Bài 1.44. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác gồm 3 người sao cho có cả nam lẫn nữ và có cả nhà toán học lẫn vật lý. Một nhóm có 3 học sinh giỏi, 4 học sinh khá và 3 học sinh tru[r]
(1)Tổ hợp - Xác suất Huỳnh Văn Quy
(2)(3)1 CÁC BÀI TỐN ĐẾM
1.1 Bài tốn số học
1.2 Bài toán chọn người, xếp người 14
1.3 Bài toán chọn thẻ, chọn bi 20
1.4 Bài tốn có yếu tố hình học 21
1.5 Bài toán tập hợp 22
2 XÁC SUẤT 25 2.1 Bài toán số 25
2.2 Bài toán chọn bi 27
2.3 Bài toán chọn người 29
(4)Lời nói đầu
(5)CÁC BÀI TỐN ĐẾM
1.1 Bài toán số học
Bài 1.1.Từ bảy chữ số0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn, số có năm chữ số khác
Gợi ý: Chia trường hợp Có 1260 số
Bài 1.2.Cho số 1,2,5,7,8 Có cách lập số gồm chữ số khác từ chữ số cho:
1 Số tạo thành số chẵn
2 Số tạo thành chữ số
3 Số tạo thành nhỏ 278
Gợi ý: Có cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có2.4.3 = 24 số chẵn
2 Chỉ chọn số 1,2,5,8 có4.3.2 = 𝐴34 = 24 số khơng có số
(6)Bài 1.3.Cho 10 chữ số 0,1,2, ,9 Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 số trên?
Gợi ý: Chữ số cuối (hàng đơn vị) chọn từ 1, 3, 5, 7, Chữ số (hàng triệu) chọn từ 1, 2, 3, 4, Còn chữ số chọn từ chữ số lại: có 𝐴48 = 1680 cách Nếu chữ số cuối chọn từ (2 cách chọn) chữ số có cách chọn Vậy có 2.5.1680 = 16800 cách chọn Nếu chữ số cuối chọn từ 1,3,5 (3 cách chọn) chữ số cuối có cách chọn Vậy có3.4.1680 = 20160cách chọn
Vậy có tất 16800 + 20160 = 36960 số
Bài 1.4.Cho chữ số0; 2; 4; 5; 6; 8;
1 Có thể lập số có chữ số mà số chữ số khác
2 Có thể lập số có chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số
Gợi ý: Chữ số hàng trăm phải khác 0, nên có cách chọn, số cịn lại có 6.5 = 30 cách chọn Vậy có6.6.5 = 180 số
2 Chữ số hàng ngàn phải khác 0:
∙ Nếu chữ số hàng nghìn số cịn lại có𝐴36120cách chọn, có1.120 = 120 số
∙ Nếu chữ số hàng nghìn 4, 6, 8, có cách chọn Ba số cịn lại có số có cách chọn số cịn lại có𝐴2
5 = 20cách chọn, có5.1.20 = 100
số
Vậy có tất 120 + 100 = 220 số
(7)a) Có chữ số thiết có mặt chữ số
b) Chia hết cho có chữ số khác
c) Có chữ số khác mà ba chữ số
d) Có chữ số khác cho có chữ số chẵn ba chữ số lẻ
e) Có chữ số khác cho tổng chữ số số lẻ
f) Chẵn, có bốn chữ số khác lớn 2009
g) Có chữ số khác cho tổng chữ số số chẵn
h) Có 10 chữ số khác mà cạnh
i) Có chữ số mà chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước
j) Có chữ số khác khơng bắt đầu 207
k) chẵn, có chữ số khác thuộc khoảng(20000; 70000)
l) Có chữ số khác mà không đứng cạnh
m) Có chữ số tổng chữ số
n) Có chữ số khác mà không đồng thời có mặt
o) Có 12 chữ số dó xuất hai lần, cịn chữ số khác xuất lần
Bài 1.6.Cho tập hợp𝐴={1,2,3,4,5,6,7,8}
(8)b) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập 𝐴 không bắt đầu 123
Bài 1.7.Cho tập 𝑋 = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số𝑛 gồm chữ số khác đôi từ𝑋 (chữ số phải khác 0) trường hợp sau:
a) 𝑛 số chẵn
b) Một ba chữ số phải
Bài 1.8.Người ta viết chữ số0,1,2,3,4,5 lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng
1 Có số lẻ gồm chữ số thành?
2 Có số chẵn gồm chữ số thành?
Bài 1.9.(Học viện BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt chữ số
Bài 1.10.(ĐHQG Hà Nội 2000) Từ chữ số0,1,3,5,7có thể lập số gồm chữ số khác không chia hết cho 5?
Bài 1.11.(Đại học Huế 2000) Cho chữ số 0,1,2,3,4,5 Từ chữ số cho ta lập được:
1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đơi
2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đơi
(9)Bài 1.12.(Đại học Cần Thơ, khối D, 2000) Với chữ số1,2,3,4,5,6 ta lập số mà số có năm chữ số chữ số khác đơi Hỏi:
1 Có số phải có mặt chữ số
2 Có số phải có mặt hai chữ số
Bài 1.13.(ĐH Thái Nguyên 2000) Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ
Bài 1.14.(ĐH Thái Nguyên, khối D, 2000) Từ chữ số 2,3,4 tạo nhiêu số tự nhiên gồm có chữ số, phải có mặt đủ chữ số
Bài 1.15.(ĐH sư phạm Vinh, 2000) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước
Bài 1.16.(ĐH Cảnh sát Nhân dân khối G, 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9?
Bài 1.17.(ĐH Cảnh sát Nhân dân khối G phân ban, 2000) Có số lẻ gồm chữ số khác nhỏ 500000?
Bài 1.18.Từ chữ số đến hỏi lập số chẵn có chữ số khác không lớn 789?
Gợi ý: Gọi 𝑋 =𝑎𝑏𝑐 số phải lập Ta xét trường hợp: 𝑎=
∙ Nếu 𝑏 lẻ 𝑏 có cách chọn, 𝑐chẵn nên có cách Vậy trường hợp có3.4 = 12 số
∙ Nếu 𝑏 chẵn 𝑏 có cách chọn, 𝑐chẵn nên 𝑐 có cách chọn Vậy có 4.3 = 12số
(10)2 𝑎 <7⇒𝑎∈ {1,2,3,4,5,6}
∙ Nếu 𝑎 chẵn 𝑎 có cách chọn, 𝑐chẵn nên 𝑐 có cách chọn, 𝑏 có cách có3.3.7 = 63số
∙ Nếu 𝑎 lẻ 𝑎 có cách chọn, 𝑐chẵn nên 𝑐 có cách, 𝑏 có cách Vậy có 3.4.7 = 84 số
Vậy trường hợp có 63 + 84 = 147số
Tóm lại có 151 số
Bài 1.19 (ĐH An ninh khối D 2001) Cho chữ số 0,1,2,3,4 Hỏi thành lập số có chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, cịn chữ số khác có mặt lần
Bài 1.20.(ĐH Quốc gia TP HCM 2001)
1 Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau, có mặt chữ số khơng có mặt chữ số
2 Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần
Bài 1.21.(CĐ Tài - hải quan khối A 2006) Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có măt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt? Bài 1.22.(CĐSP Nha Trang 2000) Với số: 0, 1, 2, 3, 4,5 lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số
(11)Bài 1.24.(ĐH kinh tế quốc dân 2001) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số
Bài 1.25.Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có hai chữ số
Bài 1.26.(ĐH Huế 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần?
Bài 1.27.(Học viện Ngân hàng TP HCM 2001)
1 Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một?
2 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 lập số chẵn có chữ số đôi khác nhau?
Bài 1.28.(ĐH ngoại thương TP HCM 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh nhau?
Bài 1.29.(HV quan hệ quốc tế 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số mà chữ số đứng vị trí giữa?
Gợi ý: Số số có chữ số tạo số hoán vị phần tử nên là𝑃9 = 9! = 362880 số
Số số có chữ số khác mà số đứng số hốn vị phần tử nên là𝑃8 = 8! = 40320 số
Bài 1.30.(ĐHSP Hà Nội 2, năm 2001) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7,
(12)Gợi ý: Số số có chữ số lập 6! = 720(số)
Ta thấy số 𝑋 lập tồn số 𝑋′ số lập để𝑋+𝑋′ = 777777
Vậy tổng số lập là: 360.777777 = 279999720 (số)
Bài 1.32.Từ số 0,1,3,4,6,7 Ta lập số có chữ số khác Hỏi lập số? Tính tổng tất số
Gợi ý: Gọi 𝑋 =𝑎𝑏𝑐𝑑 số lập
Số cách chọn 𝑎 5, số cách chọn số 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝐴3
Vậy số số lập là:5×𝐴3
5 = 5× 5!
2! = 300 (số)
Ta cộng số lập theo cột:
+) Ở cột đơn vị: số có mặt 𝐴35 lần; số có mặt 4.𝐴24 lần Các số3,4,6,7 có mặt4.𝐴24 lần
Tổng số cột đơn vị là:(1 + + + + 7).4.𝐴2
4 = 84.12 = 1008
Tương tự tổng cột hàng chục, hàng trăm 1008 Ở cột hàng nghìn: số lần xuất số1,3,4,6,7là 𝐴3
5 lần
Do tổng cột hàng nghìn (1 + + + + 7).𝐴3
5 = 1260
Vậy tổng số lập là:1260 + 1008(100 + 10 + 1) = 1371888
Bài 1.33.(CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất số
Bài 1.34.Có ba nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn đôi khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên nói
Gợi ý: Mỗi số ứng với hoán vị phần tử5,6,7,8,9 Vậy só𝑃5 = 1.2.3.4.5 = 120 số
Sự xuất chữ số 5,6,7,8,9ở hàng (đơn vị, chục, trăm, ) nhau, nên tổng tất chữ số hàng 120 số là: (5 + + + + 9)· 120
5 = 840
Suy tổng 120 số
(13)Bài 1.35.(ĐH Thái Nguyên khối D năm 2001)
1 Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4,
2 Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ 345
Bài 1.36.(ĐH Y Hà Nội 2001) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789
Bài 1.37.(ĐH khối A dự bị 2003) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số
Bài 1.38.(ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị
Bài 1.39.(ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau?
Bài 1.40.(CĐ xây dựng số - 2002) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245
(14)1.2 Bài toán chọn người, xếp người
Bài 1.43.Trong buổi liên hoan có cặp nam nữ, có cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn người cho khơng có cặp vợ chồng
Bài 1.44.Có nhà tốn học nam, nhà tốn học nữ nhà vật lí nam Hỏi có cách lập đồn cơng tác gồm người cho có nam lẫn nữ có nhà tốn học lẫn vật lý Bài 1.45.Một nhóm có học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình Hỏi có cách chọn học sinh cho:
a) Khơng có học sinh trung bình
b) Mỗi loại học sinh có
Bài 1.46.Có 12 nam có anh A 12 nữ có chị B Chọn người với yêu cầu sau chọn phải có nam, nữ Hỏi có cách chọn:
a) Có anh A chị B
b) Khơng có anh A chị B
c) Anh A chị B khơng đồng thời có mặt
Bài 1.47.Từ nhóm có 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B học sinh khối C, ta chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tìm số cách chọn Bài 1.48.Một nhóm có 10 nam 14 nữ có cách chọn người cho:
a) Có nam
b) Có nữ
(15)d) Có nam, nữ
Bài 1.49.Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ chọn học sinh để lập tốp ca Hỏi có cách chọn
a) Tùy ý tốp ca
b) Có hai nữ
Bài 1.50.Trong chơi dã ngoại tổ học sinh, hai học sinh chụp với kiểu làm kỉ niệm Hỏi tổ học sinh có người, biết phim có 36 kiểu chụp
Bài 1.51.Có vận động viên bóng bàn tham dự giải đấu Trong vòng đầu ban tổ chức cần phân cặp đấu Hỏi có cách chia cặp
Bài 1.52.Một trường có học sinh khối mười hai, học sinh khối mười hai học sinh khối 10 học sinh xuất sắc Hỏi có cách chọn học sinh xuất sắc trường tham gia đồn đại biểu cho khối có học sinh Bài 1.53.(Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội niên tình nguyện gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện trền tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ
Bài 1.54.Một đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp 𝐴, học sinh lớp 𝐵 học sinh lớp𝐶
Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc khơng q lớp Hỏi có cách chọn vậy?
Gợi ý: 𝑛(Ω) =𝐶124 = 495
(16)sinh Chia trường hợp: (Lớp A có học sinh, lớp B học sinh, lớp C có học sinh; )
Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270
Số cách chọn phải tìm là: 495−270 = 225
Bài 1.55.(Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ
Gợi ý: Có 𝐶31.𝐶124 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ
Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ có𝐶1
2.𝐶84 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh
thứ hai
Với cách phân cơng tác niên tình nguyện tỉn thứ tỉnh thứ hai có𝐶11.𝐶44 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ ba
Số cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thỏa mãn yêu cầu toán là: 𝐶1
3.𝐶124 𝐶21.𝐶84.𝐶11.𝐶44 = 207900 cách
Bài 1.56.Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phả có đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu dễ khơng
Gợi ý: Chia trường hợp: Vd: TH1 có dễ+1TB+ khó: có 𝐶152 𝐶101 𝐶52 = 10500 (đề);
(17)Bài 1.57.Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè Hùng Vương cho khối có em chọn
Gợi ý: Số cách chọn học sinh từ 18 học sinh độ tuyển là: 𝐶8
18 = 43758cách
Số cách chọn học sinh gồm học sinh khối là:
∙ Số cách chọn học sinh khối 12 11 là: 𝐶138
∙ Số cách chọn học sinh khối 11 10 𝐶118
∙ Số cách chọn học sinh khối 10 12 𝐶8 12
Số cách chọn theo yêu cầu toán:43758−(𝐶8
13+𝐶118 +𝐶128 ) =
41811 cách
Bài 1.58.(HV Kỹ thuật quân 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm 𝐴, người địa điểm 𝐵, cịn người trực đồn Hỏi có cách phân cơng?
Bài 1.59.Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị Hội niên trường cho người phải có cán lớp Bài 1.60.(CĐSP Mẫu giáo TW1 2000) Một lớp học mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trị chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn?
(18)1 Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ nhau,
2 Có cách chọn người mà khơng có q nam
Bài 1.63.Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mitting trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn?
Bài 1.64.(HV Kĩ thuật quân 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh
Bài 1.65.(ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác "Mùa hè xanh" Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất:
1 Hai học sinh nữ hai học sinh nam
2 Một học sinh nữ học sinh nam
Bài 1.66.(ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn
Bài 1.67.(ĐH khối B 2003 dự bị ) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy?
Bài 1.68.Có học sinh gồm nam nữ ngồi vào ghế theo dãy Hỏi có cách xếp nếu:
(19)b) Nếu nữ muốn ngồi gần nhau?
c) Nếu nữ muốn ngồi gần nam muốn ngồi gần
Gợi ý: a) Số cách xếp bạn học sinh vào ghế số hoán vị phần tử nên là𝑃5 = 5! = 120 cách
b) Chưa xét thứ tự nam nữ để nữ gần ta có cách xếp
Trong cách xếp: số cách xếp nữ 2!, số cách xếp nam là3! Vậy số cách xếp 48 cách
c) Chưa xét thứ tự nam nữ để nữ gần nam gần ta có cách xếp
Số cách xếp là: 2.3!.2! = 24 cách
Bài 1.69.[Đại học hàng hải 1999] Có cách xếp năm bạn học sinh 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 vào ghế dài cho:
1 Bạn 𝐶 ngồi
2 Hai bạn 𝐴 𝐸 ngồi hai đầu ghế
Bài 1.70 Có cách xếp vị trí cho học sinh nam học sinh nữ vào bàn tròn cho:
a) học sinh nữ ngồi cạnh
b) khơng có học sinh nữ cạnh
Bài 1.71.Có em nam em nữ Hỏi có cách xếp em theo hàng dọc cho:
1 hai em nữ khơng có em nam
(20)Bài 1.72.(ĐH Nông nghiệp HN 2001) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới)
1.3 Bài toán chọn thẻ, chọn bi
Bài 1.73.Một hộp có bi xanh, bi trắng bi vàng Chọn ngẫu nhiên bi Tính số khả khơng có đủ màu
Bài 1.74.Một hộp có𝑛bi xanh và𝑛 bi đỏ khác Hỏi có cách chọn 𝑛 bi từ hộp
Bài 1.75.Có cách chia viên bi khác cho người cho người có viên bi, hai người lại người có viên bi
Bài 1.76.Có cách chia viên bi khác cho người cho người có bi
Bài 1.77.Có bi xanh giống nhau, bi trắng giống bi vàng khác Hỏi có cách xếp số bi vào 12 ô theo hàng dọc cho có bi
Bài 1.78.Có cách xếp 10 viên bi khác vào hộp khác mà hộp:
1 khơng có viên bi
2 có viên bi
3 có viên bi
Bài 1.79.Có cách chia viên bi khác cho người cho người có viên bi
(21)1 Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ
2 Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ
Bài 1.81.(Đại học Huế, 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy khơng có đủ màu
Bài 1.82.(Học viện quân y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên xanh giống vào dãy ô trống Hỏi:
1 Có cách xếp khác nhau?
2 Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau?
1.4 Bài tốn có yếu tố hình học
Bài 1.83.Có cách chọn sách từ sách tốn, sách lý sách hóa cho loại có
Bài 1.84.Thầy giáo có 12 sách khác nhau, có văn học, âm nhạc hội họa Ông lấy tặng cho học sinh, người Hỏi có cách tặng nếu:
1 Thầy giáo tặng sách văn học âm nhạc
2 Sau tặng xong, loại cịn
(22)Bài 1.86.Cho tam giác𝐴𝐵𝐶 Xét tập hợp𝑇 gồm đường thẳng song song với 𝐵𝐶, đường thẳng song song với 𝐴𝐶 đường thẳng song song với 𝐴𝐵 Hỏi đường thẳng tập hợp 𝑇 tạo thành hình bình hành, hình thang? Bài 1.87.Trên cạnh 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 hình vng 𝐴𝐵𝐶𝐷 cho 1,2,3, 𝑛 điểm khác đỉnh 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 Tìm 𝑛 biết số tam giác có đỉnh chọn từ 𝑛+ điểm cho 439
Bài 1.88.Cho hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 song song với Trên 𝑎 chọn 10 điểm phân biệt 𝑏 chọn 𝑛 điểm phân biệt Tìm 𝑛 biết số tam giác tạo thành từ điểm cho 2800 Bài 1.89.(CĐ sư phạm khối A 2002)
1 Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt
2 Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói
Bài 1.90.(CĐ sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi 𝑛 cạnh Xác định𝑛 để đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Bài 1.91.Cho hai đường thẳng 𝑑1, 𝑑2 song song với
đường thẳng 𝑑1 cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng 𝑑2 cho
8 điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm cho
1.5 Bài toán tập hợp
(23)a) khác rỗng
b) Có không 𝑛 phần tử
Bài 1.93.Cho 𝐴 tập có 20 phần tử
1 Có tập hợp 𝐴?
(24)(25)XÁC SUẤT
2.1 Bài toán số
Bài 2.1.Gọi 𝑆 tập hợp số tự nhiên có hai chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp 𝑆 Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng đơn vị hàng chục chữ số chẵn
Gợi ý: Gọi𝑆 tập hợp số tự nhiên có hai chữ số Chọn ngẫu nhiên
Số phần tử tập hợp 𝑆 90
Gọi 𝑎𝑏 số tự nhiên có hai chữ số mà 𝑎, 𝑏đều số chẵn Ta có: 𝑎∈ {2; 4; 6; 8},𝑏 ∈0; 2; 4; 6; Suy ta có 4.5 = 20 số 𝑎𝑏
Bài 2.2.Gọi 𝑀 tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ 𝑀, tính xác suất để số chọn có chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước liền sau chữ số chữ số lẻ)
Gợi ý: Xét số có chữ số khác nhau:
∙ Có cách chọn chữ số vị trí
(26)Do số số có chữ số khác là: 9.𝐴89 = 3265920 Xét số thỏa mãn đề bài:
∙ Có 𝐶4
5 cách chọn chữ số lẻ
∙ Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, chữ số khơng thể đứng đầu đứng cuối nên có cách xếp
∙ Tiếp theo ta có 𝐴2
4 cách chọn xếp hai chữ số lẻ đứng hai
bên chữ số
∙ Cuối ta có 6!cách xếp chữ số cịn lại vào vị trí cịn lại
Gọi 𝐴 biến cố cho, 𝑛(𝐴) =𝐶4
5.7.𝐴24.6! = 302400
Vậy xác suất cần tìm là:𝑃(𝐴) = 302400 3265920 =
5 54
Bài 2.3.Gọi 𝑆 tập hợp ước số nguyên dương số 43200 Chọn ngẫu nhiên số 𝑆 Tính xác suất chọn số khơng chia hết cho
Gợi ý: Ta có: 43200 = 26.33.52.
Mỗi ước nguyên dương số43200là có dạng2𝑖.3𝑗.5𝑘, trong đó𝑖∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};𝑗 ∈ {0; 1; 2; 3}; 𝑘 ∈ {0; 1; 2}
Số ước nguyên dương số bộ(𝑖;𝑗;𝑘)được chọn từ tập Suy số cách chọn bộ(𝑖;𝑗;𝑘)từ tập là𝐶4
7.𝐶41.𝐶31 = 7.4.3 =
84cách
Vậy số phần tử 𝑆 84
Số ước 43200 không chia hết cho tập 𝑆 số cách chọn (𝑖;𝑗; 0) từ tập suy số ước 43200 không chia hết cho tập 𝑆 là𝐶1
7.𝐶41 = 7.4 = 28
Từ ta có chọn số 𝑆 không chia hết cho có 28 cách chọn
(27)Bài 2.4.(Đề thi ĐH khối A năm 2013) Gọi 𝑆 tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử 𝑆 Chọn ngẫu nhiên số từ 𝑆, tính xác suất để số chọn số chẵn
2.2 Bài toán chọn bi
Bài 2.5.Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để số bi chọn không đủ ba màu
Gợi ý: Số cách chọn ngẫu nhiên bi từ số bi hộp là:𝐶184 = 3060
Số cách chọn bi đủ ba màu từ số bi hộp là:
𝐶52𝐶61𝐶71 +𝐶51𝐶62𝐶71+𝐶51𝐶61𝐶72 Số cách chọn viên bi để đủ màu là:
𝐶184 −(︀
𝐶52𝐶61𝐶71+𝐶51𝐶62𝐶71+𝐶51𝐶61𝐶72)︀= 1485 Vậy xác suất để số bi chọn khơng có đủ màu là:
𝐶4
18−(𝐶52𝐶61𝐶71+𝐶51𝐶62𝐶71+𝐶51𝐶61𝐶72)
𝐶4 18
= 33
68 ≃48.53% Bài 2.6.Một bình đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng Lẫy ngẫu nhiên từ bình viên bi Tính xác suất để lấy viên bi có đủ màu
Gợi ý: Số phần tử không gian mẫu (số kết xảy ra): 𝐶93
Số cách chọn ba viên bi có đủ màu: 4.3.2 = 24 Do xác suất cần tính là: 𝑃 = 24
(28)Bài 2.7.Một hộp đựng bi xanh, bi đỏ bi vàng Lẫy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất để bi lấy có đủ màu, đồng thời số bi xanh số bi đỏ
Gợi ý: Có 𝐶5
12 = 792cách chọn bi từ hộp 12 bi Do đó:𝑛(Ω) =
792
Gọi𝑋 biến cố: "Trong bi lấy có đủ ba màu, đồng thời số bi xanh số bi đỏ nhau." Ta có trường hợp sau:
∙ TH1: 1X, 1Đ, 3V: có 𝐶31.𝐶41.𝐶53 = 120 cách chọn
∙ TH2: 2X, 2Đ, 1V: có 𝐶2
3.𝐶42.𝐶51 = 90 cách chọn
Suy ra: 𝑛(Ω) = 120 + 90 = 210 Vậy 𝑃(𝑋) = 𝑛(𝑋)
𝑛(Ω) = 35 132
Bài 2.8.Một hộp đựng bi trắng, bi đỏ bi xanh Chọn ngẫu nhiên bi Tính xác suất để chọn được:
a) bi trắng, bi đỏ bi xanh
b) bi xanh
c) loại bi
(29)2.3 Bài toán chọn người
Bài 2.11.Một chi Đồn có 15 Đồn viên có nam nữ Người ta chọn người chi đồn để lập đội niên tình nguyện Tính xác suất để người chọn có nữ
Gợi ý: Số phần tử không gian mẫu là:|Ω|=𝐶4
15 = 1365
Gọi 𝐴 biến cố: "trong người chọn có nữ" Số kết thuận lợi biến cố𝐴 là: 𝑛(𝐴) = 𝐶154 −𝐶74 = 1330 Vậy xác suất cần tính là𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)
𝑛(Ω) = 1330 1365 =
38 39
Bài 2.12.Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ
Gợi ý: 𝑛(Ω) =𝐶3
11= 165
Số cách chọn học sinh có nam nữ là:𝐶2
5.𝐶61+𝐶51.𝐶62 = 135
Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ là: 135
165 = 11
Bài 2.13 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh gồm học sinh lớp 𝐴, học sinh lớp 𝐵 học sinh lớp 𝐶 Chọn ngẫu nhiên học sinh làm nhiệm vụ Tính xác suất để học sinh chọn không lớp
Gợi ý: Số cách chọn học sinh có 12 học sinh là:𝐶4
12 = 495
cách
Số cách chọn học sinh mà khơng có học sinh lớp gồm: TH1: Chỉ có học sinh lớp A: có 𝐶45 cách
(30)TH3: Có học sinh lớp A có học sinh lớp B:𝐶94−𝐶54−𝐶44 cách TH4: Có học sinh lớp A có học sinh lớp C:𝐶4
8 −𝐶54 cách
TH4: Có học sinh lớp B có học sinh lớp C: 𝐶4
7 −𝐶44 cách
Tóm lại có:𝐶4
9 +𝐶84+𝐶74 −𝐶54−𝐶44 = 225 cách
Vậy xác suất cần tính là: 225 495 =
5 11
Bài 2.14.[bài tập] Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có người tham gia, có hai bạn Việt Nam Các vận động viên chia làm hai bảng 𝐴 𝐵, bảng gồm người Giả sử việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để hai bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu
Bài 2.15.Giải bóng chuyền VTV cup gồm đội bóng tham dự, có đội nước ngồi đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng A, B, C, bảng đội Tính xác suất để đội bóng Việt Nam ba bảng khác
Gợi ý: Số phần tử không gian mẫu là: 𝑛(Ω) = 𝐶3
9.𝐶63.𝐶33 =
1680
Gọi𝐴là biến cố "3 đội bóng Việt Nam ba bảng khác nhau" Số kết thuận lợi cho biến cố 𝐴 là𝑛(𝐴) = 3!.𝐶2
6.𝐶42.𝐶22 = 540
Vậy xác suất cần tính là:𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(Ω) =
540 1680 =
9 28
Bài 2.16.Trong lớp có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Nhà trường cần chọn học sinh để thành lập tổ cơng tác tình nguyện Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ
Gợi ý: Số phần tử không gian mẫu: 𝑛(Ω) =𝐶4
25= 12650
Gọi 𝐴 biến cố để học sinh chọn có nam nữ Khi đó:
(31)Vậy xác suất để học sinh chọn có nam nữ là𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)
𝑛(Ω) = 443 506
Bài 2.17 Một lớp học có 33 học sinh, có 10 học sinh giỏi, 11 học sinh 12 học sinh trung bình Chọn ngẫu nhiên lớp học học sinh tham dự trại hè Tính xác suất để nhóm học sinh chọn có đủ học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình
Gợi ý: Gọi 𝐴 biến cố: "4 học sinh chọn có đủ học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình"
Số phần tử không gian mẫu: 𝑛(Ω) =𝐶4
33= 40920
Ta có trường hợp lựa chọn sau:
a) Có học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình Số cách chọn là: 𝐶102 𝐶111 𝐶121 = 5940
b) Có học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình Số cách chọn là: 𝐶101 𝐶112 𝐶121 = 6600
c) Có học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình Số cách chọn là: 𝐶1
10.𝐶111 𝐶122 = 7260
Ta 𝑛(𝐴) = 5940 + 6600 + 7260 = 19800 Do đó: 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)
𝑛(Ω) = 15 31
Bài 2.18.Một đội công tác xã hội có nam nữ, có nam nữ thuộc tỉnh𝐴, nam nữ thuộc tỉnh 𝐵, nam nữ thuộc tỉnh𝐶 Chọn ngẫu nhiên người từ đội công tác xã hội Tính xác suất để chọn tỉnh người gồm nam nữ
(32)a) bước lên toa
b) bước lên toa
c) bước lên toa
2.4 Bài toán kiểm tra
Bài 2.20.Trong kì thi TN THPT, Bình làm đề thi trắc nghiệm mơn Hóa học Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời, có phương án đúng; trả lời câu 0,2 điểm Bình trả lời hết câu hỏi chắn 45 câu; câu lại Bình chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để điểm thi mơn Hóa học Bình khơng 9,5 điểm
Gợi ý: Bạn Bình khơng 9,5 điểm câu trả lời ngẫu nhiên Bình trả lời câu
Xác suất trả lời câu hỏi 0,25, trả lời sai 0,75 Xác suất Bình trả lời câu câu là𝐶3
5.(0,25)3.(0,75)2;
Xác suất Bình trả lời câu câu 𝐶4
5.(0,25)4.(0,75);
Xác suất Bình trả lời câu câu 𝐶5
5.(0,25)5;
Vậy xác suất Bình khơng 9,5 điểm là:
(33)Gợi ý: Ta có: 𝑛(Ω) =𝐶3
40= 9880
Gọi 𝐴 biến cố có câu hỏi đề thi nằm số 20 câu hỏi mà học sinh học
TH1: Trong đề thi có câu hỏi mà học sinh học: có𝐶202 𝐶201 cách
TH2: Trong đề thi có câu hỏi mà học sinh học: có𝐶3 20
cách
⇒𝑛(𝐴) = 𝐶2
20𝐶201 +𝐶203 = 1330
Vậy xác suất cần tìm là:𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(Ω) =
1330 9880 =
7 52
Bài 2.22.Trong cụm thi để xét cơng nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi mơn có mơn bắt buộc Tốn, Văn, Ngoại ngữ mơn thí sinh tự chọn số mơn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, 10 học sinh chọn mơn vật lí 20 học sinh chọn mơn Hóa học Lấy ngẫu nhiên học sinh trường X, tính xác suất để học sinh ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học
Gợi ý: Số phần tử không gian mẫu là:𝑛(Ω) =𝐶403
Gọi 𝐴 biến cố: "3 học sinh chọn ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học"
Số phần tử biến cố𝐴là:𝑛(𝐴) =𝐶1
10.𝐶202 +𝐶102 𝐶201 +𝐶201 𝐶101 𝐶101
Vậy xác suất để xảy biến cố 𝐴 là:
𝑃𝐴= 𝑛𝐴 𝑛Ω
= 𝐶
1
10.𝐶202 +𝐶102 𝐶201 +𝐶201 𝐶101 𝐶101
𝐶3 40
(34)Hãy nhớ:
Việc học thuyền ngược, không tiến lùi