thư viện tài liệu điện tàu thủy

Nếu mạch có tính dung kháng, tức điện áp chậm pha hơn so với dòng điện, thì Q r sẽ có giá trị âm.Thực chất Q r chính là công suất luân chuyển từ nguồn tới tích lũy trong các thành phần[r]

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

LÝ THUYẾT MẠCH

(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG

LÝ THUYẾT MẠCH

LỜI GIỚI THIỆU

Lý thuyết mạch số môn sở kỹ thuật điện tử, viễn thông, tựđộng hoá, nhằm cung cấp cho sinh viên khả nghiên cứu mạch tương tự, đồng thời sở lý thuyết để phân tích mạch số Với ý nghĩa môn học nghiên cứu hệ thống tạo biến đổi tín hiệu, nội dung sở lý thuyết mạch (basic circuits theory) chủ yếu sâu vào phương pháp biểu diễn, phân tích, tính toán tổng hợp hệ thống điện tạo biến đổi tín hiệu dựa mơ hình các thơng số & phần tử hợp thành điển hình

Tập giảng chủ yếu đề cập tới lý thuyết phương pháp biểu diễn phân tích mạch kinh điển, dựa loại phần tử mạch tương tự, tuyến tính có thơng số tập trung, cụ thể là:

- Các phần tử & mạng hai cực: Hai cực thụđộng, có khơng có qn tính phần tử trở, dung, cảm mạch cộng hưởng; hai cực tích cực nguồn điện áp & nguồn dòng điện lý tưởng

-Các phần tử & mạng bốn cực: Bốn cực tương hỗ thụđộng chứa RLC biến áp lý tưởng; bốn cực tích cực nguồn phụ thuộc (nguồn có điều khiển), transistor, mạch khuếch đại thuật toán

Công cụ nghiên cứu lý thuyết mạch công cụ tốn học phương trình vi phân, phương trình ma trận, phép biến đổi Laplace, biến đổi Fourier Các công cụ, khái niệm & định luật vật lý

Mỗi chương tập giảng gồm bốn phần: Phần giới thiệu nêu vấn đề chủ yếu chương, phần nội dung đề cập cách chi tiết vấn đề với thí dụ minh họa, phần tổng hợp nội dung hệ thống hóa điểm chủ yếu, phần cuối đưa câu hỏi tập rèn luyện kỹ Chương I đề cập đến khái niệm, thông số lý thuyết mạch, đồng thời giúp sinh viên có cách nhìn tổng quan vấn đề mà môn học quan tâm Chương II nghiên cứu mối quan hệ thông số trạng thái mạch điện, định luật phương pháp phân tích mạch điện Chương III sâu vào nghiên cứu phương pháp phân tích q trình độ mạch Chương IV trình bày cách biểu diễn hàm mạch phương pháp vẽ đặc tuyến tần số hàm mạch Chương V đề cập tới lý thuyết mạng bốn cực ứng dụng nghiên cứu số hệ thống Cuối số phụ lục, thuật ngữ viết tắt tài liệu tham khảo cho công việc biên soạn

Mặc dù có nhiều cố gắng khơng thể tránh khỏi sai sót Xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bạn đọc đồng nghiệp

THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

AC (Alternating Current) chếđộ dòng xoay chiều

ADC (Analog Digital Converter) chuyển đổi tương tự -số

DC (Direct Current) chếđộ dòng chiều

FT (Fourier transform) biến đổi Fourier

KĐTT Bộ khuếch đại thuật toán

LT (Laplace transform) biến đổi Laplace

M4C Mạng bốn cực

CHƯƠNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT MẠCH

GIỚI THIỆU

Chương đề cập đến khái niệm, thông số nguyên lý lý thuyết mạch truyền thống Đồng thời, đưa cách nhìn tổng quan vấn đề mà môn học quan tâm với phương pháp loại công cụ cần thiết để tiếp cận giải vấn đề Cụ thể là:

• Thảo luận quan điểm hệ thống mạch điện xử lý tín hiệu

• Thảo luận loại thơng số tác động thụ động mạch góc độ lượng • Cách chuyển mơ hình mạch điện từ miền thời gian sang miền tần số ngược lại • Các thông số mạch miền tần số

• Ứng dụng miền tần số phân tích mạch, so sánh với việc phân tích mạch miền thời gian

NỘI DUNG

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ MẠCH ĐIỆN Tín hiệu

Tín hiệu dạng biểu vật lý thông tin Thí dụ, biểu vật lý tín hiệu tiếng nói (speech), âm nhạc (music), hình ảnh (image) điện áp dịng điện mạch điện Về mặt tốn học, tín hiệu biểu diễn xác gần hàm biến độc lập

Xét góc độ thời gian, tài liệu không giống nhau, tài liệu thống mặt định nghĩa cho số loại tín hiệu chủ yếu liên quan đến hai khái niệm liên tục rời rạc

Tín hiệu liên tục

Khái niệm tín hiệu liên tục là cách gọi thơng thường loại tín hiệu liên tục mặt thời gian Nó cịn gọi tín hiệu tương tự Một tín hiệu x(t) gọi liên tục mặt thời gian miền xác định biến thời gian t liên tục

Hình 1.1 mơ tả số dạng tín hiệu liên tục mặt thời gian, đó: Hình 1.1a mơ tả tín hiệu bất kỳ; tín hiệu tiếng nói thí dụ điển hình dạng tín hiệu Hình 1.1b mơ tả dạng tín hiệu điều hịa Hình 1.1c mơ tả dãy xung chữ nhật tuần hồn Hình 1.1d mơ tả tín hiệu dạng hàm bước nhảy đơn vị, ký hiệu u(t) 1(t):

⎩ ⎨ ⎧

< ≥ =

0 t 0,

0 t , ) (t

Cịn hình 1.1e mơ tả tín hiệu dạng hàm xung đơn vị, cịn gọi hàm delta Hàm có phân bố Dirac ký hiệu δ(t):

δ(t)=0, t ≠0 (t)dt

+∞ −∞

δ =

∫ (1.2) Cần lưu ý rằng, mặt biên độ, tín hiệu liên tục mặt thời gian chưa nhận giá trị liên tục Nếu biên độ loại tín hiệu liên tục thời điểm, tín hiệu tín hiệu liên tụcthực

(a)

t

(d)

t

0 u(t)

(e)

t

δ(t) (c)

t

Hình 1.1

Một số dạng tín hiệu liên tục theo thời gian (b)

t

Tín hiệu rời rạc

Về mặt tốn học, tín hiệu rời rạc hàm biến thời gian nhận giá trị rời rạc Thông thường, loại tín hiệu rời rạc đơn giản định nghĩa giá trị điểm thời gian rời rạc t =n.Ts, n nguyên; tài liệu, tín hiệu rời rạc x(nTs) thường ký hiệu x(n) Hình 1.2a mơ tả dạng tín hiệu rời rạc mặt thời gian

Hình 1.2a

Minh họa tín hiệu rời rạc

n -1

Hình 1.2b

Minh họa tín hiệu số nhị phân

0 n

-1

Tín hiệu số loại tín hiệu rời rạc nhận giá trị tập hữu hạn xác định Nếu tập giá trị tín hiệu số hai giá trị (0 1) tín hiệu tín hiệu số nhị phân Hình 1.2b thí dụ minh họa cho trường hợp

Sự lấy mẫu

Lấy mẫu thuật ngữ để q trình rời rạc hóa tín hiệu liên tục Nói cách khác, q trình chuyển đổi tín hiệu liên tục s(t) thành tín hiệu rời rạc s(n) tương ứng Ta gọi s(n) là phiên bản mẫu hóa từ tín hiệu gốc s(t)

Nếu s(n) quan hệ với tín hiệu gốc s(t) theo biểu thức:

s

nT t

t s n

s( )= ( ) =

thì người ta gọi quá trình lấy mẫu đều, Ts gọi bước lấy mẫu hay chu kỳ lấy

mẫu. Có thể mơ hình hóa q trình lấy mẫu thành lấy mẫu hình 1.3 Trong đó, phần tử hạt nhân chuyển mạch hoạt động đóng/ngắt theo chu kỳ Ts

t Tín hiệu gốc s(t)

n

Phiên mẫu hóa s(n)

Hình 1.3

Mơ hình hóa q trình lấy mẫu Ts

Chuyển đổi AD/DA

Chuyển đổi AD trình số hóa tín hiệu liên tục Nói cách khác, q trình chuyển đổi tín hiệu liên tục s(t) thành tín hiệu số tương ứng Thơng thường, hệ thống điện tử, trình bao gồm ba cơng đoạn: Trước tiên cơng đoạn rời rạc hóa tín hiệu mặt thời gian Kế tiếp cơng đoạn làm tròn giá trị lấy mẫu thành giá trị thuộc tập hữu hạn; công đoạn cịn gọi cơng đoạn lượng tử hóa Cuối cùng, tùy thuộc vào hệ thống số sử dụng mà giá trị lượng tử hóa mã hóa tương thích với thiết bị xử lý môi trường truyền dẫn

Ngược lại trình chuyển đổi AD trình chuyển đổi DA Đây q trình phục hồi tín hiệu liên tục s(t) từ tín hiệu số tương ứng

Xử lý tín hiệu

chọn lọc tín hiệu; Các hệ thống điều chế giải điều chế tín hiệu; hệ thống phân tích, nhận dạng tổng hợp thông tin phục vụ lĩnh vực an ninh-quốc phịng, chẩn đốn bệnh, dự báo thời tiết động đất thí dụ điển hình xử lý tín hiệu

Mạch điện

Sự tạo ra, tiếp thu xử lý tín hiệu trình phức tạp xảy thiết bị & hệ thống khác Việc phân tích trực tiếp thiết bị hệ thống điện thường gặp số khó khăn định Vì vậy, mặt lý thuyết, hệ thống điện thường biểu diễn thơng qua mơ hình thay

Trên quan điểm hệ thống, mạch điện mơ hình tốn học xác gần hệ thống điện, nhằm thực tốn tử lên

các tác động đầu vào, nhằm tạo đáp ứng mong muốn đầu Mơ hình thường đặc trưng hệ phương trình mơ tả mối quan hệ tín hiệu xuất bên hệ thống Trong miền thời gian, hệ thống mạch liên tục đặc trưng hệ phương trình vi tích phân, cịn hệ thống mạch rời rạc đặc trưng hệ phương trình sai phân

C

-E

-+

0

Ura +E

R

Uv

Hình 1.4 Mạch tích phân

Về mặt vật lý, mạch điện mơ hình tương đương biểu diển kết nối thông số phần tử hệ thống theo trật tự logic định nhằm tạo biến đổi tín hiệu Mơ hình phải phản ánh xác & cho phép phân tích tượng vật lý xảy ra, đồng thời sở để tính tốn & thiết kế hệ thống Thí dụ hình 1.4 mơ hình mạch điện liên tục thực tốn tử tích phân, mối quan hệ vào/ra thỏa mãn đẳng thức: ura =k∫uvdt

Hình 1.5 mơ hình tương đương biến áp thường Trong mơ hình tương đương phần tử có có mặt thông

số điện trở R, điện cảm L hỗ cảm M Những thơng số đặc trưng cho tính chất vật lý khác tồn phần tử phát huy tác dụng chúng phụ thuộc vào điều kiện làm việc khác

Cần phân biệt khác hai khái niệm phần tử thông số Phần tử (trong tài liệu này) mơ hình vật lý vật liệu linh kiện cụ thể dây dẫn, tụ điện, cuộn dây, biến áp, diode, transistor Thông số đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất phần tử Một phần

tử có nhiều thơng số Về mặt điện, vẽ mạch tương đương phần tử có nghĩa biểu diễn tính chất điện phần tử thơng qua thơng số e, i, r, C, L, M, Z, Y nối với theo cách Cuối để biểu diễn cách đấu nối tiếp nhiều thông số người ta vẽ ký hiệu chúng đầu nối với đầu tạo thành chuỗi liên tiếp, cách đấu nối song song cặp đầu tương ứng nối với Trong sơ đồ mạch điện đoạn liền nét nối ký hiệu thông số đặc trưng cho dây nối có tính chất dẫn điện lý tưởng

R1

U1 L U2

2 L1

* *

Hình 1.5 Một mơ hình tương

đương biến áp thường

Cũng nên lưu ý, mặt hình thức, sơ đồ mạch điện lý thuyết mạch khác với sơ đồ chi tiết thiết bị Sơ đồ mạch điện (trong lý thuyết mạch) phương tiện lý thuyết cho phép biểu diễn phân tích hệ thống thông qua thông số phần tử hợp thành, sơ đồ chi tiết thết bị phương tiện kỹ thuật biểu diễn ghép nối linh kiện thiết bị thông qua ký hiệu linh kiện

Mạch tương tự & mạch rời rạc

Xét phương diện xử lý tín hiệu hệ thống mạch mơ hình tạo biến đổi tín hiệu chủ yếu thơng qua ba đường, là:

- Xử lý tín hiệu mạch tương tự (analog circuits) - Xử lý tín hiệu mạch rời rạc (discrete circuits)

- Xử lý tín hiệu mạch số (digital circuits), gọi xử lý số tín hiệu

Như vậy, cách thức xử lý tín hiệu qui định tính chất kết cấu hệ thống mạch Trên hình 1.6 phân loại mạch điện xử lý tín hiệu liên tục

Mạch tương tự

Mạch lấy

mẫu Mạch rời rạc Mạphch khôi ục

ADC Mạch số DAC tín hiệu số

Tín hiệu liên tục

tín hiệu rời rạc

x’a(t) xa(t)

Hình 1.6

Các hệ thống mạch điện xử lý tín hiệu liên tục

Ghi chú: ADC - Analog to Digital Converter: mạch chuyển đổi tương tự - số DAC - Digital to Analog Converter: mạch chuyển đổi số - tương tự

Mạch có thơng số tập trung & mạch có thơng số phân bố

Một hệ thống mạch cấu thành từ phần lớn phần tử mạch tuyến tính & khơng tuyến tính Trong đó, mạch tuyến tính lại chia thành mạch có thơng số phân bố (như dây dẫn, ống dẫn sóng, dụng cụ phát lượng ) mạch có thơng số tập trung

là không đáng kể so với dịng dẫn (dịng chuyển động có hướng điện tích dây dẫn phần tử mạch, quy ước chảy tải từ điểm có điện cao đến điểm có điện thấp), biến thiên từ trường điện trường không gian bỏ qua

Ở tần số cao, kích thước phần tử khoảng cách vật lý từ phần tử tới phần tử lân cận so sánh với bước sóng tín hiệu truyền lan, mạch điện xem có thơng số phân bố Lúc lượng từ trường tích trữ liên kết với điện cảm phân bố cấu trúc, lượng điện trường tích trữ liên kết với điện dung phân bố, tổn hao lượng liên kết với điện trở phân bố cấu trúc Lúc khái niệm dòng dịch

(những biến thiên từ trường điện trường phân bố không gian) trở nên có ý nghĩa Nhiều trường hợp vi mạch coi có tham số phân bố dù làm việc dải tần thấp giới hạn kích thước

Các trạng thái hoạt động mạch

Khi mạch trạng thái làm việc cân & ổn định, ta nói mạch Trạng thái xác lập Khi mạch xảy đột biến, thường gặp đóng/ngắt mạch nguồn tác động có dạng xung, mạch xảy trình thiết lập lại cân mới, lúc mạch Trạng thái độ

K R1

C R2

e(t)

Hình 1.7

Mạch điện có khóa đóng ngắt R3 Xét mạch điện hình 1.7 nguồn tác

động chiều điều hịa Ban đầu khóa K hở, mạch trạng thái xác lập (ổn định) Khi khóa K đóng, mạch xảy q trình độ để thiết lập lại trạng thái xác lập Quá trình độ nhanh hay chậm tùy thuộc vào thông số nội mạch

Các tốn mạch

Có hai lớp tốn mạch điện: phân

tích tổng hợp mạch Phân tích mạch hiểu hai góc độ, với kết cấu hệ thống sẵn có thì:

+ Các trình lượng mạch, quan hệ điện áp & dòng điện phần tử xảy nào? Nguyên lý hoạt động mạch sao? Đây vấn đề lý thuyết mạch tuý

+ Ứng với tác động đầu vào, cần phải xác định đáp ứng hệ thống miền thời gian miền tần số gì? Q trình biến đổi tín hiệu qua mạch sao?

Ngược lại, tổng hợp mạch phải xác định kết cấu hệ thống cho ứng với tác động đầu vào tương ứng với đáp ứng mong muốn đầu thỏa mãn yêu cầu kinh tế kỹ thuật Chú ý phân tích mạch tốn đơn trị, cịn tổng hợp mạch tốn đa trị

11

Như phần nêu, để biểu diễn hệ thống phải xác định thơng số Có hai loại thơng số thông số tác động thông số thụ động

Phần tử i(t)

u(t)

Hình 1.8 Xét góc độ lượng, phần tử (hình 1.8),

dịng điện phần tử i(t) điện áp u(t) công suất tức thời phần tử thời điểm t là: p(t)= u(t).i(t) Trong khoảng thời gian T = t2 – t1, lượng có phần tử là:

∫

=

) ( t

t

T p t dt W

+ Nếu u(t) i(t) ngược chiều p(t) có giá trị âm, thời điểm t phần tử cung cấp lượng, nghĩa có chứa thông số tác động (thông số tạo nguồn)

+ Nếu u(t) i(t) chiều p(t) có giá trị dương, tức thời điểm t phần tử nhận lượng Lượng lượng nhận được tích luỹ tồn dạng lượng điện trường hay lượng từ trường, mà bị tiêu tán dạng nhiệt dạng xạ điện từ Đặc trưng cho tiêu tán tích luỹ lượng thơng số thụđộng phần tử

1.2.1 Các thông số thụđộng cuả mạch điện

-Xét mặt phản ứng phần tử chịu tác động kích thích, thơng số thụ động đặc trưng cho phản ứng thụ động phần tử tác động kích thích nguồn thể qua mối quan hệ điện áp dịng điện chạy Người ta

phân thông số thụ động thành hai loại thông số qn tính thơng số khơng qn tính

u(t) i(t) r

Hình 1.9 Kí hiệu điện trở

r

a Thơng số khơng qn tính (điện trở):

Thơng số khơng qn tính đặc trưng cho tính chất phần tử điện áp dịng điện tỉ lệ trực tiếp với Nó gọi điện trở (r), thường có hai kiểu kí hiệu hình 1.9 thỏa mãn đẳng thức:

u(t) = r.i(t)

hay i t

ru(t g u(t

( )= ) = ) (1.3)

r có thứ nguyên vôn/ampe, đo đơn vị ôm (Ω) Thông số g=1

r gọi điện dẫn, có thứ nguyên

1/Ω, đơn vị Simen(S)

Về mặt thời gian, dòng điện điện áp phần tử trở trùng pha nên lượng nhận phần tử trở luôn dương, r đặc trưng cho tiêu tán lượng dạng nhiệt

b Các thơng số qn tính:

Các thơng số qn tính mạch gồm có điện dung, điện cảm hỗ cảm

- Thông sốđiện dung (C):

Điện dung thông số đặc trưng cho tính chất phần tử dịng điện tỉ lệ với tốc độ biến thiên điện áp, có thứ ngun ampe.giây/vơn, đo đơn vị fara (F), kí hiệu hình 1.10 xác định theo công thức:

i t Cdu t dt

( )= ( ) (1.4)

hay

C t q dt t i C t

u( )= ∫ ( ) = ( ) (1.5) q(t)=∫ i(t)dt điện tích tích luỹ phần tử thời điểm t

và lượng tích luỹ C:

W p t dt C.du

dt u t dt Cu E =∫ ( ) = ∫ ( ) =

1

2 (1.6)

Xét mặt lượng, thông số C đặc trưng cho tích luỹ lượng điện trường, thơng số không gây đột biến điện áp phần tử thuộc loại thơng số qn tính Xét mặt thời gian điện áp phần tử dung chậm pha so với dòng

điện π/2

u(t) i(t) L

Hình 1.11 Kí hiệu điện cảm

- Thông sốđiện cảm (L):

Điện cảm đặc trưng cho tính chất phần tử điện áp tỉ lệ với tốc độ biến thiên dịng điện, có thứ ngun vơn x giây/ampe, đo đơn vị hery(H), kí hiệu hình 1.11 xác định theo công thức:

u t Ldi t dt

( ) = ( ) (1.7)

hay i t

L u t dt

( )= 1∫ ( ) (1.8) lượng tích luỹ L:

W Ldi

dti t dt Li H =∫ ( ) =

1

2 (1.9)

Xét mặt lượng, thông số L đặc trưng cho tích luỹ lượng từ trường, thơng số khơng gây đột biến dòng điện phần tử thuộc loại

thơng số qn tính Xét mặt thời gian, điện áp phần tử cảm nhanh pha so với dòng điện π/2

i1 M i2

u1 u2

L2 L1

-Thông số hỗ cảm (M):

tử đặt gần có dịng điện chạy chúng, nối khơng nối điện Ví dụ hình 1.12 ta thấy dòng điện i1 chạy phần tử điện cảm thứ gây phần tử thứ hai điện áp hỗ cảm là:

dt di M

u21= (1.10) Ngược lại, dòng điện i2 chạy phần tử điện cảm thứ hai gây phần tử thứ điện áp hỗ cảm là:

dt di M

u12 = (1.11) Như tác dụng đồng thời thông số điện cảm hỗ cảm, phần tử có tương ứng điện áp tự cảm điện áp hỗ cảm Tổng hợp ta có hệ phương trình:

dt di M dt di L

u1= 1 ± (1.12)

dt di L dt di M

u2 =± + 2 (1.13) M =k L1L2 (k hệ số ghép, thường có giá trị nhỏ 1) Nếu dòng điện chảy vào chảy khỏi đầu tên điện áp hỗ cảm lấy dấu ‘+’, ngược lại lấy dấu ‘-’ Trong sơ đồ, đầu tên thường ký hiệu dấu *

c Thông số cuả phần tử mắc nối tiếp song song:

Trong trường hợp có số phần tử loại mắc nối tiếp song song với thơng số tính theo cơng thức ghi bảng 1.1

Cách mắc Thông số điện trở Thông số điện cảm Thông số điện dung nối tiếp r r

k k

=∑ L Lk

k

=∑ 1

C k Ck

=∑ song song 1

r =∑k rk

1

L =∑k Lk

C Ck

k =∑ Bảng 1.1: Thông số cuả phần tử mắc nối tiếp song song

1.2.2 Các thông số tác động cuả mạch điện

14

+ Sức điện động nguồn (eng): đại lượng vật lý có giá trị điện áp hở mạch nguồn, đo đơn vị “vôn” ký hiệu V

+ Dòng điện nguồn (ing): đại lượng vật lý có giá trị dịng điện ngắn mạch nguồn, đo đơn vị “ampe” ký hiệu A

1.2.3 Mơ hình nguồn điện

Sự xác định thông số tạo nguồn dẫn đến phân loại nguồn tác động thành hai loại sau: + Nguồn điện áp, bao gồm nguồn áp độc lập & nguồn áp phụ thuộc (tức nguồn áp có điều khiển)

+ Nguồn dịng điện, bao gồm nguồn dòng độc lập & nguồn dòng phụ thuộc (tức nguồn dịng có điều khiển)

Nguồn điện lý tưởng khơng có tổn hao lượng Nhưng thực tế phải tính đến tổn hao, có nghĩa cịn phải tính đến tồn nội trở trong nguồn (Rng)

Trong tài liệu này, qui ước chiều dương sức điện động nguồn ngược lại với chiều dương dòng điện chạy nguồn

a Nguồn độc lập

• Nguồn áp độc lập: ký hiệu nguồn áp độc lập có hai kiểu hình 1.13

Hình 1.13 Nguồn áp độc lập eng

Ri

+

-eng Ri

+

-Eng

Ri

a

Rt b

Hình 1.14 Nguồn áp nối với tải

Bây ta xét điện áp mà nguồn cung cấp cho mạch ngồi (hình 1.14):

U E

R R R ab

ng

i t t =

+ (1.14) (công thức phân áp phần tử mắc nối tiếp)

Như ta thấy trường hợp nguồn áp lý tưởng, tức nội trở nguồn không, điện áp mà nguồn cung cấp cho mạch ngồi khơng phụ thuộc vào tải

• Nguồn dịng độc lập: ký hiệu nguồn dịng độc lập có hai kiểu hình 1.15

Ing R

i Ing Ri Ri

Iab a

Ing Rt

15

Bây ta xét dòng điện mà nguồn cung cấp cho mạch ngồi (hình 1.16):

I I

R R R ab

ng

i t i =

+ (1.15) (cơng thức phân dịng phần tử mắc song song)

Như ta thấy trường hợp nguồn dòng lý tưởng, tức nội trở nguồn vơ hạn, dịng điện mà nguồn cung cấp cho mạch ngồi khơng phụ thuộc vào tải

Trong ứng dụng cụ thể, nguồn tác động ký hiệu cách rõ ràng nguồn chiều, nguồn xoay chiều, nguồn xung Cũng cần ý rằng, trừ trường hợp nguồn lý tưởng, nguồn áp chuyển đổi thành nguồn dịng ngược lại Bạn đọc hồn tồn tự

minh chứng điều I

2 R2 I1

U2 Eng

R1 U1

Hình 1.17 Nguồn A-A

b Nguồn phụ thuộc

Nguồn phụ thuộc cịn gọi nguồn có điều khiển phân thành loại sau:

+ Nguồn áp được điều khiển bằng áp (A-A), biểu diễn hình 1.17 Trong Sức điện động nguồn Eng liên hệ với điện áp điều khiển U1 theo công thức:

Eng =kU1 (1.16) ( k hệ số tỷ lệ )

Trong trường hợp lý tưởng R1=∞, R2=0 I1=0, U2 =Eng = KU1

I2 R2 I1

U2 Eng

R1 U1

Hình 1.18 Nguồn A-D + Nguồn áp được điều khiển bằng dịng (A-D),

biểu diễn hình 1.18 Trong suất điện động nguồn Eng liên hệ với dòng điện điều khiển I1 theo công thức:

Eng =rI1 (1.17) ( r hệ số tỷ lệ )

Trong trường hợp lý tưởng R1=0, R2=0, U1 =0 U2 =Eng = rI1

I2 R2 I1

U2 Ing

+ Nguồn dòng được điều khiển bằng áp (D-A), biểu diễn hình 1.19 Trong dịng điện nguồn Ing liên hệ với điện áp điều khiển U1 theo công thức:

Ing =gU1 (1.18) ( g hệ số tỷ lệ )

Trong trường hợp lý tưởng R1=∞, R2=∞ I1=0, ⏐I2⏐=Ing = gU1

I2 I1

R2 U2 Ing

R1 U1

Hình 1.20 Nguồn D-D + Nguồn dòng được điều khiển bằng dòng (D-D),

biểu diễn hình 1.20 Trong dịng điện nguồn Ing liên hệ với dòng điều khiển I1 theo công thức:

Ing =αI1 (1.19) ( α hệ số tỷ lệ )

Trong trường hợp lý tưởng R1=0, R2=∞ U1 =0, ⏐I2⏐=Ing =αI1

A.(UP –UN) P

N

Ura Zra

Zvao

(b) I2

ΔU

Ura I1

+ A

-P N

(a)

Hình 1.21

Ký hiệu mơ hình tương đương KĐTT

-Trong thực tế thường quy phần tử tích cực loại nguồn có điều khiển Thí dụ, phần tử

khuếch đại thuật tốn, ký hiệu mơ hình tương đương mơ tả thành nguồn áp điều khiển áp hình 1.21, A hệ số khuếch đại vòng hở phần tử Còn với transistor, miền tín hiệu nhỏ tần số thấp, người ta hay dùng sơ đồ tương đương vật lý hình 1.22 Trong sơ đồ có nguồn dòng phụ thuộc αIE Các điện trở sơ đồ điện trở vi phân thành phần dịng xoay chiều có biên độ nhỏ đảm bảo đoạn làm việc tuyến tính, xác định hệ đặc tuyến vào/ transistor

αIE rE

C E

I1=IE I2=-IC U2 U1 rB

rC

B

Tương tự nguồn độc lập, loại nguồn có điều khiển chuyển đổi lẫn Khi phân tích mạch điện máy tính, thường sử dụng dạng nguồn D-A làm chuẩn Vì loại nguồn cịn lại cần phải chuyển dạng D-A theo yêu cầu

1.3 BIỂU DIỄN MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ

Xm

Hình 1.23 x(t)

t Trong phương pháp phân tích mạch điện, có phương pháp có hiệu dựa cách biểu diễn phức, trước bước vào phần sinh viên cần nắm kiến thức toán số phức

1.3.1 Cách biểu diễn phức tác động điều hoà

Theo lý thuyết chuỗi tích phân Fourier, tín hiệu ngẫu nhiên theo thời gian hữu hạn biên độ phân tích thành các thành phần dao động điều hồ Bởi việc phân tích hoạt động mạch, đặc biệt mạch tuyến tính, tác động bất kỳ, quy việc phân tích phản ứng mạch tác động điều hịa

Ở góc độ khác, xuất phát từ cơng thức nhà tốn học Euler:

exp(jϕ) = cosϕ + jsinϕ (1.20) dao động điều hoà x(t) miền thời gian với biên độ Xm , tần số góc ω=2π

T [rad s/ ] , pha đầu ϕ0[rad](hình 1.23), biểu diễn dạng phức miền tần số:

) exp( ) exp(

j t 0 X j t

X

XG = m ω +ϕ = Gm ω (1.21) biên độ phức x(t) định nghĩa:

) exp( jϕ0 X

XGm = m (1.22) Thí dụ, nguồn sức điện động điều hồ có biểu diễn phức E =EG mexp[j(ωt + ϕu)], biểu thức thời gian là:

e(t) =Emsin(ωt + ϕu) ⇔ Im[

G

E ] e(t) =Emcos(ωt + ϕu) ⇔ Re[

G

E ]

không cịn cần thiết phải viết biểu thức tính tốn nữa, lúc biên độ phức hồn tồn đặc trưng cho thành phần dòng áp mạch

1.3.2 Trở kháng dẫn nạp

Bây nói đến định luật ơm tổng qt viết dạng phức:

G G

U =Z I (1.23) hay U YU

Z

IG = G = G (1.24) Z tốn tử có nhiệm vụ biến đổi dòng điện phức thành điện áp phức gọi

trở kháng mạch, đơn vị đo ôm (Ω), cịn Y =

Z tốn tử có nhiệm vụ biến đổi điện

áp phức thành dòng điện phức gọi dẫn nạp mạch, đơn vị đo Siemen (S) Chúng biểu diễn dạng phức:

Z =R + jX = Z exp(jargZ)= Z exp(jϕZ) (1.25) Y =G + jB = Y exp(jargY)= Y exp(jϕY) (1.26) R điện trở, X điện kháng, G điện dẫn B điện nạp

Mặt khác:

Z U

I

Um j t u

Im j t i

Um

Im j u i

= = +

+ =

G

G exp[ ( )]

exp[ ( )] exp[ ( − )]

ω ϕ

ω ϕ ϕ ϕ (1.27) )]

u i exp[j( m Um

I )] u t exp[j( m U

)] i t exp[j( m I U

I

Y ϕ ϕ

ϕ ω

ϕ ω

− =

+ + =

= G G

(1.28)

Như vậy, từ biểu thức ta rút ra:

Z R X Um

I m

= 2+ = ; ϕ

Z Z arctg X

R u

=arg = =ϕ −ϕi (1.29)

và: Y G B Im Um

= 2+ = ; ϕY Y arctg B ϕ Z

G i u

= arg = = − ϕ = −ϕ (1.30)

Sau ta xét trở kháng dẫn nạp phần tử lý tưởng tương ứng với tham số thụ động:

-Đối với phần tử thuần trở:

UGr = Zr.GI = r I.G

vậy Zr =r Yr =1/r (1.31)

UG G G C Idt

1

C Imexp[j( t )]dt

j CImexp[j( t )]

j C I Z I

C = ∫ = ∫ ω +ϕ = ω ω +ϕ = ω = C

G

vậy

C

X j C j c

Z = =−

ω

(1.32)

YC = jωC =jBBC (1.33)

C

XC ω

1

= ; BC = ωC (1.34)

-Đối với phần tử thuần cảm:

G { }

G

G G

U Ldi dt L

d Im j t

dt j LIm j t j LI Z I

L = = L

+

= + =

exp[ ( )]

exp[ ( )] ω ϕ

ω ω ϕ ω =

vậy ZL = jωL = jXL (1.35)

L B j L j Y

L

− = =

ω

(1.36)

XL =ωL ;

L B

L ω

= (1.37) Như nhờ có cách biểu diễn phức, ta thay phép lấy đạo hàm toán tử nhân p, cịn phép lấy tích phân thay toán tử nhân 1/p (trong trường hợp cụ thể p=jω) Tổng quát hơn, với p biến nằm mặt phẳng phức, đề cập chi tiết chương sau

Z1 Z2 Zn

a b

Hình 1.24

-Trở kháng tương đương của nhiều phần tử:

+Trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.24):

Uab I.Zab I Zk

k

= = ∑

vậy Zab Zk (1.38) k

=∑ Y1

Y2

b a

Yn Hình 1.25 +Trường hợp mắc song song (hình 1.25):

Iab U.Yab U Yk k U Yk k k

= =∑ = ∑

vậy Yab k (1.39) k

=∑Y

Trở kháng dẫn nạp phần tử mắc nối tiếp song song cho bảng 1.2

20 nối tiếp =∑

k k td Z

Z =∑

k k td Y

Y

1

song song

∑ =

k k td Z

Z

1

1 =∑

k k td Y

Y

Bảng 1.2: Trở kháng dẫn nạp phần tử mắc nối tiếp song song

1.3.3 Đặc trưng mạch điện miền tần số

Khi phức hóa mạch điện sang miền tần số, tất thông số mạch phức hóa Mạch đặc trưng dịng điện phức, điện áp phức thành phần trở kháng hay dẫn nạp tương ứng với thông số thụ động mạch

Ý nghĩa việc phức hóa mạch điện liên tục miền thời gian (còn gọi mạch điện truyền thống) chuyển hệ phương trình vi tích phân thành hệ phương trình đại số (trong miền tần số)

1.4 CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA MẠCH

Một mạch tương đương hệ thống xây dựng, việc phân tích tiến hành dựa số định luật định luật lại đưọc xây dựng theo các yếu tố hình học sơ đồ mạch Đây khái niệm mang tính chất hình học, tạo sở cho việc phân tích mạch thuận tiện, chúng bao gồm:

+ Nhánh: phần mạch gồm phần tử mắc nối tiếp có dịng điện chảy từ

một đầu tới đầu lại nhánh

+ Nút: giao điểm nhánh mạch

+ Cây: phần mạch bao gồm số nhánh qua tồn nút, khơng tạo thành vịng kín Xét cụ thể, nhánh thuộc xét gọi nhánh cây nhánh không thuộc gọi

là nhánh bù cây

+ Vòng: bao gồm nhánh nút tạo thành vịng khép kín Vịng cơ bản (ứng với

cây) vòng chứa nhánh bù Nếu mạch điện có số nhánh Nnh, số nút Nn, ứng với có số nhánh bù Nb số vịng Nv ta có:

Nb = NV = Nnh - Nn + (1.40)

Z6

Z4 Z2

Z3

Z1 Z5

A B C

O

V3

Z6

Z4 Z2

Z3

Z1 Z5

A B C

Để minh họa, ta xét mạch điện hình 1.26 Mạch điện có nút A, B, C, O (tức Nn =4); có nhánh Z1, Z2, Z3 Z4, Z5, Z6 (tức Nnh =6) Các nhánh Z1, Z3, Z5 tạo thành có ba nhánh, gốc O, nhánh lại nhánh bù Ứng với có gốc O, vòng V1, V2, V3, vòng bản; cịn vịng V4, chứa nhánh bù cây, nên khơng phải vịng

1.5 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN VÀ NHÂN QUẢ CỦA MẠCH ĐIỆN

Tính tuyến tính

Một phần tử gọi tuyến tính thơng số khơng phụ thuộc vào điện áp dịng điện chạy qua nó, khơng thoả mãn điều phần tử thuộc loại khơng tuyến tính

Mạch điện gọi tuyến tính thơng số hợp thành khơng phụ thuộc vào điện áp dòng điện chạy mạch Như vậy, trước hết mạch tuyến tính phải gồm phần tử tuyến

tính, cần mạch có phần tử khơng tuyến tính mạch khơng phải mạch tuyến tính Để hiểu rõ khía cạnh này, ta xét phần tử thụ động:

i[mA]

u[V] (a)

(b)

Hình 1.27

+Điện trở phần tử tuyến tính đặc tuyến Vơn-Ampe đường thẳng trường hợp (a) hình 1.27, quan hệ điện áp dịng điện có dạng:

U =R.I hay U

I = R (với R số)

và khơng tuyến tính (phi tuyến) đặc tuyến Vơn-Ampe khơng phải đường thẳng mà đường cong trường hợp (b) hình 1.27, quan hệ điện áp dịng điện có dạng hàm:

U=f(I) hay R=f(U,I)

+Tương tự vậy, tụ điện gọi tuyến tính có quan hệ:

q =C.U hay q

U = C (với C số) phần tử phi tuyến có quan hệ hàm số:

q =f(U) hay C=f(U,I) +Cũng thế, cuộn cảm gọi tuyến tính có quan hệ:

φ = L I. hay φ

và phần tử phi tuyến có quan hệ hàm số: φ = f I( ) hay L=f(U,I)

* Các tính chất phần tử mạch tuyến tính bao gồm:

+Có thể áp dụng ngun lý xếp chồng

+Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử đường thẳng +Phương trình mạch phương trình vi phân tuyến tính

+Dưới tác động với tần số bất kỳ, mạch không phát sinh hài

* Đối với mạch không tuyến tính, tính chất nói khơng cịn nữa:

-Không áp dụng nguyên lý xếp chồng

-Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử khơng đường thẳng

-Phương trình mạch phương trình vi phân khơng tuyến tính

-Dưới tác động với tần số bất kỳ, mạch phát sinh hài

Tính bất biến

Một mạch gọi bất biến thông số mạch không phụ thuộc thời gian, thơng số chịu ảnh hưởng thời gian mạch mạch khơng bất biến (mạch thông số) Với mạch bất biến, giả thiết mạch khơng có lượng ban đầu, y(t) đáp ứng mạch tương ứng với tác động x(t), y(t-t1) đáp ứng mạch tương ứng với tác động x(t-t1)

Tính nhân quả

Mạch điện (với giả thiết khơng có lượng ban đầu) gọi có tính nhân đáp ứng mạch khơng thể có trước có tác động đầu vào

Cũng cần phải nhắc tính chất tuyến tính bất biến mạch điện điều kiện làm việc định, điều kiện làm việc bị thay đổi tính chất khơng cịn Việc phân chia tính tuyến tính /khơng tuyến tính bất biến /khơng bất biến mang tính chất tương đối

1.6 KHÁI NIỆM VỀ TÍNH TƯƠNG HỖ CỦA MẠCH ĐIỆN

Phần tử tương hỗ phần tử có tính chất dẫn điện hai chiều, thoả mãn điều kiện: Zab = Zba Mạch điện tương hỗ mạch điện bao gồm phần tử tương hỗ Nói cách tổng quát thoả mãn điều kiện:

Zlk = Zkl hay YMN = YNM (1.41) đó: Zlk: trở kháng chung vịng l vòng k,

Như mạch tương hỗ, dòng điện vòng l (sinh nguồn đặt vòng k) dòng điện vịng k (sinh nguồn chuyển sang vịng l) Hay nói cách khác, dịng điện nhánh i (sinh nguồn E đặt nhánh j) dòng điện nhánh j (sinh nguồn chuyển sang nhánh i)

Các phần tử mạch tuyến tính có tính chất tương hỗ (như phần tử thụ động dẫn điện hai chiều R, L, C ) làm cho việc phân tích mạch phần đề cập trở nên thuận lợi Đối với phần tử mạch không tương hỗ (như đèn điện tử, tranzito, điốt ) việc phân tích phức tạp, cần phải có thêm thơng số

1.7 CƠNG SUẤT TRONG MẠCH ĐIỆN ĐIỀU HỊA 1.7.1 Các loại cơng suất

Đoạn mạch i(t)

u(t)

Hình 1.28 Xét đoạn mạch hình 1.28 Ở chế độ xác lập điều hòa,

dòng điện điện áp mạch biểu diễn dạng: u(t) =Umcos(ωt + ϕu)

i(t) =Imcos(ωt + ϕi)

-công suất tức thời đoạn mạch thời điểm t là: )

( ) ( )

(t u t i t

p = (1.42) Trong khoảng thời gian T = t2 – t1, lượng mà đoạn mạch nhận là:

∫ =

) ( t

t

T p t dt W

-Cơng suất trung bình, cịn gọi cơng suất tác dụng mạch là:

ϕ ϕ

ϕ ) cos

cos(

1 ) (

1

UI I

U dt t p T

P m m u i

t

t

= − =

= ∫ (1.43)

trong U,I giá trị hiệu dụng điện áp dòng điện, cịn ϕ góc lệch pha điện áp dịng điện đoạn mạch Cơng suất tác dụng có ý nghĩa thực tiễn so với công suất tức Trong mạch thụ động, lệch pha áp dịng ln nằm giới hạn

2 π

± nên P luôn dương Thực chất P tổng cơng suất thành phần điện trở đoạn mạch Đơn vị công suất tác dụng tính W

-Cơng suất phản kháng đoạn mạch tính theo cơng thức:

ϕ ϕ

ϕ ) sin sin(

1U I UI

Qr = m m u − i = (1.44)

khơng, có nghĩa công suất thành phần điện cảm cân với công suất thành phần điện dung, hay lúc mạch trở Đơn vị cơng suất phản kháng tính VAR

-Cơng suất biểu kiến, cịn gọi cơng suất tồn phần đoạn mạch tính theo cơng

thức:

UI I U Q

P

S = + r = m m =

1

2 (1.45)

Đơn vị cơng suất tồn phần tính VA Cơng suất tồn phần mang tính chất hình thức cơng suất mạch đại lượng dòng áp đo riêng rẽ mà không ý tới lệch pha chúng Tổng qt cơng suất mạch cịn biểu diễn dạng phức:

r jQ P

SG = + (1.46)

-Hệ số công suất tỉ số P S: ϕ cos = S

P (1.47)

Về mặt lý thuyết, Qr công suất tiêu tán, thực tế dòng điện luân chuyển lượng thành phần điện kháng nguồn lại gây tiêu hao công suất nguồn nội trở đường dây dài tải điện Vì kỹ thuật điện, để nâng cao hiệu suất truyền tải điện (giảm dòng điện đường dây) người ta thường phải sử dụng biện pháp đặc biệt để nâng cao hệ số công suất

1.7.2 Điều kiện để công suất tải đạt cực đại

Xét nguồn điều hịa có sức điện động E (giá trị hiệu dụng) Giả thiết nội trở nguồn Zng =Rng+jXng Trong trường hợp không trọng đến hiệu suất nguồn, trở kháng tải nối với nguồn thỏa mãn điều kiện:

t ng ng

t Z R jX

Z = * = − (1.48) cơng suất tải đạt cực đại có giá trị bằng:

ng R E P

4

0 = (1.49)

1.8 KỸ THUẬT TÍNH TỐN TRONG LÝ THUYẾT MẠCH 1.8.1 Kỹ thuật chuẩn hóa qua giá trị tương đối

Ta biết giá trị phần tử thông số mạch điện thường nằm khoảng rộng liên quan tới giá trị mũ 10, điều gây khó khăn nhiều làm ảnh hưởng đến tốc độ tính tốn Để khắc phục nhược điểm lý thuyết mạch thường sử dụng số kỹ thuật tính tốn, đặc biệt sử dụng giá trị chuẩn hoá

Nguyên tắc: Bằng việc chọn giá trị chuẩn thích hợp, người ta thay việc phải tính tốn

<Giá trị tương đối> = <Giá trị thực tế> / <Giá trị chuẩn>

Sau ta xét trường hợp mạch điện tuyến tính chứa thơng số R,L,C, ω Như cần phải lựa chọn bốn giá trị chuẩn Bốn giá trị chuẩn có mối liên hệ:

R L

R

C ch ch ch

ch

ch ch =

= ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

ω ω

1 (1.50)

Như bốn giá trị chuẩn, có hai giá trị chọn tự hai giá trị chuẩn lại suy từ hệ thức

Thí dụ: để chuẩn hóa thơng số

mạch điện hình 1.29, ta chọn hai giá trị chuẩn cách tuỳ ý, chẳng hạn ta chọn: Rch = 100Ω; Lch = 4mH, ta có hai giá trị chuẩn cịn lại:

16mH 200Ω

0,4μF 0,8μF

350Ω

4mH 100Ω

Hình 1.29 ωch ch

ch R

L s

= = 100− =

410. 25 Krad/ C

R ch

ch ch

= = =

2510 1003 ω Fμ Từ hệ đơn vị chuẩn vừa tính được, ta biểu diễn giá trị phần tử

mạch điện theo giá trị chuẩn hoá, tức theo giá trị tương đối hình 1.30 Rõ ràng việc tính tốn giá trị tương đối đơn giản nhiều

4

1

3,5

1 1

Hình 1.30

1.8.2 Các đại lượng lôgarit

Trong lý thuyết mạch ta ln gặp đại lượng có giá trị nằm khoảng rộng, khâu khuếch đại thường nối ghép theo kiểu dây chuyền Việc dùng đơn vị lôgarit giúp cho tính tốn biểu diễn đặc tuyến thuận lợi Sau số đại lượng logarit thường dùng:

-Đối với tỉ số công suất:

a P

P =10

0

.log , dB (1.51)

hoặc a P P =

2

0

.ln , Np (1.52)

-Đối với tỉ sốđiện áp: xuất phát từ hai công thức trên, người ta định nghĩa:

a U

U =20

0

.log , dB (1.53)

hoặc a U U =ln ,

0

Quan hệ dB Np:

1Np=8,7dB hay 1dB=0,115Np (1.55)

-Đối với tỉ số của tần số:

ν ω

ω =log2

0

[oct] (1.56)

hoặc ν ω ω =lg

0

[D] (1.57) Quan hệ [oct] [D]:

1oct=0,3D hay 1D=3,33oct (1.58)

CÁC THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1.1: Tính điện cảm tương đương của hai phần tử điện cảm L1 L2 hai trường hợp mắc nối tiếp mắc song song (giả sử chúng có hỗ cảm M)

M L2 L1

Hình 1.31

Giải:

a Trong trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.31):

Ta có: u L di dt M

di dt

1= ± ; u L di dt M

di dt = ± Mặt khác: u u u L L M di

dt L di dt td = 1+ 2 = ( 1+ 2 ±2 ) =

Vậy Ltd = L1+L2 ±2M (1.59) Dấu ‘-’ lấy đầu nối chung hai phần tử cực tính, ngược lại lấy dấu ‘+’

b Trong trường hợp mắc song song (hình 1.32): L1

L2 M

Hình 1.32 Ta xét cách biểu diễn phức:

G G G I = +I1 I2

G G G K G

U Z I= 1 1 ±Z IM 2 = ±Z IM 1+Z I2 2 Từ phương trình rút ra:

M M td

td

Z Z Z

Z Z Z I U L j Z

2

2

2

± +

− =

=

= G

G

ω (1.60)

Vậy

ω

j Z

L td

td = (1.61) đó: Z1=jωL1, Z2=jωL2 trở kháng hai phần tử cách biểu diễn phức ZM=jωM

Dấu ‘-‘ lấy dòng điện chảy vào chảy khỏi đầu có ký hiệu ‘*’, ngược lại biểu thức lấy dấu ‘+’

Thí dụ 1.2: Tính trở kháng đoạn mạch hình 1.33, biết R=100Ω, XL=20Ω, XC=5Ω (lấy theo giá trị môđun)

Giải:

hình 1.33

R XL XC

b a

Zab = ZR + ZL + ZC = R jX+ L −jXC thay số ta có:

Zab =100+ j20− j5= (100+j15) Ω

Thí dụ 1.3 : Cho mạch điện hình 1.34, đó: Z1 = 1-5j Ω; Z2 = 3+3j Ω; Z3= 6+6j Ω Điện áp vào có biên độ phức: j o

m e

U 30

1 =9 − G

V a Xác định U1(t), i1(t), i2(t) i3(t)

U1m Z1

Z3

Hình 1.34 Z2 b Tính cơng suất tác dụng đoạn mạch

Giải:

a.Ta có: j

Z Z

Z Z Z

Ztd 3

3

3

1+ + = − =

0 15

1

j td

m

m e

Z U

I = =

G G

Z3 Z5 Z1

Z2 Z4

Hình 1.35

15

3

1

2

j m

m Z e

Z Z

I

I =

+ =

G G

0 15

3

1

3

j m

m Z Z Z e

I

I =

+ =

G G

-Vậy: u1(t)=9 2sin(ωt−30o)

i1(t) =3sin(ωt + 15o) i2(t) =2sin(ωt + 15o) i3(t) =sin(ωt + 15o) b Công suất tác dụng:

P = U.I cosϕ = 13,5W

Thí dụ 1.4: Cho mạch điện hình 1.35, với số liệu viết dạng phức: Z1=(2.4 + 5j) Ω; Z2=(5-j) Ω; Z3=j Ω; Z5=(2 - j4) Ω; Z4=(2 + j4) Ω

a Vẽ sơ đồ tương đương chi tiết theo tham số r, XL, XC

b Đặt lên mạch điện áp điều hịa có giá trị hiệu dụng 5V, viết biểu thức thời gian dòng điện chạy mạch

a Sơ đồ tương đương chi tiết theo tham số r, Xl, Xc có dạng hình 1.36, lấy đơn vị Ω b Ta có:

r=2.4 XL=5 XL=1 r=2 r=2

XL=4 XC=1

r=5

XC=4 Hình 1.36

Z Z Z

Z Z

45 5

20 =

+ = = Ω Z345 =Z3+Z45 =(5+j)Ω

Z Z Z

Z Z

2345 345 345

26 10 =

+ = = Ω ZV =Z1 + Z2345 = (5 + 5j) Ω

)] ( exp[ )

1 (

2

5 = ω −π

+ =

= j t

j Z

U I

V m m

G G

Vậy biểu thức thời gian điện áp dòng điện mạch là: u t( )=5 2.cosωt

Y3 Y5 Y1

Y2 Y4

Hình 1.37 i t( )= cos(ωt−π)

4

Thí dụ 1.5: Cho mạch điện hình 1.37, với số liệu dạng phức (đơn vị Siemen):

Y1=5 + 5j Y4= 0.5 + 4j Y2=4 + 5j Y5= 0.5 - 3j Y3=1 - j

a Vẽ sơ đồ tương đương chi tiết theo tham số g, BB

j

L, BC

b Cho dòng điện điều hòa chạy qua mạch có giá trị hiệu dụng 5A, viết biểu thức thời gian điện áp đặt hai đầu mạch điện

Giải:

a Sơ đồ tương đương chi tiết mạch theo tham số g, BL, BC có dạng hình 1.38, (đơn vị Siemen)

Hình 1.38

g=0.5 g=1

g=5

g=0.5 g=4

BL=3 BL=1

BC=5

BC=4 BC=5

b Ta có:Y45 = Y4 +Y5 = +1

Y Y Y

Y Y

345 45 45

1 =

+ =

Y2345 = Y2 +Y345 = +5 5j

Y Y Y

Y Y j

V = 1+ 2345 = + 2345

2 5

)] ( exp[ ) (

2

5 ω π

− =

+ =

= j t

j Y

I

U m

m

29

Vậy biểu thức thời gian điện áp dòng điện mạch là: i t( )=5 2cosωt

u t( ) = 2cos( t− )

ω π

Thí dụ 1.6: Hãy xét đặc tính điện (theo tần số) chế độ xác lập mạch RLC nối tiếp hình 1.39

Hình 1.39

C L

R

U I Giải: Trở kháng mạch:

jX R X X j R I U

Z = G = + ( L − C)= +

G

L

XL =ω nằm nửa dương trục ảo;

C XC

ω

= nằm nửa âm trục ảo

C L X

X

X = − thành phần điện kháng mạch

2

2 (X X ) R X

R

Z = + L − C = + ;

R X arctg

Z =

=arg[ ] ϕ

Mối tương quan thành phần trở kháng mạch biểu diễn mặt phẳng phức hình 1.40a Cịn hình 1.40b mơ tả đặc tính thành phần điện kháng mạch theo tần số Khi tần số nhỏ f0, XC lớn XL, X có giá trị âm, mạch có tính điện dung, điện áp chậm pha so với dòng điện Khi tần số lớn f0, XC nhỏ XL, X có giá trị dương, mạch có tính điện cảm, điện áp nhanh pha so với dịng điện

Hình 1.40 XL

XC

R Z ϕ

X

(a)

XL

X=XL-XC

XC

f

0 f

0

(b)

I

fB1

R U I0 =

0 , I

f fB0 fB2

Tại tần số cộng hưởng mạch

LC f

π

1

0 = , XL cân với XC, thành phần điện kháng X mạch bị triệt tiêu, trở kháng

mạch bé trở, dòng điện mạch đạt cực đại đồng pha với điện áp Khi tần số lệch khỏi giá trị cộng hưởng, phần điện kháng X mạch tăng, tức trở kháng

30

mạch tăng, nghĩa dòng mạch giảm Sự phụ thuộc biên độ dòng điện vào tần số dẫn đến tính chọn lọc tần số mạch Hình 1.41 mơ tả tính chọn lọc tần số mạch (với nguồn tác động nguồn áp lý tưởng)

-Dải thông của mạch:

Q f f f

BW

1 − =

= (1.62) f1, f2 tần số biên dải thơng, cịn gọi tần số cắt, xác định vị trí mà biên độ đặc tuyến bị giảm 3dB (tức 0,7I0); cịn Q đại lượng đặc trưng cho tính chọn lọc tần số mạch gọi phẩm chất mạch (tại tần số cộng hưởng) Khi Q tăng dải thơng mạch hẹp, độ chọn lọc cao

C L R

Q= (1.63) -Tại tần số cộng hưởng, điện áp L C ngược pha gấp Q lần điện áp tác động:

U

UGr = G (điện áp R điện áp tác động biên độ pha)

U jQ

UGc =− G điện áp C chậm pha π/2 so với U

U jQ

UGL = G điện áp L nhanh pha π/2 so với U

Chú ý rằng, thực tế, tần số cộng hưởng, điện áp tổng U đạt cực tiểu, L C tồn điện áp ngược pha với độ lớn gấp Q lần điện áp tổng Vì người ta nói mạch RLC nối tiếp mạch cộng hưởng điện áp

Thí dụ 1.7: Hãy xét đặc tính điện (theo tần số) chế độ xác lập mạch RLC song song hình 1.42

Giải: Dẫn nạp mạch:

jB G B B j R Z U

I

Y = G = = + ( C − L)= +

G

C L

R

Hình 1.42 U

I C

C

X C

B =ω = nằm nửa dương trục ảo;

L

L L X

B = =

ω nằm nửa âm trục ảo L

C B

B

B= − thành phần điện nạp mạch 2

2 ( )

1

B G B

B R Z

Y = = + C − L = + ;

G B arctg

Y =

=arg[ ] ϕ

Mối tương quan thành phần dẫn nạp mạch biểu diễn mặt phẳng phức hình 1.43a

BC B

U

f1

IR

U0 =

0 , U

f f0 f2

BW Hình 1.44

Cịn hình 1.43b mơ tả đặc tính thành phần điện nạp mạch theo tần số Khi tần số nhỏ f0, BL lớn BC, B có giá trị

âm, mạch có tính điện cảm, điện áp nhanh pha so với dòng điện Khi tần số lớn f0, BL nhỏ BC, B có giá trị dương, mạch có tính điện dung, điện áp chậm pha so với dòng điện Tại tần số cộng hưởng mạch

LC f

π

1

0 = , BL cân với BC, thành phần điện nạp B mạch bị triệt tiêu, trở kháng mạch

là lớn trở, điện áp mạch đạt cực đại đồng pha với dòng điện Khi tần số lệch khỏi giá trị cộng hưởng, phần điện nạp B mạch tăng, tức trở kháng mạch giảm, nghĩa điện áp mạch giảm Hình 1.44 mơ tả tính chọn lọc tần số mạch (với nguồn tác động nguồn dòng lý tưởng)

- Dải thông mạch:

Q f f f

BW

1 − =

= (1.64)

- Phẩm chất mạch (tại tần số cộng hưởng):

L C R

Q= (1.65) Khi Q tăng dải thơng hẹp, độ chọn lọc mạch cao

-Tại tần số cộng hưởng, dòng điện thành phần mạch đạt cực đại, dịng L C ngược pha gấp Q lần dòng điện tác động:

I

IGR = G (dòng điện R dòng tác động biên độ pha)

I jQ

IGL =− G dòng L chậm pha π/2 so với I

I jQ

Chú ý rằng, thực tế, tần số cộng hưởng, dòng điện tổng I qua mạch đạt cực tiểu, tồn dịng điện ln chuyển khép kín LC với độ lớn gấp Q lần dịng điện tổng Vì người ta nói mạch RLC song song mạch cộng hưởng dịng điện

Các đặc tính đầy đủ điện chế độ xác lập điều hòa mạch dao động đơn tìm thấy phần phụ lục

TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG I

• Mạchđiện mơ hình xác gần hệ thống điện, nhằm thực tốn tử lên tác động đầu vào, nhằm tạo đáp ứng mong muốn đầu • Mạch điện bao gồm thông số tác động thụ động Mỗi loại thông số đặc trưng cho

tính chất định phần tử nói riêng mạch điện nói chung

• Điện trở thuộc loại thơng số thụ động khơng qn tính, đặc trưng cho tiêu tán lượng, dịng điện điện áp đồng pha

• Điện dung thuộc loại thơng số qn tính, đặc trưng cho phóng nạp lượng điện trường Trong chế độ AC, điện dung dòng điện nhanh pha 900 so với điện áp

• Điện cảm thuộc loại thơng số qn tính, đặc trưng cho phóng nạp lượng từ trường Trong chế độ AC, điện cảm dòng điện chậm pha 900 so với điện áp

• Nguồn điện chế độ phát thuộc loại phần tử tích cực, thân có tổn hao đặc trưng nội trở nguồn

• Khi phân tích mạch, thường triển khai nguồn thành sơ đồ tương đương nguồn áp nguồn dòng Khi Rng nhỏ so với Rtải lựa chọn nguồn áp thích hợp nhất, ngược lại lựa chọn nguồn dịng lại có ý nghĩa thực tiễn

• Sự phức hóa dao động điều hịa có chất khai triển tín hiệu thành chuỗi Fourier tích phân Fourier Nó cho phép chuyển mạch điện tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số

• Mạch điện truyền thống miền thời gian đặc trưng hệ phương trình vi phân, miền tần số đặc trưng hệ phương trình đại số

• Trở kháng dẫn nạp đoạn mạch hoàn toàn đặc trưng cho tính chất đoạn mạch miền tần số tần số làm việc xác định Trở kháng đại diện cho sơ đồ tương đương nối tiếp, dẫn nạp đại diện cho sơ đồ tương đương song song đoạn mạch

• Việc phân tích nguồn tác động thành thành phần điều hoà biểu diễn chúng dạng phức làm cho tính tốn thông số mạch điện trở nên thuận lợi dựa phép toán số phức, đặc biệt nguồn tác động điều hịa có tần số

• Từ miền thời gian, cách phức hóa mạch điện, bạn chuyển mạch điện sang miền tần số để tính tốn đáp ứng mạch theo phép tính đại số đơn giản, sau đó, cần thiết, bạn chuyển đổi ngược kết miền thời gian

• Cơng suất tác dụng P mạch cơng suất tỏa nhiệt thành phần điện trở mạch

• Tại tần số cộng hưởng, mạch cộng hưởng LC nối tiếp cho trở kháng bé trở, đồng thời làm cho điện áp thành phần điện kháng gấp Q lần điện áp lối vào ngược pha

• Tại tần số cộng hưởng, mạch cộng hưởng LC song song cho trở kháng lớn trở, đồng thời làm cho dòng điện thành phần điện kháng gấp Q lần dòng điện lối vào ngược pha

• Hệ số phẩm chất Q mạch LC liên quan đến nội trở R gây tổn hao lượng mạch; quy định tính chất chọn lọc tần số mạch

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG I

1.1 Mơ hình tốn học mạch điện miền thời gian đặc trưng bởi: a Các thành phần trở kháng dẫn nạp mạch

b Một hệ phương trình vi phân sai phân c Các thành phần dòng điện điện áp mạch

1.2 Hiệu chuyển mạch điện analog từ miền thời gian sang miền tần số là: a biến đổi Fourier

b phức hóa dịng áp mạch điện

c thay thông số thụ động mạch đại lượng phức d thay hệ phương trình vi phân hệ phương trình đại số

1.3 Trở kháng phần tử dung :

a) ZC = j Cω b) ZC jXC j Cω

= = − c) ZC = −j Cω

1.4 Trở kháng phần tử cảm : a) ZL

j Lω

= b) ZL j L

ω

= c) ZL = j Lω = jXL

1.5 Dẫn nạp phần tử dung : a)YC j jBC

C

ω

= = b) YC = j Cω = jBC c)YC j C j Cω

= = − B

1.6 Dẫn nạp phần tử cảm :

33 a) YL j jBL

L

ω

= = ; b) YL jBL; c) Y j j Lω

= = L L= jBL; d) YL jBL j Lω

= = −

= ω

1.7 Xác định trở kháng tương đương đoạn mạch hình 1.45

34 b Z=1+j5 Ω

c Z=1-j15 Ω d Z=1+j15 Ω

1.8 Xác định trở kháng tương đương đoạn mạch hình 1.46?

a Y=5+j5 (S) 5 S

5 S 10 S Hình 1.46 b Y=5+j15 (S)

c Y=5-j15 (S) d Y=5-j5 (S)

1.9 Xác định hình 1.47 sơ đồ tương đương đoạn mạch có trở kháng Z= 2+j2 Ω?

1.10 Xác định hình 1.48 sơ đồ tương đương đoạn mạch có trở kháng Z =3-j2 Ω?

1.11 Xác định hình 1.49 sơ đồ tương đương đoạn mạch có dẫn nạp Y=2+j5 (S)?

1.12 Xác định hình 1.50 sơ đồ tương đương đoạn mạch có dẫn nạp Y=3-j5 (S)? R=2Ω XC=2Ω R=2Ω XL=2Ω XL=2Ω XC=2Ω

a) c)

a) b)

Hình 1.47

R=3Ω XC=2Ω R=3Ω XL=2Ω XL=3Ω a

XC=2Ω

) c)

a) b)

Hình 1.48

G=2 S

BL=5 S

G=2 S

BC=5 S

BC=2 S

BL=5 S

a) b) c)

Hình 1.49

G=3 S

B =5 S

G=3 S

B =5 S

BC=3 S

1.13 Xét nguồn có Trở kháng Zng=Rng+jXng Điều kiện phối hợp để công suất tác dụng tải đạt cực đại là:

a Trở kháng tải kháng b Trở kháng tải trở

c Trở kháng tải trở kháng nguồn (Zt = Zng= Rng+jXng)

d Trở kháng tải liên hợp trở kháng nguồn (Zt =Rng-jXng ) 1.14 Trong mạch cộng hưởng RLC nối tiếp, UL lớn UC thì:

a Mạch có tính cảm kháng b Mạch có tính dung kháng c Mạch trở

1.15 Tại điểm cộng hưởng mạch cộng hưởng RLC nối tiếp: a Mạch có tính dung kháng, dịng điện nhanh pha so với áp b Mạch có tính cảm kháng, dòng chậm pha so với áp c Mạch có tính trở, dịng với áp đồng pha

1.16 Hệ số phẩm chất Q mạch cộng hưởng RLC nối tiếp tăng cách: a Tăng R

b Giảm R c Giảm XL

1.17 Trở kháng mạch RLC song song tần số cộng hưởng a Cực tiểu trở

b Cực đại trở c Không xác định d Bằng khơng

1.18 Mạch điện hình 1.51 có (nhiều nhất) nút nhánh ? a nút, nhánh

b nút, nhánh c nút, nhánh d nút, nhánh

e2

e1 +

-+

-C R1

L

R2

R3

1.19 đoạn mạch hình 1.52 Điện áp tác động có biên độ

phức j o

m e

UG =3. − 30 Tính dòng điện điện áp phần

tử mạch U

Z1=1-j Ω Z2=2-2jΩ

Hình 1.52

1.20 Cho mạch điện AC hình 1.53 với Z1=1.5-2j(Ω); Y2=1+j (s); Y3= 1-j (s) Điện áp tác động có biên độ

phức: j o

m e

U 30

1 − =

G

Z1

Y2 Y3

Hình 1.53 U1m

a Xác định U1(t), i1(t), i2(t) i3(t)

b Vẽ sơ đồ tương đương đoạn mạch theo tính chất thơng số thụ động

c Tính cơng suất tác dụng đoạn mạch

1.21 Đoạn mạch điện hình 1.54, đó: Z1 = 1+5jΩ; Z2 = 3-3jΩ; Z3= 6-6j Ω Điện áp vào có biên độ phức: j o

m e

U 60

1 =6 G

U1m Z1

Z2

Z3

Hình 1.54 a Xác định U1(t), i1(t), i2(t) i3(t)

b Vẽ sơ đồ tương đương đoạn mạch theo tính chất thơng số thụ động

c Tính cơng suất tác dụng đoạn mạch

1.22 Cho mạch điện (hình 1.55): Y1=0.5-0.5j (s); Y2= 0.5+0.5j (s); Z3=0.5-1.5j(Ω) Đặt lên mạch điện áp có biên

độ phức: j o

m e

UG =2 2. − 30

Um Z3

Hình 1.55 Y1

Y2 a Xác định U(t), i1(t), i2(t) i(t)

b Vẽ sơ đồ tương đương đoạn mạch theo tính chất thông số thụ động

CHƯƠNG II

CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN

GIỚI THIỆU

Trong chương xét khái niệm mạch điện, chủ yếu dựa vào hai thơng số trạng thái điện áp dòng điện Sang chương sẽđi sâu vào nghiên cứu mối quan hệ thơng số trạng thái đó, mối quan hệ quy định định luật

bản chúng cứđể xây dựng phương pháp phân tích mạch điện Cụ thể là:

• Giới thiệu hai định luật dịng điện điện áp mạch

• Thảo luận phương pháp phân tích mạch kinh điển, bao gồm phương pháp dòng điện nhánh, phương pháp dòng điện vòng, phương pháp điện áp nút Cơ sở phương pháp phân tích mạch định luật Kirchhoff

• Áp dụng biến đổi tương đương để tìm đáp ứng nhánh mạch

• Vận dụng nguyên lý xếp chồng phân tích mạch tuyến tính

NỘI DUNG

2.1 CƠ SỞ CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH

Bao trùm lên hầu hết tượng mạch điện định luật Kirchhoff, định luật liên quan tới dòng điện nút sụt áp vịng kín

2.1.1 Định luật Kirchhoff I

Định luật phát biểu dòng điện, nội dung là: “ Tổng dịng điện vào nút bằng tổng dòng điện khỏi nút ” Hoặc là: “Tổng đại số dòng điện nút bằng không”:

a ik k

k

∑ = (2-1) đó: ak = dịng điện nhánh khỏi nút xét

ak = -1 dòng điện nhánh vào nút xét ak = nhánh không thuộc nút xét Như định luật I mơ tả dạng ma trận:

A I. nh =0 (2-2) A ma trận hệ số có kích cỡ tối đa [Nn x Nnh] gọi ma trận nút, Inh có kích cõ [Nnh x 1] gọi ma trận dòng điện nhánh

Kirchhoff viết Nn phương trình, có Nn -1 phương trình độc lập. Như

sẽ có Nnh- Nn+1 dịng điện nhánh coi giá trị tự 2.1.2 Định luật Kirchhoff II

Định luật phát biểu vềđiện áp, nội dung là: “ Tổng đại số sụt áp phần tử

thụđộng vịng kín tổng đại số sức điện động có vịng kín đó ” Hoặc là: “Tổng đại số sụt áp nhánh vòng kín khơng”:

b uk k

k

∑ =0 (2-3) đó: bk = chiều điện áp nhánh chiều vòng quy ước,

bk = -1 chiều điện áp nhánh ngược chiều vòng quy ước, bk = nhánh khơng thuộc vịng xét

Khi phân tích mạch điện, để việc áp dụng định luật II thuận tiện, mạch chứa nguồn dịng cần phải chuyển dạng nguồn áp Ta chọn vịng khơng với chiều vịng kín tuỳ ý Nhưng viết định luật II cho nhiều vịng nên ý khơng phải tất phương trình độc lập với Chúng ta

chứng minh từđịnh luật kirchhoff viết (Nnh - Nn + 1) phương trình độc lập

(tương ứng với số nhánh bù cây, hay số vòng tương ứng với lựa chọn) Như

vậy định luật Kirchhof mơ tả dạng ma trận:

B U nh =0 (2-4) B ma trận hệ số thường có kích cỡ [Nb x Nnh] gọi ma trận mạch, Unhcó kích cỡ [Nnh x 1] gọi ma trận điện áp nhánh

Thí dụ, xét mạch điện hình 2-1a Với qui ước chiều dịng điện nhánh hình vẽ, theo định luật Kirchhoff I ta viết bốn phương trình, có phương trình phụ thuộc:

Z6

Z4 Z2

Z3

Z1 Z5

Hình 2.1a

A B C

O Nút A: i1 +i2 +i6 =0

Nút B: -i2 +i3 +i4 =0 Nút C: -i4 +i5 -i6 =0

Nút O -i1 -i3 -i5 =0

Viết dạng ma trận: 0

1 1

1 1 0

0 1

1 0 1

6

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− −

−

− −

−

Trở lại mạch điện nêu trên, áp dụng định luật Kirchhoff II cho vòng ứng với gốc O (hình 2-1b) ta viết phương trình tương ứng:

V I: -u1 +u2 +u3 =0 VII: -u3 +u4 +u5 =0 VIII: -u1 +u5 +u6 =0

Z6

Z4 Z2

Z3

Z1 Z5

Hình 2.1b A

B

C

O IV

II I

III Viết dạng ma trận:

0

1 0

0 1 0

0 0 1

6

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

− −

u u u u u u

Chú ý: Kết hợp hai định luật Kirchhoff ta viết Nnh phương trình độc lập.

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH CƠ BẢN

Xét toán tổng quát: Cho mạch điện với số nút mạch Nn, số nhánh mạch Nnh Hãy tìm dịng điện chạy nhánh Các thông

số nguồn giả thiết cho dạng hiệu dụng phức

E8 Z8

Z4 Z6 Z2

Z5

Z1 Z7

E5 E1

Z3

E7

Hình 2.2a - Trong mạch hình 2.2, ta có:

Nn=5, Nnh=8

như tương ứng có biến số (là dịng điện chạy nhánh tương ứng)

Để giải tốn này, có số phương pháp sau đây:

2.2.1 Phương pháp dòng điện nhánh

Cơ sở: áp dụng trực tiếp định luật kirchhof để lập hệ phương trình trạng thái mạch, ẩn số dòng điện nhánh Chú ý có Nn-1 phương trình theo

định luật 1, Nnh-Nn+1 phương trình theo

định luật Cụ thể sau:

E8 Z8

Z4 Z6 Z2

Z5

Z1 Z7

E5 E1

Z3

E7

Hình 2.2b

A B C D

O

Bước 1: Đặt tên cho nút mạch (A, B,C,D,O), chọn nút làm gốc (cụ

thể ta chọn O làm nút gốc) hình 2.2b Chú ý tương ứng với nút gốc O

Bước 2: Giảđịnh chiều dòng nhánh cách tùy ý (cụ thể ta chọn chiều dịng nhánh hình 2.2b) Chú ý việc chọn chiều dòng nhánh ảnh hưởng tới việc viết phương trình, cịn dấu kết cuối cho ta biết chiều thực tế dòng

nhánh E

8 Z8

Z4 Z6 Z2

Z5

Z1 Z7

E5 E1

Z3

E7

A B C D

O

V1 V2 V4 V3 Hình 2.2c

Bước 3: thành lập vòng cho mạch (mỗi vòng chứa nhánh mới) Số vòng phải thành lập Nnh-Nn+1 Thường vòng lựa chọn vòng ứng với Chiều vịng lựa chọn tùy ý Cụ thể ta thành lập vịng hình 2.2c

Bước 4: thành lập hệ có Nnh phương trình dịng điện nhánh, bao gồm:

+ (Nn-1) phương trình theo định luật I (viết cho nút, trừ nút gốc), cụ thể sau:

Nút A: I1+I2+I8 =0 Nút B: I2-I3-I4 =0 Nút C: I4-I5-I6 =0 Nút D: I6-I7+I8 =0

+ (Nnh-Nn+1) phương trình theo định luật (viết cho vòng lập) Cụ thể sau: p.trình cho V1: Z2.I2 + Z3.I3 + (-E1-Z1.I1) =

p.trình cho V2: Z4.I4 + (Z5.I5 + E5) - Z3.I3 = p.trình cho V3: Z6.I6 + (Z7.I7+E7) + (-E5 - Z5.I5) = p.trình cho V4: ( Z8.I8 -E8 )+(Z7.I7+E7)+(-E1 - Z1.I1) =

Bước 5: giải hệ phương trình thành lập để tính dịng điện nhánh

Thí dụ 2.1:

R1=5 Ω E

10V

A

O

R3=10 Ω

R2 10Ω Hình 2.3a Tính dịng nhánh mạch điện

như hình 2.3a phương pháp dịng điện nhánh (giả thiết nguồn tác động chiều có giá trị 10V)

Giải: mạch có Nn=2, Nnh=3

+Đặt tên nút A, O Chọn O làm gốc R 3=10 Ω +Giả định chiều dương dòng

nhánh thành lập vòng mạch

hình 2.3b

+Viết hệ phương trình: I1+I3=I2

RI+R I -E=0

R =5 Ω A

O E =10V

DC R2

10 Ω

Hình 2.3b

-R3I3- R2I2=0

Thay số liệu mạch ta được: I1+I3=I2

I1+2I2=2 I3-I2=0

Giải hệ ta có: I1= 1A, I2= 0,5A, I3= -0,5A Điều chức tỏ dòng I3 thực tế chạy ngược lại 2.2.2 Phương pháp dòng điện vòng

Ta biết từ hai định luật Kirchhoff lập phương trình mạch, định luật Kirchhoff cho Nn - phương trình độc lập, định luật Kirchhoff cho Nnh -Nn + phương trình độc lập Trên sở phương trình đó, người ta tìm cách biến đổi từ mối quan hệ

giữa dòng điện điện áp nhánh đểđưa phương trình dạng giải theo ẩn số mới, ý tưởng cho phương pháp phân tích mạch điện Điện áp nút hay dòng điện vòng phương pháp đổi ẩn sốđiển hình

Trở lại tốn tổng qt hình 2.2, ta tìm dòng điện chạy nhánh phương pháp khác, ta thay ẩn số thực dòng nhánh ẩn số trung gian dòng điện vòng giảđịnh chạy

vòng kín

Bước 1: Thành lập vịng cho mạch

hình 2.4 (mỗi vịng tương ứng với dòng

điện vòng giảđịnh) Chú ý vòng thành lập sau phải chứa tối thiểu nhánh so với vòng thành lập trước Các vòng

ứng với thỏa mãn điều kiện Số

vòng phải thành lập Nnh-Nn+1 Cụ thể, ta thành lập bốn dòng điện vòng mạch IV1, IV2, IV3, IV4

Bước 2: Thành lập hệ gồm Nnh-Nn+1 phương trình cho mạch tương ứng với vịng kín,

trong ẩn số dòng điện vòng giảđịnh, dựa sở áp dụng định luật kirchhof Để

làm rõ quy luật thành lập hệ phương trình, ta xét vòng cụ thể, chẳng hạn ta xét vòng thứ

tư (IV4)

E8 Z8

Z4 Z6 Z2

Z5

Z1 Z7

E5 E1

Z3

E7

A B C D

O

IV1 IV2 IV4 IV3 Hình 2.4

Định luật áp dụng cho vòng bốn, nguyên thủy theo ẩn số thực (là dòng điện nhánh) viết sau:

( Z8.I8 -E8 )+(Z7.I7+E7)+(-E1 - Z1.I1) =

Chú ý rằng: I8=IV4; I7= IV4-IV3; I1= -(IV1+IV4) Khi đó, phương trình vòng bốn viết lại theo ẩn số (là dòng điện vòng giảđịnh) sau:

Z1.Iv1 +0.Iv2 -Z7.Iv3 + (Z1+Z7+Z8).Iv4 = E1 +E8 -E7

Từ quy luật đó, ta viết hệ phương trình dịng điện vịng cho mạch sau V1: (Z1+Z2+Z3).Iv1 -Z3.Iv2 +0.Iv3 +Z1.Iv4 = E1 V2: -Z3.Iv1 +(Z3+Z4+Z5).Iv2+ Z5.Iv3 + 0.Iv4 = -E5 V3: 0.Iv1 +Z5.Iv2 + (Z5+Z6+Z7).Iv3- Z7.Iv4 = E7-E5 V4: Z1.Iv1 +0.Iv2 -Z7.Iv3 + (Z1+Z7+Z8).Iv4= E1 +E8 -E7

Bước 3: giải hệ phương trình dịng điện vịng để tìm giá trị dòng điện vòng giảđịnh

Bước 4: chuyển kết trung gian dòng điện nhánh, cụ thể là: I1=-(Iv1+Iv4) I2=Iv1

I3=Iv1-Iv2 I4=Iv2 I5=Iv2+Iv3 I6=-Iv3 I7=Iv4-Iv3 I8=Iv4

Chú ý: Hệ phương trình dịng điện vịng viết dạng phương trình ma trận

trong ta gọi ma trận:

Z1.Iv1 +0.Iv2 -Z7.Iv3 + (Z1+Z7+Z8).Iv4

Vế phải

E1 +E8 -E7

=

Trở kháng chung vòng lân cận vòng xét (lấy dấu dương vòng lân cận chiều vòng xét, lấy dấu âm

nếu hai vịng ngược chiều nhau)

Tổng trở kháng vòng

xét

Dòng điện vòng xét Các dòng điện vòng lân cận

Vế phải tổng đại số sức điện động có vịng xét, lấy dấu dương chiều dòng nguồn chiều vòng xét, lấy dấu âm chiều dòng

nguồn ngược chiều vòng xét

là ma trận trở kháng vịng Ma trận vng có đặc điểm là: -Nằm đường chéo trở kháng vòng

-Hai bên đường chéo trở kháng chung đối xứng qua đường chéo

Thídụ 2.2:

Tính dịng nhánh mạch điện thí dụ 2.1 phương pháp dòng điện vòng

Giải: Thành lập vòng, tương ứng IV1 IV2 hình 2.5 Hệ phương trình viết thành:

(R1+R2) IV1-R2IV2=E

R1=5 Ω E =10V

DC

R3=10 Ω -R2IV1+(R2+R3)IV2=0 A

O R2 10 Ω Thay số liệu, ta có:

15 IV1-10IV2=10

Hình 2.5

V1 V2

-10IV1+20IV2=0 Giải hệ ta được:

IV1=1A, IV2=0,5A Vậy dòng nhánh là:

I1= IV1=1A, I2=IV1- IV2=0,5A, I3=IV2=0,5A

Các kết hoàn toàn trùng với kết cách giải phương pháp dòng điện nhánh

Thí dụ 2.3: Cho mạch điện hình 2.6

a Viết hệ phương trình dịng điện vịng khơng tính đến hỗ cảm cuộn cảm

b Tính dịng điện chạy qua nhánh trường hợp có tính đến ghép hỗ cảm, cho biết giá trị: R1=1Ω; R2=1Ω; XL1=1Ω; XL2=2Ω; XM=1Ω; E=1V

Giải: XL1

Iv1

Iv2 R2 XL2

R1 E

* *

Hình 2.6 a Các phương trình dịng điện vịng khơng tính

đến hỗ cảm:

(R1+jXL1+R2)Iv1 -R2Iv2 = E -R2Iv1 +(jXL2+R2)Iv2 =

b Các phương trình dịng điện vịng có tính đến hỗ cảm:

(R1+jXL1+R2)Iv1 -(R2 +jXM)Iv2 = E -(R2+jXM)Iv1 +(jXL2+R2)Iv2 =

trong thành phần -jXMIv2 điện áp hỗ cảm dòng điện Iv2 chạy XL2 gây XL1, thành phần -jXMIv1 điện áp hỗ cảm dòng điện Iv1 chạy XL1 gây XL2

( ) ( )

( ) ( )

2

1

1 2 + − + = − + + + = ⎧ ⎨ ⎩

j I j I

j I j I

v v

v v

1 áp dụng quy tắc Crame ta tính được:

Iv1 j jA

3

1

= − A Iv2 = −

Theo cơng thức biến đổi vịng:

A I I j I j I

iX v v v v

L i ; A i ; A 2 R X

1 L2

1 = − =

− = = − = =

Thí dụ 2.4: tính dịng điện nhánh mach điện hình 2.7

Giải: Trước hết ta phải chuyển nguồn dòng Ing2 dạng nguồn áp: E2 = Ing2.R2, mạch điện vẽ lại hình 2.8 Bây ta viết hệ phương trình dịng điện vịng cho mạch mới:

( ) ( )

( ) ( )

R jX jX I jX jX I E

jX jX I R jX jX I E

L c v c M v

c M v L c v

1 1

1 2

+ − + − ± = − ± + + − = ⎧ ⎨ ⎩

Theo quy tắc Crame ta có:

v M c c L v c L M c v Z E X X j E X X j R Z X X j R E X X j E I Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ± − − + = Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ± − = 1 v2 2 1 ) ( ) ( I ) ( ) (

Các cơng thức biến đổi vịng mạch điện: IL1 = Iv1 ; IL2= Iv2; IC= Iv1 + Iv2

Chú ý dòng điện R2 mạch điện ban

đầu sẽđược tính theo cơng thức: IR2= Ing2 - Iv2

Thí dụ 2.5: Tính dịng điện nhánh mạch điện hình 2.9 với số liệu nguồn dạng hiệu dụng phức:

E1=1V; E6=j V; Z1=1Ω; Z2=-jΩ; Z3=jΩ; Z4=1Ω; Z5=jΩ; Z6=1Ω

Giải: Ta sử dụng phương pháp dòng điện vòng

để giải toán này:

XL1 X

R2 L2 Xc R1 Ing2 E1 Hình 2.7 XM XL1 Iv1 Iv2 R2 XL2 Xc R1 E2 E1 Hình 2.8 XM E6 Z6 Z5 Z4 Z3 Z2 Z1 E1 B D C A Hình 2.9 Iv3

( )

( )

( )

Z Z Z I Z I Z I E

Z I Z Z Z I Z I

Z I Z I Z Z Z I E

v v v

v v v

v v v

1 2

2 5

4 5 6

0 + + − − = − + + + − = − − + + + = − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

Thay số:

( )

( )

2

0

1

1

1

− + − = + − = − − + + = − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

j I jI I jI jI jI

I jI j I

v v v

v v v

v v v j

Giải hệ phương trình theo phương pháp định thức:

ΔZ

j j

j j j

j j j v = − − − − − + = + 1 2

Tính được:

10 1 ; 2 1 ; 10 2 1 j j j j j j j j I j j j j j j j I j j j j j j j j

Iv v v = −

+ − − − − = + − = + + − − − − − = − = + + − − − − =

Theo cơng thức biến đổi vịng mạch điện ta tính dòng điện hiệu dụng phức:

; I ; 10 2 1 j I I j I

I = v = − = v − v = +

5 I ; 1 j I I j I

I = v =− + = v − v =− +

10 I ; 10 3 j I j I I

I = v − v = − = v = −

2.2.3 Phương pháp điện áp nút

Trở lại xét tốn tổng qt hình 2.10a Bây ta tìm dịng điện chạy nhánh phương pháp khác, ta thay ẩn số thực ẩn số trung gian điện áp nút Trong tốn có thay

đổi nhỏ biểu diễn nhánh mạch theo dẫn nạp

Bước 1: đánh ký hiệu cho nút A,B,C,D,O chọn nút làm gốc

hình 2.10b Nút gốc có điện quy ước điểm chung (0V) Điện nút cịn lại điện áp so với gốc Trong trường hợp cụ thể ta chọn gốc nút O

Bước 2: thành lập hệ phương trình điện áp

nút cho mạch Hệ phương trình viết cho Nn-1 nút, trừ nút gốc Cơ sở định luật Kirchhoff Để tìm quy luật thành lập, ta xuất phát từ phương trình gốc nút A:

E8 Y8

Y4 Y6 Y2

Y5

Y1 Y7

E5 E1

Y3

E7

Hình 2.10a

Chú ý dịng tính từ điện

áp nút: Y8 E8

Y4 Y6 Y2

Y5

Y1 Y7

Y5 E1

Y3

E7

Hình 2.10b

A B C D

O

8

2

1 1

/ /

1 /

1 Y

E U U I Y

U U I Y

E U

I = A− = A− B = A− D+

khi đó, phương trình nút A viết lại theo ẩn số (là điện áp nút)

sau:

/ /

1 /

1 8

8

2

1 + − + − + =

−

Y E U U Y

U U Y

E

UA A B A D

nhóm số hạng chuyển vế ta được:

(Y1+Y2+Y8).UA - Y2.UB - 0.UC - Y8.UD = Ing1-Ing8

trong đó, dịng điện nguồn tính theo biểu thức:

8 8 8

1 1

1 , EY

Z E I

Y E Z E

Ing = = ng = =

Ta rút quy luật thành lập vế trái phải phương trình viết cho nút A:

Các dẫn nạp chung nút lân cận so với nút

đang xét Tất cảđều lấy dấu âm

Từ quy luật đó, ta viết hệ phương trình điện áp nút cho mạch sau: A: (Y1+Y2+Y8).UA - Y2.UB - 0.UB C - Y8.UD = Ing1 - Ing8 B: -Y2.UA +(Y2+Y3+Y4).UB - YB 4.UC - 0.UD = C: 0.UA -Y4.UB + (YB 4+Y5+Y6).UC - Y6.UD = Ing5 D: -Y8.UA -0.UB -YB 6.UC + (Y6+Y7+Y8).UD = Ing7 + Ing8 Bước 3: giải hệ phương trình để tìm điện áp nút

Bước 4: Chuyển đổi kết trung gian dòng nhánh, cụ thể là: Tổng dẫn

nạp nối vào nút

đang xét

A: (Y1+Y2+Y8).UA - Y2.UB - 0.UC - Y8.UD = Ing1-Ing8 Nút

đang xét

Các nút lân cận Vế phải tổng đại số Ing nối vào nút xét Lấy dấu +

1 1 Z E U

I = A−

3

Z U

I = B

5 5 Z E U

I = C −

7 7 Z E U

I = D−

2

Z U U

I = A− B

4

Z U U

I = B− C

6

Z U U

I = C− D

8 8 Z E U U

I = A− D+

Chú ý: Hệ phương trình viết dạng phương trình ma trận:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − − + + − − + + − − − + + 8 6 6 4 4 2 8 0 0 ng ng ng ng ng D C B A I I I I I U U U U Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

trong đó, ta gọi ma trận:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − − + + − − + + − − − + + 6 6 4 4 2 8 0 0 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

là ma trận dẫn nạp nút, có đặc điểm là:

-Nằm đường chéo dẫn nạp nút

-Hai bên đường chéo dẫn nạp chung đối xứng qua đường chéo

Thí dụ 2.6: Tính dịng nhánh mạch điện hình 2.11 phương pháp điện áp nút

Giải: đặt tên nút mạch A,O Chọn nút O

làm gốc Mạch có phương trình cho nút A: R1=5 Ω E

10V

A

O

R3=10 Ω

R2 10Ω Hình 2.11 ) 1 ( R E U R R

R + + A =

Thay số ta được:

V U UA A

5 10 ) 10 10 ( + + = ⇒ =

Cuối cùng, đổi kết trung gian dòng nhánh:

A R U I A R U I A R E U

I A 1 , A 0.5 A 0.5 3

2

1 =− = = = =

− =

Dấu ‘- ‘ I1 có nghĩa dịng thực tế I1 chạy

vào nút A R2 E2

XL2 XL1

A B C

R3 Xc Ing3 R1 E1 O Hình 2.12

Thí dụ 2.7: Hãy viết hệ phương trình điện áp nút cho mạch điện hình 2.12

Giải:

UA, UB, UB C: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + + + − − = − − + + + − + = − − + + 2 ng3 C L2 B L2 A C L2 B c L2 L1 A L1 2 1 C B L1 A L1 R E I )U R R jX ( U jX U R U jX )U jX jX jX ( U jX R E R E U R U jX )U jX R R (

Qua thí dụ ta thấy sơ đồ mạch việc biểu diễn nguồn dòng thuận tiện để áp dụng phương pháp điện áp nút, trước viết phương trình bạn chuyển đổi nguồn áp nguồn dịng

Thí dụ 2.8:

Cho mạch điện hình 2.13 Hãy tính dịng điện chạy qua R1 XL phương pháp điện áp nút

Giải: R1 A XL B

R3 R2 Xc E2 E1 O Hình 2.13 Chọn nút gốc O, hệ hai phương trình

điện áp nút là:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + + − = − + − + 2 1 R E = ) 1 ( + 1 ) 1 ( B L A L B L A L c U jX R R U jX R E U jX U jX jX R

Theo qui tắc Crame ta có:

L A L L L c L A jX R R U jX jX jX jX R jX R R R E U 1 1 1 1 1 R E jX 3 2 L 1 + + − − + − + + + = U

R jX jX

E R jX

R jX jX jX jX U R R jX B

c L

L

c L L

L A L = + − + − + − + − − + E R 2

1 1

1 1

1 1

1 1 +

Theo công thức biến đổi nút mạch ta tính được:

L B A A jX U U R E

U − = −

=

L

1 X

1

R I I

Thí dụ 2.9: Cho mạch điện điều hịa hình 2.14 với số liệu dạng phức: E1=1V; E6=jV; Z1=1Ω; Z2=-jΩ; Z3=jΩ; Z4=1Ω; Z5=jΩ; Z6=1Ω Tính dịng điện nhánh phương pháp

điện áp nút

( )

( )

( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 6

1

1

6

6

6

6

1 3

1

1

Z Z Z U Z U Z U

E Z

E Z

Z U Z Z Z U Z U

E Z

Z U Z U Z Z Z U

E Z

A c D

A c D

A c D

+ + − − = − − − + + + − = − − + + + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ E1 Z1 Z3 Z6 Z2 Z5 Z4

E6 C

B

D A

Hình 2.14 Thay số ta có:

3

1

1

U U U j

U j U jU

U jU U

A c D

A c

A c D

− − = − − − + − + = − + + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩

⎪ ( ) D j

Dùng qui tắc Crame:

5 I 1 j -j 2j -1 -1 j j 2j -1 j - 4 j Z U j j U A A + − = = ⇒ + − = − − = 10 I 10 1 j -j 2j -1 -1 -j j -1 j -1 5 j Z U j U c c − − = = ⇒ + − = = I 1 j -j 2j -1 -1 j -j 2j -1 -j -1 2 j Z U j U D D + = = ⇒ − = =

Và dòng điện nhánh là:

i1 1 3 6 10

10 18

5

2

10 71 55 10 98 = − + = − = − = − = + = = − + = − − =

U U E

Z

j

i U U

Z

j

i U U E

Z j A D o c D o A c o

Thí dụ 2.10: Cho mạch điện hình 2.15

b Dựa vào câu a, viết cơng thức tính dịng nhánh theo điện áp nút

Giải:

-Chọn làm gốc:

a Hệ phương trình điện áp nút:

R1

C2 R4 E1

Hình 2.15

Ing4 R3 L3

A B

0 UA(Y1+Y2+Y3) - UB.YB = Ing1

-UA.Y3 + UB(YB 3+Y4) = -Ing4 b Dòng nhánh:

I1=(UA-E1)/R1 I2=UA/ZC2

I3=(UA – UB)/(RB 3+ZL3) I4=UB/RB

Thí dụ 2.11: Mạch điện hình 2.16a, với số liệu: R1= R2=R3= 2Ω; E1= 1,5V; E2 = 3V Hãy tính dịng điện nhánh phương pháp dòng điện vòng phương pháp điện áp nút?

Giải:

E1

R2

E2

Hình 2.16a R1

R3 a Theo phương pháp dòng điện vòng:

-Giả thiết chọn chiều vòng hình 2.16b: Xét vịng 1: IV1(R1+R3) - IV2.R3 = E1 Xét vòng 2: -IV1R3 + IV2(R2+R3) = E2 -Dòng nhánh:

IR1 = IV1= 1A

E1

R2

E2

Hình 2.16b R1

R3 IV1 IV2 IL2 = IV2= 1,25A

IR3 = IV2 – IV1= 0,25A b Theo phương pháp điện áp nút: -Chọn làm gốc hình 2.16c -Phương trình điện áp nút:

UA(G1+G2+G3) = Ing1-Ing2 -Thay số tính được:

E1

R2

E2

Hình 2.16c R1

R3 A

0 UA = -0,5V

-Với chiều dương dòng nhánh chọn

2.3 PHƯƠNG PHÁP NGUỒN TƯƠNG ĐƯƠNG

Trong số trường hợp, nhiệm vụ phân tích mạch khơng địi hỏi phải tính tất dòng áp tất nhánh, mà chỉđòi hỏi tính tốn nhánh hay phần mạch Lúc việc vận dụng phương pháp nêu dẫn đến phép tính khơng cần thiết kết thừa Phương pháp nguồn tương đương mà sở định lý Thevenine-Norton cho phép giải toán cách đơn giản cách thay phần mạch có chứa nguồn nguồn áp hay nguồn dòng tương đương

Nội dung định lý Thevenine-Norton

Trong mạch điện, phần mạch AB có chứa nguồn (và nối với phần lại Z mạch cặp điểm AB, đồng thời hai phần khơng có ghép hỗ cảm với nhau), có thểđược thay tương đương nguồn áp có sức điện động điện áp hở mạch cặp điểm AB (hay nguồn dịng có dịng điện nguồn dịng điện ngắn mạch cặp điểm AB), trở kháng nguồn trở kháng tương đương nhìn từ cặp điểm AB với nguyên tắc ngắn mạch nguồn sức điện động hở mạch nguồn dịng có phần mạch Nội dung định lý mô tả

như hình 2.17

A

Z B

Z Z Zi=Ztd AB

A

E=Uhm AB

B

Zi=Ztd AB

A

Ing=Inm AB

B Phần mạch có

chứa nguồn

Sơđồ tương đương Thevenine

Sơđồ tương đương Norton

Hình 2.17: Minh họa định lý Thevenine-Norton

Định lý suy trực tiếp từ mở rộng định nghĩa nguồn điện phần mạch gốc chứa phần tử tuyến tính nguồn

tương đương nguồn tuyến tính Như vậy, định lý Thevenine-Norton cho phép biến

đổi phần mạch điện có chứa nguồn thành sơ đồ

tương đương: sơ đồ tương đương nguồn áp (còn gọi sơ đồ Thevenine), sơ đồ tương đương nguồn dòng (còn gọi sơđồ Norton)

Z3 B A

Z5 Z1

Z4 Z2

E1 E5

Thí dụ 2.12: Cho mạch điện hình 2.18a, tính dịng điện chạy qua Z3 Giải:

Ta thấy tính dịng chạy qua nhánh, để đơn giản áp dụng phương pháp nguồn tương đương

Z3 B A

Z5 Z1

Z4 Z2

E1 E5

Hình 2.18b -Trước hết cắt bỏ Z3, phần mạch cịn lại

phần mạch có chứa nguồn hình 2.18b -Xác định điện áp hở mạch cặp điểm AB:

U U U E

Z Z Z

E Z Z Z hmAB = A − B = +1 − +

1

2

4

-Xác định ZtđAB nhìn từ cặp điểm AB, ngắn mạch nguồn sđđ E1 & E5 hình 2.18c:

Z3 B A

Z5 Z1

Z4 Z2

Hình 2.18c

Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

tdAB = +1 + +

4

4

-Từ suy dịng điện ngắn mạch cặp

điểm AB là:

tdAB hmAB AB

nm

Z U

I . =

Sơđồ tương đương Thevenine Norton có dạng hình 2.18d

Z3 Ztđ AB

A Uhm AB

B Sơđồ Thevenine

Z3 A

Inm AB

B Sơđồ Norton

Ztđ AB

Hình 2.18d

Rõ ràng việc tính dịng Z3 lúc trở nên đơn giản nhiều:

tdAB tdAB

AB nm tdAB

hmAB Z

Z Z

I Z

Z U I

3

3

3 = + = +

Thí dụ 2.13: Cho mạch điện hình 2.19a, với số liệu: R1=R2= 10Ω; R3= R4 = 20Ω; Ing1= 3A; Eng4 = 30V Hãy tính dịng điện iR2 ngun lý nguồn tương đương

Giải:

Ing1

R2

R3 R1

R4

Eng4

Hình 2.19a Biến đổi tương đương thành sơ đồ Thevenine

hoặc Norton:

- Tính điện áp hở mạch cặp điểm AB

UAhm=30V

Ing1 R1 R3 R4

Eng4

Hình 2.19b

A B UBhm=15V

Vậy suy ra: UABhm=Eng=15V

- Tính dịng điện ngắn mạch cặp điểm AB hình 2.19c, ta có: IAB ng.m =3/4 A

Ing1 R1 R3 R4

Eng4

Hình 2.19c

A B

IAB ng.m

Ing1 R1 R3 R4

Hình 2.19d

A B

- Tính điện trở tương đương nhìn cặp điểm AB hình 2.19d, ta được: Rtd=20Ω - Tổng hợp, sơđồ tương đương Thevenine Norton có dạng hình 2.19e:

Ing1

R2

R3 R1

R4

Eng4

Hình 2.19e R2=10Ω Ri=20Ω

A Eng =15V

B

A B

Ri =20Ω

A Ing=3/4A

B

R2 =10Ω

Vậy ta tính được: IR2 = 0.5A (A sang B) Iv R1

XM X1

R0 X0 E1

X2 E2

R2

A B

*

*

Hình 2.20

Thí dụ 2.14: Cho mạch điện hình 2.20, tính dịng I0 phương pháp nguồn tương

đương

Giải:

-Ngắt R0 X0 khỏi mạch Để tính UhmAB, trước hết ta tính dịng điện vịng Iv chạy mạch theo công thức:

) ( 1 2

1

2

M

v R R j X X X

E E I

− + +

+

Mặt khác: (R1+jX1−jX IM) v −UhmAB = E1 Vậy: UhmAB=−E1+(R1+ jX1− jXM)Iv

-Bây ta phải tính ZtđAB Sau ngắn mạch hai nguồn sđđ, nhìn từ cặp điểm AB có hai nhánh mạch hình 2.21a Do có tính đến ghép hỗ cảm nên ta khơng thể tính ZtđAB theo quan niệm hai nhánh mạch

ghép song song với mà phải áp dụng phương pháp dòng điện vòng, đặt: * X

1 R1

I1 I2

I * X2

XM R2

B U

A

Hình 2.21a

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= M M jX

Z

2 2

1 1

jX + R = Z

jX + R = Z

* ZM

Z1 I1

I2

I * Z2 B U

A

Hình 2.21b sơđồ hình 2.21a vẽ lại hình 2.21b:

Z U

I tdAB =

G G

theo kết thí dụ xét chương I, áp dụng trường hợp cụ thể ta có:

M M tdAB

Z Z Z

Z Z Z Z

2

2

− +

− =

Như theo sơ đồ tương đương Thevenine hình

2.21c ta tính kết cuối cùng: I0

R0 Ri=Ztđ AB

A E=Uhm AB

B

Hình 2.21c

X0

0

jX R Z

U I

tdAB hmAB

− + =

Thí dụ 2.15 Cho mạch điện hình 2.22 Hãy xác

định thông số mạch Thevenine Giải:

-Hở mạch tải Z5, ta xác định sức điện động nguồn tương đương điện áp UAB hở mạch:

1

1

td

Z Z

E E

Z Z Z Z

⎛ ⎞

= ⎜ −

+ +

⎝ ⎠⎟ hay

3

1

td

Z Z

E E

Z Z Z Z

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

+ +

⎝ ⎠

E Z3 Z4

Z5

Z2 Z1

B A

Hình 2.22

Ngắn mạch nguồn E, nhìn từ cặp điểm AB ta xác định nội trở nguồn tương đương:

3

1

td

4

Z Z Z Z

Z

Z Z Z Z

= +

2.4 PHÂN TÍCH MẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG NGUYÊN LÝ XẾP CHỒNG

Trong chương I có dịp bàn đến khái niệm phần tử tuyến tính mạch tuyến tính Một tính chất quan trọng loại mạch áp dụng nguyên lý xếp chồng

để phân tích đáp ứng trình lượng xảy hệ thống

Nội dung nguyên lý xếp chồng

Trong hệ thống tuyến tính, yi đáp ứng tương ứng với tác động xi, a.y1+b.y2 đáp ứng tương ứng với tác động a.x1+b.x2

Cụ thể, mạch điện tuyến tính có chứa nhiều nguồn tác động, dịng điện vịng sinh vòng l tất nguồn mạch tổng dòng điện vòng sinh vòng l riêng nguồn đặt vịng k mạch Hay nói cách khác, dịng điện vịng sinh vịng l mạch, tất nguồn mạch tổng dịng điện vịng sinh vịng l nguồn riêng rẽ mạch ( nguồn khơng làm việc ngắn mạch nguồn sức điện động hở mạch nguồn dịng )

Ngun lý xếp chồng hồn tồn cho dịng điện nhánh, dịng điện vịng cảđiện áp nút Việc mô tả

nguyên lý thơng qua số thí dụ minh hoạ

dưới

Z3 B A

Z5 Z1

Z4 Z2

E1 E5

Hình 2.23a

Thí dụ 2.16: Cho mạch điện tuyến tính hình 2.23a, tính dịng điện chạy qua Z3 cách áp dụng nguyên lý xếp chồng

Giải: Nếu nguồn E1 gây nên Z3 dòng điện I3E1 nguồn E5 gây nên Z3 dòng

điện I3E5 dịng tổng qua Z3 xếp chồng I3E1 I3E5

-Để tính dịng I3E1 trước hết ta ngắn mạch nguồn E5, mạch trở thành hình 2.23b:

Z Z Z

Z Z

45 5 =

+ ; Z345 = Z3 + Z45 A Z3 B

Z5 Z1

Z4 Z2

E1

Hình 2.23b Z Z Z

Z Z

2345 345 34 =

+ 5 ; Ztd1 = Z1 + Z2345

và vậy:

345

2

1 1

Z Z

Z Z

E I

td

E = + (từ A sang B)

-Để tính dịng I3E5 ta phải loại bỏ nguồn E1, mạch trở thành hình 2.23c Với cách tính tương tự ta tính được:

Z Z Z Z Z 12

1 =

+ ; Z123 =Z3 + Z12

Z3 B A

Z5 Z1

Z4 Z2

E5

Hình 2.23c Z Z Z

Z Z

1234 123 12 =

ta có:

123

4

5 5

Z Z

Z Z

E I

td

E = + (từ B sang A) Như tính đến chiều dịng điện ta có:

Ing4 R3

R4 R2

R1

Eng1

Hình 2.24a

3

3 I E I E

I = −

Thí dụ 2.17: cho mạch điện hình 2.24a với số liệu: R1= R2= 4Ω; R3=R4 = 2Ω Eng1 = 6V (nguồn chiều) Ing4= 3A (nguồn chiều) Hãy tính dịng điện IR3

Giải: Mạch tuyến tính, nên vận dụng nguyên lý xếp chồng: -Khi E1 tác động, Ing4 bị hở mạch, lúc mạch có dạng hình 2.24b:

Sau vài phép tính đơn giản, ta có dịng điện R3 I3.1 =0,5A (chiều từ A sang B)

-Khi Ing4 tác động, E1 bị ngắn mạch, lúc mạch có dạng hình 2.24c Ta dễ dàng tìm

được dòng điện R3 I3.2 =1A (chiều từ B sang A) R3

R4

R2 R1

Eng1

A B

Hình 2.24b

Ing4 R3

R4 R2

R1 A B

Hình 2.24c - Vậy hai nguồn đồng thời tác động, ta có dịng điện tổng hợp R3 là: I3 = I3.2 - I3.1 = 0,5A (chiều từ B sang A)

TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG II

• Phương pháp dịng điện nhánh, dịng điện vịng điện áp nút phương pháp để

phân tích mạch

• Phương pháp dịng điện nhánh vận dụng hai định luật Kirchhoff với ẩn số dịng điện nhánh, số phương trình mạch số nhánh mạch Phương pháp không thuận lợi số nhánh mạch tăng lên

• Để giảm số phương trình mạch, sử dụng phương pháp khác cách đưa vào ẩn số trung gian:

- Nếu ẩn trung gian dòng điện giảđịnh chạy vịng kín, hệ gồm Nnh-Nn+1 phương trình Cơ sở định luật kirchhof Phương pháp khơng thuận lợi mạch có chứa nguồn dịng

• Phương pháp biến đổi tương đương mạch điện (như phương pháp nguồn tương đương)

chuyển mạch điện có cấu trúc phức tạp dạng cấu trúc Phương pháp không thích hợp số trường hợp ghép hỗ cảm

• Với mạch tuyến tính chịu tác động phức tạp, việc vận dụng nguyên lý xếp chồng phương pháp làm đơn giản hóa trình phân tích tính tốn mạch Khái niệm tuyến tính mang tính tương đối

• Việc vận dụng định lý Thevenine-Norton nguyên lý xếp chồng thích hợp để tìm đáp

ứng nhánh mạch đơn lẻ

• Nói chung, việc vận dụng phương pháp phân tích đểđạt hiệu tối ưu tùy thuộc vào mạch yêu cầu tốn cụ thể

• Có tốn, cần thiết, phải vận dụng nhiều phương pháp để đạt kết nhanh

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG II

2.1 Trong mạch vịng khép kín, tổng đại số sụt áp nhánh: a luôn khác khơng

b khơng có dịng điện chảy mạch c biến thiên phụ thuộc vào điện áp nguồn

d không

2.2 Một đoạn mạch mắc nối tiếp bao gồm phần tử thụđộng Nếu điện áp nguồn cung cấp sụt áp hai phần tửđã biết, sụt áp phần tử thứ ba:

a xác định b khơng

c xác định cách áp dụng định luật Kirchhoff vềđiện áp d phương án

2.3 Nếu tính tốn bạn cho thấy tổng đại số sụt áp mạch vịng khác khơng thì: a kết bạn

b mạch vịng có chứa nguồn c mạch vịng khơng chứa nguồn d tính tốn bạn chưa

2.4 Cơ sở phương pháp dịng điện vịng dựa vào : a Định luật Ohm

b Định luật Kirchhoff dòng điện c Định luật Kirchhoff vềđiện áp d Định lý Thevenine- Norton

a Giá trị dòng điện chiều ban đầu khơng b Giá trị dịng điện không đúng, chiều ban đầu c Cả giá trị chiều

d Cả giá trị chiều không

2.6 Khi phân tích mạch điện có Nn nút Nnh nhánh phương pháp điện áp nút, số phương trình tạo là:

a Nnh-1 phương trình độc lập b Nn-1 phương trình độc lập c Nnh-Nn-1 phương trình độc lập d Nnh- Nn+1 phương trình độc lập

2.7 Khi phân tích mạch điện tuyến tính áp dụng nguyên lý xếp chồng, thì: a Các nguồn điện phải loại bỏđồng thời

b Lần lượt giữ lại nguồn, nguồn lại cần loại bỏ c Các nguồn giữ nguyên

d Các nguồn cộng lại

2.8 Cơ sở phân tích mạch phương pháp nguồn tương đương dựa vào : a Định lý Thevenine- Norton

b Nguyên lý xếp chồng

c Định luật Kirchhoff dòng điện d Định luật Kirchhoff vềđiện áp

2.9 Trong mạch hình 2.25, áp dụng định luật Kirchhoff vềđiện áp, xác định điện áp rơi R2 a 50 Vdc

b 25 Vdc c 15 Vdc d 10 Vdc

Hình 2.25

2.10 Hãy tìm phương trình khơng mạch điện hình 2.26? a.

1

2

) 1 (

R E U R R

R + + A =

R1

A

O

R3 R2

b (R1+R2) I1-R2I2=E

I1 I2

b -R2I1+(R2+R3)I2=0

2.11 Cho mạch điện hình 2.27, chọn chiều dịng điện vịng hình vẽ Hãy viết biểu thức dòng điện vòng cho mạch

2.12 Cho mạch điện hình 2.28:

a Thành lập hệ phương trình dịng điện vịng cho mạch

IV2

IV1

R2 R1

R3 E2

E1

Hình 2.27

b Dựa vào câu a, viết cơng thức tính dòng nhánh theo dòng điện vòng

IV2

IV1

R2 R1

R3 E2

E1

Hình 2.29 E1

Hình 2.28 R1 L1

C

R2

E2 L2

IV1 IV2

2.13 Cho mạch điện hình 2.29, chọn chiều dịng điện vịng hình vẽ R1=R2=R3=2Ω; E1=10 V; E2=4 V Hãy xác định dòng điện nhánh theo phương pháp dòng điện vòng ?

2.14 Cho mạch điện hình 2.30, chọn chiều dịng điện vịng hình vẽ Hãy viết biểu thức dịng điện vịng theo phương pháp dòng điện vòng ?

IIV2

XM

* *

+

-XL1 XL2

XC

R1 R2

E2

E1 IV1

Hình 2.30

2.15 Cho mạch điện chiều dòng điện vịng hình 2.31 Hãy viết phương trình vịng theo phương pháp dịng điện vịng ?

L2 L1

R1 R2

C E2

E1 IV1 IV2

E1

R2

E2 R1

2.16 Mạch điện hình 2.32 với số liệu: R1= R2=R3= 20Ω

E1= 3V R3

E2 = 6V

Hình 2.32 Hãy tính dịng điện nhánh phương pháp

điện áp nút

2.17 Cho mạch điện hình 2.33 Chọn nút O nút gốc, viết phương trình nút theo phương pháp điện áp nút ?

E2 E1

+

-+

-XC R1

XL

R2

R3

Hình 2.33

2.18 Cho mạch điện hình 2.34 Chọn nút O làm nút gốc Hãy viết phương trình nút cho mạch theo phương pháp điện áp nút

L2 R2

R1 C3

R4

Eng4 Ing1

A B

O Hình 2.34

2.19 Cho mạch điện hình 2.35 Tính điện áp Etđ nội trở Rtđ nguồn tương đương chuyển sang mạch Thevenine

R1

2.20: Xét mạch điện hình 2.36 Tính điện áp Etđ nội trở Rtđ nguồn tương đương chuyển sang mạch Thevenine

B A

+

10V +

10V

R1 R3

R2 Tải

Hình 2.36

2.21 Cho mạch điện hình 2.37 Hãy tính dịng điện IR4 theo phương pháp nguồn tương đương với số liệu Ing= 4A; Eng =6V; R1=R2=R3=R4=R5=R6=2Ω

Ing R3 R5

R6 R4

R1 R2 Eng

Hình 2.37

2.22 Cho mạch điện hình 2.38 Tính trở kháng tương đương Rtđ mạch Thevenine

E R tải

2.23 Cho mạch điện hình 2.39 với số liệu: R1=R2= 5Ω

Ing1

R2

R3 R1

R4

Eng4

Hình 2.39

A B R3= R4 = 10Ω

Ing1= 6A Eng4 = 15V

CHƯƠNG III

HIỆN TƯỢNG QUÁ ĐỘ TRONG CÁC MẠCH RLC

GIỚI THIỆU

Trong chương II xét phương pháp phân tích mạch điện chếđộ xác lập, chủ yếu dựa vào hai định luật Kirchhoff vềđiện áp dòng điện Sang chương sẽđi sâu vào nghiên cứu phương pháp phân tích mạch điện chếđộ độ Cụ thể nội dung sau:

• Nhắc lại biến đổi Laplace tín hiệu liên tục, đặc biệt nhấn mạnh phương pháp biến đổi Laplace ngược

• Rèn luyện kỹ phân tích q trình q độ mạch phương pháp toán tử dựa cặp biến đổi Laplace

• Đi sâu phân tích số tốn độ với mạch RLC tác động chiều xoay chiều

NỘI DUNG

3.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE

Như biết, việc phân tích mạch điện miền thời gian gây nên khó khăn tính tốn cho phương trình vi phân tích phân Nhờ có cách biểu diễn miền tần sốω

mà xuất phát cặp biến đổi Fourier, ta thay thếđược phép lấy tích phân vi phân phép toán đại số:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

⇒ ⇒

∫ ω

ω

j dt

j dt

d

1

Như thực chất người ta thực tốn tử hóa mạch điện biến đổi Fourier Trong mục xét phương pháp tốn tử hóa mạch điện cách tổng qt hơn, thông qua biến đổi Laplace Các nội dung sẽđược đề cập cách ngắn gọn

3.1.1 Biến đổi Laplace thuận

Biến đổi Laplace thuận (viết tắt LT) hàm gốc f(t) miền thời gian tương ứng

ảnh F(p) miền tần số phức p, tính theo cơng thức:

∫

∞

∞ −

− =

=F p f t pt dt t

f

LT[ ( )] ( ) ( ).exp( ) (3.1) p đại lượng phức định nghĩa: jω

σ Hình 3.1:

Mặt phẳng phức p= σ+jω biểu diễn mặt phẳng phức

hình 3.1

Biến đổi Laplace phía f(t) đươc định nghĩa:

∫ ∞

−

− =

0

) exp( ) ( )

(p f t pt dt

F (3.2)

trong F(p) phụ thuộc vào giá trị f(t) với t≥0, lân cận trái 0- Khác với biến đổi hai phía, biến đổi Laplace phía cho phép tổ hợp cách rõ ràng giá trịđầu f(t) đạo hàm vào miền làm việc p, đặc biệt hữu dụng giải toán liên quan đến phương trình vi phân có điều kiện đầu Vì tài liệu chỉđề cập tới Biến đổi Laplace phía

Chú ý với hàm gốc x(t), ảnh F(p) tương ứng chỉđược định nghĩa cho giá trị biến phức p nằm vùng hội tụ ( tức vùng giá trị p mà tích phân cơng thức tồn tại), hầu hết áp dụng không cần thiết phải cân nhắc tới vùng hội tụ, trừ trường hợp đặc biệt, vùng hội tụ biến đổi Laplace tài liệu không nhắc tới Mặt khác, biến đổi Laplace tổng quát hóa biến đổi Fourier Mặc dù số trường hợp hàm số tồn biến đổi Laplace khơng tồn biến đổi Fourier, nói chung, tính tốn trực tiếp biến đổi Fourier từ biến đổi Laplace cách thay p =j ω:

ω

ω F p p j

F( )= ( ) = (3.3) 3.1.2 Các tính chất biến đổi Laplace

Ngoại trừ vài tính chất, nói chung tính chất biến đổi Fourier tính chất biến đổi Laplace Sau mơ tả số tính chất chủ yếu biến đổi Laplace:

+Tính tuyến tính: Nếu LT[x1(t)]=X1(p) LT[x2(t)]=X2(p), ta có: ) ( )

( )]

( ) (

[ax1 t bx2 t aX1 p bX2 p

LT + = + (3.4) +Dịch phải miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) với số thực dương a bất kỳ, ta có:

) ( )] ( ) (

[x t a u t a e X p

LT − − = −ap (3.5) ý khơng có kết cho trường hợp dịch trái miền thời gian

+Thay đổi thang tỉ lệ miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) với số thực dương a, ta có:

) ( )] ( [

a p X a at x

LT = (3.6) +Nhân với hàm mũ: Nếu LT[x(t)]=X(p) với số a thực phức bất kỳ, ta có:

) ( )] (

[e x t X p a

LT −at = + (3.7) +Nhân với hàm điều hòa: Nếu LT[x(t)]=X(p) với số thực ω bất kỳ, ta có:

)] (

) (

[ ] sin ) (

[x t ωt j X p jω X p jω

LT = + − − (3.8) )]

( ) (

[ ] cos ) (

[x t ωt X p jω X p jω

) ( ) ( )] (

[ x t pX p x dt

d

LT = − (3.10) ) ( ) ( ) ( )] (

[ '

2

− − − −

= p X p px x t

x dt

d

LT (3.11)

+Tích phân miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) ta có:

) ( ] ) ( [ p X p dt t x LT t =

∫− (3.12) +Giá trịđầu: Nếu LT[x(t)]=X(p) ta có:

)] ( [ lim )

( pX p

x

p→∞

+ = (3.13) )] ( ) ( [ lim ) ( ' + ∞ →

+ = p X p −px

x

p (3.14) +Giá trị cuối: Giả sử LT[x(t)]=X(p), tồn lim[x(t)] ta có:

t→∞

)] ( [ lim )] ( [ lim

0 pX p

t x

p

t→∞ = → (3.15) cần cẩn thận áp dụng định lý này, có tồn giới hạn bên vế phải chưa hẳn tồn giới hạn bên vế trái

3.1.3 Biến đổi Laplace số hàm thường dùng Hàm gốc f(t) Ảnh F(p)

1 a.u(t) hay a.1(t)

p a

2 tn.u(t)

1 ! + n p n

3 δ(t)

4 (cosω0t).u(t)

2 +ω

p p

5 (sinω0t).u(t)

2 ω ω + p

6 exp(-at).u(t)

a

p+

1

7 exp( ) )! ( at n tn − − −

.u(t) (p a)n

+ với n=1,2,3 exp(-at).cosωt.u(t)

2 ) ( + +ω + a p a p

9 exp(-at).sinωt.u(t)

Đây bảng biến đổi Laplace số hàm thường gặp Trong bảng, trừ trường hợp đầu tiên, việc sử dụng hàm bước nhảy đơn vị u(t) thực chất để loại bỏ phần ứng với t<0 tín hiệu 3.1.4 Biến đổi Laplace ngược, phương pháp Heaviside

3.1.4.1 Biến đổi Laplace ngược

Từ ảnh F(p), ta tìm lại hàm gốc miền thời gian theo công thức biến đổi Laplace ngược ( viết tắt LT-1 ):

∫

+

−

− =

=

ω

ω

π

j c

j c

dp pt p

F j p

F LT t

f ( ).exp( )

2 )] ( [ )

( (3.16) c số thực cho tích phân theo đường p=c+jω (từ c-j∞ đến c+j∞) nằm vùng hội tụ Việc tính trực tiếp f(t) theo cơng thức tích phân LT-1 thường rất khó khăn, phần sau ta tập trung nghiên cứu giải pháp đại sốđể thay cho việc tính tích phân, phương pháp Heaviside Phương pháp áp dụng cho trường hợp F(p) có dạng phân thức hữu tỉ Trước hết ta cần số khái niệm liên quan

3.1.4.2 Dạng phân thức của ảnh F(p)

Một lớp nhiều trường hợp biến đổi Laplace tín hiệu cho ảnh F(p) phân thức hữu tỷ thường đưa dạng chuẩn tắc:

) (

) ( a

+

b + )

(

2

0

n

0

m

0

p H

p H p a

p b p

p a a

p p

b b p

F n

q q q m

r r r n

m

= =

+ +

+ + =

∑ ∑

=

= (3.17)

an=1 bậc mẫu số lớn bậc tử số (n >m)

Điểm không F(p) điểm pi nghiệm đa thức H1(p) đương nhiên F(pi)=0

Điểm cực hàm mạch điểm pk nghiệm đa thức H2(p) F(pk)=∞ Các giá trị pi pk nghiệm đơn hay nghiệm bội, nghiệm thực hay cặp nghiệm phức liên hợp, phức tạp có tổ hợp nhiều loại nghiệm

3.1.4.3 Phương pháp Heaviside

Ý tưởng Heaviside xuất phát từ hàm mạch F(p) có dạng phân thức hữu tỷ, để tìm hàm gốc f(t) trước hết phải phân tích F(p) thành phân thức tối giản Sau dựa vào bảng hàm gốc - ảnh biết để xác định hàm gốc thành phần, sau sử dụng tính chất tuyến tính biến đổi Laplace để tổng hợp Để phân tích thành phân thức tối giản, ta phải xét tới điểm cực pk nghiệm H2(p) Sau số trường hợp thường gặp:

a Trường hợp H2(p) có nghiệm đơn:

Viết lại H2(p) dạng tích: H2(p)=(p-p1)(p-p2) (p-pn) Khi khai triển:

∑ = −

= − + + − + −

= n

k k

k n

n

p p

A p

p A p

p A p

p A p

F

1

2

1

Theo hàm gốc - ảnh (trường hợp số 6): LT-1 exp(p t) p p k k ⎯ ⎯→ ⎯ − Vậy F(p) có nghiệm đơn ta có:

∑ = = n k t p ke k

A t f )

( (3.18) Trong hệ số Akđược tính theo biểu thức:

) ( ) ( )] ).( ( [ ' k k k p p k p H p H p p p F Lim

A = → k − = (3.19) Để chứng minh Ak có dạng (3.19) ta nhân hai vế (3.19) với (p-pk):

) ( ) ( ) ).( ( 1 k n n k k

k p p p p

A A p p p p A p p p F − − + + + + − − = −

khi cho p →pk vế phải biểu thức cịn lại Ak đó:

)] ( ) ( ) ( [ lim )] ).( ( [ lim k p p k p p

k p p

p H p H p p p F A k

k − = −

= → →

giới hạn có dạng

0, áp dụng quy tắc lơpital ta có:

) ( ) ( ] ) ( ) ( ) )( ( [ lim ) ( )] ).( ( [ lim ' ' ' ' ' k k k p p k p p k p H p H p H p H p p p H p H p p p H

A = → k − = → k − + =

vậy công thức chứng minh

Thí dụ 3.1:Tìm hàm gốc biết

p p p p p F )

( 3 2

+ +

+ =

Giải:Phân tích

) ( ) ( ) )( ( 3 ) ( 2

3 H p

p H p p p p p p p p p F = + + + = + + + =

Như H2(p) có nghiệm đơn p1=0, p2=-1, p3=-3 Do đó:

3

)

(

+ + + + = p A p A p A p F ) )( ( )] ).( ( [ 1 = + + + = − = = → p p

p p p

p p p p F Lim A ) ( )] ).( ( [ 2 − = + + = − = − = → p p

p p p

p p p p F Lim A ) ( )] ).( ( [ 3 3 − = + + = − = − = → p p

p p p

Vậy ta có: , t 2 )

(t = − e−t− e−3t ≥

f

Thí dụ 3.2: Tính u(t) biết ảnh là: ) 16 )( )( ( ) ( + + + + = p p p p p p U

Giải: Trước hết ta xử lý đưa mẫu số dạng chuẩn với hệ số đặt hàm mạch:

) ( ) ( ) )( )( ( 24 ) )( )( ( ) ( 2 p H p H p p p p p p p p p p p U = + + + + = + + + + =

Nghiệm H2(p) nghiệm đơn nằm bên trái mặt phẳng phức: p1=0, p2=-2, p3=-3, p4=-4 Từ công thức Heaviside cho trường hợp nghiệm đơn ta có:

t p t p t p t p e p H p H e p H p H e p H p H e p H p H t

u

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' 2 1 '

1 + + +

=

Thay số ta được: , t 192 17 36 96 576 )

(t = − e−2t + e−3t − e−4t ≥

u

b Trường hợp H2(p) có cặp nghiệm phức liên hợp:

pk= σk + jωk p*k= σk - jωk (3.20) H2(p) viết dạng: H2(p)=(p−pk)(p−p*k)

Coi trường hợp hai nghiệm đơn, ta có: * * ) ( k k k k p p A p p A p F − + − = Do đó, ta có:

) arg cos( ) ( * * k k t k t p k t p

ke A e A e t A

A t

f = k + k = σk ω + (3.21)

Trong đó:

) ( ) ( )] ).( ( [ ' k k k p p k p H p H p p p F Lim A k = − =

→ (3.22)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = = ) ( ) ( arg arg ) ( ) ( ' ' k k k k k k p H p H A p H p H A (3.23)

Thí dụ 3.3: Tính u(t) biết ảnh

4 ) ( 2 + = p p p U

Giải: Đặt hàm mạch có dạng:

) ( ) ( ) (

2 H p

p H p p p U = + =

⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − = = 2 k * k k k j p j p ω σ { } ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ = = − = → arg e 2 )] ).( ( [ lim j0 k k k k k p p k A A p p p p p F A k

Vậy u t A e t A e t t t

k k

t

k k 2 cos(2 0) cos2

1 ) arg cos( )

( = σ ω + = + =

c.Trường hợp H2(p) có nghiệm bội pl (bội r):

H2(p) viết dạng: H2(p)=(p-pl)r Lúc F(p) khai triển dạng:

r l r l l l l l p p p p A p p A A p F r ) ( ) ( ) ( ) ( 1 − − + + − + = − −

Viết lại ta có:

∑− = − − + + − = − − + −

= −

0

1 ( ) ( )

) (

) (

)

( 1

r

i l r i l l l r l l r l l p p A p p A p p A p p A p

F r i (3.24)

Nếu pl số thực, từ bảng hàm gốc - ảnh ta suy được:

r pt

i

i r

li r i e l

t A t f )! ( ) ( 1 ∑− = − − − −

= (3.25) Cách xác định Al : Nhân hai vế (3.24) với đó:

i (p pl

r − ) ] ) ).( ( [ lim r l p p

l F p p p

A l − = → ] ) ).( ( [ lim r l p p

l F p p p

dp d A l − = → ] ) ).( ( [ lim 2 2 r l p p

l F p p p

dp d

A = → l −

Tổng quát hố ta có:

lim [ ( ).( ) ]

! r l i i p p

l F p p p

dp d i

A

l

i = → − (3.26)

Thí dụ 3.4: Tính u(t) biết ảnh ( ) 22

p p

U =

Giải: H2(p) = p2 có nghiệm p1=0 (bội r=2), triển khai: )

( ) (

)

(

suy pt l t p l e t A e t A t u 1

01! 0! )

(

0 + =

trong lim [ ]

! 2 0

0 = → dp p p =

d

Al p p

0 ] [ lim ! 1

1 = → dp =

d

Al p p

Vậy u(t)= 2.t.e0t +0.e0t = 2t

-Chú ý: Trong trường hợp H2(p) có nhiều loại nghiệm hàm gốc cần tìm xếp chồng hàm gốc thành phần

Thí dụ 3.5: Tính hàm gốc biết ảnh nó:

) )( 2 ( ) ( 2 + + + + − = p p p p p p F

Giải:

) ( ) ( ) )( )( ( ) )( 2 ( ) ( 2 2 p H p H p j p j p p p p p p p p p F = + + + − + + − = + + + + − =

H2(p) có cặp nghiệm phức pk=-1+j, pk*=-1-j, nghiệm đơn p3=-1 nên khai triển:

3 * * ) ( p p A p p A p p A p F k k k k − + − + − =

Vậy ta có: pt

k k

t

k e t A A e

A t

f( ) k cos( arg )

3

+ +

= σ ω

Trong hệ sốđược tính theo biểu thức:

) 180 ( 2 )] ).( ( [ − + + − → + − =− + =

= j arctg

j p

k Lim F p p j j e

A )] ).( ( [

3 =Lim→− F p p+ =

A

p

Thay số ta có: )] , t 180 ( cos[ )

(t = e−t t+ o +arctg− + e−t ≥

f

Thí dụ 3.6: Tính i(t) biết ảnh nó:

) )( ( ) ( 2 + + + = p p p p I

Giải: Đặt hàm mạch:

) ( ) ( ) )( ( ) (

2 H p

p H p p p p I = + + + =

Nghiệm H2(p)=(p+2)(p2+9) là:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ ± = − = = = 2 ω σ j p p

Vậy cos( )

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' 2 1 '

1 + σ ω +ϕ

= e t

p H p H e p H p H t

trong 0,08 13 ) ( ) ( 1 '

1 =− =−

+ + = p p p H p H 6j + -3j + = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ' 2 + + + + = p p p p p H p H ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ≈ = = + = = ⇒ 37 , ) 33 ( 6j + -3j + arg ) ( ) ( arg 15 , 234 , 34 1170 234 33 234 6j + -3j + ) ( ) ( ' 2 2 ' 2 arctg arctg p H p H p H p H ϕ

Thay số: i t( )= −0 08, e−2t +0 3, cos(3t arctg− 3 37, ) Thí dụ 3.7: Tính f(t) biết ảnh nó: 2( 4)

9 10 10 ) ( + = p p p F

Giải: ( ) 4 10 10 10 ) ( + + + = + = p A p A p A p p p

F l l

Trong đó: [ ( ).( 104)] 10 10

3 = Lim→− F p p+ =

A p 0

0 [ ( ) ] 10 lim

!

0 = → dp F p p =

d

Al p

10 ] ) ( [ lim ! 1

1 = → dp F p p =−

d

Al p

Vậy: f(t)=105t−10(1−e−104t)

Thí dụ 3.8: Tính i(t) biết ảnh là:

I p p

p p

( )

( )( )

=

+1 +3

Giải: đặt hàm mạch:

I p p

p p H p H p ( ) ( )( ) ( ) ( ) =

+1 +3 =

1

2

H2(p) có nghiệm đơn p1=-1 nghiệm bội p2=-3 (bội r=2) Vậy theo tính chất xếp chồng ta có:

i t H p

H p e A

t

e A e

p t l p t l p t ( ) ( ) ( ) ! ! '

= 1 + +

2 1 2 1 đó:

A d dp p p p p l p p

0 1

3 0 = + = + = →− →−

A d dp

p p

p p

p

l1 p p

1

1

1

1

3

=

+ =

+ −

+ =

→− →−

!lim [ ] lim [( ) ] Vậy: i t( )= − 1e−t + t e. − t + e

4

3

1 −3t

3.1.5 Mối quan hệ vị trí điểm cực tính xác lập hàm gốc

Giới hạn t→∞ f(t) tính từ vị trí điểm cực F(p) mặt phẳng phức hình 3.2 Về mặt tốn học, ta chứng

minh rằng:

σ=Re[p] Im[p]

Hình 3.2: Minh họa vị trí điểm cực Điều kiện cần để f(t) không tiến tới vô hạn

khi t→∞ điểm cực phải nằm bên nửa trái mặt phẳng phức, trục ảo

Hàm gốc f(t) hội tụ t→∞ điểm cực nằm nửa trái mặt phẳng phức, tức Re[pk]<0, k=1,2, ,n

Tồn giới hạn f(t) t→∞ điểm cực nằm nửa trái mặt phẳng phức, ngoại trừ có điểm cực đơn nằm gốc Giới hạn hệ số tương ứng với điểm cực gốc tính theo cơng thức tính giá trị cuối biết:

[ ]

0[ ( )] ( ) lim

)] ( [

lim =

→ ∞

→ = p = p

t f t pF p pF p (3.27) Thí dụ, ảnh xét mục trước:

3

) )( (

6 )

(

+ + + + = + +

+ =

p A p

A p A p

p p

p p

F

F(p) có điểm cực nằm gốc (p1=0), điểm cực lại nằm nửa mặt phẳng trái (p2 =-1, p3=-3), tồn giới hạn f(t) t→∞ Giới hạn bằng:

2 )

3 )( (

6 )]

).( ( [

0

1

= +

+ + =

− =

= →

p p

p p p

p p

p p F Lim A

Bạn kiểm chứng lại hàm gốc nó:

0 t , 2 )

(t = − e−t− e−3t ≥

f

3.2 CÁC THÔNG SỐ CỦA MẠCH ĐIỆN TRONG MIỀN P 3.2.1 Mơ hình phần tử thụđộng miền p

Bây ta xét tới mô hình phần tử thụđộng cách biểu diễn trở kháng dẫn nạp chúng miền tần số phức p Việc chuyển mơ hình phần tử từ miền thời gian sang miền p khởi đầu từ việc Laplace hóa phương trình trạng thái miền thời gian

-Đối với phần tử thuần trở: Laplace hóa phương trình từ miền thời gian: )

( U(p)

) ( )

(t Ri t RI p

i(t)

u(t) R

I(p)

U(p) ZR =R

Hình 3.3: Laplace hóa mơ hình điện trở

Vậy mơ hình điện trở miền thời gian miền p có dạng hình 3.3 Trở kháng dẫn nạp điện trở miền p có dạng:

R p Y R

p

ZR( )= , R( )= (3.28)

- Đối với phần tử thuần cảm: Phương trình mơ hình phần tửđiện cảm miền thời gian miền p có dạng hình 3.4 Trong i(0) dòng điện thời điểm ban đầu gọi điều kiện đầu, cịn thành phần L.i(0) đóng vai trò nguồn sđđđược sinh điều kiện đầu phần tử cảm, ngược chiều U(p)

u t Ldi d

L.i(0) -pL.I(p) =

U(p) t

( ) =

Trở kháng dẫn nạp điện cảm miền p có dạng:

pL p Y pL

p

ZL( )= , L( )= (3.29)

- Đối với phần tử thuần dung: Phương trình mơ hình phần tử điện dung miền thời gian miền p có dạng hình 3.5 Trong uc(0) điện áp thời điểm ban đầu gọi điều kiện đầu, thành phần u

p

c( )0 đóng vai trị một nguồn sđđđược sinh điều kiện đầu của phần tử dung, chiều U(p)

L

i(t) I(p) ZL=p.L L.i(0)

Hình 3.4: Laplace hóa mơ hình điện cảm

u p c( )0

Z

p C c =

1 C

i(t) I(p)

p u p I Z p

U c

c

) 0 ( ) ( . )

( = +

) 0 ( )

( 1 ) (

0

c t

u dt t i C t

Trở kháng dẫn nạp điện dung miền p có dạng: pC p Y pC p

ZC( )= , C( )= (3.30)

-Chú ý : Trở kháng dẫn nạp phần tử thụđộng miền tần số thường ω hồn tồn suy từ cách biểu diễn miền tần số phức p thay p =jω

Z R

Z

j C Z j L

Z j R c L M = = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ω ω ωM

⎯p j⎯=⎯ω→

Z R Z pC Z pL Z p R c L M = = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ M

Trở kháng phần tử quán tính thụ động miền tần số phức p tính biểu thức Z=U(p)/I(p) lượng ban đầu phần tử không

R L

i(t)

3.2.2 Nguyên tắc chuyển thông số

của mạch từ miền thời gian sang miền p

-Lấy biến đổi Laplace hệ phương trình đặc trưng mạch miền thời gian, ý tới trạng thái ban đầu phần tử quán tính thụđộng

- Chuyển mơ hình thơng số mạch sang miền p

Thí dụ 3.9: Xét mạch điện hình 3.6 Phương trình đặc trưng mạch miền thời gian xét tới điều kiện đầu iL(0) uC(0) viết dạng:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c t C L

R i t dt u

C dt t di L t i R t u t u t u t

e = + + = + + ∫ +

Lấy biến đổi Laplace phương trình mạch miền thời gian:

p u p I pC i L p I pL p I R p U p U p U p E c L C L R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + + = + − + +

e(t)=1(t).Eo.sinωt C

Hình 3.6

ZR= R ZL= pL I(p)

ZC=1/pC L.iL(0)

p uc(0)

Sau thực Laplace hóa thơng số dịng điện điện áp mạch, mơ hình mạch điện miền p có dạng hình 3.7

3.3 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN MẠCH QUÁ ĐỘ RLC

3.3.1 Khái niệm chung

a-Quá trình độ: Quá trình độ mạch điện trình mạch chuyển từ trạng thái ban đầu tới trạng thái xác lập khác tác động kích thích Bài tốn q độ tốn tìm q trình q độ xảy mạch điện Về mặt lý thuyết, thời gian độ mạch vô lớn, song thực tế thường tính đơn vị nano giây đến mili giây Thơng thường loại tốn gắn liền với khố đóng ngắt nhánh mạch nguồn tác động làm việc chếđộđột biến Thời điểm mạch xảy đột biến thường quy ước làm gốc (t=0) Về mặt hình thức, trình độ mạch coi xếp chồng dao động tự dao động cưỡng Đối với hệ ổn định tĩnh, dao động tự khơng có nguồn trì nên tắt dần theo thời gian Khi dao động tự tắt hẳn, mạch lại dao động cưỡng mạch đạt đến trạng thái xác lập Đối với hệ không ổn định tĩnh, dao động tự tăng dần theo thời gian mạch xuất hiện tượng tự kích Có nhiều phương pháp phân tích mạch độ Đầu tiên, cần phải nhắc đến phương pháp kinh điển Việc giải toán độ phương pháp đồng nghĩa với việc giải hệ phương trình vi tích phân có điều kiện đầu, thơng số nguồn tác động thường xếp sang vế phải Thành phần dao động tự nghiệm hệ phương trình vi tích phân (ứng với nguồn tác động vào mạch bị loại bỏ) Thành phần dao động cưỡng nghiệm riêng hệ phương trình khơng phụ thuộc vào nguồn tác động

b -Luật đóng ngắt: Khi giải tốn q độ, đặc biệt theo phương pháp tích phân kinh điển, có điều quan trọng phải xác định điều kiện đầu Điều kiện đầu nói lên có tồn lượng ban đầu phần tử qn tính thể dạng dịng điện i0 hay điện áp u0 thời điểm đóng ngắt mạch điện hay không Các điều kiện đầu tuân theo luật đóng ngắt phần tử qn tính, cụ thể sau:

+Luật đóng ngắt phần tử cảm: “trong cuộn dây khơng có đột biến dịng điện, kể thời điểm đóng ngắt mạch”

iL(0+) = iL(0-) = iL(0)

+Luật đóng ngắt phần tử dung: “trong tụđiện khơng có đột biến điện áp, kể thời điểm đóng ngắt mạch”

uc(0+) = uc(0-) = uc(0)

c- Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán độ: Việc sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán độ giải pháp hữu hiệu cho phép biến hệ phương trình vi tích phân thành hệ phương trình đại số Các bước để giải mạch điện độ bao gồm: b1: Xác định điều kiện đầu tốn ( xác định gốc thời gian, với giá trị ban đầu phần tử quán tính) Cũng cần ý rằng, với phương pháp toán tử, giá trị ban đầu phần tử quán tính tất dạng toán độ quy lân cận bên trái thời điểm không uc(0-) iL(0-)

b2: Chuyển mơ hình mạch điện sang miền p (tức Laplace hóa mạch điện)

b3: Sử dụng phương pháp phân tích mạch biết để tìm ảnh F(p) đáp ứng b4: Biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc f(t) đáp ứng miền thời gian 3.3.2 Thí dụ với mạch RL, RC

Sau ta xét số thí dụ cụ thể mạch RL, RC tác động chiều, tác động dạng xung Người ta rút kết mang ý nghĩa vật lý quan trọng:

Đáp ứng f(t) mạch RL & RC tác động chiều có dạng:

f t f A e t

( )= ∞ +( ) −τ (3.31) với A f= ( )0 − ∞f( )

td L td

c

r L C

r =

= τ

τ ; (3.32) f( )0 =f t( )t=0 giá trị ban đầu đáp ứng

f( )∞ =f t( )t→∞ giá trị xác lập đáp ứng A e

t

−τ đặc trưng cho giai đoạn độ xảy mạch rtđ điện trở tương đương nhìn từ cặp đầu C L,

khi nguồn suất điện động bị ngắn mạch nguồn dòng bị hở mạch

i(0) R

e(t) L

Hình 3.8a

Thí dụ 3.10:

Cho mạch điện hình 3.8a, với số liệu

R=150Ω L=0,15H

Hãy tính dịng điện i(t) chạy qua mạch đặt vào hai

đầu điện áp e(t)=300V, cho biết i(0)=1,5A R I(p)

Li(0)

E(p) L

Hình 3.8b

Giải:

Vì có dịng i(0) nên ban đầu cuộn dây có tích trữ lượng Khi chuyển sang miền p mạch có dạng hình 3.8b

) (

) ( )

10 (

5 , 10 15

, 150

5 , 15 , 300 ) ( ) ( ) (

2

3

p H

p H p

p

p p

p pL

R Li p E p

I =

+ + =

+ + = +

+ =

H2(p) có hai nghiệm đơn

p1=0 p2=-103

Vậy i t H p H p e

H p H p e

p t p t

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

= 1 +

2

1

2

1

Thay số i t( )= e t + , e t , e t

− = −

− −

2 10 10

0 510

10

3

3

0

3

103 103

Kiểm tra lại kết quảđã tính cơng thức (3.31) ta thấy kết hồn tồn trùng nhau, đó:

i(o)=1,5A i(∞)=e t

R A

( )

= 300= 150

τL= L

rtd = = − 15 150 10

3 ,

Đồ thị thời gian i(t) đường cong tăng từ 1,5A đến 2A theo quy luật hàm số mũ hình 3.9 Tại T đủ lớn, i(t) tiến đến giá trị xác lập Giá trị thường quy định T =3τ với

td

R L

=

τ gọi số

thời gian mạch RL, Rtđ điện trở tương đương mạch nhìn từ cặp đầu L

2 1,5

0 T

i(t)

t giai đoạn

quá dộ giai xác lđoậạp n Hình 3.9

Thí dụ 3.11:

A K R1

C R2

e(t)

Hình 3.10a Cho mạch điện hình 3.10a, với số liệu:

R1=30Ω R2=20Ω

C=50μF e(t)=300V

Tại t=0 đóng khố K, xác định uc(t) Giải:

Xác định điều kiện đầu tốn: uA(0)=uc(0)=300V

Đóng khố K, mơ hình mạch miền p hình 3.10b với nguồn

p p

E( )=300 có thêm thành phần u

p

c( )0

A R1

1/pC

R2

u p c( )0 )

Áp dụng phương pháp điện áp nút:

U p

R pC R

E p R

u

p pC

A( )[ ] c

( ) ( )

1

1

+ + = +

thay số:

U p p

p

p p p

H p H p A( )

( )

( ) ( )

=

+

+ +

= +

+

=

−

− 300

30 300 5010

30 5010

1 20

2 10 310 10

6

6

5

4

1

2

H2(p) có hai nghiệm đơn

p1=0 p2=−10

Vậy u t H p H p e

H p

H p e e

A p t p t

t ( ) ( )

( )

( )

( )

' '

= 1 + = + −

2

1

2

10

1

4 120 180

Ta kiểm tra lại kết với số liêu sau:

u tA uA uA uA e t

c ( )= ( ) [∞ + ( )0 − ( )]∞ −τ

300 120

0 T

uc(t)

t giai đoạn

quá độ giai xác lđoậạp n Hình 3.11

trong đó:

u u V

u u u

C r C R R

R R

A c

A c R

c td ( ) ( )

( ) ( )

0 300

300 20 50 120 610

2

1 2

4

= =

∞ = ∞ = = =

= =

+ =

⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⎪τ −

V

Đồ thị thời gian uc(t) đường cong giảm

(C phóng điện) từ 300V xuống 120V theo quy luật hàm số mũ hình 3.11 Tại T đủ lớn, uc(t) tiến đến giá trị xác lập Giá trị thường quy định T =3τ , với τ =rtd.C gọi số thời gian mạch RC Rtđ điện trở tương đương mạch nhìn từ cặp đầu C

mạch cụ thể ta có:

K A

R

C2

C1

e(t)

Hình 3.12a

1 2

1//

R R

R R R

R rtd

+ = =

Thí dụ 3.12:

Cho mạch điện hình 3.12a, với số liệu:

A R

R=1Ω C1=1F C2=3F e(t)=1V

CB2B

CB1B

Tại t=0 đóng khố K, xác định uA(t) Giải:

Xác định điều kiện đầu tốn: uC1(0-)=1V, uC2(0-)=0V

Khi đóng K, miền p mơ hình mạch có dạng hình 3.12b Bằng phương pháp phân tích mạch biết ta dễ dàng tìm được:

t

R t e

i ( )=0,75. −0.25

và uA(t) = e(t) – iR(t).R = - 0,75.e-0,25t

Chú ý kết cho thấy uC1(0+) = uC2(0+)=0,25V, tức điện áp C1 C2 khơng thỏa mãn tính liên tục thời điểm đóng mạch Bài tốn thuộc loại khơng chỉnh Nếu áp dụng luật đóng ngắt tổng qt: tổng điện tích nút mạch phải liên tục, kể thời điểm có đột biến nhánh nối vào nút đó, ta có nút A:

q(0-)=q(0+)

trong q C u V

q C C u

C u

C C V

A

A

A ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

0 11

0 0

0

0 25

1

1

− −

+ + +

−

= = =

= +

⎧ ⎨

⎩ ⇒ = + =

⎧ ⎨ ⎩

uA Điều chứng tỏ kết tính tốn đắn

Thí dụ 3.13:

Mạch điện với: C=1μF, R1=R2=200Ω, nguồn điện áp tuần hoàn e(t) hình 3.13 Xác định uC(t) Giả thiết điều kiện đầu mạch không

C

e(t) uC(t)

R1

R2

e(t)[Vol]

t(μs) 100 1000

20

1100

Hình 3.13

Giải:

a Trong khoảng 0≤t<τx (τx =100μs): -Nguồn tác động: e(t)=2.105t

-Điều kiện đầu: UC(0)=0

-Sử dụng phương pháp toán tử, với 2 10 ) (

p p

E = , mạch có dạng hình 3.14a: Lập phương trình cho mạch:

1/pC

E(p) uC(p)

R1

R2

Hình 3.14a

2

2

10 ) ( )

1 (

R p p U Cp R

R + + c =

( )

4

9

10 10 10

10 10

10 )

(

+ + − = + =

p p p p

p p

UC

)

( 10 10 )

( 104t

c t t e

U = − − −

-Tại tx=100μs:

V U

e t

Uc( x)=10 = 0 ≈3,7 b Trong khoảng tx ≤t<T: -Gốc thời gian tx

-Nguồn tác động: e(t’)=0 -Điều kiện đầu: UC(0)=U0

-Sử dụng phương pháp tốn tử, mạch có dạng hình 3.14b: Lập phương trình cho mạch:

C U p U Cp R

R1 2 ) c( )

1

( + + =

1/pC U0/p R1

R2

Hình 3.14b Biến đổi dẫn đến:

4 10 )

(

+ =

p U p

UC

) ( 10

4 )

( t tx

c t U e

U = − −

-Tại t=T=1000μs:

0 10

)

( 10

0 = ≈

= −

e e U T

Uc

Nhận xét: kết thúc chu kỳ mạch trở trạng thái ban đầu Chu kỳ sau đáp ứng mạch lại lặp lại giống chu kỳ trước

3.3.3 Thí dụ với mạch dao động đơn

Có dạng mơ hình mạch quan trọng thực tế, mạch dao động đơn Mạch dao động đơn đầy đủ mạch gồm có ba thơng số thụđộng r, L, C mắc nối tiếp song song với Trong chương I ta xét tới sốđặc điểm mạch dao động đơn chếđộ xác lập điều hòa Trong phần này, tổng quát hơn, ta sẽứng dụng phương pháp toán tử miền tần số phức p để xét trình độ mạch dao động tác động điều hoà đột biến chiều

Thí dụ 3.14:

Xét mạch dao động đơn nối tiếp hình 3.15,

giả thiết nguồn tác động có dạng hàm: r L

C e(t)

Bây ta tìm dịng điện chạy mạch, với điều kiện đầu không áp dụng phương pháp toán tử:

) )( ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 LC p L r p p LC C p pC pL r p p p Z p E p I + + + = + + + = = ω ω I p p L

p p p

H p H p ch ( ) ( )( ) ( ) ( ) = + + + = 2

2 2

1

2

ω α ω

Trong đó: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = L r LC ch α ω (3.33)

Giả thiết tổn hao mạch nhỏ, tức r nhỏ, cho:

α<<ωch (3.34) dẫn đến H2(p) có nghiệm phức:

p j

p j ch

1

3 2 , , = ± = − ± − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ω α ω α

Nếu đặt ωr = ωch2 −α2 (3.35) ωr tần số riêng mạch LC, ta có ωr ≈ωch Ta viết lại:

p j

p j r

1

3 , , = ± = − ± ⎧ ⎨ ⎩ ω α ω

Theo cơng thức Heaviside ta có:

i t H p

H p e t

H p

H p e t

t t

( ) ( )

( ) .cos( )

( )

( ) .cos(

' '

=2 1 + +2

2 1 1 3 3 σ ω ϕ σ ω +ϕ )

trong σ

ω ω

σ α

ω ω

1

1

0 = = ⎧ ⎨ ⎩ = − = ⎧ ⎨ ⎩ r

Thay số tính đến yếu tố liên quan đến giả thiết ta có:

i t

L t arctg e t arctg

t

r

( ) [cos( ) cos( )]

( ) ( )

=

+ − − −

−

2 2

1 α ω α ω α α Δω Δω Δ ω (3.36)

(1): thành phần cưỡng (xác lập) (2): thành phần tự

: độ lệch cộng hưởng tuyệt đối

Δω =ω0 −ωch (3.37) Từ(3.36) ta thấy dịng điện i(t) gồm có hai thành phần:

+ Thành phần cưỡng (xác lập) với tần sốω0 Độ dịch pha phụ thuộc vào độ lệch cộng hưởng

Δω ω0đặc trưng cho nguồn cưỡng ωchđặc trưng cho thông số mạch

+ Thành phần tự do, dao động gần điều hoà với tần số dao động riêng mạch ωr, biên độ giảm dần theo hàm mũ, độ dịch pha phụ thuộc vào độ lệch cộng hưởng Δω Sau ta xét chi tiết thành phần

a Dịng điện tự (hình 3.16):

) cos(

)

(t =−I e−α ω t+ϕ

i t r

m

td (3.38)

itd(t)

Im

t Im.e-αt

Tr r = 2π ω Hình 3.16

với I

L arctg m =

+ =

⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

1

2 α2

ϕ

α Δω Δω

+Thời gian tắt (τt): thời gian mà dòng

độ 0,1.Im: I em −ατt =0 1, Im −ατt =ln ,0 τ

α t

L r

L r

= − ln ,0 1=2 3, =4 6, (3.39) + Lượng giảm logarit (δ): đặc trưng cho tốc độ suy giảm dòng điện độ, đo ln tỉ số biên độở hai chu kỳ nhau:

δ α α

ω α

α

=ln −e−( + ) = =

e T

t

t T r

r r

1

1 2π (3.40) + Điện trở tới hạn (rth): Đặc điểm quan trọng itd xác định chủ yếu thông số mạch Nguồn tác động có tác dụng kích thích để dao động tự mạch hình thành, nên chỉảnh hưởng đến giá trị ban đầu Im, ϕ Về mặt vật lý, iqđđược

sinh nhờ chuyển đổi lượng điện lượng từ tích luỹ thơng số L, C Năng lượng lượng ban đầu nguồn tác động cung cấp thời điểm đóng mạch Trong q trình trao đổi lượng, bị thơng số r làm tiêu hao nên giảm dần Tốc độ suy giảm phụ thuộc vào giá trị r, tăng q lớn biểu thức:

ωr ωch α

LC r

L

= − = −

2

4

Im

1/r

o Δω

Hình 3.17a

α2 −ω2 =0 ⇒ =

ch

L C

rth (3.41)

Như tổn hao mạch biên độ thời gian dao động tự tăng lên

b Dòng điện cưỡng

i t

L t arctg I t

cb( )= cos( ) m.cos( )

+ − =

1

2 α2 Δω2 ω0 α ω0 −ϕ

Δω

(3.42)

với I

L arctg m =

+ =

⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

1

2 α2

ϕ

α Δω Δω

Thành phần cưỡng dao động điều hoà với tần số nguồn tác động ω0 Biên độ pha đầu phụ thuộc chủ yếu vào độ lệch cộng hưởng Δω=ω0-ωch Hình 3.17a biểu diễn phụ thuộc Im vào độ lệch cộng hưởng

-Nếu ω0=ωch , tức Δω=0 Im Imch: I

L r

mch = =

1

α (3.43) mạch tổn hao (r nhỏ) biên độ cộng hưởng lớn

Sự phụ thuộc Im vào Δω dẫn đến tính chọn lọc tần số mạch: tần số gần ωch cho qua mạch, tần số xa ωch bị chặn lại Đểđánh giá độ chọn lọc tần số mạch, người ta dùng khái niệm dải thơng: giả sử tín hiệu có biên độ tác động, tần số sinh dịng điện có biên độ:

Im ≥ ch

2Im (3.44) tần sốđó nằm dải thơng (xem hình 3.17b) Biên dải thơng thỏa mãn:

Im

-Δωd Δωd

I r mch =

1

0 7, Imch

Δω Hình 3.17b

1

1

1

2

L α +Δωd = Lα

hay 1

2

2

α +Δωd = α2

Δωd r

L = =α

2 Vậy dải thông:

2Δωd r L

Khi r giảm dải thơng hẹp, độ chọn lọc cao

Dòng điện cưỡng khác với dòng điện tự chỗ tồn lâu dài, cịn dịng điện tự tồn giai đoạn đầu, sau mạch lại dòng điện cưỡng

c Dòng điện tổng hợp mạch

Dòng điện mạch phân thành giai đoạn độ giai đoạn xác lập Dòng điện tổng hợp giai đoạn độ tổng dòng điện tự dòng điện cưỡng bức, kéo dài suốt thời gian τt Khi hai vectơ thành phần dao động theo tần số khác dẫn đến tượng phách, nội dung tượng sau:

+ Khi hai vectơ thành phần phương & chiều (tức pha) biên độ vectơ tổng hợp sẽđạt giá trị max (bằng tổng đại số hai thành phần)

+ Khi hai vectơ thành phần phương ngược chiều (tức ngược pha) biên độ vectơ tổng hợp sẽđạt giá trị (bằng hiệu đại số hai thành phần)

Nhưng trường hợp phách cụ thể có điều cần lưu ý vectơ dòng điện tự giảm dần, làm cho giá trị max giảm dần, giá trị tăng dần Cuối dao động tự tắt hẳn, giá trị max trùng với giá trị tượng phách khơng cịn mạch chuyển sang giai đoạn xác lập Hiện tượng phách nói gây mạch dịng điện tổng hợp có biên độ biến thiên theo tần số phách (hình 3.18) Với giả thiết mạch tổn hao

ít làm việc chếđộ lệch cộng hưởng nhỏ, tần số phách tính theo biểu thức:

ωp =ωr −ωo ≈ Δω (3.46) Khi độ lệch cộng hưởng 0, dịng điện tổng hợp khơng cịn biến thiên Nghĩa cộng hưởng không xảy phách (ωp=0)

Kết luận:

- Trong trường hợp lệch cộng hưởng: biên độ dòng điện tổng hợp giai đoạn độ dao động theo ωp khoảng thời gian τt Tần số dòng điện tổng hợp xác định góc θ (có thể tính theo phương pháp vectơ dựa vào hai tần số thành phần):

θ( )t =ωthqd.t (3.47) Ta biểu diễn đồ thị thời gian dòng điện trường hợp lệch cộng hưởng hình 3.19:

- Trong trường hợp cộng hưởng (Δω =0), tức ωo =ωch ≈ωr: biểu thức (3.36) viết lại:

1 2L α +Δω2

1 r

Δω =0

Δω ≠0

τt

o t

Tp = 2π Δω

Im tổng hợp

i t

L t e

e

L t I t

th o

t t

o mth o ( )= cos ( − − )= − cos = cos

−

2

1

α ω α ω ω

α α (3.48)

o t

1 2L α +Δω2

Tp = 2π Δω

ith(t)

Hình 3.19 τt

ωthxl =ωo ωthqd

Giai đoạn xác lập Giai đoạn q độ

Như dịng tổng hợp có tần sốωth=ωo, biên độ biến thiên theo quy luật hàm mũ tiến tới giá trị xác lập 1/r (tại thời điểm τt) Đồ thị thời gian biểu diễn hình 3.20

ith(t)

1 r

t

Hình 3.20 Giai đoạn độ

ωth=ωo

τt

Chú ý:

Nếu ta thay đổi nguồn tác động chiều, thí dụ e(t)=E0, áp dụng lại cơng thức Heaviside dịng điện mạch thành phần dao động tự tắt dần:

t e

L E t

i t r

r

ω ω α.sin )

2 Nếu nguồn tác động dãy xung (thí dụ dãy xung vng tuần hồn hình 3.21), phương pháp giải ta xét khoảng thời gian, cụ thể sau:

-Trong khoảng 0-t1: gốc thời gian 0, nguồn tác động e(t)=E0, uc(0)=0, iL(0)=0 Với điều kiện ta tìm đáp ứng i(t) uc(t) tương ứng

e(t)

t Hình 3.21

0 t1 T T+t1

E0

-Trong khoảng t1-T: gốc thời gian dịch đến t1, nguồn tác động e(t)=0 tức đầu vào bị ngắn mạch, uc(0) iL(0) giá trị tính giai đoạn trước thời điểm t1

-Xét tương tự cho khoảng Cần lưu ý rằng, kết thúc chu kỳ mà mạch trở trạng thái ban đầu chu kỳ sau có đáp ứng lặp lại chu kỳ trước

3 Mạch dao động đơn song song mạch đối ngẫu mạch dao động đơn nối tiếp, ta áp dụng tính chất đối ngẫu để suy kết mạch dao động đơn song song từ mạch dao động đơn nối tiếp ngược lại Lý thuyết đối ngẫu tìm thấy phần phụ lục

TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG III

• Việc giải tốn q độ bắt đầu hệ phương trình vi phân mơ tả trạng thái mạch điện miền thời gian việc giải thường gặp khó khăn Để giải dễ dàng, người ta thường dùng phương pháp toán tử, tức biến đổi hệ phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số Một cơng cụ thường dùng phương pháp tốn tử biến đổi Laplace phía Về mặt tốn học, biến đổi Laplace tổng quát biến đổi Fourier, thích hợp để giải lớp mạch q độ

• Các tốn q độ thường đa dạng Nhưng tuân thủ bước nêu học, cần lưu ý điều kiện đầu mạch, bao gồm việc quy định gốc thời gian; Laplace hóa mạch áp dụng phương pháp phân tích mạch để tìm ảnh F(p) đáp ứng; cuối biến đổi Laplace ngược để lấy lại đáp ứng gốc f(t) miền thời gian

• Để giải tốt toán độ, điều cốt lõi phải nắm biến đổi Laplace, đặc biệt biến đổi Laplace ngược Phương pháp Heaviside phương pháp hữu hiệu để tính biến đổi Laplace ngược, phương pháp triệt để lợi dụng tính chất tuyến tính (xếp chồng) biến đổi Laplace để khai triển F(p) thành tổng thành phần ảnh ảnh đơn giản Việc khai triển hồn tồn dựa tính chất điểm cực F(p)

• Mạch dao động đơn có trình độ phức tạp Dù tác động chiều mạch nảy sinh dao động tự sinh áp đặt lượng ban đầu mạch Thời gian tồn dao động tự tùy thuộc vào phẩm chất Q mạch Thông sốđiện trở (r) quy định tổn hao lượng, phẩm chất (Q) tính chất chọn lọc tần số (dải thông) mạch

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG III

3.1 Khi điểm cực hàm mạch F(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức (không bao hàm trục ảo), đáp ứng f(t) sẽ:

a hội tụ t→∞ b hội tụ t→∞ c không hội tụ t→∞ d tiến đến vô hạn t→∞

3.2 Khi điểm cực hàm mạch F(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức, nằm trục ảo, đáp ứng f(t) sẽ:

a hội tụ t→∞ b hội tụ t→∞ c không hội tụ t→∞

d không tiến đến vô hạn t→∞

3.3 Khi tồn điểm cực hàm mạch F(p) nằm bên nửa phải mặt phẳng phức, đáp ứng f(t) sẽ: a hội tụ t→∞

b hội tụ t→∞ c không hội tụ t→∞ d tiến đến vơ hạn t→∞

3.4 Luật đóng ngắt phần tử quán tính phát biểu :

a Trong cuộn dây khơng có đột biến điện áp, tụđiện khơng có đột biến dịng điện, kể thời điểm đóng ngắt mạch

b Trong cuộn dây khơng có đột biến dịng điện, tụđiện khơng có đột biến điện áp, kể thời điểm đóng ngắt mạch

c Trong cuộn dây, tụđiện khơng có đột biến điện áp, kể thời điểm đóng ngắt mạch d Cả ba phát biểu không

3.5 Xác định hàm gốc UC(t) biết ảnh ( )

(2 6) C

p U p

p p

=

+ a ( ) 1

6 t C

U t = − e− b ( ) 1

6 t C

U t = + e−

c ( ) 1

t C

U t = + e− d ( ) 1

6 t C

U t = − e−

3.6 Dùng công thức biến đổi Heaviside bảng gốc- ảnh, xác định hàm gốc iL(t) biết

ảnh ( ) 2 ( 2)( 3) L

p i p

p p

=

a ( ) 2 2t 3 3t 2 b i t

L

i t = − e− + e− + te−3t ( ) 2e 2t 3te 3t 2e 3t

L

− − −

= − + +

3t

− e te e 3t

c ( ) 2 2t 3 3t 2 d i t

L

i t = − e− + e− + e ( ) 2 2t 3 3t 2

L

− − −

= − − −

K R1

C R2

e(t)

Hình 3.22

3.7. Cho mạch điện hình 3.22, với số liệu: R1=10Ω; R2=90Ω; C=2μF

e(t)=100V (DC)

Tại t=0 ngắt khoá K, xác định uC(t) ?

3.8. Cho mạch điện hình 3.23, với số liệu: R1=30Ω

K R1

C

R2

e1(t)

Hình 3.23

e2(t)

R2=20Ω C=50μF

e1(t)=60V (DC) e2(t)=10V (DC)

Tại t=0 đóng khố K, xác định uC(t) ?

3.9. Cho mạch điện hình 3.24, với số liệu: R1 K

C R2

e(t)

Hình 3.24 R1=10Ω; R2=90Ω; C=2μF

e(t)=100V (DC)

Tại t=0 đóng khoá K, xác định uC(t) ?

3.10 Cho mạch điện hình 3.25, với số liệu:

R1=30Ω R K

1

C

R2

e1(t)

Hình 3.25

e2(t)

R2=20Ω C=50μF e1(t)=6V (DC) e2(t)=1V (DC)

Tại t=0 ngắt khoá K, xác định uC(t) ?

3.11 Cho mạch điện hình 3.26 với số liệu:

K R1

C R2

e(t)

R3

e(t)=10V (DC)

Tại t=0 ngắt khoá K, xác định uC(t)?

3.12 Cho mạch điện hình 3.27 với số liệu:

K R1

R3

e(t)

Hình 3.27 L R2

R1=5Ω R2=R3=10Ω L=1,5mH e(t)=10V (DC)

Tại t=0 ngắt khoá K, xác định iL(t) ?

3.13 Cho mạch điện hình 3.28 với số liệu:

K R1

R3

e(t)

Hình 3.28 L R2

R1=5Ω R2=R3=10Ω L=2mH

e(t)=10V (DC)

Tại t=0 ngắt khoá K, xác định iL(t) ?

3.14 Cho mạch điện hình 3.29 với số liệu:

K R1

R2

e1(t)

Hình 3.29 L R3

e2(t)

R1= R2=R3=10Ω L= mH

e1(t)=e2(t)= 15V (DC)

Tại t=0 ngắt khoá K, xác định iL(t) ?

3.15 Cho mạch điện hình 3.30 với số liệu:

K R1

R2

e1(t)

Hình 3.30

L e2(t)

R1=5Ω R2=10Ω L=1 mH

e1(t)=e2(t)= 10V (DC)

Tại t=0 ngắt khoá K, xác định iL(t)?

3.16 Cho mạch điện hình 3.31 với số liệu: R1= R2=R3=10Ω

K R1

C R2

e(t) C=2μF

RB3B

e(t)=30V (DC)

Tại t=0 đóng khố K, xác định uC(t)?

C R

i(t) u(t)

Hình 3.32

3.17 Xét mạch điện hình 3.32 Nếu

t ≥ =sin , )

(t 0t

i ω , giả thiết hệ khơng có lượng ban đầu, tức uC(0-)=0, tính u(t)

3.18 Mạch điện cấp hai, RLC nối tiếp hình 3.33a với L=0.5mH, R=5Ω, C=2nF -Nguồn tác động: e(t)=1(t).s(t) [Vol] -Dạng s(t) hình 3.33b

L R

C Hình 3.33a

e(t) uC(t)

s(t)[Vol]

t(ms) Hình 3.33b

0 2.8

-1.2

-2 0.8

10

a Tính vẽđồ thị dịng điện i(t) sinh mạch điện áp UC(t)

b Trong trường hợp R=1Ω ( tức phẩm chất mạch tăng lên lần ), thông số khác không thay đổi, xét i(t) UC(t) trường hợp

3.19 Mạch điện cấp hai, RLC song song hình 3.34a với C=10nF, R=50KΩ Nguồn tác động Ing(t)=1(t).s(t) Như mơ tảở hình 3.34b, biểu thức s(t) chu kỳ:

⎩ ⎨ ⎧

≤ <

≤ ≤

= −

(ms) t (ms) 0,

(ms)

, 10 cos 10 ) (

6

π π

π

t t

t s

C

Hình 3.34a

Ing(t) R L uC(t)

s(t)[mA]

t(ms)

2π Hình 3.34b

4π 6π -2π

-4π

1

-1

a Với giá trịđiện cảm L=0.1mH, xác định vẽ dòng điện iL(t) sinh điện cảm L

b Giá trịđiện cảm L điều chỉnh để mạch lệch cộng hưởng: ]

/ )[ 10 10

( rad s ch = +

ω

CHƯƠNG IV

HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA MẠCH GIỚI THIỆU

Các phương pháp phân tích tổng hợp hệ thống có tầm quan trọng đặc biệt kỹ thuật

điện tử Nội dung đề cập chương bao gồm:

• Khái niệm hàm truyền đạt số yếu tố liên quan đến hàm truyền đạt hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến nhân

• Phương pháp phân tích mạch quan điểm hệ thống qua việc xác định đáp ứng tần số mạch

• Cách vẽđặc tuyến tần số mạch theo phương pháp đồ thị Bode NỘI DUNG

4.1 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG

4.1.1 Biểu diễn hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến nhân quả

Xét hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến nhân (bậc hữu hạn n) miền thời gian

hình vẽ:

Hệ thống LT.TT.BB.NQ

Tác động x(t) Đáp ứng y(t)

Hình 4.1

Quan hệ đáp ứng tác động vào tồn hình thức phương trình vi phân tuyến tính hệ số (bậc n) chuẩn hóa:

∑ ∑

= −

=

=

+ m

i i

i i n

i i

i i n

n

dt t x d b dt

t y d a dt

t y d

0

0

) ( )

( )

(

(4.1)

4.1.2 Hàm truyền đạt hệ thống

Với điều kiện đầu hệ thống khơng, Laplace hóa hệ thống phương trình tương ứng sang miền p (bằng biến đổi Laplace (LT)) ta có hàm truyền đạt hệ thống:

) (

) ( ) (

p X

p Y p

H = (4.2) Chú ý rằng: H(p)=Y(p)X(p)=1 (4.3) Dạng tổng quát hàm truyền đạt thường phân thức hữu tỷ, xác định trực tiếp từ

các hệ số phương trình vi phân nói trên:

) (

) (

) (

2

1

1

p H

p H p

p a a

p p

b b p

H n

m

= +

+ +

+ + + =

1 -n -n

m -m -m

p a +

b + p b

• Điểm cực hệ thống điểm pk mà H2(pk)=0 Khi H(p) biểu diễn dạng tích:

∏ ∏

= =

− − = n

k

k m

i

i m

p p

p p b

p H

1

) (

) (

)

( (4.5)

Nếu nghiệm khác khơng, dạng tích cịn biểu diễn theo cách khác:

∏ ∏

= =

− − = n

k k

m

i i

p p p

p k

p H

1

) (

) ( )

( (4.6)

4.1.3 Tính ổn định hệ thống

Tính ổn định hệ thống liên quan tới vị trí điểm khơng điểm cực H(p) mặt phẳng phức hình 4.2 Chúng

là sở quan trọng để xác định

đặc trưng hệ thống

+ Trên hệ thống ổn định, với tác động hữu hạn đáp ứng phải hữu hạn Hệ thống ổn định

khi điểm cực H(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức, tức Re[pk]<0, với k=1,2, ,n

+ Hệ thống nằm biên giới ổn định

nếu điểm cực

H(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức, ngoại trừ tồn điểm cực khơng lặp nằm trục ảo

σ=Re[p] Im[p]

Hình 4.2: Mặt phẳng phức

k/hiệu điểm cực k/hiệu điểm không

+ Hệ thống không ổn định tồn điểm cực H(p) nằm bên nửa phải mặt phẳng phức, tồn điểm cực lặp nằm trục ảo

Điều kiện ổn định mạch điện tuyến tính, bất biến, có thơng số tập trung điểm cực H(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức Đối với mạch thụđộng, tồn

điểm cực (không lặp) nằm trục ảo mà mạch ổn định mạch khơng bị tự kích với thay đổi thơng số Cịn mạch tích cực, tồn điểm cực nằm trục ảo, tác động thay đổi nhỏ thông số mạch,

điểm cực hồn tồn nhảy sang nửa mặt phẳng phải mạch bị tự kích 4.2 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG

4.2.1 Khái niệm

Khi Fourier hóa hệ thống (cùng phương trình tương ứng) sang miền tần số ta có khái niệm đáp

[ ] ( ). arg ( ) )

( ) ( ) ( )

( ω ω

ω ω

ω H j ej H j

j X

j Y t h FT j

H = = = (4.7) H(jω) đáp ứng biên độ argH(jω) đáp ứng pha hệ thống

Từ đặc tuyến tần số, ta nhận biết đặc trưng hệ thống miền tần số phản

ứng hệ thống tác động đầu vào có dạng điều hòa 4.2.2 Mối quan hệ đáp ứng tần số hàm truyền đạt

Từ kết chương trước, ta thấy vùng hội tụ H(p) bao hàm cảđiều kiện tồn biến đổi Fourier ta tính trực tiếp H(jω) từ H(p) cách thay p =jω

ω

ω H p p j

j

H( )= ( ) = (4.8)

Đối với hệ thống nhân ổn định, tồn H(jω)

Thí dụ 4.1

Xét mạch điện hình 4.3 Khi mối i(t) dịng điện tác động, u(t) đáp ứng pt vi phân cấp 1:

) ( ) ( ) (

t x C t y CR dt

t

dy + =

C R

x(t) =i(t) y(t)=u(t)

Hình 4.3 -Hàm truyền đạt tương ứng với hệ

số phương trình là:

CR p

C p

I p U p H

1 / ) (

) ( ) (

+ = =

Hệ thống tuyến tính, bất biến nhân ổn định có điểm cực đơn pk=-1/RC nằm bên nửa mặt phẳng trái

-Do hệ nhân quảổn định nên tồn đáp ứng tần số:

ω ω

ω ω

ω jarctgRC

j

p e

R C

C j

CR C p

H j

H −

=

+ =

+ =

=

1 / 1

/ )

( ) (

2 2

/H(jω)/ R

ω

0

argH(jω)

-π/2

ω

0

Hình 4.4

Đặc tuyến mô tả mối tương quan biên độ pha điện áp dòng điện vào theo tần số:

) (

) ( )

(

ω ω ω

j I

j U j

H = R , và:

I UR

j

H( ω)=ϕ −ϕ

arg

Từ đặc tuyến tần số, ta nhận biết đặc trưng hệ thống miền tần số mạch lọc thông thấp Vùng tần số thấp tín hiệu vào đồng pha, vùng tần số cao tín hiệu chậm pha so với tín hiệu vào góc π/2

-Để minh chứng, i(t)=sinω0t, t≥0, giả thiết hệ khơng có lượng ban đầu, tức uC(0-)=0, ta có:

2

0 / ) ( ) ( ) (

ω ω

+ +

= =

p CR p

C p

X p H p U

Biến đổi Laplace ngược ta đáp ứng là:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ −

+

= − t

RC t e

C R C

t

u RCt

0

0

0 2

sin cos

) (

1 )

( ω ω ω ω

ω

rõ ràng bạn kiểm chứng chế độ xác lập thành phần exp khơng cịn Ở

vùng tần thấp thành phần sin có tác dụng đáng kể với biên độ gấp R lần đồng pha với tác

động Khi tần số tăng lên thành phần cos có tác dụng đáng kể có biên độ giảm dần chậm pha dần tới π/2 so với tác động

4.3 ĐỒ THỊ BODE

Trong thí dụ trước, ta ngẫu nhiên đề cập tới phương pháp vẽđịnh tính đặc tuyến tần số hệ

thống cách trực đáp ứng tần số H(jω). Trong mục này, nói đến phương pháp vẽđịnh tính đặc tuyến tần số mạch sở điểm cực điểm không H(p) theo phương pháp vẽđồ thị Bode

4.3.1 Nguyên tắc đồ thị Bode

Nguyên tắc đồ thị Bode vẽđáp ứng tần số (biên độ & pha) mạch cách tổng hợp trực tiếp đặc tuyến tần số thành phần ứng với điểm cực điểm không H(p), cụ thể

sau:

-Đặc tuyến biên độ:

a( ) ln (ω = F jω) Np (4.9) a( )ω =20 lg (F jω) dB (4.10) -Đặc tuyến pha:

b(ω) = arg[F(jω)] rad (4.11) Các đặc tuyến thực thang tỉ lệ logarithmic ω, ký hiệu trục ν, đơn vị

ν ω ω =lg

0

[D] (4.12)

hoặc đơn vị octave: ν ω

ω =log2

0

[oct] (4.13) ω0 tần số chuẩn dùng để chuẩn hoá giá trị cho ω

Trong tài liệu này, ta quy ước thí dụ vềđồ thị Bode thực hệ trục tọa độ logarit hình 4.5

dB , ) (ω a ν[D]

Đặc tuyến biên độ

ν[D]

Đặc tuyến pha b(ω), rad

Hình 4.5

4.3.2 Ý nghĩa phương pháp đồ thị Bode

Đồ thị Bode công cụđắc lực đặc biệt để vẽđịnh tính đặc tuyến tần số hệ thống Điều

đó thể qua phân tích hệđo lường phương pháp này:

Xuất phát từ biểu diễn H(p) dạng tích thừa số thành phần:

∏ ∏ ∏ ∏ = = = = − − = − − = n k k m i i n k k m i i m p p p p k p p p p b p H 1 1 ) ( ) ( H(p) hay , ) ( ) ( ) (

Tổng quát:

) ( ) ( ) ( 1 p H p H K p H k n k i m i = = ∏ ∏

= (4.14) Khi đó, với thay p=jω, ta có:

) ( ) ( ) ( 1 ω ω ω j H j H K j H k n k i m i = = ∏ ∏

= (4.15) -Vậy đáp ứng pha là:

∑ ∑ = = − + = = n k k m i

i j H j

H K j H b 1 )] ( arg[ )] ( arg[ ] arg[ )] ( arg[ )

(ω ω ω ω (4.16)

-Còn đáp ứng biên độ là:

∑ ∑ = = − + = = n k dB k dB m i i dB

dB H j K H j H j

a 1 ) ( ) ( ) ( log 20 )

Về mặt toán học, việc sử dụng đơn vị dB cho phép phân giải tích thừa số thành tổng đại số

của đại lượng thành phần, làm đơn giản hoá phép nhân đồ thị phép cộng thành phần

đồ thị Bode Ngoài lơgarit hố cịn làm đơn giản việc phân tích khâu mắc dây chuyền (mắc chuỗi xích) hệ thống

Bây ta xét tới biểu diễn tần số Hình vẽ minh hoạ cho số giá trị tần số theo

đơn vị Decad tương ứng theo đơn vị rad/s ( tần số chuẩn ω0được chọn 1rad/s):

ν[D] 2

1 0

-1 -2

100 rad/s

rad/s 0,01

rad/s rad/s 0.1

10 rad/s

Vậy trục Decade giúp cho việc biểu diễn vùng tần số dễ dàng dù biến thiên khoảng rộng Đồng thời cho phép đường phi tuyến trục ω (dạng

0 lg )

(

ω ω

ω A

a dB = )

biến thành đường thẳng trục (dν ạng a(ω)dB = A.ν ) việc tổng hợp đường cong sẽđược đơn giản hóa thành việc tổng hợp đoạn thẳng tiệm cận gần đồ thị thành phần

Như đồ thị Bode đáp ứng tần số H(jω) dựa thành phần thừa số K, Hk(p) Hi(p)

của hàm truyền đạt:

) (

) ( )

(

1

p H

p H K p H

k n

k i m

i

= = ∏ ∏

= , ởđây cịn có số ý quan trọng:

1 Ngoại trừ thành phần hệ số K, dạng thành phần cịn lại phụ thuộc hồn tồn vào vị trí điểm khơng pi ( nghiệm thừa số Hi(p) ) vị trí điểm cực pk ( nghiệm thừa số Hk(p) )

2 Xét hai thành phần: Hj(p)

) (

p

Hj , đồ thị Bode (biên độ pha) hai thành phần

hoàn tồn đối xứng qua trục Decade Vì cần xét dạng đồ thị Bode thành phần ứng với điểm khơng, từđó suy dạng đồ thị thành phần ứng với điểm cực theo nguyên tắc lấy đối xứng Cũng cần phải nhắc lại điểm cực không nằm bên nửa phải mặt phẳng phức

4.3.3 Các thành phần đồ thị Bode

1 Đồ thị thành phần hệ số K:

a(ω)[dB] 20.lg[K]

ν[D] 0

b(ω)[rad]

π K<0

ν[D] 0

K>0

a( )ω = 20 lgK dB b( ) argω K

π = =⎧⎨

⎩

0 K > K < Đồ thị Bode thành phần minh hoạ hình 4.6

2 Đồ thị thành phần ứng với điểm khơng gốc toạđộ:

Trên hình 4.7 mô tả điểm không gốc, pi =0, hàm truyền đạt thành phần có dạng:

p p Hi( )=

suy ra: Hi(jω)=jω Im

σ=Re

Hình 4.7 + Xét đặc tuyến biên độ:

a( )ω =20 lgjω =20 lgω=20 ν [dB] Lưu ý ω viết ởđây chuẩn hoá, tức tỉ

số tần số xét tần số chuẩn Như a(ω) đường thẳng qua gốc có độ dốc 20dB/D

+ Bây ta xét sang đặc tuyến pha:

b( ) arg(ω = jω)= π[ ] rad

Đồ thị pha đường thẳng song song với trục hoành Đồ thị Bode thành phần minh hoạ hình 4.8

a(ω)[dB]

20dB/D

ν[D] 20

1 0

b(ω)[rad]

π/2

ν[D] 0

Hình 4.8

3 Đồ thị thành phần ứng với điểm không (khác 0) nằm trục σ:

• Nếu điểm khơng nằm nửa trái trục σ:

Im

σ=Re -ωh ωh

Hình 4.9 Trên hình 4.9 mô tả điểm không pi =- ωh

nửa trái trục σ, vớiωh số dương, hàm truyền đạt thành phần có dạng:

h i

p p

H

ω

a j dB

h h

( )ω lg ω lg[ ( ) ] [ ]

ω

ω ω

=20 1+ =10 1+

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = h h h khi ω ω ω ω ω ω ω ω ω 10 lg 20 0 ) ( h dB a

a(ω) xấp xỉ đường gẫy khúc tần số gãy ωh trục D, độ dốc 20dB/D hình 4.10 Đường xác

của a(ω) đường cong tiệm cận với đường gãy khúc nói qua giá trị 3dB

điểm ωh

a(ω)[dB]

20dB/D

ν[D] 20

ωh 101ωh 10-1ω

h

Hình 4.10

+ Bây ta xét sang đặc tuyến pha:

b j arctg

h h

( ) arg(ω ω)

ω

ω ω

= 1+ = b(ω)[rad]

ν[D]

ωh 101ωh 10-1ω

h π/2 π/4 Hình 4.11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = h h h ω ω π ω ω π ω ω ω 10 0 ) ( b

Vậy đặc tuyến pha xấp xỉ đường gãy khúc hình vẽ:

Đường xác b(ω) đường cong tiệm cận với đường gãy khúc nói có giá trị π/4 điểm ωh

Im

σ=Re

ωh

Hình 4.12

• Nếu điểm khơng nằm nửa phải trục σ:

Khi điểm không nằm nửa phải trục σ hình 4.12, hàm truyền đạt thành phần có dạng:

h i p p H ω − =1 ) (

vớiωh số dương

ωh

b(ω)[rad]

-π/4 -π/2

ν[D] 101ω

h 10-1ω

h a(ω)[dB]

20dB/D

ν[D] 20

ωh 101ωh 10-1ω

h

Đồ thị Bode trường hợp có dạng hình 4.13

So với trường hợp

h i p p H ω + =1 )

( , đồ thị biên độ thành phần

h i p p H ω − =1 )

( có dạng khơng thay đổi, đồ thị pha có dạng lấy đối xứng qua trục hoành

4 Đồ thị thành phần ứng với điểm không cặp nghiệm phức liên hợp:

• Nếu điểm khơng cặp nghiệm phức liên hợp nằm nửa trái mặt phẳng phức:

Hình 4.14 minh hoạ giá trị mơđun argumen điểm không cặp nghiệm phức liên hợp nằm nửa trái mặt phẳng phức Lúc tích hai thừa số tương ứng với cặp nghiệm miền tần số

phức có dạng:

Im

θi

ωi

-θi

σ=Re Hình 4.14 2 ) )( ( ) ( i i j i j i i p p e p e p p H i i ω ω θ ω ω θ θ + = − − = i 2cos -1 =

Hay: 2

2 ) ( i i i p p p H ω ω ξ + +

= , ξ = - cosθi , 0<ξ <1, ωi>0: + Đặc tuyến biên độ:

a j

i i i i

( )ω lg ξ ω lg[( ) ( ) ] [ ]

ω ω ω ω ω ξ ω ω

=20 1+ + 22 =10 1− 22 +4 2 dB

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = ⇒ i i i ω ω ω ω ω ω ξ ω ω ω 10 lg 40 lg 10 0 ) ( i a

a(ω) có dạng đoạn cong đoạn gẫy khúc tuỳ thuộc vào giá trị ξ ( với 0<ξ<1) mơ tả hình 4.15

a(ω)[dB] 40dB/D

ν[D] 40 -6 ξ=0,5 ξ=1 ξ=0,25

ωi 101ω i 10-1ω

i

2

2 )

(

i i

arctg b

ω ω ω ω ξ ω

− =

ωi

b(ω)[rad]

π/2

ξ2

ξ1<

π

ν[D] 101ω

i 10-1ω

i

Hình 4.16

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

> = < =

⇒

i i

i

ω ω π

ω ω π

ω ω

ω

10

1 0

) (

b

Đặc tuyến pha xấp xỉ

đoạn cong gẫy khúc tuỳ thuộc vào giá trị ξ ( với 0<ξ<1) hình 4.16

• Nếu điểm khơng cặp nghiệm phức liên hợp nằm nửa phải mặt phẳng phức (như hình vẽ 4.17):

Im

θi

ωi

-θi

σ=Re

Hình 4.17 Hàm truyền đạt thành phần có dạng:

2 2

1 ) (

i i k

p p p

H

ω ω

ξ +

− =

đó: ξ = -cosθi , (−1<ξ <0)

Hình 4.18 thí dụ đồ thị Bode trường hợp ứng với 25

− =

ξ

ωi

b(ω)[rad]

-π/2 -π

ν[D] 101ω

i 10-1ω

i a(ω)[dB] 40dB/D

ν[D] 40

-6

ξ=-0,25

ωi 101ω i 10-1ω

i

Hình 4.18

So với trường hợp ξ =0.25, đồ thị biên độ thành phần ứng với ξ =−0.25 có dạng khơng thay

đổi, đồ thị pha có dạng lấy đối xứng qua trục hoành

Im

-jωi

jωi

σ

Hình 4.19

5 Thành phần ứng với điểm không nằm trục ảo:

Hình vẽ 4.19 minh hoạđiểm khơng cặp nghiệm phức liên hợp nằm trục ảo Đây trường hợp đặc biệt thành phần xét

0

=

2 ) )( ( ) ( i i i i p j p j p p H ω ω ω + + −

= =1

+ Đặc tuyến biên độ: a(ω)[dB]

40dB/D

ν[D] 40

ωi 101ω i 10-1ω

i Hình 4.20 ] [ lg 20 ) ( 2 dB a i ω ω ω = −

Đặc tuyến biên độđược mô tả hình 4.20

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = ∞ − < = ⇒ i i i khi ω ω ω ω ω ω ω ω ω 10 lg 40 0 ) ( i a ωi

b(ω)[rad] π

ν[D] 101ω

i 10-1ω

i

Hình 4.21 -Tại ω = 2ωi ⇒a(ω)=0

+ Bây ta xét sang đặc tuyến pha:

] arg[ ) ( 2 i b ω ω

ω = − [rad]

Đặc tuyến pha có dạng hình 4.21:

⎩ ⎨ ⎧ > < = ⇒ i i ω ω π ω ω ω)

(

b

-Tại ω = ωi có nhảy vọt pha 4.3.4 Tổng hợp đồ thị Bode

Đặc tuyến tần số H(jω)của hệ thống tổng hợp phương pháp đồ thị Bode

sau:

+ Phân tích hàm truyền đạt hệ thống H(p) thành dạng tích thành phần bản:

) ( ) ( ) ( 1 p H p H K p H k n k i m i = = ∏ ∏ =

+ Vẽđặc tuyến biên độ pha thành phần tương ứng

Thí dụ 4.2

Trở lại xét mạch điện hình vẽ 4.22, i(t) dòng điện tác động, u(t) đáp ứng mạch -Hàm truyền đạt tương ứng là:

CR p

C p

I p U p H

1 / ) (

) ( ) (

+ = =

C 100μF

R 10Ω

i(t) u(t)

Hình 4.22 -Phân tích hàm truyền đạt H(p) thành dạng tích

của thành phần bản:

RC p R

p H

/ 1

1 ) (

+ =

- Thành phần (1) ứng với hệ số R, H1(p)=R, đồ thị biên độ pha có dạng hình 4.23:

b1(ω)[rad]

ν[D] 0

a1(ω)[dB]

20.lgR

ν[D]

20

Hình 4.23

-Thành phần (2): tương ứng điểm cực nằm nửa trái trục σ:

h

p p

H

ω

+ =1 ) (

2 , 103

1 =

=

RC

h

ω

Đồ thị biên độ pha có dạng hình 4.24 (đối xứng với đồ thị điểm không tương

ứng qua trục Decade):

a2(ω)[dB]

ν[D]

0

-20dB/D -20

b2(ω)[rad]

ν[D]

0

-π/2

2 -π/4

Hình 4.24

a(ω)=a1(ω)+a2(ω)

ν[D]

0

-20dB/D -20

2

20 (1)

(2)

b(ω)=b1(ω)+b2(ω)

ν[D]

0

-π/2

2 -π/4

(1)

(2)

Hình 4.25

a(ω) xấp xỉ đường gẫy khúc tần số gãy ωh =3D, độ dốc ω<<ωh, độ dốc -20B/D ω>>ωh hình vẽ Đường xác a(ω) đường cong tiệm cận với đường gãy khúc nói

b(ω) xấp xỉ đường gẫy khúc tần số gãy ωh±1 trục D Đường xác b(ω) đường cong tiệm cận với đường gãy khúc nói

4.4 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ BODE ĐỂ KHẢO SÁT MẠCH ĐIỆN

Trong nhiều trường hợp, đáp ứng tần số dạng đặc tuyến gãy gần theo phương pháp Bode đủđể khảo sát tính chất hệ thống, khơng cần phải vẽđặc tuyến xác

Trong thí dụ vừa xét trên: Khi tần số tăng đặc tuyến biên độ bị suy hao Tại điểm ωhđộ suy giảm 3dB (so với gốc).Từđặc tuyến tần số, ta nhận biết đặc trưng mạch miền tần số mạch lọc thơng thấp Ở vùng tần số thấp tín hiệu vào đồng pha, vùng tần số

cao tín hiệu chậm pha so với tín hiệu vào góc π/2 Cũng cần ý đặc tuyến biên độ

có đoạn a(ω) >0dB, nhiên điều không minh chứng mạch khuếch đại

định nghĩa hàm truyền đạt khơng phải áp dụng cho hai đại lượng vào loại Sau

đây ta xét vài thí dụ với định nghĩa hàm truyền đạt hai đại lượng loại

Thí dụ 4.3: Hãy xác định đồ thị Bode hàm truyền đạt điện áp mạch điện hình 4.26 Cho số liệu: R1=40kΩ, R2=10kΩ, C=100nF

Giải:

Hàm truyền đạt điện áp mạch:

R1

C R2 U2

U1

Hình 4.26

K p U

U

R R pC

R R

R pC

R

R R pR R C

( )= = + +

+

=

+ +

2

1

2

2

1

2

2

2

1 2

1

= + +

+

= +

R

R R

R R

R R C p k

p h

1

1

1

1

trong đó: k R

R R

=

+ = + =

2

1

10

40 10 2,

9

3

2

2

1 1250 .

10 100 40.10.10

10).10

(40 −

− = +

= +

= rads

C R R

R R

h

ω

Đồ thị Bode hàm truyền đạt điện áp mạch điện biểu thị hình 4.27 gồm có hai đồ thị

thành phần, giá trị biên độ thành phần thứ đồ thị là: a1 = 20lgk=20lg0,2=-14dB

b,rad a,dB

(1) -10

(2) -20dB/D

ν[D]

3

1 ν[D]

-π/4 -π/2

Hình 4.27

Thí dụ 4.4: Hãy xác định đồ thị Bode hàm truyền đạt điện áp mạch điện hình 4.28 trường khác L (L=1H; L=4mH; L=0,4H)

Giải:

Hàm truyền đạt điện áp mạch:

K p U U

RLp R Lp pC

RLp R Lp

LC p L

Rp LC p

( )

= = + +

+ =

+ +

2

1

2

2

1

C=0,1μF

L R

1kΩ U2

U1

Hình 4.28 a Trường hợp L=1H:

Khi mẫu số có dạng:

H2(p)=1+10-3.p+10-7.p2 tam thức bậc hai có hai nghiệm đơn:

p1 = -1,12.103; p2 = -8,9.103

Đặt

6

0 10 3,16.10

10 ,

1

= =

= =

−

LC

ω , Tử số có dạng H1(p) = p

0

ω

) )(

( ) )( ( ) (

2

2

2

2

p p p

p p

p p p

p p p

K

+ +

= − −

Thay số, K(p) viết lại:

) 8900

)( 1120

(

10

)

(

p p

p p p

K

+ +

= −

Đồ thị Bode hàm mạch gồm có năm đồ thị thành phần tương ứng với:

8900

) (

1120

) (

) ( ) (

10 ) (

5

3

7

p p

K

p p

K

p p K p K

p K

+ =

+ =

= =

= −

và đồ thị tổng hợp chúng hình vẽ 4.29

b,rad

ν[D]

3

(1)+(2)+(3)

1

(5) (4)

-π/4

π

-π/2

π/2 a,dB

(1) -10

(1)+(2)+(3) 40dB/D

(5) -20dB/D (4)

-20dB/D

ν[D]

3

Hình 4.29

Như vùng tần thấp, điện áp bị suy giảm nhiều, đồng thời nhanh pha so với điện áp vào Khi tần số tăng độ suy giảm tiến gần đến không độ dịch pha tiến dần đến khơng Mạch đóng vai trị lọc thông cao (HPF)

b Trường hợp L=4mH:

ω0

3

10

1

410 110 2510 510

= = = =

− −

LC , ,

Mẫu số có dạng:

H2(p)=1+4.10-6.p+4.10-10.p2 (1) tam thức bậc hai có cặp nghiệm phức liên hiệp:

H p p p

i i

2

2

2

( )= + ξ +

ω ω (2)

Thực đồng hai biểu thức (1) & (2) ta có:

ωi = 5.104; ξ = 0,1; Vậy K(p) viết lại:

K p

p

p p

i i

( )=

+ +

2

0

2

2

ω ξ

ω ω

hay

2 10

2 10 ) (

i i

p p pp p

K

ω ω

ξ +

+ = −

Đồ thị Bode hàm mạch gồm có đồ thị thành phần tương ứng với:

2

3

10

2 ) (

) ( ) (

10 ) (

i i

p p p

K

p p K p K

p K

ω ω

ξ +

+ =

= =

= −

tổng hợp đồ thị Bode chúng hình vẽ 4.30

b,rad

ν[D]

5

(1)+(2)+(3)

3

(4)

π

-π/2

-π π/2 a,dB

(1) -10

(1)+(2)+(3) 40dB/D

(4) -40dB/D

ν[D]

4

Hình 4.30

Như lân cận tần sốωi = 5.104 , mạch xảy tượng đặc biệt, điện áp có biên độ lớn điện áp vào Điều nghĩa có khuếch đại điện áp (cộng hưởng điện áp) vùng tần số lân cận

LC

1

=

ω , tính chất quan trọng mạch thụ động bậc hai RLC Lúc mạch đóng vai trị lọc thơng cao, đặc tuyến tần số

của xuất vùng bứu vồng lên c Trường hợp L=0,4H:

ω0

6

8

1

0 110 2510 510

= = = =

−

Mẫu số có dạng:

H2(p)=1+4.10-4.p+4.10-8.p2 tam thức bậc hai có nghiệm kép:

p1,2 = -5.103

Vậy K(p) viết lại: K p

p

p p ( )

( )

= +

2

0

1

ω

Đồ thị Bode hàm mạch gồm có bốn đồ thị thành phần hình 4.31

b,rad

ν[D]

4

(1)+(2)

2

(3)+(4)

π

-π/2

-π π/2

Hình 4.31 a,dB

-10

(1)+(2) 40dB/D

(3)+(4) -40dB/D

ν[D]

3

Qua thí dụ ta thấy rằng, có tam thức bậc hai xuất hàm mạch trước hết ta đưa dạng: + b.p + a.p2 sau đó tìm nghiệm của đa thức Có thể xảy ba trường hợp: -Đa thức có hai nghiệm đơn (p1 p2): viết lại đa thức dạng:

) )( (

2

2

p p p

p p

a p

b + ⇒ − −

+

và đồ thị Bode có hai đồ thị thành phần tách biệt

-Đa thức có nghiệm kép (p1 = p2): viết lại đa thức dạng: ) ( ) )( (

1

1

1

p p p

p p

p p

a p

b + ⇒ − − = −

+

và đồ thị Bode có hai đồ thị thành phần trùng nhau, hay nói cách khác tương đương đồ thị

có độ dốc gấp đơi

-Đa thức có hai nghiệm phức liên hiệp: cần phải viết lại đa thức dạng:

1 + b.p + a.p2

2 2

1

i i

p p

ω ω

ξ +

+

⇔

TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG IV

• Hàm truyền đạt mạch tương tự-tuyến tính-bất biến nhân quảđược định nghĩa trực tiếp từ tỉ số đáp ứng tác động miền p Hàm truyền đạt hoàn toàn đặc trưng thay cho mạch điện mặt toán học toán phân tích tổng hợp mạch Nó cung cấp cách nhìn tồn diện mạch điện quan điểm lý thuyết hệ thống

• Đáp ứng tần số mạch định nghĩa trực tiếp từ tỉ số đáp ứng tác động miền tần số Đáp ứng tần số suy từ hàm truyền đạt cách thay p=jω Nó mơ tả đặc trưng mạch tần số thông qua đặc tuyến biên độ pha

• Phương pháp đồ thị Bode phương pháp vẽ gần đặc tuyến đáp ứng tần số mạch Mục tiêu đơn giản hóa cơng việc thực vẽđặc tuyến đáp ứng tần số phức tạp (bậc cao) sở phân tích hàm truyền đạt thành tích thành phần

bản tương ứng với điểm cực điểm không, đồng thời biến phép nhân đồ thị thành phép cộng đồ thị hệđơn vị logarit

• Đồ thị Bode cơng cụ hữu hiệu để phân tích mạch điện miền tần số CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG IV

4.1 Xét điểm cực hàm truyền đạt H(p) mạch Mạch điện thực sựổn định

khi:

a điểm cực nằm bên nửa trái mặt phẳng phức ( bao hàm trục ảo) b điểm cực nằm bên nửa trái mặt phẳng phức (không bao hàm trục ảo) c tồn điểm cực nằm bên nửa phải mặt phẳng phức

d điểm cực nghiệm đơn nằm bên nửa trái mặt phẳng phức

4.2 Xác định tính ổn định hệ thống đặc trưng hàm truyền đạt sau đây:

) 8900

)( 1120

( ) (

p p

p p

H

+ +

=

4.3 Xác định tính ổn định hệ thống đặc trưng hàm truyền đạt sau đây:

) 90 )( 11 ( ) (

p p

p p

H

− +

=

4.4 Xác định tính ổn định hệ thống đặc trưng hàm truyền đạt sau đây:

) 11 ( ) (

p p

k p

H

+ =

4.5 Xác định tính ổn định hệ thống đặc trưng hàm truyền đạt sau đây:

) 11 ( )

(

2 p

p k p

H

4.6Đối với mạch điện nhân ổn định, ta ln tính tốn trực tiếp đáp ứng tần số )

(jω

H từ hàm truyền đạt H(p) cách: a nhân p với jω

b nhân H(p) với jω c thay p = jω d thay p = -jω

4.7Đồ thị Bode điểm cực có dạng thừa số tương ứng với dạng thừa số điểm không thuộc nửa trái mặt phẳng phức suy từđồ thị điểm không theo nguyên tắc:

a Đồ thị Bode biên độ pha lấy đối xứng qua trục hoành b Đồ thị Bode biên độ pha giữ nguyên dạng

c Đồ thị Bode pha giữ nguyên dạng đồ thị biên độ phải lấy đối xứng qua trục hoành d Đồ thị Bode biên độ giữ nguyên dạng đồ thị pha phải lấy đối xứng qua trục hồnh

4.8 Trường hợp hình vẽ 4.32 tương ứng với đồ thị pha thành phần ứng với hệ số K<0 hàm truyền đạt?

[D] b(ω) rad

a) π/2

b(ω) rad

b) π

[D]

b(ω) rad

c)

-π [D]

Hình 4.32

4.9 Xác định hàm truyền đạt hệ thống đồ thị Bode có dạng hình vẽ 4.33 a(ω)[dB]

ν[D]

0

-20dB/D -20

b(ω)[rad]

ν[D]

0

-π/2

2 -π/4

Hình 4.33 a(ω)

ν[D]

0

-20dB/D -20

2

20 b(

ω)

ν[D]

0

-π/2

4.10 Xác định hàm truyền đạt hệ thống đồ thị Bode có dạng hình vẽ 4.34

4.11 Xác định hàm truyền đạt hệ thống đồ thị Bode có dạng hình vẽ 4.35 b,rad

ν[D] 4

π

-π/2 -π π/2 a,dB

-40

-40dB/D

ν[D] 4

Hình 4.35

5 3

3

R1

C R2 U2

U1

Hình 4.36 4.12 vẽđịnh tính trực tiếp (khơng dùng hệ

trục tọa độ logarit) đặc tuyến hàm truyền

đạt điện áp mạch điện hình 4.36:

L

U2

U1

Hình 4.37 R R

4.13 Vẽ đồ thi Bode hàm truyền đạt điện áp nhận xét tính chất mạch điện hình 4.37

4.14 Vẽ đồ thi Bode hàm truyền đạt điện áp nhận xét tính chất mạch điện hình 4.38

L R U2

U1

CHƯƠNG V

MẠNG BỐN CỰC VÀ ỨNG DỤNG GIỚI THIỆU

Mạng bốn cực, gọi mạng hai cửa hệ thống mạch có bốn đầu tương ứng với hai cửa ( thông thường phối ghép với nguồn tín hiệu tải ) diễn tả hình 5.1, đó:

U1, I1: điện áp dòng điện cửa U2, I2: điện áp dòng điện cửa

M4C

I1 I2

U1 U2

Hình 5.1: Mơ hình mạng bốn cực Trong tài liệu này, ta quy ước mang tính thống

nhất sau: chiều dương điện áp từ xuống, chiều dương dòng điện vào M4C Với mục tiêu trang bị khả nghiên cứu mạch điện góc độ hệ thống mạng bốn cực, nội dung đề cập chương bao gồm:

• Thảo luận tham số bốn cực tuyến tính, bất biến, không chứa nguồn độc lập, tương hỗ không tương hỗ

• Sự phối ghép khối chức hệ thống mạng bốn cực

• Nghiên cứu tính chất tính tốn thơng số số mạng bốn cực thường gặp 5.1 MẠNG BỐN CỰC TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN, TƯƠNG HỖ

5.1.1 Các hệ phương trình đặc tính thơng số tương ứng cuả bốn cực: Dạng tổng quát phương trình đặc tính:

a11U1 + a12U2 + b11I1 + b12I2 = a21U1 + a22U2 + b21I1 + b22I2 =

Từ đại lượng: U1 U2 I1 I2 ta rút hai thơng số theo hai thơng số cịn lại Như có tất hệ phương trình đặc tính mơ tả mối quan hệ dòng áp cửa M4C

bảng 5.1 Tuỳ theo dạng bốn cực mà ta sử dụng hệ phương trình đặc tính phù hợp để

phân tích Mỗi hệ phương trình đặc tính tương ứng với loại thơng số phù hợp

Hệ phương trình đặc tính Thông số tương ứng U z I z I

U z I z I 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

Trở kháng hở mạch zij

U a U a I I a U a I

1 11 12

1 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

U h I h U I h I h U

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

2

2

Hỗn hợp hij

I y U y U

I y U y U

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

2

2

Dẫn nạp ngắn mạch yij

I g U g I

U g U g I

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

Hỗn hợp ngược gij

U b U b I

I b U b I 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

1

1

Truyền đạt ngược bij

Bảng 5.1: Các hệ phương trình đặc trưng mạng bốn cực Sau ta xét số hệ phương trình đặc tính cụ thể:

- Hệ phương trình đặc tính trở kháng

Dưới dạng ma trận:

U

U Z

I I

2

1

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

(5-1)

trong Z z z

z z

=⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

11 12

21 22

(gọi ma trận trở kháng hở mạch)

Dưới dạng hệ phương trình:

U z I z I U z I z I

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

(5-2)

Các hệ số (thơng số trở kháng hở mạch) tính theo công thức:

z U

I I 11

1

1

=

=

(trở kháng vào hở mạch cửa 1) (5-3)

z U

I I 22

2

2

=

=

(trở kháng vào hở mạch cửa 2) (5-4)

z U

I I 12

1

2

=

=

(trở kháng truyền đạt hở mạch) (5-5)

z U

I I 21

2

1

=

=

(trở kháng truyền đạt hở mạch) (5-6)

Đối với trường hợp bốn cực tương hỗ ta có:

z12 = z21 (5-7)

Dưới dạng ma trận:

I

I Y

U U

2

1

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ (5-8) Y y y

y y

=⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

11 12

21 22

( ma trận dẫn nạp ngắn mạch)

Dưới dạng hệ phương trình:

I y U y U

I y U y U

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

2

2

(5-9)

Các hệ số (thông số dẫn nạp) tính theo cơng thức:

y I

U U 11

1 2 0

=

=

(dẫn nạp vào ngắn mạch cửa 1) (5-10)

y I

U U 22

2 1 0

=

=

(dẫn nạp vào ngắn mạch cửa 2) (5-11)

y I

U U 12

2 1 0

=

=

(dẫn nạp truyền đạt ngắn mạch) (5-12)

y I

U U 21

2

1

=

=

(dẫn nạp truyền đạt ngắn mạch) (5-13)

Đối với trường hợp bốn cực tương hỗ ta có:

y12 = y21 (5-14)

- Hệ phương trình đặc tính truyền đạt

Dưới dạng ma trận:

U

I A

U I

1

2

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ (5-15)

trong A a a

a a

=⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

11 12

21 22

( ma trận truyền đạt)

Dưới dạng hệ phương trình:

U a U a I I a U a I

1 11 12

1 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

2

(5-16)

Các hệ số (thơng số truyền đạt) tính theo công thức:

a U

U I 11

1

2

=

=

a I I U 22

1

2

=

=

a U I U 12

1

2

=

=

a I U I 21

1

2

=

=

Đối với trường hợp bốn cực tương hỗ ta có:

Δa= -1 (5-18)

- Hệ phương trình đặc tính truyền đạt ngược

Dưới dạng ma trận:

U

I B

U I

2

1

1

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ (5-19)

trong B b b

b b

=⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

11 12

21 22

( ma trận truyền đạt ngược)

Dưới dạng hệ phương trình:

U b U b I

I b U b I 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

1

1

(5-20)

Các hệ số (thơng số truyền đạt ngược) tính theo công thức:

b U

U I 11

1

=

=

b I I U 22

1

=

=

b U I U 12

1

=

=

b I U I 21

1

=

=

(5-21)

Đối với trường hợp bốn cực tương hỗ ta có:

Δb= -1 (5-22)

- Hệ phương trình đặc tính hỗn hợp

Dưới dạng ma trận:

U

I H

I U

2

1

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ (5-23) H h h

h h

=⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

11 12

21 22

( ma trận hỗn hợp)

Dưới dạng hệ phương trình:

U h I h U

I h I h U 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

2

2

(5-24)

Các hệ số (thơng số hỗn hợp) tính theo công thức:

h U

I U 11

1 2 0

=

=

h I U I 22

2 1 0

=

=

h U U I 12

2 1 0

=

=

h I I U 21

1 2 0

=

=

(5-25)

Đối với trường hợp bốn cực tương hỗ ta có:

h12 = - h21 (5-26)

- Hệ phương trình đặc tính hỗn hợp ngược

I

U G

U I

2

1

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ (5-27) G g g

g g

=⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

11 12

21 22

( ma trận hỗn hợp ngược)

Dưới dạng hệ phương trình:

I g U g I

U g U g I

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

(5-28)

Các hệ số (thơng số hỗn hợp ngược) tính theo cơng thức:

g I

U I 11

1 2 0

=

=

g U I U 22

2 1 0

=

=

g I I U 12

2 1 0

=

=

g U U I 21

1 2 0

=

=

(5-29)

Đối với trường hợp bốn cực tương hỗ ta có:

g12 = - g21 (5-30)

- Quan hệ giữa thông số cuả mạng bốn cực

Trở kháng hở mạch

U z I z I U z I z I

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

1 z11 z12 z21 z22 Δz

Hỗn hợp ngược

I g U g I

U g U g I

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

g11 -g12 g21 Δg g22

Truyền đạt ngược

U b U b I

I b U b I 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

1 b21 -b22 Δb b11 -b12 Truyền đạt U a U a I

I a U a I 11 12

1 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

2 a21 a11 -Δa -a22 -a12 Hỗn hợp U h I h U

I h I h U 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

2

2

h22 Δh h12 -h21 h11

Dẫn nạp ngắn mạch

I y U y U

I y U y U

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

Δy y22 -y12 -y21 y11

Bảng 5.2: Bảng quan hệ thông số cuả mạng bốn cực

+ Các hàng tỉ lệ với theo hệ số định Hệ số tỉ lệ thơng số hàng biết nằm cột với chữ số hàng thông số chưa biết Chẳng hạn, cho biết zij, để tìm hij ta làm sau:

Lấy chữ số hàng hijđược hỏi, chiếu lên hàng zij cho ta tìm z22 hệ số tỉ lệ Dóng theo cột ta có giá trị thơng số tương ứng, kết là:

h z

z 11

22

= Δ ; h z

z 12 12

22

= ; h z

z 21 21

22

= − ; h

z 22

22

= ; Δh z

z

= 11 22

+ Sự tỉ lệ theo quy tắc với cột Như tìm thơng số cột dựa theo cột khác biết (như quy tắc nêu hàng)

5.1.2 Điều kiện tương hỗ cuả bốn cực

Bốn cực tương hỗ xây dựng từ phần tử tương hỗ ( tức phần tử có tính chất dẫn

điện hai chiều (như RLC)) Ta tóm tắt điều kiện bốn cực tương hỗ sau:

z z g y

a h

12 21 12 21

21

= = − =

= − = −

g y h b = -1

21 12

12

Δ Δ (5-31)

(trong ký hiệu Δa, Δb định thức ma trận thông số aij, bij)

Như vậy, để xác định bốn cực tổng quát, ta cần phải biết bốn thơng số (tương ứng với hệ

phương trình đặc tính) Với bốn cực tương hỗ, ta cần xác định ba thông số

5.1.3 Sơđồ tương đương bốn cực tuyến tính, thụđộng, tương hỗ

Như phần ta biết biết bốn cực tuyến tính, tương hỗ hồn tồn xác định ba thơng số Quan hệ dòng điện điện áp hai cửa bốn cực tương đương với quan hệ ba thông số mạng bốn cực có ba trở kháng chọn cách thích hợp Các sơđồ tương

đương đơn giản chứa ba trở kháng thường

gặp bốn cực hình T hình π I Z2

1 Z1 I2

U2

U1 Z3

Hình 5.2

- Sơđồ chuẩn hình T:

Kí hiệu trở kháng bốn cực hình T Z1, Z2, Z3 (hình 5.2):

Bây ta tính thơng số zij bốn cực tương hỗ theo trở kháng Theo định nghĩa ta có:

z U

I I Z Z

11 1 0

1

= = +

=

3 (5-32)

z U

I I Z Z

22 2 0

2

= = +

=

(5-33)

z U

I I Z

12 0

3

= =

=

z U

I I z Z

21 0

12

= = =

=

(5-35)

Và ta suy ngược lại, xác định trở kháng sơđồ tương đương hình T theo thơng số zij bốn cực:

Z1=z11-z12 Z2=z22-z12 Z3=z12=z21 (5-36)

Đây thông số sơđồ tương đương chuẩn hình T bốn cực tương hỗ, tương đương thể hình 5.3

- Sơđồ chuẩn hình π:

Kí hiệu dẫn nạp bốn cực hình π Y1, Y2, Y3 (hình 5.4) Bây ta tính thơng số yij bốn cực tương hỗ theo dẫn nạp Theo định nghĩa ta có:

Mạng bốn cực tương hỗ đặc trưng

các zij

I1 I2

U1 U2

Z1 =Z11-Z12 Z2=Z22-Z12

I1 I2

U2

U1 Z3 = Z12 =Z21

Hình 5.3: Sơđồ tương đương chuẩn hình T bốn cực tương hỗ

Y2

I1 I2

Y1 U2

U1

Y3

Hình 5.4

y I

U U Y Y

11 1 0

1

= =

=

+ (5-37)

y I

U U Y Y

22 2 0

2

= =

=

+ (5-38)

y I

U U Y

12 0

3

= =

=

− (5-39)

y I

U U y

21 0

12

= = =

=

Y

− (5-40)

Và ta suy ngược lại, xác định dẫn nạp sơđồ tương đương hình π theo thông số

yij bốn cực:

Đây thông số sơđồ tương đương chuẩn hình π bốn cực tương hỗ, tương đương thể hình 5.5

5.1.4 Các phương pháp ghép nối bốn cực

Bốn cực phức tạp coi ghép nối từ bốn cực đơn giản theo cách khác Với hình thức ghép nối có hệ phương trình hệ thơng số thích hợp Có năm cách ghép nối bốn cực, bao gồm:

Ghép nối tiếp - nối tiếp (N-N)

Các bốn cực gọi mắc nối tiếp-nối tiếp với cửa có dịng

điện chung, điện áp tổng điện áp thành phần (hình 5.6) Hệ phương trình thích hợp đặc trưng cho đặc điểm cách nối hệ phương trình trở kháng Với cách kí hiệu thơng số hình vẽ, ta có:

Đối với bốn cực I: U

U Z

I I

2

1

2 '

' '

'

'

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Đối với bốn cực II: U

U Z

I I

2

1

2 ''

'' ''

''

''

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

Cộng hai phương trình ma trận theo vế nhóm thừa số chung, ta có: U

U Z Z

I I

2

1

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = + ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

[ ' '']

Vậy ta rút ra: Z Z= ' +Z''

Một cách tổng quát ta viết cho n bốn cực mắc N-N với nhau:

Z Zk k

n

=

= ∑

1

(5-42) Mạng bốn cực

tương hỗ đặc trưng

các yij

I1 I2

U1 U2

Hình 5.5: Sơđồ tương đương chuẩn hình π bốn cực tương hỗ

y22+y12 =Y2

I1 I2

Y1=y11+y12

U2

U1

Y3=-y12=-y21

I2 I1

I

I2’ I1

’

U2’ U1’

II

I2’’ I1’’

U1’’ U2’’

U2 U1

Ghép song song - song song (S-S)

Các bốn cực gọi mắc theo kiểu S-S với cửa có điện áp chung, dòng điện tổng dòng điện thành phần (hình 5.7) Hệ phương trình thích hợp đặc trưng cho đặc điểm cách nối hệ phương trình dẫn nạp Với cách kí hiệu thơng số

trên hình vẽ, ta có:

Đối với bốn cực I: I

I Y U U 2 ' ' ' ' ' ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

Đối với bốn cực II: I

I Y U U 2 '' '' '' '' '' ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

Cộng hai phương trình ma trận theo vế nhóm thừa số chung, ta có: I

I Y Y

U U 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ [ ' '']

Vậy ta rút ra: Y Y= ' +Y''

Một cách tổng quát ta viết cho n bốn cực mắc S-S với nhau:

Y Yk k n = = ∑ (5-43) I

I2’

I1’

U2’ U1’

II

I2’’

I1’’

U1’’ U2’’

I2 U2

Hình 5.7: Ghép S-S I1

U1

I1

U1

I

I2’

I1’

U2’

U1’

II

I2’’

I1’’

U1’’ U2 ’’

I2

U2

Hình 5.8: Ghép N-S

Ghép nối tiếp - song song (N-S)

Các bốn cực gọi mắc theo kiểu N-S với cửa có dịng

điện chung, cịn điện áp tổng

điện áp thành phần Còn cửa có điện áp chung, cịn dịng điện tổng dịng điện thành phần (hình 5.8) Hệ

phương trình thích hợp đặc trưng cho đặc điểm cách nối hệ

phương trình hỗn hợp Với cách kí hiệu thơng số hình vẽ, ta có:

Đối với bốn cực I: U

I H I U 2 ' ' ' ' ' ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

Đối với bốn cực II: U

Cộng hai phương trình ma trận theo vế nhóm thừa số chung, ta có: U

I H H

I U

2

1

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = + ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

[ ' '']

Vậy ta rút ra: H H= ' +H''

Một cách tổng quát ta viết cho n bốn cực mắc N-S với nhau:

H Hk

k n

=

= ∑

1

(5-44)

Ghép nối song song - nối tiếp (S-N)

I

I2’

I1’

U2’

U1’

II

I2’’

I1’’

U1’’ U 2’’

I1 U1

I2

U2

Hình 5.9: Ghép S-N Các bốn cực gọi mắc theo kiểu

S-N với cửa có điện áp chung, cịn dịng điện tổng dòng điện thành phần Còn cửa có dịng điện chung, cịn điện áp tổng điện áp thành phần (hình 5.9) Hệ phương trình thích hợp đặc trưng cho đặc điểm cách nối hệ phương trình hỗn hợp ngược

Với cách kí hiệu thơng số hình vẽ, ta có:

Đối với bốn cực I: I

U G

U I

2

1

2 '

'

' ' '

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

Đối với bốn cực II: I

U G

U I

2

1

2 ''

''

'' '' ''

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

Cộng hai phương trình ma trận theo vế nhóm thừa số chung, ta có: I

U G G

U I

2

1

2

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = + ⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

[ ' '']

Vậy ta rút ra: G G= ' +G''

Một cách tổng quát ta viết cho n bốn cực mắc S-N với nhau:

G Gk k

n

=

= ∑

1

(5-45)

Ghép nối theo kiểu dây chuyền

Các bốn cực gọi mắc theo kiểu dây chuyền với cửa bốn cực nối với cửa vào bốn cực theo thứ tự liên tiếp (hình 5.10)

U2 I2

I

I2’ I1’

U2’

U1’ II

I2’’ I1

’’

U1’’ U2’’

Hệ phương trình thích hợp đặc trưng cho đặc điểm cách nối ghép hệ phương trình truyền đạt

Với cách kí hiệu thơng số hình vẽ, ta có:

Đối với bốn cực I: U

I A U I 1 2 ' ' ' ' ' ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦

⎥ (1)

Đối với bốn cực II: U

I A U I 1 2 '' '' '' '' '' ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦

⎥ (2)

Bây ta đổi dấu cột hai ma trận A' ta sẽđược A*', (1) viết lại: U I A U I 1 2 ' ' *' ' ' ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡− ⎣ ⎢ ⎤ ⎦

⎥ (3) Phương trình (3) lại viết thành:

U I A U I 1 1 ' ' *' '' '' ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦

⎥ (4)

Thay (2) vào (4) ta có: U

I A A

U I 1 2 ' ' *' '' '' '' [ ] ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦

⎥ (5)

Phương trình (5) viết lại thành: U

I A A

U I 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ [ *' '']

Vậy ta rút ra: A A A= *'. ''

Một cách tổng quát ta viết cho n bốn cực mắc dây chuyền với nhau:

A A Ak k n n = = − ∏ *. 1 (5-46)

Thí dụ 5.1: Hãy nêu phương pháp xác định thơng số yij zij M4C hình 5.11:

Z1

I1 I2

Z4

Z2

U2

U1 Z3

Giải: Có thể có vài phương pháp để xác định thơng số yij, zij Thí dụ như:

-Cách 1: Tách mạng điện thành hai bốn cực thành phần mắc song song-song song với hình 5.12 Xác định thông số yij bốn cực thành phần, sau tổng hợp lại thành thơng số yij bốn cực theo công thức:

∑ =

=

1 k

k

Y Y

-Cách 2: Tách mạch điện thành hai bốn cực thành phần mắc nối tiếp-nối tiếp với Xác

định thông số zij bốn cực thành phần, sau tổng hợp lại thành thơng số zij bốn cực theo công thức:

∑ =

=

1 k

k

Z Z

Khi biết zij ta tính yij (hoặc ngược lại) theo bảng quan hệ thông số

-Cách 3: Xác định yij trực định nghĩa hệ phương trình trở kháng dẫn nạp

đặc tính bốn cực

z U

I

Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z

I 11

1 0

2 4

1

2

= = + + + +

+ +

=

( ) ( )

z U

I Z

Z Z Z

Z Z Z

I 22

2 0

3

1

= = + +

+ +

=

( )

4

z U

I z

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z

I 12

1

2 21

2

1

1

= = = + + +

+ +

=

( )

Thí dụ 5.2: Cho mạng bốn cực hình 5.13, xác định thơng số dẫn nạp ngắn mạch yij thông số truyền đạt aij mạng Cho biết R1 = 10Ω,

R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 5Ω, R5 = 5Ω, R6 = 10Ω

R3

I1 I2

R1

R2

U2

U1 R5

Hình 5.13

R4 R6

Giải:

Nhìn vào sơ đồ ta nhận thấy mạch điện phân tích thành hai mạng bốn cực thành phần hình T π

mắc song song-song song hình 5.14 Ta có: Y = YT + Yπ

Như ta phải tính thơng số yij bốn cực thành phần

IB

2B

121

IB

1B

R3 R2

-Xét mạch hình T: sơ đồ chuẩn bốn cực (hình 5-15) với các thơng số zijđược tính theo phần tử mạch:

Z11-Z12 Z22-Z12

I1 I2

U2

U1 Z12 =Z21

Hình 5-15 z11 = R2 + R5

z12 =R5 z22 = R3 + R5

ΔZ R R= 2 3 +R R2 5 +R R3 5

Theo bảng quan hệ thơng số ta có thơng số

yij mạch hình T:

y z

Z

R R

R R R R R R

11 22

2 5

8

6 10 15 258

= = +

+ + = + + =

Δ ,

y z

Z

R

R R R R R R

12 12

2 5

5

6 10 15 1615

= − = −

+ + = − + + = −

Δ ,

y z

Z

R R

R R R R R R

22 11

2 5

7

6 10 15 226

= = +

+ + = + + =

Δ ,

-Xét mạch hình π: sơ đồ chuẩn bốn cực (hình 5-16) với các thơng số yijđược tính theo phần tử mạch:

y22+y12

I1 I2

y11+y12

U2

U1

-y12

Hình 5-16 y

R R

R R

R R S

11

4

1

1

1 15

50

= + = + = = ,

y

R S

12

1

1

10

= − = − = − ,

y

R R

R R

R R S

11

4

1

1

1 15

50

= + = + = = ,

y

R R

R R

R R S

22

6

1

1

1 20

100

= + = + = = ,

-Như ta có thơng số yij mạng dựa vào bốn cực thành phần là:

Y = YT + Yπ =

0 258 161 161 226

0 1

0 558 261 261 426

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

− −

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ +⎡− −

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ =⎡− −

⎣

⎢ ⎤

-Theo bảng quan hệ thơng số ta tính thơng số aij:

a y

y 11 22

21

0 426

0 261 635

= − = , =

, ,

a y 12

21

1

0 261 84

= = − = −

, ,

a Y

y S

21

21

0 17

0 261 653

= −Δ = , =

, ,

a y

y 22 11

21

0 558

0 261 14

= = − , = −

, ,

Δa a a= 11 22 −a a12 21= −1 635 14 84 653, , + , , = −1 (phù hợp với điều kiện tương hỗ)

5.1.5 Mạng bốn cực đối xứng

- Khái niệm bốn cực đối xứng

Một bốn cực gọi đối xứng mặt điện cửa có thểđổi chỗ cho mà thông số bốn cực hồn tồn khơng thay đổi

Cụ thể ta xét hệ phương trình trở kháng hở mạch:

(1) U z I z I

U z I z I 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

1

1

⎩

Nếu bốn cực đối xứng, ta có thểđổi cửa thành cửa 2, nghĩa hệ phương trình

số đại lượng điện áp dịng điện có thểđổi lẫn mà thông số zij giữ nguyên:

⎨U z I z I (2) U z I z I

2 11 12

1 21 22

= +

= +

⎧

Từ (1) (2) ta rút điều kiện đối xứng mặt điện bốn cực:

z12 = z21 z11 = z22 (5-47) Như bốn cực đối xứng ta cần xác định hai số bốn thông số

Bốn cực gọi đối xứng mặt hình học tồn trục đối xứng qua trục đứng chia bốn cực thành hai nửa giống (hình 5-17a)

I1 I2

U1 U2

1/2 BCĐX

1/2 BCĐX

Hình 5-17a

Z1

Z1

Z2

Hình 5-17b

Z1

Z1

2Z2 2Z2

Chú ý bốn cực đối xứng mặt hình học đương nhiên đối xứng mặt điện,

điều ngược lại khơng

Thí dụ 5-3:

Hãy xác định điều kiện để mạng bốn cực (M4C) hình 5-18 thoả mãn điều kiện đối xứng mặt

điện

Ra Rc

Rb Rd

Hình 5-18

Giải: Ta có:

z R R R R

R R R

a b c d

b c

11 = +

d

+

+ +

( )

z R R R

R R R

d b c

b c

22 =

+

+ +

( )

d

Điều kiện mạch điện thoả mãn điều kiện đối xứng mặt điện z11 = z22, tức là:

R R R R

R R R

a b c d

b c d

+ +

+ +

( )

= R R R

R R R

d b c

b c

( )

d

+

+ +

Từđó ta rút mối quan hệ điện trởđể mạch điện đối xứng điện là:

R R R R R R R

R R

d a b a c b c

c a

= + +

−

Ta thấy: Nếu Ra > Rc mạch điện khơng thểđối xứng Nếu Ra = điều kiện Rb = Rd mạch trở thành đối xứng mặt hình học Cịn Rc = Ra Rd = ∞ mạch trở thành đối xứng mặt hình học

- Định lý Bartlett - Brune

Nội dung: Bốn cực đối xứng mặt hình học thay sơđồ cầu tương

đương ( cịn gọi hình X, hình 5-19) Trở kháng ZI trở kháng vào nửa bốn cực đối xứng ngắn mạch dây dẫn nối hai nửa bốn cực cuộn dây thứ cấp biến áp 1:1, dây dẫn chéo biến áp 1: -1 phải hở mạch Trở kháng ZII trở kháng vào nửa bốn cực đối xứng hở mạch dây dẫn nối hai nửa bốn cực cuộn dây thứ cấp biến áp 1:1, dây dẫn chéo biến áp 1: -1 phải ngắn mạch

U2

U

ZI

ZII

ZII Mạng bốn

cực đối xứng

I1 I2

1

124

Nội dung định lý Bartlett-Brune minh hoạ hình 5-20:

1/2 bốn cực đối

xứng

ZI

1/2 bốn cực đối

xứng

ZII

Hình 5-20: Minh họa cách tính trở kháng sơđồ cầu

Trong định lý thấy có mặt biến áp, số phần tử bốn cực mạch điện Biến áp lý tưởng theo định nghĩa bốn cực cách điện chiều cửa vào cửa có hệ phương trình đặc trưng:

U n U I

nI

2

2

1

= = − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

(5-48)

Mơ hình biến áp lý tưởng minh hoạ hình 5-21a Bộ phận chủ yếu biến áp thực gồm hai cuộn dây ghép hỗ cảm với nhau, bỏ qua điện trở cuộn dây biến áp vẽ

hình 5-21b (n tỉ số vịng dây cuộn thứ cấp sơ cấp)

1:n U2

I2

I1

U1

1:n

U2

I1

I1

U1

Hình 5-21b Hình 5-21a

Đối với biến áp lý tưởng ta có:

Nếu n=1 : U U (5-49)

I I

2

2

= = − ⎧ ⎨ ⎩

Nếu n=-1 thì: U U (5-50) I I

2

2

= − = ⎧ ⎨ ⎩

1

Vậy biến áp 1:1 tương đương với bốn cực có hai dây dẫn song song hình 5-22a, cịn biến áp 1:-1 tương đương với bốn cực có hai dây dẫn chéo hình 5-22b

U2

I1 I2

I2

I1

U1

U2

U1

Hình 5-22b Hình 5-22a

U2

I2

I1

U1

ZI

ZII

ZII

ZI Hình 5-23 Bây ta xét tới quan hệ thông số

trong sơđồ cầu bốn cực đối xứng Như ta biết, bốn cực đối xứng cần xác định hai thông số, chẳng hạn hai thông sốđó z11 z12 Trong sơ đồ tương đương cầu bốn cực

đối xứng (hình 5-23) ta có:

z U

I I ZI ZII 11

1 2

= = +

=

( ) (5-51)

z U

I I ZII ZI 12

2 1

= = −

=

( ) (5-52) Như suy mối quan hệ ngược lại:

ZI = z11 - z12 (5-53) ZII = z11 + z12 (5-54) Sau ta xét thí dụ vềứng dụng định lý Bartlett-Brune

Thí dụ 5-4: Hãy xác định thơng số zij mạch điện hình 5-24a

Giải: Theo kết tính từ thí dụ trước, ta biết số cách để giải:

-Cách 1: Tách mạch điện thành hai mạng bốn cực thành phần mắc nối tiếp-nối tiếp với Xác định thông số zij bốn cực thành phần, sau tổng hợp lại thành thơng số zij bốn cực

-Cách 2: Xác định zij trực định nghĩa hệ phương trình trở kháng đặc tính bốn cực

z R R R R R R

R R 11

1

1 2

= + + +

+

( ) ( )

z R R R R

R R 12

2

2

1 2

= + +

+

-Bây ta sử dụng cách dùng định lí Bartlett-Brune để giải tập Trước hết ta bổđôi để

lấy nửa bốn cực (hình 5-24b), sau tính ZI ZII:

Z Z

RR

R R

R.R R R I = Vngm =

+ = + 1 1 2 R

I1 I2

R1

R

U2

U1 R2

Hình 5-24a

R R1/2

R1/2

R

ZV 2R2 2R2

Hình 5-24b

ZII =ZVhm = +R 2R2

z Z Z R.R

R R R R

R R R R R R

R R I II

11

1

2

1

2

1

2 2

2 = + = + + + = + + + + ( ) [ ] ( ) ( )

z Z Z R R R R

R R II I

12

1

2

1

2 2

= − = + −

+ =

( ) [ ] R R R R

R R 2 1 2 + + + ( )

Vậy kết hoàn toàn trùng với kết quảở cách

5.1.6 Bốn cực có tải

Trong mục ta sẽđề cập tới thông số bốn cực nối bốn cực vào nguồn tải (hình 5-25) Giả sử Z1 trở kháng nguồn tín hiệu cửa 1, Z2 trở kháng tải cửa M4C, đó:

Z2 Z1

E U2

Mạng bốn cực có tải

Hình 5.25

U1

I1 I2

Z1 =R1+jX1 Z2 =R2+jX2

a Trở kháng vào M4C:

Trở kháng vào cửa 1:

22 21 12 11 22 11 1 a Z a a Z a Z z z Z z I U ZV + − + − = + Δ + =

= (5-55) Trở kháng vào cửa 2:

11 21 12 22 11 22 2 a Z a a Z a Z z z Z z I U ZV − − + = + Δ + =

22 12

a a

ZV nm =

21 11

a a

ZV hm = (5-57) Tương tự vậy, cửa bị ngắn mạch hở mạch trở kháng vào cửa 2:

11 12

a a ZV nm =−

21 22

a a

ZV hm =− (5-58)

b Hàm truyền đạt điện áp của M4C:

21 12 22 11 21 2 ) )( ( ) ( z z Z z Z z z Z E U p K − + + =

= (5-59) Trường hợp riêng: Z1=0, ta có:

2 22 21 12 11 21 12 22 11 21 2 / ) ( ) ( Z y y a Z a Z z z Z z z z Z U U p Ku + − = − = − + =

= (5-60)

Thí dụ 5-5: Cho M4C hình vẽ 5.26a

R1

C U2

U1

Hình 5.26a

R2 + Xác định thông số aij M4C

+ Vẽ định tính đặc tuyến biên độ hàm truyền đạt

điện áp

) ( ) ( ) ( ω ω ω j U j U j

T = đầu M4C có Zt=R2 + Nhận xét tính chất mạch (đối với tần số)

Giải:

Theo định nghĩa, dễ dàng tính ma trận thơng số truyền đạt:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + + = 1 ] [ 2 2 R pC R R Cp R R R R A

/T(jω)/

R2/(2R1+R2)

ω

Hình 5.26b Hàm truyền đạt điện áp tính theo biểu thức:

ω ω C R jR R R R a Z a Z j T t t 2 12 11 ) ( + + = − =

Đặc tuyến biên độ định tính hình vẽ 5.26b Nhận xét: mạch lọc thông thấp, vùng tần số thấp tín hiệu vào đồng pha, vùng tần số

cao tín hiệu chậm pha so với tín hiệu vào góc π/2

c Hệ số truyền đạt, lượng truyền đạt của bốn cực

P E R

2

1

=

(5-61) Công suất tiêu thụ tải ởđầu M4C tính theo công thức:

2 2

R U

P = (5-62) - Hệ số truyền đạt bốn cực theo định nghĩa mạch thụđộng:

Γ 0

2

= P

P >1 (5-63)

Từđó rút ra: Γ = P =

P

E U

R R

2

2

1

Có thể viết lại biểu thức theo hàm tần số phức p:

1

2 ) (

R R U

E

p =

Γ (5-64) Hệ số truyền đạt tính theo cơng thức dùng cho mạch thụđộng, đểđặc trưng cho mạch

điện tổng quát người ta phải sử dụng thêm biểu thức hàm truyền đạt điện áp nêu mục trước

Ta viết lại hệ số truyền đạt cho mạch điện tổng quát:

Γ( ) ( ).( )

p z R z R z z

z R R

= 11 + 22 + − 12 21

21

2 (5-65) Như hệ số truyền đạt hàm truyền đạt điện áp tỉ lệ nghịch với Trong mạch khuyếch đại tích cực K(jω) lớn 1, cịn mạch thụđộng Γ(jω) lớn Hệ

số truyền đạt hàm phức biểu diễn theo loại thông số bốn cực dựa theo bảng quan hệ thông số

Xét riêng trường hợp bốn cực đối xứng, trường hợp R1 = R2:

Γ( ) ( ).(

( )

p Z R Z R

Z Z R

I II

II I

= + + )

− (5-66)

- Lượng truyền đạtđược viết dạng lôgarit tự nhiên hệ số truyền đạt:

g( ) lnω = Γ=lnΓ + j.arg( )Γ =a( )ω + jb( )ω (5-67) a( ) lnω = Γ gọi suy giảm, đo Nêpe (Nếu tính theo Đêxiben

a( )ω = 20.log ,Γ dB); cịn b(ω) = arg(Γ) gọi dịch pha, đo rad

d Các thơng số sóng (các thơng sốđặc tính) của M4C

Trước hết ta xét tới khái niệm phối hợp trở kháng lý thuyết đường dây, có nguồn tác

phối hợp trở kháng đảm bảo khơng có phản xạ tín hiệu phải thoả mãn điều kiện: Zt =Zi,

đó cơng suất tải là:

P E R

R X

i

i i

2

2

4

=

+

( ) Zi

Zt

E

Hình 5-27a (với Zi =Ri + jXi )

và hệ số phản xạ PHTK là:

r Z Z

Z Z

t i

t i

= −

+ =0

Z20

Z10

Zv2=Z20 Zv1=Z10

E

Hình 5-27b

M4C

Bây ta xét mạng hai cửa hình 5-27b

Để có phối hợp hai cửa (tức khơng có phản xạ) cần phải có hai điều kiện: -Với tải cửa Z20 trở kháng vào cửa phải Z10,

-Với tải cửa Z10 trở kháng vào cửa phải Z20

Nói cách khác, điều kiện để có phối hợp trở kháng hai cửa là:

(5-68)

⎩ ⎨ ⎧

= =

20

10

Z Z

Z Zi

trong Z10 gọi là trở kháng sóng cửa 1 tính theo công thức:

Z a a

a a 10

11 12

21 22

=

(5-69) Z20 gọi trở kháng sóng cửa 2 tính theo cơng thức:

Z a a

a a 20

22 12

21 11

=

(5-70) Khi Bốn cực phối hợp trở kháng hai cửa hệ số truyền đạt gọi hệ số truyền đạt sóng và ký hiệu Γ0:

Γ0 11 10 22 20 12 21

21 10 20

=( + ).( + )−

z Z z Z z z

z Z Z (5-71)

hay Γ0 12 10 22 20 11 21 10 20 10 20

12 21 11 22

= a +Z a +Z a +a Z Z = +

Z Z a a a a

(5-72) Lượng truyền đạt lúc lượng truyền đạt sóng:

( )

trong đó: a0 =lnΓ0 gọi suy giảm sóng, đo Nêpe b0 = arg(Γ0) gọi dịch pha sóng, đo rad

e Mối quan hệ giữa loại thông số của bốn cực:

Z10 = ZV ngm1 ZV hm1 ; Z20 = ZV ngm2 ZV hm2 (5-74)

thg Z

Z

Z Z V ngm

V hm

V ngm

V hm

1

1

2

2

= = (5-75) Trong ZV1ngm: trở kháng vào cửa ngắn mạch cửa

ZV1hm: trở kháng vào cửa hở mạch cửa ZV2ngm: trở kháng vào cửa ngắn mạch cửa ZV2hm: trở kháng vào cửa hở mạch cửa

Các thông số sóng Z10, Z20, g0 hồn tồn xác định bốn cực tuyến tính có thơng số tập trung, thụ

động tương hỗ Từ thơng số sóng ta có:

z Z thg 11 10

= y

Z thg 11

10

= 0

20 10 11 chg

Z Z

a =

0 20 10 12

shg Z Z

z =

0 20 10 12

1

shg Z Z

y =− a12 = Z10.Z20.shg0 (5-76)

z Z thg 22 20

0

= y

Z thg 22

20

= 0

20 10

21

shg Z Z

a =

0 10 20 22 Z chg

Z

a =

f Các thơng số sóng của M4C đối xứng

Nếu bốn cực đối xứng với sơ đồ tương đương

mạch cầu (hình 5-28), đó: ZI

ZII

ZII

ZI Hình 5-28 ZV hm1 ZV hm2 ZI ZII

2

= = ( + )

Z Z Z Z

Z Z

V ngm V ngm I II I I = =2 +

I

Từđó suy trở kháng sóngđược tính:

21 12

20

10

a a Z

Z Z

Z

Z = = = I II = − (5-77) Nếu trở kháng mạch cầu phần tửđối ngẫu, nghĩa là:

khi Z0 = R0, trở kháng sóng mạch cầu trường hợp không phụ thuộc vào tần số

Hệ số truyền đạt sóng mạch cầu tính theo cơng thức:

Γ0DX I I II II I II

II I I II

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z

= + +

−

( ).(

( )

)

(5-78)

Đặt q Z Z I

II

= (5-79)

Khi đó: Γ0 1 DX

q q

= +

− (5-80)

Mặt khác, M4C đối xứng có phối hợp trở kháng, Z10 = ZV1, đó:

2

2 10

20

2

2

2 U

U U

E Z

Z U

E

DX = = =

Γ (5-81)

Đồng thời lượng truyền đạt sóng xác định theo biểu thức:

DX DX

DX

DX a jb

U U j U U U

U

g 0 0

2

2

2

0 =lnΓ =ln =ln + arg( )= + (5-82)

Thí dụ 5-6: Xác định thơng số sóng mạch điện hình 5-29

Giải: Ta xác định trở kháng vào cửa 1:

XL2=2Ω

XL1=1Ω

XC=3Ω

U2

U1

Hình 5-29 ZV1ngm=jXL1 nt [jXL2 // (-jXC)] = 7j

ZV1hm=jXL1 nt (-jXC) = -2j Vậy trở kháng sóng cửa là:

Z10 = ZV ngm1 ZV hm1 = 14 Tương tựđối với cửa 2:

ZV2ngm=jXL2 nt [jXL1 // (-jXC)] = j ZV2hm=jXL2 nt (-jXC) = -j

Vậy trở kháng sóng cửa là:

Z20 = ZV ngm2 ZV hm2 =

Lượng truyền đạt sóng mạch tính theo cơng thức:

thg Z

Z

Z Z V ngm

V hm

V ngm

V hm

1

1

2

2

= = = − =7

Thí dụ 5-7: Cho bốn cực đối xứng có trở kháng sóng Z0 = 1000Ω, lượng truyền đạt sóng g0

2

= + jπ, trở kháng tải Zt = 1000Ω Bốn cực mắc vào nguồn có Em =100V, điện trở nguồn 1000Ω Hãy tính điện áp dịng điện cửa

Giải: Theo đề bài, Zt = Zi= Z0 , bốn cực đối xứng phối hợp trở kháng hai cửa Theo lý thuyết phân tích ta có:

g U

U jb j

0

2

0

=ln + = + π

Vậy lnU ln U

E U

2 2

1

= = suy U E

e V

2

50

2 18

= = =

, ,

và b0 U1 U2

=ϕ −ϕ = π suy ϕU2 ϕE π

= −

Vậy ta có U2 =18 5, e−j2 )

π

(V

Thí dụ 5-8: Cho M4C hình 5-30, cho biết R = 1đơn vị chuẩn, C = đơn vị chuẩn a Xác định thơng số sóng M4C

b Tính hệ số truyền đạt Γ(p) mắc M4C vào nguồn tải với giá trị Ri = Rt = R0 =

đơn vị chuẩn

Giải:

a Đây bốn cực đối xứng, nên áp dụng định lý Bartlett-Brune đểđưa bốn cực hình X với thơng số:

C C

R R

R/2

2C U2

U1

Hình 5-30 ZI =[ C // R ]=

1 p+

ZII =[(C nt R) // (C nt R)] = p p

+1 Vậy trở kháng sóng bốn cực là:

Z10 =Z20 =Z0 = Z ZI II = 2p Hệ số truyền đạt sóng tính theo cơng thức:

Γ0

1 DX

q q

= +

− =

p p

p p

+ + + −

1

1 (trong q Z Z I

II

= )

b Trong trường hợp khơng cịn phối hợp trở kháng nên hệ số truyền đạt mạch tính theo công thức:

Γ( ) ( ).( )

( )

( ).(

p Z R Z R

Z Z R

p p

p

I II

II I

= + + )

− =

+ +

+

0

0

Bây ta biến đổi Γ(p) dạng chứa thành phần chuẩn:

Γ( ) ( ).( )

( )(

/ )

p p p

p

p p

p

= + +

+ =

+ +

+

2

1

1

2 1

2

Đặc tuyến Γ(jω) trường hợp gồm có thành phần tương ứng với hệ số k, hai thành phần ứng với điểm không nằm trục -σ, thành phần tương ứng với điểm cực cặp nghiệm phức liên hợp nằm trục ảo

5.2 MẠNG BỐN CỰC TUYẾN TÍNH KHƠNG TƯƠNG HỖ

Trở lại hệ phương trình đặc trưng bốn cực tuyến tính, khơng chứa nguồn tác động độc lập gồm có hai phương trình tuyến tính, nhất:

a11U1 + a12U2 + b11I1 + b12I2 = a21U1 + a22U2 + b21I1 + b22I2 =

Từ hai phương trình ta lập nên hệ phương trình đặc tính Mỗi hệ phương trình

đặc tính bốn cực tương ứng với tập thơng sốđặc tính Trong phần trước ta nghiên cứu hệ phương trình đặc tính bốn cực với giả thiết tương hỗ mạch điện Bây ta xét góc độ tổng quát hơn, tức mạch tồn phần tử khơng tương hỗ Lúc điều kiện tương hỗ:

z z g y

a h

12 21 12 21

21

= = − =

= − = −

g y h b = -1

21 12

12

Δ Δ

sẽ không thoả mãn, mạch tương đương bốn cực không tương hỗ cần phải xác

định bốn phần tử (tương ứng với bốn thông số) Đa số mạch không tương hỗ tích cực, phần xét số phần tử tích cực

5.2.1 Các nguồn có điều khiển

Bốn cực khơng tương hỗ cần có bốn phần tửđể biểu diễn, có phần tử khơng tương hỗ Có loại phần tử khơng tương hỗ, tích cực nhắc tới chương I, nguồn điều khiển Đặc trưng nguồn điều khiển thơng số chịu sựđiều khiển mạch ngồi Và thân bốn cực khơng tương hỗ Cụ thể chia thành: -Nguồn áp điều khiển áp (A-A), hình 5-31a Sức điện động nguồn Eng liên hệ với

điện áp điều khiển U1 theo công thức:

Eng =kU1 (5-83) -Nguồn áp điều khiển dòng (A-D), hình 5-31b Trong sức điện động nguồn Eng liên hệ với dịng điện điều khiển I1 theo cơng thức:

Eng =rI1 (5-84) -Nguồn dòng điều khiển áp (D-A), hình 5-31c Trong dịng điện nguồn Ing liên hệ với điện áp điều khiển U1 theo cơng thức:

-Nguồn dịng điều khiển dịng (D-D), hình 5-31d Dịng điện nguồn Ing liên hệ với dịng điều khiển I1 theo cơng thức:

Ing =αI1 (5-86)

5.2.2 Các sơđồ tương đương mạng bốn cực khơng tương hỗ, tích cực

Tất loại M4C không tương hỗ, tích cực biểu diễn tương đương có chứa nguồn

điều khiển Ta biểu diễn sơđồ tương đương bốn cực với có mặt nguồn điều khiển

a Sơđồ tương đương gồm hai trở kháng hai nguồn điều khiển

I2

I1

U2

y11 y

22 I12U2 I21U1

U1

Hình 5-32b

I2

I1

U2 rI1

U1

A-D I2

I1

U2 kU1

U1

A-A

I2

I1

U2 gU1

U1

D-A

I2

I1

U2

αI1

U1

D-D

Hình 5-31 Mơ hình hóa nguồn có điều khiển

Nếu xuất phát từ hệ phương trình trở kháng:

I2

I1

U2

Z11 Z22

Z12I2 Z21I1

U1

Hình 5-32a U z I z I

U z I z I 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨

⎩

2

ta biểu diễn sơđồ tương đương bốn cực hình 5-32a

Nếu xuất phát từ hệ phương trình dẫn nạp: I y U y U

I y U y U

1 11 12

2 21 22

= +

= +

⎧ ⎨ ⎩

thì sơđồ tương đương bốn cực biểu diễn

được hình 5-32b

Tương tự biểu diễn mạng bốn cực không tương hỗ theo hệ

phương trình hỗn hợp H hình 5-32c

I2

I1

U2 h11

h22 h12U2

hB21BUB1B

U1

b Sơđồ tương đương gồm ba trở kháng một nguồn điều khiển

Các sơ đồ thành lập từ sơ đồ chuẩn hình T hình π cách gắn nối tiếp nguồn điện áp điều khiển vào ba nhánh sơđồ hình T, mắc song song nguồn dòng điều khiển vào ba nhánh sơđồ hình π Như có nhiều trường hợp có thể, thực tế thường gặp sơđồ hình 5-33, tương ứng với hệ phương trình trở kháng dẫn nạp:

U z I z I z I

U z I z I z I z I 11 12 12

2 21 22 12 12

= + ±

= + ± ±

⎧ ⎨

⎩ 2

2

I y U y U y U

I y U y U y U y U

1 11 12 12

2 21 22 12 12

= + ±

= + ± ±

⎧ ⎨ ⎩

Hình 5-33 Z11-Z12

I1 I2

U2

Theo sơđồ trên, z12 = z21 y12 = y21 sơđồ lại trở dạng bốn cực tương hỗ

đã biết Sau ta xét số phần tử phản tương hỗ, tích cực

5.2.3 Một số bốn cực khơng tương hỗ, tích cực thường gặp:

a Bộ biến đổi trở kháng âm (NIC)

Kí hiệu biến đổi trở kháng âm hình 5-34 Hệ phương trình đặc trưng NIC hệ

phương trình hỗn hợp:

(5-87) U kU

I kI

2

= = ⎧ ⎨ ⎩

-Nếu k = 1, ta có: U U I I

1

2

= = ⎧ ⎨ ⎩

U1 Z12

Z22-Z12

(Z21-Z12)I1 (y21-y12)U1 y22+y12

I1 I2

y11+y12

U2

U1

-y12

INIC k=1

I1 I2

U1 U2

Hình 5-34

UNIC k= -1

I1 I2

theo quy ước dấu bốn cực, điện áp hai cửa chiều dòng điện hai cửa

ngược chiều, phần tử NIC trường hợp ký hiệu INIC

-Nếu k = -1, ta có: U U

I I

1

2

= − = − ⎧ ⎨ ⎩

trường hợp điện áp hai cửa ngược chiều dòng điện hai cửa chiều, phần tử

NIC với k=-1 ký hiệu UNIC

Từđó ta rút ra: [ ]H k , k NIC =

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

0

0 [ ]

/ /

G k

k NIC =

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

0

1

Đối với NIC hệ phương trình trở kháng dẫn nạp khơng có ý nghĩa Trở kháng vào cửa mắc tải cửa 2:

Z U

I k

U

I k Z

V1 1

2

2

2

= = = − t (5-88) Như NIC đóng vai trị mạch biến đổi trở kháng âm Chẳng hạn tải dung kháng

đầu vào tương đương dung kháng âm

b Transistor IE -IC

B

C E

Hình 5-35 IB Transistor coi bốn cực tích cực Hình 5-35

ký hiệu chiều dòng điện transistor PNP Dòng Emitter phân phối Base Collector, thoả mãn hệ thức:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

> − = =

− =

÷ = =

1

) (

998 , 98 ,

α α β

α α

B C

E B

E C

I I

I I

I I

(5-89) Dòng Emitter chủ yếu xác định điện áp UBE , ngồi cịn phụ thuộc vào điện áp Collector, từđó dịng IC phụ thuộc vào điện áp UCE

-Từ tính chất đó, có nhiều cách biểu diễn sơđồ tương đương transistor, tùy thuộc vào điều kiện làm việc cụ thể (tuyến tính/ phi tuyến, tần số công tác, hay cách mắc mạch) yêu cầu tính tốn mà người ta sử dụng sơđồ tương đương thích hợp Ở miền tín hiệu nhỏ, tần số

thấp, người ta hay dùng sơđồ tương đương hỗn hợp H với hai nguồn điều khiển (đã nói trên), dùng sơđồ tương đương vật lý với nguồn điều khiển hình vẽ 5-36a

rE

C E

I1=IE I2=-IC

U2

U1 rB

B rC

αIE

rE

C E

I1=IE I2=-IC

U2

U1 rB

B rC

Trong sơđồ có nguồn dịng phụ thuộc αIE Các điện trở sơđồ điện trở vi phân thành phần dịng xoay chiều có biên độ nhỏđảm bảo đoạn làm việc tuyến tính xác

định hệ đặc tuyến transistor Điện trở rE có giá trị vài ơm đến vài chục ôm, rB khoảng vài trăm ôm, r

B

C có giá trị cao (từ hàng trăm kΩ đến vài MΩ) Nguồn dòng có thểđược thay nguồn áp hình 5-36b, với eng= rC.αIE = rm.IE, rm = α.rC

Tuỳ theo cách chọn đầu vào đầu ra, có ba loại mạch khuếch đại transistor: -Sơ đồ bazơ chung (hình 5-37a) Dưới

ma trận trở kháng transistor tương ứng với trường hợp này:

rE

C E

B

I1=IE I2=-IC

U2

U1 rB

rC

rmIE

Hình 5-37a

[Z] r r r

r r r r

BC

E B B

B M B C

= +

+ +

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

rB

C B

E

I1 I2

U2

U1 rE

rC

rmIE

Hình 5-37b -Sơ đồ Emitter chung (hình 5-37b) Dưới

là ma trận trở kháng transistor tương ứng với trường hợp này:

[ ]Z r r r

r r r r r

EC

E B E

E M E C M

= +

− + −

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

-Sơđồ collector chung (hình 5-37c) Dưới

ma trận trở kháng transistor tương ứng: B rB E

C

I1 I2

U2

U1

rE

rC

rmIE

Hình 5-37c [ ]Z r r r r

r r r r

CC

C B C M

C E C M

= + −

+ −

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

Trong thực tế, tùy vào chế độ phân cực nguồn chiều, transistor ứng dụng để làm mạch khóa, mạch khuếch đại, mạch biến đổi tần số Trong hình 5-38 thí dụ mạch khuếch

đại tín hiệu sử dụng transistor mắc Emitter

+E

C3 R4

R2

C2

1n C1

R1 Q1

Ur

Rt R3

chung ghép RC Việc lựa chọn giá trị linh kiện bên đảm bảo cho transistor làm việc miền khuếch đại

Các ứng dụng cụ thể transistor sẽđược nghiên cứu chi tiết học phần

c Mạch khuếch đại thuật toán:

Mạch khuếch đại thuật toán bốn cực khơng tương hỗ, tích cực điển hình Tên gọi mạch dùng để mạch khuếch đại liên tục đa nối trực tiếp với nhau, có hệ số khuếch đại lớn, trở kháng vào lớn trở kháng nhỏ, với mạch phản hồi khác mạch khuếch đại thuật tốn thực chức khác Ký hiệu đặc tuyến vòng hở lý tưởng mạch vẽ hình 5-39

Ura

AU0

ΔU -U0

U0

Hình 5-39: Ký hiệu đặc tuyến truyền đạt KĐTT

I2

ΔU U2

Ura

I1

U1

+ A _

P

N

Ở chếđộ tuyến tính, mạch khuếch đại với hệ số khuếch đại A>0 cho điện áp đầu ra:

Ura =A U A U.Δ = ( 2 −U1) (5-90) Nếu U1 = Ura = A.U2 nghĩa điện áp đồng pha với điện áp vào, đầu vào (+) gọi đầu vào không đảo pha (P)

Nếu U2 = Ura = -A.U1 nghĩa điện áp ngược pha với điện áp vào, đầu vào (-)

được gọi đầu vào đảo pha (N)

A p A p ( )=

+

0

0

ω

(5-91)

A.(UP –UN)

P

N

Ura

Zra

Zvao

20lgA,dB

Am

ωC

ω0

Hình 5-40: Mơ hình tương đương KĐTT đặc tuyến tần số hàm truyền đạt

Mạch khuếch đại thuật tốn có nhiều ứng dụng thực tế cảở chếđộ tuyến tính phi tuyến so sánh, khuếch đại thuật tốn xử lý, lọc tích cực, dao động

Để giữ cho mạch làm việc miền tuyến tính người ta phải tìm cách gim mức điện áp vào (ΔU) cho điện áp không vượt qua ngưỡng bão hòa dương VH bão hòa âm VL Điều thực nhờ vịng hồi tiếp âm mạch

Thí dụ 5-9: Hãy xét chức mạch điện

hình 5-41a Z2

Hình 5-41a

Z1

I1 N

ΔU=0

UV

Ura

_

∞

+

Giải:

Nếu coi KĐTT lý tưởng làm việc miền tuyến tính ta có:

ΔU=0

và điểm N gọi điểm đất ảo

Dòng điện vào: I U Z

U Z

V r

1

1

= = − a

Từđó ta rút ra: U Z Z U = − V

1

; K p Z

Z ( )= −

1

-Nếu Z1, Z2 trở chức mạch khuếch đại đảo pha -Nếu thay Z1 trở, Z2 dung hàm truyền đạt mạch:

K p

pCR ( )= −

Nghĩa mạch thực chức mạch tích phân Trong miền tần số mạch đóng vai trị lọc thơng thấp tích cực bậc

Nghĩa mạch thực chức mạch vi phân Trong miền tần số mạch đóng vai trị lọc thơng cao tích cực bậc

Thí dụ 5-10: Hãy xác định hàm truyền đạt điện áp mạch điện hình 5-41b, coi KĐTT lý tưởng làm việc miền tuyến tính

Hình 5-41b

Z2

Z1 N ΔU=0

UV

Ura

+

∞

_ I

Giải:

Dòng điện chạy nhánh hồi tiếp:

2

1 Z Z

U Z

U

I V ra

+ = =

Hàm truyền đạt mạch là:

1 )

(

Z Z U

U p K

V ra = +

=

Như vậy, việc thay đổi tính chất nhánh hồi tiếp mà mạch thực thuật tốn ứng dụng khác Đó vài thí dụ tính đa loại linh kiện

Để nghiên cứu sâu ứng dụng mạch khuếch đại thuật toán transistor, đặc biệt thông số mạch tương đương cách mắc, học sinh cần đọc thêm giáo trình tài liệu tham khảo học phần

5.3 MẠNG BỐN CỰC CÓ PHẢN HỒI

Mạng bốn cực có phản hồi dạng kết cấu phổ biến hệ thống mạch Trong phần tín hiệu sẽđược đưa quay khống chếđầu vào Mơ hình tổng qt mạng bốn cực có phản hồi hình vẽ 5-42:

Giả

thiết: M4C ban đầu có hệ số truyền đạt hở:

Mạng bốn cực K

Khâu h.tiếp

β

Y X

Xht

Xv

Hình 5-42: Mơ hình tổng qt M4C có phản hồi

V

X Y

K = (5-92) Khâu phản hồi có hệ số hồi tiếp:

Y Xht

=

Như vậy, hệ thống kín (có phản hồi) có hệ số truyền đạt mới:

β

K

K X

Y Kht

− =

= (5-94) Trong trường hợp hồi tiếp âm (tín hiệu hồi tiếp làm suy yếu tín hiệu vào), 1−Kβ >1, trị

số hàm truyền đạt hệ kín nhỏ so với hệ hở

Trong trường hợp hồi tiếp dương (tín hiệu hồi tiếp làm tăng cường tín hiệu vào),

1−Kβ < , trị số hàm truyền đạt hệ kín lớn so với hệ hở

Nếu Kβ =1, trị số hàm truyền đạt hệ kín tiến đến vơ Đó trường hợp hồi tiếp dương gây tượng tự kích, mạch rơi vào trạng thái khơng ổn định Nếu cắt bỏ tín hiệu vào trường hợp này, hệ tự dao động cho tín hiệu mà khơng cần tín hiệu vào Nếu Kβ >>1, trị số hàm truyền đạt hệ kín phụ thuộc vào khâu hồi tiếp Đó thường trường hợp hồi tiếp âm sâu

Nếu xét tới kết cấu thông số tham gia, người ta chia hồi tiếp thành loại sau:

+Hồi tiếp nối tiếp điện áp: tín hiệu hồi tiếp nối tiếp với tín hiệu vào tỉ lệ với điện áp đầu Mơ hình minh họa hình 5.43a

+Hồi tiếp nối tiếp dịng điện: tín hiệu hồi tiếp nối tiếp với tín hiệu vào tỉ lệ với dịng điện đầu Mơ hình minh họa hình 5.43b

I1

U1

K

I2’

I1’

U2’

U1’

β

I2’’

Iht

Uht U2’’

I2 U2

Hình 5.43a

K

I2’ I1

’

U2’ U1’

β

I2’’ Iht

Uht U2’’

I2

U2 I1

U1

Hình 5.43b

+Hồi tiếp song song điện áp: tín hiệu hồi tiếp song song với tín hiệu vào tỉ lệ với điện áp đầu Mơ hình minh họa hình 5.43c

K

I2’

I1’

U2’

U1’

β

I2’’

Iht

Uht U2’’

I1 U1

I2

U2

Hình 5.43d

K

I2’

I1’

U2’ U1’

β

I2’’

Iht

Uht U2 ’’

I2 U2

Hình 5.43c I1

+Hồi tiếp song song dịng điện: tín hiệu hồi tiếp song song với tín hiệu vào tỉ lệ với dịng điện

đầu Mơ hình minh họa hình 5.43d

5.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT MẠNG BỐN CỰC

Nội dung phần ứng dụng dựa lý thuyết mạng bốn cực, đặc biệt sâu vào ứng dụng mạng bốn cực thụđộng tương hỗ

5.4.1 Mạng bốn cực suy giảm

Mạng bốn cực suy giảm có thểđịnh nghĩa cách tổng quát mạch chia điện áp xác mà khơng làm thay đổi nội trở Ri nguồn Mạch suy giảm phải thoả mãn yêu cầu sau: -Mạch suy giảm phải bốn cực đối xứng với trở kháng đặc tính điện trở nguồn -Kết cấu đơn giản tính tốn dễ dàng, đồng thời không yêu cầu dịch pha tác động vào

đáp ra, nghĩa truyền đạt đặc tính:

g = a >0 (5-95)

Đểđáp ứng yêu cầu phần tử suy giảm phải trở Các phần tử

của suy giảm tính toán theo sơđồ chuẩn bốn cực sau:

a Sơ đồ hình T (hình 5-44a):

R R

sha i

3 = (5-96)

R2

I1 R1 I2

U2

U1 R3

Hình 5-44a

R R R

tha R sha i

1 = = − i (5-97)

b Sơ đồ hình π (hình 5-44b):

G

R shai

1

= (5-98)

G2

I1 I2

G1 U2

U1

G3

Hình 5-44b

G G

R thai R shai

1

1

= = − (5-99)

Thí dụ 5-11: Hãy tính mạch suy giảm làm việc với nguồn có điện trở Ri=600Ω, suy giảm

đặc tính 2,75 Nêpe

Giải: Theo điều kiện toán:

R R sha sh

i

600 75 77

= = =

, Ω;

R R R

tha R

sha th sh

i i

1

600 75

600

2 75 522

= = − = − =

, , Ω

Tương tự bạn tính phần tử mạch suy giảm theo sơđồ hình π

5.4.2 Mạng bốn cực phối hợp trở kháng

Khác với bốn cực suy giảm, nhiệm vụ bốn cực phối hợp trở kháng kết hợp với nguồn để

làm thay đổi nội trở (Ri1) nguồn thành giá trị (Ri2), ngược lại, biến đổi trở kháng tải thành trở kháng nguồn Do đặc điểm chủ yếu bốn cực phối hợp trở kháng tính khơng đối xứng Ngồi ra, u cầu kết hợp với nguồn truyền đạt đặc tính

ảo:

g = jb (5-100) Với yêu cầu này, phần tử phối hợp trở kháng tính tốn theo sơđồ chuẩn bốn cực sau:

a Sơ đồ hình T (hình 5-45a):

Z j R R

b i1 i

2

= −

sin (5-101)

Z2

I1 Z1 I2

U2

U1 Z3

Hình 5-45a

Z j R R b

R tgb

i i i

1

1

= ( −

sin ) (5-102)

Z j R R

b R tgb

i i i

2

1 2

= ( −

sin ) (5-103)

b Sơ đồ hình π (hình 5-45b):

Y j

R Ri i b

1

= −

sin (5-104)

Y2

I1 I2

Y1 U2

U1

Y3

Hình 5-45b

Y j

R Ri i b R tgbi

1

1

= ( −

sin ) (5-105) Y j

R Ri i b R tgbi

1 2

1

= ( −

sin )

1

(5-106)

Thí dụ 5-12: Hãy tính mạch phối hợp trở kháng nguồn có điện trở 5000Ω tải 75Ω Giả sửđiện áp điện áp chậm pha điện áp vào 450

Giải: Theo điều kiện tốn ta có:

Z j R R

b j j

i i

1 5000 75

2 866

= − = − = −

sin

/ Ω

Z j R R b

R

tgb j j

i i i

1

1 5000 75 2

5000

1 4134

= ( − = − = −

sin ) (

/ ) Ω

Z j R R

b R

tgb j j

i i i

2

1 2 5000 75 2

75

1 791

= ( − = − =

sin ) (

/ ) Ω

Tương tự bạn tính phần tử mạch phối hợp theo sơđồ hình π

5.4.3 Mạch lọc thụđộng LC loại k

a Khái niệm chung

Mọi mạch có chứa phần tửđiện kháng cho trở kháng phụ thuộc vào tần sốđều coi có tính chất chọn lọc tần số Một cách định tính có thểđịnh nghĩa mạch lọc tần số mạch cho dao động có tần số nằm hay số khoảng định (gọi dải thông) qua chặn dao động có tần số nằm khoảng cịn lại (gọi dải chắn) Về mặt kết cấu, mạch lọc tần số lý tưởng bốn cực có suy giảm đặc tính thoả mãn:

⎩ ⎨ ⎧

∞ =

chan dai

thong dai g tron

) (ω

a (5-107)

Hay nói cách khác, hệ số truyền đạt điện áp mạch lọc tần số thoả mãn:

⎩ ⎨ ⎧ = =

chan dai

thong dai g tron

) (

1

U U

K ω (5-108)

Đặc tính tần số K( )ω mạch lọc lý tưởng biểu thị hình 5-46 Với mạch lọc thụ động, tính chất chọn lọc lý tưởng thực phần tử xây dựng nên mạch kháng, đồng thời tải phối hợp dải thông trở Chúng ta xét mạch lọc mà sơđồ có dạng hình thang hình 5-47a, kết cấu giúp cho mạch lọc làm việc ổn định sử dụng rộng rãi thực tế

/K(ω)/

ω2

ω ω1 dải thơng

Hình 5-46

Za Za Za

Zb Zb Zb Zb

π

T

Hình 5-47a

Za/2

Za/2

Zb 2Zb 2Zb

Za Za/2

2Zb

Za/2

2Zb

Hình 5-47b

Các sơđồ hình T hình π thường sử dụng để nghiên cứu mặt lý thuyết mạch lọc Các thơng sốđặc tính hai loại sơđồ tính theo cơng thức:

a b a

d

Z Z Z

T

Z

2 )

( = + (5-109)

a b b

d

Z Z Z

Z

4

1

) (

+ =

π (5-110)

a b a b

T

Z Z Z Z g

th

2

4 ,

+ + =

π (5-111)

b Điều kiện dải thông của mạch lọc

Với kết cấu phần tử tạo thành Za, Zb cho, cần xác định điều kiện dải thông (hay dải chắn) mạch lọc Trong dải thơng ta phải có:

a g jb

= = ⎧ ⎨ ⎩

0

Rút hai điều kiện dải thông:

Thứ nhất: Các phần tử Za, Zb kháng Thứ hai: Zd(T) Zd(π) phải trở điều kiện tương đương với:

≤− ≤∞ a b

Z Z

4

1 hay

4 1≤ ≤

−

b a

Z Z

(5-112)

Đây điều kiện dải thơng mạch lọc có kết cấu hình thang Tại tần sốωc mạch lọc, ta có:

1 ) (

) (

4 =

−

c a

c b

Z Z

ω ω

(5-113)

Za.Zb = k2 (5-114) (trong k số thực)

Để thoả mãn điều kiện trên, đơn giản chọn nhánh Za, Zb phần tử kháng mà trở kháng có tính chất ngược Sau ta xét cụ thể loại mạch lọc

d Cấu trúc của mạch lọc loại k - Mạch lọc thông thấp:

Za = jωLa ;

b b

C j Z

ω

1

= (5-115) La/2 La/2

Cb

La

Cb/2

Cb/2

Hình 5-48

Hình 5-48 mơ tả mắt lọc hình T hình π mạch lọc thơng thấp Tần số cắt mạch lọc xác định theo công thức:

1

) (

) (

4 = 2 =

−

b a c

a c b

C L Z

Z

ω ω ω

Rút

b a c

C L

2

=

ω (5-116)

- Mạch lọc thông cao:

a a

C j Z

ω

1

= ; Zb = jωLb (5-117) Hình 5-49 mơ tả mắt lọc hình T hình π mạch lọc

2Ca Ca

2Ca

2Lb

2Lb

Lb

Hình 5-49 Tần số cắt mạch lọc xác định theo công thức:

1

) (

) (

4 = =

− b a

c a

c

b L C

Z

Z ω

ω ω

Rút

a b c

C L

2

=

- Mạch lọc thông dải: ) ( a a

a j L C

Z ω ω − = ; ) ( b b b L C j Z ω ω −

= (5-119)

Để thoả mãn điều kiện mạch lọc loại k, cần có:

0

1 = =ω

b b a

aC L C

L (5-120)

Hình 5-50 mơ tả sơđồ mạch lọc

Ca

Tần số cắt mạch lọc xác định theo công thức:

2 0 ) ( ) ( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − ω ω ω ω ω ω a b b a a b C L C L Z Z Đặt b a a b C C L L

p= = (5-121) Rút ωc1,2 =ω0( p+1∓ p (5-122) Dải thông mạch lọc thơng dải: ωc1≤ω≤ωc2

Và ta có quan hệ sau:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = p C

La b

c c c c 2 2 ω ω ω ω ω ω (5-123)

- Mạch lọc chắn dải:

) ( a a a L C j Z ω ω −

= ; ( )

b b b C L j Z ω ω −

= (5-124)

Tương tựđể thoả mãn điều kiện mạch lọc loại k, cần có thêm điều kiện:

0

1 = =ω

b b a

aC L C

L (5-125) Cb

Cb Cb

Hình 5-51 mơ tả sơđồ mạch lọc chắn dải

Tần số cắt mạch lọc xác định theo công thức: 0 ) ( ) ( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − ω ω ω ω ω ω b a a b a b C L C L Z Z

Cũng đặt

b a a b C C L L

p= = ;

p p

16

' = (5-126) Rút ' '

0 ,

1 ( p p

c =ω + ∓

ω (5-127) Dải thơng mạch lọc thơng dải có hai khoảng: ω≤ωc1 ; ω≥ωc2

Và ta có quan hệ:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = ' 2 2 p C

Lb a

c c c c ω ω ω ω ω ω (5-128)

e Tính chất của mạch lọc loại k

Ta xét trở kháng đặc tính truyền đạt đặc tính loại mạch lọc

- Đối với mạch lọc thông thấp

* Xét trở kháng đặc tính mắt lọc hình T (hình 5-52a):

2 2 ) ( ω ω ω a c a b a d L j Z Z Z T

Z = + = −

-Trong dải chắn (ω > ωc): Zđ(T) mang tính điện cảm

Cb

Hình 5-51

Lb

Cb Cb

Lb La La Ca Ca Lb

La/2 La/2

Cb Hình 5-52a -Trong dải thơng (ω < ωc): Zđ(T) mang tính điện trở

được tính theo cơng thức: Z (T)

L C

a b

R(ω)

ωc ω Hình 5-52b ) ( ) ( 2 ω ω ω R C L T Z c b a

d = − =

Sự phụ thuộc Zđ(T) theo tần số biểu thị

* Xét trở kháng đặc tính mắt lọc hình π (hình 5-53a): 2 1 1 ) ( ω ω ω π c b a b b d C j Z Z Z Z − = +

= La

Cb/2

Cb/2 Hình 5-53a -Trong dải chắn (ω > ωc): Zđ(π) mang tính điện dung

-Trong dải thơng (ω < ωc): Zđ(π) mang tính điện trở tính theo cơng thức:

Z (π)

L C

a

b

R(ω)

ωc ω Hình 5-53b ) ( 1 ) ( 2 ω ω ω π R C L Z c b a d = − =

Sự phụ thuộc Zđ(π) theo tần số biểu thị

hình 5-53 b

* Bây ta xét sang truyền đạt đặc tính:

-Trong dải thơng (ω < ωc): suy giảm đặc tính a =0,

đó: 2 2 , 1 ω ωω ω π c c

T jtgb

g th

− − =

= hay

2 2 2 1 ω ω ω ω c c tgb − − ± =

-Trong dải chắn (ω > ωc): điện áp cửa giảm nhỏ cách đáng kể cho lúc khơng cần để ý tới dịch pha với điện áp vào Người ta quy ước b giữ nguyên giá trị ωc, cho sang dải chắn tgb =0 thg =

tha. Khi đó:

(b)

(a)

π

aTT, bTT

ω ωc 0 Hình 5-54 2 2 1 ω ω ω ω c c arth a − − =

Hình 5-54 biểu diễn phụ thuộc a b theo tần số dải khác

- Đối với mạch lọc thông cao

* Xét trở kháng đặc tính mắt lọc hình T (hình 5-55a):

2 2 ) ( c a a b a d C j Z Z Z T Z ω ω ω − = +

= 2Ca 2Ca

-Trong dải thông (ω > ωc): Zđ(T) mang tính điện trở tính theo cơng thức: ) ( ) ( 2 ω ω ω R C L T Z c a b

d = − =

Z (T)

L Ca

b

R(ω) ωc

0

ω

Hình 5-55b Sự phụ thuộc Zd(T) theo tần số biểu thị

trong hình 5-55 b

* Xét trở kháng đặc tính mắt lọc hình π (hình 5-56a): 2 1 1 ) ( c b a b b

d j L

Z Z Z Z ω ω ω π − = + =

-Trong dải chắn (ω < ωc): Zđ(π) mang tính điện cảm Ca

2Lb

2Lb

Hình 5-56a Z (π)

L C

b

a

R(ω)

ωc

0

ω

Hình 5-56b -Trong dải thơng (ω > ωc): Zđ(π) mang tính điện trở

và tính theo công thức:

) ( 1 ) ( 2 ω ω ω π R C L Z c a b d = − =

Sự phụ thuộc Zd(π) theo tần số biểu thị hình 5-56 b

* Bây ta xét sang truyền đạt đặc tính:

-Trong dải thơng (ω > ωc): suy giảm đặc tính a =0, đó:

2 2 , 1 c c T jtgb

g th ω ω ω ω π − − =

= hay

2 2 2 1 c c tgb ω ω ω ω − − ± =

-Trong dải chắn (ω < ωc): người ta quy ước b giữ nguyên giá trị ωc, cho sang dải chắn tgb =0 thg = tha. Khi đó:

(b) (a)

-π

aTC, bTC

ω ωc 0 Hình 5-57 2 2 1 c c arth a ω ω ω ω − − =

Hình 5-57 biểu diễn phụ thuộc a b theo tần số dải khác

Xét mắt lọc hình T hình π mạch lọc thơng dải (hình 5-58):

Hình 5-58

Cb Lb

La/2

La/2 2Ca

2Ca

Cb/2 2Lb Cb/2

La

Ca

2Lb

Do việc tính tốn phức tạp, nên ởđây khơng thực tính tốn trực tiếp mà dựa vào tính chất tương đương mạch lọc thông thấp thông cao đoạn tần số khác Cụ thể là:

-Trên đoạn ω > ω0 : nhánh Za mang tính điện cảm, cịn Zb mang tính chất điện dung, mạch lọc thông dải tương đương mạch lọc thơng thấp

Hình 5-59a

L C

a b

Z (T)

R(ω)

ωc2 ω0 ωc1

0

ω

thông thấp thông cao

L C

a

b Z (π)

R(ω)

ωc2 ω0

ωc1

0

ω

thông thấp thông cao

-Trên đoạn ω < ω0 : nhánh Za mang tính điện dung, cịn Zb mang tính chất điện cảm, mạch lọc thơng dải tương đương mạch lọc thông cao Hình vẽ 5-59 biểu diễn phụ thuộc thơng sốđặc tính mạch lọc thơng dải theo dải tần số khác

Hình 5-59b

(b) (a)

π

-π

aTD, bTD

ω ω0 ωc2

ωc1

0

Thông cao Thông thấp

- Đối với mạch lọc chắn dải

Cb

La/2

La/2

2Ca

2Ca

Lb

Hình 5-60

Cb/2 Cb/2

2Lb

La

Ca

2Lb

Tương tự mạch lọc thông dải, dựa vào tính chất tương đương mạch lọc chắn dải mạch lọc thông thấp thông cao đoạn tần số khác Cụ thể là:

-Trên đoạn ω > ω0 : nhánh Za mang tính điện dung, cịn Zb mang tính chất điện cảm, mạch lọc chắn dải tương đương mạch lọc thông cao

-Trên đoạn ω < ω0 : nhánh Za mang tính điện cảm, cịn Zb mang tính chất điện dung, mạch lọc chắn dải tương đương mạch lọc thơng thấp

Hình vẽ 5-61 biểu diễn phụ thuộc thơng sốđặc tính mạch lọc chắn dải theo dải tần số khác

Hình 5-61a Z (T)

L C

a b

R(ω) R(ω)

ω0 ωc2 ωc1

0

ω

Thông cao Thông thấp

Z (π)

L C

a

b

R(ω)

ω0 ωc2 ωc1

0

ω

Thông cao Thông thấp

R(ω)

(a)

(a) (b)

π

aCD, bCD

ω ωc1

ωc2

ω0

0

Hình 5-61b

(b)

-π

Trên ta xét tính chất lọc loại k, thơng sốđặc tính định nghĩa dựa vào điều kiện phối hợp trở kháng hai cửa Nhưng điều kiện lại khó thực hiện, thơng thường trở kháng tải nội kháng nguồn có giá trị trở cốđịnh, hay có phụ thuộc tần số theo quy luật riêng Trong trở kháng đặc tính mạch lọc loại K cho dù có tính chất trở dải thông bị phụ thuộc nhiều vào tần số Vì nhược điểm loại lọc trở kháng đặc tính truyền đạt tín hiệu bịảnh hưởng nhiều tần số

Thí dụ 5-13: Tính phần tử mạch lọc thơng thấp loại k có dải thơng từ đến 1000Hz, trở kháng đặc tính đầu dải thơng 600Ω Vẽ

khâu T π mạch lọc

La=19mH

Cb/2 26,5nF Cb/2

26,5nF

La/2

9,5mH 9,5mH

La/2

Cb=53nF

Hình 5-62

Giải: Theo giả thiết ta có: f

L C

Z L

C

c

a b

a b

= =

= =

⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪

1

1000

0 600

π

d( )

Rút

C n

L m

b

a

= =

= =

⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

−

1

6 10 53 10

19

2

π π

F H

Các sơđồ mắt lọc thơng thấp vẽở hình 5-62 5.4.4 Mạch lọc thụđộng LC loại m

Để khắc phục nhược điểm lọc loại k, người ta cải tiến bước mặt kết cấu đểđạt

được chất lượng cao Các mạch lọc gọi mạch lọc m

a Các phương pháp xây dựng bộ lọc loại m

Để xây dựng lọc m, người ta dùng phương pháp chuyển từ lọc loại k

- Chuyển nối tiếp: Bao gồm bước sau:

+Chọn khâu hình T tính tốn dựa vào trở kháng nhánh +Giữ lại phần nhánh nối tiếp, cho trở kháng trở thành:

a a mZ

Z' = (với m <1) (5-129) +Chuyển phần Za xuống nhánh song song cho tạo thành Zb'

+Xác định Zb' dựa vào điều kiện cân trở kháng đặc tính khâu loại k loại m:

) ( )

(TK d TM

d Z

a b a

Z Z

Z

1

2 + a

b a

mZ Z

mZ 4 '

1

2 +

= (5-131) Rút

m Z Z m

m

Z b

a

b +

− =

4

' (5-132)

Za/2 Za/2

Zb

Za’/2 = mZa/2 Za’/2 = mZa/2

Zb’

Hình 5-63 Zd T Zd T

K M

( ) = ( )

Khâu lọc m xây dựng cách gọi khâu lọc m nối tiếp Nó có kết cấu hình T Hình 5-63 mơ tả q trình chuyển nối tiếp vừa trình bày

- Chuyển song song: Bao gồm bước sau:

+Chọn khâu hình π tính tốn dựa vào dẫn nạp nhánh

+Giữ lại phần nhánh song song, cho dẫn nạp trở thành:

b b mY

Y' = (với m <1) (5-133) +Chuyển phần Yb lên nhánh nối tiếp cho tạo thành Ya'

+Xác định Ya' dựa vào điều kiện cân trở kháng đặc tính khâu loại K loại M:

) ( )

( K d M

d Z

Z π = π (5-134) Bây ta tính Ya', điều kiện viết thành:

b a b

Y Y

Y

1

+

b a b

mY Y

mY 4 '

1

+

= (5-135)

Rút

m Y Y m

m

Y a

b

a +

− =

4

' (5-136)

Yb/2 Yb/2 Ya

Ya ’

Yb’/2

Yb’/2

Hình 5-64

Zd Zd

K M

Khâu lọc M xây dựng cách gọi khâu lọc M song song Nó có kết cấu hình

π Hình 5-64 mơ tả q trình chuyển song song vừa trình bày

b Các tính chất của mạch lọc loại m

Trong phần ta xét cách xây dựng mạch lọc loại M từ mạch lọc loại K, cần ý điều kiện cân trở kháng đặc tính khâu loại K loại M làm cho hai loại mạch lọc có dải thơng Tuy nhiên điều chưa thể cải thiện mạch lọc loại M so với mạch lọc loại K cách thuyết phục Bây ta xét tới thơng sốđặc tính mạch lọc M theo cánh nhìn khác, trước hết trở kháng đặc tính mắt lọc hình π cách chuyển nối tiếp (hình 5-65)

Hình 5-65

Za Za Za

Zb Z

b

Zb Zb

π

Zb’

Zb’

Zb’

Zb’

Za’=mZa

π ' ' ' ' ' ' 1 ) ( 1 a b b a a b b d Z Z m Z Z m m Z Z Z Z M + + − = + = ) (π

trong ý đến điều kiện cân trở kháng đặc tính ta có:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + = + + − = b a a b b a b b a d Z Z m Z Z Z Z Z m m Z Z m m Z M 1 4 ) ( 2 ' ) (π

hay ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = b a d d Z Z m Z Z K M 1 ) ( ' π π )

( (5-137)

Kết nói lên rằng, trở kháng đặc tính lọc loại M cách chuyển nối tiếp phụ

thuộc hệ số m Điều khả năng, chọn m thích hợp làm cho Z’

d(πM) phụ thuộc vào tần số

Đối với trở kháng đặc tính mắt lọc hình T cách chuyển song song (hình 5-66) ta có:

Yb Yb

Ya

Yb Yb

Ya Ya

Ya ’ Yb ’ Yb ’ Ya ’ Yb ’

' ' ' ' ' ' ' ' )

' . 1

) ( 4 b a a b b a a a b a d Y Y m Y Y m m Y Y Y Z Z Z Z + + − = + = + = M (T hay a b a b a b a a b d Y Y m Y Y Y m Y Y m Y Y m m Z 1 4 ) ( 2 ) ' − + + = + + − = M (T

tức

a b T d d Y Y m Z Z K 1 2 ) ( ) ' − + = M

(T (5-138)

Kết nói lên rằng, trở kháng đặc tính lọc loại M cách chuyển song song phụ thuộc hệ số m

Cụ thể ta xét lọc thơng thấp, có trở kháng xuất phát từ loại K:

Za = jωLa;

b b j C

Z

ω

1

=

-Theo cách chuyển nối tiếp có lọc loại M, tương ứng:

Z’(π)

L C

a

b

m=1(loại K) m=0,6

m=0,4 R(ω)

ωc ω Hình 5-67a ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = = b a b a a mC j L m m j Z mL j Z ω ω ω ' '

[1 (1 ) ]

1 2 2 2 ) ' c c b a m C L Zd ω ω ω ω π − − − = M (

Hình 5-67a đồ thị biểu diễn phụ thuộc trở kháng đặc tính mắt lọc hình π mạch lọc thông thấp nối giá trị m

-Theo cách chuyển song song có lọc loại M,

tương ứng: Z’(T)

L C a b m=0,4 m=0,6

R(ω) m=1

] ) ( [

1

1

2 2

2 )

'

c c

b a d

m C

L Z

ω ω ω

ω

− − −

=

M

(T

Hình 5-67b đồ thị biểu diễn phụ thuộc trở kháng đặc tính mắt lọc hình T mạch lọc thơng thấp song song theo m

Như vậy, chọn m=0,6 kháng đặc tính mắt lọc nêu phụ vào tần số Đối với mạch lọc thơng cao có kết tương tự

Bây ta xét tới truyền đạt đặc tính (g) mạch lọc loại M, chủ yếu xét đến suy giảm

đặc tính (a) Khâu lọc M phức tạp khâu lọc K, nhánh nối tiếp song song mạch lọc xảy cộng hưởng làm hở mạch Y’

a ngắn mạch Z’b Khi suy giảm đặc tính lớn vơ cùng, tần số cộng hưởng gọi ω∞ Chúng nghiệm phương trình

0

1

' = − + =

m Y Y m

m

Y a

b a

4

' = − + =

m Z Z m

m

Z b

a b

Hay −4 =1−m2 <1

Z Z

a

b (5-139)

Rõ ràng tần sốω∞ nằm dải chắn (vì biểu thức khơng thoả mãn điều kiên dải thông) tần số phụ thuộc vào giá trị m Hình 5-68 minh hoạ tồn tần sốω∞ suy giảm đặc tính mạch lọc loại M Chú ý thơng sốđặc tính mạch lọc thơng dải chắn dải loại M suy từ mạch lọc thông thấp thông cao loại

aTT

ω ω∞

M K

ωc

0

aTC

ω ω∞

M K

ωc

0

aTD

ω ω∞2

ω∞1 ω0

ωc2

ωc1

0

aCD

ω ω∞2

ω∞1 ω0 ωc2

ωc1

Nhận xét:

Trong khoảng tần số ωc ω∞, suy giảm đặc tính tăng từ đến ∞ Do độ dốc đặc tuyến phụ thuộc vào bề rộng khoảng (ωc, ω∞), mà bề rộng lại phụ thuộc vào m, từđó ta chọn độ dốc đặc tuyến cách tuỳ ý theo m Đây ưu điểm lớn mạch lọc M so với mạch lọc K Tuy nhiên sâu vào dải chắn suy giảm đặc tính lại giảm nhỏ Đây nhược điểm lọc M so với lọc loại K

5.4.5 Bộ lọc thụđộng LC đầy đủ

a Nguyên tắc thiết kế chung

Ngun tắc tính tốn lọc phải đảm bảo yêu cầu kỹ thuật, cho chất lượng đạt tới lý tưởng tốt Nói cách cụ thể:

Khâu M m Z’

a/Z’b/ω∞

Khâu K

Za/Zb/

ωc

1/2 khâu M, PHTK m=0,6

Z” a / Z”b 1/2 khâu

M, PHTK m=0,6 Z”a / Z”b

Zd(T,π) Zd(T,π) Zd(T,π)

Ri

Rt

Z’d(π,T)

E

Hình 5-69: Bộ lọc Lc đầy đủ

Z’d(π,T)

-Suy giảm đặc tính (a) phải hồn tồn triệt tiêu dải thơng lớn tồn dải chắn -Bộ lọc phải phối hợp trở kháng tốt với nguồn tải

Trong thực tế, đểđáp ứng đầy đủ yêu cầu kỹ thuật, thường phải xây dựng lọc phức tạp gồm nhiều khâu khác có tính chất bổ xung cho Nhìn chung lọc phải có hai khâu khơng đối xứng hai đầu làm nhiệm vụ phối hợp trở kháng với nguồn tải, số khâu lọc đối xứng loại M K (hình T hình π) nối với theo kiểu dây chuyền (hình 5-69) Sau ta sâu vào khâu lọc:

Hai khâu 1/2 M (không đối xứng): đặt hai đầu lọc để phối hợp trở kháng lọc với nguồn tải Do thân nhiệm vụ phối hợp trở kháng dẫn đến phải có tính khơng đối xứng Mặt khác để vừa đảm bảo phối hợp với nguồn tải, đồng thời vừa đảm bảo phối hợp đấu nối với khâu K khâu M phía lọc cách bình thường, người ta tạo khâu cách: tạo khâu M từ khâu lọc K theo cách chuyển tương ứng, với hệ số m=0,6, sau bổđôi khâu M vừa tạo để giữ lại nửa Với hệ số m=0,6 trở kháng đặc tính

ở cửa vào cửa lọc sẽđảm bảo trở ổn định, đảm bảo phối hợp trở kháng với nguồn tải

Việc ghép nối khâu lọc cho nhìn từ ngồi vào có trở kháng đặc tính Z’

đ(π)=Ri=Rt trường hợp chuyển nối tiếp (hình 5-70a) Z’

đ(T)=Ri=Rt trường hợp chuyển song song (hình 5-70b)

}Zb' 2Zb"{

}2Z"b

Za'

2

Za'

2

Za"

2

Za

2

Za

2

Z"a

2

Ri

Rt

E

Hình 5-70a

Zb

Z’đ(π)

Z’đ(π) Zđ(T) Zđ(T) Zđ(T)

Ri

Rt

E

Hình 5-70b

2Y”

a Y 2Y”a

’ a

Ya

Yb”/2 YYb Yb’/2 b”/2 ’/2

Yb/2 Yb/2

Z’đ(T)

Z’đ(T) Zđ(π) Zđ(π) Zđ(π)

b Cách tính tốn bộ lọc đầy đủ

Thơng thường số liệu sau cho trước: Dải thơng (tần số cắt), trở kháng đặc tính dải thông, điện trở nguồn điện trở tải, tần số suy giảm vô cùng, yêu cầu

suy giảm đặc tính phối hợp trở kháng Đầu tiên việc tính tốn khâu K sẽđược thực trước, sau chuyển sang tính tốn khâu M Sau cơng việc tính tốn cần thiết loại lọc:

1 Bộ lọc thông thấp:

- Khâu lọc K:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

= = ⇒ ⎪

⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

=

= = =

c b

c

b a c

t i b a

R C

R

C L

R R R C

L

ω ω

ω

2 L

-Các khâu lọc M:

∞

∞ ⇒

−

= 22c

2 m=

-1 ω ω ω ω m c

(Với khâu 1/2M m = 0,6)

Hình 5-71 cấu trúc khâu (K, M 1/2M) lọc thông thấp đầy đủ trường hợp chuyển nối tiếp chuyển song song

Nếu chuyển nối tiếp:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = b b a b a a mC C L m m L mL L ' ' '

La/2 La/2

Cb

Hình 5- 71a

La ’

/2 La’/2

Lb ’

Cb ’

La’’/2

2Lb’’

Cb’’/2

Nếu chuyển song song:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = = = b a a a b b C m m C mL L mC C ' ' ' La

Cb/2

Cb/2

Hình 5-71b

La’

Ca’

Cb’/2

Cb’/2

La’’/2

Cb’’/2

2Ca ’’

2 Bộ lọc thông cao:

- Khâu lọc K:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = c a c a b c t i a b R C R C L R R R C L ω ω ω 2 L b

-Các khâu lọc M:

c

c m

2 2 m= 1 -1 ω ω ω ω ∞ ∞ = − ⇒

(Với khâu 1/2M m = 0,6)

Nếu chuyển nối tiếp: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = m C C C m m C m L L a a a b b b ' ' '

2Ca 2Ca

Lb

2Ca’

2Ca’

Cb ’

Lb’

2Ca’’

Cb ’’

/2 2Lb’’ Hình 5-72a

Nếu chuyển song song:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = m C C L m m L m L L a a b a b b ' ' ' Ca 2Lb

2Lb 2Lb’ 2Lb’

La’

Ca’

2Lb’’

La’’/2

2Ca’’

Hình 5-72b

3 Bộ lọc thơng dải:

- Khâu lọc K:

b b a a c c C L C L 1 2

0 =ω ω = =

ω b a c c C L

2 −ω =

ω R R R C L C L t i a b b

a = = = =

Rút

2 1 a 2 C c c c c c c a R R L ω ω ω ω ω ω − = − = ) ( C ) ( b 1 c c c c c c b R R L ω ω ω ω ω ω − = − =

-Các khâu lọc M:

rút 2

1

2 )

(

∞ ∞ −

− −

=

ω ω

ω ωc c

m

(Với khâu 1/2M m = 0,6) Nếu chuyển nối tiếp:

m C mL

L a

a

a = =

' a ' C

b b

b m mC

L

L = ' =

b1 '

1 C

a a

b C

m m L

m m

L ' 2

b2

'

1 C

1

− = −

=

Trong hình 5-73a minh hoạ cách chuyển nối tiếp khâu lọc thơng dải

Hình 5-73a

Cb

Lb

La/2

La/2 2Ca

2Ca

Cb1’

Cb2’

La’/2

La’/2 2Ca’

2Ca’

Lb1’

Lb2’

Nếu chuyển song song:

m C mL

L a

a

a = 'a1 =

'

1 C

b b

b m mC

L

L = ' =

b ' C

b b

a L

m m C

m m

C ' 2

a2

'

1 L

1

− = −

=

Trong hình 5-73b minh hoạ cách chuyển song song khâu lọc thông dải

Cb/2 2Lb Cb/2

La

Ca

2Lb

Cb ’

/2 2Lb’ Cb’/2

Ca2’

Ca1 ’

2Lb ’

La2’

4 Bộ lọc chắn dải:

- Khâu lọc K:

b b a a c

c L C L C

1

2

0 =ω ω = =

ω a b c c C L 1

2 −ω =

ω R R R C L C L t i a b b

a = = = =

Rút

2 1 b ) ( C ) (

2 c c

c c c c b R R L ω ω ω ω ω ω − = − = ) ( C ) ( 2 a 1 c c c c c c a R R L ω ω ω ω ω ω − = − =

-Các khâu lọc M:

1 2

1

2 ( )

2

m m

C

Lb a − = c − c −

=

− ∞

∞ ω ω ω

ω

rút

1 2 ) ( c c m ω ω ω ω − − − = ∞ ∞

(Với khâu 1/2M m = 0,6) Nếu chuyển nối tiếp:

a a

a mL

m C

C = ' =

a ' L

m L mC

C b

b

b'1 = L'b1 =

a a b L m m C m m C L ' b2 ' − = − =

Trong hình 5-74a minh hoạ cách chuyển nối tiếp khâu lọc chắn dải

Cb

La/2

La/2

2Ca 2Ca

Lb

Cb1’

Cb2’

La ’

/2 La’/2

2Ca’

2Ca’

Lb1’

Nếu chuyển song song: a a a mL m C

C = ' =

a1 '

1 L

m L mC

C b

b

b = =

' b ' L

b b a C m m L m m L C ' a2 ' − = − =

Trong hình 5-74b minh hoạ cách chuyển song song khâu lọc chắn dải

Cb/2 Cb/2

2Lb

La

Ca

2Lb L

Cb ’

/2 Cb’/2

2Lb’

La1’

Ca1’

Ca2’

2Lb’ a

Hình 5-74b

La2’

5.4.6 Mạch lọc tích cực

Ở vùng tần số thấp, loại mạch lọc thụđộng LC thường khơng thích hợp cho ứng dụng thực tế

vì cồng kềnh phần tử mạch phẩm chất mạch bị suy giảm nhiều, thay vào loại mạch lọc tích cực RC dùng KĐTT

a Khái niệm chung:

Hàm truyền đạt tổng quát mạch lọc tích cực RC có dạng:

n m p p a a p p b b p K + + + + + +

= n-1

1 -n m -m -m p a + b + p b )

( , (n ≥ m) (5-140) Bậc mạch lọc bậc lớn mẫu số (n) Thơng thường định số lượng

điện dung C vòng hồi tiếp mạch Đối với mạch lọc tích cực RC, thường hàm mạch có bậc cao độ nhạy đại lượng đặc trưng mạch phần tử tích cực tăng mạnh, độ sắc đặc tuyến tần số tiến dần đến lý tưởng

Trong lý thuyết tổng hợp mạch, phương pháp thường dùng để xây dựng mạch lọc tích cực RC phương pháp phân tách đa thức mắc dây chuyền khâu bậc bậc Giả sử từ hàm mạch K(p) phân thức hữu tỉ, phân tích thành tích:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 2 1

2

0 F p K p

-Đầu tiên tách hàm F(p) thực mạch thụđộng RC Trong điểm cực F(p) phải thực:

F p P p Q p

P p p j j

( ) ( ) ( )

( )

( )

= =

+

∏ σ

Trong Q(p) chứa nghiệm thực điểm cực thực K(p) Còn P(p) chứa phần nghiệm N(p), bậc P(p) nhỏ bậc Q(p) Khi F(p) có thểđược thực phương pháp tổng hợp mạch thụđộng Nếu P(p) chứa điểm khơng thực thực mạch hình thang

-Cịn lại K1(p) tổ hợp hàm truyền bậc hai sẽđược thực khâu bậc hai (chứa phần tử tích cực) với ưu điểm có điện trở nhỏ

b Khâu lọc tích cực RC bậc 2:

Khâu lọc bậc hai có ý nghĩa đặc biệt quan trọng khâu để tổng hợp hàm bậc cao Tổng quát, khâu lọc bậc hai tương ứng với hàm truyền điện áp:

2

2

0 b

) (

p p a a

p p b b p Ku

+ +

+ +

= (5-142)

Hàm mạch hồn tồn thực mạch KĐTT với vòng phản hồi mạch RC Mạch phản hồi KĐTT vòng nhiều vòng

M4C (a)

Mạch phản hồi (b)

C

I1b

I2a _

U1

U2

+

Hình 5-75: Khâu lọc có

-Khâu dùng phản hồi một vịng: Hình 5-75 mơ tả khâu tích cực RC có vịng phản hồi

âm dùng KĐTT; (a) mạch thụđộng RC; (b) mạch phản hồi vòng phản hồi

Viết lại hàm truyền dạng:

) (

) ( )

(

p D

p N k p

Ku = (5-143) Trong hệ số số hạng bậc cao N(p) D(p) 1; D(p) đa thức Hurwitz có nghiệm nửa mặt phẳng trái; N(p) khơng có nghiệm trục σ dương để thực mạch

điện có dây đất chung Để dễ dàng thực hàm mạch khâu mạch bậc hai, người ta thường chọn đa thức phụ P(p) có nghiệm thực, khơng dương bậc i (tổng quát, i = max ⎨bậc N, bậc D)⎬ -1; Có thể chọn bậc i cao hơn, số linh kiện tăng lên), cho:

) (

) (

) (

) ( )

( ) ( )

(

2

p P

p D k

p P

p N k p D

p N k p

Theo hệ phương trình dẫn nạp mạch “a” ta có:

I2a= y21aU1 + y22aUC = y21aU1 (do C điểm đất ảo, UC =0 ) Theo hệ phương trình dẫn nạp mạch “b” ta có:

I1b = y11bUC + y12bU2 = y12bU2

Chú ý I1b = -I2a; mạch thụđộng tuyến tính y12b=y21b, nên:

K p U

U

y y

u a

b ( )= = −

1

21

21

(2)

Từ (1) (2) ta rút ra:

y k N p

P p a

21 = ( )

( ) ; y k D p

P p b

21 = ( ) ( ) ;

k

k k

1

2

= − (5-144) Như mạch “a” thực y21a Mạch “b” thực y21b Còn k1 k2 số tìm thực mạch RC Còn y21a y21b phải hàm cho phép mạch thụ

động RC Rõ ràng tuỳ thuộc vào việc lựa chọn đa thức P(p) ta có nhiều mạch RC thực hàm truyền đạt Việc chọn mạch tối ưu dựa theo quan điểm thiết kế

đó

-Khâu có phản hồi nhiều vịng: Sơđồ hình 5-76 thí dụ khâu bậc hai thực với nhiều vòng phản hồi

Tuỳ theo việc lựa chọn phần tử Y1, Y2, ,Y5 ta thực hàm mạch K(p) có chức mạch khác lọc thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải Tuy nhiên cấu trúc không thực hàm phân thức hữu tỉ

Y5

Y4

Y1

Y2

Y3

_ U1

U2

+

Hình 5-76: Khâu lọc có phản hồi nhiều vịng

Thí dụ 5-14:

Xác định chức mạch điện hình 5-77a Giả thiết vi mạch lý tưởng làm việc chếđộ

tuyến tính

-E +E

-+

R

U1 UB2

C C

R

R

Giải:

Tính hàm truyền đạt: Lập phương trình trạng thái nút theo định luật Kirchhoff I, từ rút ra:

+ Trong miền p:

2

) (

) ( )

( 2 2 2

1

+ +

− = =

RCp p

C R

RCp p

U p U p T

) (jω T

1/2

ω

0 ω0 Hình 5-77b + Trong miền ω:

ω ω

ω ω

jRC C

R

RC j j

T

2

)

( 2 2 2

+ −

− =

Giá trị biên độ:

2 2 2

2 ) 4

2 ( ) (

C R C

R RC j

T

ω ω

ω ω

+ −

= ,

RC

2 =

ω

2 max )

(jω =

T

Đồ thịđịnh tính có dạng hình 5-77b Như khâu lọc tích cực thơng dải bậc

TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG V

• Để đặc trưng cho M4C dùng loại thơng số Z, Y, A, B, G, H Mỗi loại gồm có thơng số Với mạng bốn cực tương hỗ ta cần xác định thơng số

• Các thơng số đặc tính ( thơng số sóng) hồn tồn đặc trưng cho M4C chế độ

PHTK cửa M4C

• Dựa vào thơng sốđặc trưng M4C với chếđộ nguồn tải, ta hồn tồn xác định tính chất truyền đạt tín hiệu từ nguồn tới tải thơng qua M4C

• Khi phân tích , người ta thường triển khai M4C thành sơ đồ tương đương Mạng tương hỗ thụđộng thường dùng sơ đồ tương đương hình T, hình π (hoặc hình cầu với M4C

đối xứng) Mạng khơng tương hỗ tích cực việc triển khai thành sơđồ tương đương

đa dạng, tùy thuộc vào điều kiện làm việc dải tần công tác với khuyến cáo nhà sản xuất

• Các hệ thống phức tạp ghép nối nhiều khâu lại mà thành Trong tín hiệu đầu có thểđược tổ chức quay trở vềđầu vào nhằm thay đổi tính chất truyền đạt tín hiệu mạch tạo hiệu ứng đặc biệt cho mạch xây dựng nên mạch tạo dao

động

• Tất hệ thống tạo biến đổi tín hiệu phân tích tổng hợp dựa lý thuyết mạng bốn cực

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG V

b Tương hỗ d Khơng tương hỗ, tích cực

5.2 Mạng bốn cực có chứa transistor loại M4C: a Thụđộng c Không tương hỗ

b Tương hỗ d Khơng tương hỗ, tích cực

5.3 Transistor loại M4C:

a Thụđộng c Không tương hỗ

b Tương hỗ d Không tương hỗ, tích cực

5.4 Một mạng bốn cực tuyến tính, bất biến, tương hỗ thỏa mãn: a y12= y21 c z12= z21

b Δa=-1 d Cả phương án

5.5 Công thức với M4C ghép từ n M4C đơn giản theo cách ghép nối tiếp- song song?

a c

1

n k k

Y

Y= =∑=

1

n k k

Z

Z=

=

=∑

b

1

n k k

H

H=

=

=∑ d

1

n k k

A

A=

=

=∏

5.6 Công thức với M4C ghép từ n M4C đơn giản theo cách ghép nối tiếp-nối tiếp

a c

1

n k k

Y

Y=

=

=∑

1

n k k

Z

Z

= =

=∑

b

1

n k k

H

H= =∑= d

1

n k k

A

A= =∏=

5.7 Mạng bốn cực tuyến tính, tương hỗ, thụđộng khai triển thành sơđồ tương đương: a Hình T c Hình cầu

b Hình Γ d Cả ba phương án sai

5.8 Mạng bốn cực tuyến tính, tương hỗ, thụđộng đối xứng khai triển thành sơđồ tương

đương:

a Hình T c Hình cầu

b Hình π d Cả ba phương án

5.9 Mạng bốn cực đối xứng sơđồ tương đương hình cầu có mối quan hệ:

a 11 12 11 12 I

II

Z Z Z

Z Z Z

= −

= + b

( )

( )

11

12 2

I II

II I

Z Z Z

Z Z Z

= +

= −

5.10 Các trở kháng sóng M4C có thểđược tính theo cơng thức:

a 10 2

20 1

v ngm v hm

v ngm v hm

Z Z Z

Z Z Z

= ∗

= ∗ c

10

20

v ngm v hm

v ngm v hm

Z Z Z

Z Z Z

= ∗

= ∗

b 10 1

20 2

v ngm v hm

v ngm v hm

Z Z Z

Z Z Z

= ∗

= ∗ d

10

20

v ngm v ngm

v hm v hm

Z Z Z

Z Z Z

= ∗

= ∗

5.11 Trở kháng sóng mạng bốn cực đối xứng có thểđược tính theo mạch tương đương cầu: a Z0 =Z10 =Z20 = Z ZI / II c Z0 =Z10 =Z20 = ZI ∗ZII

b Z0 =Z10 =Z20 = ZI +ZII d Z0 =Z10 =Z20 = ZI −ZII

5.12 Xét nguồn phát có nội trở Zng=R0 tải trở Zt= R0 Khi đó: a công suất tải đạt cực đại

b phản xạ tín hiệu từ tải nguồn

c không cần thêm khâu phối hợp trở kháng nguồn tải d tất điều

5.13 Khi tần số tín hiệu vào mạch lọc thông thấp tăng, điện áp lối sẽ: a Giảm c Giữ nguyên

b Tăng d Gần điện áp lối vào

5.14Để lọc lấy dải tần Audio (từ kHz đến 20 kHz) loại bỏ tần số khác, phải sử dụng loại mạch lọc ?

a Thông thấp c Thông dải b Thông cao d Chặn dải

5.15 Về mặt kết cấu, mạch điện có hồi tiếp nối tiếp dòng điện phù hợp với kiểu ghép nào? a ghép nối tiếp-song song c ghép song song-song song

b ghép nối tiếp-nối tiếp d ghép song song-nối tiếp

5.16 Cho mạng bốn cực hình vẽ 5-78 Hãy xác định thông số hỗn hợp Hij mạng bốn cực

R1

R2

U1 U2

I1 I2

5.17 Hãy xác định sơđồ tương đương hình T mạng bốn cực hình vẽ 5-79

R1 M

U1 L U2

2

L1

* *

Hình 5-79

R2

5.18 Cho mạng bốn cực hình vẽ 5-80 Xác định điều kiện Zng Ztđể có phối hợp trở kháng hai cửa M4C

Z1

U2

U1

Hình 5-80

Z2

R

C U2

U1

Hình 5-81

2R

5.19 Cho bốn cực hình 5-81: a Xác định thông số yij M4C

b Vẽ định tính đặc tuyến biên độ đặc tuyến pha hàm truyền đạt điện áp

) (

) ( ) (

1

ω ω ω

j U

j U j

T = đầu M4C có Zt=2R c Nhận xét tính chất mạch (đối với tần số)

5.20 Cho mạng bốn cực hình 5-82:

L

U2

U1

Hình 5-82

2R R

a Xác định thông số aij M4C

b Vẽ định tính đặc tuyến biên độ đặc tuyến pha hàm truyền đạt điện áp

) (

) ( ) (

1

ω ω ω

j U

j U j

T = đầu M4C có Zt=2R

c Nhận xét tính chất mạch (đối với tần số)

R

5.21 Cho bốn cực hình 5-83:

L 2R U

B

2B

UB1B

a Xác định thông số yij M4C

b Vẽ định tính đặc tuyến biên độ đặc tuyến pha hàm truyền đạt điện áp

) (

) ( ) (

1

ω ω ω

j U

j U j

T = đầu M4C có Zt=2R c Nhận xét tính chất mạch (đối với tần số)

5.22 Thiết kế mạch lọc thông dải loại k biết trở kháng đặc tính tần số trung tâm 10kΩ, dải thông mạch nằm khoảng (10 - 12)kHz

HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

1.1 Mơ hình tốn học mạch điện miền thời gian có thểđặc trưng bởi: b Một hệ phương trình vi phân sai phân

1.2 Hiệu chuyển mạch điện analog từ miền thời gian sang miền tần số là: d thay hệ phương trình vi phân hệ phương trình đại số

1.3 Trở kháng phần tử dung : b) ZC jXC

j Cω

= = −

1.4 Trở kháng phần tử cảm : c) ZL = j Lω = jXL

1.5 Dẫn nạp phần tử dung : b) YC = j Cω = jBC

1.6 Dẫn nạp phần tử cảm : d) YL j L

j Lω

= = − B

1.7 Trở kháng tương đương đoạn mạch hình 1.45 a Z=1-j5 Ω

1.8 Trở kháng tương đương đoạn mạch hình 1.46 d Y=5-j5 (S)

1.9 Sơđồ tương đương đoạn mạch có trở kháng Z= 2+j2 Ω hình 1.47.b

1.10 Sơđồ tương đương đoạn mạch có trở kháng Z =3-j2 Ω hình 1.48.a

1.11 Sơđồ tương đương đoạn mạch có dẫn nạp Y=2+j5 (S) hình 1.49.b

1.12 Sơđồ tương đương đoạn mạch có dẫn nạp Y=3-j5 (S) hình 1.50.a

1.13Điều kiện phối hợp để công suất tác dụng tải đạt cực đại là: d Trở kháng tải liên hợp trở kháng nguồn (Zt =Rng-jXng ) 1.14 Trong mạch điện RLC nối tiếp, UL lớn UC thì:

a Mạch có tính cảm kháng

1.15 Tại điểm cộng hưởng mạch cộng hưởng RLC nối tiếp: c Mạch có tính trở, dòng với áp đồng pha

1.17 Trở kháng mạch RLC song song tần số cộng hưởng b Cực đại trở

1.18 Mạch điện hình 1.51 có (nhiều nhất): d nút, nhánh

1.19 Trở kháng tương đương mạch: Ztd =3−3j

-Biên độ phức dòng điện mạch: j o

m e

I . 15

2

=

G

-Điện áp Z1:

o

j m e

U 30

1 = −

G

-Điện áp Z2:

o

j m e

U 30

2

−

=

G

1.5Ω 2Ω

Hình 6-1

1s 1s 1s 1s 1.20 a

) 30 sin(

2 ) (

o

t t

u = ω −

) 15 sin(

3 ) (

o

t t

i = ω +

) 60 sin(

2 ) (

2 t t o

i = ω +

) 30 sin(

2 ) (

o

t t

i = ω −

b Sơđồ tương đương chi tiết theo tham số có dạng hình 6-1 c Công suất tác dụng:

P = U.I cosϕ = 9W

1.21 a

) 60 sin(

2 ) (

o

t t

u = ω +

i1(t) =2.sin(ωt + 15o) i2(t) =4/3.sin(ωt + 15o) i3(t) =2/3.sin(ωt + 15o)

b Sơđồ tương đương chi tiết theo tham số có dạng hình 6-2, đơn vị Ω r=1

XC=3 XL=5

Hình 6-2

XC=6 r=3 r=6

0,5Ω Hình 6-3

0,5s 0,5s 0.5s 0,5s

1,5Ω c Công suất tác dụng:

P = U.I cosϕ = 6W

1.22 a

) 30 sin(

2 )

(t t o

u = ω −

) 15 sin( )

(t t o

) 30 sin(

2 ) (

o

t t

i = ω −

) 60 sin(

2 ) (

2 t t o

i = ω +

b Sơđồ tương đương chi tiết theo tham số có dạng hình 6-3 c Cơng suất tác dụng:

P = U.I cosϕ = 4/3W

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN 2.1 Trong mạch vịng khép kín, tổng đại số sụt áp nhánh:

d không

2.2 Nếu điện áp nguồn cung cấp sụt áp hai phần tửđã biết, sụt áp phần tử thứ ba: c xác định cách áp dụng định luật Kirchhoff vềđiện áp

2.3 Nếu tính tốn bạn cho thấy tổng đại số sụt áp mạch vòng khác khơng thì: d tính tốn bạn chưa

2.4 Cơ sở phương pháp dịng điện vịng dựa vào : c Định luật Kirchhoff vềđiện áp

2.5 Nếu giải mạch điện thu dòng nhánh có giá trị âm thì: a Chiều ban đầu khơng

2.6 Khi phân tích mạch điện có Nn nút Nnh nhánh phương pháp điện áp nút, số phương trình tạo là:

b Nn-1 phương trình độc lập

2.7 Khi phân tích mạch điện tuyến tính áp dụng nguyên lý xếp chồng, thì: b Lần lượt giữ lại nguồn, nguồn lại cần loại bỏ

2.8 Cơ sở phân tích mạch phương pháp nguồn tương đương dựa vào : a Định lý Thevenine- Norton

2.9 Trong mạch hình 2.25, điện áp rơi R2 d 10 Vdc

2.10 Phương trình khơng mạch điện hình 2.26: d IR2 = I1+I2

2.11 Các biểu thức dòng điện vòng cho mạch:

( )

( )

1 3

1 2

V V

V V

I R R I R E

I R I R R E

+ − =

− + + =

a Hệ phương trình:

-Xét vịng 1: IV1(R1+ZL1+ZC) - IV2.ZC = E1 -Xét vòng 2: -IV1ZC + IV2(R2+ZL2+ZC) =-E2 b Dòng nhánh:

IL1 = IV1 IL2 = IV2 IC = IV1 – IV2

2.13 Dòng điện nhánh theo phương pháp dòng điện vòng:

2

3

2

1

3 R V

R V

R V V

I I A

I I A

I I I

= =

= =

= − = A

2.14 Các biểu thức dòng điện vòng:

( ) ( )

( ) (

1 1

1 2

V L C V C M

V C M V L C)

I R jX jX I jX jX E

I jX jX I R jX jX E

+ − + − − =

− − + + − =

2.15 Các phương trình vịng:

1 1

1 2

1

1

V V

V V

I R j L I E

j C j C

I I R j L E

j C j C

ω

ω ω

ω

ω ω

⎛ ⎞

+ + + =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+ ⎜ + + ⎟=

⎝ ⎠

2.16 Dòng điện nhánh phương pháp điện áp nút -PTrình điện áp nút:

UA(G1+G2+G3) = Ing1-Ing2 -Thay số tính được:

UA = -1V -Vậy ta có:

I1=0,2A I2=0,25A I3=0,05A

2.17 Các phương trình nút:

1

1

2

1 1

1 1

A B

L C C

A B

C C

E

U U

2

R jX jX jX R

E

U U

jX R R jX

⎛ ⎞

+ + − =

⎜ − ⎟ −

⎝ ⎠

⎛ ⎞

− +⎜ + + ⎟ =

2.18: Các phương trình nút:

1

1 2 2

4

2 2

1 1

1 1

A B n

ng

A B

U U I

R R j L R j L

E

U U j C

4 g

R j L R R j L R

ω ω

ω

ω ω

⎛ ⎞

+ − = −

⎜ + ⎟ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞

− + ⎜ + + ⎟

+ ⎝ + ⎠=

2.19 Etđ Rtđ nguồn tương đương:

Etđ= 5V; Rtđ = Ohm

2.20: Trở kháng tương đương mạch Thevenine: Rtđ= R1// R2 // R3

2.21 Tính dịng điện IR4 theo phương pháp nguồn tương đương: Nếu tính theo thevenine đó:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

Ω =

=

7 12

7 36

tdAB hmAB

Z

V U

Vậy theo sơđồ tương đương Thevenine ta có:

A R

Z U I

tdAB hmAB

R 13

18 ) 12 (

36

4 =

+ =

+ =

Kết tương tự ta triển khai theo Norton

2.22 Trở kháng tương đương Rtđ mạch Thevenine

Rtđ= 1250 Ω

2.23 Tính dịng điện iR2 ngun lý xếp chồng:

Khi Ing1 tác động (Eng4 bị ngắn mạch): dịng điện R2 tính 2A (chiều từ A sang B) Khi Eng4 tác động (Ing1 bị hở mạch): dòng điện R2 0,5A (chiều từ B sang A)

Tổng hợp: dòng điện R2 1,5A (chiều từ A sang B)

CHƯƠNG III: HIỆN TƯỢNG QUÁ ĐỘ TRONG CÁC MẠCH RLC

3.1. Khi điểm cực hàm mạch F(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức (không bao hàm trục ảo), đáp ứng f(t) sẽ:

a hội tụ t→∞

3.2. Khi điểm cực hàm mạch F(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức, nằm trục ảo, đáp ứng f(t) sẽ:

d không tiến đến vô hạn t→∞

d tiến đến vô hạn t→∞

3.4. Luật đóng ngắt phần tử qn tính phát biểu :

b Trong cuộn dây đột biến dịng điện, tụđiện khơng có đột biến điện áp, kể thời điểm đóng ngắt mạch

3.5. Hàm gốc UC(t) biết ảnh nó: b ( ) 1

6 t C

U t = + e−

3.6. Hàm gốc iL(t) biết ảnh là: b ( ) 2 2t 3 3t 2

L

i t = − e− + te− + e−3t

3.7 Xác định uC(t): -Điều kiện đầu:

UC(0) =90V

-Ngắt khố K, viết phương trình cho mạch:

) ( ) ( ) ( )

(

1

C

C CU

R p E p U pC

R + = +

Kết tìm được:

4

6

10 10 100

) 10 (

10 90 ) (

+ − = +

+ =

p p p

p p p

UC

-Chuyển miền thời gian: t

C t e

U ( )=100−10 −5.104

3.8 Xác định uC(t) ? -Điều kiện đầu:

UC(0) =60V

-Đóng khố K Sử dụng phương học để tìm ảnh đáp ứng Kết tìm được:

) 10 (

10 60 )

( 4

4

+ + =

p p

p p

UC

-Chuyển miền thời gian: t

C t e

U

104 30 30 )

( = + −

3.9 Xác định uC(t): -Điều kiện đầu:

18 10 10 90

)

( 6

+ + =

p p p

UC

-Chuyển miền thời gian: t

C t e

U 18

106 10 90 )

( = + −

3.10 Xác định uC(t): -Điều kiện đầu:

UC(0) =3V

-Ngắt khố K Sử dụng phương học để tìm ảnh đáp ứng Kết tìm được:

15 10

)

( 4

+ − =

p p p

UC

-Chuyển miền thời gian: t

C t e

U 15

104 )

( = − −

3.11 Xác định uC(t): -Điều kiện đầu:

UC(0) =5V

-Ngắt khoá K Sử dụng phương học để tìm ảnh đáp ứng Kết tìm được:

5 10 10

)

( 7

+ − =

p p p

UC

-Chuyển miền thời gian:

t

C t e

U

107 10 )

( = − −

3.12 Xác định iL(t): -Điều kiện đầu:

IL(0) =0,5A

-Ngắt khoá K Sử dụng phương học để tìm ảnh đáp ứng Kết tìm được:

4 10

6 / / ) (

+ − =

p p p IL

-Chuyển miền thời gian: t

L t e

I 104

6 )

( = − −

-Điều kiện đầu: IL(0) =0,5A

-Ngắt khoá K Lập phương trình cho mạch Kết tìm được:

4 10

5 , ) (

+ =

p p IL

-Chuyển miền thời gian: t L t e

I 104

2 ) ( = −

3.14 Xác định iL(t): -Điều kiện đầu:

IL(0) =1A

-Ngắt khoá K Sử dụng phương học để tìm ảnh đáp ứng Kết tìm được:

4 10

4 / / ) (

+ + =

p p p IL

-Chuyển miền thời gian:

t

L t e

I 104

4 )

( = + − 3.15 Xác định iL(t): -Điều kiện đầu:

IL(0) =3A

-Ngắt khoá K Sử dụng phương pháp học để tìm ảnh đáp ứng Kết tìm được:

4 10

) (

+ + =

p p p IL

-Chuyển miền thời gian: t

L t e

I ( )=1+2 −104

3.16 Xác định uC(t): -Điều kiện đầu:

UC(0) =20V

-Đóng khố K Sử dụng phương pháp điện áp nút học để tìm ảnh đáp ứng Kết tìm được:

5

5

10 15

) 10 (

10 15 20 ) (

+ + = +

+ =

p p p

p p p

UC

t

C t e

U ( )=15+5 −105

3.17. Giả thiết hệ khơng có lượng ban đầu, tức uC(0-)=0:

0

0 / ) ( ) ( ) (

ω ω

+ +

= =

p CR p

C p

X p H p U

Biến đổi Laplace ngược ta đáp ứng là:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ −

+

= − t

RC t e

C R C

t

u RCt

0

0

0 2

sin cos

) (

1 )

( ω ω ω ω

ω 3.18

a Xác định dòng điện i(t) sinh mạch điện áp UC(t)

- Trong khoảng 0≤t<τx;( τx =0.8ms): Sử dụng phương pháp toán tử, điều kiện đầu mạch 0:

) 10 cos

( 10 )

( 5.103

t e

t

U t

C

−

− ≈

t e

t

i( ) 0.02 −5.103tsin106

≈

Tại thời điểm τx=0.8[ms]:

] [ 10 )

( Vol

UC τx ≈

0 ) ( x ≈ iτ

- Trong khoảng τx ≤t<T; (T =2ms): Có thể vận dụng nguyên lý xếp chồng, sử dụng phương pháp kinh điển:

) ( 10 cos 10

)

( 5.103( ) x t

C t e t

U ≈ − −τx −τ

) ( 10 sin 02

)

( 5.103( ) x

t t

e t

i ≈− − −τx −τ

Tại thời điểm T=2[ms]: ) (T ≈

UC

0 ) (T ≈ i

Kết luận: Bắt đầu từ chu kỳ thứ dãy xung tác động, phản ứng độ mạch lặp lại cách tuần hồn Định tính đồ thị i(t) UC(t) có dạng hình 6-4:

UC(t)[Vol]

t(ms) 10

i(t)[mA]

t(ms) 20

-20

Hình 6-4b

b Khi phẩm chất mạch tăng lên lần, lúc q trình q độ mạch bị kéo dài so với trường hợp xét Điều làm cho khoảng tồn trống chu kỳ xung, tượng xảy mạch chưa đạt đến xác lập, đáp ứng chu kỳ trước kéo dài chồng lên đáp ứng chu kỳ sau, làm méo dạng tín hiệu cách đáng kể

3.19

a Xác định dòng điện i(t) sinh mạch điện áp UC(t) - Trong khoảng 0≤t<τx (τx =2πms):

t e

t

i t

L( ) 0.5(1 10 )sin106

−

− ≈

t e

t

U t

C

6 10 )cos10

( 50 )

( ≈ − −

Tại thời điểm τx=2π[ms]:

] [ 50 )

( Vol

UC τx ≈

0 ) ( x ≈

L

i τ

- Trong khoảng τx ≤t<T (T =6πms): ) ( 10 sin

)

( 103( ) x t

L t e t

i ≈ − −τx −τ

) ( 10 cos 50

)

( 103( ) x t

C t e t

U ≈ − −τx −τ

Tại thời điểm T=6π[ms]: ) (T ≈

UC

0 ) (T ≈ i

Kết luận: Bắt đầu từ chu kỳ thứ dãy xung tác động, phản ứng độ mạch lặp lại chu kỳ trước Định tính đồ thị i(t) UC(t) có dạng hình 6-5:

UC(t)[Vol]

t(ms) 50

-50 iL(t)[mA]

t(ms) 500

-500

b Mạch bị lệch cộng hưởng:

+Trong giai đoạn 0≤t<τx , biểu thức điện áp mạch có dạng:

)] cos(

) 10

[cos( 10

)

( 103

2

4

α ω ω

α ω ω

α

Δ −

− Δ −

Δ +

≈ t arctg e− t acrtg

t

U t r

C

Trong độ lệch cộng hưởng: 103[ / ] − ch = rad s

=

Δω ω ω Điện áp UC(t) tổng hợp hai vectơđiện áp thành phần có hai tần số khác nhau, xảy tượng phách Tần số phách 103 [rad/s] Biên độ phách giảm dần mạch chuyển dần sang giai đoạn xác lập Ở giai đoạn biên độ UC(t)

2

biên độ cộng hưởng, nghĩa tần số nguồn tác động nằm biên dải thông mạch dao động

+ Trong giai đoạn τx ≤t<T, việc xét UC(t) giống nhưđã thực

CHƯƠNG IV: HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA MẠCH 4.1 Mạch điện thực sựổn định khi:

a điểm cực nằm bên nửa trái mặt phẳng phức (không bao hàm trục ảo)

4.2 Hệ thống ổn định

4.3 Hệ thống không ổn định

4.4 Hệ thống biên giới ổn định

4.5 Hệ thống không ổn định

4.6Đối với mạch điện nhân ổn định, ta ln tính tốn trực tiếp đáp ứng tần số )

(jω

H từ hàm truyền đạt H(p) cách: c thay p = jω

4.7Đồ thị Bode điểm cực có dạng thừa số tương ứng với dạng thừa số điểm không thuộc nửa trái mặt phẳng phức suy từđồ thị điểm không theo nguyên tắc:

a Đồ thị Bode biên độ pha lấy đối xứng qua trục hồnh

4.8 Hình vẽ 4.32b tương ứng với đồ thị pha thành phần ứng với hệ số K<0

4.9 Xác định hàm truyền đạt hệ thống:

h

p p

H

ω

+ =

1 )

( , =103 h ω

4.10 Xác định hàm truyền đạt hệ thống:

h

p k p H

ω

+ =

1 )

( , =103 k =10 h

ω

2 2

1 )

(

i i

p p p

H

ω ω ξ + +

= , với =104 0<ξ<1 i

ω

4.12 vẽđịnh tính trực tiếp (không dùng hệ trục tọa độ logarit) đặc tuyến hàm truyền đạt: + Thành phần biên độ:

2 2

2

1

) (

) (

) (

) ( )

(

ω ω

ω ω

C R R R

R

R j

U j U j

T

+ +

= =

+ Thành phần pha:

2

2 1

2 )] ( arg[

R R

C R R arctg j

T U U

+ −

= −

=ϕ ϕ ω

ω

-Đặc tuyến tần số hình 6-6: /T(jω)/ R2/(R1+R2)

ω

0

ϕU2-ϕU1

-π/2

ω

0

Hình 6-6

4.13Đồ thi Bode hàm truyền đạt điện áp hình 6-7:

h

p k p H

ω

+ =

1 )

( ,

L R

h

=

ω k =0,5

Nhận xét: Mạch lọc thông thấp a(ω)[dB]

ν[D]

-20dB/D

b(ω)[rad]

ν[D]

-π/2 -π/4

Hình 6-7

4.14Đồ thi Bode hàm truyền đạt điện áp hình 6-8

h

p p k p H

ω

+ =

1 )

( ,

L R

h

=

ω

R L

k =

a(ω)[dB]

ν[D]

20dB/D

b(ω)[rad]

ν[D]

Nhận xét: Mạch lọc thông cao Vùng tần số cao tín hiệu vào đồng pha, vùng tần số thấp tín hiệu nhanh pha so với tín hiệu vào góc π/2

CHƯƠNG V: MẠNG BỐN CỰC VÀ ỨNG DỤNG 5.1 Mạng bốn cực có chứa diode loại M4C:

c Khơng tương hỗ

5.2 Mạng bốn cực có chứa transistor loại M4C: c Không tương hỗ

5.3 Transistor loại M4C:

d Khơng tương hỗ, tích cực

5.4 Một mạng bốn cực tuyến tính, bất biến, tương hỗ thỏa mãn: d Cả phương án

5.5 Với M4C ghép từ n M4C đơn giản theo cách ghép nối tiếp- song song: b

1

n k k

H

H=

=

=∑

5.6 Với M4C ghép từ n M4C đơn giản theo cách ghép nối tiếp-nối tiếp: c

1

n k k

Z

Z=

= =∑

5.7 Mạng bốn cực tuyến tính, tương hỗ, thụđộng khai triển thành sơđồ tương đương: a Hình T

5.8 Mạng bốn cực tuyến tính, tương hỗ, thụđộng đối xứng khai triển theo: d Cả ba phương án

5.9 Với mạng bốn cực đối xứng sơđồ tương đương hình cầu: c Cả hai phương án

5.10 Các trở kháng sóng M4C có thểđược tính theo cơng thức:

b 10 1

20 2

v ngm v hm

v ngm v hm

Z Z Z

Z Z Z

= ∗

= ∗

5.11 Trở kháng sóng mạng bốn cực đối xứng có thểđược tính theo mạch tương đương cầu: c Z0 =Z10 =Z20 = ZI ∗ZII

5.12 Khi đó:

d tất cảđều

5.14Để lọc lấy dải tần Audio (từ kHz đến 20 kHz) loại bỏ tần số khác, phải sử dụng loại mạch lọc:

a Thông thấp

5.15 Về mặt kết cấu, mạch điện có hồi tiếp nối tiếp dòng điện phù hợp với kiểu ghép: b ghép nối tiếp-nối tiếp

5.16 Thông số hỗn hợp Hij mạng bốn cực

ij

2 1

R H

R

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦ ⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

5.17 Từ hệ phương trình hỗ cảm mạch, so sánh với hệ phương trình trở kháng M4C, rút ra:

z11=R1+ZL1 z22=R2+ZL2 z12=z21=ZM

-Sơđồ tương đương hình T gồm ba trở kháng: Za = z11-z12

Zb = z22-z12 Zc = z12=z21

5.18 Điều kiện Zng Ztđể có phối hợp trở kháng hai cửa M4C: )

( 1 2 Z Z

Z

Zng = +

) /( 1 2

2

1Z Z Z

Z

Zt = +

5.19

a Ma trận thông số:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

+ −

− =

R pC R

R R

Y

2

1

] [

/T(jω)/ 1/2

ω

0

ϕU2-ϕU1

-π/2

ω

0

Hình 6-8 b Hàm truyền đạt điện áp:

ω ω

jRC j

T

+ =

2 )

(

Đặc tuyến tần số hình 6-8:

5.20

a Ma trận thông số:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− + − +

+ =

1

1

) (

2 ) (

1 ] [

R

pL R R pL R A

b

ω ω

jL R

R j

T

+ =

2 ) (

Đặc tuyến tần số hình 6-9:

/T(jω)/ 1/2

ω

0

ϕU2-ϕU1

-π/2

ω

0

Hình 6-9

c Nhận xét: Mạch lọc thông thấp Vùng tần số thấp tín hiệu vào đồng pha, vùng tần số cao tín hiệu chậm pha so với tín hiệu vào góc π/2

5.21

a Ma trận thông số:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

+ −

− =

R pL R

R R

Y

2 1

1

] [

b

L j R

L j j

T

ω ω ω

2 )

(

+ =

Đặc tuyến tần số hình 6-10:

/T(jω)/ 1/2

ω

0

ϕU2-ϕU1

π/2

ω

0 Hình 6-10

5.22

Ta có

2

2 12 10 10 10 10

1

4 10 12 10

2 3 2 L C L C L C Z

L C L C

a b c c a b b a d

a a b b

c c = − = − = = = = = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω ω π ω ω ω ω π ( ) ( ) Cb 16nF Lb 13,2mH

La/2 0,8H La/2

0,8H 2Ca 0,26nF 2Ca 0,26nF Rút C Z nF

L Z H

C

L nF

L

C mH

b

c c d

a

d

c c

a

a c c

b

b c c

= − = = = − = = = = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

2 10 16

2 10

2 10

0 13

13

2

0 2 ( ) ( ) ( ) , , , ω ω ω π ω ω ω π ω ω ω ω Hình 6-11 Cb/2

8nF C8nF b/2 La 1,6H Ca 0,13nF 2Lb 26,4mH 2Lb 26,4mH

Các sơđồ mắt lọc thơng dải vẽở hình 6-11

5.23

-Ta tính thơng số xuất phát từ mạch lọc thơng dải loại K:

ω20 ω ω

1

1

= c c = =

a a b b

L C L C

ωc ωc

a b L C 2 − = L C L

C Z R

a b

b a

d

= = (ω0)=

Rút L R

R nF a c c c c c c = − = − = 2 2 1 ω ω ω ω ω ω

= 96mH Ca

L R

R F

b

c c

c c c c

= − = − = ( ) ( ) , ω ω ω ω ω ω μ

1 2

2

2

0 26 = 0,79mH Cb

-Tính mạch lọc thơng dải loại M:

m f f

f f c c = − − − = − − − = ∞ ∞

1 12 10

12 76

2

2

( ) (

, , ) ,

Nếu dùng cách chuyển nối tiếp ta có:

L mL C

m nF

a a

a '

,

L L

m mC F

b b

b

1

'

,

= = 1mH Cb1' = = μ

L m

m L

m

m C n

b2 a a

2

2

4

4

1 14

' = − =

F

− =

= 13,3mH Cb2'

Hình 6-12 minh họa mắt lọc thơng dải loại M theo cách chuyển nối tiếp từ khâu lọc thơng dải loại K

Hình 6-12 Cb

Lb

La/2 La/2 2Ca

2Ca

Cb1’ Cb2’

La’/2 La’/2 2Ca’

2Ca’ Lb1’

PHỤ LỤC MẠCH ĐIỆN ĐỐI NGẪU -Các yếu tốđối ngẫu:

Hai phần tử Za Zb gọi đối ngẫu nếu:

Za.Zb = k2 (với k số) (7-1) Từ suy thơng số sau tạo nên tính đối ngẫu:

i

u

Y Z E

⎩

⎨ ⎧

↔ ↔

↔ ↔

↔

g r

I C

L ng ng

Đồng thời yếu tố hình học sau tạo nên tính đối ngẫu: Nút ↔ Vịng

Nối tiếp ↔ Song song

-Mạch điện đối ngẫu:

+ Hai mạch gọi đối ngẫu chúng thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

1 Phương trình theo định luật Kirchhoff I nút mạch phương trình theo định luật Kirchhoff II vòng mạch sau thay điện áp nút dòng điện vòng

2 Quan hệ dòng điện nhánh điện áp nhánh mạch sau đổi lẫn chúng cho cho quan hệ điện áp nhánh với dòng điện nhánh mạch

+ Sau thí dụ cụ thể đối ngẫu hai mạch điện hình 7-1:

(3) (4) (2)

(1)

g C L

ing

(b) L

r

(1) (2) (3) (4) C eng

Hình 7-1: Mạch RLC nối tiếp mạch đỗi ngẫu (a)

Viết phương trình đặc trưng cho mạch:

e r i Ldi

dt C idt I g u Cdu

dt L udt ng

ng

= + + = + +

∫ ∫

1

(a) (b)

-Nhận xét: Bằng thay yếu tố đối ngẫu, ta chuyển đổi từ hệ phương trình dịng điện vịng sang hệ phương trình điện áp nút, từ mạch mắc nối tiếp sang mạch mắc song song Tính chất cho phép suy kết phân tích mạch từ mạch đối ngẫu

PHỤ LỤC

CÁC THƠNG SỐ CỦA MẠCH DAO ĐỘNG ĐƠN Ở CHẾĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HÒA

a Với mạch dao động đơn nối tiếp:

Khi mạch chuyển sang chế độ xác lập, ta xét thông số quan hệ mạch dạng phức (bạn xem lại thí dụ nêu chương I chương III):

+ Trở kháng mạch:

Z r j L

C X

r jX

r r j

o

o

= + (ω − )= ( + )= ( +

ω ξ

1

1

)

X L

C X

r o

o

= − =

⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

ω

ω ξ

1

(7-2)

X=0 ω

ω ω ω

o

o

ch L

C LC

= ⇒ o = =

và X≠0 lệch cộng hưởng Vì ξ gọi độ lệch cộng hưởng tổng quát Z r

Z arctg

= + = ⎧

⎨ ⎪ ⎩⎪

1 ξ2

ξ

arg (7-3) + Điện trở đặc tính: ρ =X = X = L

C

Lch Cch (7-4)

+ Dẫn nạp mạch: Y G jB

Z r j

= + = = +

1

1

( ξ) (7-5)

Y

Z r

Y Z arct

= = + = − = − ⎧

⎨ ⎪ ⎩ ⎪

1

1 ξ2

ξ

arg arg g

⇒

= +

= ⎧

⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

Y

Y j

r ch

1

1

ξ

ví i Ych

⇒ (7-6)

= + = − ⎧

⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪

Y Y

Y

Y arctg ch

ch 1 ξ2

ξ

arg( )

Y

Ych

-1 ξ

1 0,7

Đường cộng hưởng vạn

-argY

π

2

ξ

π

Ta vẽ đồ thị biểu diễn biểu thức (7-6) hình 7-2

+ Dải thơng (2ξd): Ngồi khái niệm dải thơng (2Δωd) nêu chương I, ta cịn có cách định nghĩa khác: dải thơng (2ξd) dải tần số mà Y

Ych ≥

2 , nghĩa là:

1

1 2

+ξd = ⇒ ξd = ±1 (7-7) + Độ lệch cộng hưởng tương đối (ν): Ngoài khái niệm độ lệch cộng hưởng tuyệt đối (Δω) độ lệch cộng hưởng tổng qt (ξ), ta cịn có độ lệch cộng hưởng tương đối:

ν ω ω

ω

ω ω

= o − ≈ ch

ch

o c

2.Δω h

(7-8)

+ Phẩm chất mạch (Q): tỉ số công suất phản kháng luân chuyển L C với công suất tiêu hao mạch tần số cộng hưởng:

Q P P

X r

X

r Cr

L

r r

L C x

T

c ch L ch

ch

ch

= = (ω ) = (ω ) = = =

ω

ω

1

(7-9)

Ta suy mối quan hệ:

ξ ν

ω =Q ≈Q

ch

.2Δω (7-10)

2Δωd r ch

L Q

= =ω (7-11) Từ (7-11) ta thấy phẩm chất mạch cao dải thơng giảm, nghĩa độ chọn lọc tần số tăng lên

+ Dòng điện mạch:

G G G G

I E Z

E Z e

E

r e

j Z

jarctg

= = =

+

−

.arg

1 ξ2

ξ (7-12)

+ Điện áp r:

G G G

Ur =I r= E e jarctg

+

−

1 ξ2

ξ (7-13)

+ Điện áp C:

G G G

U I

j C

E

r C e

c

o o

j arctg

= =

+

− +

1

1

1

2

ω ξ ω

ξ π

G G

Uc Q E ch e o

j arctg

= +

− +

( )

1

2

ξ ω

ω

ξ π

(7-14)

+ Điện áp L:

G G G G

U I j L E L

r e

Q E

e

L o o

j arctg

o

ch

j arctg

= =

+ = +

− − − −

ω ω ( ) (

ξ ξ

ω ω

ξ π ξ π

1

2

2

2) (7-15)

-Chú ý: ωo=ωch, độ lệch cộng hưởng tổng qt ξ=0, đó:

G G

I E r

= dòng điện mạch đạt giá trị max pha với E (7-16) điện áp r E (cả biên độ pha) (7-17)

G G

Ur =E

G G

Uc =QE e −j = −jQ

π

2 EG điện áp C chậm pha π/2 so với E (7-18)

G G

UL =QE e j = jQ

π

2 EG điện áp L nhanh pha π/2 so với E (7-19) Do tần số cộng hưởng điện áp C L gấp Q lần sức điện động E (chỉ khác pha) nên người ta gọi cộng hưởng mạch dao động đơn nối tiếp cộng hưởng điện áp

b Với mạch dao động đơn song song

Mạch dao động đơn song song mạch đối ngẫu mạch dao động đơn nối tiếp ta áp dụng tính chất đối ngẫu để suy kết Sau hàm đặc trưng (ở chế độ xác lập):

+ Tần số cộng hưởng: ωch

LC

= (7-20)

+ Dẫn nạp: Y g j C

L g j

B

g g j

o

o

= + (ω − )= ( + )= ( +

ω ξ

1

1 ) (7-21)

với B C

L o

o

=ω − ω

1

(7-22)

+ Độ lệch cộng hưởng tổng quát: ξ ν

ω = B= =

g Q Q ch 2Δω

(7-23)

+ Trở kháng: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

+ = =

+ = = + =

ξ ξ

ξ

-arctg = -argY = argZ &

1

) (

1

2

g Y Z

j g Y jX r Z

(7-24)

Z

Z r

Z

Z arctg ch

ch

=

+ =

= − ⎧

⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪

1 ξ2

ξ

(ví i Zch )

arg( )

(7-25)

+ Điện dẫn đặc tính: σ ω

ω ρ = C = = =

L chC chL

1

(7-26)

+ Độ lệch cộng hưởng tương đối: ν ω ω

ω

ω ω

= o − ≈ ch

ch

o c

2Δω h

(7-27)

+ Phẩm chất fch: Q

g r C

r L r

C L ch

ch

= σ = ω = =

ω (7-28)

+ Dải thông:

Δωd ch d

g

C Q

= = = ± ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

ω ξ

(7-29)

+ Điện áp mạch: G

G G

u I Y

I r e ng ng jarctg

= =

+

−

ξ2

ξ (7-30)

+ Dòng điện điện dẫn: G G

G

Ig =ug= Ing e jarctg +

−

1 ξ2

ξ (7-31)

+ Dòng điện C: G

G

Ic QIng o e ch

j arctg =

+

− −

1

2 ξ

ω ω

ξ π

( )

(7-32)

+ Dòng điện L: G

G

IL QIng ch e o

j arctg =

+

− +

1

2 ξ

ω ω

ξ π

( )

(7-33)

+ Tại ωo=ωch:

G G

U I g

ng

= điện áp đạt max, pha với Ing (7-34)

G G

Ig = Ing; GIL = −jQGIng; GIc = jQIGng (7-35) Do tần số cộng hưởng dịng điện C L gấp Q lần dòng điện nguồn (chỉ khác pha) nên người ta gọi cộng hưởng mạch dao động đơn song song cộng hưởng dòng điện

c Điện trở tương đương cuả mạch dao động đơn song song

Đối với mạch 7-3b: Y

R j C L

b td

o td

o td

= + (ω − )

ω (1)

Đối với mạch 7-3a: Y

r j L r

j C a

L o

c o =

+ + +

1

1 ω

ω

với điều kiện

r L

r

C

L o

c

o

<< << ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

ω ω

1 ta có:

Y r r

L C

j L L

C C

L C

rC

L j C L

a L c o

o

o

o

≈ + + (ω − )= + ( − ω

ω

ω

1

) (2)

Hai mạch tương đương Ya≡Yb, từ (1) (2) ta suy ra:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= = = = = =

r Q Q r rC

L C C

L L

td td

2

td

R ρ ρ

( r = rL + rc ) (7-36)

Rtd điện trở tương đương mạch cộng hưởng hình 7-3a

Để nghiên cứu mơ hình mạch dao động khác (như mạch ba điểm điện cảm, mạch ba điểm điện dung ) học sinh tham khảo tài liệu

Thí dụ: Một nguồn sức điện động điều hồ, biên độ 1V đặt lên mạch dao động đơn nối tiếp có r = 20Ω, điện dung C = 60pF, tần số cộng hưởng fch = 3MHz Giả thiết mạch có độ lệch cộng hưởng Δf = f0 - fch = 6kHz Khi đó:

-Phẩm chất mạch:

Q

C r f C r

ch ch

= = = − =

2

1

2 310 60106 12 20 44 25

ω π π , -Độ lệch cộng hưởng tổng quát:

ξ = Q f = =

fch

,

,

2 44 25 610

310 177

6

Δ

I E

r mA

m =

+ = + =

( , )

1

20 177 49

2

ξ

-Điện kháng mạch:

Ω X= ξ.r =0 177 20, = 54, -Biên độ điện áp tụ:

UC = Q E ch V

+ = + =

,

( , )

44 25

1 177 43

0

ξ ω

ω

-Các độ lệch pha:

ϕe i− = argZ=arctgξ= arctg0 177 10, =

ϕe U ξ π

C arctg

− = + = + =

2 10 90 100

0 0

PHỤ LỤC

VẤN ĐỀ TỔNG HỢP MẠCH TUYẾN TÍNH Lưu đồ hình 7-4 mơ tả bước tổng qt tồn q trình thiết kế mạch

Hình 7-4: Quá trình thiết kế mạch Bắt đầu từ

chỉ tiêu cho trước

Tài liệu có sẵn

Đã thiết kế

chưa ?

Đưa mơ hình sở tổng hợp mạch sở kinh

nghiệm thiết kế

Phân tích

Cấu trúc cụ thể

Phân tích mạch

Lắp ráp mạch

Đo đạc

Đã thoả mãn

tiêu chưa ?

Đã thoả mãn

tiêu chưa ? N

N

N

N

Dừng

Đã thoả mãn

Như vậy, phân tích tổng hợp mạch hai q trình khơng thể tách rời thiết kế mạch điện tử

a Tính chất tốn tổng hợp mạch

- Khác với kết tốn phân tích mạch, tốn tổng hợp mạch tìm nhiều sơ đồ thoả mãn yêu cầu đặt

- Các q trình truyền đạt mạch tuyến tính thường bị phụ thuộc vào tính chất tần số mạch, tốn tổng hợp thường quy việc tìm thông số mạch theo đặc tuyến tần số cho

- Bài toán tổng hợp mạch thường giải ba vấn đề, bao gồm:

1 Vấn đề xấp xỉ: cần phải tìm hàm mạch gần F(p) vừa thỏa mãn tiêu cho trước, vừa thỏa mãn điều kiện hàm cho phép Hàm cho phép hàm mạch thỏa mãn số điều kiện cần đủ để thực với phần tử mạch yêu cầu

2 Vấn đề thực mạch theo hàm mạch cho phép: cơng việc thiết lập sơ đồ mạch điện theo hàm F(p) xác định giá trị phần tử

3 Vấn đề chọn sơ đồ tối ưu: Việc chọn mạch thường dựa quan điểm tối ưu công nghệ, sử dụng, độ nhạy dung sai

Trong vấn đề nêu trên, vấn đề thực mạch theo hàm mạch cho phép thực cách máy móc theo phương pháp biết trước, xấp xỉ vấn đề khó khăn Do đặc tuyến trở kháng, dẫn nạp hàm truyền đạt cho dạng graph, đồ thị hàm cho phép viết dạng phân thức hữu tỉ, nên tốn xấp xỉ tìm hàm cho phép gần với tiêu chuẩn cho trước để thực dạng mạch cửa hai cửa

- Điểm cực điểm không đặc trưng cho hàm mạch: Ta biết phương pháp để biểu diễn hàm đặc trưng mạch điện, bao gồm f(t) miền thời gian với công cụ phương trình vi phân, F(ω) miền tần số với công cụ chủ yếu cặp biến đổi Fourier, F(p) Trong miền tần số phức sử dụng cơng cụ cặp biến đổi Laplace Trong việc biểu diễn miền tần số phức p dễ dàng cho q trình tính tốn thiết kế mạch điện, từ miền tần số phức ta hồn tồn chuyển cách đơn giản sang miền khác biến đổi Laplace ngược hay thay p=jω Do nguời ta thường chọn cách đặc trưng cho mạch điện hàm mạch F(p) Hàm trở kháng dẫn nạp mạch hai cực, hàm truyền đạt đại lượng đầu đại lượng đầu vào mạch bốn cực Một cách tổng quát F(p) phân thức hữu tỉ biểu diễn nhiều dạng khác theo điểm cực điểm không:

F p

a p b p

r r r

n

q q q

m

( )= =

= ∑ ∑

0

0

=

− −

=

= ∏ ∏

K

p p p p

i i

n

j j

m

1

1

( )

( )

=

− −

=

= ∏ ∏

K

p p

p p

i i

n

j j

m

2

1

1

( )

( )

(7-37)