K2pi.Net.Vn—doidieutanman_ptnam

Bài toán ch ứ ng minh xong.[r]

(1)

đôi ựiều tản mạn bất ựẳng thức

Jack Garfulkel

Phan Thành Nam

April 26,2009

Biên tập :Vũ Thanh Tú

(2)

ð

ơi

đ

i

ề

u t

ả

n m

ạ

n v

ề

b

ấ

t

ñẳ

ng th

ứ

c

(B

ð

T) Jack Garfulkel

Phan Thành Nam

L

ờ

i t

ự

a

tượng mạnh với tơi bất đẳng thức tuyệt diệu nhất: đẹp, khó đầy bí ẩn

Vậy mà, sau vài năm, bất ñẳng thức ñã khơng cịn gây "khó dễ" với

nhiều người Bây nhìn lại điều đáng mừng thấy bất ngờ

Tuy nhiên, với tơi bất ñẳng thức thực sựñáng nhớ Vẫn cịn vẻđẹp giản

dị khiết dù độ khó giảm nhiều; cịn băn khoăn, trăn trở ñứng trước vấn ñề hóc búa; cịn niềm vui nhẹ nhàng mà sâu lắng

những tìm tịi khám phá nhỏ

Tơi xin chép đơi ñiều tản mạn vài bất ñẳng thức Jack Garfulkel, gồm

một số suy nghĩ tơi cịn học phổ thơng, số tơi tham gia diễn đàn

Ph

ầ

n 1.T

ừ

m

ộ

t l

ờ

i gi

ả

i “kì l

ạ

”

Xin bắt đầu toán quen thuộc Jack Garfulkel Bài toán 1. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

sin( ) sin( ) sin( ) 4(1 sin( ).sin( ).sin( ))

2 2 2

A B C A B C

+ + ≥ +

Ta kí hiệu

Khi A, B, C góc tam giác ta có x, y, z > (*)

Khi đó, Bài tốn viết lại thành

Bài toán 1a Cho thỏa

CMR:

Ta chứng minh kết mạnh hơn:

Bài toán 1b Cho thỏa

CMR:

(3)

(1)

Mặt khác, dễ thấy: nên

Cụ thể hơn, xét hiệu

Ta có: , ,

suy ra:

(2) Cộng (1) (2) vế theo vế, ta có đpcm

Cách thay yếu tố lượng giác biến thực x, y, z kèm ñiều kiện

tạm gọi “đại số hóa lượng giác” (ngược với cách

làm thơng thường lượng giác hóa đại số) Chúng ta có lời giải đại số kiểu

vậy cho hai toán sau, Jack Garfulkel (thật Bài tốn yếu - tức có

thể xem hệ quả- Bài toán 1) Lời giải chi tiết xin dành cho bạn

Bài toán 2. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

cos( ) cos( ) cos( ) (1 cos( ).cos( ).cos ))

2 2 2

A B C A B C

+ + ≥ +

Bài toán Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Như thấy, lời giải "kì lạ" tốn 1.b nói thật chẳng kì lạ

chút Lời giải chẳng qua viết lại dạng ñại số lời giải dựa biến ñổi

lượng giác ñã ñăng THTT 12/2001, có điều lời giải lượng giác cần điều kiện

, lời giải đại số bất ngờ điều kiện Cịn viết

biến ñổi lượng giác dạng ñại số ta sẽñề cập sau ñây

Ph

ầ

n 2.T

ớ

i m

ộ

t tốn Olympic

Chúng ta có ví dụ khác, ñược trình bày cụ thể hơn, cho mối liên hệ cách làm ñại

số lượng giác Sau ñây toán ñề dự tuyển IMO 1995

(4)

trong a, b, c số thực dương cho trước

Nhận xét ñặt

, ,

2 2

a b c yz zx xy

α = β = γ =

thì hệđã cho trở thành

2 2

2 2 (1)

2 1(2)

x y z xyα yzβ zxγ

α β γ αβγ  + + = + +   + + + = 

Hệ thuộc loại "khơng mẫu mực" có tới ẩn có phương trình,

thực chất tốn cực trị Cụ thể hơn, ta thấy ñặt

với A, B, C góc tam giác, "cốt lõi" tốn BDT quen thuộc:

(*) Tới đây, có lẽ bạn thấy rõ lời giải toán

Bây giờ, ta khái quát lại toán thành

Bài toán 2. Cho số thực không âm a, b, c, x, y, z thỏa mãn

CMR:

ðây toán hay Tất nhiên dùng lượng giác hóa phân tích

trên để giải, từđẳng thức (2) ta cịn hi vọng có lời giải khác cho

bằng ñại số

Trước hết, thử nhìn BDT (*) quan điểm đại số

Bài toán 3. Cho thỏa , số thực a,b,c

CMR:

Chứng minh.

Xuất phát từ lời giải lượng giác

ta thay cho ñể thu ñược biến ñổi

=

2 2 2

[ ( ) ( ) ] [(1 ) (1 ) ] ( )

( ) ( 1 ) ( (1 )(1 ) )

a a c b c b b c bc a b c b c bc

β γ β γ γ β α βγ

γ β γ β β γ α βγ

− + + + + − + − − +

(5)

Bài toán 3 chứng minh xong

Bây ta áp dụng biến ñổi vào toán

Giả sử ,

khi ñó a, b, c ñều dương

Với , ,

2 2

x y z bc ca ab

α = β = γ =

Sử dụng phép biến ñổi chứng minh Bài tốn 3, ta có

2 2 2

( a bγ cβ) ( γ b β c) bc( (1 β )(1 γ ) α βγ)

⇔ − − + − + − + − − − − >

Từđó, ta có lời giải ngắn gọn cho Bài tốn 2 sau

Lời giải toán

Tất nhiên ta cần xét Khi ta có

2 2 2

4ax 2yz (2a y z) (4ab z ) (4ac y ) (4ab z )(4ac y )

⇒ + ≥ − − + − + − ≥ − −

Suy ñpcm

ðối với tơi, lời giải thật sựấn tượng Nó kết “chu trình”:

chuyển từđại số qua lượng giác, chuyển ngược trở lại ñại số Tuy nhiên, khơng

hẳn đường để có lời giải Trước đây, có lần tơi đưa tốn lên

diễn ñàn toán học nhận ñược lời giải giống mặt ý tưởng (chỉ dùng BDT

Cauchy) bạn Trần Quốc Hồn (K09) kỉ niệm thú vị

Cuối cùng, xin nêu tốn để bạn suy nghĩ

Bài tốn 4. Cho tứ diện vng O.ABC Giả sử góc nhị diện cạnh BC, CA,

AB CMR

2( )

tgα+tgβ +tgγ ≥tg tgα βtgγ + cotgα cotgβcotgγ ≥ cotgα+cotgβ+cotgγ

Ph

ầ

n 3.Vài v

ấ

n

ñề

v

ớ

i

ñườ

ng trung tuy

ế

n

Sau ñây bất ñẳng thức ñẹp khác của Jack Garfulkel: Bài toán 1.

(6)

ñường cao, nửa chu vi tam giác

Cách gần 10 năm tốn khó Một lời giải ñầu tiên

cho chứng minh BDT mạnh

với c cạnh lớn cạnh tam giác Chứng minh dựa bổñề

(*)

Bổñề ñược ñề xuất chứng minh dựa theo ý tưởng hình học (áp dụng BDT

Ptoleme cho tứ giác lồi) Tuy nhiên, ta chứng minh trực tiếp dựa biểu diễn

tường minh ñường trung tuyến

với a=y+z,b=z+x,c=x+y p=x+y+z Chúng ta trở lại Bổñề sau

Trong viết THTT, anh Phạm Gia Vĩnh Anhñã ñưa chứng minh

kết mạnh

Bài toán 2.

Hơn nữa, ñây chứng minh ngắn gọn BDT Cauchy (dựa biểu diễn

ñánh giá quen thuộc )

ðối với tốn 2, ta chứng minh ngắn gọn nhờ BDT Bunhiacopski

Lời giải sau ñây dựa theo ý bạn Phùng Trọng Thực

Lời giải tốn 2.ðểđơn giản, ta cho p=1 Ta có

Kết quảở tốn chặt, biết, bất đẳng thức sau khơng Cũng viết mình, anh Vĩnh Anhđã đưa

BDT sau nhằm “bù đắp” cho khơng BDT

Tuy nhiên, số k=1/4 tốt Thực ta có

Bài tốn 3. Chứng minh tam giác

với

(7)

khó Tuy nhiên, giờđây có lẽ lời giải toán nằm khả bạn

Một hướng khác ñể “bù ñắp” cho BDT khơng

là sau Ta viết lại BDT thành

Từđó xuất câu hỏi giảm hệ số k=1/4 cơng thức ñường trung tuyến ñể

BDT trở thành ñúng Một câu trả lời k=1/12

Bài toán 4. (VMEO I, 1) Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng CMR

Bài tốn đặt dựa hướng tiếp cận ban đầu cho tốn Jackgarfulkel Từ

bổđề (*) ta khái qt thành

Bổđề A. Cho số thực a, b, u, v thức có nghĩa Khi điều sau

là tương ñương

(i)

(ii)

(ñiều kết luận ñúng ta thay dấu thành )

ðể chứng minh bổñề ta việc liên tục bình phương đơn giản vế

Chứng minh tốn 4.

Áp dụng bổđề A với , ta thu ñược

Cùng với BDT tương tự ta có đpcm

Mặt dù số k=1/12 dẫn tới biến ñổi ñại số đẹp lời giải trên, khơng phải

là số tốt Cũng nhưñối với Bài tốn 3, trước chí tìm số tốt

nhất tốn khó, giải khơng phải điều q

khó Cụ thể, kimluan tìm kết sau dồn biến

Bài toán 5. Cho số thực khơng âm a, b, c có tổng Chứng minh

với

Chú ý tốn số tốt đẳng thức xảy

a=b=c=1/3 a=1,b=c=0 hốn vị Một điều thú vị là số tốt

(8)

Khi đổi dấu BDT Bài tốn 5 ta tốn sau (đẳng thức ñạt ñược

tại chỗ), mà lời giải – ñơn giản – xin ñược dành lại cho bạn

Bài toán 6. Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng CMR

Ph

ầ

n 4

M

ộ

t d

ạ

ng BDT ch

ứ

a c

ă

n

Bổñề A cho ta tiêu chuẩn dễ kiểm tra BDT “khơng tầm

thường” sau

và từđó dẫn tới nhiều toán thú vị Bây xuất câu hỏi liệu có kết

quả nào, tương tự Bổñề A, ñể áp dụng cho nhiều biến khơng? Nói riêng,

trường hợp số, liệu có tiêu chuẩn (tương đối dễ kiểm tra) áp ñặt lên số

a, b, c, x, y, z cho ta có

Ởđây thay Tuy nhiên, tiêu chuẩn tổng quát chưa tìm ra,

các BDT dạng tốn khó, gần lại cần cách giải

riêng Chẳng hạn, ta thấy BDT nói mục trước nằm dạng tổng quát này: với

a, b, c khơng âm, a+b+c=1

với ,

Sau ñây số ví dụ khác cho BDT dạng

Bài toán 1. Cho số khơng âm x, y, z có tổng CMR:

Nhận xét BDT có dạng

,

ðồng thời ñẳng thức xảy x=y=z=1/3 x=1,y=z=0

Chứng minh toán 1.

Ta quan sát mối tương quan biểu thức

(9)

và

Vậy: , với

Ta có bổđềđơn giản sau cho phép hốn vị biểu thức dấu

Bổñề. Cho số không âm a, b, c, d thỏa mãn a+b=c+d Thì

Trở lại tốn, giả sử c=min(a,b,c) Ta kiểm tra Ta có:

và

Vì x-z x(y-z) khơng âm nên ta có đpcm

Từđó, áp dụng bổđề ta có:

Và suy

Bài tốn chứng minh xong!

Bài toán 2. (VMEO III, 8) Cho x, y, z số thực không âm có tổng

Chứng minh rằng: Chứng minh.

Nhận xét dấu "=" xảy x=y=z x=1,y=z=0 (cùng hoán vị) Ta giải

bài cách hốn đổi biểu thức dấu Ta có bổđề sau

Bổđề. Cho só thực A, B, C, D thỏa mãn:

Khi đó:

Chứng minh đơn giản xin dành lại cho bạn

Trở lại toán, ta đặt

Nếu có, chẳng hạn, , , nên

ta có đpcm

Do ñó, từ trởñi ta cần xét , , Vì BDT ban đầu có dạng hốn vị vịng quanh nên ta giả sử Khi ñó ta cần

xét trường hợp

(10)

và

nên áp dụng Bổñề ta có:

(2), với

Lại có:

nên áp dụng Bổđề ta có:

(3) Từ (2) (3) ta có đpcm

*Trường hợp Xét Ta có

và

(4), với

Lại có

(5) Từ (4) (5) ta có đpcm

Bài toán chứng minh xong!

Cũng xuất phát từ dạng BDT trên, ta có tốn sau

Bài toán

Cho , Chứng minh

Nhận xét BDT viết dạng

Trong lời giải ñầu tiên cho tốn trên, tơi sử dụng Bổđề A để suy phải có BDT

kiểu sau (hốn vị (x,y,z) cần)

(11)

ñể thực việc dồn

Tuy nhiên, toán đưa lên diễn đàn tốn học thầy namdung ñã ñề xuất

một Bổñề khác cho phép chứng minh gọn nhiều

Chứng minh toán

Trước hết ta có Bổđề sau, chứng minh ñơn giản cách bình phương vế

Bổñề Cho số thực a, b, u, v cho thức có nghĩa Khi

Trở lại toán Trong số , , phải có số dấu (tức tích

của chúng ), ta giả sử Khi đó, áp dụng Bổđề, ta có

Ta có

Nếu , cịn thì:

Bài tốn chứng minh xong

Bài tốn ñược kimluan làm mạnh thành kết sau ñây

Bài toán 4. Cho x+y+z=0 CMR

ðẳng thức xảy x = y = z = x =0,y =1,z = -1 ðây BDT ñẹp ấn tượng

nhưng chưa có lời giải đơn giản cho

Dạng BDT xuất phát từ Bổđề A mở rộng cho nhiều số Sau

ví dụ cho trường hợp số

(12)

ðây tốn khó Lưu ý BDT viết dạng

Chứng minh tốn 5.

*Trước hết, để có cảm giác toán, ta xét trường hợp riêng: cho x=z, y=t

Khi đó, với điều kiện , ta cần chứng minh

ðể ý , áp dụng Bổđề A BDT

tương đương với ðiều

*Trở lại tốn tổng qt, ta tìm cách quy trường hợp số Ta hi vọng có BDT

dạng

2 2

1−yz+z + 1−tx+x ≥ 1−xy+x + 1−zt+z (*)

2 2

( 1 ) ( 1 )

( ) ( )

0

1 1

( )

1 1

yz z zt z tx x xy x

z t y x y t

yz z zt z tx x xy x

z x

t y

yz z zt z tx x xy x

⇔ − + − − + + − + + − + ≥ − − ⇔ + ≥ − + + − + − + + − +     ⇔ −  − ≥ − + + − + − + + − +  

Bằng tính tốn cụ thể, ta chứng minh ñược thừa số thứ biểu thức vế trái dấu

với z-x

Do BDT (*) tương ñương với (**) ðiều thú vị cách hốn vị

ta giả sử có điều Thật vậy, BDT ởđề khơng ñổi ta làm việc với

4 số (y,z, t, x), với số BDT (**) trở thành (***) Vì (**)

và (***) phải có đúng, nên ta gỉ sử (**) Khi (*)

Sử dụng (*) trường hợp số, ta có

(13)

Bài toán chứng minh xong ðẳng thức xảy x = y = z = t x = z,y = t,xy =1

Dưới ñây hai toán khác, dạng này, mà lời giải xin ñược dành lại cho

bạn

Bài toán Cho số thực thỏa mãn x+y+z=0 CMR

Bài toán Cho số thực thỏa mãn CMR

- Hết -

‘’Ni

ề

m vui sáng t

ạ

o c

ả

m h

ứ

ng cho theo

ñ

u

ổ

i ý