2.. Các đồ thị sau đây có phẳng không? Nếu có hãy vẽ để nó không có cạnh cắt. Giả sử một đồ thị phẳng hai phần liên thông có e cạnh và v đỉnh. Giả sử một đồ thị liên thông hai phần phẳng[r]
(1)Toán rời rạc
Bài tập 1
Bài 1
Hãy chứng minh có vơ hạn số nguyên tố
Bài 2
Dùng nguyên lý Sắp thứ tự tốt để chứng minh rằng: với số ngun khơng âm n, ta ln có
n≤ 3n/3 (1)
Gợi ý: Hãy kiểm tra (1) với giá trị n≤ 4.
Bài 3
Với n= 40 giá trị đa thức p(n) ::= n2+ n + 41 số nguyên tố Ta dự
đoán rằng, ngoại trừ đa thức số, khơng có đa thức sinh giá trị số nguyên tố
Cụ thể, xét đa thức q(n) với hệ số nguyên dương, xét c ::= q(0) số hạng số của q(n).
(a) Chứng minh q(cm) bội c với m ∈ Z.
(b) Chứng minh đa thức q đa thức số c> 1, tập
{q(n) | n ∈ N} chứa vô hạn số không nguyên tố.
(c) Kết luận với đa thức q số, có số nguyên n sao
cho q(n) không số nguyên tố.
Bài 4
(2)Toán rời rạc Bài tập
Bài 1
Ở nước lạ ln có hai loại người Loại Dối ln nói dối loại Thật ln nói thật Một ngày, bạn đến nước lạ gặp hai người A B.
• A nói: B loại Thật.
• B nói: A B không loại. Hãy xác định loại A B.
Bài 2
Bạn có12 đồng xu, có đồng giả, cân Các đồng xu thật có trọng lượng nhau, đồng xu giả có trọng lượng nhỏ đồng lại Hãy đưa chiến lược để xác định đồng xu giả mà dùng nhiều nhất3 lần cân (Chú ý: cân có đĩa, nghiêng bên nặng hơn)
Bài 3
Hãy sử dụng luật đại số (slide 21 22 giảng) để đưa công thức
A⊕ B ⊕ C
về hai dạng chuẩn tắc hội chuẩn tắc tuyển
Bài 4
Một tập phép toán logic gọi đầy đủ mệnh đề tương đương với một mệnh đề chứa tốn tử logic
Ví dụ: Ta biết giảng tập{¬, →} đầy đủ. Chứng minh tập
{
AND
,NOT
}, {OR
,NOT
}, {NAND
} đầy đủ (3)Bài 5
Mục đích tập kiểm tra xem đặc tả sau có thỏa khơng: Nếu hệ thống file khơng bị khóa,
(a) thông điệp đặt hàng đợi
(b) thông điệp gửi tới đệm thông điệp
(c) hệ thống hoạt động bình thường, ngược lại, hệ thơng hoạt động bình thường, hệ thống khơng bị khóa
2 Nếu thơng điệp khơng đặt hàng đợi, chúng gửi tới đệm thông điệp
3 Các thông điệp không gửi tới đệm thông điệp
(a) Dịch năm đặc tả thành công thức mệnh đề dùng bốn biến mệnh đề sau đây: L:= hệ thống file bị khóa,
Q:= thơng điệp đặt hàng đợi,
B:= thông điệp gửi tới đệm thông điệp,
N := hệ thống hoạt động bình thường
(b) Chứng minh tập đặc tả thỏa cách mô tả cách gán giá trị chân lý
cho biến L, Q, B, N , kiểm tra với cách gán đặc tả đúng.
(c) Chứng tỏ cách gán xác định phần (b) nhất.
Bài 6
Hãy đưa chứng minh hình thức định lý sau: Với công thức mệnh đề A, B, C bất kỳ, ta có:
1 ` A → A,
2 ` (¬A → A) → A,
3 A→ B, B → C ` A → C. 4 A→ (B → C) ` B → (A → C), ` (¬B → ¬A) → (A → B), ` ¬ ¬A → A,
7 ` A → ¬ ¬A.
(4)Tốn rời rạc Bài tập
Bài 1: Chứng minh sai
Tìm lỗi sai chứng minh an = với số nguyên không âm n a là
số thực không âm
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n, với giả thiết P(n) := ∀k ≤ n ak= 1,
trong k biến nhận giá trị ngun khơng âm.
Bước sở: P(0) tương đương với a0= theo định nghĩa a0 (kể a= 0)
Bước quy nạp: Giả sử ak= với k ∈ N thỏa mãn k ≤ n Nhưng thì
an+1=a
n· an
an−1 =
1· 1 = kéo theo P(n + 1) đúng.
Vậy quy nạp P(n) với n ∈ N, có nghĩa an= với n ∈ N.
Bài 2: Bài toán chữ
Trong trị chơi chữ, có 15 chữ ô trống đặt lưới 4× Một bước chuyển gọi hợp lệ chữ di chuyển sang ô trống kề với Ví dụ, dãy gồm hai bước chuyển mơ tả sau:
Trong cấu hình trái hình trên, chữ O N sai thứ tự Liệu có cách chuyển hợp lệ để hốn đổi vị trí O N mà giữ nguyên vị trí chữ khác, vị trí ơ trống góc phải bên lưới? Trong toán này, bạn chứng minh câu trả lời “không thể"
Định lý Không tồn dãy chuyển để đưa từ cấu hình bên trái sang cấu hình bên phải.
(5)(a) Ta định nghĩa “thứ tự” chữ lưới dãy từ dòng xuống dòng
dưới, với dòng từ trái qua phải Ví dụ, lưới bên phải thứ tự chữ
A, B, C, D, E,
Liệu việc di chuyển chữ theo hàng có làm thay đổi thứ tự trước sau cặp chữ? Có nghĩa rằng, liệu có cặp chữ(L1, L2) thỏa mãn L1đứng trước L2 sau
di chuyển chữ theo hàng lại làm L1đứng sau L2? Chứng minh câu trả lời bạn
(b) Có cặp chữ bị thay đổi thứ tự sau lần di chuyển chữ theo cột? Chứng
minh câu trả lời bạn
(c) Một cặp chữ(L1, L2) gọi ngược L1 đứng trước L2 theo thứ tự từ điển, L1
lại đứng sau L2 theo thứ tự định nghĩa câu (a) Ví dụ, cấu hình sau đây:
có bốn cặp ngược:(D, E), (G, H), (F, H) (F, G).
Việc chuyển chữ theo hàng ảnh hưởng đến tính chẵn lẻ số cặp ngược nào? Chứng minh câu trả lời bạn
(d) Việc chuyển chữ theo cột ảnh hưởng đến tính chẵn lẻ số cặp ngược như
thế nào? Chứng minh câu trả lời bạn
(e) Chứng minh bổ đề sau đây:
Bổ đề Trong cấu hình đạt từ cấu hình đây, tính chẵn lẻ số cặp ngược khác với tính chẵn lẻ hàng chứa trống.
(f) Từ nhận xét (a)–(e), chứng minh định lý đưa trên.
Bài 3: Robot
Một robot lưới nguyên hai chiều Nó bắt đầu điểm (0, 0), di chuyển bước theo bốn cách sau:
1 (+2, −1): sang phải bước, xuống bước (−2, +1): sang trái 2, lên
3 (+1, +3) (−1, −3)
(6)Liệu sau số bước robot tới vị trí (1, 1) khơng? Nếu cách Nếu không chứng minh
Bài 4: Hàm Ackermann
Các tập sau liên quan đến hàm Ackermann Hàm định nghĩa sau:
A(m, n) =
2n nếu m=
0 nếu m≥ n = 0
2 nếu m≥ n = 1
A(m − 1, A(m, n − 1)) m ≥ n ≥ 2 1 Tìm giá trị hàm Ackermann
(a) A(1, 0) (b) A(1, 1) (c) A(0, 1)
(d) A(2, 2) (e) A(2, 3) (f) A(3, 3)
2 Tìm A(3, 4) 3 Chứng minh rằng
A(m, n + 1) > A(m, n)
với số nguyên không âm m, n.
4 Chứng minh rằng
A(m + 1, n) > A(m, n)
với số nguyên không âm m, n.
Bài 5: Lây cúm
Trong lớp Toán rời rạc, sinh viên xếp ngồi lưới n× n Một sinh viên bị cúm lây cho số sinh viên khác lớp Dưới ví dụ n= sinh viên bị cúm đánh dấu×
Hai sinh viên vị trí kề họ có chung cạnh (cụ thể, trên, dưới, phải, trái,
không chéo); vậy, sinh viên kề với 2, người khác Bây giờ, việc lây lan bắt đầu
(7)• sinh viên trước bị cúm,
• sinh viên kề với hai người bị nhiễm cúm. Ví dụ, việc lây lan
Trong ví dụ trên, sau vài bước, sinh viên lớp bị nhiễm cúm Hãy chứng minh định lý sau
Định lý Nếu thời điểm ban đầu lớp có n sinh viên bị nhiễm cúm, khơng bao xảy việc lớp bị nhiễm cúm.
Gợi ý: Để hiểu hệ thống kiểu “tiến triển" theo thời gian, chiến lược là
1 xác định tính chất phù hợp hệ thống giai đoạn ban đầu,
2 chứng minh, quy nạp theo bước thời gian, tính chất bảo tồn bước
Vậy bắt đầu việc tìm kiếm tính chất (của tập sinh viên bị nhiễm cúm) khơng thay đổi (bất biến) theo thời gian
(8)BÀI TẬP PHẦN ĐỒ THỊ
NORMAN L BIGGS (DISCRETE MATHEMATICS)
1 Đồ thị biểu diễn
1 Có ba ngơi nhà A, B, C, ngơi nhà kết nối với ba nhà cung cấp ga, nước,
và điện: G, W, E.
(a) Hãy viết danh sách cạnh cho đồ thị biểu diễn tốn vẽ
(b) Liệu bạn vẽ đồ thị mặt phẳng để khơng có cạnh cắt khơng?
2 Một khu vườn thiết kế dạng đồ thị hình bánh xe Wn, tập đỉnh
V ={0, 1, 2, , n} tập cạnh là
{0, 1}, {0, 2}, · · · , {0, n}
{1, 2}, {2, 3}, · · · , {n − 1, n}, {n, 1}
Hãy mô tả đường bắt đầu kết thúc đỉnh thăm đỉnh lần
3 Với số nguyên dương n, ta định nghĩa đồ thị đầy đủ Kn là đồ thị gồm n đỉnh,
trong cặp đỉnh kề Đồ thị Kn có cạnh? Với giá trị
của n ta vẽ đồ thị Kntrên mặt phẳng cho khơng có cạnh cắt
4 Một 3-chu trình đồ thị tập ba đỉnh đôi kề Hãy xây dựng đồ
thị với đỉnh cạnh mà không chứa C3
2 Đẳng cấu
1 Hãy chứng minh hai đồ thị sau không đẳng cấu.
2 Tìm đẳng cấu đồ thị định nghĩa hai danh sách cạnh sau (Đây chính
là đồ thị Peterson)
a b c d e f g h i j
b a b c d a b c d e
e c d e a h i j f g
f g h i j i j f g h
(9)2 NORMAN L BIGGS (DISCRETE MATHEMATICS)
3 Xét G = (V, E) đồ thị định nghĩa sau Tập đỉnh V tập xâu nhị phân
độ dài 3, tập cạnh E chứa cặp xâu khác vị trí Chứng minh rằng G đẳng cấu với đồ thị tạo góc cạnh khối lập phương.
3 Bậc
1 Các dãy số sau bậc đỉnh đồ thị khơng? Nếu có
hãy vẽ đồ thị (a) 2, 2, 2, 3
(b) 1, 2, 2, 3, 4
(c) 2, 2, 4, 4, 4 (d) 1, 2, 3, 4.
2 Xét đồ thị G = (V, E), phần bù G G đồ thị có tập đỉnh V tập
cạnh tất cặp đỉnh khong kề G Nếu G có n đỉnh bậc của nó d1, d2, , dn, bậc G gì?
3 Liệt kê đồ thị quy bậc (đơi khơng đẳng cấu) với bảy đỉnh.
4 Giả sử G1 và G2 là đồ thị đẳng cấu Với k≥ 0, ký hiệu ni(k) số đỉnh của
Gi có bậc k (i = 1, 2) Chứng minh n1(k) = n2(k).
5 Chứng minh đồ thị với hai đỉnh ln có hai đỉnh bậc.
4 Đường chu trình
1 Tìm số thành phần liên thơng đồ thị với danh sách cạnh là
a b c d e f g h i j
f c b h c a b d a a
i g e g i c f f
j g j e
2 Đồ thị mô tả bữa tiệc April có thành phần liên thơng?
3 Tìm chu trình Hamilton đồ thị tạo đỉnh cạnh khối lập phương. 4 Năm tới, Dr Chunner Dr Dodder định thăm đảo Mianda Các địa điểm hấp
dẫn đường nối chúng biểu diễn đồ thị có danh sách cạnh
1 1 3 5
5 7
7 8 8
Liệu tìm đường cho họ thỏa mãn ví dụ lớp.
5 Một chuột định ăn khối lập phương bơ 3× × Nó bắt đầu góc và
(10)BÀI TẬP PHẦN ĐỒ THỊ Cây
1 Xét T = (V, E) với |V | ≥ Hãy dùng tính chất (T1) |E| = |V | − 1;
để chứng minh T có hai đỉnh bậc 1.
5 Hãy chứng minh tính chất:
(T1) với cặp đỉnh x, y có đường từ x tới y;
kéo theo hai tính chất:
(T1) T liên thơng; và (T2) T khơng có chu trình.
3 Ta nói đồ thị F rừng có tính chất: (T1) F khơng có chu trình.
Hãy chứng minh F = (V, E) rừng với c thành phần liên thơng thì
|E| = |V | − c.
6 Tơ màu đồ thị
1 Tìm sắc số đồ thị sau: (i) đồ thị đầy đủ Kn;
(ii) đồ thị chu trình C2r với số đỉnh chẵn;
(iii) đồ thị chu trình C2r+1 với số đỉnh lẻ
2 Tìm sắc số đồ thị sau:
3 Hãy mô tả tất đồ thị G có χ(G) = 1.
7 Thuật tốn tham lam tơ màu đỉnh
1 Tìm cách đánh số thứ tự đỉnh đồ thị lập phương để thuật toán
(11)4 NORMAN L BIGGS (DISCRETE MATHEMATICS)
2 Chứng minh với đồ thị G ta ln có cách thứ tự đỉnh để thuật tốn
tham lam tơ màu G dùng χ(G) màu [Gợi ý: dùng cách tô màu dùng χ(G) màu để xác định thứ tự đỉnh cho thuật toán tham lam.]
3 Ký hiệu ei(G) số đỉnh đồ thị G có bậc nhỏ i Dùng thuật toán tham lam
để tồn i để ei(G)≤ i + χ(G) ≤ i + 1.
4 Đồ thị Mr (r≥ 2) đặt từ đồ thị chu trình C2r cách thêm cạnh nối
mỗi cặp đỉnh đối Chứng minh
(i) Mr là đồ thị hai phần r số lẻ.
(ii) χ(Mr) = r chẵn r ̸= 2.
(iii) χ(M2) =
8 Bài tập thêm
1 Với giá trị n đồ thị Kn có hành trình Euler?
2 Dùng ngun lý quy nạp để chứng minh G = (V, E) đồ thị với |V | = 2m, G không chứa tam giác (đồ thị C3), thì|E| ≤ m2
3 Xét X = {1, 2, 3, 4, 5} đặt V tập tập 2-phần tử X Ký hiệu E là
tập cặp phần tử rời V Chứng minh đồ thị G = (V, E) đẳng cấu với đồ thị Thực phiên đồ thị Peterson tiếng
4 Xét G đồ thị hai phần với số đỉnh lẻ Chứng minh G khơng có chu trình
Hamilton
5 Đồ thị k-lập phương đồ thị tập đỉnh tập xâu nhị phân độ dài k
và hai đỉnh kề chúng khác vị trí Chứng minh (a) Qk là đồ thị quy bậc k,
(b) Qk đồ thị hai phần
6 Chứng minh đồ thị Qk có chu trình Hamilton
7 Chứng minh đồ thị Peterson khơng có chu trình Hamilton.
8 Chứng minh α : V1 → V2 là đẳng cấu đồ thị G1 = (V1, E1)
G2 = (V2, E2) hàm β : E1 → E2 định nghĩa
β{x, y} = {α(x), α(y)} ({x, y} ∈ E1)
(12)BÀI TẬP PHẦN ĐỒ THỊ
9 Nếu G đồ thị quy với bậc k n đỉnh, chứng minh rằng
χ(G)≥ n
n− k.
10 Hãy xây dựng năm đồ thị quy bậc đôi không đẳng cấu với tám đỉnh. 11 Chứng minh đồ thị đầy đủ K2n+1 là hợp n chu trình Hamilton, đó
khơng có hai chu trình có chung cạnh
12 Liệu mã hết vuông bàn cờ ô lần quy
về ô vuông xuất phát không? Diễn dịch câu trả lời bạn theo thuật ngữ chu trình Hamilton đồ thị
13 Đồ thị kỳ lạ Ok được định nghĩa sau (khi k ≥ 2): đỉnh tập k − 1
phần tử tập 2k− phần tử đó, cạnh nối hai tập rời nhau. (Vậy O3 là đồ thị Peterson.) Chúng minh χ(Ok) = với k≥ 2.
14 Chứng minh G đồ thị với n đỉnh, m cạnh, c thành phần liên thơng
thì
n− c ≤ m ≤
2(n− c)(n − c + 1).
Hãy xây dựng ví dụ để chứng minh hai dấu đạt với giá trị n c thỏa mãn n≥ c.
15 Một dãy số d1, d2, , dnlà dãy bậc có đồ thị với n đỉnh gán nhãn v1, v2, , vn
sao cho deg(vi) = di (1 ≤ i ≤ n) Chứng minh d1, d2, , dn dãy bậc
d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dn,
d1+ d2+· · · + dk ≤ k(k − 1) + n
∑
j=k+1
min(k, di)
với 1≤ k ≤ n.
16 Chu vi nhỏ đồ thị G giá trị nhỏ g để G có chứa một g-chu trình Chứng minh đồ thị quy với bậc k có chu vi nhỏ nhất
2m + phải có nhất
1 + k + k(k− 1) + · · · + k(k − 1)m−1
đỉnh, đồ thị quy với bậc k chu vi nhỏ 2m phải có ít
2[1 + (k− 1) + (k − 1)2+· · · + (k − 1)m−1] đỉnh
17 Hãy xây dựng bảng cận hai tập trước k = chu vi
nhỏ 3, 4, 5, 6, Chứng minh có đồ thị đạt cận cho bốn trường hợp đầu tiên, không cho trường hợp thứ
18 Xét G = (V, E) đồ thị với ba đỉnh thỏa mãn
deg(v)≥
2|V | (v ∈ V ). Chứng minh G có chu trình Hamilton.
19 Chứng minh G đồ thị bù đồ thị G, χ(G)χ(G) ≤ n, với n số
(13)Toán rời rạc phần Cặp ghép Bài tập
1 Để đại hóa phương pháp giảng dạy, số lên
lớp mơn Tốn rời rạc bị giảm đi, thay vào sinh viên phải tham gia vào số nhóm tự học Mỗi nhóm tự học phải đề cử sinh viên đại diện cho nhóm để trình bày nội dung nghiên cứu trước lớp Yêu cầu bắt buộc sinh viên đại diện cho nhóm Làm để chọn đại diện từ nhóm để đảm bảo yêu cầu này?
(a) Mơ hình tốn lựa chọn đại diện ghép cặp
(b) Danh sách đăng ký nhóm sinh viên cho thấy khơng có sinh viên thành viên hơn4 nhóm nhóm có nhất4 sinh viên Liệu điều có đảm bảo ln có cách chọn đại diện thích hợp khơng? giải thích
2 Do số lên lớp bị giảm đi, sinh viên có
nhiều thời gian để tham gia vào câu lạc sinh viên (CLB); CLB đặt quản lý Hội sinh viên Mỗi CLB muốn có thành viên đại diện ban chấp hành Hội (để dễ xin tiền tài trợ), ban chấp hành không cho phép sinh viên đại diện cho CLB. Sau xem hồ sơ, chị chủ tịch Hội thấy rằng: khơng có sinh viên thành viên nhiều hơn9 câu lạc bộ, CLB có nhiều 13 thành viên Liệu điều đủ để đảm bảo ln có cách chọn đại diện từ CLB chưa? Hãy giải thích
3 Một hình vng Latin1 là bảng n× n với các phần tử số 1, , n Các phần tử phải thỏa mãn hai ràng buộc: hàng chứa đủ số 1, , n theo thứ tự đó, cột cũng phải chứa đủ số1, , n theo thứ tự đó. Ví dụ, bảng hình vng Latin4× 4:
1
3
2
4
(a) Dưới ba hàng hình vng Latin5× :
1Thuật ngữ Latin bắt nguồn từ Euler Ông dùng tập ký tự
Latin cho phần tử bảng
2
4
3
Hãy điền nốt hai hàng cuối để hình vng Latin hoàn chỉnh
(b) Hãy rằng: việc điền hàng một hình vng Latin n× n tương đương với toán ghép cặp đồ thị hai phần, phần gồm n-đỉnh.
(c) Hãy chứng minh tồn ghép cặp đồ thị hai phần và, ta ln mở rộng một hình chữ nhật Latin để thành Latin square
4 Lấy gồm 52 quân Mỗi quân có
một chất gía trị Có bốn chất: Rơ, Cơ, Bích, Nhép; có13 giá trị: A, 2, 3,· · · , 10, J, Q, K. Hãy đề nghị người bạn xếp lưới gồm4 hàng 13 cột Chị ta để quân theo cách Trong tập này, bạn chứng minh bạn ln lấy13 qn bài, qn từ cột lưới, cho có đủ 13 giá trị
(a) Hãy mơ hình tốn cặp ghép đồ thị hai phần 13 cột 13 giá trị
(b) Chỉ nhóm gồm n cột phải chứa ít nhất n giá trị khác chứng minh rằng tồn cặp ghép
5 Các nhà nghiên cứu sau nhiều năm 20
đức tính người: Trung thực, rộng lượng, trung thành, kiên trì, hồn thành tập đầy đủ, Vào đầu khóa học, sinh viên Khoa học máy tính có số 20 đức tính Hơn tập đức tính cho sinh viên nhất; có nghĩa khơng có hai sinh viên có tập đức tính Các giảng viên Toán rời rạc phải lựa chọn thêm đức tính để đào tạo sinh viên suốt khóa học Chứng minh có cách chọn thêm đức tính cho sinh viên cho sinh viên có đức tính khác vào cuối khóa
6 (Bài tốn ’harem’) Xét tập chàng trai B, giả
(14)Tốn rời rạc: Hơn nhân bền vững Bài tập
1 Có bốn sinh viên muốn thực tập bốn cơng ty Sau danh sách u thích các
sinh viên công ty:
Sinh viên Công ty
Albert HP, Bellcore, AT&T, Draper Nick AT&T, Bellcore, Draper, HP Oshani HP, Draper, AT&T, Bellcore Ali Draper, AT&T, Bellcore, HP
Công ty Sinh viên
AT&T Ali, Albert, Oshani, Nick Bellcore Oshani, Nick, Albert, Ali HP Ali, Oshani, Albert, Nick Draper Nick, Ali, Oshani, Albert (a) Hãy sử dụng thủ tục kén chồng (hoặc vợ) để tìm hai cặp ghép ổn định.
(b) Mơ tả thuật tốn đơn giản để xác định xem liệu tốn nhân bền vững cho trước có nghiệm khơng, có nghĩa có cách ghép cặp ổn định
2 Xét tốn nhân bền vững với nam nữ với phần thông tin danh sách
yêu thích họ cho đây:
B1: G1 G2 – –
B2: G2 G1 – –
B3: – – G4 G3
B4: – – G3 G4
G1: B2 B1 – –
G2: B1 B2 – –
G3: – – B3 B4
G4: – – B4 B3
(a) Chứng minh
(B1, G1), (B2, G2), (B3, G3), (B4, G4)
là ghép cặp ổn định với cách gán giá trị lại danh sách yêu thích (b) Giải thích xem ghép cặp tốt cho nam
tồi cho nữ, kết của Thủ tục kén chồng (c) Mô tả cách định nghĩa danh sách yêu thích cho n nam n nữ để có nhất2n/2
ghép cặp ổn định
3 Giả sử có nhiều nam nữ.
(a) Định nghĩa cặp ghép ổn định trường hợp
(b) Giải thích áp dụng Thủ tục kén chồng trường hợp mang lại cặp ghép ổn định gái kết
(15)4 Hãy đưa ví dụ cặp ghép ổn định nam nữ khơng lấy được
người thích Giải thích tóm tắt cặp ghép bạn ổn định
5 Trong cặp ghép ổn định n chàng trai n cô gái dùng Thủ tục kén chồng, ta gọi
một người may mắn họ ghép cặp với trong dn/2e người họ thích nhất. Hãy chứng minh định lý sau
Định lý Với thủ tục kén chồng, ln có người may mắn.
(16)Toán rời rạc: Đồ thị phẳng
Bài tập 9
1 Các đồ thị sau có phẳng khơng? Nếu có vẽ để khơng có cạnh cắt. a)
b)
c)
d)
e)
2 Giả sử đồ thị phẳng hai phần liên thơng có e cạnh v đỉnh Hãy chứng minh rằng e≤ 2v − v ≥ 3.
3 Giả sử đồ thị liên thông hai phần phẳng có e cạnh v đỉnh khơng chứa chu trình
có độ dài≤ Hãy chứng minh e ≤ (5/3)v − (10/3) v ≥ 3.
4 Xét đồ thị phẳng có k thành phần liên thông, e cạnh, v đỉnh Ta giả sử biểu
diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành r miền Hãy tìm cơng thức cho r theo e, v, và k.
5 Đồ thị đồ thị không phẳng có tính chất: xóa đỉnh mọi
cạnh liên thuộc với đỉnh cho ta đồ thị phẳng? Giải thích
(17)6 Các đồ thị có chứa minor K3,3khơng?
a)
b)
c)
7.
Định nghĩa Giao số đồ thị định nghĩa số giao điểm vẽ đồ thị
trên mặt phẳng cho khơng có ba cạnh cắt điểm
a) Chứng minh K3,3 có giao số bằng1
b) *Tìm giao số đồ thị khơng phẳng sau
• K5
• K3,4
• K6
• K4,4
• K7
• K5,5
c) *Chứng minh m n số nguyên chẵn, giao số Km,n nhỏ
hoặc mn(m − 2)(n − 2)/16.
(18)8 Hãy dùng định lý Kuratowki-Wagner để xác định liệu đồ thị sau có phẳng khơng? a)
b)
c)
Bài tập lập trình
Nếu bạn hồn thành hai tập sau đây, thơng báo để giáo viên cộng 2 điểm vào thi kỳ
1 Hãy viết chương trình nhập vào đồ thị (dưới dạng ma trận kề danh sách
cạnh) từ file Thông báo xem liệu đồ thị vừa nhập có phải đồ thị phẳng
2 Hãy viết chương trình nhập hai đồ thị G1 và G2 từ file Thơng báo xem G1 có chứa
G2 minor hay khơng
(19)Tốn rời rạc: Cây
Bài tập 10
1 Có thể tìm có đỉnh thoả điều kiện hay khơng? Nếu có, hãy
vẽ đó; cịn khơng, giải thích
a Mọi đỉnh có bậc 1. b Mọi đỉnh có bậc 2.
c Có đỉnh bậc đỉnh bậc 1. d Có đỉnh bậc đỉnh bậc 1.
2 Chứng minh định lý móc xích kiểu hoa cúc slides. 3 a Chứng minh bậc trung bình ln nhỏ 2.
b Giả sử đỉnh đồ thị có bậc k Hãy giải thích đồ thị
có đường độ dài k.
4 Một siêu khối Hn là đồ thị với tập đỉnh tập xâu nhị phân độ dài n, hai đỉnh Hnlà kề chúng khác bit Ví dụ
H3, đỉnh111 kề với đỉnh 011, hai đỉnh 101 011 khơng kề
a Tính số đỉnh số cạnh Hn
b Giải thích ta khơng thể tìm hai bao trùm khơng có chung cạnh
trong H3
5 Chứng minh đồ thị hai phần.
6 Giả sử G đồ thị liên thông với n đỉnh Hãy chứng minh G có chu
trình G có n cạnh.
7 Chứng minh rằng: Nếu G với 2k đỉnh bậc lẻ, G phân rã thành k đường đi.
8 Hãy liệt kê tất bao trùm đôi không đẳng cấu đồ thị đây.
a K3 b K4 c K5 d K3,3
9 Tìm bao trùm nhỏ thuật toán Kruskal đồ thị gồm đỉnh A, B, C, D, E, F , G, H cho ma trận trọng số sau.
A B C D E F G H
A ∞ ∞ 10 ∞ ∞ ∞
B ∞ ∞ ∞ 12 ∞ ∞
C ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
D ∞ ∞ ∞ ∞
E 10 12 ∞ ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
G ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞
H ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
(20)10 Giả sử G = (V, E) đồ thị có trọng số; G tồn cạnh e có trọng số nhỏ nhất,
có nghĩa w(e) < w(f ) với cạnh f ∈ E − {e} Chứng minh MST G đều phải chứa e.
11 Xét G lưới 4× với cạnh dọc ngang hai đỉnh cạnh Một cách hình thức, tập đỉnh
V(G) := {(k, j) | ≤ k, j ≤ 3}.
Đặt hi j cạnh ngang 〈(i, j) − (i + 1, j)〉 vji cạnh dọc 〈( j, i) − ( j, i + 1)〉 với mọi
i= 0, 1, j = 0, 1, 2, Trọng số cạnh định nghĩa sau: w(hi j) :=4i+ j
100 ,
w(vji) := +i+ 4j
100 (a) Hãy vẽ G mặt phẳng.
(b) Xây dựng bao trùm trọng số nhỏ (MST) cho G thuật toán Kruskal
(c) Xây dựng MST cho G đỉnh(1, 2) thuật tốn Prim–Jarník sau:
Input: Đồ thị G= (V, E) liên thông có trọng số. Output: MST T = (W, F) G.
1 W := {x}, với x đỉnh V ; 2 F:= ;;
3 while W 6= V do
4 Tìm cạnh{u, v} có trọng số nhỏ G thoả mãn u ∈ W v /∈ W ; 5 Thêm đỉnh v vào W ;
6 Thêm cạnh{u, v} vào F; 7 end
(d) Chứng minh với đồ thị có trọng số G, thuật tốn Prim-Jarník ln cho MST
12 Chứng minh rằng: Nếu trọng số cạnh đồ thị G khác đôi một,
vậy đồ thị có MST
13 Cây bao trùm lớn đồ thị liên thơng, có trọng số bao trùm có trọng
số lớn Hãy đề xuất thuật toán tương tự thuật toán Kruskal xây dựng bao trùm cực đại đồ thị liên thơng có trọng số
14 Hãy đề xuất thuật toán tương tự thuật toán Prim-Jarník để xây dựng bao trùm
cực đại đồ thị liên thơng có trọng số
15 Hãy tìm bao trùm cực đại cho đồ thị có trọng số tập 11.
16 Hãy đề xuất thuật tốn tìm bao trùm nhỏ thứ đồ thị liên thơng có
trọng số Chứng minh tính đắn thuật toán bạn vừa xây dựng
(21)Toán rời rạc: Đồ thị Hamilton
Bài tập 11
1 Với giá trị r đồ thị hai phần đầy đủ Kr,r Hamilton?
2 Với n> 1, chứng minh Kn,ncó(n − 1)!n!/2 chu trình Hamilton.
3 Chứng minh đồ thị G nửa Hamilton với tập đỉnh S, số thành phần
liên thông G− S nhiều |S| + 1.
4 Đồ thị Grăotzsch sau õy cú l Hamilton?
5 Chng minh khơng tồn chu trình cho mã hết bàn cờ 4× n.
Gợi ý:Tìm tập đỉnh thích hợp vi phạm điều kiện cần để đồ thị Hamilton.
6 Đồ thị sau có chu trình Hamilton khơng?
7 Giả sử G= (V, E) đồ thị Peterson.
a Chứng minh G đồ thị nửa Hamilton, không Hamilton. b Chứng minh với v∈ V , đồ thị G − v đồ thị Hamilton.
8 Chứng minh đồ thị hai phần với số lẻ đỉnh không đồ thị Hamilton.
9 Chứng minh đồ thị đầy đủ Kn phân rã thành chu trình Hamilton
(22)Tốn rời rạc: Đồ thị có hướng
Bài tập 12
1 Xét trò chơi chọi gà slides.
(a) Mơ tả đồ thị cho trị chơi10 gà có vua gà với bậc (b) Mô tả đồ thị cho trị chơi5 gà gà vua
2 Ta ký hiệu
δ+(G) = min{outdeg(v) | v ∈ V (G)},
δ−(G) = min{indeg(v) | v ∈ V (G)}.
Hãy chứng minh rằng: nếuδ+(G) ≥ δ−(G) ≥ G chứa chu trình.
3 Một đồ thị gọi Euler có hành trình đóng qua cạnh lần.
Một đồ thị gọi nửa Euler có hành trình qua cạnh lần (a) Hãy chứng minh đồ thị có hướng Euler outdeg(v) =
indeg(v) với đỉnh v, đồ thị vơ hướng có thành phần liên thơng
(b) Tìm tiêu chuẩn đề đồ thị có hướng nửa Euler
4 Chứng minh u, v-hành trình có hướng chứa u, v-đường có hướng. 5 Chứng minh bác bỏ rằng: Nếu D đồ thị định hướng đồ thị vô hướng
với10 đỉnh, bậc D khơng thể đôi khác nhau.
6 Chứng minh rằng: Tồn đồ thị thi đấu n đỉnh thỏa mãn đỉnh có bậc vào bằng
bậc n lẻ.
7 Với n≥ 1, chứng minh bác bỏ rằng: đồ thị có hướng với n đỉnh có hai đỉnh có bậc hai đỉnh có bậc vào
8 Chứng minh đồ thị có hướng liên thông mạnh với cách phân hoạch tập
đỉnh thành hai tập khác rỗng S T , có cahnh từ S tới T
9 Chứng minh đồ thị thi đấu G= (V, E) ta ln có
X
v∈V
indeg(v)2=X
v∈V
outdeg(v)2
10 Hãy thiết kế thuật toán để kiểm tra xem đồ thị có hướng cho trước có liên thơng
mạnh
(23)Toán rời rạc: Hàm sinh
Bài tập 14
1
Ứng dụng đa thức tổ hợp
1 Xét hai đa thức
a(x) = a0+ a1x+ a2x2+ · · · + anxn b(x) = b0+ b1x+ b2x2+ · · · + bmxm
Hãy viết cơng thức tính hệ số xk trong tích a(x)b(x) với ≤ k ≤ n + m.
2 Biểu diễn số nghiệm nguyên phương trình sau hệ số số mũ x thích hợp
trong tích đa thức:
(a) e1+ e2+ e3+ e4+ e5= r, 0≤ ei ≤
(b) e1+ e2+ e3+ e4 = r, 0< ei < 4
(c) e1+ e2+ e3+ e4 = r, 2≤ ei≤ 8, e1 chẵn, e2 lẻ
(d) e1+ e2+ e3+ e4 = r, 0≤ ei
(e) e1+ e2+ e3+ e4 = r, 0< ei, e2, e4 lẻ, e4≤
(f) e1+ e2+ e3+ e4 = r, −3 ≤ ei ≤
3 Một quán cà phê có bán ba loại bánh: táo, mứt, kem Có cách mua 12 chiếc
bánh cho loại có hai số bánh táo không vượt ba? Hãy biểu diễn số hệ số số mũ x thích hợp tích đa thức thích hợp.
4 Có cách để phát hết 10 bóng giống cho cậu bé cô bé cho
mỗi cậu bé bé hai quả? Hãy biểu diễn số này như hệ số số mũ x thích hợp tích đa thức thích hợp.
5 Tính tổngPni=0(−1)n n i
n
n−i
6 Tìm hệ số x10y5 trong(19x + 4y)15
2
Hàm sinh
1 Hãy tìm cơng thức đóng cho hàm sinh dãy sau sau kiểm tra lại kết dùng
Wolfram|Alpha:
(a) 〈 0, 0, 0, 0, −6, 6, −6, 6, −6, 6, · · · 〉 (b) 〈1, 0, 1, 0, 1, 0, · · · 〉
(24)(e) (bình phương hồn hảo)
〈02, 12, 22, 32, · · · 〉 = 〈0, 1, 4, 9, · · · 〉
2 (a) Chứng minh nếu
〈g0, g1, g2, 〉 ↔ G(x)
thì
〈g0, g0+ g1, g0+ g1+ g2, 〉 ↔
1
1− xG(x). (b) Dùng kết tìmPnk=1k2
(c) Dùng kết tìmPnk=1k3
(d) Với n m số tự nhiên, tínhPnk=1(−1) nk
(e) Có vẻ với phương pháp ta tính tổng, thực tế không đơn giản vậy! Chuyên xảy bạn dùng phương pháp để tính tổngPnk=11/k?
3 Dãy r0, r1, r2,· · · định nghĩa cách đệ quy luật sau: r0= r1 =
rn= 7rn−1+ 4rn−2+ (n + 1),
với n≥ Hãy biểu diễn hàm sinh dãy thương hai đa thức tích các đa thức Bạn khơng cần tìm dạng tường minh cho rn
4 Xét A(x) = P∞n=0anxn Ta kiểm tra rằng
an= A
(n)(0)
n! ,
với A(n) là đạo hàm cấp n A Hãy dùng kết (thay luật tích) để chứng minh
1 (1 − x)k =
∞
X
n=0
n+ k − 1
k−
xn
3
Tính hệ số hàm sinh
1 Hãy tính
(a) [x15](x2+ x3+ x4+ x5+ · · · )4 (b) [x50](x7+ x8+ x9+ x10· · · )6.
(c) [x5](1 − 2x)−2 (d) [x4]p31+ x.
