Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số đã áp dụng dạy học cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Thiệu Long: 3.1.Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Để dùn[r]
(1)Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số PhÇn thø nhÊt: Më ®Çu Lý chọn đề tài: Trong nhà trường THCS, môn Toán giữ vai trò quan trọng Những tri thức và kỹ toán học cùng với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập các môn học khác, là công cụ nhiều ngành khoa học và đời sống thực tế Vì toán học là phần không thể thiếu văn hóa người Trong quá trình giảng dạy chương trình Đại số lớp và lớp thân tôi thấy viÖc gi¶i bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt (hay bµi to¸n cùc trÞ) lµ mét vấn đề khó học sinh Vì các bài toán cực trị thường không cho sẵn điều phải chứng minh, chúng đòi hỏi học sinh phải tự tìm lấy kết bài toán Đối với bài toán cực trị thường có nhiều đường để đến đích, đó có cách giải ngắn gọn, hợp lí, đôi có phưong án độc đáo và sáng t¹o C¸c bµi to¸n cùc trÞ còng g¾n to¸n häc víi thùc tiÔn bëi viÖc ®i t×m nh÷ng gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt,nhiÒu nhÊt, Ýt nhÊt,… chÝnh lµ ®i t×m nh÷ng c¸i tèi u thường đặt đời sống và kỹ thuật đề tài này, tôi mạnh dạn đưa số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ để giúp các em học sinh nâng cao kiến thức và kỹ tìm cùc trÞ Mục đích nghiên cứu: - Gióp b¶n th©n tù häc hái, tù n©ng cao kiÕn thøc vÒ phÇn nµy - Vận dụng vào quá trình giảng dạy, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh khá giỏi - Giúp học sinh nắm vững kiến thức, làm sở để học lớp trên - Cã nhiÒu øng dông viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (2) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số 3.2 Ph¹m vi nghiªn cøu: Học sinh lớp 9B trường THCS Thiệu Long C¸c nhiÖm vô nghiªn cøu: Đề tài này nêu và giải số vấn đề sau: - Một số sở lý luận liên quan đến đề tài - Cơ sở thực tế vấn đề nghiên cứu - Một số phưong pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số - Những kết đạt - Mét sè bµi häc kinh nghiÖm Giới hạn đề tài: §Ò tµi nµy chØ giíi h¹n viÖc t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thức đại số áp dụng cho học sinh lớp Bắt đầu từ tháng 09 năm 2006 đến tháng 03 n¨m 2007 Phương pháp nghiên cứu: - Quan s¸t s ph¹m - §iÒu tra gi¸o dôc - Nghiªn cøu tµi liÖu - Kiểm tra đánh giá PhÇn thø hai: Néi dung Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu: Dạy học là quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng Sự vận động và phát triển mang tính quy luật thống hoạt động dạy thầy và hoạt động học trò Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (3) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Người giáo viên, với vai trò chủ thể tác động sư phạm phải biết thiết kế và tổ chức quy trình dạy học như: xác định mục tiêu, nhiệm vụ dạy học, lựa chọn nội dung, vận dụng các phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học Trong quá trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc kiến thức quan trọng để truyền thụ cho học sinh Đồng thời phải dẫn dắt học sinh biết tìm tòi, phát tri thức và bước giải các vấn đề đó thông qua các phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với đối tượng học sinh Trong qu¸ tr×nh d¹y häc, häc sinh kh«ng ngõng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc nhËn thøc, tù m×nh rÌn luyÖn c¸c thao t¸c trÝ tuÖ V× vËy gi¸o viªn ph¶i gióp häc sinh tù mình khám phá trên sở tự giác và tự suy nghĩ, tranh luận, đề xuất các vấn đề cần giải Khi học sinh phát bài toán hay, điều đó giúp các em học toán có hiệu và hưởng trọn niềm vui tự m×nh gi¶i ®îc bµi to¸n VËy d¹y häc to¸n lµ ph¶i biÕt ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o vµ kh¶ n¨ng t to¸n häc s½n cã cña häc sinh, t¹o cho c¸c em niÒm tin vµo m«n häc nµy §Æc trưng toán học là tính trừu tượng cao độ, tính lôgic và tính thực nghiệm Vì thế, người giáo viên phải chú ý đến tất các phương diện đó có thể hướng dẫn học sinh học toán, khai thác đầy đủ tiềm môn toán để thực hiÖn môc tiªu gi¸o dôc toµn diÖn Cơ sở thực tế vấn đề nghiên cứu: - Nhìn chung, nội dung kiến thức tìm giá trị lớn nhất, nói đến ít SGK đại số lớp và lớp chúng là phần kiến thức khó Đa số học sinh tiÕp thu kiÕn thøc nµy mét c¸ch m¬ mµng vµ khã kh¨n nªn cha thÓ tù m×nh tiến tới giải các bài toán dạng này Trong đó, phần nhiều giáo viên chưa dành nhiều thời gian để nghiên cứu sâu các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (4) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số để đóng vai trò chủ thể quá trình dẫn dắt học sinh phát vấn đề và giải vấn đề - Trường THCS Thiệu Long có đầy đủ sơ vật chất tạo điều kiện tốt cho việc gi¶ng d¹y nãi chung vµ bé m«n to¸n nãi riªng PhÇn lín häc sinh chÞu khã häc hỏi, tìm tòi, say mê môn toán Song trình độ tiếp thu có hạn nên ít em có thÓ tù m×nh lµm ®îc c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt - Qua kh¶o s¸t vµ kiÓm tra ®Çu n¨m häc 2006-2007 vÒ phÇn kiÕn thøc t×m gi¸ trị lớn nhất, giá trị nhỏ lớp 9B kết đạt sau: Tæng sè häc sinh ®îc tham gia kh¶o s¸t: 44 em Lo¹i giái: TØ lÖ: 6,8% Lo¹i kh¸: TØ lÖ: 18,2% Lo¹i TB: 22 TØ lÖ: 50% Lo¹i yÕu,kÐm: 11 TØ lÖ: 25% Chất lượng trên thể phận học sinh đã biết cách giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Vì tôi tập trung nghiên cứu sâu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ để đưa cho học sinh tìm hiểu, áp dụng giúp các em có thêm công cụ để giải toán d¹ng nµy §Æc biÖt lµ nh÷ng em cã n¨ng khiÕu vÒ m«n to¸n, cµng lµm cho c¸c em phát triển tư trí tuệ Trong quá trình giảng dạy, thân đã dạy cho học sinh các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sau: Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (5) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số đã áp dụng dạy học cho học sinh lớp trường THCS Thiệu Long: 3.1.Phương pháp dùng đẳng thức: Để dùng đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số thì trước hết học sinh phải nắm các đẳng thức thường sử dụng là: a b 2 a 2ab b a b 2 a 2ab b a b c 2 a b c 2ab 2bc 2ca a b c 2 a b c 2ab 2bc 2ca a b c 2 a b c 2ab 2bc 2ca Phương pháp này thường dùng để tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ biểu thức đại số là tam thức bậc hai, đa thức bậc cao hai có thể đưa tam thức bËc hai, ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè vµ mÉu lµ tam thøc bËc hai Vì lớp học sinh đã làm các bài tập tìm cực trị biểu thức là tam thøc bËc hai hoÆc ®a thøc bËc cao cã thÓ ®a ®îc vÒ tam thøc bËc hai nªn ë ®©y gi¸o viªn chØ cñng cè l¹i cho häc sinh Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số là tam thức bậc hai sau: - Đối với biểu thức đại số là tam thức bậc hai thì đưa tam thức đó dạng f x a f x a (trong đó a là số) cách áp dụng các đẳng - Đối với biểu thức đại số là đa thức bậc cao sau đã đưa dạng tam thức bậc hai thì làm tương tự tam thức bậc hai Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (6) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số - Đối với biểu thức đại số là phân thức có tử là số và mẫu là tam thức bậc hai thì đưa biểu thức đó dạng b hoÆc f x a b (a,b lµ c¸c h»ng sè) f x a Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô cô thÓ: VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x x 11 Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: H·y ®a ®a thøc trªn vÒ d¹ng Hs: Ta cã: A x x 11 f x a cách áp dụng đẳng 2( x x) 11 2( x x 4) 11 thức bình phương hiệu 2( x 2) Gv: Cã nhËn xÐt g× vÒ biÓu thøc Hs: Do ( x 2) víi mäi x nªn ( x 2) víi mäi x 2( x 2) Từ đó rút kết luận gì suy A 2( x 2) víi mäi x vÒ biÓu thøc A ? Gv: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A lµ Hs: Ta nhËn thÊy: A3 x20 bao nhiªu ? §¹t ®îc t¹i gi¸ trÞ nµo cña x2 x? VËy A vµ chØ x VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B ( x 1)( x 3)( x x 5) Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: H·y so s¸nh kÕt qu¶ cña phÐp nh©n Hs: ( x 1)( x 3) = x x ( x 1)( x 3) víi x x suy ra: x x = ( x 1)( x 3) + Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (7) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Gv: Nếu đặt y = x x hãy biễu Hs: x x x x y diễn x x qua y Khi đó biểu thức Khi đó: B y ( y 2) B cã d¹ng nh thÕ nµo ? y2 y Gv: Cã nhËn xÐt g× vÒ biÓu thøc B ? Hs: BiÓu thøc B lµ tam thøc bËc hai Gv: H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu Hs: thøc B ? B y ( y 2) y2 2y y2 2y 11 y 1 Do y 12 víi mäi y nªn B 1 víi mäi y B 1 y x 4x x 4x x x20 x2 VËy B 1 vµ chØ x VÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: C = x 5x Phần hướng dẫn giáo viên Gv: Cã nhËn xÐt g× vÒ biÓu thøc C ? Hoạt động học sinh Hs: BiÓu thøc C lµ mét ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè, mÉu lµ tam thøc bËc hai Gv: Hãy biến đổi mẫu thức C Hs: Ta có: d¹ng f x a C = x 5x Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (8) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số = 2 25 5 x .x 8 2 = 2 5 x 2 2 Gv: Ta thÊy: x víi mäi x 2 7 Hs: V× x víi mäi x 4 2 nªn 7 nªn x víi mäi x 4 2 Từ đó hãy tìm giá trị lớn 5 x 2 suy biÓu thøc C C = 2 5 x 2 8 hay C 7 x 0 x VËy max C = vµ chØ x 3.2 XÐt biÓu thøc phô: Có biểu thức đại số mà việc trực tiếp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức là khó khăn Ta sử dụng phương pháp gián tiếp là xét biểu thức phụ Các biểu thức phụ thường xét là: , A, A , A , hoÆc sai kh¸c A mét A h»ng sè Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com (9) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số VÝ dô 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x2 Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: Hãy tìm tập xác định biểu Hs: Tập xác định là: x thøc trªn Gv: Cã nhËn xÐt g× vÒ biÓu thøc A Hs: Ta nhËn thÊy A (âm hay dương) ? Gv: H·y xÐt biÓu thøc phô A' Gv: BiÓu thøc A Hs: A ' x nhËn nh÷ng gi¸ Hs: x2 A Ta cã: x trị nào ? Từ đó hãy suy giá trị x2 A’ x2 A' Hs: Tõ Gv: Tõ gi¸ trÞ cña A’ h·y t×m gi¸ trÞ A' suy A ' x lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A x đó max A max A ' x x0 đó A Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 52 52 (10) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số VÝ dô 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B x2 x 1 x2 x 1 Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: Cã nhËn xÐt g× vÒ gi¸ trÞ Hs: Ta nhËn thÊy B víi mäi x cña biÓu thøc B (©m hay dương) ? ' Gv: H·y xÐt biÓu thøc phô B’= Hs: B B x x 1 x2 x 1 B' x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 B2 2x x x x2 x4 x2 Gv: BiÓu thøc B’ nhËn nh÷ng Hs: B ' x x x giá trị nào ? Từ đó hãy tìm giá B' x2 trÞ nhá nhÊt cña B’ Gv: Tõ x0 B x ' H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B đó B ' x Hs: B vµ chØ x Gi¸o viªn lu ý cho häc sinh xÐt c¸c biÓu thøc phô: Chó ý: Khi xÐt biÓu thøc phô A ' A' lín nhÊt A nhá nhÊt A A' nhá nhÊt A lín nhÊt A ' ; A A phải chú ý là A Khi đó: A A ' A lín nhÊt A lín nhÊt A ' A nhá nhÊt A nhá nhÊt Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 10 (11) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số 3.3 Đổi biến và tìm cực trị biến mới: Trong trường hợp việc tìm cực trị biến biểu thức đã cho là khá phức tạp thì phương pháp để đưa bài toán dạng đơn giản là đổi biến và tìm cực trị biến VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x x 1 x x 1 Phần hướng dẫn giáo viên Gv: §Æt Hoạt động học sinh x 1 y CÇn cã ®iÒu Hs: §iÒu kiÖn y kiÖn g× cho y ? H·y biÓu diÔn A V× qua y x 1 y x y x y thay vµo biÓu thøc A , ta cã: A y2 1 2y y2 1 2y y 12 y 12 y 1 y 1 Hs: A y y Gv: BiÓu thøc A nhËn nh÷ng gi¸ 1 y 1 y 1 y 1 y trÞ nµo ? A Hs: V× A nªn Gv: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc y A lµ bao nhiªu ? §¹t ®îc t¹i gi¸ trÞ A 1 y y x 1 y nµo cña x ? Chú ý: Sau đổi biến và tìm cực trị biến mới.Cần tồn các giá trị biến cũ để có cực trị đó Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 11 (12) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số 3.4 Vận dụng các bất đẳng thức đã biết: Khi tìm cực trị biểu thức đại số, người ta thường sử dụng tính chất bất đẳng thức, các bất đẳng thức và hai bất đẳng thức quan trọng là bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki Giáo viên giới thiệu cho học sinh số các bất đẳng thức, các bất đẳng thức thường dùng để tìm cực trị biểu thức đại số Các bất đẳng thức thường dùng là: - a 0;a DÊu "" x¶y vµ chØ a - a DÊu "" x¶y vµ chØ a - a a DÊu "" x¶y vµ chØ a - a b a b DÊu "" x¶y vµ chØ ab - a b a b DÊu "" x¶y vµ chØ ab vµ a b (các điều kiện này còn có thể diễn đạt là a b a b ) Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy): Víi n sè a1 , a2 , an th× a1 a2 an n a1a2 an n (dÊu "" x¶y vµ chØ a1 a2 an ) Víi n = th× a1 a2 a1a2 Víi n = th× a1 a2 a3 a1a2 a3 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki: a.m b.n 2 a b m n (dÊu "" x¶y vµ chØ a b ) m n Giáo viên lấy ví dụ để hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp này Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 12 (13) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số VÝ dô 7: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A 3x 3x Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: Điều kiện xác định biểu Hs: Điều kiện xác định biểu thức A thøc A lµ g× ? lµ: Gv: XÐt biÓu thøc: Hs: A 3x 3x A2 x x x 3 x x 3 x 57 x 3 x 57 x Gv: Hai số 3x và 3x âm hay Hs: Từ điều kiện xác định ta thấy 3x dương, tổng chúng bao và 3x là hai số không âm và có tổng nhiêu ? Ta có thể áp dụng bất đẳng là nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số đó, ta có: thøc nµo cho chóng ? A 3 x 57 x x x A2 Gv: Tõ A2 h·y t×m gi¸ trÞ lín Hs: Do A2 A 3x 3x A Giá trị lớn đó đạt x (tháa m·n ®kx®) ®îc t¹i gi¸ trÞ nµo cña x ? VËy max A vµ chØ x hay max A vµ chØ x Ngoài cách làm trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải ví dụ trên cách áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki sau: A x x 1 2 2 12 x x Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 13 (14) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số A 23 x x A VÝ dô 8: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2x 3y biÕt r»ng x y Phần hướng dẫn giáo viên Gv: XÐt biÓu thøc: A 2 x y 2 vµ áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpxki với a , b , m x, n y Hoạt động học sinh Hs: XÐt biÓu thøc: A 2 x y 2 x 3 y áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpxki, ta có: A2 2 x 3 y y 2 x A2 2x y 2 A 5.5 A 25 Gv: Tõ A2 25 h·y t×m gi¸ trÞ lín Hs: A 25 2x 3y x y nhất, nhỏ A Giá trị đó đạt Do A 25 nên A ®îc t¹i gi¸ trÞ nµo cña x ? x y A 5 x y 1 2 x y 5 x y x y 1 2 x y max A Trong bài toán trên, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côpx-ki với: a 2, b 3, m x, n y ,ta cã: Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 14 (15) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số A 2 x y 2 x y 13 x y 2 Như vậy,với cách trên ta không số để A VÝ dô 9: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x 99 101 x Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: Điều kiện xác định biểu Hs: Đkxđ biểu thức là: x 101 thøc A lµ g× ? Gv: XÐt biÓu thøc phô: B A x 99 101 x x 99 101 x x Hs: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a- c«px-ki,ta cã: B x 99 99 101 x 99 99 101 x 2 2 x 99 12 99 101 x và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a- x 100 200 x cốpx-ki cho biểu thức đó 10 x 200 x Gv: Hai sè x vµ 200 x ©m hay dương,tổng chúng bao nhiªu? Hs: Lµ hai sè kh«ng ©m vµ tæng cña chúng 200 nên ta áp dụng bất đẳng thøc C«-si cho hai sè nµy B 10 x 200 x 10 x 200 x 2 B 1000 Gv: Tõ B 1000 h·y t×m gi¸ trÞ lín Hs: B 1000 nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A A 1000 1000 A 1000 Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 15 (16) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số x 101 99 99 A 1000 x 10 101 x x 200 x Do đó: A 1000 và x 10 max A 1000 vµ chØ x 10 3.5 Chia khoảng để tìm cực trị: Khi giải toán cực trị phương pháp chia khoảng, ta cần xét biểu thức trên khoảng giá trị biến, sau đó so sánh các giá trị biểu thức các khoảng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ VÝ dô 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x 2 x víi x Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: Víi x th× A nhËn gi¸ nµo ? Hs: Víi x th× A > Gv: Víi x th× A < Hs: XÐt biÓu thøc: A x x 2 x x x 2 x x A .x 4. 2 2 x x .x 2 và áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba sè kh«ng ©m x x , ,x2 2 2x A 4. (1) 3 Gv: Víi x th× -A nhËn gi¸ trÞ Hs: Víi x th× x nào ? Từ đó suy giá trị A 2x 2x 2 3 Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 16 (17) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số 32 2x 4 32 27 32 A 32 27 32 32 A (2) 27 Gv: Từ hai trường hợp trên hãy tìm Hs: So sánh (1) và (2), ta có: A 32 x gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A ? VËy A 32 vµ chØ x VÝ dô 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x x Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: Để tìm giá trị nhỏ A ta Hs: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ph¶i lµm g× ? Gv: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta phải Hs: Ba khoảng là: x , x , x xÐt gi¸ trÞ cña x nh÷ng kho¶ng nµo ? Gv: H·y tÝnh gi¸ trÞ cña A ba Hs: - Víi x th× khoảng đó ? A 3 x 7 x 10 x Do x nªn x 6 10 x A4 - Víi x th× A x 37 x A4 - Víi x th× (1) (2) A x 3 x 7 x 10 Do x nªn x 14 x 10 Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 17 (18) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số A4 Gv: So s¸nh gi¸ trÞ cña A ba Hs: khoảng đó và tìm giá trị nhỏ (3) So s¸nh (1),(2) vµ (3), ta ®îc: A vµ chØ x A? Ta có thể giải ví dụ trên cách áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối nh sau: Do giá trị tuyệt đối số luôn lớn số đó nên: A x3 x7 x 3 7 x x 37 x x 3 x7 7 x Do đó A 3.6 Dùng đồ thị để tìm cực trị: Phương pháp này ít đề cập đến bậc THCS Tuy nhiên, số bài toán cụ thể ta có thể sử dụng phương pháp này để giải cách ngắn gọn Sau đây là ví dụ tìm cực trị phương pháp đồ thị để các bạn tham khảo VÝ dô 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: y x 12 x x Phần hướng dẫn giáo viên víi x Hoạt động học sinh Gv: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối Hs:- Với x thì: biÓu thøc y ? y 12 x x x 16 12 x - Víi x th×: Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 18 (19) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số y 12 x x x 14 x - Víi x th×: y 12 x x x 8 - Víi x th×: y x 12 x x 12 x 16 Gv:Trong trường hợp hãy vẽ đồ Hs: Vẽ đồ thị hàm số đó trường hợp trên cùng mặt phẳng toạ độ thị các hàm số đó ? Hình vẽ đồ thị hàm số y x 12 x x víi x trªn mÆt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục tọa độ lấy khác để dễ quan sát) y E 20 16 A B 13 C D O 1/4 3/2 Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com x 19 (20) Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Gv: Tìm điểm cao và thấp Hs: Điểm E là điểm cao đồ đồ thị ? thÞ Nh÷ng ®iÓm thuéc ®o¹n CD lµ điểm thấp đồ thị Gv: Điểm E là điểm cao đồ Hs: Từ đồ thị ta thấy: thị nên tung độ nó là giá trị lớn max y 20 x nhÊt Nh÷ng ®iÓm thuéc ®o¹n CD lµ y điểm thấp đồ thị nên x3 tung độ nó là giá trị nhỏ Phương pháp này thường sử dụng các bài toán cực trị mà đồ thị cña nã xÐt trªn tõng kho¶ng lµ c¸c ®êng th¼ng Đối với phương pháp này giáo viên có thể đưa cho học sinh sau học đồ thị hàm số y ax b 3.7 Tìm liên hệ biểu thức đã cho và biểu thức phải tìm cực trị: VÝ dô 13: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A a b c biÕt r»ng a, b, c vµ a b c Phần hướng dẫn giáo viên Hoạt động học sinh Gv: §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu Hs: Ta cã: thøc ta t×m mèi liªn hÖ gi÷a a 0; a nªn a 1a 3 a b c vµ a b c Víi a th× a 1a 3 nhËn gi¸ trÞ nµo ? a 1a 3 Gv: Tõ a 1a 3 h·y t×m mèi Hs: liªn hÖ gi÷a a vµ a suy ra: a 2a Giáo viên thực hiện: Lê Văn Toàn- Trường THCS Thiệu Long Lop10.com 20 (21)