Bài toán ch ứ ng minh xong.[r]
(1)đôi ựiều tản mạn bất ựẳng thức Jack Garfulkel
Phan Thành Nam
April 26,2009
Biên tập :Vũ Thanh Tú
(2)ðơi điều tản mạn về bất ñẳng thức
(BðT) Jack Garfulkel
Phan Thành Nam Lời tựa Khi tơi cịn học sinh, BðT hình học Jack Garfulkel gây ấn
tượng mạnh với tơi bất đẳng thức tuyệt diệu nhất: đẹp, khó đầy bí ẩn
Vậy mà, sau vài năm, bất ñẳng thức ñã khơng cịn gây "khó dễ" với
nhiều người Bây nhìn lại điều đáng mừng thấy bất ngờ
Tuy nhiên, với tơi bất ñẳng thức thực sựñáng nhớ Vẫn cịn vẻđẹp giản
dị khiết dù độ khó giảm nhiều; cịn băn khoăn, trăn trở ñứng trước vấn ñề hóc búa; cịn niềm vui nhẹ nhàng mà sâu lắng
những tìm tịi khám phá nhỏ
Tơi xin chép đơi ñiều tản mạn vài bất ñẳng thức Jack Garfulkel, gồm
một số suy nghĩ tơi cịn học phổ thơng, số tơi tham gia diễn đàn
Phần 1.Từ một lời giải “kì lạ”
Xin bắt đầu toán quen thuộc Jack Garfulkel Bài toán 1. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
sin( ) sin( ) sin( ) 4(1 sin( ).sin( ).sin( ))
2 2 2
A B C A B C
+ + ≥ +
Ta kí hiệu
Khi A, B, C góc tam giác ta có x, y, z > (*)
Khi đó, Bài tốn viết lại thành
Bài toán 1a Cho thỏa
CMR:
Ta chứng minh kết mạnh hơn:
Bài toán 1b Cho thỏa
CMR:
(3)(1)
Mặt khác, dễ thấy: nên
Cụ thể hơn, xét hiệu
Ta có: , ,
suy ra:
(2) Cộng (1) (2) vế theo vế, ta có đpcm
Cách thay yếu tố lượng giác biến thực x, y, z kèm ñiều kiện
tạm gọi “đại số hóa lượng giác” (ngược với cách
làm thơng thường lượng giác hóa đại số) Chúng ta có lời giải đại số kiểu
vậy cho hai toán sau, Jack Garfulkel (thật Bài tốn yếu - tức có
thể xem hệ quả- Bài toán 1) Lời giải chi tiết xin dành cho bạn
Bài toán 2. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
cos( ) cos( ) cos( ) (1 cos( ).cos( ).cos ))
2 2 2
A B C A B C
+ + ≥ +
Bài toán Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
Như thấy, lời giải "kì lạ" tốn 1.b nói thật chẳng kì lạ
chút Lời giải chẳng qua viết lại dạng ñại số lời giải dựa biến ñổi
lượng giác ñã ñăng THTT 12/2001, có điều lời giải lượng giác cần điều kiện
, lời giải đại số bất ngờ điều kiện Cịn viết
biến ñổi lượng giác dạng ñại số ta sẽñề cập sau ñây
Phần 2.Tới một tốn Olympic
Chúng ta có ví dụ khác, ñược trình bày cụ thể hơn, cho mối liên hệ cách làm ñại
số lượng giác Sau ñây toán ñề dự tuyển IMO 1995
(4)trong a, b, c số thực dương cho trước
Nhận xét ñặt
, ,
2 2
a b c yz zx xy
α = β = γ =
thì hệđã cho trở thành
2 2
2 2 (1)
2 1(2)
x y z xyα yzβ zxγ
α β γ αβγ + + = + + + + + =
Hệ thuộc loại "khơng mẫu mực" có tới ẩn có phương trình,
thực chất tốn cực trị Cụ thể hơn, ta thấy ñặt
với A, B, C góc tam giác, "cốt lõi" tốn BDT quen thuộc:
(*) Tới đây, có lẽ bạn thấy rõ lời giải toán
Bây giờ, ta khái quát lại toán thành
Bài toán 2. Cho số thực không âm a, b, c, x, y, z thỏa mãn
CMR:
ðây toán hay Tất nhiên dùng lượng giác hóa phân tích
trên để giải, từđẳng thức (2) ta cịn hi vọng có lời giải khác cho
bằng ñại số
Trước hết, thử nhìn BDT (*) quan điểm đại số
Bài toán 3. Cho thỏa , số thực a,b,c
CMR:
Chứng minh.
Xuất phát từ lời giải lượng giác
ta thay cho ñể thu ñược biến ñổi
=
2 2 2
2 2 2
[ ( ) ( ) ] [(1 ) (1 ) ] ( )
( ) ( 1 ) ( (1 )(1 ) )
a a c b c b b c bc a b c b c bc
β γ β γ γ β α βγ
γ β γ β β γ α βγ
− + + + + − + − − +
(5)Bài toán 3 chứng minh xong
Bây ta áp dụng biến ñổi vào toán
Giả sử ,
khi ñó a, b, c ñều dương
Với , ,
2 2
x y z bc ca ab
α = β = γ =
Sử dụng phép biến ñổi chứng minh Bài tốn 3, ta có
2 2 2
( a bγ cβ) ( γ b β c) bc( (1 β )(1 γ ) α βγ)
⇔ − − + − + − + − − − − >
Từđó, ta có lời giải ngắn gọn cho Bài tốn 2 sau
Lời giải toán
Tất nhiên ta cần xét Khi ta có
2 2 2
4ax 2yz (2a y z) (4ab z ) (4ac y ) (4ab z )(4ac y )
⇒ + ≥ − − + − + − ≥ − −
Suy ñpcm
ðối với tơi, lời giải thật sựấn tượng Nó kết “chu trình”:
chuyển từđại số qua lượng giác, chuyển ngược trở lại ñại số Tuy nhiên, khơng
hẳn đường để có lời giải Trước đây, có lần tơi đưa tốn lên
diễn ñàn toán học nhận ñược lời giải giống mặt ý tưởng (chỉ dùng BDT
Cauchy) bạn Trần Quốc Hồn (K09) kỉ niệm thú vị
Cuối cùng, xin nêu tốn để bạn suy nghĩ
Bài tốn 4. Cho tứ diện vng O.ABC Giả sử góc nhị diện cạnh BC, CA,
AB CMR
2( )
tgα+tgβ +tgγ ≥tg tgα βtgγ + cotgα cotgβcotgγ ≥ cotgα+cotgβ+cotgγ
Phần 3.Vài vấn ñề với ñường trung tuyến
Sau ñây bất ñẳng thức ñẹp khác của Jack Garfulkel: Bài toán 1.
(6)ñường cao, nửa chu vi tam giác
Cách gần 10 năm tốn khó Một lời giải ñầu tiên
cho chứng minh BDT mạnh
với c cạnh lớn cạnh tam giác Chứng minh dựa bổñề
(*)
Bổñề ñược ñề xuất chứng minh dựa theo ý tưởng hình học (áp dụng BDT
Ptoleme cho tứ giác lồi) Tuy nhiên, ta chứng minh trực tiếp dựa biểu diễn
tường minh ñường trung tuyến
với a=y+z,b=z+x,c=x+y p=x+y+z Chúng ta trở lại Bổñề sau
Trong viết THTT, anh Phạm Gia Vĩnh Anhñã ñưa chứng minh
kết mạnh
Bài toán 2.
Hơn nữa, ñây chứng minh ngắn gọn BDT Cauchy (dựa biểu diễn
ñánh giá quen thuộc )
ðối với tốn 2, ta chứng minh ngắn gọn nhờ BDT Bunhiacopski
Lời giải sau ñây dựa theo ý bạn Phùng Trọng Thực
Lời giải tốn 2.ðểđơn giản, ta cho p=1 Ta có
Kết quảở tốn chặt, biết, bất đẳng thức sau khơng Cũng viết mình, anh Vĩnh Anhđã đưa
BDT sau nhằm “bù đắp” cho khơng BDT
Tuy nhiên, số k=1/4 tốt Thực ta có
Bài tốn 3. Chứng minh tam giác
với
(7)khó Tuy nhiên, giờđây có lẽ lời giải toán nằm khả bạn
Một hướng khác ñể “bù ñắp” cho BDT khơng
là sau Ta viết lại BDT thành
Từđó xuất câu hỏi giảm hệ số k=1/4 cơng thức ñường trung tuyến ñể
BDT trở thành ñúng Một câu trả lời k=1/12
Bài toán 4. (VMEO I, 1) Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng CMR
Bài tốn đặt dựa hướng tiếp cận ban đầu cho tốn Jackgarfulkel Từ
bổđề (*) ta khái qt thành
Bổđề A. Cho số thực a, b, u, v thức có nghĩa Khi điều sau
là tương ñương
(i)
(ii)
(ñiều kết luận ñúng ta thay dấu thành )
ðể chứng minh bổñề ta việc liên tục bình phương đơn giản vế
Chứng minh tốn 4.
Áp dụng bổđề A với , ta thu ñược
Cùng với BDT tương tự ta có đpcm
Mặt dù số k=1/12 dẫn tới biến ñổi ñại số đẹp lời giải trên, khơng phải
là số tốt Cũng nhưñối với Bài tốn 3, trước chí tìm số tốt
nhất tốn khó, giải khơng phải điều q
khó Cụ thể, kimluan tìm kết sau dồn biến
Bài toán 5. Cho số thực khơng âm a, b, c có tổng Chứng minh
với
Chú ý tốn số tốt đẳng thức xảy
a=b=c=1/3 a=1,b=c=0 hốn vị Một điều thú vị là số tốt
(8)Khi đổi dấu BDT Bài tốn 5 ta tốn sau (đẳng thức ñạt ñược
tại chỗ), mà lời giải – ñơn giản – xin ñược dành lại cho bạn
Bài toán 6. Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng CMR
Phần 4.Một dạng BDT chứa căn
Bổñề A cho ta tiêu chuẩn dễ kiểm tra BDT “khơng tầm
thường” sau
và từđó dẫn tới nhiều toán thú vị Bây xuất câu hỏi liệu có kết
quả nào, tương tự Bổñề A, ñể áp dụng cho nhiều biến khơng? Nói riêng,
trường hợp số, liệu có tiêu chuẩn (tương đối dễ kiểm tra) áp ñặt lên số
a, b, c, x, y, z cho ta có
Ởđây thay Tuy nhiên, tiêu chuẩn tổng quát chưa tìm ra,
các BDT dạng tốn khó, gần lại cần cách giải
riêng Chẳng hạn, ta thấy BDT nói mục trước nằm dạng tổng quát này: với
a, b, c khơng âm, a+b+c=1
với ,
Sau ñây số ví dụ khác cho BDT dạng
Bài toán 1. Cho số khơng âm x, y, z có tổng CMR:
Nhận xét BDT có dạng
,
ðồng thời ñẳng thức xảy x=y=z=1/3 x=1,y=z=0
Chứng minh toán 1.
Ta quan sát mối tương quan biểu thức
(9)và
Vậy: , với
Ta có bổđềđơn giản sau cho phép hốn vị biểu thức dấu
Bổñề. Cho số không âm a, b, c, d thỏa mãn a+b=c+d Thì
Trở lại tốn, giả sử c=min(a,b,c) Ta kiểm tra Ta có:
và
Vì x-z x(y-z) khơng âm nên ta có đpcm
Từđó, áp dụng bổđề ta có:
Và suy
Bài tốn chứng minh xong!
Bài toán 2. (VMEO III, 8) Cho x, y, z số thực không âm có tổng
Chứng minh rằng: Chứng minh.
Nhận xét dấu "=" xảy x=y=z x=1,y=z=0 (cùng hoán vị) Ta giải
bài cách hốn đổi biểu thức dấu Ta có bổđề sau
Bổđề. Cho só thực A, B, C, D thỏa mãn:
Khi đó:
Chứng minh đơn giản xin dành lại cho bạn
Trở lại toán, ta đặt
Nếu có, chẳng hạn, , , nên
ta có đpcm
Do ñó, từ trởñi ta cần xét , , Vì BDT ban đầu có dạng hốn vị vịng quanh nên ta giả sử Khi ñó ta cần
xét trường hợp
(10)và
nên áp dụng Bổñề ta có:
(2), với
Lại có:
nên áp dụng Bổđề ta có:
(3) Từ (2) (3) ta có đpcm
*Trường hợp Xét Ta có
và
nên áp dụng Bổđề ta có:
(4), với
Lại có
nên áp dụng Bổđề ta có:
(5) Từ (4) (5) ta có đpcm
Bài toán chứng minh xong!
Cũng xuất phát từ dạng BDT trên, ta có tốn sau
Bài toán
Cho , Chứng minh
Nhận xét BDT viết dạng
Trong lời giải ñầu tiên cho tốn trên, tơi sử dụng Bổđề A để suy phải có BDT
kiểu sau (hốn vị (x,y,z) cần)
(11)ñể thực việc dồn
Tuy nhiên, toán đưa lên diễn đàn tốn học thầy namdung ñã ñề xuất
một Bổñề khác cho phép chứng minh gọn nhiều
Chứng minh toán
Trước hết ta có Bổđề sau, chứng minh ñơn giản cách bình phương vế
Bổñề Cho số thực a, b, u, v cho thức có nghĩa Khi
Trở lại toán Trong số , , phải có số dấu (tức tích
của chúng ), ta giả sử Khi đó, áp dụng Bổđề, ta có
Ta có
Nếu , cịn thì:
Bài tốn chứng minh xong
Bài tốn ñược kimluan làm mạnh thành kết sau ñây
Bài toán 4. Cho x+y+z=0 CMR
ðẳng thức xảy x = y = z = x =0,y =1,z = -1 ðây BDT ñẹp ấn tượng
nhưng chưa có lời giải đơn giản cho
Dạng BDT xuất phát từ Bổđề A mở rộng cho nhiều số Sau
ví dụ cho trường hợp số
(12)ðây tốn khó Lưu ý BDT viết dạng
Chứng minh tốn 5.
*Trước hết, để có cảm giác toán, ta xét trường hợp riêng: cho x=z, y=t
Khi đó, với điều kiện , ta cần chứng minh
ðể ý , áp dụng Bổđề A BDT
tương đương với ðiều
*Trở lại tốn tổng qt, ta tìm cách quy trường hợp số Ta hi vọng có BDT
dạng
2 2
1−yz+z + 1−tx+x ≥ 1−xy+x + 1−zt+z (*)
2 2
2 2
2 2
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
0
1 1
( )
1 1
yz z zt z tx x xy x
z t y x y t
yz z zt z tx x xy x
z x
t y
yz z zt z tx x xy x
⇔ − + − − + + − + + − + ≥ − − ⇔ + ≥ − + + − + − + + − + ⇔ − − ≥ − + + − + − + + − +
Bằng tính tốn cụ thể, ta chứng minh ñược thừa số thứ biểu thức vế trái dấu
với z-x
Do BDT (*) tương ñương với (**) ðiều thú vị cách hốn vị
ta giả sử có điều Thật vậy, BDT ởđề khơng ñổi ta làm việc với
4 số (y,z, t, x), với số BDT (**) trở thành (***) Vì (**)
và (***) phải có đúng, nên ta gỉ sử (**) Khi (*)
Sử dụng (*) trường hợp số, ta có
(13)Bài toán chứng minh xong ðẳng thức xảy x = y = z = t x = z,y = t,xy =1
Dưới ñây hai toán khác, dạng này, mà lời giải xin ñược dành lại cho
bạn
Bài toán Cho số thực thỏa mãn x+y+z=0 CMR
Bài toán Cho số thực thỏa mãn CMR
- Hết -
Copyright©2009 by Phan Thanh Nam
‘’Niềm vui sáng tạo cảm hứng cho theo ñuổi ý