MOT SO PHUONG PHÁP CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC .

Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẦU NGANG Đơn vị : TRƯỜNG THCS MỸ HÒA ===================== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Đề tài thuộc lĩnh vực chuyên môn: Toán Họ tên người thực hiện: Trần Thị Loan Phương Chức vụ: Giáo viên Sinh hoạt tổ chun mơn: Toán – Tin Mỹ Hịa, tháng 01/2021 Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức PHÒNG GD ĐT CẦU NGANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THCS MỸ HÒA Độc lập – Tự – Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Thời gian thực hiện: Từ ngày 30/09/2019 đến ngày 05/02/2021 Tác giả : Trần Thị Loan Phương Chức vụ : Tổ trưởng Tổ Tốn –Tin Bộ phận cơng tác : Tổ Tốn - Tin TỔ CHUYÊN MÔN HỘI ĐỒNG KHGD TRƯỜNG Nhận xét: Nhận xét: ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… Xếp loại:……… Xếp loại:……… Ngày… tháng… năm…… Ngày… tháng… năm…… Tổ trưởng Hiệu trưởng PHÒNG GD&ĐT CẦU NGANG Nhận xét: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Xếp loại ( Đạt, không đạt):……… Ngày… tháng… năm…… Trưởng phòng Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong trường phổ thông, môn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Bất đẳng thức mảng kiến thức khó rộng mơn Tốn nhờ tập bất đẳng thức mà học sinh hiểu kĩ hơn, sâu giải biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, mối liên hệ yếu tố tam giác trình giải toán khả tư sáng tạo người học phát triển mạnh Thực tế giải tập bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn cách giải chúng khơng hồn tồn có mẫu quy tắc số mảng kiến thức khác Trong kì thi tuyển chọn học sinh giỏi, bồi dưõng học sinh thi vào trường chuyên, thường bắt gặp dạng tốn Vì để giúp em khắc phục khó khăn đó, làm thế để nâng cao số lượng, chất lượng học sinh giỏi? Với suy nghĩ tơi chọn nghiên cứu đề tài: "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức" II/ Mục đích phương pháp nghiên cứu Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng toán “chứng minh bất đẳng thức” dạng tập vận dụng đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính logic ,chỉ phương pháp dạy học loại tập Đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Cụ thể : Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8, trường THCS Mỹ Hòa, - Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm + Phương pháp thực nghiệm III Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tìm cực trị tập vận dụng chương trình bồi giỏi học sinh mơn tốn lớp 8, IV Thời gian thực Chuyên đề thực từ ngày 30/09/2019 đến ngày 05/02/2021 B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Cơ sở lý luận Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải bất đẳng thức, Học Sinh tiết kiệm thời gian, giải gọn Bất đẳng thức kiến thức khó khơng thể thiếu vốn kiến thức học sinh phổ thông, học sinh giỏi Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích phát triển tinh thần say mê, thích thú học tốn II Cơ sở thực tiễn Hiện việc áp dụng lí thuyết vào giải tập học sinh yếu,chưa thật linh hoạt, nhạy bén Nguyên nhân em kiến thức lớp dưới, chưa có ý thức học tập tốt, không nắm vững kiến thức bản, nắm bắt kiến thức chậm, thiếu suy luận,…Chính học sinh thường gặp tốn bất đẳng thức mà khơng biết phải sử dụng phương pháp để chứng minh nên lúng túng biến đổi,tính tốn Để có sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức em cần nắm vững kiến thức bất đẳng thức Nếu khơng dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc nên tơi qút định tìm hiểu: “ phương pháp chứng minh bất đẳng thức” nhằm trang bị vững cho em giải tốn có liên quan đến tốn chứng minh bất đẳng thức Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức III Thực trạng mâu thuẩn a/ Thuận lợi : - Đa số học sinh ham học hỏi, tự tìm tịi kiến thức mới, kiến thức nâng cao, biết lời thầy b/ Khó khăn : Đối với học sinh giỏi giải tốn bất đẳng thức cịn gặp nhiều khó khăn như: - Khơng nắm kiến thức liên quan - Khơng có hướng để giải qút toán - Sử dụng sai kiến thức vào toán IV Các biện pháp giải vấn đề 1/ Mục tiêu biện pháp Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải dạng toán chứng minh bất đẳng thức Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó hơn.Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ chứng minh bất đẳng thức thế ? Cách giải sao? 2/ Nội dung phương pháp thực GV cần trang bị cho HS số kiến thức có liên quan sau: * Kiến thức cần nắm vững: A Định nghĩa: Cho hai số a b ta nói: a lớn b, kí hiệu a > b, nếu a – b > a nhỏ b, kí hiệu a < b, nếu a – b < B Các tính chất : a < b ⇔ b > a Tính chất bắt cầu: aa > b; b > c ⇒ a > c Liên hệ thứ tự phép cộng: aa > b ⇒ a + c > b + cc Cộng từng vế hai bất đẳng thức chiều: aa > b ; c > d ⇒ a + c > b + d (Chú ý không trừ vế hai bất đẳng thức chiều) Trừ hai bất đẳng thức ngược chiều: aa > b ; c < d ⇒ a – c > b – dd Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Tính chất đơn điệu phép nhân: a) Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương: aa > b ; c > ⇒ a.c > b.cc b) Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức : aa > b, c < ⇒ a.c < b.cc Nhân từng vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm : aa > b > ; c > d >0 ⇒ a.c > b.dd Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức : a > b > ⇒ an > bn a > b ⇔ an > bn với n lẻ a >b ⇔ an > bn với n chẵn So sánh hai luỹ thừa số với số mũ nguyên dương : Nếu m > n > : a > ⇒ am > an ; a = ⇒ am = an ; < a b ,ab > ⇒ < Chú ý: Ngoài bất đẳng thức chặt ,chẳng hạn a > b, ta gặp bất đẳng thức không chặt , chẳng hạn a ≥ b ( tức a > b a = b) Trong tính chất trên, nhiều dấu > (hoặc * + ≥ với ab > Bất đẳng thức Côsi : Dạng tổng quát: a+b ≥ ab (a, b ≥ 0, dấu “=” xảy a = b ≥ 0) ≥ , với a1, a2, ,an ≥ Bất đẳng thức Bunhiacốpxki – Côsi: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) (dấu “=” xảy = ; a, b, x, y ∈ R) Dạng tổng quát: (a1.b1 + a2.b2 + ………+ an.bn)2 ≤ (a12 + a22 + ………+ an2).(b12 + b22 + ………+ bn2) Bất đẳng thức Becnuli: (1+ α)n ≥ 1+ nα ( ∀α ≥ 0,∀n∈ N ,dấu “=” xảy n = ; n = 1hoặc α = ) Bất đẳng thức trung bình nhân , cộng, tồn phương: ≤≤ (a1;a2; ……;an ≥ 0, dấu “=” xảy a1 = a2 = ……… = an ≥ 0) 3)Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề: -Để học sinh vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngồi việc nắm vững lí thút ,các em phải nhớ dạng phương pháp thích hợp Học Sinh cần: o Học thuộc lòng phương pháp chứng minh bất đẳng thức o Biết phối hợp với số kiến thức khác o Kết hợp với biến đổi, tính tốn , rút gọn -Để học sinh có kết tốt học sinh cần nắm nội dung cách giải quyết số toán chứng minh bất đẳng thức sau: *10 PHƯƠNG PHÁP : Mỗi phương pháp có:1/ Phương pháp giải Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2/Ví dụ áp dụng 3/ Bài tập tương tự Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1 Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B xét A - B Nếu A - B dương khẳng định A > B bất đẳng thức cần chứng minh - Ta dùng đẳng thức, để phân tích đa thức hiệu thành nhân tử, thành luỹ thừa chẵn đa thức…… * Lưu ý: A2 ≥ với A; dấu “=” xảy A = 1.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: (Lớp 8) Chứng minh (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) ≥ -1 Giải: Ta có: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) – (-1) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + = (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6) + (*) Đặt x2 – 5x+5 = y ⇒ (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6)+1 = (y – 1)(y + 1) +1= y2 ≥ Suy (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) – (-1) ≥ Vậy (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) ≥ -1 Ví dụ 2: (Đề thi HSG lớp huyện Cầu Ngang năm học 2016- 2017 ) Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) 2 2 Xét hiệu: a + b + c + d + e − a ( b + c + d + e ) = a + b2 + c + d + e − ab − ac − ad − ae  a2  =  − ab + b ÷ +    a2 2 − ac + c  ÷+   2  a2 2 − ad + d  ÷+    a2 2 − ae + e  ÷   a  a  a  a  =  −b÷ + −c÷ + − d ÷ + −e÷ 2  2  2  2  2 2 a  a  a  a  Ta có:  − b ÷ +  − c ÷ +  − d ÷ +  − e ÷ ≥ ( ∀ a, b, c, d, e) 2  2  2  2  2 2 Suy a + b + c + d + e − a ( b + c + d + e ) ≥ 2 2 a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) Xảy dấu đẳng thức b = c = d = e = a 1.3 Bài tập áp dụng: Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Với số : x, y, z chứng minh : x + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) a2 + b2  a + b  ≥ Bài 2: Chứng minh bt đẳng thức    Bài 3: Cho a,b,c > chứng minh: a2 + b2 + c2 b2 c2 + a2 + c2 a ≥ 2 b+c a +b b c + c+a a+b + Phương pháp biến đổi tương đương: 2.1 Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi tương đương với bất đẳng thức khác mà ta biết từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 2.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: (Đề thi HSG lớp Tỉnh Trà Vinh năm học 2011- 2012 ) ( ) a2 + 11 a Chứng minh với số thực a dương, ta có + ≥ a +1 2a Giải: ( ) ( ) a2 + 11 a a a +1 + ≥ ⇔ − + − 5≥ a2 + 2a a2 + 2a ⇔ − ( a− 1) ( ) a +1 ( a− 1) ⇔ 2 + 5( a− 1) 2a ( a− 1) ≥ 0⇔ 2  5  a − a2 + 1÷ ≥   ( ) 2 a − 1) ( a− 1) + a + ( 5a2 − a+ ≥ 0⇔ ≥0 a a2 + a2 + ( ) ( ) Bất đẳng thức cuối nên toán chứng minh Đẳng thức xảy a = Ví dụ 2: (Đề thi HSG lớp huyện Cầu Ngang năm học 2016- 2017 ) Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) 2 2 Giải : a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) Trường THCS Mỹ Hòa ⇔ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2 a a a a − ab + b + − ac + c + − ad + d + − ae + e ≥ 4 4 2 2 a  a  a  a  ⇔  − b÷ +  − c÷ +  − d ÷ +  − e÷ ≥ 2  2  2  2  Bất đẳng thức cuối nên toán chứng minh a Dấu “=” xảy khi: b = c = d = e = 2.3 Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh với số thực a, b ta có: 2( a4 + b4 ) ≥ a3b + ab3 + 2a2b2 Bài 2: (Đề thi HSG lớp Tỉnh Trà Vinh năm học 2013- 2014 ) Cho hai số a, b không âm Chứng minh a+ 4b ≥ a3 + b3  a + b  ≥ Bài : Chứng minh bất đẳng thức :    16ab 1+ 4ab ; a > ; b > Bài 4: Cho số a, b thoả mãn a + b = CMR a3 + b3 + ab ≥ Phương pháp phản chứng: 3.1 Phương pháp giải: Nếu toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A ( A < B) ta giả sử A < B (hoặc A ≥ ≥ B B) Từ điều mà ta vừa giả sử với giả thiết toán ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết với kiến thức học Cuối ta khẳng định kết luận toán A ≥ B ( A < B) Giải gọi phương pháp phản chứng 3.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a2 + b2 ≤ Chứng minh: a + b ≤ Giải: Giả sử: a + b > ⇔ a2 + 2ab + b2 > (1) Ta có: (a - b)2 ≥ ⇔ a2 - 2ab + b2 ≥ ⇔ 2ab ≤ a2 + b2 ⇔ a2 + b2 + 2ab ≤ 2(a2 + b2) Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 ≤ ⇔ 2(a2 + b2) ≤ Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 10 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Suy ra: a + b + 2ab ≤ (2) mâu thuẫn với (1) Vậy phải có a + b ≤ 2 Ví dụ 2: (Đề thi HSG lớp Tỉnh Trà Vinh năm học 2010- 2011 ) Cho hai số dương x,y thỏa mãn x + y = x − y Chứng minh x + y < Giải Tõ gi¶ thiÕt ta cã x > y > Gi¶ sư x2 + y2 1, từ giả thiết ta suy ( ) x3 + y3 ≤ ( x − y) x2 + y2 ⇔ x3 + y3 ≤ x3 + xy2 − yx2 − y3 ( ) ⇔ xy2 − yx2 − 2y3 ≥ ⇔ y xy − x2 − 2y2 ≥ ( *) V×x > y > nªn x ( y − x) < ⇒ x ( y− x) − 2y3 < Do (*) không thểxảy Mâ u thẩn nµy chøng tá x2 + y2 < 3.3 Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thoả mãn ba bất đẳng thức sau : 1 a+ Bài 3: Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc: 4.1 Phương pháp giải: Để chứng minh bất đẳng thức ngồi cách giới thiệu ta sử dụng bất đẳng thức kinh điển Trong phạm vi chương trình THCS , tơi xin giới thiệu hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacốpxki để chứng minh bất đẳng thức khác a Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,….,an số khơng âm Khi ta có: a1 + a +  + a n n ≥ a1 a  a n n Dấu xảy ⇔ a1= a2 = …= an b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1,a2,…và b1,b2,…bn ta có: (a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 ≤ (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2) Dấu xẩy ⇔ a a1 a = = = n với quy ước nếu mẫu tử b1 b2 bn 4.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: (Đề thi HSG lớp huyện Cầu Ngang năm học 2018- 2019 ) Cho a,b,c số dương thỏa mãn abc = Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 11 Trường THCS Mỹ Hòa Chứng minh b+c c+a a+b + + ≥6 a b c Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: b + c c + a a + b bc ac ab + + ≥ + + a b c a b c  bc ac   ac ab   ab bc  = + + + ÷+  ÷+  ÷ a b b c c a       ≥2 a +2 b +2 c ≥ 2.3 a b c = Ví dụ 2: (Đề thi HSG lớp Tỉnh Trà Vinh năm học 2017- 2018 ) Cho x, y số dương thỏa mãn x+y=2 Chứng minh: x3 y ( x + y ) ≤ Giải: Do x, y>0 x+y=2 nên ( x + y )3 = x + y + 3xy ( x + y ) = x + y + xy Theo BĐT Cơ-si ta có: xy + xy + xy + ≥ 4 = = ( x + y )3 x y3 ≥ x3 + y + xy x y Hay ⇔ ≥ x3 + y x3 y xy + ⇔ ≥ x3 y ( x3 + y ) Vậy ≥ x3 y ( x3 + y ) Dấu = xảy x=y=1 *Lưu ý: + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hướng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức côsi cần ý số áp dụng phải có điều kiện ≥ cịn bất đẳng thức Bunhiacơpxki không cần điều kiện số ≥ phải áp dụng cho số + Ngoài bất đẳng thức hay sử dụng cho học sinh THCS nêu em sử dụng số bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác 4.3 Bài tập áp dụng: Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 12 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bài 1: (Đề thi HSG lớp Tỉnh Trà Vinh năm học 2017- 2018 ) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh P= ab bc ca + + ≤ c + ab a + bc b + ca Giải: Cã a +b +c =1⇒ c = ( a + b + c) c = ac + bc + c2 ⇒ c + ab = ac + bc + c2 + ab = a( c + b) + ( b+ c) = ( c + a) ( c + b) a b + ab ab ⇒ = ≤ c+ a c+ b c + ab ( c + a) ( c + b) T ¬ng tù: a + bc = ( a + b) ( a + c) , b + ca = ( b + c) ( b + a) b c + bc bc ⇒ = ≤ a+ b a+ c a + bc ( a + b) ( a + c) c a + ca ca = ≤ b+ c b+ a b + ca ( b+ c) ( b+ a) a b b c c a a + c b+ c b+ a + + + + + + + c + a c + b a + b a + c b + c b + a c + a c + b a+ b = ⇒P≤ = 2 Bài 2: (Đề thi HSG lớp huyện Cầu Ngang nm hc 2014- 2015 ) Cho x,y,z số d ¬ng tháa m· n điỊu kiƯn Chøng minh r»ng xyz ≤ 1 + + = x + y+ z + 1 Phương pháp quy nạp toán học: 5.1 Phương pháp giải: Nếu vế bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n dùng phương pháp quy nạp tốn học Khi địi hỏi phải chứng minh: + Bất đẳng thức với n = (hoặc với n = n giá trị tự nhiên bé thừa nhận n theo yêu cầu đề bài) + Thừa nhận bất đẳng thức với n = k (k > k > n 0) chứng minh bất đẳng thức với n = k + Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 13 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 5.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n ≥ 2n > 2n + (1) Với n= ta có 23 = ; 2n + = ⇒ 2n > 2n + với n = Giải: Giả sử (1) với n = k (k ∈ N , k ≥ ) Tức 2k > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 hay 2k+1 > 2(k+1) +1 hay 2k+1 > 2k+3 (2) Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1 ⇒ 2k+1 > (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0) ⇒ (2) với ∀k ≥ Vậy 2n > 2n + với n nguyên dương n ≥ Ví dụ 2: chứng minh với số tự nhiên n > (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1) Giải: Với n = (1) với n = k (k ∈ N, k ≥ 2) tức là(k+1)(k+2)(k+3)….2k > 2k Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 tức phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1 Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+2)(k+3)(k+4)…2k > 2k ⇒ (k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2k ⇒ 2(k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2.2k ⇒ (k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2) > 2k+1 Vậy bất đẳng thức (1) với số tự nhiên n >1 nghĩa là: (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n 5.3 Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N Chứng minh n an + bn a +b   ≤   Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương n ≥ n2 > n + Bài 3: Chứngminh vớimọi số nguyên dương n 1 + + + >1 n +1 n + 3n + Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 14 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp đặt ẩn phụ: 6.1 Phương pháp giải: Thực phương pháp đổi biến số nhằm đưa toán cho dạng đơn giản , gọn , dạng toán biết cách giải 6.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ : Chứng minh : Nếu a , b , c > Giải: Cách Đặt a b c + + ≥ b+c c+a b+a b +c = x , c + a = y , a + b = z x+ y+z y+z−x z+x−y x+ y−z => a = , b= , c= 2 y+z−x z+x− y x+ y−z a b c + + Khi : VT = = 2x + y + 2z b+c c+a b+a y x z x z y 3 = ( x + y) + ( x + z ) + ( y + z ) − ≥ 1+1+1− = a b c b c a c a b + + Cách Đặt A = ;B = + + ;C = + + b+c c+a b+a b+c c+a a +b b+c c+a a +b A + B ≥ 3 Khi B + C =  ⇒ 2A + B + C ≥ Suy A ≥ (đpcm) A + C ≥ y x z x z y 3 = ( x + y) + ( x + z ) + ( y + z ) − ≥ 1+1+1− = => a + b + c = Ví dụ : Chứng minh ; với số thực x, y ta có bất đẳng thức : ( x − y )(1x y ) ≤ - ≤ (1 + x ) (1 + y ) Giải: x −y Đặt : a = (1 + x )(1 + y ) 1− x2 y2 ( x − y )(1 − x y ) b = Suy ab = (1 + x )(1 + y ) (1 + x ) (1 + y ) 1 Ta thấy với a, b : - (a − b) ≤ ab ≤ (a + b) 4 2 2   Mà : (a - b) = 1 −  ;  x + 1 1 Suy : - ≤ ab ≤ 4   (a + b) = 1 −   y + 1 2 6.3 Bài tập áp dụng: : Cho a, b, c > ; a + b + c ≤ Chứng minh : 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 15 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp tổng hợp: 7.1 Phương pháp giải: Từ bất đẳng thức biết đúng, dùng phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh Phương pháp giải làm cho học sinh thấy khó chỗ khơng biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nếu biết phương pháp giải ngược với phương pháp phân tích dễ tìm bất đẳng thức xuất phát 72 Ví dụ áp dụng a+b ≥ ab (Bất đẳng thức Cơsi) Ví dụ 1: Cho a, b ≥ Chứng minh Giải: Theo giả thiết a, b ≥ ⇒ ab ≥ ⇒ ab xác định Ta có: ( a - b)2 ≥ ≥ ⇔ a2 + 2ab +b2 ≥ 4ab ⇔ ( a - b)2 ≥ 4ab ⇔ a2 - 2ab +b2 ⇔a+b ⇔ ≥ ab (vì a + b a+b ≥ ab (đpcm) ≥ 0) Dấu “ =” xảy ⇔ a = b Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: ( a + c) + ( b + d ) a2 + b2 + c2 + d ≥ Ta có: (ad - bd)2 ≥ Giải: ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 ≥ ≥ a2c2 + b2d2 ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + 2acbd + b2d2 ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ⇔ a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 ⇔ (a )( ) + b c + d ≥ ac + bd ( ac + bd > 0) (a ⇔ a2 + b2 + ⇔( (a )( )( ) + b c + d + c2 + d2 ) ≥ + b c + d )2 ≥ 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2 (a + c)2 + (b + d)2 Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 16 Trường THCS Mỹ Hòa ⇔ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 + c2 + d ≥ ( a + c ) + ( b + d ) (đpcm) Dấu “=” xảy ⇔ a c = b d Chú ý: với a, b, c, d >0 phép biến đổi cách giải tương đương 7.3 Bài tập áp dụng: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với a, b Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 ≤ 3(x2 + y2+z2) với x, y, z a3 + b3  a + b  ≥ Bài 3:  với a > , b >   Phương pháp đánh giá: 8.1 Phương pháp giải: Phương pháp áp dụng vai trò số biểu thức bất đẳng thức 8.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a;b;c;d > biểu thức M sau: M = +++ Chứng minh < M < Giải: Do vai trò a;b;c;d nên giả sử a < b < c < d Ta có: < < điều phải chứng minh Dấu '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c ⇔ a = b = c Khi ∆ABC tam giác 9.3 Bài tập áp dụng: : Cho a, b, c , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a )(c + a – b ) ≤ abc Giải: Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết b − c < a ⇒ < a − (b − c) ≤ a c − a < b ⇒ < b − (c − a ) ≤ b a − b < c ⇒ < c − (a − b) ≤ c ` 2 2 2 2 Từ a − (b − c) b − (c − a ) c − (a − b) ≤ a b c ⇔ (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b) ≤ a 2b c ⇔ (a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2 ≤ a 2b 2c ⇔ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc Vì a, b, c, ba cạnh tam giác nên a + b – c > 0; b + c – a > 0; c + a – b > abc>0 Vậy bất đẳng thức chứng minh 10.Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai: 10.1 Phương pháp giải: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý dấu tam thức bậc hai: Định lý dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac - Nếu ∆ < f(x) ln dấu với a với giá trị x (nghĩa a.f(x) > 0) Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 19 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Nếu ∆ =0 f(x) dấu với a với giá trị x, trừ x= a.f(x) ≥ 0, af(x) = x= −b f(x) = (nghĩa 2a −b ); 2a - Nếu ∆ > f(x) dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm (x 1, x2) khác dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm 10.2 Ví dụ áp dụng a + b = Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện  c + d = Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd ≥ 18 - (1) Giải: c + d = ⇒ d = 6- c Khi bất đẳng thức (1) có dạng: c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ ≥ (2) Quan niệm vế trái (2) tam thức bậc hai c, ta có: ( ∆' = ( a + − b ) − − 12b − 18 + 2 ) = - (a+b)2 + 12(a+b) + -12 (3) Do a2+b2 =1 ⇒ − ≤ a + b ≤ Xét tam thức bậc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 Ta có bảng xét dấu sau: x f(x) 12- + ' Do − ≤ a + b ≤ nên từ (3) bảng xét dấu ⇒ ∆ ≤ Theo định lý dấu tam thức bậc hai (2) với c Đó điều phải chứng minh Dấu = xảy a + b =   a = b = ⇔ ⇔  a+6−b c = c = d =   Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacơpxki Giải: Xét tam thức bậc hai F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2 Ta thấy f(x) ≥ với x Ta viết f(x) dạng sau 2 2 2 F(x) =( b +b2 +  + bn ) x2 - 2(a1b1+a2b2+…+anbn)x + ( a1 + a +  + a n ) Do f(x) ≥ với x nên từ (1) suy ra: Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 20 Trường THCS Mỹ Hòa ( ∆ = ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) − a + a +  + a ' ( 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức )(b + b +  + b ) ≤ )(b + b +  + b ) n ⇒ ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) ≤ a12 + a 22 +  + a n2 2 2 2 n n Dấu = xảy ⇔ ∆' = ⇔ phương trình f(x) =0 có nghiệm kép ⇔ a a1 a = = = n b1 b2 bn * Nhận xét: sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức ví dụ 1, ví dụ nêu học sinh cần biết định lí dấu tam thức bậc hai kiến thức chưa thức giới thiệu bậc THCS nên khó em Vì tơi xin giới thiệu ví dụ để HS tham khảo không yêu cầu em tự làm tập phần V Hiệu áp dụng Tôi giới thiệu số toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh, q trình học tốn tơi thấy em gặp chứng minh bất đẳng thức khơng cịn lúng túng mà biết tìm cho phương pháp phù hợp để giải Từ học sinh quen dần với chứng minh bất đẳng thức khó làm tiền đề cho phát triển tốn học Tôi tiến hành áp dụng phương pháp tiết bồi giỏi học sinh giỏi lớp 8, từ năm học 2018-2019, thực tế dạy học cho thấy thực áp dụng phương pháp vào tiết dạy thấy em tiến rõ rệt, khơng cịn lung túng gặp dạng tốn này, nhận biết vận dụng nhanh toán qua việc thực kết đạt học sinh tiếp thu tốt nhiều so với chưa thực phương pháp này, đồng thời em hăng say sôi nổi, hứng thú tiết học, từ phát huy tính tích cực hoạt động tư em giúp tất đối tượng học sinh nâng cao kỹ giải toán Cụ thể kết khảo sát sau: Năm học 2018 – 2019 có học sinh đạt giải khún khích vịng huyện, học sinh đạt giải khún khích vịng tỉnh Năm học 2019-2020 nghỉ dịch covid 19 không tổ chức thi học sinh giỏi C PHẦN KẾT LUẬN Học sinh biết nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức giải loại tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 21 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức nên dễ tìm cách giải, qua phát triển tư nâng cao lực sáng tạo Bất đẳng thức chuyên đề khó , phức tạp,phong phú với nhiều phương pháp giải học sinh thường gặp phải giải toán Để học sinh chọn lựa phương pháp phù hợp cần phải nghiên cứu đầu tư thời gian nhiều Trên vài kinh nghiệm mà tơi tích luỹ q trình giảng dạy hướng dẫn học sinh học toán, mong đóng góp ý kiến q thầy, bạn đồng nghiệp để để thân đúc kết nhiều kinh nghiệm trình dạy học nói chung việc dạy học mơn tốn nói riêng.Tơi xin chân thành cám ơn./ Mỹ Hịa, ngày 25 tháng 01 năm 2021 DUYỆT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Giáo viên thực Trần Thị Loan Phương Tài liệu tham khảo -Sách giáo khoa toán 9-tập1,2 -Sách tập toán -tập1,2 -Sách giáo viên toán 9-tập1,2 -500 tốn chọn lọc (Nguyễn ngọc Đạm-Nguyễn quang Hanh-Ngơ long Hậu) -Để học tốt đại số (Nguyễn vĩnh Cận-Vũ Hựu-Hồng Chúng) -Bất đẳng thức tốn cực trị(Trần đức Huyên) -Nâng cao phát triển toán (Vũ hữu Bình) Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 22 Trường THCS Mỹ Hòa Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Giáo viên thực hiện: Trần Thị Loan Phương(tranthiloanphuong1981@gmail.com) 23 .. . phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp tổng hợp: 7.1 Phương pháp giải: Từ bất đẳng thức biết đúng, dùng phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh. .. + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hướng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức cơsi .. . > abc>0 Vậy bất đẳng thức chứng minh 10.Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai: 1 0.1 Phương pháp giải: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý dấu tam thức bậc hai: