100 bài HÌNH học LUYỆN THI vào 10

100 BÀI TẬP HÌNH HỌC LUYỆN THI VÀO 10 Bài 1: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: góc DEA=ACB Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA phân giác góc MAN Chứng tỏ: AM2=AE.AB Giợi ý: 1.C/m BEDC nội tiếp: C/m góc BEC=BDE=1v Hia y điểm D E làm A với hai đầu đoạn thẳng x BC góc vuông N 2.C/m góc DEA=ACB E D Do BECD ntDMB+DCB=2v M O Maø DEB+AED=2v B C AED=ACB 3.Gọi tiếp tuyến A Hình (O) đường thẳng Ta phải c/m xy//DE xy (Hình 1) Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ góc xAB= sđ cung AB Mà sđ ACB= sđ AB góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) xAB=AED hay xy//DE 4.C/m OA phân giác góc MAN Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA đường trung trực MN.(Đường kính vuông góc với dây)AMN cân A AO phân giác góc MAN 5.C/m :AM2=AE.AB Do AMN cân A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung nhau);góc MAB chung MAE ∽ BAM MA AE   MA2=AE.AB AB MA Baøi 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I 1.Tứ giác ADBE hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp 3.C/m B;I;C thẳng hàng MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI tiếp tuyến (O’) Gợi ý: 1.Do MA=MB ABDE M nên ta có I DM=ME ADBE hình bình A M O B O’ C hành Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE ;là hình E thoi 2.C/m DMBI nội tiếp Hình BC đường kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà 3.C/m B;I;E thẳng hàng DMB=1v(gt) Do AEBD hình thoi BE//AD màgóc ADDC (góc nội tiếp chắn nửa BID+DMB=2vđpcm đường tròn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua điểm B có hai đường thẳng BI BE vuông góc với DC B;I;E thẳng hàng C/m MI=MD: Do M trung điểm DE; EID vuông IMI đường trung tuyến tam giác vuông DEI MI=MD C/m MC.DB=MI.DC chứng minh MCI∽ DCB (góc C chung;BDI=IMB chắn cung MI DMBI nội tiếp) 5.C/m MI tiếp tuyến (O’) -Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI MBID nội tiếp MIB=MDB (cùng chắn cung MB) BDE cân B góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp góc MEB=MCI (cùng chắn cung MI) Từ suy góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậy MI O’I I nằm đường tròn (O’) MI tiếp tuyến (O’) D Bài 3: Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AMMC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S C/m ADCB nội tiếp C/m ME phân giác góc AED C/m: Góc ASM=ACD Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý: 1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh: A Góc MDC=BDC=1v Từ suy A vad S DD làm với M hai đầu đoạn thẳng BC góc B E C vuông… 2.C/m ME phân Hình giác góc AED Do ABCD nội tiếp ABD=ACD (Cùng chắn cung AD) nên Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD) Do MC đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội tiếpGóc MEA=ABD Góc MEA=MEDđpcm 3.C/m góc ASM=ACD Ta có A SM=SMD+SDM(Góc tam giác SMD) Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD Vậy Góc A SM=ACD 4.C/m ME phân giác góc AED (Chứng minh câu 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy Gọi giao điểm AB;CD K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng Do CAAB(gt);BDDC(cmt) AC cắt BD MM trực tâm tam giác KBCKM đường cao thứ nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn AB r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E 1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A 2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn 3/ Chứng tỏ : BC2= Rr 4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giải: B N E F 1/C/m ABC vuông: Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nênAE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC= C BC.ABC vuông A O A I 2/C/m A;E;N;F nằm trên… -Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt EO Hình 10 phân giác cân AEBEO đường trung trực ABtam haygiác OEAB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm… 3/C/m BC2=4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vuông(Cmt)FANE hình vuôngOEI vuông E EAOI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu) Mà AH= BC BC OA=R;AI=r RrBC2=Rr 4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuoâng SBCIO= S= OB  IC BC (r  R ) rR Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M(M nằm đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM H,cắt AO kéo dài I Giải: C/m OMHI nội tiếp Tính góc OMI Từ O vẽ đường vuông góc với BI K.C/m OK=KH Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB 1/C/m OMHI nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối 2/Tính góc OMI A Do OBAI;AHAB(gt) OBAH=M Nên M trực tâm tam giác ABI IM đường cao thứ IMAB góc OIM=ABO(Góc có cạnh Mà  vuông OAB có tương ứng vuông góc) OA=OB OAB vuông O M B cân O goùc OBA=45ogoùc OMI=45o H 3/C/m OK=KH Ta coù OHK=HOB+HBO K (Góc OHB) I Do AOHB nội tiếp(Vì góc Hình AOB=AHB=1v) Góc 11 HOB=HAB (Cùng chắn o Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45 cung HB) OKH vuông cân KOH=KH OBH=OAH(Cùng chắn 4/Tập hợp điểm K… Do OKKB OKB=1v;OB không đổi M di động K nằm đường tròn đường kính OB Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B K điểm cung AB.Vậy quỹ tích điểm K đường tròn đường kính OB Bài 12: Cho (O) đường kính AB dây CD vuông góc với AB F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD E C/m AM phân giác góc CMD C/m EFBM nội tiếp Chứng tỏ:AC2=AE.AM Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.C/m NI//CD 1/C/m phân giác Chứng minh N tâmAM đường trèon nộicủa tiếp CIM góc CMD Giải: Do ABCD AB phân giác tam giác cân COD. COA=AOD C Các góc tâm AOC AOD N M nên cung bị chắn cung A F O B AC=ADcác góc nội tiếp I chắn cung D nhau.Vậy CMA=AMD 10 2/C/m EFBM nội tiếp Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp 1/Chứng 2/Chứng 3/Chứng 4/Chứng minh BDCO nội tiếp minh:DC2=DE.DF minh DOCI nội tiếp đường tròn tỏ I trung điểm EF A 1/C/m: BDCO nội tiếp Vì BD DC hai tiếp tuyến OBD=OCD=1v OBD+OCD=2v BDCO nội tiếp 2/Cm: :DC2=DE.DF Xét hai tam giác DCE DCF có: D chung F O I B C E D SđECD= Hình 81 sđ cung EC (góc tiếp Sđ DFC= sđ cung EC (góc nt vàtuyến cung bị chắn)EDC=DFC dây) DCE~DFC đpcm 3/Cm: DCOI nội tiếp:Ta có sđ DIC= sđ(AF+EC) Vì FD//AD Cung AF=BE sñ DIC= sñ(BE+EC)= sñ cung BC 2 Sđ BOC=sđ cung BC.Mà DOC= BOCsđ DOC= sđBCDOC=DIC Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng DC góc đpcm 4/C/m I trung điểm EF Do DCIO nội tiếpDIO=DCO (cùng chắn cung DO).Mà DCO=1v(tính chất tiếp tuyến)DIO=1v hay OIFE.Đường kính OI vuông góc với dây cung FE nên phải qua trung điểm FEđpcm Bài 82: Cho đường tròn tâm O,đường kính AB dây CD vuông góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD E 1/Chứng minh AM phân giác góc CMD 2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM 4/Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.Chứng minh NI//CD C E N M Hình 82 73 A O I B F D 1/C/m AM phân giác góc CMD: Ta có: Vì OACD COD cân O OA phân giác góc COD Hay COA=AODcung AC=AD góc CMA=AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)đpcm 2/cm EFBM nội tiếp: VìCDAB(gt)EFB=1v;và EMB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) EFB+ EMB=2vđpcm 3/Cm: AC2=AE.AM Xét hai tam giác:ACM ACE có A chung.Vì cung AD=AChai góc ACD=AMC(hai góc nt chắn hai cung nhau) ACE~AMCđpcm 4/Cm NI//CD: Vì cung AC=ADgóc AMD=CBA(hai góc nt chắn hai cung nhau) Hay NMI=NBI Hai điểm M B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc NIBM nội tiếp Góc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt)NI//CD Bài 83: Cho ABC có A=1v;Kẻ AHBC.Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G.Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D C/m:AEHF nội tiếp Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC Chứng minh EFDG FHC=AFE Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn G A E B F H Hình 83 C D 1/Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC=1v(góc nt chắn nửa đtròn) FHE=1v  BAC+ FHE=2vđpcm 2/Cm: HG.HA=HD.HC Xét hai  vuông HAC HGD có:BAH=ACH (cùng phụ với góc ABC).Ta lại có GAD=GHD=1vGAHD nội tiếp DGH=DAH ( chắn cung DH DGH=HAC HCA~HGDđpcm 74 3/C/m:EFDG:Do GHDF DACG AD cắt GH E E trực tâm CDGEF đường cao thứ CDGFEDG  C/m:FHC=AFE: Do AEHF nội tiếp AFE=AHE(cùng chắn cung AE).Mà AHE+AHF=1v AHF+FHC=1vAFE=FHC 4/ Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn nhất: Do AEHF nội tiếp đường tròn có tâm trung điểm EF Gọi I tâm đường tròn ngoại tiêùp tứ giác AEHFIA=IHĐể EF ngắn I;H;A thẳng hàng hay AEHF hình chữ nhật HE//AC HF//AB Bài 84: Cho ABC (AB=AC) nội tiếp (O).M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I Chứng minh A;O;I thẳng hàng Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J.Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m:KM.JA=KA.JB A O  E J B I Hình 84 1/C/m A;O;I thẳng K hàng: Vì BMI=IMC(gt)  cung IB=IC Góc M BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)AI N C phân gíc  cân ABC AIBC.Mà BOC cân O có góc tâm chắn cung OI giác Theo cmt ta có AIlà làphân đường kính qua trung điểm góc BOC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)AJC+AKC=2v đpcm đpcm 2/C/m AKCJ nội tiếp: dây BC AIBC 3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vuông JAB KAM có: Góc KMA=MAC+MCA(góc tam giác AMC) 1 2 sđ(MC+AM)= sđAC=sđ góc ABC Vậy góc ABC=KMA Mà sđ MAC= sđ cung MC sđMCA= sđ cung AM sđKMA= JBA~KMAđpcm Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F Chứng minh BDCF nội tiếp 75 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O) AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O) Hình 85 F C E I J  O’ A  O D B 1/Cm:BDCF nội tiếp: Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)đpcm 2/C/m: CD2=CE.CF Ta có Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt) CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vuông có DC đường cao.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF Vì EDF vuông D(cmt)FDED hay FDO’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.đpcm 3/C/m IJ//AB Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm 4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O) Ta có CDEF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính DO Bài 86: Cho (O;R (O’;r) R>r, cắt Avà B Gọi I điểm đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K Chứng minh ICKD nội tiếp 1/C/m ICKD nt: Vì Chứng tỏ:IC2=IA.IB vàcủa DI hai tt Chứng minh IK nằm đường trungCI trực CD hai đtròn IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN ICK=IDK=1v a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN b/ E; F; M; N nằm đường đpcm tròn 2/C/m: IC2=IA.IB I Xét hai tam giác Hình ICE ICBcó 86 góc I chung C sđ ICE= sđ cung E CE (góc tt M dây) 76 A D  O O’ B F N K sđ CE (góc nt cung bị chắn)ICE=IBCICE~IBCđpcm 3/Cm IK nằm đường trung trực CD Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IB Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB  -Hai tam giác vuông ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vuông IC=ID ICK=IDKCK=DKK nằm đường trung trực CD.đpcm 4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)IE.IF=IM.IN b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p IF IN  dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: Tức hai cặp cạnh tam IM IE giác IFN tương ứng tỉ lệ với hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung IEM~INFIEM=INF.Mà IEM+MEF=2vMEF+MNF=2vđpcm Sđ CBI= Bài 87: ChoABC có góc nhọn.Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC D E.BE CD cắt H Chứng minh:ADHE nội tiếp C/m:AE.AC=AB.AD AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp DFE Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O) A I E D B x H F O Hình 87 C 77 1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) ADH+AEH=2vADHE nt 2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh AEB ADC đồng dạng 3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF: Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF -Tứ giác BDHF ntHED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF ntECH=EFH(cùng chắn cung HE) EFH=HFDFH phân giác DEF -Tứ gáic BDHF ntFDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)EDC=CDFDH phân giác góc FDEH là… 4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IHIA=IE=IH= AH (tính chất trung tuyến tam giác vuông)IAE cân IIEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do OEC cân O OEC=OCE xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OEIE điểm E nằm đường tròn (O)đpcm Bài 88: Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E(O)) Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD Chứng tỏ FA.EC=FD.EA A E  O C  O’ Hình 88 B D F K 1/C/m AOC AO’D thẳng hàng: -Vì ABCD Góc ABC=1vAC đường kính (O)A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng 2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v AEK+AFK=2vđpcm 3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ACD Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90 o ADF=ACE ACE+ACK=2vADF+ACK=2vK nằm đường tròn ngoại tiếp … 78 4/C/m FA.EC=FD.EA Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD EAC đồng dạng EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)EAC=FADđpcm Bài 89: Cho ABC có A=1v.Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K Chứng minh:OAO’ thẳng hàng CM:AMKN nội tiếp Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC Chứng tỏ 4MI2=Rr Hìn O’ A O M B I N K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng: -Vì M trung điểm dây ABOMAB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) KBO=KAO  góc OBK=OAK mà OBK=1v OAK=1v Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v đpcm 2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v AMK+ANK=2v đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật 3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’) -Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OAAK điểm A nằm đường tròn (O)đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’) -C/m K nằm BC: Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC Nhưng AMKN hình chữ nhậtMKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghóa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2vK;B;C thẳng hàng đpcm 4/ C/m: 4MI2=Rr Vì OKO’ vuông K có đường cao KA.p dụng hệ thue=ức lượng tam giác vuông có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI= AKđpcm Bài 90: 79 Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vuông góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F Cm:BDEF nội tiếp Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI.AM=AC.AH E Hìn B A O I C H M D F 1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính ACABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn) FBE=EDF=1vđpcm 2/ C/m DA.DF=DC.DE: Xét hai tam giác vuông DAC DEF có: Do BFAE EDAF nên C trực tâm AEFGóc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)đpcm 3/ Cm:DIMF nt: Vì ACBD(gt) DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vuông góc với dây DB)ADB cân A AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)Đường tròn ngoại tiếp AEF có tâm nằm đường AM góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)DIM+DFM=2vđpcm Bài 91: Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khác A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D(O)); DB CE kéo dài cắt M 1/Cm:ADEM nt: Vì Cmr: ADEM nội tiếp AEC=1v Cm: MA tiếp tuyến chung ADB=1v(góc hai đường nt chắn tròn ADEM hình gì? nửa đtròn) Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC ADM+AEM=2vđpcm 2/C/m MA tiếp tuyến hai đường tròn; B O A -Ta có sđADE= sđ O’ C cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)ABM=AMC 80 E D M Hìn Tương tự ta có AMB=ACMHai tam giác ABM ACM có hai cặp góc tương ứng nhauCặp góc cònlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2vBAM=MAC=1v hay OAAM điểm A nằm đtròn… 3/ADEM hình gì? Vì BAM=1vABM+AMB=1v.Ta có MA tt đtrònDAM=MBA (cùng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật 4/Cm: MD.MB=ME.MC Tam giác MAC vuông A có đường cao AE.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vuông MAB có MA2=MD.MBđpcm Bài 92: Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường thẳng AM Cm: ABKC nội tiếp Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD.KN=BE.KA Cm: MN//DB Cm: BMEN hình vuông A Hìn B N M E K D C 1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt)  đpcm 2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có: Vì ABCD hình vuông nên nội tiếp đường tròn có tâm giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1vA;K;C nằm đtròn đường kính AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường 81 tròn.Góc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)BDE~KAN BD BE  KA KN đpcm 3/ Cm:MN//DB.Vì AKCN CBAN ;AK cắt BC MM trực tâm tam giác ANCNMAC.Mà DBAC(tính chất hình vuông)MN//DB 4/Cm:BNEM hình vuông: Vì MN//DBDBM=BMN(so le) mà DBM=45oBMN =45oBNM tam giác vuông cânBN=BM.Do BEDB(gt)và BDM=45oMBE=45oMBE tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m MN phân giác góc BMNBMEN hình thoi lại có goác B vuông nên BMEN hình vuông Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: PEN tam giác cân F N I Q A E B P M O D C 1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).đpcm 2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhậtO trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua MM trung điểm NC OM đường trung bình ANCOM//AN hay AN//DB 3/Cm:F;E;M thẳng hàng Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình chữ nhậtAIE OAB tam gíc cânIAE=IEA ABO=BAO.Vì AN//DB IAE=ABO(so le)IEA=EACEF//AC hay IE//AC 82 Vì I trung điểm AN;M trung điểm NCIM đường trung bình ANCMI//AC .Từ và Ta có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng F;F;M thẳng hàng 4/C/mPEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếpPNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAPENP=EPNPEN cân E Bài 94: Từ đỉnh A hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q Cm:E; P; Q; F; C nằm đường tròn Cm:AB.PE=EB.PF Cm:SAEF=2SAPQ Gọi M trung điểm AE.Cmr: MC=MD A B M P E Q D F C 1/Cm:E;P;Q;C;F cuøng nằm đường tròn: Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vuông)ABEQ nội tiếp ABE+AQE=2v mà ABE=1vAQE=1v.Ta có AQE vuông Q có góc QAE=45oAQE vuông cânAEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) PDF=45o APFD nội tiếpAPF+ADF=2v mà ADF=1vAPF=1v ECF=1v  Từ E;P;Q;F;C nằm đường tròn đường kính EF 2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có: -Vì ABEQ ntBAE=BQE(Cùng chắn cung BE) BAE=PFE -Vì QPEF ntPQE=PEF(Cùng chắn cung PE) đpcm 3/Cm: :SAEF=2SAPQ Theo cm AQE vuông cân QAE= AQ  QE = AQ Vì QPEF nt PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung S  AE   = AQP~AEF AEF  S AQP  AQ    =2đpcm 4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai MAD=MBC có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM Bài 95: 83 Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vuông góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J C/m:OHIK nội tiếp Chứng tỏ KHOI Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn A B 1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng J O minh) 2/CmF HKOI H K Tam giác ABI E cóC hai D đường cao DH AK cắt O OI đường cao thứ ba I OIAB Ta có OKIH ntOKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OIAB ADAB OI//ADOIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE OKH=OCEHK//AB.Mà OIAB OIKH 3/Cm: HJ.KC=HE.KB Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp: VìAHBE;EJ//AD ADABEJABBJ đường cao thứ ba tam giác ABEBJAE Vì E trung điểm DH;EJ//ADEJ đường trung bình 1 tam giác ADHEJ//= AB;BF= BC mà BC//=ADJE//=BFBJEF 2 A hình bình hànhJB//EF.Mà BJAEEFAE hay AEF=1v;Ta lại có E ABF=1vABFE nt Bài 96: Cho ABC, phân giác góc góc góc B C gặp theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vuông góc I thẳng AB; BC; AC với đường Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng B2 Chứng minh: P C BICJ nt BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr:AEAJ C/m: AI.AJ=AB.AC K H J 84 Bài 97: Từ đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BKAx;BIAy DMAx,DNAy Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD Chứng minh MN=KI Chứng tỏ KIAN x B P C K y N M A Q I D Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90 o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vuông góc với CD AM Chứng minh KHDM nt Chứng minh:AB=CK+AM Bài 99: D lấy điểm C gọi B trung Cho(O) tiếpAtuyến Ax.Trên Ax M Vẽ cát tuyến BEF.Đường B điểm AC thẳng CE CF gặp lại đường E tròn điểm thứ hai M N.Dựng hình bình hành AECD C Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF N tiếp Chứng minh AFCD nội Chứng minh:CN.CF=4BE.BF F Chứng minh MN//AC 85 1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàngđpcm 2/Cm:AFCD nội tiếp: -Do ADCE hình bình hànhBC//AEgóc BCA=ACE(so le) 2 -sđCAE= sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE= sđ cung AE CAE=AFE.BCN=BFAAFCD nội tiếp 2/Cm CN.CF=4BE.BF -Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)BAE~BFA AB BE  AB2=BE.BF BF AB Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạngAC2=CN.CF.Nhưng ta lại có AB= AC.Do đó trở thành: AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF Từ  đpcm 4/cm MN//AC Do ADCE hbhBAC=ACE(so le).Vì ADCF nt DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)ACM=CMNMN//AC Bài 100: Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E Chứng minh BNI cân PKEN nội tiếp Chứng minh AN.BD=AB.BN Chứng minh I trực tâm MPN IE//BC 1/C/m BNI cân Ta có A sñBIN= sñ(AP+BN) P M F K sñIBN= sñ(CP+CN) O Maø Cung AP=CP; E I BN=CN(gt) B C BIN=IBNBNI cân N 2/Chứng tỏ PKEN N nội tiếp: Vì cung AM=MBANM=MPB hay KPE=KNEHai điểm P;N làm với hai đầu đoạn thẳng KE…đpcm 86 3/C/m AN.DB=AB.BN Xét hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)đpcm 4/ Chứng minh I trực tâm MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC F D.Ta có: sđ AFD= sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường tròn.) sđ ADF= sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường tròn.) Mà Cung AP=PC;MB=AMAFD=ADFAFD cân A có AN phân giác góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)ANMP hay NA đường cao NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic MNP C/m IE//BC.Ta có BNI cân N có NE phân giác NE đường trung trực BIEB=EIBEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung PA=PC).Nên PBC=EIBEI//BC aa Hết 87 ... để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Giải:Có hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau C/m hình 9a Hình 9a A M I Q H B P Hình 9b O N 1/ C/m:A,Q,H,M nằm đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau:-Cùng... INCQ hình vuông: MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN NC=IQ=PD NIC vuông N F có ICN=45o(Tính chất đường E P I N chéo hình vuông)NIC vuông cân N B Q CINCQ hình vuông 2/C/m:NQ//DB: Hình 22 Do ABCD hình. .. ADBE hình bình A M O B O’ C hành Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE ;là hình E thoi 2.C/m DMBI nội tiếp Hình BC đường kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà 3.C/m B;I;E thẳng hàng DMB=1v(gt) Do AEBD hình