(25)2 (a) Chứng minh với k ∈ N, hàm sinh cho dãy số nguyên dạng mũ k là thương hai đa thức theo x Có nghĩa rằng, với k ∈ N có đa thức Rk(x) và
Sk(x) cho
[xn]
R
k(x)
Sk(x)
= nk
Gợi ý: Để ý đạo hàm thương hai đa thức thương hai đa thức Ta
không cần phải rõ tường minh Rk(x) Sk(x) để chứng minh điều này.
(b) Chứng minh f(n) hàm số nguyên không âm định nghĩa đệ quy dạng
f(n) = f (n − 1) + b f (n − 2) + c f (n − 3) + p(n)αn
với a, b, c,α ∈ C p đa thức với hệ số phức, hàm sinh cho dãy
f(0), f (1), f (2),
sẽ thương hai đa thức theo x, có biểu thức dạng tường minh cho f(n).
Gợi ý: Xét
Rk(x) Sk(x) 3 (a) Xét
S(n) = x
2+ x
(1 − x)3
Hệ số xn trong hàm sinh gì?
(b) Giải thích xem S(x)/(1 − x) hàm sinh cho tổng bình phương. Có nghĩa hệ số xn trong chuỗi S(x)/(1 − x) Pnk=1k2
(c) Dùng phần trước, chứng minh
n
X
k=1
k2 =n(n + 1)(2n + 1)
6
4
Đếm dùng hàm sinh
1 Đặt gn là số cách trả lại n đồng dùng tờ đồng, tờ hai đồng, và/hoặc tờ
năm đồng
(a) Hãy viết hàm sinh cho dãy〈 g0, g1, g2, · · · 〉
(b) Dùng kết câu 1a, tìm cơng thức cho gn
2 Các ngày phải học năm tới đánh số 1, 2,· · · , 300 Tôi muốn trốn học nhiều tốt
• Những ngày chẵn, tơi nói "bị ốm"
(26)• Những ngày bội 5, kiên không khỏi chăn ấm Cuối có ngày trốn học năm tới?
3 Sơn lên kế hoạch cho chuyến xa tàu biển, cần định xem
nên mang theo
• Anh chắn phải mang mỳ tơm, đóng gói
• Anh hai người bạn nên ăn mặc lịch hay thoải mái Vậy nên anh mang0 đôi tơng, anh mang đơi
• Do khơng có nhiều chỗ vali để khăn tắm, nên anh mang nhiều • Có lẽ dừng nhiều bãi biển đẹp đông người, anh định mang
quần bơi
(a) Xét gn là số cách khác để Sơn mang n đồ vật (gói mỳ, đơi tơng, khăn tắm, quần bơi) theo Hãy biểu diễn hàm sinh G(x) = P∞n=0gnxn dạng thương hai đa thức
(b) Tìm công thức tường minh cho số cách Sơn mang n đồ vật.
4 Bạn muốn mua bó hoa Bạn tìm thấy cửa hàng mạng bó hoa từ hoa ly,
hoa hồng, hoa tulip, bán theo ràng buộc sau • có nhiều ba bơng hoa ly,
• phải có số lẻ hoa tulip, • số lượng hoa hơng tuỳ ý
Ví dụ: bó gồm bơng tulip, khơng có bơng ly nào, bơng hồng thoả mãn ràng buộc
Xét fn là số bó hoa gồm n bơng hoa thoả mãn buộc Hãy biểu diễn hàm sinh F(n) tương ứng với dãy〈 f0, f1, f2,· · · 〉 theo thương hai đa thức (hoặc tích đa thức)
Bạn không cần đơn giản biểu thức
5
Số Fibonacci
1 Có xâu nhị phân độ dài n mà không chứa hai số liên tiếp?
2 Hãy tìm số tập (kể tập rỗng) tập{1, 2, · · · , n} mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp
3 Tìm cơng thức tường minh cho dãy định nghĩa cách đệ quy sau:
(a) a0= 2, a1= 3, an+2= 3an− 2an+1
(b) a0= 0, a1= 1, an+2= 4an+1− 4an (c) a0= 1, an+1= 2an+
4 Giải hệ thức truy hồi
(27)(b) an= an−1+ an−3+ an−4+ · · · + a1+ a0 (n ≥ 3) với a0= a1= a2 =
5 Giải hệ thức truy hồi
an−2= pan+1an
với điều kiện ban đầu a0= 2, a1=
6
Số Catalan
1 Cho bàn cờ n× n sau:
Xét đường ngắn từ góc A tới góc B qua cạnh (mỗi đường qua2n cạnh). (a) Có đường vậy?
(b) Chứng minh số đường khơng xuống đường chéo số Catalan Cn
2 Hãy tìm cách chứng minh số cách đặt dấu ngoặc số Catalan mà không dùng hàm sinh. 3 Có 2n người đứng đợi mua vé xem phim Mỗi vé giá đồng Mọi người muốn mua
vé; n người có tờ10 đồng n khác người có tờ đồng. Ban đầu người bán vé khơng có đồng
(a) Có cách xếp hàng cho 2n người cho người bán vé trả 5 đồng cho người có tờ10 đồng
(b) Hãy tính xác suất để người bán vé trả tiền cho người họ đứng xếp hàng cách ngẫu nhiên
4 Có dãy gồm n số nguyên a1≤ a2≤ · · · ≤ an thỏa mãn ai≤ i? Ví dụ, có dãy độ
dài3:
111 112 113 122 123
5 Có dãy số nguyên a1, a2, , an thỏa mãn a1= ≤ ai+1≤ ai+ 1? Ví dụ,
Wolfram|Alpha: