Đang tải... (xem toàn văn)
Dựa vào đồ thị C hãy chỉ ra các khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm... phần II : Phương trình và hệ phương trình.[r]
(1)TiÕt 1+2: I.Hµm sè bËc nhÊt: 1.§Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt: +D¹ng : y= ax+b (a 0) +TXD:D=R +Hàm số đồng biến a> + Hµm sè nghÞch biÕn nÕu a<0 Đề cương ôn tập hè M«n : to¸n 10-n¨m 2010 A §¹i sè Bµi 1: Hµm sè b a +đồ thị là đường thẳng qua hai điểm A(0;b) và B( ;0) 2.C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n: Dạng 1: vẽ đồ thị hàm số: Bài 1: vẽ đồ thị các hàm số sau: a y= 2x-3 b y= -x+2 c y= -3x -2 d y= 4x+3 Dạng2: xác định hàm số biết tính chất nó: Bµi2: T×m a cho hµm sè sau: y=2x - a(x-1) a.đi qua gốc toạ độ O b.§i qua A(-1;2) c song song víi ®êng th¼ng y= -3x-2 Bài 3: Trong trường hợp sau xác định a và b cho đường thẳng y=ax+b a.cắt đường thẳng y=2x+5 điểm có hoành độ -2 và cắt đường thẳng y=-3x+4 điểm có tung độ -2 2 b.song song víi ®êng th¼ng y= x vµ ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng y x vµ y=3x+5 TiÕt 3+4: II.Hµm sè bËc hai: 1.§Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt: +d¹ng: y= ax bx c(a 0) + TXD: D=R +b¶ng BiÕn thiªn: +Dạng đồ thị : Đồ thị hàm số y= ax bx c(a 0) là parabol có đỉnh là điểm ( b b ; ) ;có trục đối xứng là đường thẳng x= ;hướng bề lõm lên a>0 và xuống 2a 4a 2a a<0 *phép tịnh tiến đồ thị:Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C) ;p và q là hai số không âm + tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị , ta đồ thị hàm số y= f(x)+q + Khi tịnh tiến (C) xuống q đơn vị ,ta đồ thị hàm số y=f(x)-q +Khi tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ,ta đồ thị hàm số y=f(x+p) +Khi tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị , ta đồ thị hàm số y=f(x-p) 2.C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n: Bµi1: Cho hµm sè: y= x (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Lop10.com (2) b tịnh tiến (C) lên trên hai đơn vị ta đồ thị hàm số nào? c.Nếu tịnh tiến (C) xuống ba đơn vị ,ta đồ thi hàm số nào? d Nếu tịnh tiến (C) sang phải đơn vị ta đồ thị hàm số nào? e.Nếu tịnh tiến (C) sang trái bốn đơn vị ta đồ thị hàm số nào? Bµi2: Cho hµm sè y x (C) a.vẽ đồ thị (C) hàm số trên b.từ độ thị (C) ,bằng phép tịnh tiến hãy vẽ đồ thị các hàm số sau: 2 x 2 ( x 2) ( x 3) ( x 1) + y x2 1 +y +y +y +y Bµi 3: Cho hµm sè: y= x x (C) a.Vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Dựa vào đồ thị (C) hãy khoảng mà trên đó hàm số nhận giá trị dương c Dựa vào đồ thị (C) hãy các khoảng mà trên đó hàm số nhận giá trị âm Bài tập tương tự Bài 1:Tìm hàm số y=ax+b mà đồ thị nó qua hai điểm A(2;-1) và B(-1;8).Hãy vẽ đồ thị đó Bài 2: a Tìm hàm số y=ax +b mà đồ thị nó song song với đường thẳng y=3x và qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng y=-x+1 vµ y=2x-3 b.xác định các hệ số avà b cho đồ thị hàm số y= ax+b qua các điểm sau: +A( ; 2) vµ B(0;1) + M(-1;-2) vµ N(99;-2) + P(4;2) vµ Q(1;1) Bài 3:Tìm giao điểm hai đồ thị sau: a.y= x 3x vµ y= 2x+5 b y x x 14 vµ y 7 x x bài 4: lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a y x x b y x x Bài 5: xác định hàm số bậc hai y= ax x c , biết đồ thị nó : a.®i qua hai ®iÓm A(1;-2) vµ B(2;3) b.có đỉnh là I(-2;-1) c.Có hoành độ đỉnh là -3 và qua điểm P(-2;1) d.Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 và cắt trục hoành điểm Q(3;0) Lop10.com (3) TiÕt:5-13: phần II : Phương trình và hệ phương trình I.phương trình dạng :ax+b=0 + D¹ng : ax+b=0 (1) + C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn : (1) ax=-b - Nếu a , thì phương trình (1) có nghiệm nhất: x= -Nếu a=0 đó (1) 0x=-b Nếu b=0 thì phương trình đúng với x R Nếu b thì phương trình (1) vô nghiệm Dạng : Giải và biện luận phương trình dạng ax+b =0 ví dụ 1: Giải và biện luận các phương trình sau: a m(x+2)=3x+1 b m ( x 1) x 2m c.3(m-2)x+5=3x-2(m+1) d m ( x 2) 4( x m) e.x 3m m ( x 1) f (m 1) x (3 x)m 2.Dạng 2: Phương trình quy dạng ax+b=0 * D¹ng (a1 x b1 )(a2 x b2 ) (1) a x b 0(2) + Biến đổi (1) a2 x b2 0(3) + Gi¶i biÖn luËn (2) vµ (3) + kÕt luËn Ví dụ2: Giải các phương trình sau: a.(2x-3)(3+4x)=0 b.(3x+4)(5x-2)=0 3.D¹ng 3: (ax b) (cx d ) (1) ax b cx d (1) ax b (cx d ) Ví dụ 3: giải các phương trình sau: a.(2 x 3) (5 x) ; b.(3 x 4) (2 x 3) ; c.(4 x) (3 x 1) 4.D¹ng 4: ax b cx d (1) cx d (1) ax b cx d ax b (cx d ) Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a x x 3; b x x 6; c x x 1; d x x ax b cx d (1) 5.D¹ng 5: ax b cx d (1) ax b (cx d ) Lop10.com b a (4) Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a x x b x x c x x II.Phương trình vô tỉ 6.D¹ng 6: f ( x) g ( x)(1) f ( x) f ( x) g ( x) (1) (1) Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: a x x b x x x x c x x x x 7.d¹ng 7: f ( x) g ( x)(1) g ( x) (1) f ( x) g ( x) Ví dụ 7: Giải các phương trình sau: a x 3x x b x x x c x x x các dạng bài tập tương tự: Bài 1: Giải các phương trình sau: a 2(x+3)-5=3(2-x)+4 b 3x-7=4(2x+2)-6 c.3-5x=4-(4-3x) d 6(2-5x)+3=4x-7 Bài 2: Giải các phương trình sau: a (2 x 5)2 (3x 4)2 b (1 x)2 (2 x 3)2 Bài 3: Giải các phương trình sau: a.(3x+1)(2x-5)=0 b.(4x+3)(5x-2)=0 Bài 4: Giải các phương trình sau: a x x b x 3x Bài 5: Giải các phương trình sau: a x 3x b x x c (5 x 2)2 ( x 1)2 c.(3-7x)(4+6x)=0 d.(1-3x)(9x+2)=0 c x 3x c 3x x Bài 6: Giải các phương trình sau: a x x x b x 3x x d x 3x c x 3x x III.Phương trình bậc hai 1.Giải và biện luận phương trình dạng ax bx c Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình sau: Lop10.com d x x d x x c 3x x x c x 3x x (5) a.(m 1) x (m 3) x b.(4m 1) x 4(m 1) x m c.(m 1) x 2(m 1) x m 2.Các dạng phương trình quy bậc hai: a.Phương trình trùng phương: + D¹ng: ax bx c ( a 0) +C¸ch gi¶i: §Æt t= x (t 0) Ví dụ1: Giải các phương trình sau: a.x x b.3 x x b Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e đó a+b=c+d * Cách giải: Đặt (x+a)(x+b) = t (*) (đk .) Ta có phương trình bậc hai ẩn t giải pt bậc hai đó tìm t So sánh đk thay vào (*) giải tìm x Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a.( x 1)( x 6)( x 5)( x 2) 252; b.16( x 1)( x x 15) 105 c.( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 3; d ( x x 4)( x x 6) 24 c.D¹ng : ( x a)4 ( x b)4 c * C¸ch Gi¶i: §Æt x ab a b a b a b t xa t ;xb t §Æt , ta cã pt: 2 2 (t ) (t ) c 2t 12 2t 2 c Ví dụ 3: giải các phương trình sau: a.( x 3) ( x 5) 2; b.( x 5) ( x 2) 17; c.( x 6) ( x 8) 15 d.Phương trình dạng : ax bx3 cx bx a 0(*) *C¸ch gi¶i: + XÐt x=0 + x , chia hai vÕ cña (*) cho x ,ta ®îc pt: a( x 1 ) b( x ) c x x x Đặt t= ( x ) ta có phương trình bậc hai ẩn t Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a.x x x x b.x 10 x 26 x 10 x c.x x x x e.Phương trình dạng: a f ( x) b f ( x) c + c¸ch gi¶i: §Æt f ( x) t (dk : ) Ta có phương trình: at bt c Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a.( x 1)( x 4) x x 6; b.x x x x 12 c.x x x x 12; d x x x x 20 10 e x x 1 Bài tập tương tự: Phương trình quy phương trình bậc và bậc hai: Lop10.com (6) Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: f ( x) g ( x) D¹ng 1: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) VÝ dô :Gi¶i c¸c pt sau: a x x ; b x x ; c x x ; d x 4; e x f ( x) m f ( x) m D¹ng 2: f ( x) m(m 0) D¹ng 3: f ( x) g ( x) (1) Cách 1: bình phương hai vế pt (1), Ta pt hệ quả: (1) f ( x) g ( x) x1 ; x2 Thay x1 ; x2 vµo pt (1) lo¹i nghiÖm kh«ng tho¶ m·n A, khiA A, KhiA Cách 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối : A + NÕu f(x) 0; Ta cã pt f(x)=g(x) + nÕu f(x) < 0; ta cã pt -f(x)=g(x) g ( x) f ( x) g ( x) C¸ch 3: (1) g ( x) f ( x) g ( x) Ví dụ: Giải các phương trình sau: a x x 5; b.2 x x ; c x x; d x x 2.Phương trình chứa ẩn dấu căn: D¹ng 1: f ( x) m(m 0)(1) §kx® cña pt: f ( x) (1) f ( x) m VÝ dô: Gi¶i c¸c pt sau: a x 3; b x 4; c x 5; d x 6; e x D¹ng2: C¸ch1: f ( x) g ( x)(1); Dkxd : f ( x) g ( x) (1) f ( x) g ( x) Cách 2: Bình phương hai vế pt (1), ta pt hệ quả: f ( x) g ( x) Ví dụ :Giải các phương trình sau: a x x; b x x; c x x 2; d x x 1; e x x f x x 5; g x x 7; h x x k x x; l x x x 1; m x x x f ( x) D¹ng 3: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) VÝ dô: Gi¶i c¸c pt sau: a x x ; b x x 1; c x x x 4; d x x x IV.Hệ phương trình bậc hai ẩn: Lop10.com (7) a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 *.D¹ng: ** Cách giải: có thể dùng pp cộng đại số dùng định thức(quy tắc crame): +TÝnh : D a1 b1 a2 b2 a b2 a2b1 ; Dx c1 b1 c2 b2 c1b2 c2b1 ; Dy a1 c1 a2 c2 a1c2 a2 c1 Dx x D + BiÖn luËn:-NÕu D 0,hÖ cã nghÞªm nhÊt y Dy D -NÕu D=0 vµ Dx hoÆc Dy th× hÖ v« nghiÖm -NÕu D= Dx Dy hÖ cã v« sè nghiÖm tho¶ m·n pt: a1 x b1 y c1 1.Dạng toán 1: giải hệ phương trình bậc hai ẩn quy tắc crame: 2 x y 5 x y 2 x y 7 a b c 3 x y 1 3 x y 4 x y 1 Ví dụ 1:giải các hệ phương trình sau: 2.Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai ẩn: Ví dụ 2: giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx y m mx y m x my a b c x my x my m mx y m mx y m Ví dụ :Cho hệ phương trình: x my m a.tìm m để hệ có nghiệm b.Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên x y m 2 x y 3m Ví dụ 4:Cho hệ phương trình: a.Tìm m để hệ có nghiệm b.T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a nghiÖm (x;y) cña hÖ kh«ng phô thuéc vµo m c.Với giá trị nào m thì hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: x y đạt giá trị bé bài tập tương tự Bài1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx (m 2) y (m 1) x y 2m ; b 2mx 3(m 1) y x (m 1) y m a mx y 2m x my m Bµi 2:Cho hÖ : a.Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m b.Khi hÖ cã nghiÖm ( x0 ; y0 ) t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x0 , y0 kh«ng phô thuéc m c.khi hÖ cã nghiÖm nhÊt ( x0 ; y0 ), t×m gi¸ trÞ nguyªn cña m cho x0 , y0 lµ nh÷ng sè nguyªn Bài 3:Tìm m để hệ pt sau có vô số nghiệm Bài 4: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm (x;y) nguyên Lop10.com mx y 4 x my (8) mx y m mx y 3m ; b 2 x my 2m x my 2m a Bµi 5: Cho hÖ pt: (m 1) x my 2m a mx y m Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích x.y đạt giá trị lớn V.Hệ phương trình bậc hai hai ẩn 1.HÖ gåm 1pt bËc nhÊt vµ pt bËc hai: ax bxy cy dx ey f (1) + D¹ng : a1 x b1 y c1 (2) +C¸ch gi¶i: rót 1Èn tõ pt (2) thÕ vµo pt (1) VÝ dô 1: gi¶i hÖ pt sau: 9 x y 36 a 2 x y VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c hÖ pt sau theo m: x y 9 x 16 y 144 a b x y m x y m Ví dụ 3: tìm a để hệ pt sau có nghiệm nhất; x2 y x y a 2.Hệ pt đối xứng loại I: + ĐN : Hệ hai pt chứa ẩn x,y gọi là đối xứng loại pt hệ không thay đổi ta ho¸n vÞ xvµ y x y S , ( S P) xy P + C¸ch Gi¶i: §Æt : biến đổi hệ đã cho hệ hai ẩn S và P.Giải hệ này t×m SvµP Víi mçi cÆp (S;P),( S P) , x;y la lµ nghiÖm cña pt : X SX P Lu ý : nÕu hÖ cã nghiÖm (x;y) th× còng cã nghiÖm (y;x) VÝ dô : Gi¶i c¸c hÖ pt sau: x y xy x y xy x y x xy y 11 a ; b ; c x y ; d. 2 x xy y 13 x y xy 30 y x xy ( x y ) x2 y m x y VÝ dô :Cho hÖ pt: a.Gi¶i hÖ m=26 b.Tìm m để hệ vô nghiệm c.Tìm m để hệ có nghiệm d.Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Ví dụ : tìm m để hệ pt sau có nghiệm : Lop10.com (9) x y xy m xy x y m a ; b 2 x y m x y xy m Hd: -§iÒu kiÖn cÇn: NÕu hÖ cã nghiÖm (a;b) th× còng cã nghiÖm(b;a),thay vµo hÖ ,suy m -Điều kiên đủ: thay các giá trị m vừa tìm vào hệ và thử lại và kết luận VÝ dô 3: gi¶i c¸c hÖ pt sau: 2 x y xy x y 15 a (ds : (3; 5), (5;3)) x xy y 19 3 x y xy x y 2 b ds : ( ; ), ( ; ) 3 3 2 x xy y x y x y xy x y 15 c ds : vn(t x) 2 x xy y 3 x y xy x y `1 37 1 37 37 1 37 d. ds : ( ; ), ( ; )(t x) 6 6 3 x y xy Hệ đối xứng loại II +ĐN: Hệ hai pt ẩn x,y gọi là đối xứng loại II hoán vị x,y thì pt này biến thành pt cña hÖ +C¸ch gi¶i: trõ vÕ víi vÕ cña hai pt cña hÖ ,ta ®îc pt cã d¹ng(x-y)g(x,y)=0 Từ đó ta có hai hệ pt VÝ dô : Gi¶i c¸c hÖ pt sau; y x 3y x y y x 13 x y 2 x x y x a ; b ; c ; d. 2 y x x y 13 y x 2 y y x y x x y 2 2 x y y m VÝ dô 2: Cho hÖ : y x x m a.Gi¶i hÖ m=0 b.Tìm m để hệ có nghiệm c.Tìm m để hệ có nghiệm nhất.(hệ có nghiệm (a;b)thì có nghiệm (b;a) suy a=b)suy m=1 x y axy VÝ dô ; Cho hÖ : 2 y x axy Tìm a để hệ có nghiệm nhất.ĐS:a=1 x x y x y x y x y ; b ; c VÝ dô 4: Cho hÖ 2 y y x y x y x y x Gi¶i c¸c hÖ pt trªn 4 x x 3my VÝ dô 5: Cho hÖ: 4 y y 3mx a.Gi¶i hÖ m=1 b.tìm m để hệ có hai nghiệm Bài 4: bất phương trình Lop10.com (10) I.DÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt : y= ax+b (a 0) B¶ng xÐt dÊu: + a> 0: x - f(x) + a< 0: x b a - - f(x) + + + b a + - øng dông: * xÐt dÊu biÓu thøc chøa nhÞ thøc bËc nhÊt : vÝ dô 1: xÐt dÊu c¸c nhÞ thøc sau: a f(x)= 2x-5 b.f(x)= -5x-6 c.f(x)= -4x+1 vÝ dô 2:xÐt dÊu c¸c biÓu thøc sau: a f(x)= (2x-3)(3x+5) d.f(x) = ( x 4)(2 3x) (2 x 3)(3 x 7) 5x (2 x 5)(1 x) g.f(x) = h f ( x) x 1 x 2x b.f(x)= (2-5x)(3x-1)(x+2) e f ( x) 3 x x2 d.f(x) = 2x+3 c f(x)= * Giải các bất phương trình ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a 3 2; b 4; c 1; d 2; e.(2 x 3)(4 x) 0; f ( x 3)(3 x 5) 2x 1 3x 2 x 4 x ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau: a x x x 5; b x x 0; c 2 x x ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau: a x b x c 3x 4; d x d x 3x e x x ; f x x ; g x x ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau: a x x 0; b x x 5; c x x 2; d x x ví dụ 7: Giải các bất phương trình sau: a 2 1 ; b c ; d x x x 3x x 3x x x 1 II.DÊu cña tam thøc bËc hai: 1.đồ thị hàm số y= ax bx c (a 0) và dấu f(x) øng dông : ! xÐt dÊu tam thøc bËc hai: Lop10.com (11) a.f(x)= x 3x b f(x)= x 3x c.f(x)= x x !!.giải bất phương trình bậc hai: ví dụ1 : giải các bất phương trình sau: a x 3x b x x 1 x 4x d e c.- x 12 x x 3x 1 x2 4x f !!! xÐt dÊu c¸c biÓu thøc vÝ dô 2: xÐt dÊu c¸c biÓu thøc sau: a.f(x)= ( x x 15)( x 3x 4) c f ( x) d.f(x)= x x x2 5x 0 x 3x b.f(x)=( x 9)(3x x 1) 2x x2 4x ; d f ( x ) x2 5x 2x 1 Ví dụ 3: Giải các hệ bất phương trình sau: x x a 2 x x 2 x 13 x 18 b 3 x 20 x x x c x x x x 12 d 2 x x *Dạng toán 1: Tìm giá tri tham số để tam thức bậc hai giữ nguyên dấu pp: Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax bx c (a 0) a + f(x) = ax bx c < víi mäi x a + f(x) = ax bx c víi mäi x a + f(x) = ax bx c víi mäi x a + f(x) = ax bx c > víi mäi x Ví dụ 4: tìm m ,để các bất phương trình sau vô nghiệm: a (2m 3) x 6mx (vn) b (1 4m) x 3(m 2) x m ( m Ví dụ 5: Tìm m ,để các bất phương trình sau đúng với x: a x (2m 1) x b (m 1) x 2(m 1) x 3m Ví dụ 6: Tìm m để các pt sau có nghiệm: (m 4) x 2(m 2) x 2m 0; b.(2m 1) x (3m 1) x m c.(m 5) x (m 4) x Ví dụ 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn dương : a.x x 3m b x (m 2) x 2m c (2m 1) x (m 3) x VÝ dô 8: T×m tËp x¸c ®inh cña c¸c hµm sè sau : a f ( x) 2x 1 ; b f ( x) x2 x2 5x ; c f ( x) 3x 2 x 1 x Lop10.com 20 163 ) (12) Bài tập tương tự: Bµi 1: Cho tam thøc bËc hai: f(x)=( m 1) x 2mx 4(m 1) a.Tìm m để f(x)>0 với x b tìm m để f(x) với x c.tìm m để bất phương trình f(x) >0 vô nghiệm d.Tìm m đẻ bất phương trình f(x) < vô nghiệm Bµi 2:T×m m cho víi mäi x,ta cã: a x x m b mx 10 x c mx 2(m 1) x 4m d.( m 2) x (3m 1) x m Bài 3:Tìm các giá trị m cho phương trình: mx 2(m 1) x m a.Cã hai nghiÖm ttr¸i dÊu b.Có hai nghiệm dương c Cã hai nghiÖm ©m Bài 4: Tìm m cho phương trình: x (1 2m) x a a V« nghiÖm; b.có đúng nghiệm c Có đúng hai nghiệm d Có đúng nghiệm e Có đúng nghiệm Bµi : Cho tam thøc f(x)= (m+1)x 2mx 4(m 1) a.Tìm m để f(x)>0 với x b Tìm m để f(x) với x c.Tìm m để bất pt f(x)>0 vô nghiệm d.Tìm m để bất pt f(x) < vô nghiệm Bài 6: Tìm m để các biểu thức sau luôn dương : b x (m 2) x 8m d (3m 1) x (3m 1) x m a.x x m c c.x x (m 1)2 Bài 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn âm: a (m 4) x (m 1) x 2m b (m 2) x x Bài 8: giải các bất phương trình sau: 2x 1 x a x 1 x 1 x2 x 3 b x 4 x2 x 3x 1 c x x 1 Dạng toán 2: Giải bất phương trình chứa thức f ( x) g ( x) (1) f ( x) (1) g ( x) f ( x) g ( x) Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau: Lop10.com (13) PhầnIII: Tiết14-23 : Góc lượng giác và công thức lượng giác I.KiÕn thøc c¬ b¶n: 1.các công thức lượng giác bản: a.sin cos 1; b.1 tan , k , k Z cos , k , k Z ; d tan cot 1, k , k Z sin 2.Giá trị lượng giác các cung đối nhau: a.cos( ) cos ; b.sin( ) sin ; c.tan( ) tan ; d cot( ) cot Gia trị lượng giác hai cung bù nhau: a.sin( ) sin ; b.cos( ) cos ; c.tan( ) tan ; d cot( ) cot Giá trị lượng giác các cung kém : a.sin( ) sin ; b.cos( ) cos ; c.tan( ) tan ; d cot( ) cot c.1 cot 5.Gia trị lượng giác các cung phụ nhau: a.sin( ) cos ; b.cos( ) sin ; c.tan( ) cot ; d cot( ) tan 2 2 6.Giá trị lượng giác các cung kém : a.sin( ) cos ; b.cos( ) sin ; c.tan( ) cot ; d cot( ) tan 2 2 7.C«ng thøc céng: a cos(a-b)= cosacosb+ sinasinb c.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb b.cos(a+b)= cosacosb- sinasinb d.sin(a+b)= sinacosb+ cosasinb tan a tan b tan a tan b f tan(a b) tan tan b tan tan b cot a cot b cot a cot b g cot(a b) ; h.cot(a b) cot a cot b cot a cot b e.tan(a-b)= 8.Công thức góc nhân đôi: cos a sin a a.cos 2a cos a 1 2sin a (sin a cos a ) tan a cot a ; b.sin 2a 2sin a cos a ; c.tan 2a ; d cot a tan a cot a (sin a cos a ) Ta còng cã : a cos 2a tan a tan a ; b.sin 2a tan a tan a 9.C«ng thøc biÓu diÔn theo t=tan a.sin a a 2t 1 t2 2t 1 t2 ; b cos a ; c tan a ; d cot a 1 t2 1 t2 1 t2 2t 10 C«ng thøc nh©n ba: a.sin 3a 3sin a 4sin a; b.cos 3a cos3 a 3cos a tan a (3 tan a ) cot a 3cot a c.tan 3a (a,3a k ); d cot 3a tan a 3cot a 11.C«ng thøc h¹ bËc : Lop10.com (14) cos 2a cos 2a ; b.sin a ; c.sin a cos a sin 2a 2 cos 2a sin 3a 3sin a cos 3a 3cos a d tan a ; e.sin a ; f cos3 a cos 2a 4 12.Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 a.cos a cos b cos(a b) cos(a b) ; b.sin a sin b cos(a b) cos(a b) 2 1 c.sin a cos b sin(a b) sin(a b) ; d cos a sin b [sin(a b) sin(a b)] 2 *§Æc biÖt: a.cos a a.4 cos x cos( x) cos( x) cos x; b.4 cos x.cos( x) cos( x) cos x 3 3 c.4 tan x.tan( x).tan( x) tan x 3 13.Công thức biến đổi tổng thành tích : ab a b ab a b a.cos a cos b cos cos ; b.cos a cos b 2sin sin 2 2 ab a b ab a b c.sin a sin b 2sin cos ; d sin a sin b cos sin 2 2 sin(a b) sin(a b) sin(b a ) e.tan a tan b (a, b k );; f cot a cot b (a, b k ); g cot a cot b cos a cos b sin a sin b sin a sin b cos(a b) h.tan a cot a ; k cot a tan b ; l.cot a tan a cot 2a sin 2a sin a cos b §Æc biÖt : y A sin x B cos x A2 B sin( x ) ( y= A2 B cos(a )) A B Trong đó: cos 2 ;sin 2 ( A2 B 0;0 2 ) A B A B *sin x cos x sin( x ) 2cos ( x ) 4 *sin x cos x sin( x ) cos( x ) 4 *cos a sin a sin( a ) cos( a ) 4 14.bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt a hslg sina - - 900 -1 cosa - - 600 2 - - 450 2 2 tana kx® cota -1 -1 - 300 0 0 kx® 300 450 2 2 600 2 900 kx® 1 3 3 Lop10.com 2 1200 3 1350 2 5 1500 -1 -1 1800 -1 kx® (15) Ví dụ 1: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích để tính : Sin700 ( DS 2) sin10 b.cos140 cos1340 cos1060 ( DS 0) a VÝ dô 2: CMR: a.sin 200 2sin 400 sin1000 sin 400 b sin(450 a ) cos(450 a ) tan a sin(450 a ) cos(450 a ) c.sin 2000 sin 3100 _ cos 3400 cos 500 Ví dụ 3: biến đổi thành tích: a.A=sina+sinb+ sin(a+b) b.B= cosa+cosb+cos(a+b)+1 c.C=1+sina+sinb d.D=sin3a=sin3a+sin 5a+sin7a II C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n: 1.sử dụng các công thức lượng giác : Bài : Tính các giá trị lượng giác cung biết : 3 vµ b b.cos , ; c.tan 3, ; d cot 2, 2 2 k sin ,k Z : cos cos3 ; b.sin a cos a cos a tan cot Bµi 2: CMR: a.víi a.sin c.tan a.sin a tan a sin a; d sin a cos a cos a 4sin a Bµi 3: Cho cosa - sin a = 0,2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = cos3 a sin a ( A=0,296) a A sin a cos a; b.B sin a cos3 a; c.C sin a cos a Bµi 4:cho sina+ cosa= TÝnh gia trÞ c¸c biÓu thøc sau : Bµi 5:CMR: a.sin a cos a 2sin a 1; b.sin a cos a 2sin a cos a; c cos a sin a sin a cos a Sử dụng hệ thức giá trị lượng giác các cung có liên quan đặc biệt : Bµi : CMR: 3 3 a ) cos a; b.cos( a ) sin a 2 3 sin( a ) cot( a ) 2 c sin a tan( a ) tan(a 3 ) a.sin( Bµi : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A= tan1200 cot1350 sin 3150 cos 2100 5 sin( a ) cos( a ) 4 Bµi 3: Rót gän biÓu thøc sau: B= ( B 1) sin ( a ) sin ( a ) 4 Lop10.com ( A= 2 ) (16) sö dông c«ng thøc céng : sin(a b) sin(b c) sin(c a ) 0 cos a.cos b cos b.cos c cos c.c os a 2 Bµi : TÝnh : sin(2a );cos(2a ) BiÕt : sin a ; a Bµi 3: a.BiÕt sin a= vµ a tÝnh tan(a+ ) b.BiÕt : sin a (00 a 900 ),sin b (900 b 1800 ) TÝnh: cos(a+b) vµ sin(a-b) 17 1 c cho hai gãc nhän a vµ b víi tana= ; tan b TÝnh a+b Bµi : CMR : A d.BiÕt tan(a+ ) m, m 1 TÝnh tana 4 Sử dụng các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc : Bµi : CMR: 3 a.cos a sin a cos 4a ; b.cos a sin a cos 4a 4 8 Bµi : TÝnh : a A sin 16 .cos 16 .cos ; b.B sin100 sin 500 sin 700 Bµi 3: CMR: sinxcosxcos2xcos4x= cos8 x ¸p dông tÝnh gi¸ trÞ cña : a A sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 ; b.B cos Bµi 4: CMR: a.cot a tan a Bµi 5: tÝnh: cos 3 5 cos 7 sin 2a cos 2a ; b.cot a tan a cot 2a; c tan a; d tan a sin 2a cos 2a cos 2a 11 5 5 7 11 11 cos ( A sin ); b.B sin sin sin sin (sin cos ) 12 12 12 24 24 24 24 24 24 c.C cos100 cos 500 cos 700 ; d D cos 200 cos 400 cos800 ( D ) tan 2a ; b sin a sin a Bµi 6: Rót gän : a tan 4a tan 2a a A sin Bµi 7: Chõng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo a: a A 2(sin a coa a ) 3(sin a cos a ) b.B 4(sin a cos a ) cos 4a c.C 8(cos8 a sin a ) cos 6a cos 2a Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng : Bµi 1: cho A =cos(a+b) sin(a-b)+cos(b+c) sin(b-c)+ cos(c+d) sin(c-d)+cos(d+a)sin(d-a) CMR : A= Bµi 2: CMR: sin 200.sin 400 sin 800 Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích : Bµi 1; Cho tam gi¸c ABC CMR: a.sin A sin B sin C cos A B C cos cos ; b.cos A cos B cos C cos A cos B cos C 2 Lop10.com (17) A B C c.cosA+ cosB+cosC=1+ sin sin sin ; d sin A sin B sin 2C 4sin A sin B sin C Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC CMR: A B B C C A sin A(sin B sin 2C ) tan tan tan tan tan 1; b.sin A cos( B C ) 2 2 2 5 7 Bµi 3: CMR: cos cos cos 9 2 4 6 Bµi 4: TÝnh A= cos cos cos ( HD : nh©n hai vÕ víi sin )( A ) 7 7 a.tan «n tËp hÌ : M«n h×nh häc Bµi 1: TiÕt:1 VÐc t¬ I.VÐc t¬ vµ c¸c phÐp to¸n trªn vÐc t¬: phÐp céng vÐc t¬: AB BC AC HiÖu cña hai vÐc t¬: OB OA AB TÝch vÐc t¬ vÐct¬ mét sè: +Cho a và b(b 0) đó a, b cùng phương và : có số k cho: a kb + Ba điểm A,B ,C thẳng hàng và có số k khác để : AB k AC 4.trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vµ träng t©m cña tam gi¸c: + NÕu I lµ trung ®iÓm cña AB th× víi mäi M,ta cã: MA MB 2MI + NÕu G lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× víi mäi ®iÓm M, ta cã: MA MB MC 3MG II Hệ trục toạ độ: 1.Hệ trục toạ độ và toạ độ véc tơ: a Hệ trục toạ độ: U ,khi đó ta nói: b.to¹ độ cña vÐc t¬: Trong mÆt ph¼ng Oxy,cho vÐct¬ U ( x; y ) U xi y j , , x x , Lu ý: cho U ( x; y );V ( x ; y ) th×: U V , y y c.Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M ta nói M (x;y) hay M=(x;y) OM xi y j d Lien hệ toạ độ véc tơvà toạ độ điểm mặt phẳng; Cho A( xA ; y A ); B( xB ; yB ) Ta cã: AB ( xB xA ; yB y A ) 2.Toạ độ các véc tơ u v; u v; ku 3.Toạ độ trung điểm đoạn thẳng , toạ độ trọng tâm tam giác : x A xB xM + Gäi M lµ trung®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB, ta cã: y y A yB M Lop10.com (18) x A xB xC xG +Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, Ta cã: y y A y B yC G III.c¸c d¹ng bµi tËp ¸p dông: 1.Tìm toạ độ điểm Ví dụ1: cho tam giác ABC b Biết các trung điểm BC, CA, AB là M(1;2);N(1;1) và P( 3:4) Ví dụ 2:cho hình bình hành ABCD Biết A(3;2) , B(-11;0) C(5;4) tìm toạ độ điểm D VÝ dô 3: cho ba ®iÓm A(1;4) B(-2;2) vµ C(4;0) a Chøng minh r»ng A,B,C là ba đỉnh tam giác b.Tính toạ độ véctơ AM với M là trung điểm BC c.Tính toạ độ trọng tâm G tam giác ABC VÝ dô 4: cho vÐct¬ a (2m 1;3m 2); b (2;1) a.tìm m để hai véctơ trên cùng phương b.Tìm toạ độ véctơ có độ dài vàcùng phương với b VÝ dô 5: cho hai ®iÓm A(-2;1) vµ B(-4;5) a.T×m ®iÓm M trªn trôc Ox cho A,B,M th¼ng hµng b.Tìm N trên trục Ox cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO; c.T×m giao ®iÓm I cña hai ®êng chÐo cña h×nh thang Bài tập tương tự: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC, biÕt A(2;-2) ,B(10;-6), C n»m trªn Oy, träng t©m G n»m trªn trục Ox.Tìm toạ độ C và G Bµi :a Cho A(-1;8), B(1;6) vµ C(3;4) CMR A,B,C th¼ng hµng b Cho A(1;1) , B(3;2) và C (m+4;2m+1) tìm m để A,B ,C thẳng hàng Bài : Cho tam giác ABC Các điểm M(1;1) N(2;3) ,P(0;-4) là trung điểm các cạnh BC , CA;AB Tính toạ đọ các đỉnh tam giác ABC Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ ,cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) ,C(9;-5) a.CMR A,B ,C th¼ng hµng b.Tìm toạ độ điểm D cho a là trung điểm BD c.Tìm toạ độ điểm E trên Ox cho A ,B ,E thẳng hàng Bµi 5: TRong mÆt ph¼ng cho c¸c ®iÓm A(1;2) ,B(4;0) C(m;m-2) a.Tìm m để C nằm trên trục hoành , trục tung b.Tìm toạ độ điểm D để tứ giác OADB là hình bình hành c.Tìm m để tứ giác OACB là hình thang Bài : Trong mặt phẳng toạ độ , cho ba điểm A(-1;3) ; B(4;2) ; C(3;5) a CMR : A, B ,C kh«ng th¼ng hµng Lop10.com (19) b Tìm toạ độ điểm D cho AD 3BC c.Tìm toạ độ điểm E cho O là trọng tâm tam giác ABE Bài 2: tích vô hướng hai véctơ và ứng dụng I KiÕn thøc c¬ b¶n: 1.§Þnh nghÜa: a.b a b cos(a; b) Công thức toạđộ : Cho vectơ a( x1 ; y1 ); b( x2 ; y2 ) , đó ta có: a.b x1.x2 y1 y2 3.§é dµi vÐct¬ ,gãc gi÷a hai vect¬; Cho hai vectơ; a( x1 ; y1 ); b( x2 ; y2 ) ,khi đó ta có: a a x12 y12 xx yy a.b b cos(a; b) 2 2 2 a.b x1 y1 x2 y2 c a b a.b x1 x2 y1 y2 d.cho A( xA ; y A ); B( xB ; yB ) AB( xB xA ; yB y A ) AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 II C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC,víi A(10;5);B(-1;-1);C(6;0).CMR tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B Bài 2:Trong mặt phẳng toạ độ , cho tam giác ABC,có A(4;6),B(1;4),C(7: ) a.CMR;tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A b.Tính độ dài các cạnh tam giác ABC Bài 3: Tính góc hai vectơ a, b các trường hợp sau: a.a (1; 2); b(1; 3) b.a (3; 4); b(4;3) c.a (2;5); b(3; 7) Bài 3: Cho hai điểm A(2;4) và B(1;1).Tìm toạ độ điểm C,sao cho tam giác ABCvuông cân t¹i B (C(4;0) vµ C(-2;2) ) Bài 4: Cho hai điểm A(5;4) ,B(3;-2).một điểm M di động trên Ox,tìm giá trị nhỏ : A= MA MB Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC, cã A(-4;1), B(2;4),C(2;-2) a TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC.(C=6(1+ );S=18) Lop10.com (20) b.Tìm toạ độ trọng tâm G,trực tâm H,và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Từ đó suy GH 2GI (H( ;1 );I(- ;1) Bµi 6:Cho tam gi¸c ABC,cã A(5;3),B(2;-1),C(-1;5) a Tính toạ độ trực tâm H tam giác ABC b.Tính toạ độ chân đường cao hạ từ A Bài 7: Cho hai điểm A(1;2),B(6;3).Tìm toạ độ điểm C nằm trên Ox cho tam giác ABC vu«ng t¹i C Bµi 8:Cho ba điểm A(1;-3),B(0;2),C(4;5).Xác định toạ độ ba điểm E,F,G,biết rằng: a.CE AB AC b AF BF 4CF Bài 9:Cho ba điểm A(1;2),B(4;6),C(9;8).xác định toạ độ chân đường phân giác trongcủa gãc BAC ( D( 17 20 ; ) ) 3 Bài 10: cho tam giác ABC,có A(-3;6),B(1;-2),C(6;3)xác định toạ độ tâm I đường tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC §S:I(1;3) Bài 11: Biết A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh hình vuông ABCD Tìm toạ độ các đỉnh C và Bài 3: Hệ thức lượng tam giác I.KiÕn thøc c¬ b¶n: định lí côsin: tam giác ABC, ta có : a b c 2bc cos A b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C b2 c2 a a.cos A 2bc a c2 b2 HÖ qu¶: b.cos B 2ac a b2 c2 c.cos C 2ab §Þnh lÝ sin:Trong tam gi¸c ABC, ta cã: a b c 2R sin A sin B sin C 3.C«ng thøc trung tuyÕn : b2 c2 a 2 a c b2 b.mb2 2 a b c2 c.mc2 1 a.S aha bhb chc 2 1 b.S bc sin A ac sin B ab sin C 2 abc 4.C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tamgi¸c : c.S 4R d S pr a.ma2 e.S p ( p a )( p b)( p c) Lop10.com (21)