* Vì A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP gt suy ra OA NP tại K đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung đó.. Suy ra K là trung điểm của dây NP đư[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28 tháng 06 năm 2011 (Đợt ) Đề thi gồm: 01 trang Câu (3,0 điểm) 1) Giải các phương trình: a 5( x 1) 3x b 3x x x x( x 1) 2) Cho hai đường thẳng (d1): y x ; (d2): y 4 x cắt I Tìm m để đường thẳng (d3): y (m 1) x 2m qua điểm I Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2(m 1) x 2m (1) (với ẩn là x ) 1) Giải phương trình (1) m =1 2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với m 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) là x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 là độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền 12 Câu (1,0 điểm) Một hình chữ nhật có chu vi là 52 m Nếu giảm cạnh m thì hình chữ nhật có diện tích 77 m2 Tính các kích thước hình chữ nhật ban đầu? Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có  > 900 Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là E 1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn 2) Gọi F là giao điểm hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác góc EFD 3) Gọi H là giao điểm AB và EF Chứng minh BH.AD = AH.BD Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z x x yz y y zx z z xy -Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: Lop10.com (2) SỞ GD VÀ ĐT ĐAKLAK KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) THI NGÀY 22/6/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2,0 điểm) 1) Giải các phương trình sau: a) x 3x b) x x 18 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hai hàm số y 12 x 7 m và y x 3 m cắt điểm trê trôc tung Bài 2: (2,0 điểm) 1 2 1 2) Cho biÓu thøc: B 1 x x 1 x 1 x 1 a ) Rót gän biÓu thøc B 1) Rót gän biÓu thøc: A b) Tìm giá trị x để biểu thức B Bài 3: (1,5 điểm) 2 y x m Cho hệ phương trình: 1 2 x y m 1) Giải hệ phương trình 1 m 2) Tìm giá trị m đề hệ phương trình 1 có nghiệm x; y cho biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn O Hai đường cao BD và CE tam giác ABC cắt điểm H Đường thẳng BD cắt đường tròn O điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn O điểm thứ hai Q Chứng minh: 1) BEDC lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) HQ.HC HP.HB 3) §êng th¼ng DE song song víi ®êng th¼ng PQ 4) §êng th¼ng OA lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng PQ Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z lµ ba sè thùc tuú ý Chøng minh: x y z yz x y 7 1 3 Ta cã: x y z yz x y x x y y.z z y y 2 4 4 2 1 x y z y 7, x, y, z : 2 Lop10.com (3) HƯỚNG DẪN GIẢI: (GV Trần Khánh Long-THPT LêHồngPhong) Câu 1: 3 2 b/ đặt x =t (t 0) pt đã cho viết t +7t-18=0 (*); 121 112 pt (*) có t=-9 (loại);t=2 với t=2 pt đã cho có nghiệm x 2; x 1/a/ 9x2+3x-2=0; =81,phương trình có nghiệm x1= ;x2= 2/đồ thị y=12x+(7-m) cắt trục tung điểm A(0;7-m); đồ thị y=2x+(3+m) cắt trục tung điểm B(0;3+m) theo yêu cầu bài toán A B 7-m=3+m tức là m=2 Câu 2: 1/ A 75 (1 2)(3 2) (7 2)(1 2)(3 2) (3 2)(3 2) 1 2/ a/ B( x 1 x 1 x 1 )( ) x ( x 1)( x 1) x 1 x 2 )( ) x ( x 1)( x 1) x x (thoả mãn đk ) b/ B x ( Câu 3: 2 y x (1) rút y từ (2) y=2x+1 vào pt (1) x=0, suy 2 x y 1 (2) 1/ Khi m=1 ta có hệ pt: y=1 Vậy hệ có nghiệm (0;1) P x y (m 1) m 2m 2m 1 m ( )2 ( )2 2 2 1 ( 2m ) 2 1 m P đạt GTNN 2m 2 2/ ( 2m)2 Câu 4: Bài 5: (1,0 điểm) Lop10.com (4) Cho x, y, z lµ ba sè thùc tuú ý Chøng minh: x y z yz x y 7 1 3 Ta cã: x y z yz x y x x y y.z z y y 2 4 4 2 1 x y z y 7, x, y, z : 2 A P D Q E H O C B : CEB 900 1) Từ giả thiết ta có: suy E,D nhìn B,C góc vuông,nên tứ giác : 900 CDB BEDC nội tiếp đường tròn 2) Vì tam giác HBC và HPQ đồng dạng (góc góc)nên HQ.HC=HP.HB : : : ; từ câu 1/ TA CÓ : 3) BEDC nội tiếp đường tròn suy BDE BCE BCQ : : BPQ BCQ : : Suy BDE BPQ (2 GÓC ĐỒNG VỊ SUY RA ĐPCM) 4) OP=OQ (vì bán kính đường tròn O) (1) : : (GÓC NỘI TIẾP CÙNG CHẮN CUNG ED) suy QA=PA Vậy A và EBD ECD O cách P,Q nên suy đpcm Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z lµ ba sè thùc tuú ý Chøng minh: x y z yz x y 7 1 3 Ta cã: x y z yz x y x x y y.z z y y 2 4 4 2 1 x y z y 7, x, y, z : 2 Hết -(đáp án và thang điểm Lop10.com (5) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Ngày thi: 30 tháng 06 năm 2011 Đáp án gồm: 02 trang I, HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm bài theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý 1.a Nội dung Biến đổi 5x + = 3x + 0,5 2x x = 0,5 Điều kiện: x và x 0,25 1.b Biến đổi phương trình: 4x + 2x – = 3x + 3x = x = So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm x = 0,5 0,25 Do I là giao điểm (d1) và (d2) nên toạ độ I là nghiệm hệ phương trình: 2 3 Điểm y 2x y 4 x 0,25 Giải hệ tìm I(-1; 3) 0,25 Do (d3) qua I nên ta có = (m+ 1)(-1) + 2m -1 0,25 Giải phương trình tìm m = 0,25 Khi m = ta có phương trình x2 – 4x + = 0,25 Giải phương trình x1 ; x 0,25 Tính ' m Khẳng định phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 0,25 0,25 2m Biện luận để phương trình có hai nghiệm dương m0 2m Theo giả thiết có x12 + x22 = 12 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12 0,25 0,25 4(m 1) 4m 12 m2 + m – = 0,25 Giải phương trình m = ( thoả mãn), m = -2 (loại) 0,25 Gọi kích thước hình chữ nhật là a, b (m) điều kiện a, b > 0,25 Do chu vi hình chữ nhật 52 nên ta có a + b = 26 0,25 Sau giảm chiều m thì hình chữ nhật có kích thước là a – và b – 0,25 Lop10.com (6) nên (a – 4)(b – 4) = 77 Giải hệ phương trình và kết luận các kích thước là 15 m và 11 m Hình vẽ đúng: 0,25 x E D A 0,25 H O' O B C F : Lập luận có AEB 900 0,25 : Lập luận có ADC 900 0,25 Suy bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn 0,25 : : : : Ta có AFB AFC 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy AFB AFC 1800 Suy ba điểm B, F, C thẳng hàng : : : ) và AFD : ) : : AFE ABE (cùng chắn AE (cùng chắn AD ACD 0,25 : tứ giác BCDE nội tiếp) : : Mà ECD (cùng chắn DE EBD 0,25 : : AFD Suy ra: AFE => FA là phân giác góc DFE 0,25 Chứng minh EA là phân giác tam giác DHE và suy 0,25 AH EH AD ED Chứng minh EB là phân giác ngoài tam giác DHE và suy Từ (1), (2) ta có: Từ x yz (1) BH EH BD ED 0,25 (2) 0,5 AH BH AH.BD BH.AD AD BD 0x 2 yz 2x yz (*) 0,25 0,25 Dấu “=” x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz Suy 0,25 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z ) (Áp dụng (*)) x 3x yz x ( x y z ) Tương tự ta có: y y 3y zx Từ (1), (2), (3) ta có x x 3x yz y x y z x x y z 0,25 (2), z z 3z xy x y z 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy Dấu “=” xảy x = y = z = Lop10.com (1) z x y z (3) 0,25 (7) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 05 câu trên 01 trang Câu (2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức a b + a b - b a với a 0, b 0, a b ab-b ab-a 2x + y = Giải hệ phương trình sau: x - y = 24 a) A b) B Câu (3,0 điểm): Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = (1), đó m là tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt: b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x12 + x 22 20 Cho hàm số: y = mx + (1), đó m là tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x+y+3=0 Câu (1,5 điểm): Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30 km Khi ngược trở lại từ B A người đó tăng vận tốc thêm (km/h) nên thời gia ít thời gian là 30 phút Tính vận tốc người xe đạp lúc từ A đến B Câu (2,5 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R Từ điểm A bên ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn D (D khác B) Nối AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là K Nối BK cắt AC I Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn Chứng minh : IC2 = IK.IB · Cho BAC 600 chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng Câu (1,0 điểm): x, y, z 1: 3 Cho ba số x, y, z thỏa mãn Chứng minh rằng: x + y + z 11 x + y + z HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: Lop10.com (8) câu nội dung a) A= 2 (1 2) b) B= a điểm 0,5 a b b a a ( a b ) b b( a b) ab ab ( a b ) a b = ab ( a b ) 0,5 2 x y 2 x y 2.11 y y 13 x y 24 3 x 33 x 11 x 11 Vậy hpt có nghiệm (x;y) = (11;-13) a) ' (1) 1. (m 4) m Vì m 0, m ' 0, m Vậy pt (1) luôn có nghiệm phân biệt với m 0,75 0,25 0,5 0,5 x1 x b) Áp dụng định lý Vi –ét x12 x 22 20 x1 x 2 x1 x (m 4) x1 x 20 0,5 2 2m 20 2m m 2 m= 2 a) Vì đồ thị hàm số (1) qua A(1;4) 4= m.1+1 0,5 m3 Với m = hàm số (1) có dạng y = 3x +1; vì 3>0 nên hàm số (1) 0,5 đồng biến trên R b) (d) : y = - x – m 1 1 3 Vì đồ thị hàm số (1) song song với (d) 0,5 Vậy m = -1 thì đồ thị hàm số (1) song song với (d) Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B là x (km/h, x>0) 0,25 Khi từ B A vận tốc người đó là x + (km/h) 30 ( h) x 30 ( h) thời gian từ B A là x3 thời gian từ A đến B là vì thời gian ít thời gian là 30 phút = 0,25 (h) nên ta có pt 0,25 0,25 0,25 Lop10.com (9) 30 30 x x3 60 x 180 60 x x x x x 180 720 729 x1 12(TM ) 0,25 x 15( KTM ) Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B là 12km/h B D K A O I C AB BO ( t/c tiếp tuyến) AC CO a) Ta có ABO 90 ABO ACO 90 90 180 ACO 90 Vậy tứ giác ABOC nội tiếp ( định lý đảo tứ giác nội tiếp) b) xét IKC và IC B có Ichung ; ICK IBC ( góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CK) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 IC IK IC IK IB IB IC BOC 360 ABO ACO BAC 120 c) BDC BOC 60 IKCICB ( g g ) (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung BC) Mà BD//AC (gt) C1 BDC 60 ( so le trong) ODC OCD 90 60 30 BDO CDO 30 BOD COD 120 BOD COD(c g c) BD CD Mà AB = AC (t/c 2tt cắt nhau); OB = OC = R Do đó điểm A, O, D cùng thuộc đường trung trực BC Vậy điểm A, O, D thẳng hàng Vì x, y, z 1;3 Lop10.com 0,25 0,25 (10) x ( x 1)( y 1)( z 1) y (3 x)(3 y )(3 z ) z 0,25 xyz xy yz xz x y z 27 9( x y z ) 3( xy yz xz ) xyz 2( xy yz xz ) 2 0,25 x y z 2( xy yz xz ) x y z 0,25 ( x y z) x y z 32 x y z x y z 11 Cách2:.Không giảm tính tổng quát, đặt x = max x, y, z = x + y + z 3x nên x ( x -1 ) (x - 3) (1) Lại có: x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 + 2(y +1) (z+1) = x2 + ( y + z )2 + ( y + z ) + 0,25 = x2 + ( - x )2 + ( 3- x) + = x2 8x + 17 = ( x -1 ) (x - 3) + 11 (2) Từ (1) và (2) suy x2 + y2 + z2 11 Dấu đẳng thức xảy x = max x, y, z ( x -1 ) (x - 3) = (y +1) (z+1) = x+y+z =3 Không xảy dấu đẳng thức SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút Câu a) Tìm m để đường thẳng y = (2m – 1)x + song song với đường thẳng y = 5x – 2 x y b) Giải hệ phương trình: 3x y Câu Lop10.com (11) Cho biểu thức: P với a >0 và a a a a a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị nào a thì P > Câu a) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị các hàm số: y = x2 và y = - x + b) Xác định các giá trị m để phương trình x2 – x + – m = có nghiệm x1, x2 1 1 thỏa mãn đẳng thức: x1 x2 x1 x2 Câu Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm P, Q cho P thuộc cung AQ Gọi C là giao điểm tia AP và tia BQ; H là giao điểm hai dây cung AQ và BP a) Chứng minh tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn b) Chứng minh CBP HAP c) Biết AB = 2R, tính theo R giá trị biểu thức: S = AP.AC + BQ.BC Câu Cho các số a, b, c lớn 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c Q b 5 c 5 a 5 - Hết Họ và tên thí sinh :…………………………………………Số báo danh………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2011-2012 Môn Toán Ngày thi 24 tháng năm 2011 Mã đề 02 Câu Nội dung Điểm a) Để đường thẳng y =(2m – 1)x+3 song song với đường thẳng y =5x – 0,5đ 2m – 15= (do 1 ) 0,5đ 2m m 2 x y 4 x y 10 0,5đ b) Ta có: 3x y 3x y Lop10.com (12) 7 x 14 x 2 x y y 1 0,5đ a 1 a a a a a a) Với a thì ta có: P b) Với a thì P > 1 1 a a 1 a 0,5đ 3 a 0 0 1 a 2 1 a a a Kết hợp với điều kiện a >0, ta < a < a) Hoành độ giao điểm các đồ thị hàm số y = x2 và y = - x + là nghiệm phương trình: x2 = - x+2 x2 + x – = Giải được: x1 = x2 = - Với x1 = y1 = tọa độ giao điểm A là A(1; 1) Với x2 =-2 y2 = tọa độ giao điểm B là B(-2; 4) b) Ta có : b 4ac 4(1 m) 4m Để phương trình có nghiệm x1, x2 thì ta có 4m m (*) 0,5đ b c Theo định lí Vi-et, ta có: x1 x2 và x1.x2 m a a 1 1 x1 x2 (1 m) Ta có: x1 x2 x1.x2 1 m x1 x2 x1.x2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 5 1 m 2 1 m m 2m m m m 4 m 0,25đ Kết hợp với đk (*) ta có: m = là giá trị cần tìm 0,25đ C Q P H A K O a) Ta có: :APB :AQB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) : : CPH CQH 90 Suy tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn b) CBP và HAP có: : BPC :APH 90 (suy từ a)) : : (góc nội tiếp cùng chắn cung CBP HAP B PQ : CBP HAP (g – g) c) Gọi K là giao điểm tia CH và AB Từ giả thiết suy K thuộc cạnh AB (1) ABC có AQ BC ; BP AC Suy H là trực tâm ABC CH AB K Lop10.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ (13) Từ đó suy ra: + APB AKC AP AC AK AB (2) + BQA BKC BQ.BC BK BA (3) - Cộng vế (2) và (3) và kết hợp với (1), ta được: S = AP AC + BQ BC = AB2 = 4R2 Do a, b, c > 25 (*) nên suy ra: a , b , c Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương, ta có: a b a (1) b 5 b c b (2) c 5 c a c (3) a 5 Cộng vế theo vế (1),(2) và (3), ta có: Q 5.3 15 Dấu “=” xẩy a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vậy Min Q = 15 a b c 25 Chú ý: Mọi cách giải đúng cho điểm tối đa, điểm toàn bài không quy tròn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2011 – 2012 Khóa thi: Ngày 30 tháng năm 2011 MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Baøi 1: (2,0 ñieåm) 3x y = a) Giaûi heä phöông trình 2x + y = b) Cho hàm số y = ax + b Tìm a và b biết đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng y 2x và qua điểm M 2 ; 5 Baøi 2: (2,0 ñieåm) Cho phương trình x2 m 1x m (với m là tham số ) a) Giải phương trình đã cho m 5 b) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham soá m c) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức Lop10.com (14) x12 x22 3x1x2 Baøi 3: (2,0 ñieåm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m và bình phương số đo độ dài đường chéo gấp lần số đo chu vi Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật đã cho Baøi 4: (3,0 ñieåm) Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho M không trùng với B Đường thẳng qua M cắt đường : tròn (O) đã cho N và P (N nằm M và P) cho O nằm bên PMC Goïi A là điểm chính cung nhỏ NP Các dây AB và AC cắt NP D và E a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng tỏ MB.MC = MN.MP c) OA cắt NP K Chứng minh MK2 > MB.MC x2 2x 2011 Bài 5: (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 (với x ) ……………………………… Heát …………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI 3x y = 5x 15 x 2x + y = 2x y y ∙ Baøi 1: a) Ta coù * Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x ; y 3 ; b) Gọi (d) và (d/) là đồ thị hàm số y = ax + b và y = 2x + a 2 Với a = hàm số đã cho trở thành y = 2x + b (d) b3 d // d / d ñi qua M 2 ; 5 y M 2.x M b = 2.2 + b b = (thoõa ñieàu kieän b 3) * Vaäy a = vaø b = ∙ Bài 2: a) * Khi m = 5, phương trình đã cho trở thành: x2 8x (với a = ; b = ; c = 9) (*) * Ta thaáy phöông trình (*) coù caùc heä soá thoõa maõn a b + c = ; neân nghieäm cuûa phöông trình (*) laø: c (nhaåm nghieäm theo Viet ) a * Vậy m = 5, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 1 và x2 x1 1 vaø x2 Lop10.com (15) b) Phương trình đã cho (bậc hai ẩn x) có các hệ số: a = ; b/ = m + và c = m ; nên: 19 19 m 1 m m m m 0 2 4 1 vì m + ;bình phương biểu thức thì không âm 2 / ; phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị tham số m / 2 c) Theo câu b, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m Theo hệ thức Viet, ta có: x1 x2 2 m 1 I x1 x2 m Căn (I), ta có: * Vaäy m 0 ; x12 x22 3x1x2 x1 x2 m0 x1.x2 4m 9m m 9 9 2 thì phương trình đã cho có nghiệm x1 , x2 thõa hệ thức x1 x2 3x1x2 4 ∙ Bài 3: * Gọi x(m) là độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đã cho (Điều kiện x > 0) Khi đó: Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật đã cho là: x + (m) Chu vi mảnh đất hình chữ nhật này là: 4x + 12 (m) Theo Pytago, bình phương độ dài đường chéo hình chữ nhật là: x2 + (x + 6)2 Do bình phương số đo độ dài đường chéo gấp lần số đo chu vi nên ta có phương trình: x2 x 4x 12 x2 4x 12 (*) * Giải phương trình (*) công thức nghiệm đã biết ta được: x1 2 loại và x2 thõa điều kiện x > ∙ Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đã cho là 6m ; chiều dài mảnh đất này là 12 m; đó diện tích mảnh đất hình chữ nhật đã cho là 72 m2 ∙ Baøi 4: a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Theo tính chất góc có đỉnh bên đường tròn (O), ta coù: : sñPC : sñAN : AEN : : sñAP sñPC : AP : (gt) = vì AN : sñAPC = : : : = ABC vì ABC laø goùc noäi tieáp cuûa (O) chaén APC A P E : : AEN DBC : : Maø AEN DEC 180 hai goùc keà buø N M : : Neân DBC DEC 180 Tứ giác BDEC nội tiếp (theo định lý đảo tứ giác nội tiếp) Lop10.com D B K O C (16) b) Chứng tỏ MB.MC = MN.MP Xeùt MBP vaø MNC , coù: : PMC : Goùc chung : : MPB MCN hai goùc noäi tieáp cuûa (O) cuøng chaén cung nhoû NB Suy MBP ∽ MNC (g – g) MB MP MB.MC = MN.MP MN MC c) Chứng minh MK2 > MB.MC * Vì A là điểm chính cung nhỏ NP (gt) suy OA NP K (đường kính qua điểm chính cung thì vuông góc với dây căng cung đó ) Suy K là trung điểm dây NP (đường kính vuông góc dây thì qua trung điểm dây đó) Suy NP = 2.NK MB.MC = MN.MP (theo caâu b), suy ra: MB.MC = MN(MN + NP) = MN(MN + 2.NK) = MN2 + 2.MN.NK (1) MK2 = (MN + NK)2 = MN2 + 2.MN.NK + NK2 > MN2 + 2.MN.NK ( NK2 > ) (2) Từ (1) và (2): MK2 > MB.MC ∙ Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = * Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8) A= x2 2x 2011 (với x ) x2 x2 2x 2011 với x x2 1 1 = 2011 = 2011.t 2t + (với t = 0) x x x 1 = 2011 t t 1 2 2011 2011 2011 2010 2010 = 2011 t x 2011 ; thoõa x daáu"=" t = 2011 2011 2011 2011 2010 x = 2011 * Vaäy MinA = 2011 * Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9) x2 2x 2011 A= với x x2 A.x2 x2 2x 2011 A 1x2 2x 2011 * coi ñaây laø phöông trình aån x 2011 (1) Nếu A thì (*) luôn là phương trình bậc hai ẩn x Từ (*): A = A = x = x toàn taïi phöông trình (*) coù nghieäm Lop10.com (17) / 12 2011A 1 2010 b/ 1 1 A 2011 ; thoõa x (2) daáu "=" (*) coù nghieäm keùp x = 2011 a A 2010 2011 So saùnh (1) vaø (2) thì khoâng phaûi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A maø: * MinA = 2010 x = 2011 2011 ……………………………… Heát…………………………… Lop10.com (18) sở giáo dục và đào tạo L¹ng s¬n đề chính thức K× THI TUYÓN SINH líp 10 THPT N¨M häc 2011 - 2012 M¤N THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề Câu (2 điểm): a Tính giá trij các biểu thức: A = 25 ; B = ( 1)2 b Rút gọn biểu thức: P = x y xy x y : x y Với x>0, y>0 và x y Tính giá trị biểu thức P x = 2012 và y = 2011 Câu ((2điểm): Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ, đồ thị các hàm số y = x2 và y = 3x – Tính tọa độ các giao điểm hai đồ thì trên Câu (2 điểm): a Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật, biết chiều dài chiều rộng m và độ dài đường chéo hình chữ nhật là m b Tìm m để phương trinh x - x + m = có hai nghiệm phân biệt Câu (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm) a Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp Nêu cách vẽ các tiếp tuyến AB, AC b BD là đường kính đường tròn (O; R) Chứng minh: CD//AO c Cho AO = 2R, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, đó S(n) là tổng các chữ số n …………………… …………… ……….Hết………………………….……………… Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh…………………………………………… SBD……………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2 điểm): a Tính giá trij các biểu thức: A = 25 = + = ; B = ( 1)2 = ( 1) 1 Lop10.com (19) b Rút gọn biểu thức: P = P= x y xy x y : x y x y xy x y ( x y )2 x y : x y Với x>0, y>0 và x y ( x y ) ( x y )( x y ) x y x = 2012 và y = 2011 => P = Câu ((2điểm): Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ, đồ thị các hàm số y = x2 và y = 3x – Tính tọa độ các giao điểm hai đồ thì trên a) Vẽ đồ thị trên cùng hệ trục x -2 -1 2 y=x 1 Vẽ y = 3x-2 Cho x = => y =-2 ; Cho x = 1=> y = HS tự vẽ Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x2 và y = 3x – là nghiệm phương trình: x2 = 3x - x2 - 3x + = ta có a + b + c = => x1 = => y1 = x2 = => y2 = Vậy tọa độ các giao điểm hai đồ thì trên là (1; 1) và (2; 4) Câu (2 điểm): a Gọi chiều dài là x (m) (ĐK: x > 1), chiều rộng là x – (m) Vì độ dài đường chéo hình chữ nhật là m Áp dụng Pytago ta có: x2 + (x - 1)2 = 52 x2 + x2 - 2x +1 – 25 = 2x2 – 2x – 24 = x2 - x – 12 = x1 = (TM) x2 = - (loại) Vậy chiều dài là 4m, chiều rộng là 3m b Tìm m để phương trinh x - x + m = (1) có hai nghiệm phân biệt Đặt x = t (ĐK: t 0) (1) t2 – 2t + m = (2) Để pt (1) có nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm dương ' m pt (2) có hai nghiệm dương x1 x m x x m B Vậy với m pt (1) có nghiệm phân biệt Câu (2 điểm) : a Ta có ABO 900 (T/c là tia tiếp tuyến) : A ACO 900 (T/c tia tiếp tuyến) : : => ABO ACO 180 Vậy ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO - Vẽ đường tròn đường kính OA, đường tròn này cắt (O) B và C Lop10.com I H C O D (20) - Nối AB ; AC ta có hai tiếp tuyến cần vẽ b Gọi H là giao điểm BC và OA Xét ABC có AB = AC => ABC cân A Do đó AH đồng thời vừa là đường phân giác, đường cao, đường trung trực ABC => HB = HC Xét BCD có HB = HC (CM trên) OB = OC (=R) OH là đường trung bình BCD CD//OH hay CD//AO c ABC là tam giác cân =>OH = R/2 gọi I là giao điểm OA và (O ; R) OA = 2R nên I là trung điểm OA, mà AI/AH = 2/3 nên I là trọng tâm tam giác ABC và là tâm đường tròn nội tiếp ABC , bán kính đường tròn nội tiếp r = IH = R/2 Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, đó S(n) là tổng các chữ số n Nếu n có 1, 2, chữ số thì n + S(n) < 1000 + + + < 2011 n có chữ số trở lên thì n + S(n) > 10000 > 2011 Vậy n có chữ số : n abcd n < 2011 nên a = a = TH1: a = ta có b c thì n + S(n) > 2011 VL Nên b = và c = đó : 200d d 2011 Vô lý vì VT chẵn còn VP lẻ TH2: a = 1, b < thì n + S(n) < 1900 + 1+ 3.9 < 2011 Nên b = 9, đó : (1900 + 10c + d) + + + c + d = 2011 Hay 11c + 2d = 101 d nên 101 = 11c + 2d 11c + 18 83 c nên c = c = 11 c = thì 11.8 + 2d = 101 d = 13/2 vô lý c = d = thử lại : 1991 + + + + = 2011 thoả mãn Vậy n = 2011 Lop10.com (21)