HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG - TOÁN 11

tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).. PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1: Chứng minh hai đườn[r]

NHĨM TỐN 11 – NĂM 2020 - 2021 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG PHẦN – LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian

Cho hai đường thẳng a b khơng gian Khi xảy trường hợp sau:

//

a b a b MÇ = a bº a b chéo nhau

2 Tính chất

Tính chất 1: Trong khơng gian, qua điểm khơng nằm đường thẳng cho trước, có

đường thẳng song song với đường thẳng cho

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với

nhau

Định lý 1: Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến

đồng quy đôi song song với

Hệ (của định lý 1): Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao

tuyến hai mặt phẳng (nếu có) song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó)

PHẦN – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

Để chứng minh hai đường thẳng a b chéo nhau, ta thường dùng phương pháp phản chứng, nghĩa giả sử a b không chéo nhau, tìm điều mâu thuẫn so với giả thiết toán

BÀI TẬP MẪU

Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB CD hai đường thẳng chéo Giả sử AB CD không chéo nhau, nghĩa hai đường thẳng

đồng phẳng

Khi AB CD song song với nhau, cắt điểm trùng (vơ lý)

Dạng 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng a b song song với nhau.

Tìm điểm chung M hai mặt phẳng, từ kết luận giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng  , với M   // // a b.

BÀI TẬP MẪU 1

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến mặt phẳng: a) (SAD) (SBC)

a) Ta có:

   

 

 

//

S SAB SCD AB SAB CD SCD AB CD            .

SAB SCD xx

  

, với

Sxx xx AB CD// // .

b) (MCD) (SAB), với M điểm thuộc cạnh SA

b) Ta có:

   

 

 

//

M SAB MCD AB SAB CD MCD AB CD            .

SAB SCD yy

  

, với // //

yy AB CD Myy. BÀI TẬP MẪU 2

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi M điểm thuộc đoạn thẳng SD Tìm giao tuyến mặt phẳng:

a) d1SAB  SCD.

a) Ta có:

   

 

 

//

S SAB SCD AB SAB CD SCD AB CD           

SAB SCD d1

   , với

1

S d d AB CD1// // 1 .

b) d2 SCD  MAB Từ chứng

minh d d 1//

b) Ta có:

   

 

 

//

M MAB SCD AB MAB CD SCD AB CD            .

MAB SCD d2

  

, với Md2

 

2// //

d AB CD .

Từ  1  2 suy ra: d d 1//

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng a b song song với nhau.

Dựa vào hình học phẳng: Định lý Ta-lét đảo, đường trung bình ; đưa dạng a c// b c// , từ suy a b//

BÀI TẬP MẪU 1

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I J trung điểm cạn, ,

SA SB Chứng minh IJ CD// .

Vì I J trung điểm cạnh , SA SB nên , IJ đường trung bình tam giác SAB Từ suy IJ AB//

Lại có AB CD// nên từ ta có IJ CD// (vì song song với đường thẳng

AB ).

NHĨM TỐN 11 – NĂM 2020 - 2021 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Cho tứ diện ABCD Gọi M , N điểm thuộc cạnh AB , AC cho

AM AN AB AC ; I , J trung điểm BD , CD.

a) Chứng minh MN BC// a) Ta có:

AM AN

AB AC , từ suy

ra MN BC// 1  (Định lý Ta-lét đảo)

b) Tứ giác MNJI hình Tìm điều kiện để tứ giác MNJI hình bình hành

b) Vì I , J trung điểm BD , CD nên IJ đường trung bình tam giác

BCD Từ suy IJ BC// 2 

Từ  1  2 suy MN/ /IJ Vậy tứ giác MNJI hình thang

Để MNJI hình bình hành

//

MI NJ Lại có ba mặt phẳng

MNJI

, ABD, ACD đôi cắt theo giao tuyến là MI , NJ, AD nên theo định lý ta có MI AD NJ// // Từ suy điều kiện để hình thang

MNJI trở thành hình bình hành

là M , N trung điểm của AB , AC

Dạng 4: Thiết diện chứa điểm M song song với hai đường thẳng a b chéo nhau.

Qua điểm M ta kẻ đường thẳng d a 1// d b Sau tìm giao tuyến mặt phẳng tạo 2//

bởi hai đường thẳng d d1, 2 với mặt hình chóp. BÀI TẬP MẪU

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng ( )P với hình chóp S ABCD , biết ( )P mặt phẳng qua điểm M song song với SC, AD

Qua M kẻ đường thẳng MQ AD Q SD//    MO SC O AC//   

Ta có: SC AD song song với mặt phẳng OMQ nên

OMQ   P

Dễ dàng tìm OMQ  ABCD NP, với NP MQ BC và// //

   

   

   

   

OMQ SAD MQ OMQ SCD QP OMQ ABCD PN OMQ SAB NM

             

 , thiết diện tạo  P hình chóp

hình thang MNPQ

Dạng 5: Thiết diện chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác.

BÀI TẬP MẪU

Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N hai điểm SB, CD ( )P mặt phẳng qua MN song song với SC

Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng ( )P Qua N kẻ NP SC// P SD 

Ta có:       // // NP SC

NP MNP SC MNP

SC MNP         .

Từ ta có: MNP mặt phẳng qua MN song song với SC Vậy   P  MNP

Ta có:   P  SCD NP

Ta có:

   

 ,  

//

M MNP SBC

NP MNP SC SBC

NP SC        

  MNP  SBC MQ, với

// //

MQ SC NP , M MQ Q BC . Trong ABCD gọi I QN AC

Ta có:

   

 ,  

//

I MNP SAC

NP MNP SC SAC

NP SC        

  MNP  SAC IJ , với

// //

IJ SC NP, IIJ JMP.

Dễ thấy thiết diện tạo  P hình chóp tứ giác MPNQ

PHẦN – CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Dạng Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo nhau. B Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung.

NHĨM TỐN 11 – NĂM 2020 - 2021 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN D Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo cắt song song.

Hướng dẫn giải

Chọn A Hai đường thẳng khơng có điểm chung chúng song song với (khi

chúng đồng phẳng) chéo (khi chúng không đồng phẳng)

Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác. B Hai đường thẳng song song chúng không điểm chung. C Hai đường thẳng song song chúng không đồng phẳng. D Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng.

Hướng dẫn giải Chọn D.

 A sai Trong trường hợp đường thẳng cắt chúng có điểm chung

 B C sai Hai đường thẳng song song chúng đồng phằng khơng có điểm chung

Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau. B Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba trùng nhau.

C Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với hoặc

trùng

D Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng nằm trên

hai mặt phẳng song song

Hướng dẫn giải Chọn C.

Câu 4: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A Hai đường thẳng chéo chúng có điểm chung.

B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo nhau. C Hai đường thẳng song song với chéo nhau.

D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng phân biệt hai đường thẳng chéo nhau. Hướng dẫn giải

Chọn B.

Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo a b Lấy ,A B thuộc a ,C D thuộc b Khẳng định nào sau nói hai đường thẳng AD BC ?

A Có thể song song cắt nhau. B Cắt nhau. C Song song với nhau. D Chéo nhau.

Vì a b chéo nên bốn điểm A , B , C, D không đồng phẳng, từ dẫn đến AD và

BC chéo nhau.

Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt ( ) ( ) ( )a , b , g có ( ) ( )a Ç b =d1; ( ) ( )b Ç g =d2; ( ) ( )a Ç g =d3.

Khi ba đường thẳng d d d :1, ,2

A Đôi cắt nhau. B Đôi song song.

C Đồng quy. D Đôi song song đồng quy. Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dựa vào định lý

Câu 7: Trong không gian, cho đường thẳng , ,a b c, biết a b , a c chéo Khi hai đường thẳng b c:

A Trùng chéo nhau. B Cắt chéo nhau. C Chéo song song. D Song song trùng nhau.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt , ,a b c a b Khẳng định sau đây sai?

A Nếu ac bc

B Nếu c cắt a c cắt b.

C Nếu A aỴ B bỴ ba đường thẳng , ,a b AB mặt phẳng.

D Tồn mặt phẳng qua a b.

Hướng dẫn giải Chọn B.

c chéo với b.

Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song.

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi , , ,I J E F trung điểm SA, SB,SC, SD Trong đường thẳng sau, đường thẳng không song song với IJ ?

A EF B DC C AD D AB

Hướng dẫn giải: Chọn C.

Ta có IJ đường trung bình tam giác SAB nên IJ AB// , nên

D đúng.

NHĨM TỐN 11 – NĂM 2020 - 2021 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN EF đường trung bình tam giác SCD nên EF CD// Suy IJ EF// , nên A đúng.

Do chọn đáp án C.

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD Gọi , , ,A B C D    trung điểm cạnh , ,SA SB SC và

SD Trong đường thẳng sau đây, đường thẳng không song song với A B ?

A AB B CD C. C D .

D SC

Hướng dẫn giải: Chọn D

Nếu ABCD hình bình hành A B  song song với đường thẳng AB CD , C D  Do phương án A, B C sai Câu 3: Cho hình hộp ABCD A B C D     Khẳng định sau sai?

A AB C D  A BCD  hai hình bình hành có chung đường trung bình. B BD B C  chéo nhau.

C A C DD chéo nhau. D DC AB chéo nhau.

Hướng dẫn giải: Chọn D.

DC AB song song với nhau.

Câu 4: Cho tứ diệnABCD Gọi M N P Q trung điểm cạnh ,, , , AB AD CD BC , , Mệnh đề sau sai?

A MN BD// và

1

MN  BD

B MN PQ MN PQ// 

C MNPQ hình bình hành. D MP NQ chéo nhau. Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Có MN PQ đường trung bình tam giác , ABD BCD,

nên

1 // ,

2 // ,

2

MN BD MN BD PQ BD PQ BD



 

 

 



 .

Nên MN PQ MN// , PQ

MNPQ

 hình bình hành.

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M N lần lượt, trung điểm SA SB

a) Khẳng định sau nhất?

A MN song song với CD

B MN chéo với CD

C MN cắt với CD

D MN trùng với CD

b) Gọi P giao điểm SC ADN, I giao điểm của

AN DP Khẳng định sau đúng? A SI song song với CD

B SI chéo với CD

C SI cắt với CD

D SI trùng với CD

Hướng dẫn giải:

a) Chọn A.

Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên MN AB// Lại có ABCD hình thang  AB CD// .

Vậy

//

// //

MN AB

MN CD CD AB



 



b) Chọn A.

Trong ABCD gọi EADBC, SCD gọi P SC EN .

Ta có E AD ADN  EN AND PADN Vậy P SC ADN

Do

 

     

I SAB I AN

I AN DP SI SAB SCD

I DP I SCD

  

 

        

 

  .

Ta có

 

 

   

// //

AB SAB CD SCD

SI CD AB CD

SAB SCD SI

  

 

 



  

NHĨM TỐN 11 – NĂM 2020 - 2021 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết

,

AD a BC b  Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng

ADJ cắt SB SC ,, M N Mặt phẳng BCI cắt SA SD ,, P Q

a) Khẳng định sau đúng?

A MN song song với PQ

B MN chéo với PQ

C MN cắt với PQ

D MN trùng với PQ

b) Giải sử AM cắt BP E ; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN

PQ Tính EF theo ,a b

A  

1

EF  a b

B  

3

EF a b

C  

2

EF a b

D  

2

EF  a b

Hướng dẫn giải:

a) Chọn A.

Ta có ISAD  ISAD  IBC

Vậy         // AD SAD BC IBC AD BC

SAD IBC PQ

            

// //

PQ AD BC



Tương tự JSBC JSBC  ADJ

Vậy         // AD ADJ BC SBC AD BC

SBC ADJ MN

            

// //

MN AD BC



Từ  1  2 suy MN PQ // b) Chọn D.

Ta có

 

 

E AMND E AM BP

E PBCQ           ;     F AMND F DN CQ

Do EF AMND  PBCQ Mà //

// // // //

//

AD BC

EF AD BC MN PQ MN PQ



 

 .

Tính EF : Gọi K CP EF EF EK KF

Ta có // 1 

EK PE EK BC

BC PB

 

, //

PE PM PM AB

EB AB

 

Mà

2

3

PM SP PE

AB SA  EB  .

Từ  1 suy

1 2

5 5

1

EK PE PE

EK BC b EB

BC PB PE EB

PE

      





Tương tự

2

KF  a

Vậy  

2

EFEK KF  a b

Câu 7: Cho tứ diện ABCD M , N, P , Q trung điểm AC, BC, BD , AD Tìm điều kiện để MNPQ hình thoi.

A AB BC . B BCAD. C AC BD. D AB CD .

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Ta có: MN song song với PQ song song với AB , MQ song song với PN song song với CD nên tứ giác MNPQ hình bình hành

Tứ giác MNPQ hình thoi MQ PQ  AB CD

Dạng Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường đồng quy.

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD Gọi M N P Q R T trung điểm, , , , , AC, BD , BC, CD,

SA,SD Bốn điểm sau đồng phẳng?

A M P R T , , , B M Q T R , , , C M N R T , , , D , , ,P Q R T Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có RT đường trung bình tam giác SAD nên RT AD //

MQ đường trung bình tam giác ACD nên MQ AD //

Suy RT MQ Do , , ,// M Q R T đồng phẳng.

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi , , ,

M N E F trung điểm cạnh bên , ,SA SB SC và SD.

a) Khẳng định sau đúng?

NHĨM TỐN 11 – NĂM 2020 - 2021 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN B ME NF SO khơng đồng quy (, , O giao điểm AC BD ).

C ME NF SO đồng quy (, , O giao điểm AC BD ).

D ME NF SO đôi chéo (, , O giao điểm AC BD ). b) Khẳng định sau đúng?

A Bốn điểm M N E F đồng phẳng., , , B Bốn điểm M N E F không đồng phẳng., , , C MN, EF chéo nhau.

D Cả A, B, C sai

Hướng dẫn giải:

a) Chọn C.

Trong SAC gọi I MESO, dễ thấy I trung điểm của SO, suy FI đường trung bình tam giác SOD.

Vậy FI OD//

Tương tự ta có NI OB// nên , ,N I F thẳng hàng hay INF.

Vậy minh ME NF SO đồng quy., , b) Chọn A.

Do MENF I nên ME NF xác định mặt phẳng Suy M N E F đồng phẳng., , , Câu 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M N P Q R S trung điểm cạnh, , , , ,

, , , , ,

AC BD AB AD BC CD Bốn điểm sau đồng phẳng?

A , , , P Q R S B M N R S , , , C M N P Q , , , D M P R S , , , Hướng dẫn giải:

Chọn A

Do PQ đường trung bình tam giác ABD PQ BD// Tương tự, ta có RS BD// Vậy PQ RS//  P Q R S, , , nằm mặt phẳng

Các bốn điểm M N R S, , , ;M N P Q , , , , , , M P R S đều không đồng phẳng

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tứ diện ABCD Gọi I , J điểm thuộc đoạn thẳng AB , AC ( I , J không

a) AB CD chéo nhau, AC BD chéo nhau.

b) IJ chéo với đường thẳng AD , BD , CD

Bài 2. Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm BD CD Tìm giao tuyến

mặt phẳng (AMN) (ABC)

Bài 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Tìm giao tuyến mặt

phẳng (SAB) (SCD)

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có I , J trọng tâm tam giác ABC ABD Tìm giao tuyến

của (AIJ) (ACD)

Bài 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N H trung điểm , ,

của cạnh SA SB BC Chứng minh , , MH SC// ; MN AB CD// //

Bài 6. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M , N

trung điểm SA, SB a) Chứng minh MN CD//

b) Tìm giao điểm P SC (AND)

c) Kéo dài AN cắt DP I Chứng minh SI AB CD// // Tứ giác SABI hình gì?

Bài 7. Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC,

AD, AC, BD.

a) Chứng minh MSNR hình bình hành

b) Chứng minh MN , PQ, RS cắt trung điểm đoạn.

Bài 8. Cho tứ diện ABCD M thuộc AB Gọi ( )P mặt phẳng qua M song song với BC, AD

Tìm thiết diện tạo mặt phẳng ( )P tứ diện, thiết diện hình gì?

Bài 9. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD Mặt

phẳng ( )P qua M , song song với SA BC Tìm thiết diện cho biết thiết diện hình gì?

Bài 10. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi ( )P mặt phẳng qua

CD, cắt SA SB M N .

a) Chứng minh tứ giác DCMN hình thang

b) Gọi I giao điểm MC DN Chứng minh S, I , O thẳng hàng

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 11. Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AC BC; K điểm

cạnh BD cho KD<KB

a) Tìm giao tuyến (IJ K) (ACD).b) Tìm giao tuyến (IJ K) (ABD)

Bài 12. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm

của SB, SD; P điểm SC cho SP>PC

NHĨM TỐN 11 – NĂM 2020 - 2021 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

c) Tìm giao tuyến (MNP) SAD d) Tìm giao tuyến (MNP) (ABCD)

Bài 13. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N H trung , ,

điểm cạnh SA SB BC , ,

a) Chứng minh MN CD// NH//(SCD) b) Tìm giao tuyến (MNH) (ABCD) c) Tìm giao tuyến (MNH) (NAC)

Bài 14. Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng ( )P Gọi Bx, Cy hai tia song song với

nhau nằm phía mặt phẳng ( )P ; M N điểm di động Bx, Cy cho CN=2BM.

a) Chứng minh MN qua điểm cố định I . b) Gọi E điểm thuộc đoạn AM

1

EM = EA

; F giao điểm IE AN; Q giao điểm BE CF Chứng minh AQ Bx Cy// // mặt phẳng (QMN) chứa đường thẳng cố định M , N di động.

Bài 15. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N , P, Q là

điểm thuộc đoạn thẳng BC, SC, SD, AD cho MN SB// , NP CD// , MQ CD// a) Chứng minh PQ SA//

b) Gọi K giao điểm MN PQ Chứng minh SK AD BC// //

c) Qua Q dựng Qx SC// , Qy SB// Tìm giao điểm Qx mặt phẳng (SAB); giao điểm Qy mặt phẳng SCD

Bài 16. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường

thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M , N cho AM AC: =BN BF: =1:3 Chứng minh MN DE//

Bài 17. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên hai đường

thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M , N cho AM AC: =BN BF: =5 Dựng đường thẳng MM AB¢// với M ¢ AD ; NN AB¢// với N ¢ AF

a) Chứng minh MM CD¢// NN CD¢// b) Chứng minh M N DF¢ ¢//

Bài 18. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm của

SB Xác định thiết diện hình chóp cắt bới mặt phẳng ( )P trường hợp sau:

a) Mặt phẳng ( )P qua M song song với SO AD