d (P) là:

(129)

Trang

phương u a b c; ; ; Góc

 

   0 

2 2 2

, , ,90

sin

d

n u Aa Bb Cc

n u a b c A B C

                     

Ta có u 1; 2; 2 là vec tơchỉphươngcủađường thẳng d n2; 2;1 là vectơ pháp tuyếncủamặt phẳng (P) u n      2 4

   

sin ,( ) cos ,

9

n u d P u n

n u

  

   

 

9 Khoảng cách từmộtđiểmtớimộtđườngthẳng

Đườngthẳng d qua M(x0;y0;z0) có vectơchỉ

phương u a b c; ; ;

Khoảng cách từđiểm A(x1;y1;z1) đếnđườngthẳng d là:

 ,  u MA

d A d

u        

Ví dụ:

Cho điểm A(-2;2;3) đườngthẳng

Khoảng cách từ A đến

1 :

2

x y z   

đườngthẳng là:

Lấyđiểm M(1; 2;1)  MA ( 3;0; 2)

Ta có u (2; 2;3)là vectơchỉphươngcủađường thẳng 

 

, ( 4;13; 6) , , 13 MA u MA u d A u                   

10 Khoảng cách hai đườngthẳng chéo nhau d1 qua M1(x1;y1;z1), có vectơchỉphương

 

1 1; ;;1

u a b c

 

2 2; ;;2

u a b c

Gỉasử d1,d2 chéo nhau, đó:

  2

1

, ,

,

u u M M d d d

u u              

Khoảng cách hai đườngthẳng d1:

2 1 x t y t z           d2: 2 Lấyđiểm

1 1

x  y  z 

và chọn làm vectơchỉ

1(1; 1;1)

M  d u1 2;1;0

phươngcủađườngthẳng d1, điểm M2(2; 2;3) d2

và chọn u2   1;1;1 làm vectơchỉphươngcủa đườngthẳng d2

 

1

1 2

1

(1; 1; 2) , (1; 2;3)

, 9 9 14

, 14 14 , M M u u

u u M M d d d

u u                           

(130)

Trang 1 Tọađộ hình chiếucủamộtđiểm lên trụctọađộ

 Cho điểm A(x0;y0;z0), hình chiếu vng góc A lên trụctọađộ Ox, Oy, Oz lầnlượt điểm có tọađộ M(x0;0;0), N(0;y0;0), P(0;0;z0)

 Cho điểm A(x0;y0;z0), hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) điểm có tọađộ M(x0;y0;0), N(0;y0;z0), P(x0;0;z0)

2 Hình chiếu H điểm A’ đốixứngvới A qua mặtphẳng (P). Cho điểm A(x0;y0;z0) mặtphẳng (P): Ax+By+Cz+D=0, A (P).  Hình chiếu H A lên mặtphẳng (P) là:

0 0

H

x x At y y Bt z z Ct

  

   

   

 Điểm A’ đốixứngvới A qua mặtphẳng (P) là:

'

2 2 A

A

x x At

y y Bt

z z Ct

  

   

   

Vớihằngsố 0

2 2

Ax By Cz D t

A B C

    

 

3 Mặtphẳng phân giác hai mặtphẳng giao nhau

Xét mặtphẳng   :a x b y c z d1  1  1  10;   :a x b y c z d2  2  2  2 0 Khi đóphương trình mặtphẳng phân giác góc tạobởi     là:

1 1 2 2

2 2 2

1 1 2

a x b y c z d a x b y c z d

a b c a b c

       

   

4 Phương trình đường phân giác tam giác Xét tam giác ABC, đóđường phân giác góc A có VTCP là:

1

u AB AC AB AC

 

  

Đường phân giác ngồi góc A có VTCP là: 1

u AB AC AB AC

 

  

Dạng 1: Viếtphương trình đườngthẳng

Các trườnghợp hay gặpcủaphương trình đườngthẳng

Trườnghợp 1: Phương trình đườngthẳng qua hai điểm A,B, VTCP củađườngthẳng u  AB

Trường hợp 2: Phương trình đường thẳng qua qua M, song song với đường thẳng   ,

VTCP củađườngthẳng d u d u

Trườnghợp 3: Phương trình đường thẳng qua qua M, vng góc vớimặtphẳng (P), VTCP

củađườngthẳng d u n  ( )P

(131)

Trang

Trường hợp 4: Phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng cắt (P) (Q) qua

điểm A tìm cách giảihệphương trình ( )vớiviệcchọn giá trịbấtkỳ cho mộtẩn.Vectơchỉ

( ) P Q   

phương u n ( )P ,n( )Q 

Trườnghợp 5: Phương trình đườngthẳngđi qua điểm M vng góc với hai đườngthẳng d1 d2, VTCP củađườngthẳng d

1, d d u  u u 

Trườnghợp 6: Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc cắtđườngthẳng   H hình

chiếucủa M đườngthẳng d, đóphương trình đường d có VTCP u MH 

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, điểm dướiđâythuộcđườngthẳng d: 2? 1

x  y  z A N(2;-1;2) B M(-2;-2;1) C P(1;1;2) D Q(-2;1;-2)

Hướngdẫn

Thay tọađộđiểm N vào đườngthẳng d ta 2 1 nên điểm N không thuộc d 1

   

Thay tọađộđiểm M vào đườngthẳng d ta 2 nên điểm M không thuộc d 1

    

Thay tọađộđiểm P vào đườngthẳng d ta 1 nên điểm P không thuộc d 1

  

Thay tọađộđiểm Q vào đườngthẳng d ta 2 1 2 nên điểm Q thuộc d 1

       Chọn D

Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho đườngthẳng d: Vectơ vectơchỉphương

4

x y z

   

củađườngthẳng d?

A u (1; 2;0) B u  ( 1; 2;0) C u(4; 1;5) D.u (4; 1; 5) 

Hướngdẫn

Ta có phương trình đườngthẳng d:

x  y z

 

Nên mộtvectơchỉphươngcủađườngthẳng d u (4; 1; 5)  Chọn D

Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tham sốcủađường thẳng d qua hai điểm A(1;2;3) B(2;1;1) là:

(132)

Trang A B C D

1 :

3

x t

d y t

z t            : x t

d y t

z t            : x t

d y t

z t            : x t

d y t

z t            Hướngdẫn

Ta có A B d,   AB  d u AB(1; 1; 2) 

Phương trình đườngthẳng d qua hai điểm A(1;2;3) có VTCP u(1; 1; 2)  là:

1 :

3

x t

d y t

z t            Chọn B

Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng d qua điểm M(2;-1;3) vng góc với mặtphẳng (P): x + 6y - 4z - 1=0 là:

A B x t y t z t             :

3

x t

d y t

z t            C D

1

x  y  z 

2

x  y  z

Hướngdẫn

Đườngthẳng d vng góc vớimặtphẳng (P): x + 6y - 4z - 1=0, nên ta có u d nP (1;6; 4) Khi đóphương trình đườngthẳng d qua điểm M(2;-1;3) có VTCP ud (1;6; 4) là:

hay x t y t z t            

2

x y z  

 Chọn C

Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tham số củađường thẳng d qua điểm N(-1;2;-3) song song vớiđườngthẳng : 1

2

x y z

  

A B C D

: 2 3

x t

d y t

z t              : 2

3

x t

d y t

z t             : 2

3

x t

d y t

z t              : 2

3

x t

d y t

z t              Hướngdẫn

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng : 1 , nên đường thẳng d có VTCP 2

x y z

   (2; 2; 3)

d

u u  

(133)

Trang

Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm N(-1;2;-3) có VTCP u d u (2; 2; 3)

: 2 3

x t

d y t

z t             

Chọn D

Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 1

x  y  z 

Phương trình đườngthẳng nằm (): x + 2y - 3z – = cắt hai đường thẳng d1

2

1

:

1

x t

d y t

z t             

và d2

A B 1

x y z  



3 1

x y z     C D

5 1

x  y  z  

8 3

x  y  z



Hướngdẫn Gọi d đườngthẳngcần tìm

Gọi A d 1 ( ) , ta có:

1 (2 ;1 ;1 ),

( ) 2(1 ) 3(1 ) (3; 2; 1)

A d A a a a

A  a a a a A

    

              

Gọi B d 2( ) , ta có:

1 (1 ; ; ),

( ) 2( b) 3( b) ( 2; 1; 2)

B d B b b b

B  b b B

      

                 d qua điểm A(3;-2;-1) có vectơchỉphương AB ( 5;1; 1)

Vậyphương trình tắccủa d 1

x  y  z   Chọn C

Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : mặtphẳng (P): x+y-z+1=0 2

x y z   



Đườngthẳng d nằm (P) đồngthờicắt vng góc với có  phương trình là: A B C D

1 x t y t z t             x t y t z t             2 x t y t z t             x t y t z t             Hướngdẫn

Đườngthẳng d nằm (P) đồngthờicắt vng góc với nên d có  vectơchỉphương là:

(134)

Trang

( ), (1; 3)

d P

un u  

Gọi M   (P), ta có: (2 1; ; 2),

(P) (2 2) (3; 2; 2)

M M t t t

M t t t t M

     

           

Tọađộ giao điểmcủa (P) M(3;-2;2),  d qua M(3;-2;2)

Vậyphương trình d x t y t z t             Chọn D

Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) nhận vectơ

làm vectơchỉphương là: (4;0; 2)

u  

A. B. C. D.

1 :

3 x t d y z t           : x t d y z t           : x t d y z t           :

3 x t d y z t          

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-1;3), B(4;3;-1), C(3;-2;3) Phương trình đườngthẳng d

đi qua điểm A song song với BC là:

A. B.

4 :

1

x t

d y t

z t             :

3

x t

d y t

z t            

C. : 1 D.

7

x y z

d      :

x y z d   

  Đáp án:

1-A 2-B

Dạng 2: Hình chiếu vng góc 1 Phương pháp giải

 Để tìm giao điểm đường thẳng d: mặt phẳng (P):

0 0

x x y y z z a b c

     Ax+By+Cz+D=0

Bước 1: Gọi H  d (P)

H thuộc d nên gọitọađộcủa H theo ẩn t

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 3y - z + = đường thẳng d có phương

trình 1 Tìm tọađộ giao điểm H

2

x  y z 

mặtphẳng (P) đườngthẳng d: A H(-1;-2;2) B H(1;-2;4) C H(1;0;-1) D H(1;0;9)

Hướngdẫn Gọi H thuộcđườngthẳng d  H(2t+1;2t;-3t-1)

(135)

Trang H(x0+at;y0+bt;z0+ct)

Bước 2: Thay tọa độ H vào mặt phẳng (P): A(x0+at)+B(y0+bt)+C(z0+ct)+D=0 giải ẩn t

Từđó ta tìm giao điểm H

 Để tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng (P) ta làm theo bước sau:

Bước 1: Viếtphương trình đườngthẳng d qua M vng góc vớimặtphẳng (P), có VTCP u d n P

Bước 2: Gọi H  d (P) Gọi H theo ẩn t thuộc đườngthẳng d

Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào mặt phẳng (P),

giải t, từđượctọađộđiểm H

 Để tìm hình chiếu H điểm M lên đườngthẳng d ta làm theo bước sau:

Bước 1: Viếtphương trình mặtphẳng (P) qua M vng góc vớiđườngthẳng d, có VTPT n  P ud

Bước 2: Gọi H  d (P)

Gọi H theo ẩn t thuộcđườngthẳng d

Vì H  d (P) nên

2t + + 3( 2t) – (-3t – 1) + = 11t = -11 t = -1

 

Do H(-1;-2;2) Chọn A

Ví dụ: Cho điểm M(-4;5;-1) mặt phẳng (P): x+y+3z-9=0 Tọa độ hình chiếu vng góc H

M mp (P) là:

A H(-3;-3;1) B H(3;3;1) C H(3;-6;-2) D H(-3;6;2)

Hướngdẫn

Đườngthẳng d qua M(-4;5;-1) vng góc với mặtphẳng (P) nên d có VTCP ud (1;1;3)

Phương trình đườngthẳng d là:

4

1

x t

y t

z t

   

   

    

Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d  H  d (P)

Vì H thuộc d  H(-4+t;5+t;-1+3t)

H  (P)  (- - t) + ( + t) + 3(-1 + 3t) - 9=0  11t-11=0  t=1  H(-3;6;2)

Chọn D

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1) đường thẳng d có phương trình Điểm H(a;b;c) hình chiếu

14

x y z  



vng góc điểm A lên đường thẳng d Tính

tổng a+b+c:

A B C D

Hướngdẫn

Phương trình mặt phẳng (P) qua A, vng góc với

d có VTPT n  P ud (4;1; 2) 4(x-1) + 1(y-1) – 2(z-1)=0  4x + y – 2z – =

Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d  H  d (P)

Gọi H thuộc d  H(14+4t;t;-5-2t)

(136)

Trang 10

Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào mặt phẳng (P),

giải t, từđó tìm đượctọađộđiểm H

H (P)  4( 14 + 4t) + t - 2(-5 -2t) - 3=0  21t = -63  t = -3

Vậy H(2;-3;1)

Do a=2; b= -3; c=1  a+b+c=0 Chọn C

Ví dụ 1: Tìm tọađộđiểmđốixứngcủa M(-3;1;-1) qua đườngthẳng d:

4 x t y t z t           

A (-2;-5;-3) B (2;-5;3) C (5;-7;-3) D (5;-7;3)

Hướngdẫn

Phương trình mặtphẳng (P) qua M, vng góc với d có VTPT n  P ud (3; 4; 2) 3(x + 3) + 4(y - 1) + 2(z + 1) =

 3x + 4y + 2z + =

Điểm H hình chiếu vng góc M lên đườngthẳng d nên có tọađộ H(4+3t;1+4t;3+2t) H (P)  3(4 + 3t) +4(1 + 4t) + 2(3 + 2t) + =  t = -1  H(1;-3;1)

M’ đốixứngvới M qua d nên H trung điểmcủa MM’

' ' ' ' ' '

2 2 5

2 2 M M H

M H M

M M

H M H M

M H M

M M

H

x x x

x x x y y

y y y y z z z z z z                             

Vậy M’(5;-7;3) Chọn D

Ví dụ 2: Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d: mặtphẳng (P): 2 x t y t z t            

x-y+z-1=0 Phương trình đườngthẳng hình chiếu vng góc d (P) là: A B C D

2 x t y t z t             2 x t y t z t             2 x t y t z t           2 x t y t z t            Hướngdẫn Gọi () mặtphẳngchứa d vng góc với (P)

Cặp VTCP () ud  ( 1; 2; 1), n P (1; 1;1) n  u n d,  P (1;0; 1)

(137)

Trang 11

Chọn M(1;2;-1)  d  (): x – z - 2=0

Khi đó’ cần tìm giao tuyếncủa (P) () nên thỏa mãn hệ

2 x y z x z

    

    

Đặt x = t, ta có phương trình tham sốcủa 2 x t y t z t            

Chọn A

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 12 cắtmặt phẳng

4

x  y  z (P): 3x + 5y – z – = tạiđiểm A có tọađộ là:

A. (2;0;4) B. (0;1;3) C. (1;0;1) D. (0;0;-2)

Câu 2. Cho điểm A(6;2;-1) hai đườngthẳng M, N lầnlượt

1

d : ; ' :

1 2

1

x t

x y z

d y t

z                    hình chiếu vng góc A đườngthẳng d d’ Độ dài MN là:

A. MN  13 B. MN  31 C. MN 3 D. MN  41

Câu 3. Cho đường thẳng d : mặt phẳng (P): 4x-y-z+7=0 Phương trình đường thẳng

7

x  y z

d’ hình chiếucủađườngthẳng d lên mặtphẳng (P) là:

A. B. C. D.

1 ' :

x t

d y t

z t              ' :

2

x t

d y t

z t             ' :

3

x t

d y t

z t            ' :

5 x t

d y t

z t           Đáp án:

1-D 2-C 3-B

Dạng 3: Vị trí tươngđối

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, giá trịcủa m đểđườngthẳng d: song song vớimặt

3

x y z m

     

phẳng (P): x – 3y + 6z = là:

A m = -4 B m = -3 C m = -2 D m =

Hướngdẫn Đườngthẳng d có vec tơchỉphương u (3; ; 2)m 

Mặtphẳng (P) có vectơ pháp tuyến n (1; 3;6)

/ /( ) 3 12

d P   u n u n    m    m

Vậy giá trị m cần tìm m = -3

(138)

Trang 12 Chọn B

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): (d’):

x  y  z

Vị trí tươngđốicủa đườngthẳng d d’ là: x t y t z t           

A d d’ song song với B d d’ trùng C d d’ cắt D d d’ chéo

Hướngdẫn

Ta có (d): 4 2

x  y  z  x  y  z 

Đườngthẳng d qua M(2;-4;1) có vectơ chỉphương u(2;3; 2) , đường thẳng d’ qua M’(0;1;-1) có vectơchỉphương u' (4;6; 4)  MM' ( 2;5; 2)  

 u u , ' phương u MM , ' không phương

Vậy d d’ song song với Chọn A

Ví dụ 3: Trong khơng gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng (d): (d’): 1 x mt y t z t            ' 2 ' ' x t y t z t            Tìm tấtcả giá trịcủa m để d cắt d’

A m = B m = C m = D m = -1

Hướngdẫn

Đườngthẳng d qua M(1;0;-1) có vectơchỉphương u(m;1; 2)

Đườngthẳng d’ qua M’(1;2;3) có vectơchỉphương u ( 1; 2; 1) MM' (0; 2; 4) Ta có: u u , ' ( 5; m 2; m 1), , '   u u MM   ' 10 m

d cắt d’

5

, ' 2 0

0

, ' '

10

u u m

m m

u u MM

m                                   Chọn A

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): (d’): Khẳngđịnh

3 2 x t y t z t              ' ' 20 ' x t y t z t            

nào sau đâyđúng:

A Đườngthẳng d trùng vớiđườngthẳng d’

(139)

Trang 13 B. Hai đườngthẳng d d’ chéo

C Đườngthẳng d song song vớiđườngthẳng d’ D.Đườngthẳng d cắtđườngthẳng d’

Câu 2. Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, đườngthẳng vuông góc vớimặtphẳng

x  y z

  mặtphẳng sau đây:

A 6x – 4y – 2z + = B. 6x + 4y + 2z + = C. 6x – 4y + 2z + = D. 6x + 4y – 2z + =

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 5, d’:

x  y  z

Vị trí tươngđốicủa d d’ là: 1

4

x  y  z

A. Song song với B.Cắt tạiđiểm M(3;2;6) C. Cắt tạiđiểm M(3;2;-6) D. Chéo

Đáp án:

1-D 2-C 3-B

Dạng 4: Góc khoảng cách 1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’: 1

x  y  z Góc d d’ là:

2 2017 1

x y z   

A 30o B 45o C 60o D 135o

Hướngdẫn

Ta có u(1;1; 2) vectơchỉ phương củađường thẳng d u' ( 1;1; 2)  vectơchỉ phương đườngthẳng d’ u u  '    1 2

  '

cos( , ') cos , '

2.2 '

u u d d u u

u u

    

   

 

Vậy (d,d’) = 30o 0o≤ (d,d’) ≤ 90o Chọn A

Ví dụ 2: Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đường thẳng (): điểm A(2;-2

x  y  z  5;-6) Tìm tọađộđiểm M nằm  cho AM  35

A M(1;0;-1) M(5;0;-7) B M(1;-2;-1) M(5;0;-7) C M(1;-2;0) M(5;0;-7) D M(1;-2;-1) M(-3;-4;5)

Hướngdẫn

(140)

Trang 14 Vì M   M(1 ; 2 t    t; )t AM (2 1;t t  3; 3t 5) Ta có:

2 2 (1; 2; 1)

35 (2 1) ( 3) (3 5) 35

2 (5;0; 7)

t M

AM t t t t t

t M                       

Chọn B

Ví dụ 3: Trong khơng gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng (d): mặtphẳng (): 1

x  y  z 

x – 2y – 2z + = Tìm điểm A d có hồnh độ dương cho khoảng cách từ A đến () A A(0;0;-1) B A(-2;1-2) C A(2;-1;0) D A(4;-2;1)

Hướngdẫn Gọi A(2t;-t;t-1)  d với t > Ta có:

 ,( ) 22( t) 2(t 1) 52 2 3 ( 2) ( 2)

t t

d A                

(do t>0)

2

8 t t t         

  t  A(2;-1;0)

Chọn C

Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d: , gọi  đường thẳng qua điểm

1 x t y t z          

A(1;2;3) vectơ phương u (0; 7; 1)  Đường phân giác góc nhọn tạobởi d  có phương

trình là:

A B C D 10 12 x t y t z t              10 12 x t y t z t               2 x t y t z t            11 x t y t z t            Hướngdẫn

Ta có VTCP d: u1 (1;1;0), VTCP của u (0; 7; 1)  Góc vectơchỉphương là:  1 

1

cos , u u u u u u           

Nên ta chọn VTCP d : u   ( 1; 1;0)ngượchướngvới VTCP u1

Áp dụng cơng thức tính nhanh, VTCP củađường phân giác:

 

1 1 12

1; ; 5;12;1 5

2

m u u u u 

                

Chọn w (5;12;1) VTCP củađường phân giác tạmgọi d’

Dễthấy d  d’ qua điểm A(1;2;3)  d’: 12

x y z  

(141)

Trang 15 Thay điểm (-4;-10;2) ởđáp án A vào thấythỏa mãn

Chọn A

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;3;1), B(2;3;5) đường thẳng : Điểm M  mà MA2+MB2nhỏnhất có tọađộ:

1 1

x  y  z



A M(-1;0;4) B M(1;-2;0) C M(-1;-3;1) D M(2;-3;-2)

Hướngdẫn

Cách 1: Gọi I trung điểmcủađoạnthẳng AB H hình chiếucủa I lên đườngthẳng Khi ta có:

2 2 2 2

2 2 4 .

2 2

MA MB AB MI AB HI AB MI    MA MB     MA2+MB2nhỏnhất chỉ M trùng với H.

Ta có I(0;3;3), H thuộcđườngthẳng nên H(1-t;-2+t;2t) IH   (1 ; 5t t t; 3) Do HI vng góc  nên ta có HI u         0 (1 t) ( t) 2(2t   3) t

Vậy M(-1;0;4)

Cách 2: Giảsử M(-t+1;t-2;2t)  d Ta có: MA2 = t2 + (t-6)2 + (2t-2)2 = 6t2 - 20t + 40

MB2 = (-t + 2)2 + (t - 4)2 + (2t - 4)2 = 6t2 - 28t + 36 Do MA2+MB2 = 12t2 - 48t + 76 = 12(t-2)2 + 28 ≥ 28.

Vậy min(MA2+MB2) = 28  t =  M(-1;0;4). Chọn A

Câu 1.Khoảng cách đườngthẳng (d): (d’): là:

2

x t

y t

z t

         

2

x t

y t

z t

         

A 4 B 2 C D.

5

2

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + = đường thẳng d: Gọi Q mặtphẳngchứa d song song với (P) Khoảng cách hai mặtphẳng

1

x y z   (P) (Q) là:

A B C D.

14

9 14 14

3 14

3 14 14

Câu 3. Trong không gian tọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d: 1 mặtphẳng (P): 1

x  y z 

x + y + z + = Khoảng cách giữađườngthẳng d mặtphẳng (P) bằng:

A B 8 C D.

3

8 3

3 Đáp án:

(142)

Trang 16 1-B 2-B 3-C

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho đườngthẳng (d): Vectơ vectơchỉphương

6 x t y t z t           

đườngthẳng d?

A. u(1; 1; 2) B. u(1; 2;0) C. u(0; 1;6) D. u(0;1; 6)

Câu 2. Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tắccủađường thẳng d qua điểm M(1;-2;3) song song vớiđườngthẳng

1

:

3 x t y t z t              

A. d : B.

2 1

x  y  z  

1 d :

2 1

x  y  z

C. d : D.

2 1

x y z  



1 d :

2 1

x y z  



Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đườngthẳng : 1 Đườngthẳng d 1

x y z

   

đi qua M song song với là:

A. B.

2 1

x y z

   

2 1

x y z

  

C. D.

2 1

x  y  z 2 1

x  y  z



Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Đường thẳng d qua điểm

d : x t y t z            điểm sau đây:

A. M(-1;6;-2) B. M(0;12;-3) C. M(1;8;1) D. M(1;18;-3)

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho đườngthẳng : 1 Điểm M thuộcđườngthẳng d có

x y z d    

  cao độbằng có tọađộ :

A. M(3;-2;4) B. M(4;3;-2) C. M(-2;3;-1) D. M(3;-2;4)

Câu 6. Cho điểm A(-1;0;2), B(2;1;-1), C(0;-3;4) đườngthẳng d : 11 14 D điểm

2

x y z  

thỏa mãn Tọađộđiểmđốixứngcủa D qua đườngthẳng d là:

AB CD

 

A. ' 1; 5; B. D’(9;0;-5) C. D’(5;-3;1) D. D’(1;-6;3) 3

D   

 

(143)

Trang 17 Câu 7. Cho điểm A(2;1;-3), B(-3;5;2) đường thẳng d : Phương trình đườngthẳng

1

x y z  

đốixứngvớiđườngthẳng AB qua d là:

A. B. C. D.

1 ' ' ' x t y t z t            

1 ' ' ' x t y t z t           

1 ' ' ' x t y t z t            

1 ' ' ' x t y t z t            

Câu 8.Đườngthẳng sau song song với d : 4

x  y  z 

A. B.

1

x y z  



2 4 1

x y z  

C. D.

1

x  y  z

 

1 1

x  y  z

 

Câu 9. Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d: mặtphẳng (P): 1

x  y  z 

x + y - z + m = Với giá trị m đườngthẳng d song song vớimặtphẳng (P) A. m  B. m = C. m > D.  m 

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’: 2

x y z

  1 1 2

x y z  

Khoảng cách d d’ là:

A. B. C. D.

3

4

Câu 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;-1;3) đường thẳng d Khoảng cách 2 x t y z t          

từ A đếnđườngthẳng d là:

A. B. 14 C. D.

Câu 12. Cho đường thẳng : Xác định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng

2

x y z

   cách từ M đếnbằng OM với O gốctọađộ

A. (-1;0;0) (1;0;0) B. (2;0;0) (-2;0;0) C. (1;0;0) (-2;0;0) D. (2;0;0) (-1;0;0) Câu 13. Góc giữađườngthẳng mặtphẳng (P): y – z + = là:

5 d : x t y z t          

A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o

Câu 14. Trong không gian tọađộ Oxyz, cho đườngthẳng d : điểm A(1;7;3) Tìm

x y z    

tọađộđiểm M thuộc d cho khoảng cách hai điểm A, M 30, biết M có hồnh độ ngun

(144)

Trang 18 A. 51 17; ; B. (9;1;-3) C. (3;-3;1) D. (6;-1;2)

7 7         Đáp án:

1-A 2-C 3-D 4-D 5-A 6-D 7-B 8-D 9-A 10-B

11-B 12-D 13-A 14-C

(145)

Trang CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRONG TÂM Phương trình tắc mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặtcầu  S tâm I a;b;c , có bán kính R có phương trình là:

x a  2 y b  2 z c2 R 2

Ví dụ:

Mặtcầu  S tâmI 1; 2;3  ,bán kính

Phương trình tắccủamặtcầu là:

  2  2 2

x 1  y 2  z 16

2 Phương trình tổng quát mặt cầu Trong không gian Oxyz, dạng khai triển

với

2 2

x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d =

phương trình tổng quát

2 2

a + b + c d >

mặtcầu tâm I a; b; c   , có bán kính

2 2

R  a + b + c d

Phương trình tổng quát củamặtcầu là:

2 2

x y z 2x + 4y 6 z 2

3 Vị trí tương đối hai mặt cầu Cho hai mặtcầu:

có tâm

    2  2 2 2

1 1 1

S : x a  y b  z c R

, bán kính

 

1 1

I a ;b ;c R1

có tâm

    2  2 2 2

2 2 2

S : x a  y b  z c R

, bán kính

 

2 2

I a ;b ;c R2

Ta có: I I1 2  a2a1 2 b2b1 2 c2c12

Nếu: I I1 2  R1R2 , hai mặtcầu    S , S1 2 lồng

nhau

Nếu I I1 2  R1R2 , hai mặtcầu    S , S1 2 tiếp xúc

Nếu R1R2 I I1 2 R1R ,2 hai mặtcầu cắt theo giao tuyến đường tròn

   S , S1

Nếu I I1 2 R1R2, hai mặtcầu    S , S1 2 tiếp xúc

Nếu I I >R1 2 1R ,2 hai mặtcầu    S , S1 2 ngồi

Ví dụ:

Cho mặtcầu: x 1  2  y 2  2 z 32 9 có tâmI 1; 2;31  , bán kính R1 3

có tâm ,

  2   2 2

2

S : x  y 1  z 4 I 0;1;32 

bán kính R2 2 Ta có:

  2  2 2

1

I I  1  1  3  10

1

R R 5

1

R R 1

Do R1R2 I I1 2 R1R2 nên hai mặtcầu cắt theo giao tuyến đường tròn

   S , S1

(146)

Trang 4.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu

Cho mặtcầu  S tâm I a;b;c , bán kính R, có

phương trình:

    2  2 2 2

S : x a  y b  z c R

Và mặtphẳng  P có phương trình:

 P : Ax By Cz D 0   

Gọi H hình chiếucủa I lên mặtphẳng  P Ta có:   

2 2

Aa+Bb+Cc+D IH d I; P

A + B + C

 

Nếu IH > R, mặtphẳng  P không cắtmặtcầu

 S

Nếu IH R, mặtphẳng  P tiếp xúc vớimặtcầu

Mặtphẳng gọi tiếpdiệncủamặtcầu

 S  P

 S

Nếu IH < R,mặtphẳng  P cắtmặtcầu  S theo

thiếtdiện mộtđường trịn  C có tâm H, bán kính r xác định theo cơng thức r2 R2IH2

Ví dụ:

Cho mặt cầu  S tâm I 1;2;3  bán kính R =

có phương trình:

 S : x2y2z22x 4y 6  z 5 0

và mặtphẳng  P : x y z 0.  

Gọi H hình chiếucủa I lên mặtphẳng  P Ta có:   

2 2

1+2+3

IH d I; P R

1 + +

   

Vì IH > R,mặtphẳng  P không cắtmặtcầu  S

Dạng 1: Tìm tâm bán kính phương trình mặt cầu 1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặtcầu   S : x + 3 2 y + 1 2 z 12 2 Tâm  S có tọa độ là:

A. 3; 1;1. B.3; 1;1 . C.3;1; 1 . D.3;1 1 .

Hướngdẫn

Mặtcầu   S : x + 3 2 y + 1 2 z 12 2 có tâm I 3; 1;1 bán kính R

Chọn A



Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình Tìm tọađộ tâm I bán kính R

2 2

x y z 2x 4y + 6 z 2  S

A.Tâm I1; 2; 3  bán kính R 4. B.Tâm I1; 2;3  bán kínhR 4.

C.Tâm I1; 2;3 bán kính R 4. D.Tâm I1; 2;3  bán kính R 16.

(147)

Trang

Hướngdẫn

Dựa vào phương trình mặtcầu  S : x2y2z22x 4y + 6 z 2 0, ta có: tâm I 1; 2; 3  

bán kính R  1 222    3 2  2 16 4

Chọn A



Ví dụ 3: Phương trình  S : x2y2z22mx + 4y + 2mzm25m 0 phương trình mặtcầuvớiđiều kiện m?

A. m 1. B m C D

m     

m m

   

 m 4.

Hướngdẫn

Tương ứng với dạng tổng quát x2y2z22ax + 2by + 2cz d 0, ta có phương trình

có a = m, b = , c = , d =

 S : x2y2z22mx 4y 2mz m   25m 0 2 m m25m

Phương trình  S phương trình mặtcầu khi: hay

2 2

a b   c d 2     2 2 2 m

m m m 5m m 5m

m  

            

 

Chọn C



2 Bài tập tự luyện

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x 2  2 y 1  2 z 32 16 Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu  S

A. I 2; 1; , R 16.     B. I 2;1; , R 4.   

C. I 2; 1;3 , R 16.    D. I 2; 1;3 , R 4.   

Câu Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x + 1 2 y 2  2 z 32 12 Khẳng định sai khẳngđịnh sau?

A.  S qua điểm N 3; 4;   B.  S qua điểm M 1;0;1  

C.  S có bán kính R 3. D.  S có tâm I 1; 2;3  

Câu Trong không gian vớihệtọa độ Oxyz, cho mặtcầu  S : x2y2z22x 4y 0.   Tìm tọađộ

tâm I bán kính R củamặtcầu  S

A. I 1; 2;0 , R 3.   B. I 1; 2;0 , R 4.   C. I 1; 2;0 , R 3.   D. I 1; 2;0 , R 4.  

Đáp án:

1 B A A

(148)

Trang Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu

Các trườnghợp hay gặpcủaphương trình mặtcầu:

Trườnghợp 1: Mặtcầu tâm I, qua điểm A

Khi bán kính R IA  xAxI 2 yAyI 2 zAzI2 Trườnghợp 2: Mặtcầuđường kính AB,

Tâm I trung điểm AB I A B; A B; A B

2 2

x x y y z z

 

  

Bán kính R IA  xAxI 2 yAyI 2 zAzI2 Trườnghơp 3: Mặtcầungoạitiếptứdiện ABCD

Bước 1: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng x2y2 z22ax 2by 2cz d 0    với

2 2

a b   c d

Bước 2: Vì điểm A, B, C, D thuộcmặtcầu nên ta thay tọađộcủa A, B, C, D vào đượchệphương trình

bốnẩn

2 2

A A A A A A 2

B B B B B B 2

C C C C C C 2

D D D D D D

x y z 2ax 2by 2cz d

       



      

 

      



       



Bước 3: Giải a, b, c, d , từđó tìm đượcphương trình mặtcầu

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho A 2;1;0 , B 2; 1;      Viếtphương trình mặtcầu  S có tâm B

đi qua điểm A

A   S : x 2  2 y 1  2 z 22  24 B.    2  2 2

S : x 2  y 1  z 24

C   S : x 2  2 y 1 2z2 24. D   S : x 2  2 y 1  2 z 22 24.

Hướngdẫn

Phương trình mặtcầu  S có tâm B 2; 1; 2   qua điểm A có bán kính là:

  2  2 2

R AB  2   1  2 2

Vậyphương trình mặtcầu   S : x 2  2 y 1  2 z 22 24

Chọn B



(149)

Trang Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho A 2;1;0 , B 2; 1;      Viếtphương trình mặt cầu  S có đường

kính AB

A. S : x2y2 z 12 24. B  S : x2y2 z 12  6.

C  S : x2y2 z 12 6. D  S : x2y2 z 12  24.

Hướngdẫn

Phương trình mặtcầu  S có đường kính AB có

Tâm I trung điểmcủa AB I A B; A B; A B

2 2

x x y y z z

 

  

 0;0;1 

Bán kính      

2 2

2 1

AB 24

R

2 2

     

   

Vậyphương trình mặtcầu  S : x2y2 z 12 6.

Chọn C



Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCO với

Tìm bán kính mặtcầu ngoạitiếptứdiện ABCO

     

A 1; 2; 2; , B 1; 2; , C 1;0; 1    S

A 9 B C D

2

443

443 10

Hướngdẫn

Gọi phương trình mặt cầu có dạng x2y2z22ax 2by 2cz d 0    vớia2b2  c2 d 0 Vì

điểm A, B, C, O thuộcmặtcầu nên ta có hệ:

   

 

2 2 2

2 2

d

1 2 2a 4b 4c d d 0

a 10

1 2a 4b 2c d 2a 4b 4c

1

2a 4b 2c = c

1 2a 2c 10

2a 2c

d 19

b 10   

            

  

            

  

      

     

  

      



  



Vậy bán kính mặtcầungoạitiếp R a2 b2 c2 d 443.

10

    

Chọn D



Ví dụ 4: Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho điểm A 2; 1;0   mặtphẳng  P : x 2y z 0   

Gọi I hình chiếu vng góc A mặtphẳng P Viếtphương trình mặtcầu  S qua điểm A có tâm I

A.  S : x 1  2 y 1  2 z 12 6 B   S : x 1  2 y 1  2 z 12 6

(150)

Trang

C   S : x 1  2 y 1  2 z 12 6 D     2  2 2

S : x 1  y 1  z 6

Hướngdẫn

Gọi d đườngthẳng qua A vng góc vớimặtphẳng  P u d nP 1; 2;1  

Phương trình đườngthẳng d là:

x t y 2t z t

  

    

  

nên tọađộđiểm I nghiệmcủahệ    

d P  I  

x t t

y 2t x

I 1;1;

z t y

x 2y z z

   

 

     

   

   

 

       

 

Bán kính mặtcầu R IA 

Vậyphương trình mặtcầu S là:   S : x 1  2 y 1  2 z 12 6

Chọn C



Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x y z điểm

2 1

     

Phương trình mặtcầu có tâm I tiếp xúc với d là:

 

I 1; 2;3

A x 1  2 y 2  2 z 32 5 B   2  2 2

x 1  y 2  z 50

C x + 1 2 y 2  2  z 32 50 D   2  2 2

x 1  y 2  z + 50

Hướngdẫn

d qua A 1; 2; 3   có vectơchỉphương u 2;1; 1 d I,d  IA; u u

 

 

    

  

 Do đó, suy mặtcầu có tâm I 1; 2;3  , bán kính R d I,d  5

Vậyphương trình mặtcầu là: x 1  2 y +2 2 z 32 50

Chọn B



Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;0 , B 2;3; 2    đường thẳng

Viếtphương trình mặtcầu qua hai điểm A, B có tâm nằm đườngthẳng d

 

x 2t d : y

z 2t   

      

 S

A   S : x 1  2 y 1  2 z 22 17 B     2  2 2

S : x 1  y 1  z 9

C   S : x 1  2 y 1  2 z 22 5 D     2  2 2

S : x 1  y 1  z 16

Hướngdẫn

(151)

Trang

Giảsử I 2t 1; t; t   d tâm củamặtcầu  S

  2  2 2 2   2  2 2 2

IA = 2t 1  t  2 t  9t 6t +2, IB = 2t 3  t   2t  9t 14t + 22 Vì IA IB 9t26t +2 9t 214t + 22  t 1.

Tọađộ tâm I củamặtcầu I 1; 1; 2   bán kính R IA  17

Vậyphương trình mặtcầu  S là:   S : x 1  2 y 1  2 z 22 17

Chọn A



Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E 2;1;1 , F 0;3;      Phương trình mặt cầu

đường kính EF là:

 S

A   S : x 1  2 y 2 2z2 3. B   S : x 1  2 y 2 2z2 9.

C   S : x 1  2 y 2 2z2 3. D   S : x 1  2 y 2 2z2 9.

Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2;3 , A 1;1;     Phương trình mặtcầu S

tâm I qua điểm A là:

A   S : x 1  2 y 2  2 z 32  B     2  2 2

S : x 1  y 2  z 2

C   S : x 1  2 y 2  2 z 32  D     2  2 2

S : x 1  y 2  z 2

Câu Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 2;1;1  mặt phẳng  P : 2x y 2z 0.   

Viếtphương trình mặtcầu  S tâm I tiếp xúc vớimặtphẳng  P

A.  S : x 2  2 y 1  2 z 12 4 B.    2  2 2

S : x 2  y 1  z 9

C   S : x 2  2 y 1  2 z 12 3 D     2  2 2

S : x 2  y 1  z 5

Đáp án:

1 A D A

Dạng 3: Vị trí tương đối 1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian vớihệtọađộ Oxyz, cho điểm I 2;1; 1   mặtphẳng  P : x 2y 2z 0    Bán kính mặtcầu  S tâm I tiếp xúc vớimặtphẳng  P là:

A 1 B 1 C 1 D

3

1

Hướngdẫn

(152)

Trang Bán kính mặtcầu  S là:     

 2

2

2 2.1 1

R d I, P

1 2

   

  

  

Chọn A



Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2; 2  mặt phẳng  P : 2x 2y z 0    Viết phương

trình mặtcầu  S tâm I cắtmặtphẳng  P theo mộtđường trịn có chu vi 8π

A.   S : x 1  2 y 2  2 z 22 36 B     2  2 2 313

S : x y z

3

     

C.   S : x 1 2 y 2 2 z 22 313 D

9

          2  2 2 313

S : x y z

9

     

Hướngdẫn

Bán kính đường trịn là: r C 2π

 

Ta có:   

2 2

2.1 2.2 1.2 13

d I, P

3 2

  

 

 

Do bán kính củamặtcầu  S là:   

2

2 13 313

R r d I, P

3

 

     

 

Vậyphương trình mặtcầu  S là:   S : x 1 2 y 2 2 z 22 313

     

Chọn C



Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x 1  2 y 2  2 z 32 1 điểm A 2;3; 4  Xét điểm M thuộc  S cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S , M thuộc mặt phẳng có phương

trình là?

A. x y z 0.    B. 2x 2y 2z 15 0.   

C. x y z 0.    D. 2x 2y 2z 15 0.   

Hướngdẫn

Cách 1: Mặtcầu  S có tâm I 1; 2;3  bán kính R 1.

Ta có IA = Khi AM IA2R2  2.

Hạ MHAI AH AM2

AI

 

hay AH = AI2 HA 2HI H 10; ;

3 3

 

     

 

 

Khi ta có M thuộc mặt phẳng  P qua H nhận vectơ IA1;1;1 làm

vectơ pháp tuyến nên M P : x y z 0.   

(153)

Trang Cách 2: Ta có AM = IA2R2  2.

M thuộcmặtcầu tâm A bán kính AM M thuộc  S

Tọađộ M nghiệmcủahệphương trình:

     

2 2 2

x y z

      

 

     



Trừ hai vếcủahệphương trình ta đượcđiểm M thuộcmặtphẳng  P : x y z 0.   

Chọn A



Câu Trong phương trình sau, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm ?

    2  2 2

S : x 1  y 3  z 49 M 7; 1;5  

A  P : 6x 2y 3z 55 0.1     B  P : 6x 2y 2z 34 0.2    

C  P : 2x 2y 3z 27 0.3     D  P : 6x 2y 3z 55 0.4    

Câu Trong không gian vớii hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x 4y 12 0   mặt cầu

Khẳngđịnh sau đâyđúng?

  2 2  2

S : x y  z 1

A  P qua tâm củamặtcầu  S

B  P tiếp xúc vớimặtcầu  S

C  P cắtmặtcầu  S theo mộtđường tròn mặtphẳng  P qua tâm củamặtcầu  S D  P khơng có điểm chung vớimặtcầu  S

Đáp án:

1 A D

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình  S : x2y2   z2 x y 2z 10 0 

Khẳngđịnh sau đúng?

A  S mặtcầu có tâm I 1; ; B phương trình mặtcầu

2

  

 

   S

C  S mặtcầu có bán kính R 46 D mặtcầu có tâm

2

  S I 1; ;

2  

  

 

 

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình

    2 2     2  2 2

1

S : x y z 4, S : x y z 9,

             

 

 

    2  2 2

3

4

S : 2x 2y 2z

9

     

(154)

Trang 10 Có phương trình phương trình mặtcầu?

A 1. B 2. C 3. D 0.

Câu Trong khơng gian vớihệtọa độ Oxyz, phương trình  S : x2y2z22m x 4my 8m2   2 4 0

là phương trình mặtcầuvớiđiềukiện m?

A m m  B  m 

C  m  D m m 

Câu Trong hệtọađộ Oxyz, cho mặtcầu  S tâm I bán kính R mặtphẳng  α Nếu d I,α Rthì vị

trí tươngđốigiữamặtcầu  S mặtphẳng  α là: A Mặtphẳng  α tiếp xúc vớimặtcầu  S B Mặtphẳng  α cắtmặtcầu  S

C Mặtphẳng  α mặtcầu  S khơng có điểm chung

D Mặtphẳng  α cắtmặtcầu  S hoặctiếp xúc vớimặtcầu  S

Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho điểm I 1; 3; 2   , gọi A giao điểmcủađườngthẳng

mătphẳng Viếtphương trình mặtcầu tâm I qua điểm A

 

x t d : y t

z          

 P : x 2y z 0    S

A   S : x 1  2 y 3  2 z 22  21 B     2  2 2

S : x 1  y 3  z 5

C   S : x 1  2 y 3  2 z 22 21 D     2  2 2

S : x 1  y 3  z 25

Câu 6.Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho hai mặtphẳng P : x y 0, Q : x 2y z 0        Gọi

mặt cầutiếp xúc vớimặt phẳng có tâm thuộcmặtphẳng Bán kính mặt

 S  P A 1;0; 2   Q

cầu  S bằng:

A 3 B 2 C 4 D 3

Câu Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2; ,A 1;0;      Phương trình mặtcầu

tâm I qua điểm A là:

 S

A   S : x 1  2 y 2  2 z 32 5 B     2  2 2

S : x 1  y 2  z 53

C   S : x 1  2 y 2  2 z 32 5 D     2  2 2

S : x 1  y 2  z 53

Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho mặtcầu   S : x 1  2 y 2  2 z 32 56 Gọi I tâm củamặtcầu  S Giao điểmcủa OI mặtcầu  S có tọađộ là:

A   1; 2; 3 3; 6;9   B 1; 2; 3  3; 6;9  

C 1; 2; 3  3; 6;    D 1; 2; 3  3;6;9 

(155)

Trang 11 Câu Trong không gian vớihệtọađộ Oxyz, cho mặtcầu  S : x2 y2z22x 6y 4z 0.   Biết OA

đường kính củamặtcầu  S Tọađộđiểm A là:

A 1;3;  B 1; 2;3  C 2; 6;    D 2;6; 

Câu 10 Trong không gian vớihệtọađộ Oxzy, cho mặtcầu  S : x2y2z22x 4y 6z + m 0.   Tìm m để  S tiếp xúc vớimặtphẳng  P : x 2y 2z 0   

A m 2. B m 2 C m 10 D m 10.

Câu 11 Trong không gian vớihệtọa độ Oxyz, cho mặtcầu  S : x2y2z24x 2y 10z + 14 0  

mặtphẳng  P : x y z 0.    Mặtphẳng  P cắtmặtcầu  S theo mộtđường trịn có chu vi là:

A 8π B 4π C.4π D 2π

Câu 12 Trong không gian vớihệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2; ,    gọi A giao điểm đường

thẳng  d :x y z mặtphẳng Viếtphương trình mặtcầu tâm

2

  

 

  P : 2x 2y z 0     S

I qua điểm A

A   S : x 1  2 y 2  2 z 32 21 B     2  2 2

S : x 1  y 2  z 25

C   S : x 1  2 y 2  2 z 32 21 D     2  2 2

S : x 1  y 2  z 25

Đáp án:

1 B B A D D A D B C 10 D 11 B 12 D

(156)

Trang

CHƯƠNG 3

CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Dạng 1: Ứngdụngphương pháp tọađộ tốn hình chóp

1.Phương pháp giải Cách chọnhệtrụctọađộ:

- Hệtrụctọađộnằm đườngthẳngđôimột vng góc

- Gốctọađộthường chân đường cao hình chóp, lăngtrụ có đáy hình vng, hình chữnhật,

tam giác vng trung điểmcủacạnh đó,hoặc theo giảthiếtcủa tốn

Mộtsố cách chọnhệtrụctọađộ:

 Tứdiện

 Hình chóp đáy tứ giác lồi

Ví dụ 1: Cho tứdiện OABC có OA, OB, OC đơimột vng góc với nhau, OA OB a;OC 2a   Gọi

M trung điểmcủa AB Khoảng cách hai đườngthẳng OM AC bằng:

A. 2a B. C. D.

3

2a 5

2a

Hướngdẫn Gắnhệtọađộ Oxyz hình vẽ

(157)

Trang

        a a

O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0;a;0 ,C 0;0; 2a , M ; ;0 2

 

 

 

    a a

AC a;0; 2a ,OC 0;0; 2a ,OM ; ;0

2

 

   

 

  

 2 2

a a 3a

OM, AC a; a; OM, AC a a

2 2

   

           

       

2

OM, AC OC a OM, AC OC a

      

     

Khoảng cách hai đường thẳng OM AC

  OM, AC OC a2 2a

d OM, AC

3a 3

OM, AC

2

 

 

  

 

 

     →Chọn A

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc với Gọi M, N, P tươngứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V

AB 6a, AC 7a, AD 4a   củatứdiện AMNP là:

A. 7a3 B. C. D.

2

3

14a 28a3

3

7a

Hướngdẫn

Do AB; AC; AD đơimột vng góc với chọnhệtrụctọađộ Oxyz theo hình vẽ Chọn a = 1, ta có tọađộ điểm:

       

A 0;0;0 , B 0;6;0 ,C 7;0;0 , D 0;0;

Khi đóđể tính thể tích tứdiện AMNP ta cần tìm tọađộ A; M; N; P M; N; P trung điểmlầnlượtcủa

BC; CD; BD ta có tọađộ đỉnhnhư sau: M trung điểm BC nên có tọađộ M 7;3;0 ,

2

 

 

 

N trung điểm CD nên có tọađộ N 7;0; ,

 

 

 

P trung điểm BD nên có tọađộ P 0;3; 2 

 

7

AM ;3;0 , AN ;0; , AP 0;3;

2

   

    

   

  

21 21

AM, AN 6; 7; ; AM, AN AP 3.7 42

2



 

                  

Tính thể tích V củatứdiện AMNP là:

1

V AM, AN AP

6  

    

Thay a = vào đáp án, ta thấyđáp án D đáp án →Chọn D

(158)

Trang

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SAABCD SA = 2a Gọi M, N lầnlượt trung điểmcủa SA, SD Tính khoảng cách từ A đếnmặtphẳng (BCM)

A a B. a C. a D.

2

a 2

Hướngdẫn

Chọnhệtrụctọađộ Oxyz có A O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa AS Khi đó:

          a

A 0;0;0 , B a;0;0 ,C a;a;0 , D 0;a;0 , M 0;0;a , N 0; ;a

 

 

 

Ta có: BC0;a;0 , BM   a;0;aBC, BMa ;0;a2 2

 

   

Mặt phẳng (BCM) có vectơ pháp tuyến

 

1

n BC, BM 1;0;1

a  

  

  

Phương trình (BCM) là: x + z – a =

Vậykhoảng cách từ A đếnmặtphẳng (BCM) là:

 

  2a 2 a

d A, BCM

2 1



 



→Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác Gọi M, N, P, K lầnlượt trung điểmcủa DC, BC, SB, SD Tính khoảng cách

   

mp SAD mp ABCD

giữa hai đườngthẳng MK AP

A a B. C. D.

10

a 10

a

a 12

Hướngdẫn

Gọi O trung điểmcủa AD Chọnhệtrụctọađộ Oxyz hình vẽ Khi đó:

a a a a

A 0; ;0 , B a; ;0 ,C a; ;0 , D 0; ;0

2 2

         

       

       

  a a a

N a;0;0 ,S 0;0; , M ; ;0

2 2

   

   

   

 

a a a a a

K 0; ; , P ; ;

4 4

   



   

   

 

a a a a

MK ; ; 2;1;

2 4

  

    

 



Đườngthẳng MK có vectơchỉphương a2;1; 

(159)

Trang  

a a a a

AP ; ; 2;1;

2 4

 

 

 



Đườngthẳng AP có vectơchỉphương b 2;1;  Ta có: a, b 2 3; 2;0 , AK 0;3a a 3;

4

 

      

    

Vậy d MK; AP  a, b AK 3a 3a

2 15

a, b

   

  

      

  →Chọn A

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD 4a3 Tính

3

khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

A. 2a B. C. D.

3

4 a

8 a

3 a

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo vớiđáy góc 45 Khoảng cách từđiểm B đếnmặtphẳng (SCD)

A. a B. C. D.

3

a

a 3

Đáp án

Dạng 2: Ứngdụngphương pháp tọađộ tốn hình lăngtrụ

1 Bài tậptựluyện

Ví dụ 1: Cho hình lậpphương ABCD.A’B’C’D’ có cạnhbằng a Gọi M N lầnlượt trung điểmcủa

AD BB’ Tính thể tích củakhốitứdiện A’CMN

A. a3 B. C. D.

4

3

a

3

a 16

3

a 32

Hướngdẫn Chọnhệtrụctọađộ Oxyz hình vẽ, ta có:

       

A 0;0;0 , B a;0;0 ,C a;a;0 , D 0;a;0 ,

       

A ' 0;0;a , B' a;0;a ,C ' a;a;a , D ' 0;a;a

Thể tích củakhốitứdiện A’CMN là:

1

V A ' N, A 'M A 'C

6  

   

Ta có:

1 - B - A

(160)

Trang

 

a a a a

N a;0; , M 0; ;0 A ' N a;0; , A 'M 0; ; a , A 'C a;a; a

2 2

           

       

       

  

2

a a

A ' N, A 'M ;a ;

4

 

 

   

  

  3

3

a a

A ' N, A 'M A 'C a a

4

     

   Vậythể tích củakhốitứdiện A’CMN là:

3

1 a

V a

6

 

→Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân, Gọi G, G’ lầnlượt trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ I tâm

AA ' 2a, AB AC a  

của hình chữnhật AA’B’B Tính khoảng cách hai đườngthẳng IG G’C, biết hai đường thẳng song song với

A 2a B. C. D.

41

5 a

41

5 3a

41

5 4a

41

Hướngdẫn Chọnhệtrụctọađộ Oxyz hình vẽ A O 0;0;0   Khi đótọađộcủa điểm là:

          a a a a a

B a;0;0 ,C 0;a;0 , A ' 0;0; 2a , B' a;0; 2a ,C ' 0;a; 2a ,G ; ;0 ,G ' ; ; 2a , I ;0;a

3 3

     

     

     

( I I’ trung điểmcủa AB’ A’B)

a a a 2a a 2a

IG ; ; a ,G 'C ; ; 2a ,GC ; ;0

6 3 3

     

           

     

  

    G 'C,GC

d IG,G 'C d G,G 'C

G 'C

 

 

 

  

Ta có G 'C,GC 4a 2a2; 2;0

3

 

    

   

Vậy d IG,G 'C  2a

41

 →Chọn A

Ví dụ 3: Cho hình lậpphương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình vng A’B’C’D’ M điểm thuộc đường thẳng OI cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai

mặtphẳng (MC’D’) (MAB) bằng:

A 6 13 B. C. D.

65

6 85 85

17 13 65

7 85 85

(161)

Trang

Hướngdẫn

Khơng giảm tính tổng qt, giảsửcạnh hình lậpphươngbằng Gắnhệtrụctọađộnhư hình vẽ, cho

gốctọađộ trùng vớiđiểm B’ Khi đó, C ' 6;0;0 , D ' 6;6;0 , M 3;3;1 , A 0;6;6 , B 0;0;6         

   

MC' 3; 3; ,MD'    3;3; 1

Suy vectơ pháp tuyếncủa (MC’D’) là:

   

1

nMC',MD'  6;0;18 6 1;0;3

   

MA 3;3;5 , MB    3; 3;5

Suy vectơ pháp tuyếncủa (MAB) là:

   

1

nMA, MB  30;0;18 6 5;0;3

Gọi góc  hai mặtphẳng (MC’D’) (MAB), ta có

1

n n 14

cos =

340 n n

 

   

Vậy sin 1 cos2 85

85

     →Chọn B

Câu Cho hình lăngtrụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác đềucạnh a Hình chiếu vng góc A’

mặtphẳng (ABC) trung điểmcạnh AB, góc giữađườngthẳng A’C mặtphẳngđáy 60 Tính theo a khoảng cách từđiểm B đếnmặtphẳng (ACC’A’)

A. a B. C. D.

13

13a 13

3a 13

a 13

Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB AD a, AA ' b   Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích củakhốitứdiện BDA’M

A. B. C. D.

2

a b V

2

 V a b2

4

 V a b2

8

 V a b2

16



Đáp án

1 - C - B

Phần 2: BÀI TẬPTỰLUYỆN

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC là:

A. B. C. D.

10

1

5 10

10

Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnhđáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC)

A. B. C. D.

2

a

16

2

a 10 16

2

a 10 32

2

a

32

(162)

Trang

Câu 3. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh AB AD a, AA'=a

2

 

góc BAD 60  Gọi M, N lầnlượt trung điểmcủa cạnh A’D’ A’B’ Tính khoảng cách hai

đườngthẳng A’C MN

A. a 15 B. C. D.

10

a 15

a 15 20

a 15 15

Câu 4. Cho hình lăngtrụ tam giác ABC.A B C1 1 có đáy tam giác đềucạnh a, có AA1 2a vng góc vớimặtphẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1 Lấy điểm M di động AA1 Tìm giá trịlớn

nhấtcủadiện tích tam giác MC1D

A. B. C. D.

1

2 MC D

3a S

4



1

2 MC D

5a S

4



1 MC D

a 42

S

4



1 MC D

a 15 S

4



Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a mặtphẳng (C’AB) hợpvới mặtđáy (ABC) góc 0   90 Tìm  để hai mặtphẳng (ABC’) (A’B’C’) vng góc

với

A.  90 B.  60 C.  45 D.  30

Câu 6. Cho tứdiện S.ABC có SC CA AB a 2,SC   ABC, tam giác ABC vuông A Các điểm

cho Tính t để MN ngắnnhất

M SA, N BC  AM CN t t 2a     

A. t a B. C. D.

3

 t 2a

3

 t a t a

2



Câu 7. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh

Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểmđối xứng C qua M Tính

SA 4, AC 3, BC 1  

góc  tạobởi hai mặtphẳng (SHB) (SBC)

A.  82 35'57 '' B.  97 24'2'' C.  63 30' D.  15 14'13''

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a, đáy ABCD hình thang vng A B, Gọi E, F lầnlượt trung điểmcủa AD SC Xác định tâm I bán kính R

AB BC a, AD 2a  

mặtcầungoạitiếptứdiện SCDE

A. I a; 2a;3a , R  a 11 B.

2

 I a;a 2;a , R  a 11

3



C. I 2a;a 2;a , R  a 11 D.

4

 I a 3a 3a; ; , R a 11

2 2

  

 

 

Đáp án:

1-D 2-B 3-C 4-D 5-C 6-B 7-A 8-D

(163)

(164)

Trang

CHƯƠNG VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ

1 Địnhnghĩa véc tơ

Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu,điểm điểmcuối

Vectơ có điểmđầu A, điểmcuối B ta kí hiệu: AB

Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y,    

Vectơ – khơng vectơ có điểmđầu trùng điểmcuối Kí hiệu 0

2 Hai vec tơ phương, hướng, hai vec tơbằng nhau.

Đườngthẳngđi qua điểmđầu điểmcuốicủavectơgọi giá củavectơ Độ dài đoạnthẳng AB gọi độ dài vectơ AB, kí hiệu AB Ta có AB AB  Hai vectơ có giá song song trùng gọi vectơ phương

Hai vectơ hướng Hai vectơngượchướng Hai vectơbằng

Hai vectơ phươngnếu chúng hướng độ dài

Chú ý: Vectơ – không hướngvớimọivectơ

3 Các quy tắcvề vec tơ

Quy tắc ba điểm:Với ba điểmbấtkỳ A, B, C ta có AB AC CB   

Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD hình bình hành ta có: AC AB AD    Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB, M điểmbất kì: 2MI MA MB    Quy tắctrọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC: GA GB GC 0     

(M điểmbấtkỳ)

3MG MA MB MC     

Quy tắc tam giác đốivớihiệu hai vectơ:với ba điểmbất kì A, B, C ta có: AB CB CA   

Vec tơđốicủavectơ kí a hiệu a Đặcbiệt a   a 0, AB  BA

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác địnhmộtvectơ 1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm khơng thẳng hàng, xác địnhđược vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểmcuối điểm trên?

A. 21 B. 42 C. 12 D.

Hướngdẫn

Lấy điểmbất kì điểm ta đượcmộtđoạnthẳng, có C27 21 đoạnthẳng

a

 A

B

(165)

Trang

Mỗimộtđoạnthẳngtạo thành vectơ, ví dụđoạnthẳng AB sẽtạo hai vectơ AB BA

Vậysốvectơđượctạo 2C27 42

→Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Khẳngđịnh

nào sau sai?

A. MN QP  B.  QP  MN C. MQ NP  D. MN  AC

Hướngdẫn

Ta có MN / /PQ (do song song ) MN PQ

  

 AC2

Nên MNPQ hình bình hành

Do MN QP, QP       MN , MQ NP đáp án Đáp án MN  AC sai MN AC

2 

 

→Chọn D

Câu 1. Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ không, phươngvới có điểmđầu

và điểmcuối đỉnhcủalục giác là:

A. B. C. D.

Câu 2.Gọi M, N lầnlượt trung điểmcủa cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏicặpvectơ sau hướng?

A. MN CB B. AB MB C. MA MB D. AN CA

Câu 3. Hai vectơgọi khi:

A. Giá chúng trùng độ dài chúng

B. Chúng trùng vớimột cặpcạnhđốicủamột hình bình hành

C. Chúng trùng vớimột cặpcạnhđốicủamột tam giác D. Chúng hướng và độ dài chúng

Đáp án:

1 – B – B – D

Dạng 2: Các phép toán vectơ 1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA MB MC 0      Mệnh đề sau

đúng?

A. M trung điểmcủa BC B. M trung điểmcủa AB

C. M trung điểmcủa AC. D. ABMC hình bình hành

Hướngdẫn

MA MB MC 0      MA MB MC    BA MC 

(166)

Trang

Vậy ABMC hình bình hành

→Chọn D

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F trung điểmcủa cạnh BC, CA, AB Hệthức đúng? A. AB BE CF AB AC BC          B. AB BE CF AF CE BD         

C. AD BE CF AE BF CD          D. AD BE CF BA BC AC          Hướngdẫn

Áp dụng quy tắccộng ta

 

AD BE CF AE ED BF FE CD DF AE BF CD ED FE DF                               AE BF CD  →Chọn C

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểmcủa, I trung điểm AM Khẳngđịnh sau đúng?

A. IB 2IC IA 0     B. IB IC 2IA 0    

C. 2IB IC IA 0      D. IB IC IA 0     

Hướngdẫn

Vì M trung điểmcủa BC nên theo quy tắc trung tuyến ta có: IB IC 2IM   

Mặt khác I trung điểm AM nên IA IM 0   

Suy IB IC 2IA 2IM 2IA IM IA        0

→Chọn B

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vng cân đỉnh C, AB Tính độ dài AB AC  A. AB AC   B. AB AC 5  

C. AB AC   D. AB AC 3  

Hướngdẫn

Ta có AB 2AB CB 1 

Gọi I trung điểm BC Xét tam giác ACI vuông C, ta có:

2

AI AC CI

2

  

Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:

5

AC AB 2AI AC AB AI

2

      

     

→Chọn A

(167)

Trang

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vng A có ABC 300 BC a 5 Tính độ dài củavectơ AB AC 

A. a B. a C. a D. a

Hướngdẫn Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD   

Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữnhật suy

AD BC a 5 

Vậy AB AC    AD AD a 5  →Chọn B

Câu 1. (ID:8129)Cho tam giác ABC cạnh a Tìm khẳngđịnhđúng? A. AB AC a   B. AB AC a 3  

C. AB AC a D.

2

 

 

AB AC 2a 

 

Câu 2. (ID:8223)Cho hình chữnhật ABCD tâm O Trong mệnhđề sau, mệnhđề đúng? A. AB BC BD 0      B. AC BD CB DA 0       

C. AD DA 0    D. OA BC DO 0     

Câu 3. (ID:13413)Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH Khẳngđịnh sau sai?

A. AH HB     AH HC B. AH AB AH AC     

C. BC BA HC HA      D. AH  AB AH 

Đáp án:

1 – B – D – B

Dạng 3: Phân tích vec tơ.Quỹ tích vec tơ 1 Phương pháp giải

Phân tích vectơ: Sử dụng định lí vectơ phân tích thành vectơ không phương Sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành phép cộngvectơ, quy tắc ba điểm phép trừ hai

vectơđể phân tích mộtvectơ theo nhiềuvectơ

Quỹ tích vectơ:Để tìm tậphợpđiểm M thỏa mãn mộtđẳngthứcvectơ ta biếnđổiđẳngthứcvectơđóđưa tậphợpđiểmcơbảnđãbiết

Nếu phương trình có dạng MA  MB , A, B cố định tập hợpđiểm M đường trung trực củađoạnthẳng AB

Nếuphương trình có dạng MA a  , A cốđịnh, a độ dài đãbiết tậphợpđiểm M đường

trịn có tâm A, bán kính a

(168)

Trang

Tập hợp điểm cách đường thẳng cắt đường phân giác góc tạo hai

đườngthẳngđó 2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M trung điểmcủa BC, I trung điểm AM Khẳng định sau

đâyđúng?

A. AI 1AB AC B.

4

 

  

 

1

AI AB AC

4

 

  

C. AI 1AB 1AC D.

4

 

   1 1

AI AB AC

4

 

  

Hướngdẫn

Vì M trung điểmcủa BC nên AB AC 2AM    (1)

Mặt khác I trung điểmcủa AM nên 2AI AM  (2)

Từ (1) (2) suy ra:

 

1

AB AC 4AI AI AB AC

4

    

     

→Chọn A

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD cạnh AB, CD lấy điểm M, N cho 3AM 2AB  Tính vectơ theo hai vectơ

3DN 2DC  MN AD, BC 

A. MN 1AD 1BC B.

3

 

   1 2

MN AD BC

3

 

  

C. MN 1AD 2BC D.

3

 

   2 1

MN AD BC

3

 

  

Hướngdẫn

Ta có MN MA AD DN      MN MB BC CN     

Suy 3MN MA AD DN MB BC CN           

MA 2MB AD 2BC DN 2CN  

       

Theo ra, ta có MA 2MB 0   DN 2CN 0  

Vậy 3MN AD BC MN 1AD 2BC

3

    

     

→Chọn C

Ví dụ 3: Cho hình chữnhật ABCD I giao điểmcủa hai đường chéo Tìm tập hợp điểm M thỏa

mãn MA MB MC MD     

A. Trung trựccủađoạnthẳng AB B. Trung trựccủađoạnthẳng AD

C.Đường tròn tâm I, bán kính AC D.Đường trịn tâm I, bán kính

2

AB BC 

(169)

Trang

Hướngdẫn

Gọi E, F lầnlượt trung điểmcủa AB, CD Khi theo cơng thứcđường trung tuyến ta có:

MA MB 2ME MC MD 2MF

  

 

 



  

  

Do MA MB     MC MD 2 ME MF    ME  MF

Vì E, F điểm cố định nên từđẳng thức (*) ta có tập hợp điểm M đường trung trực củađoạn thẳng EF trung trựccủađoạnthẳng AD

→Chọn B

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức

đường trịn cốđịnh có bán kính R Tính bán kính R theo a 2MA 3MB 4MC      MB MA

A. r a B. C. D.

3

 r a

9

 r a

2

 r a

6 

Hướngdẫn Gọi G trọng tâm tam giác ABC

Ta có 2MA 3MB 4MC MI IA MI IB MI IC              

Chọnđiểm I cho 2IA 3IB 4IC 0     3 IA IB IC IC IA 0         

Mà G trọng tâm tam giác ABCIA IB IC 3IG     

Khi 9IG IC IA 0      9IG AI IC 0      9IG CA 

Do đó:

AB

2MA 3MB 4MC MB MA 9MI 2IA 3IB 4IC AB 9MI AB MI

9

            

         

Vì I điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M cần tìm đường trịn tâm I bán kính

AB a r

9

 

→Chọn B

Câu 1. (ID:8212) Cho tam giác ABC, E điểm nằm cạnh BC cho BE 1BC Hãy chọn đẳng

4 

thức đúng?

A. AE 3AB 4AC   B. AE 3AB 1AC

4

 

  

C. AE 3AB 1AC D.

4

 

   1 1

AE AB AC

4

 

  

Câu 2. (ID:13287) Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Tính AB theo AM BC

(170)

Trang

A. AB AM 1BC B.

2

 

   1

AB BC AM

2

 

  

C. AB AM 1BC D.

2

 

   1

AB BC AM

2

 

  

Câu 3. (ID: 13471) Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, Với I trung điểm AB Tìm tập hợp

điểm M thỏa mãn đẳngthức MA MB MA MB      A.Đường tròn tâm I, đường kính AB

2

B.Đường trịn đường kính AB

C.Đường trung trựccủađoạnthẳng AB

D.Đường trung trựccủađoạnthẳng IA

Đáp án:

1 – B – C – B Phần BÀI TẬPTỔNGHỢP

Câu 1. (ID: 8162) Cho tam giác ABC Nhận định sau sai?

A. AB  BC B. AB  AC

C. AB BC  D. AC,BC  không phương Câu 2. (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c Khi đó:

A.Điềukiệncần đủđể A, B, C thẳng hàng AB AC phương

B.Điềukiệnđủđể A, B, C thẳng hàng vớimọi M AB MA phương C.Điềukiệncầnđể A, B, C thẳng hàng vớimọi M AB MA phương D.Điềukiệncần đủđể A, B, C thẳng hàng AB AC 

Câu 3. (ID: 13434) Cho tam giác vng cân ABC A cóAB a Tính AB AC 

A. AB AC a 2   B. AB AC a

2

 

 

C. AB AC 2a   D. AB AC a  

Câu 4. (ID:13482) Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa MA MB MC 3    

A. B. C. D. Vô số

Câu 5. (ID:8214) Số vec tơ có điểm đầu điểm cuối điểm phân biệt cho trước là:

A. 12 B. 21 C. 27 D. 30

Câu 6. (ID:8222) Cho tam giác ABC cạnh a Khi AB AC  :

A. B. a C. a D.

3 a

(171)

Trang

Câu 7. (ID:13288) Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau đúng?

A. AG 2AB AC B.

3

 

  

 

1

AG AB AC

3

 

  

C. AG 1AB 2AC D.

3

 

   2

AG AB 3AC

3

 

  

Câu 8. (ID:13474) Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MA MC     

A.Đường trung trựccủađoạnthẳng BC B.Đường trịn đường kính BC

C.Đường trịn tâm G, bán kính a D.Đường trung trựccủađoạnthẳng AG

3

Câu 9. (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt cốđịnh,với I trung điểmcủa AB Tìm tậphợp

điểm M thỏa mãn đẳngthức 2MA MB MA 2MB     

A.Đường trung trựccủađoạnthẳng AB B.Đường trịn đường kính AB

C.Đường trung trựccủađoạnthẳng IA D.Đường trịn tâm A, bán kính AB

Đáp án:

1 – C – A – A – D – D – B – B – A – A

(172)

Trang

CHƯƠNG VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Trục độ dài đạisố trục

• Địnhnghĩa: Trụctọađộ (hay gọitắt trục) mộtđường thẳng đóđã xác địnhmộtđiểm O gọi

điểmgốc mộtvectơđơnvị e

• Điểm O gọi gốctọađộ

• Hướngcủavectơđơnvị hướngcủatrục

• Ta kí hiệutrụcđó O; e

• Cho M mộtđiểm tùy ý trục O; e Khi có nhấtmột số k cho OM ke  Ta gọisố k

đó tọađộcủađiểm M đốivớitrụcđã cho

• Cho hai điểm A B trục O; e Khi có số a cho AB ae  Ta gọisố a độ dài

đạisốcủavectơ AB đốivớitrụcđã cho kí hiệu a AB

2 Hệtrụctọađộ

Hệgồm hai trục tọađộ Ox, Oy vng góc với

Vectơđơnvị Ox, Oy lầnlượt , O i j gốc tọađộ, Ox trục hoành, Oy trục tung

3 Tọađộcủavectơ

   

u  x; y u x; y  u xi yj  

x gọi hoành độcủavectơ u

y gọi tung độcủavectơ u

Các công thứcvectơ:

Cho hai vectơ uu ; u , v1 2  v ; v1 2

• 1

2

u v

 

   



 

• u v  u1v ; u1 2v2; • u v  u1v ; u1 2v2; • ku(ku1;ku2),kR

• Độlớncủavectơ 2

1

u  u u

• Hai vectơ u u ; u , v1 2 v ; v1 2 phương có số k cho u1kv1

2

u kv

• Tích vơ hướng: u.v    u v cos u, v  

(173)

Trang

1 2 u.v u v  u v

1 2 u  v u v u v 0

• Góc hai vectơ:   1 2

2 2

1 2

u v u v u.v

cos u; v

u v u u v v



 

 

   

 

4 Tọađộcủamộtđiểm

 

M x; y OM xi yj.  

Các công thức:

Cho ba điểm A x ; y , B x ; y , C x ; y A A  B B  C C • ABxBx ; yA ByA

• AB AB  xBxA 2 yByA2

• Tọađộ trung điểm I AB: A B A B

1

x x y y

x , y

2

 

 

• Tọađộtrọng tâm G tam giác ABC: A B C A B C

G G

x x x y y y

x , y

3

   

 

• Tọađộđiểm M chia AB theo tỉsố A B A B

M M

x kx y ky

k 1: x , y

1 k k

 

  

 

Dạng 1: Tọađộvectơ, tích vơ hướngcủa hai vectơ

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a2; , b    5;3 Tọađộvectơ u 2a b   là:

A 7; 7  B 9; 11  C  9;5 D 1;5

Hướngdẫn

Ta có: 2a4; , b    5; 3 

Ta có: u 2a b    4 5; 3    9; 11 

Chọn B 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; , v 1; m Tìm m để hai vectơ , vng góc u v với

A 1 B C D

2

1



3

1



Hướngdẫn

Ta có: u v u.v 1.1 2.m m

2



       

   

Chọn B 

(174)

Trang Ví dụ 3: Trong mặtphẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; , v1; 3  Góc hai vectơ là:

A 450 B 600 C 300 D 1350

Hướngdẫn

Ta có:  

   

0

2 2

1.1 2.3

cos u; v u; v 135

2

1

  

    

  

   

Chọn D 

Ví dụ 4: Cho hai vectơ , có giá vng góc a b với a 4, a b  Độ dài b bằng:

A 9. B C 3. D 1.

Hướngdẫn

Ta có: a b   5  a b 25a2b22a.b 25 Vì a  b a.b 0 , ta có:

2

a  b 25 b 25 a   9 b 3

Chọn C 

Ví dụ 5: Cho hai vectơ a  3; , b     1; 7 Tìm tọađộvectơ c biết c.a 9, c.b   20 A c   1; 3 B c  1;3 C c1; 3  D c 1;3

Hướngdẫn Gọitọađộvectơ cx; y

Ta có: c.a   3x 2y 9 c.b   x 7y 20

Do có hệ:  

x 7y

3x 2y x

c 1;3 y

0

    

 

  

  

    



Chọn B 

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a m;1 , b3; m 2  Giá trị m để vectơ a phươngvớivectơ là:b

A m B C D

m

    

m

      

m

     

m

     

Hướngdẫn Vectơ a phươngvớivectơ b a kb 

Hay

   

k m

m 3k m 3k

1

1 k m k 3k k

3

m

    

 

 

 

  

        

  

 

 

    

(175)

Trang

Chọn D 

Ví dụ 7: : Cho ba vectơ a 2;1 , b  3; , c 7; Biểudiễnvectơ qua c vectơ , a b

A a 22b 3c B C D

5

 

  22

a b c

5

  

  22

a b c

5

  

  22

a b c

5

 

 

Hướngdẫn Giảsử c ma nb   , ta có hệphương trình:

22 m

7 2m 3n 5

2 m 4n

n

    

 

    

  



Vậy a 22b 3c

5

 

 

Chọn D 

Câu (ID: 9106) Khẳng định khẳng định sau? A Hai vectơ a 6;3 b 2;1 ngược hướng với B Hai vectơ a  5;0 b   4;0 hướng với C Vectơ c 7;3 vectơđối vectơ d 7;3 

D Hai vectơ a 6;3 b 2; phương với

Câu (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a 0;1 , b   1; , c    3; 2 Tọa độ vectơ u 3a 2b 4c     là:

A 10;15 B 15;10 C 10; 15  D 10;15

Câu (ID:8722) Trong mặtphẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB5,AC5,A 300 Giá trịbiểuthức

là:

AB.AC 

A 25 B C D –25.

2

25

 25

2

Câu (ID:8750) Cho hai vectơ , cho a b a 3, b 5, a, b   1200 Độ dài vectơ a b bằng:

A 19 B 7. C 4. D 2.

Đáp án:

1 – B – A – A – B

Dạng 2: Tọađộđiểm

Ví dụ 1: Trong mặtphẳng Oxy, cho điểm A 1;3 , B 4;0    Tọađộđiểm M thỏa mãn 3AM AB 0   

(176)

Trang là:

A M 4;0  B M 5;3  C M 0; 4  D M 0; 4  

Hướngdẫn Gọitọađộđiểm M M x ; y M M

 M M      AM x 1; y 3 , AB ;0 3   3; 3

 

Ta có:  

 

M M

3 x x

3AM AB M(0; 4)

y

3 y

  

  



    



   



  

Chọn C 

Ví dụ 2: Trong mặtphẳng Oxy, cho điểm A 1;3 , B 4;0    Tìm điểm C đốixứngcủa A qua B

A C 7,15  B C 6,14  C C 5,12  D C 15,7 

Hướngdẫn

C đốixứngvới A qua B nên B trung điểmcủa AC

Tọađộđiểm B B A C C B A

B A C C B A

2x x x x 2x x

2y y y y 2y y 15

    

 



      

 

Chọn A 

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 2;5 , B 1;1 , C 3;3      điểm E thỏa mãn Tọađộđiểm E là:

AE 3AB 2AC  

A 3; 3  B 3;3 C  3; 3 D  3;3

Hướngdẫn Giảsửtọađộđiểm E a; b AEa 2; b 5  

Ta có: AB   1; , AC 1; 2  3AB 2AC     5; 8  

a a

AE 3AB 2AC E 3;

b b

    

 

      

    

 

  

Chọn C 

Ví dụ 4: Trong mặtphẳng Oxy, cho hai điểm A 1;1 , B 3;3    Tìm tọađộđiểm M trục Oy để tam giác MAB cân M

A  4;0 B 4;0 C  0; D 0; 4 

Hướngdẫn Giảsử M 0; y OyMA  1;1 y , MB    3;3 y  Vì tam giác MAB cân M nên ta có:

 2  2

2

MA MB   1 y   9 y 4y 16 0   y Vậy M 0; 4 

(177)

Trang

Chọn C 

Ví dụ 5: Cho M 2;0 , N 2; , P 1;3      lầnlượt trung điểm cạnh BC, CA, AB củaABC Tọa độ B là:

A  1;1 B  1; 1 C 1;1 D 1; 1 

Hướngdẫn

Vì BPNM hình bình hành nên ta có:  

B N P M B B

x x x x x 2 x

y y y y y y

         

  

      

  

 

 

Vậy B 1;1 

Chọn C 

Ví dụ 6: Trong mặtphẳng Oxy, cho A m 1; l , B 2; 2m , C m 3;3          Tìm giá trị m để A, B, C ba điểmthẳng hàng?

A m 2 B m 0 C m 3 D m 1

Hướngdẫn

Ta có: AB 3 m;3 2m , AC   4;

Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB phươngvới AC

3 m 2m

m

4

 

   

Chọn B 

Ví dụ 7: Cho A 1; , B 2;6    Điểm M trục Oy cho ba điểm A, B, M thẳng hàng tọađộ

A 0;10 B C D

3

   

  0; 10  10;0 10;0

Hướngdẫn

Ta có: M trục OyM 0; y 

Ba điểm A, B, M thẳng hàng AB phươngvới AM Ta có AB  3; , AM   1; y 2 

Do đó, AB phươngvới AM y y 10

3

 

   



Vậy M 0;10

3

     

Chọn A 

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với AB 5 AC 1 Tính toạ độ điểm D chân đường phân giác góc A, biết B 7; , C 1; 4    

(178)

Trang

A 11; B C D

2

 

 

   2;3  2;0

11 ; 2

     

Hướngdẫn

Theo tính chấtđường phân giác:

DB AB

5 DB 5DC DB 5DC

DC AC     

 

Gọi

     

D x; y DB x; y ; DC    1 x; y

Suy ra:  

 

7 x x x

y y y

   

  

 

  

     



Vậy D 2;3 

Chọn B 

Ví dụ 9: Trong mặtphẳng tọađộ cho ba điểm A 1; , B 2; 2     C 4; 2  Xác định tọađộ điểm M cho tổng MA22MB23MC2 nhỏnhất

A M 3;1 B C D

2

 

 

 

3

M ;

2

  

 

 

3

M ;1

2

     

3

M ;

2

      

Hướngdẫn

  2 2   2 2   2 2

2 2

MA MB 3MC  x 1  y 4 2 x 2   y 2 3 x 4   y 2 

 2  2

2 147 147

6x 18x 6y 12y 93 2x y

2 2

          

Do MA22MB23MC2 nhỏnhấtbằng 147 Dấubằngxảy  

 

2

3

2x x

2

y y 1



   

 

 

 

  

 

Vậy M 3;1

     

Chọn C 

Câu (ID:9161) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 5; , B 10;8    Tọa độ AB là:

A  2; B 15;10 C  5;6 D 5;6

Câu (ID:9175) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A 3;1 , B 2; , C 1;6 , D 1; 6         Hỏi điểm G 2; 1   trọng tâm tam giác sau đây?

A Tam giác ABC. B Tam giác ABD. C Tam giác ACD. D Tam giác BCD.

(179)

Trang Câu (ID:9192) Trong mặtphẳng Oxy, cho hai điểm A 1;0 , B 1;0    Tìm tọađộđiểm N để tam giác ABN vng cân A

A 1; 2  0;3 B 2; 1   0; C  1; 2 2; 1  D 1; 2  1; 2

Câu (ID:9191) Trong mặtphẳngtọađộ Oxy, cho hai điểm M 2; , N 1;1    Tọađộđiểm P trục

Ox thỏa mãn M, N, P thẳng hàng là:

A  0; B 0; 4  C 4;0 D  0;

Đáp án:

1 – C – B –D – D

Dạng 3: Ứngdụng tích vơ hướngcủa hai vectơ

Ví dụ 1: Trong mặtphẳng Oxy, cho tam giác ABC có A 2;1 , B 1; , C 3;0      Cơsin góc A tam giác ABC bằng:

A B C D

5



5

1



Hướngdẫn

Ta có: AB  3;1 , AC 1; 1 

      

 2 2 2  2

3 1

cos A cos AB, AC

5

3 1

    

   

   

 

Chọn A 

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a  Độ dài củavectơ v 1OA 1OB là:

4

  



A a B C a. D

12

1 a

5 a

Hướngdẫn

Vì tam giác OAB vng OOA.OB 0 

Ta có:

2

2 1 1 1 2 25

v OA OB OA OA.OB OB a a a

4 16 16 144

 

        

 

     



Vây v a

12





Chọn A 

Ví dụ 2: Trong mặtphẳng Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B 3;1 , C 0; 4      Gọi A hình chiếucủa A

cạnh BC Tọađộđiểm A là:

(180)

Trang A  0; B  1;3 C  2;3 D  0;3

Hướngdẫn Giảsử A x; y 

      AA x 1; y , BA   x 3; y , BC   3;3

Vì A hình chiếucủa A cạnh BC nên B, A, C thẳng hàng AA BC

   

3 x y x

AA BC

x 3k y

BA kBC y 3k 2

k                                      

Vậy A 1;3 

Chọn B 

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 3; , B 4;3    Tìm tọa độ điểm C để tam giác CAB vuông cân C

A 1; 1   0;6 B  1;0  0;6 C  1;0  0;5 D 1; 1   0;5

Hướngdẫn

Giảsử C có tọađộ C x; y CA   x; y ,CB  4 x;3 y  

Vì tam giác CAB vuông cân C

     

  2 2   2 2

3 x x y y

CA.CB

CA CB 3 x 2 y 4 x 3 y

                            2 x y

x y x 5y

7x y x

y                        

Vậy C 1; 1   C 0;6 

Chọn A 

Ví dụ 4: Trong mặtphẳng tọađộ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B 4; , C 2; 3        Tọa độ tâm

đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC là:

A 1; B C D

2        1 ; 2         ; 2        1 ; 2        Hướngdẫn Giảsử I a; b  tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC

  2 2   2 2   2 2

2 2

IA a b , IB a b , IC a b

            

(181)

Trang 10 Ta có hệ:

               

2 2

2

2 2 2

1 a

a b a b

IA IB 6a 8b 2

6a 12b

IA IC a 1 b 3 a 2 b 3 b

2                                           

Vậy I 1;

2



 

 

 

Chọn D 

Ví dụ 5: Trong mặtphẳng tọađộ Oxy, cho tam giác MNP có M 1;0 , N 2;0 , P 2;3      Tọađộ trực

tâm H tam giác MNP là:

A 2; B C D

3        2;       2;        2;       Hướngdẫn Giảsử H x; y  trực tâm tam giác MNP

Ta có: MHx 1; y , NP    4;3 , NH x 2; y , MP    1;3

MH NP MH.NP

NH MP NH.MP

                     

Ta có hệ:

   

x

4 x 3y

4 y x 3y

3                     

Vậy H 2;

3

  

 

 

Chọn A 

Câu (ID:9742) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; , B 3;1 , C 6;0       Sốđo góc B tam giác ABC bằng:

A 450 B 600 C 1200 D 1350

Câu (ID:8744) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB a, AC 2a  Khi AB.AC  bao nhiêu?

A a B a C a. D 2a.

Câu (ID:8959) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;0 , B 5; , C 2; 4       

Tọađộ tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC là:

A  2;1 B  0;1 C  1; D  1;0

Đáp án:

(182)

Trang 11 – D – B – D

Câu (ID:9095) Trên trục tọa độ O, e cho điểm M cho OM 2e  Tọa độ điểm M trục cho là:

A 1. B C –1. D –2.

Câu (ID:8702) Tích vơ hướng hai vectơ a, b a, b 0    số dương khi:

A chia b ều B pha b ương.C 00  a, b  900 D 900  a, b 1800 Câu (ID:9183) Cho hai điểm B 9;7 , C 11; 1     MN 1BC Tọa độ vectơ là:

3



 

MN



A 2; 8  B 2;8 C 8; D

3



 

 

 

2

; 3



 

 

 

Câu (ID:9238) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 2; , B 0;3 , C 4; 2       điểm D thỏa mãn Tọa độđiểm D là:

2AD 3BD 4CD 0   

A 1;12 B 12;1 C 12; 1  D 12; 1 

Câu (ID:9188) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 2m; m , B 2m; m     Với giá trị m đường thẳng AB qua gốc tọa độ O?

A m 3 B m 5 C  m  D m 0 Câu (ID:9203) Cho điểm M 2;1  Tọa độđiểm M1 đối xứng với M qua gốc tọa độ O là:

A  2; 1 B 1; 2  C 2; 1  D 1; 2

Câu (ID:9214) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B 3; , C m 4; 2m 1        Tìm m để ba

điểm A, B, C thẳng hàng

A 1. B 0. C –1. D –2.

Câu (ID:9230) Cho tam giác ABC có A 6;1 , B 3;5    trọng tâm tam giác G 1;1  Tọa

độđỉnh C là:

A 6; 3  B 6;3 C  6; 3 D 3;6

Câu (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; , B 0; , C 3; 2       Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành

A D 2;0  B D 4; 4   C D 4; 4  D D 0; 2 

Câu 10 (ID:8925) Cho tam giác đều ABC cạnh a Giá trị biểu thức AB.BC BC.CA CA.AB       bằng:

A 3a2 B C D

2

 3a2

2

a

2

a

2



Câu 11 (ID:8937) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2; , B 3; , M m;0       Giá trị m để MA2MB2 đạt giá trị

(183)

Trang 12

A B 0. C 1. D

2



2

Câu 12 (ID:8964) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 1;3 , B 3;1    trực tâm H 1;1  Tọa độ đỉnh C là:

A  1; 2 B 1; 3  C  1; 3 D 1; 2 

Câu 13 (ID:8977) Cho tam giác ABC có A 5;6 , B 3; , C 0; 4       Chân đường phân giác góc A có tọa độ là:

A 5; 2  B 5; C D

2



 

 

 

5

; 3



 

 

 

5

;

2

 

 

 

 

Câu 14 (ID:8996) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , B 0;1 , M 2m 4; m       Giá trị

của m để MA MB lớn là:

A B –1. C . D 1.

2



2

Đáp án:

1 – B – C – D – D – C – A – A – C – B 10 – A 11 – D 12 – C 13 – C 14 – A

(184)

Trang

CHƯƠNG : VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Định lí cơsin

Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b AB = c Ta có:

2 2 2 2 2

a b  c 2bc.cos A; b c a 2ca.cos B;c a b 2ab.cosC

Hệquả:

2 2 2 2 2

b c a c a b a b c

cos A ;cos B ;cosC

2bc 2ca 2ab

     

  

2 Định lí sin

Trong tam giác ABC với BC a, AC b, AB c   R bán kính đường trịn ngoạitiếp Ta có:

a b c

2R sin A sinBsin C

3 Độ dài trung tuyến

Cho tam giác ABC với m , m , ma b c lầnlượt trung tuyếnkẻtừ A, B, C Ta có :

 2  2  2

2 2

a b c

2 b c a a c b a b c

m ; m ; m

4 4

     

  

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h ,h ,ha b c độ dài đường cao lầnlượttươngứngvới cạnh BC, CA, AB; R, r lầnlượt bán kính đường tròn ngoạitiếp, nội tiếp tam giác; p a b c nửa chu vi tam giác; S

2   

là diện tích tam giác Khi ta có:

a b c

1 1

S ah bh ch

2 2

  

1bcsin A 1casin B 1absinC

2 2

  

abc 4R 

pr



(công thức Hê-rông)

   

p p a p b p c

   

Dạng 1: Xác định yếutố tam giác.

Ví dụ 1: Tam giác ABC có A 1500,BC6 Bán kính đường trịn ngoạitiếp tam giác ABC là:

(185)

Trang

A. B. C. D 4

2 Hướngdẫn

Áp dụng cơng thức hàm số sin có:

0

BC 2R R BC 6 6.

1

sin A 2sin A 2.sin150 2.sin30 2.

2

      

Chọn B



Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thỏa mãn: b2 c a2  3bc Tính độlớn góc A

A. A 300 B. A 450 C. A 600 D A 750

Hướngdẫn

Theo định lý cơsin ta có:

2 2

b c a 3bc

cosA

2bc 2bc

 

  

Vậy A 300

Chọn A



Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A có CA 3cm,CB 4cm,sin B Tính diện tích tam giác

2

  

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D 6cm

Hướngdẫn

Ta có C B nên sin C sin B

2

 

2

1 1

S CA.CBsin C 3.4 3cm

2 2

  

Chọn A



Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cosA = Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻtừ

A

A. BC 2,ha 29 B.

29

  BC 29,ha 29

29

 

C. BC 17,ha 16 17 D

17

  BC 29,ha 29

29

 

Hướngdẫn

Áp dụngđịnh lí cơsin ta có BC2 AB2AC2 2AB.AC.cosA 4 25 2.4.5.2 17

(186)

Trang Suy BC 29

Vì sin A cos A 12   nên sin A 1 cos A2 1 4.

25

    

Theo công thức tính diện tích ta có SABC 1AB.AC.sin A 1.4.5.4  

2

  

Mặt khác SABC 1a.ha 17.ha

2

   2

Từ  1  2 suy 17.ha ha 16 17

2    17

Vậyđộ dài đường cao kẻtừ A ha 16 17

17  Chọn C



Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi a BC, b CA,c AB.   Khẳngđịnh sau

đúng:

A. GA2GB GC2 2 a 2b2c 2 B. GA2 GB GC2 1a2 b2 c 2

3

    

C. GA2 GB GC2 1a2 b2 c 2 D

2

     GA2 GB GC2 3 a 2b2c 2

Hướngdẫn

Theo tính chấtcủatrọng tâm ta có: GA 2AM

3 

2

GA AM

9

 

Áp dụng công thức tính trung tuyếncủamột tam giác, ta có:

2

2 2 BC 2 a

AM AB AC c b

2 2

   

        

   

2

2 4 2 a 2 a

GA AM c b c b

9 2

   

         

   

Tươngtự:

2

2 2 b

GB a c

9

 

    

 

2

2 2 c

GC a b

9

 

    

 

Do đó: GA2 GB GC2 1a2 b2 c 2

    

Chọn B



Ví dụ 6: Khi khai quật ngơi mộ cổ, người ta tìm đượcmột mảnhcủa chiếcđĩaphẳng hình trịn bị

(187)

Trang

vỡ.Dựa vào tài liệu có, người ta đo kích thước tam giác ABC đĩa AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Các nhà khảocổmuốntạolại chiếcđĩa có kích thướcnhưvậy Hãy giúp nhà

khảocổ tìm bán kính chiếcđĩa?

A. R = 6,735(cm) B. R = 6,535 (cm)

C. R = 5,735 (cm) D R = 5,835 (cm)

Hướngdẫn Cách 1: Ta có: AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Áp dụngđịnh lí hàm số cosin ta có:

430 407

, ,

7 , , ,

cos

2 2

2

 

  

 



AC AB

AB AC AB

BAC

Nhưvậy, sinBAC  1(cosBAC )2 0,323

47 , 11 323 ,

7 , sin

2    

BAC BC R

  R 5,735 cm  

Cách 2:Sửdụng cơng thứcdiện tích a.b.c p p a p b p c     Trong đó: Từđó ta

4R    

a b c p

2   

tìm đượcđáp án 5,735(cm)

Chọn C



Câu 1. (ID:14020) Cho ABC có AB3;C 450 Bán kính đường trịn ngoại tiếp là:

A. B. C. D.

2 23 22

Câu 2. (ID:14022) Cho ABC có A 450;B 300 Tỉ số AC là:

BC

A. B. C. D.

2 23

1

2

Đáp án:

1 – B - A

Dạng 2: Giải tam giác.

Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa mộtsốđiềukiện cho trước Trong toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếutốnhư sau: biếtmột cạnh hai góc kềcạnh đó;biếtmột góc hai cạnhkề góc đó;biết ba cạnh

Để tìm yếutố cịn lại ta sử dụngđịnh lí cơsin định lí sin; định lí tổng ba góc tam giác

bằng 1800 tam giác đốidiệnvới góc lớnhơn có cạnh lớnhơn ngượclạiđối diệnvới cạnhlớnhơn có góc lớnhơn

(188)

Trang

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a2 3,b2,C 300 Tính cạnh c, góc A

A. 1200 B. 1100 C. 1200 D 4 1100

Hướngdẫn

Theo định lí cơsin ta có: c2 a2b22ab cosC 12 2.2 3.2.cos30   4.

Vậy c = tam giác ABC cân A có b = c = Ta có C 300 nên B 300 A 1800 2.300 1200

Chọn C



Ví dụ 2:Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 A 870

A. A53,8,C 360,B 570 B. A53,8,B 400,C 530

C. A52,8,B 360,C 570 D A53,8,B 360,C 570

Hướngdẫn

Theo định lí cơsin ta có:

2 2 2

a b  c 2bc.cosA 32 45 2.32.45.cos87 

Suy raa 53,8.

Theo định lí sin ta có:

0

36

, 53

87 sin 32 sin

sin   B 

a A b B

Suy C 1800 AB 1800 870 360 570

Chọn D



Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có cạnh AC 10 cm, BC 16cm  góc C 1100 Tính cạnh AB

tam giác

A. 20 cm B. 21,6cm C. 12,6cm D 12,8 cm

Hướngdẫn Đặt BC a,CA b, AB c.  

Theo định lí cơsin ta có:

2 2

c a b 2ab cosC

2

16 10 2.16.10.cos110

  

2

c 465,44

Vậy c 465,44 21,6 cm.

Chọn B



(189)

Trang

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC a,CA b,AB c   thỏa mãn hệ thức c b Hãy tính số b c a c   

đo góc A?

A. A 1200 B. A 300 C. A 900 D A 600

Hướngdẫn

Ta có  

 

c b 1

b a a c

      

c a c b b a b a a c

      

2 2

ca c b ba ba a bc ac

       

2 2

b c a bc

   

ta có:

2 2

b c a bc

cosA

2bc 2bc

 

  

Vậy A 60 

Chọn D



Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A 1200,AB1,AC 2Trên cạnh CA kéo dài lấy điểm D cho Tính đoạn AD

BD 2.

A. 2,3 B. C. 4,6 D 2

Hướngdẫn

Áp dụngđịnh lí cosin cho tam giác ABC ta có: 

2 2

BC AB AC 2AB.AC.cosBAC 7  

BC

 

Áp dụngđịnh lí sin đốivới tam giác ABC ta được:

14 21 sin sin sin sin         BC A AB C A BC C AB

Áp dụngđịnh lí sin đốivới tam giác DBC ta được:

4 sin sin sin sin         DB C BC D D BC C DB 66 , 25  D

0

0 25,66 (180 120 ) 94,34

180    

 DBA

Áp dụngđịnh lí sin ta có:

3 , 34 94 sin sin sin sin sin          D DBA AB AD DBA AD D AB

(190)

Trang

Chọn A



Câu 1. (ID:13999) Cho tam giác ABC biết a cm,b cm,c  l cm. Tính góc A,B

A. A 600;B 450 B. A 500;B 450

C. A 450;B 650 D. A 450;B 600

Câu 2. (ID:14030) Cho ABC có A 1500;B 300;AC 3cm Độ dài BC A

A. B. C. D.

Đáp án:

1 – A – D

Dạng 3: Nhậndạng tam giác

1 Phương pháp giải

Sửdụngđịnh lí cơsin; sin; cơng thứcđường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác đểbiếnđổigiả thiếtvềhệthức liên hệcạnh(hoặc góc) từđó suy dạngcủa tam giác

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC 2sinBcosA. Hỏi tam giác ABC tam giác gì?

A. ABC cân B. ABC C. ABC vuông D ABC tù

Hướngdẫn

Áp dụngđịnh lí cơsin sin ta có:

2 2

c b b c a

sinC 2sinBcosA

2R 2R 2bc

 

  

2 2

c b  c a  a b

Suy tam giác ABC cân tạiđỉnh C

Chọn A



Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A sinB sin C Hỏi tam giác ABC tam giác gì?

cosB cosC  



A. ABC cân B. ABC C. ABC vuông D ABC tù

Hướngdẫn

Ta có: sin A sinB sin C sin A cosB cosC  sin B sin C

cosB cosC 

    



      

   

 

2 2 2

a c a b a b c b c

2R 2ca 2ab 2R

 2 2  2 2 2

b c a b c a b c 2b c 2c b

       

    

3 2 2 2 2 2

b c b c bc a b a c b c b c a b c b c a

               

(191)

Trang vuông A

ABC  

Chọn C



Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN vng góc với Khi đókhẳng định sau đúng:

A. b2c2 a2 B.b2c2 5a2. C. 2b23c2 5a2. D 5b2c2 a 2

Hướngdẫn

Áp dụnghệthứclượng tam giác ta có:  2

2 b

2 a c b

m

4

 



 2 2

c

2 a b c

m

4

 



G trọng tâm tam giác ABC

Suy  

2 2

2

b

2 a c b

4

BG m

9

 

 

 2

2

c

2 a b c

4

CG m

9

 

 

nên

BM CN BG2 CG2 BC2

2 2 2

2

2 2

2c 2a b 2a 2b c a

9

b c 5a

   

  

Chọn B



Ví dụ 4: Tam giác ABC có a + b2 c2 36r2 có tính chất gì?

A. Tam giác cân B B. Tam giác cân A

C Tam giác D Tam giác vuông A

Hướngdẫn

            

2

2 2

2

p b p c p c p a p a p b

p a p b p c S

a + b c 36 36 36

p p

p

     

  

   

Ta có: p b p c      2p b 2p c    a

p b p c  p c p a  p a p b  abc

p 8p

     

 

  

2 2 2

a + b c a b c a b c

a b c

abc abc

        

 

Mà a + b2 2c2 ab bc ca 

a b c ab bc ca  9abc

     

(192)

Trang

 2   2 2

a b c b c a c a b a b c

         

Vậy tam giác ABC có a + b2 c2 36r2 tam giác ABC Chọn C



Câu (ID:14506)Tam giác ABC thỏa mãn S ABC 1   Khi tam giác ABC là:

4 a b c a c b

     

A. Tam giác vuông B B. Tam giác cân A

C Tam giác D. Tam giác vuông A

Câu 2. (ID:14475) Cho tam giác ABC có cạnhthỏa mãn: b b a2 c a2 c 2 Tính sốđo góc A.

A. A 600 B. A 450 C. A 800 D. A 300

Đáp án:

1 – D – A

Câu 1. (ID:14027) Tam giác ABC có sinA 1, sinB 4, độ dài đoạn BC Tính độ dài đoạn AC

2

 

A 24 B 5 C 24 D.

5 245

Câu 2. (ID:14039) Cho tam giác ABC có AB 14 cm,BC 16 cm  góc B 1200 Tính cạnh AC

tam giác

A 14 cm B 12.5 cm C 27 cm D. 26 cm

Câu 3. (ID:14068) Cho tam giác ABC có BC cm,CA cm,AB cm.   Hãy tính độ dài đường

trung tuyến ma tam giác ABC cho

A 151 cm B C D.

2 151 cm.2 147 cm.2 157 cm.2

Câu 4. (ID:14074) Cho tam giác ABC có AB cm,AC cm,sin A Tính diện tích tam giác

2

  

A 1 cm B 2 cm C 3 cm D. cm

Câu 5. (ID:14096) Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoạitiếp R = 12, diện tích 20 Tìm tích cạnh tam giác

A 960 B 480 C 240 D. 120

Câu 6. (ID:14484) Gọi m ,m ,ma b c trung tuyếnlầnlượtứngvới cạnh a, b, c tam giác ABC Tính tỉsố:

2 2

a b c

2 2

m m m

a b c

   

(193)

Trang 10

A 4 B C 1 D.

3 abc1

Câu 7. (ID:14433) Tam giác ABC có diện tích S Nếutăngcạnh BC lên lầnđồngthờităngcạnh CA lên lần giữ ngun độlớncủa góc C đódiện tích tam giác mớiđượctạo nên bằng:

A 2S B 6S C 4S D. 3S

Câu 8. (ID:14430) Tam giác ABC có BC a,CA b,AB c   đường trung tuyến AM c. Nếuđộ dài

đường trung tuyến AM c kếtluận sau đúng:

A a2 b2c B a2 2 b 2c 2 C a2 2 b 2c 2 D a2 b2c

Câu 9. (ID:14423) Cho hình bình hành ABCD có AD 5,AB 9,BD 10.   Độ dài đường chéo AC là:

A 2 B 7 C 6 D.

Câu 10. (ID:14495) Cho tam giác ABC có sốđo ba góc thỏa mãn: sin B sin C = 2sin A.2  2 Kếtluận sau đúng:

A. Tam giác ABC tam giác nhọn B. AB 1800. C. Tam giác ABC vuông A D. A 600

Câu 11. (ID:14469) Hai tàu thủy P Q cách 300 m đồng thờithẳng hàng với chân A

tháp hảiđăngở bờbiển.Từ P Q, người ta nhìn chiều cao AB tháp góc 150và 750 Tính

chiều cao AB tháp hảiđăng?

A. 85,6m B. 86,6m C. 88,6m D. 84,6m

Câu 12. (ID:14468) Từ vị trí A người ta quan sát cao (Hình vẽ) Biết

Tính

45 ,

20 ,

4  

 m HB m BAC

AH chiều cao BC

A 17,3 m   B 12,8 m   C.14,5 m   D. 18,9 m  

Câu 13. (ID:14501) Cho ABC cân A có A a0;ABm D điểm nằm đoạn BC cho BC = 3BD Tính độ dài AD

(194)

Trang 11

A 2m sin a B C D.

2

8 a

m sin

3

 m.sin a

2

a m sin

2

Câu 14. (ID:14460) Cho ABC có BC 5,AC 6,AB 3.   Trên đoạn AB, BC lầnlượtlấy điểm

M, K cho BM 2,BK 2.  Tính MK

A 3 30 B C D.

5 30 15 30 15 30 15

Đáp án:

1 – C – D – B 4– C – A – B – B – C – D 10 – D 11 – B 12 – A 13 – B 14 – B

(195)

Trang

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơchỉphương

Vectơ u 0  gọi vectơ chỉphương (VTCP) củađường thẳng  giá song song

trùng với .

Nhận xét:

Mộtđườngthẳng có vơ sốvectơchỉphương

Nếu u vectơchỉphươngcủa  ku k 0   vectơchỉphươngcủa 

2 Phương trình tham sốcủađườngthẳng

Cho đường thẳng  qua M x ; y0 0 0 u  a; b vectơ chỉphương Khi đóphương trình tham số củađườngthẳng có dạng:

,

0 x x at y y bt

 



  

 t

Nhận xét: A  A x 0at; y0bt

3 Phương trình tắccủađườngthẳng

Cho đường thẳng  qua M x ; y0 0 0 u  a; b (với a 0 ,b 0 ) vectơ phương Khi phương trình tắccủađườngthẳng có dạng:

0

x x y y

a b

  

4 Vectơ pháp tuyếncủađườngthẳng

Vectơ n 0  gọi vectơ pháp tuyến (VTPT)  giá vng góc với 

Nhận xét:

Mộtđườngthẳng có vơ sốvectơ pháp tuyến

Nếu n vectơ pháp tuyếncủa  kn k 0   vectơ pháp tuyếncủa 

 Liên hệgiữavectơchỉ phương vectơ pháp tuyến: vectơ pháp tuyến vectơchỉphương vng góc

với Do đónếu có  vectơchỉphương u  a; b n  b;a mộtvectơ pháp tuyếncủa 

5 Phương trình tổng quát củađườngthẳng

Cho đườngthẳng  qua M x ; y0 0 0 có vectơ pháp tuyến n  a; b Khi đóphương trình tổng qt

củađườngthẳng có dạng: a x x  0 b y y 00

Chú ý:

Nếuđườngthẳng : ax by c 0   n  a; b vectơ pháp tuyếncủa 

6 Các dạngđặcbiệtcủaphương trình tổng quát

song song trùng vớitrục Ox

  : by c 0 

song song trùng vớitrục Oy

  : ax c 0 

(196)

Trang

đi qua gốctọađộ

  : ax by 0 

Phương trình đoạnchắn:  qua hai điểm A a;0 ,B 0; b  :x y 1với

a b

    ab 0 

7 Vị trí tươngđốicủa hai đườngthẳng

Cho hai đườngthẳng 1: a x b y c1  1  1 2: a x b y c2  2  2 0

Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 2 ta xét số nghiệm hệ phương trình (I)

1 1

2 2

a x b y c a x b y c

  



   



Nếuhệ (I) vô nghiệm, hai đườngthẳng song song

Nếuhệ (I) vô sốnghiệm, hai đườngthẳng trùng

Nếuhệ (I) có mộtnghiệm nhất, hai đườngthẳngcắt Nghiệm củahệ tọađộ giao điểm hai đườngthẳng

Chú ý:

Nếu a b c2 2 0 thì:

1

2

a b

    

//

 1

2

2 2

a b c

   

1 1

1

2 2

a b c

     

a a1 b b1

     

8 Góc hai đườngthẳng

Góc hai đườngthẳng 1 2 có vectơ pháp tuyến n1 a ; b1 1 n2 a ; b2 2 :

    1 2 1 2

1 2 2 2 2 2

1 1 2

n n a a b b

cos , cos n , n

n n a b a b



    

 

   

 

9 Khoảng cách từmộtđiểmđếnmộtđườngthẳng

Khoảng cách từmộtđiểm M x ; y 0 0 đếnđườngthẳng : ax by c 0   cho công thức:

  0

0 2 2

ax by c d M ,

a b

 

 

 PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Viếtphương trình đườngthẳng 1 Phương pháp giải

 Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB biết A x ; y 1 1,B x ; y 2 2x1x , y2 1y2 là:

1

2

x x y y

  

 

(197)

Trang Đườngthẳng qua điểm M x ; y 0 0 có hệsố góc k có phương trình là: y k x x   0y0

Viếtphương trình đường trung trựccủađoạn AB biết A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

Đường trung trực đoạn AB qua trung điểm I x1 x2;y1 y2 AB nhận

2

 

 

 

 

, làm vectơ pháp tuyến

 2 1 AB x x ; y y



Viếtphương trình đường phân giác trong, phân giác tam giác

Cho đườngthẳngcắt nhau:  d : A x B y C1 1  1  10;  d : A x B y C2 2  2  2 0

Phương trình đường phân giác góc tạobởi đườngthẳngđó là:

1 1 2

2 2

1 2

A x B y C A x B y C

A B A B

     

 

Chú ý:

Nếu hai đườngthẳng song song với chúng có vectơ pháp tuyến vectơchỉphương

 Hai đườngthẳng vng góc với vectơchỉphươngcủađườngthẳng vectơ pháp tuyếncủa đườngthẳng ngượclại

 Cho   : Ax By C 0   A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

A B nằmvề phía đốivới  Ax1By1C Ax 2By2C0

A B nằm khác phía đốivới  Ax1By1C Ax 2By2C0

Ví dụ 1:Lậpphương trình tham sốcủađườngthẳng qua  M 2;1  có vectơchỉphương u  3;7

A. : x 3t B. C. D.

y 7t       



x 3t :

y 7t       



x 3t :

y 7t    

     

x 3t :

y 7t       



Hướngdẫn

đi qua có vectơchỉphương nên phương trình tham số có dạng:

 M 2;1  u  3;7

x 3t

:

y 7t   

   

 t

Chọn A



Ví dụ 2:Phương trình đườngthẳngđi qua A 1;3  có vectơ pháp tuyến n 3; 2  là:

A. 3x 2y 0   B.  3x 2y 0  C. 3x 2y 0   D. 3x 2y 0  

Hướngdẫn

Phương trình đườngthẳng có dạng: x 1   2 y 3   3x 2y 0  

Chọn C



Ví dụ 3:Viếtphương trình tổng quát củađườngthẳngđi qua điểm A 3; 1   B 1;5 

A. 3x y 0   B. 3x y 0   C.  x 3y 0  D. 3x y 10 0  

(198)

Trang

Hướngdẫn

Đườngthẳngđi qua điểmnhậnvectơ AB 2;6  vectơchỉphương suy đườngthẳng có vectơ pháp

tuyến n    6; 2 3;1

Vậyphương trình đườngthẳng là: 3x y 0  

Chọn B



Ví dụ 4: Cho điểm A 1;7 ,B 7;5  Viếtphương trình đườngtắc trung trựccủađoạnthẳng AB

A. x y B. C. D.

3

   

x y

1

   x y

1

   

x y

1

    Hướngdẫn

Đường trung trựccủa AB đườngthẳngđi qua trung điểmcủa AB vng góc với AB Ta có I 4;6  trung điểmcủa AB

suy vectơchỉphươngcủađườngthẳng  

AB 6; 2  u    2;6 2 1;3

Vậyphương trình đườngthẳng là: x y

1

   Chọn B



Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A 2;0 ,B 0;3 ,C 3;1  Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình:

A. 5x y 0   B. 5x y 0   C. x 5y 15 0   D. x 5y 15 0  

Hướngdẫn

Gọi  d đườngthẳngcần tìm Do  d song song với AC nên nhận AC 5;1  làm vectơchỉphương

Suy n 1; 5   vectơ pháp tuyếncủa  d

có phương trình:

 d x 0   5 y 3    x 5y 15 0  Chọn D



Ví dụ 6:Lậpphương trình đường thẳngđi qua điểm M 5; 3   cắt hai trụctọađộtại hai điểm A B cho M trung điểmcủa AB

A. 3x 5y 30 0   B. 3x 5y 30 0   C. 5x 3y 34 0   D. 5x 3y 34 0  

Hướngdẫn Gọi A Ox A x ;0 A ;B Oy B 0; y B

Ta có M trung điểm AB A B M A

A B M B

x x 2x x 10

y y 2y y

  

 

 

   

 

Suy  AB : x y 3x 5y 30

106     

Chọn A



(199)

Trang

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x y 0   ; AC : 7x y 0   ; Viếtphương trình đường phân giác góc A tam giác ABC

BC :10x y 19 0  

A. 12x 4y 0   B. 2x 6y 0   C. 2x 6y 0   D. 2x 6y 0  

Hướngdẫn

Do B AB BC  nên tọađộcủa B nghiệmcủahệphương trình:  

x y x

B 2;

10x y 19 y

   

 

  

      

 

Do C AC BC  nên tọađộcủa C nghiệmcủahệphương trình:  

7x y x

C 1;9

10x y 19 y

   

 

 

     

 

Phương trình đường phân giác góc A là:  

   

2 2

2

2x 6y d

x y 7x y

12x 4y d

1 7 1

   

   

   

  

   

Xét  d : 2x 6y 01    ta có:2xB6yB7 2x C6yC70 Suy B, C nằm khác phía so với phía so d1 với d2

Vậyphương trình đường phân giác góc A là:  d : 2x 6y 01   

Chọn B



Ví dụ 8: Đường thẳng d qua M 1; 5   cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = 2OB Viết phương trình đườngthẳng d

A. x 2y 11 0   x 2y 0   B. x y 0   x y 0  

C. x 2y 11 0   x y 0   D. x y 0   x 2y 0  

Hướngdẫn

Cách 1: Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc.

Gọiα góc giữađườngthẳng d trục Ox

Do tam giác OAB vuông O nên ta có: tan BAO OB

OA

 

Trườnghợp 1: BAO 180 tan

2

       

Đường thẳng d có hệ số góc qua nên có phương trình là:

2

 M 1; 5  

 

1

y x x 2y 11

2

       

Trườnghợp 2: BAO tan

2

    

(200)

Trang

Đường thẳng d có hệ số góc qua nên có phương trình là:

2 M 1; 5  

 

1

y x x 2y

2

      

Cách 2: Sử dụng phương trình đoạn chắn.

Giảsử A a;0 ,B 0; b ab 0 ;  phương trình đườngthẳng AB là: x y bx ay ab (1)

a   b   

Do OA = 2OB nên a b a 2b a 2b

 

  

  

Trườnghợp 1: Nếu a = 2b ta có (1) bx 2by 2b    0 x 2y 2b 0  (2) Do M 1; 5   nằm d nên  1 5  2b 0 2b 11

Thay vào (2) ta đượcphương trình đườngthẳng d là: x 2y 11 0  

Trườnghợp 2: Nếu a 2b ta có (1) bx 2by 2b    0 x 2y 2b 0  (3) Do M 1; 5   nằm đườngthẳng d nên  1 5  2b 0 2b 9

Thay vào (3) ta đượcphương trình đườngthẳng d là: x 2y 0  

Chọn A



Câu 1.Đường thẳng qua A 1; 2 , nhận n 2; 4  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

A. x 2y 0   B. x y 0   C.  x 2y 0  D. x 2y 0  

Câu 2.Phương trình đườngthẳng qua A 5;1  song song với  d : x y 0   là:

A. 3x 2y 0   B. x y 0   C. 3x 2y 0  D. 3x 2y 0 

Câu 3.Phương trình đườngthẳng qua B 2;1  vng góc với  d : x 2y 0   là:

A. 3x 2y 0   B. 2x y 0   C. x 2y 0  D. 2x y 0  

Câu 4.Viếtphương trình tham sốcủađườngthẳngđi qua điểm A 3; 1   B 1;5 

A. x t B. C. D.

y 3t   

    

x t y 3t

  

    

x t y 3t

      

x t y 3t

  

    

Câu 5. Cho tam giác ABC có A 2; 1  ,B 1;3 ,C 6;1  Viết phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC

A. x y 0   B. 5x 3y 0   C. 3x 3y 0   D. x y 0  

Đáp án

Dạng 2: Vị trí tươngđốicủa hai đườngthẳng 1 Ví dụ minh họa

1 – D – B – D – A – D

Định dạng
Số trang	362
Dung lượng	48,73 MB