(a) (2 điểm) Chứng minh rằng mỗi ma trận dương cấp 2 đều có hai giá trị riêng là các số thực khác nhau và giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất là một số dương;.. 1/2..[r]
(1)(Xem trang sau) HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN VÀ HỌC SINH NĂM 2018
ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: ĐẠI SỐ
(Đề thi có 02 trang) Thời gian làm bài: 180 phút.
Bảng B
Bài B.1 Cho số thực a số nguyên n > Xét ma trận vuông cấp n sau
A =
a n − a n −
0 a
n − n − a
Tính định thức A trường hợp (a) (2 điểm) n = 4;
(b) (4 điểm) n số nguyên dương
Bài B.2 Người ta khảo sát mô hình di cư dân số hai vùng thị nông thôn với quy luật như
sau: Hằng năm, có 50% dân số vùng nơng thơn chuyển vùng thị đồng thời có 25% dân số vùng đô thị chuyển vùng nông thôn sinh sống Giả sử x, y tương ứng số dân vùng nông thôn vùng đô thị thời điểm ban đầu (x, y > 0)
(a) (4 điểm) Hỏi sau k năm dân số vùng nông thôn vùng đô thị bao nhiêu?
(b) (2 điểm) Giả sử ban đầu số người sống nông thôn thị Có thể đến lúc dân số vùng thị vượt q 80% tổng dân số hai vùng không? Giải thích câu trả lời
Bài B.3 Cho ma trận
A =
2 2 −3 1 −4 −4 1 −4
(a) (3 điểm) Tính A4;
(b) (5 điểm) Chứng minh hai hệ phương trình sau có tập hợp nghiệm R4,
Ax = 0, (1)
(A + A2+ A3 + A4)x = (2)
Bài B.4 Một ma trận vuông gọi dương tất hệ số số thực dương.
(a) (2 điểm) Chứng minh ma trận dương cấp có hai giá trị riêng số thực khác giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn số dương;
(2)(b) (2 điểm) Cho A ma trận dương cấp Giả sử v ∈ R2 véc tơ riêng ứng với giá trị riêng lớn A Chứng minh hai thành phần véc tơ v có dấu;
(c) (2 điểm) Cho A ma trận dương cấp Xét tập giá trị riêng A (kể giá trị phức), chứng minh giá trị riêng có mơ đun lớn A số thực dương
Bài B.5 Cho trước điểm phân biệt đường tròn.
(a) (3 điểm) Chia điểm thành ba cặp nối hai điểm cặp dây cung Hỏi có cách chia cho khơng có hai dây cung cắt nhau?
(b) (3 điểm) Đánh số điểm từ 1, 2, , Mỗi dây cung nối hai điểm gán với giá trị tuyệt đối hiệu số hai đầu mút Chọn dây cung, đơi khơng có đầu mút chung, lấy tổng số gán với dây cung Hỏi giá trị lớn tổng nhận bao nhiêu?
Hết
Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm.