d CA.CE + DA.DF = CD2 e Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFED đồng quy tại một điểm trên MB.â Bài 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O ,R có hai đường c[r]
(1)MỘT TRĂM BAØI TOÁN HÌNH HỌC ÔN TẬP TỐT NGHIỆP THCS Bài : Đường tròn (O,R) có AB là đường kính dây MN = R( Mvà N thuộc nửa đường tròn theo thứ tư A, M ,N ,B).Gọi S là giao ñieåm cuûa AM vaø BN, H laø giao ñieåm cuûa BM vaø AN a)Tính soá ño cung MN b)Tính soá ño caùc goùc ASB , MHN c)Chứng minh SMHN nội tiếp d) Chứng minh: SH ⊥ AB e) Gọi I là trung điểm SH Chứng minh IM là tiếp tuyến đường tròn (O) Baøi Cho hình veõ : Bieát ∆ABC noäi tieáp (O) có AK , CE , BF là ba đường cao , AD là đường kính (O) , AK cắt (O) M (khác A ) xy laø tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) Bài : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R ) có AK , BF , CE là ba đường cao cắt tai ïH Gọi I là trung ñieåm BC A Chứng minh a) Nếu M và H đối xứng qua K thì M ∈ (O) b) Nếu D và H đối xứng mhau qua I thì D ∈ (O ) c) OA ⊥ EF (ba cách) và H là tâm đường tròn noäi tieáp ∆EKF d) Tính R( ∆BHC ) theo R Baøi : Cho hình veõ : Bieát tam giaùc ABC noäi tieáp (O;R ) AD , BE là hai đường cao cắt H AK là đường kính , AD cắt đường tròn I , Gọi F là giao điểm CH và AB Đường thẳng EF cắt (O) taïi M vaø N I a) Tìm và chứng minh ba tứ giác có đỉnh là H nội tiếp đướng tròn b)Tìm và chứng minh ba tứ giác có cạnh là ba cạnh tam giác ABC nội tiếp đướng tròn c) Chứng minh : BH = BM ; HE = NE d) Chứng minh : EF//NP// xy a)Chứng minh BI KC là hình thang cân b)Chứng minh BHCK là hình bình hành c)Chứng minh AE.AC = AF AB Lop10.com (2) d) Chứng minh BHCD là hình bình hành e) Chứng minh BMDC là hình thang cân Baøi : Cho hình veõ : Bieát tam giaùc ABC noäi tiếp đường tròn (O) (AB < AC ) AH ; AK là đường cao và phân giác tam giác ABC , AI cắt đường tròn điểm thứ hai là K ( K khaùc A ) a) Chứng minh : BK = CK b) Chứng minh AK là phân giác ÔH c) Kẻ đường kính AD đường tròn (O) Chứng minh : AB.AC = AH.AD d) Chứng minh : IA.I K = IB.IC vaø AB.KC = AK.BI e) Chứng minh KB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Baøi 6: Cho đường tròn (O; R) , Với các kí hiệu có trên hình hãy chứng minh: CD CB = CE CA AH.AD = AF.AB d)Chứng minh AM = AN e) Chứng minh OA ⊥ EF f) Cho biết : AC = R Tính F Ê D và độ dài các đoạn thẳng DF , BH theo R g)Tính DA2 +DB2 + DC2 + DI theo R Baøi : Cho hình veõ : Bieát hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài A CD laø tieáp tuyeán chung ngoài hai đường tròn ( C ∈ (O) , D ∈ (O' ) a)Chứng minh ∆ CAD vuông b)Gọi M là trung điểm CD Chứng minh MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O’) , từ đó suy OM ⊥ O’M c) Các đường thẳng CA và DA cắt (O) và (O’) F và E Chứng minh C, O , E thaúng haøng vaø D , O , F thaúng haøng d) Tính CD2 + EF2 theo R vaø R’ e) Chứng minh : S ∆CAD = S ∆EAF Baøi : a)Tứ giác CAIM , BDMI nội tiếp b)Tam giaùc CID vuoâng c)EF // AB d)Khi M cố đinh I thay đổi trên AO , tìm vị trí I để AC BD lớn R vaø AM = R Haõy e) Cho bieát OI = tính độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam Cho hình vẽ , với các kí hiệu có trên hình chứng minh : a) CD = AC + BD vaø C ÔD = 900 Lop10.com (3) giaùc CID theo R Bài : Cho đường tròn (O ;R ) và điểm M cho OM = 2R Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA và MB với đường tròn (O) ( A , B thuộc (O) ) C laø ñieåm baát kì thuoäc cung nhoû AB Tiếp tuyến C cắt MA và MB E vaø F CM DM = CE DE c) CN = CA d) Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø AD , F laø giao điểm MI và AB Chứng minh MI // AC và I laø trung ñieåm cuûa MF e) Chứng minh : AB tiếp xúc đường tròn đường kính CD b) a)Chứng minh : EF = EA + FB b) Tính chu vi cuûa tam giaùc MEF theo R c) Tính E Ô F c) Gọi I và K là giao điểm OE và OF với AB Chứng minh bốn điểm F , I , O ,B cùng thuộc đường tròn d) Khi Sđ cung BC 900 ,Tính độ dài EF vaø dieän tích tam giaùc OIK theo R Bài 10 : Cho đường tròn (O ; R ) có AB là đường kính Trên hai nửa khác đường tròn ta lấy hai điểm M và N cho AM = R ; AN = R Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến B đường tròn C và D Chứng minh a) AM.AC = AN.AD b)Tứ giác MNDC nội tiếp c) Gọi MK , NI , AJ là ba đường cao tam giác AMN Tính số đo góc và độ dài các cạnh cuûa tam giaùc KIJ Bài 11 : Cho đường tròn (O);R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A vaø B thuoäc (O) )vaø caùt tuyeán MCD (MC < MD) Gọi I là trung điểm CD Đường thẳng OI cắt đường thẳng AB K Chứng minh a) Các tứ giác MAOB , MHIK nội tiếp đường tròn b) OI OK = R2 c) MH MO = MC.MD d) CĤD = 2CÂD e) BC AC = BD AD f)Cho bieát OM = 3R , CD = R ,Tính dieän tích tam giaùc MKC vaø MK theo R Baøi 12 : Cho đường tròn (O,R ) và điểm M cho OM = 3R Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB ( A vaø B thuộc (O) ) Từ A vẽ dây cung AD song song MB.Đường thẳng MD cắt đường tròn điểm thứ Lop10.com (4) Baøi 13 :Cho đường tròn tâm (O;R) có AB và CD là hai đường kính vuông góc I là điểm nằm trên OB cho OI = OB Đường thẳng CI cắt đường tròn E và cắt BD K Đường thẳng AE cắt CD F Chứng minh: a)Tứ giác OIED nội tiếp và tính CI.CE theo R c)Chứng minh I là trọng tâm tam giác CBD từ đó tính KE.KC theo R d)Chứng minh F là trung điểm OD e)Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACE theo R f)Trong trường hợp I thay đổi trên OB chứng minh diện tích tứ giác CAFI không đổi Baøi 14 : hai là C khác D Đường thẳng BC cắt MA F ,đường thẳng AC cắt MB E 1)Chứng minh : a) Tứ giác MAOB nội tiếp b) EB = EC.EA c) E laø trung ñieåm cuûa MB d) BC MB = MC AB e) CF laø tia phaân giaùc MĈA 2)Tính dieän tích ∆ BAD theo R 3)Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và MB Baøi 15 : Với hình vẽ trên cho biết : MA và MB là hai tiếp tuyeán cuûa (O) , CD ⊥ AB ;CE ⊥ MA ; CF ⊥ MB a)Tìm và chứng minh bốn tứ giác nội tiếp có hình veõ b)Chứng minh CE CF = CD2 c)Goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vaø DE , K laø giao điểm BC và FD Chứng minh tứ giác CHDK noäi tieáp d)Chứng minh KH // AB Baøi 16 : Với hinh vẽ trên cho biết : MA và MB là hai tieáp tuyeán cuûa (O) , CI ⊥ AB ;CK ⊥ MA ; CD ⊥ MB a) Tìm và chứng minh bốn tứ giác nội tieáp coù hình veõ b) Chứng minh CK CD = CI2 c) Goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vaø KI , E là giao điểm BC và ID Chứng minh tứ giaùc CHIE noäi tieáp Lop10.com (5) d) Chứng minh EH // AB KI CK e) Chứng minh : = DI CD Bài 17 :Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB Từ A ,B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này ,kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax ,By taïi E vaø F a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp b) AM cắt OE P ,BM cắt OF Q.Tứ giác MPOQ laø hình gì ? c)Chứng minh: OP.OE = OQ.OF và AE.BF = R2 d) Keû MH vuoâng goùc AB ,Klaø giao ñieåm MH vaø EB So saùnh MK vaø HK e) Cho AB= 2R và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh r : < < R Bài 18 :Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB,kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn ,C là điểm trên nừa đường tròn cho cung AC baèng cung CB Treân cung CB laáy ñieåm D tuøy yù ( D khaùc C vaø B ) Caùc tia AC vaø AD cắt Bx E và F Chứng minh: Cho đường tròn (O,R ) và điểm M cho OM = 3R Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB ( A vaø B thuộc (O) ) Gọi E là trung điểm MB ,đường thẳng EA cắt đường tròn điểm thứ hai là C khác A Đường thẳng MC cắt đường tròn D khác C ,đường thẳng BC cắt MA F 1)Chứng minh : a)Tứ giác MAOB nội tiếp b)EB = EC.EA c)AD // MB d)BC MB = MC AB e)Tam giaùc DBA caân 2)Tính dieän tích ∆ BAD theo R 3) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Bài 19 :Cho hai đường tròn (O,R) và (O’; R’) cắt taïi A vaø B Tieáp tuyeán taïi A cuûa (O’) caét (O) taïi C, tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) caét (O’) taïi D.Gọi K là điểm đối xứng A qua B Chứng minh : a)BÔO’ = BÊA b)AB2 = BC.BD vaø BK laø phaân giaùc goùc CBD c) ME2 = MA.MB vaø M laø trung ñieåm cuûa EF AC R = d)Tứ giác ACKD nội tiếp và AD R' Bài 20 :Cho hai đường tròn (O,R) và (O’; R’) cắt A và B Đường kính AC (O) cắt (O’) E , đường kính AD (O’) cắt (O) F Gọi M là giao điểm CF và DE Chứng minh : a)Tam giaùc ABE vuoâng caân b)Tứ giác CEFD nội tiếp c)Khi C di động trên nửa đường tròn ,D di động trên cung CB thì AC.AE= ADAF và có Lop10.com (6) giá trị không đổi d) Khi Sñ cung CD baèng 600 vaø K thuoäc tia DA cho DK = DB Tính dieän tích ∆ AKB và chu vi tứ giác CDFE theo R Bài 21 : Cho đường tròn (O) và dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn Từ điểm chính P cung lớn AB ke ûđường kính PQ cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I Các dây AB và QI cắt K Chứng minh a)Tứ giác PDKI nội tiếp b)CI.CP = CK.CD c)IC là tia phân giác góc ngoài đỉnh I tam giaùc AIB d) Khi A , B ,C cố định đường tròn (O) thay đổi qua A ,B thì đường thẳng QI luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh Bài 22:Cho đường tròn (O;R) và đường thaúng d caét (O) taïi C vaø D Moät ñieåm M di động trên d cho MC < MD và ngoài đường tròn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA vaø MB Goïi H laø trung ñieåm cuûa CD vaø giao OM , d , OH với AB là I , E và F a) C , B , D thaúng haøng vaø CD = OO’ b)Các tứ giác AEMF ; CFED, OO’EF nội tiếp c) M , A , B thẳng hàng và A là tâm đường tròn noäi tieáp ∆EBF d) CA.CE + DA.DF = CD2 e) Các tiếp tuyến E và F đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFED đồng quy điểm trên MB.â Bài 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ,R ) có hai đường chéo AC và BD vuông góc điểm I khác O Kẻ đường kính CE (O) Chứng minh a) IA.IC = IB.ID b) Đường thẳng qua I vuông góc AB thì qua trung ñieåm cuûa CD c) Đường thẳng qua I và trung điểm BC thì vuoâng goùc AD d) AB2 +CD2 = 4R2 vaø AB2+ BC2 + CD2 + AD2 = 8R2 Chứng minh : a) Các tứ giác MIHF ; OHEI nội tiếp Baøi 24: Lop10.com (7) b) MA2 = MCMD vaø MC.MD = MI.MO AB c) FI EI = vaø OH OF = OI.OM d)Đường thẳng AB qua điểm cố định Baøi 25 : Cho đường tròn (O ,R ) có AB là đường kính ,C và D là hai điểm nằm trên hai nửa đường troøn khaùc cho AC = R vaø OD ⊥ AB Tính 24.1 Cho tam giaùc ABC coù B = 600 , BA = 6cm BC = 8cm AD , BE , CF laø ba đường AD , AC , cao caét taïi H a)Tính độ dài các đoạn thẳng BE , CF b) Tính diện tích;ø bán kính đường tròn nội tiếp , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 24.2 Tam giaùc ABC coù BC =6cm B= 600 , Ĉ= 450 a) Tính độ dài đường cao AH cuûa tam giaùc ABC a)Soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ACE vaø tam giaùc ACD b)Độ dài các cạnh tứ giác ACDB theo R c) Độ dài các đoạn thẳng AE ,CE , BE , CD theo R d) Dieän tích tam caùc tam giaùc ACE vaø CDB b) Tính AB , AC , dieän tích tam giaùc ABC , baùn kính đướng tròn ngoại tiếp ,bán kính đường tròn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC 24.3 Baøi 26 : AC=8cm Cho đường tròn (O,R ) có OM là bán kính BC là dây cung trung trực OM A là điểm trên cung lớn BC Gọi AD , BE , CF là ba đường cao cắt H cao Tam giaùc ABC coù AB = 6cm, BC = 12cm AK là đường a) Tinh BK , CK, AK b)Tính baùn kính đường tròn ngoại tiếp ,đường troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC Bài 27 :Cho đường tròn (O,R ) và điểm M cho OM = 2R Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB với (O) ( A , B thuộc (O) ) Đường thẳng MO cắt đường tròn C và D ( MC < MD ) a) Chứng minh tứ giác BOCM là hình thoi b) Tính soá ño caùc goùc BAC vaø BHC c)Chứng minh tam giác MOH cân d)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giaùc BHO Lop10.com (8) e) Gọi K là trung điểm HC Chứng minh tứ giaùc EFDK noäi tieáp f)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giaùc EFD Bài 29 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R ) Các đường phân giác tam giác kẻ từ các đỉnh A , B , C đồng quy S và cắt đường tròn Q , P , R a)Chứng minh Q cách các đỉnh tam giaùc BSC b) Gọi E và F là giao điểm RP với AB và AC Chứng minh AQ vuông góc RP; Ñieåm S goïi laø gì tam giaùc QRP? c)Goïi I laø giao ñieåm cuûa RQ vaø AB , J laø giao điểm PQ và AC Chứng minh tứ giác ARIS noäi tieáp d) Chứng minh ba điểm I , S , J thẳng hàng Baøi 30 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) AD , AM là đường cao và trung tuyến tam giác ABC , d là trung trực đoạn BC Chứng minh a) Nếu H là giao điểm củaAD với đường thaúng noái O vaø troïng taâm G cuûa tam giaùc a) Chứng minh CA = CB a) Chứng minh C là tâm đường tròn nội tiếp tam giaùc MAB c) Tứ giác ACBO và MADBlà hình gì?Tính diện tích các tứ giác trên theo R d) Gọi N là trung điểm AD ,đường thẳng MN cắt AC E Chứng minh E là trung điểm MN e) Tính độ dài MN và diện tích các tam giác MND, MED theo R f) Haõy giaûi laïi caâu e N laø giao ñieåm cuûa tia phân giác góc AMD với AD Baøi 28 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) M là điểm trên cung nhỏ BC Chứng minh: a)Neáu MH ⊥ AB , MI ⊥ BC vaø K laø giao ñieåm cuûa HI vaø AC thì MK ⊥ AC b) Neáu MH ⊥ AB , MK ⊥ AC vaø I laø giao ñieåm cuûa HK vaø BC thì MI ⊥ BC c)Neáu MH ⊥ AB , MI ⊥ BC vaø MK ⊥ AC thì ba điểm H , I , K thẳng hàng (Đường thẳng IHK nói trên gọi là đường thẳng SimSon*) * Robert Simson(1687-1768) nhà toán học Scotland c) Nếu O là giao điểm d với đường thẳng nối Lop10.com (9) ABC thì H là trực tâm tam giác ABC bNếu G là giao điểm AM với đường thẳng nối O và trực tâm H tam giác ABC thì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC Bài 33 :Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB khoâng qua taâm Caùc tieáp tuyeán taïi A và B đường tròn (O) cắt C Gọi P laø ñieåm treân daây AB cho AP = BP.Đường thẳng vuông góc với OP kẻ từ P cắt đường thẳng CA E và cắt đường thẳng CB D 1)Chöng minh: a) Các tứ giác OPDB , OPAE nội tiếp b) P là trung điểm đoạn thẳng DE c) CE.CD = CA2 - AE2 2) Cho bieát AB = R Tính dieän tích tam giaùc EOC theo R Bài 34 : Cho đường tròn ( O,R ) ,đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A và B Từ điểm C trên d ( C nằm ngoài đường tròn ) ,kẻ hai tiếp tuyến CM và CN ( M vaø N thuoäc (O) ) GoÏi H laø trung ñieåm AB ,đường thẳng OH cắt tia CN K.Đoạn thẳng CO cắt (O) I Chứng minh: trực tâm H và trọng tâm G tam giác ABC thì O laø taâm cuûa (ABC) d) Với H , G là trực tâm ,trọng tâm tam giác ABC Chứng minh O , H , G thẳng hàng Bài 31: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B (Tâm đường tròn này nằm ngoài đường tròn kia).Qua A vẽ cát tuyến thay đổi MN ( M ∈ (O), N ∈ (O ' ) ) Hai tieáp tuyeán taïi M vaø N hai đường tròn cắt K Hai tiếp tuyến A (O) và (O’)lần lượt cắt (O’) và (O) taïi D vaø C Chứng minh: a) ∆BMN và ∆AOO’ đồng dạng b)Soá ño caùc goùc MBN, ABC, AND khoâng thay đổi c) Tứ giác KMBN nội tiếp và số đo góc MKN không đổi d) Tìm vị trí cát tuyến MN để MN lớn Baøi 32 :Cho tam giaùc ABC caân taïi A noäi tieáp (O,R) và Â= 450ù BM và CN là hai đường cao cắt H Chứng minh : a)BM = CN , MN // BC , AH = BC b) Naêm ñieåm B,C , N , O , M cuøng thuoäc moät đường tròn c) MN = BC Lop10.com (10) d) Các tứ giác BMON , MONH , BHCD là hình gì? e)Tính độ dài các đoạn thẳng BD , AB theo R Bài 35: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyeán ACD (naèm giuõa A vaø D ) 1) C,O,H ,N cùng thuộc đường tròn 2) KN.KC= KH.KO 3) I cách CM , CN , MN 4) Một đường thẳng qua O song song MN cắt tia CM vaø CN taïi E vaø F Xaùc ñònh vò trí C trên d để diện tích tam giác CEF nhỏ 1) Chứng minh AB2 = AC.AD 2) Gọi H là trung điểm CD Chứng minh tứ giác Bài 37: Cho đường tròn (O,R) , Mlà ABOE có bốn điểm cùng thuộc đường ñieåm cho OM = 2R Qua M veõ hai tieáp troøn tuyến MA và MB ( A , B thuộc (O) ) Đường 3) Veõ tia Bx // CD caét (O) taïi I , IE caét (O) taïi K thẳng MO cắt đường tròn E và F ( ME < Chứng minh AK là tiếp tuyến (O) MF ) 4) Đường thẳng BH cắt (O) F Chứng minh 1) Chứng minh : KF // CD 5) Tím vị trí cát tuyến ACD đề diện tích tam giác AID lớn Bài 36.1 : Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi E là trung điểm CD ,đường thẳng AE cắt BC F Tia vuông góc với AE A cắt CD taïi K a)MO là trung trực đoạn thẳng AB và E cách ba cạnh tam giác MAB b)Tam giác MAB Tính diện tích ∆MAB c)MA = AF và tứ giác MAFB là hình thoi 2) Gọi C là điểm đối xứng B qua O Đường thẳng MC cắt AB S Chứng minh diện tích hình tròn ngoại tiếp ∆MBS gấp ba lần diện tích hình tròn ngoại tiếp ∆ASC Bài 38.1: Cho đường tròn (O,R) , Mlà ñieåm cho OM = 3R Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB ( A , B thuoäc (O) ) Tia 1)Chứng minh tứ giác KACF nội tiếp đường tròn Xaùc ñònh taâm I 2) Chứng minh tam giác KAF vuông cân và ba ñieåm B,D I thaúng haøng 3) BI cắt AE J Chứng minh tứ giác IJCF nội tieáp Lop10.com (11) đối tia MO cắt đường tròn C Gọi D là trung điểm MA ,đường thẳng MO caét AB vaø BD taïi I vaø G Tính 4) Tính dieän tích tam giaùc BJC theo a 5) Tính chu vi tứ giác IDEF theo a Baøi 36.2 : Cho hình veõ : a) Chứng minh ABOC laø hình vuoâng b) Tính độ dài các đoạn thẳng BD , BE BF theo baùn kính R đường tròn (O) 1) Độ dài các cạnh tam giác MAB 2) Độ dài cạnh C A 3) Độ dài đoạn thẳng CD và diện tích các tam giaùc MDC , DGC , DBC 4) Tæ soá dieän tích hai tam giaùc DAK vaø BCK (Với K là giao điểm CD và AB ) Baøi 38.2 : Xaùc ñònh caùc goùc B vaø C cuûa tam giác vuông A biết BC= và diện tích tam giaùc ABC laø Bài 39 :Cho đường tròn ( O ) và dây cung AB không qua tâm Vẽ đường kính CD K (D ∈ cung nhoû AB ).Treân cung nhoû BC laáy ñieåm N ( N khaùc B vaø C ) DN vaø KB caét taïi F , CN vaø AB keùo daøi caét taïi E Bài 41: Cho hai đường tròn tâm O ,hai đường kính AB và CD vuông góc , gọi I laø trung ñieåm cuûa OA Qua I veõ daây cung MQ vuông góc với OA ( M ∈ cungAC , Q ∈ cungAD) Đường thẳng vuông góc MQ M cắt đường tròn (O) P a) Chứng minh tứ giác KFNC nội tiếp đường troøn b) Chứngminh DF.DN = DK.DC c) Tiếp tuyến N đường tròn (O) cắt đường thẳng AB I Chứng minh IE = IF EB KE d) Chứng minh = FB KA 1) Chứng minh : a)Tứ giác PMIO là hình thang vuông b) Caùc ñieåm P, O ,Q thaúng haøng 2) Goïi S laø fgiao ñieåm cuûa AP vaø CQ Tính soá ño goùc CSP 3) Gọi H là giao điểm AP và MQ Chứng minh raèng : a) MH.MQ = MP2 Bài 40.1 : Cho đường tròn (O, 5cm ) có AB là đường kính (d) là tiếp tuyến A Gọi M là điểm trên (O) và P ,Q là hình chiếu M trên AB vaø (d) , I laø trung ñieåm cuûa PQ Lop10.com (12) b) MP là tiếp tuyến đường tròn ngoại tieáp tam giaùc QHP Bài 42: Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN B và C Chứng minh : 1)Chứng minh tam giác AIO vuông 2)Tiếp tuyến M cắt đường thẳng (d) T Chứng minh MA là phân giác hai góc QMO vaø TMP 3) Chứng minh các cặp tam giác AIQ , ATM và AIP , AOM đồng dạng ) Tính độ dài các đoạn AQ , AI , AP biết AT = 10 cm Baøi 40.2 : Xaùc ñònh caùc goùc B vaø C cuûa tam giaùc vuông A biết BC= và đường cao AH = 2 Bài 43 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C là trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên I., K là điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D a) Tứ giác MNCB là hình thang cân b) MA MB = R2 c) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến K cắt AM, AN P và Q Chứng minh : BP.CQ = BC2/4 d) Cho bieát : OA = 2R , Tính SMBCN theo R Bài 45 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O) và (O’) phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O), (O’) thứ tự C, D Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt I 1) Chứng minh IA vuông góc với CD 2) Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp 3) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm EF 1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên đường tròn 2) Chứng minh ∆MNK cân 3) Tính diện tích ∆ABD K là trung điểm đoạn thẳng CI 4) Chứng minh : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AKD nằm trên đường thẳng cố định Bài 44 :Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, cho C không Lop10.com (13) trùng với M, N và B Nối AC cắt MN E Bài 46 : Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; trên tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆AME đồng dạng với ∆ ACM và AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2 d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ a) Chứng minh ∠ BMD = ∠ BAC, từ đó suy tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2 Bài 49 ( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Đà Bài 47: Từ điểm A ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E là giao điểm DO và AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB K Naüng) Cho hình vuoâng ABCD ,goïi E laø trung ñieåm AD Nối B với E Đường thẳng qua E vuông góc với EB cắt CD F Chứng minh : Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc đường tròn a) Tứ giác CBEF nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn đó b) ED là tiếp tuyến đường tròn tâm I c) BE = EF d) FE laø phaân giaùc cuûa goùc DFB Baøi 50 : Bài 48 : Cho tam giác ABC vuông A có M là trung điểm BC Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với M cắt các đoạn AB và AC D và E Xác định các vị trí D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ ( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Hà Lop10.com (14) noäi ) Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A Laáy ñieåm M tùy ý nằm A và B Đường tròn đường kính BM cắt đường thẳng BC điểm thứ hai là E Các đường thẳng CM và AE cắt đường tròn các điểm thứ hai là H và K Bài 48.2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt hai điểm A và B Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’), đường thẳng (d) cắt (O) C và cắt (O’) D, đường thẳng (d’) cắt (O) M và cắt (O’) N cho AB là phân giác góc MAD 1) Chứng minh : a) Tứ giác AMEC là tứ giác nội tiếp b) Goùc ACM baèng goùc KHM c) Các đường thẳng BH , EM , và AC đồng qui 2) Giả sử AC< AB ,hãy xác định vị trí M để tứ giác AHBC là hình thang cân Chứng minh CD = MN Baøi 51 : Baøi 53: (Phoûng theo bài tập báo Toán hoïc vaø tuoåi treû) Gọi A và B là các giao điểm hai đường tròn (O,R ) và ( O’; R’) Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng OO’ và có chứa điểm B vẽ T T’là tiếp tuyến chung hai đường troøn ( T thuoäc (O) vaø T’thuoäc (O’) ) Goïi I laø giao điểm AB và TT’.Chứng minh 1) OO’ vuoâng goùc AB 2) IT2 = IB IA suy I laø trung ñieåm ( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Thành phố Hồ Chí Minh) Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp đường tròn (O ,R ) ,hai đường cao AD và BE cắt taïi H ( D ∈ BC , E ∈ AC , AB < AC ) a)Chứng minh AEDB và CDHE là các tứ giác noäi tieáp b) Chứng minh CE.CA = CD.CB DB DC = DH.DA c) Chứng minh OC vuông góc DE Lop10.com (15) TT’ 3) SOIO’ = S OO’T’T 4) B laø troïng taâm cuûa tam giaùc ATT’ ( R + R’ ) vaø chæ OO’ = Baøi 54: (Phoûng theo bài tập báo Toán học vaø tuoåi treû) Cho hình vuoâng ABCD Treân caïnh BC vaø CD lấy hai điểm tương ứng M và N cho MÂN = 450 , BD cắt AM và AN I và K Chứng minh 1).Chứng minh a)Tứ giác AIND nội tiếp đường tròn suy NI ⊥ AM b) AK AN = AI.AM 2) Goïi H laø giao ñieåm cuûa NI vaø MK Tính KI AH 3) Chứng minh S∆CIK = Bài 57 :( Đề thi SMNIK HSG 03 -04- Tỉnh Thừa Thieân – Hueá - Voøng ) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn taâm O ,goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC ,H là trực tâm tam giác ABC và K là hình chiếu vuoâng goùc cuûa A treân caïnh BC d) Đường phân giác AN góc A tam giác ABC cắt BC N và cắt đường tròn (O) K khác A Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CAN Chứng minh KO và CI cắt điểm thuộc đường tròn (O) Bài 52 : ( Đề thi lớp 10 02-03 - Hải phòng ) Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy góc xOy A và B Từ điểm A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn đã cho điểm thứ hai là C Tia OC cắt đường tròn E ,Hai đường thẳng AE và OB cắt K EB CB = EA CA 2) Gọi a, b ,c thứ tự là khoảng cách từ C đến AB , OB OA Chứng minh a2= bc 1) Chứng minh OK = KB và Baøi55.1 Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tiếp đường tròn (O) và AD ,BE ,CF là ba đường cao tam giác ABC Gọi M,N,Q là giao điểmcủaAD,BE,CF với đương tròn (O) Chứng minh : Lop10.com AM BN CQ + + =4 AD BE CF (16) BAØI 55.2 Chop tam giaùc ABC Treân caùc tia đối tia BA và CA lấy các điểm E và F (khác B và C )theo thứ tự BF cắt CE điểm M MB MC AB AC + ≥2 MF ME AF AE naøo daáu “= “xaûy Chứng minh: Tính độ dài AK và diện tích tam giác ABC bieát raèng OM= HK = KM vaø AM = 30cm Khi Bài 56:Cho nửa đường tròn tâm O đường kính Bài 58: :( Đề thi HSG 03 -04- Tỉnh Thừa Thieân – Hueá - Voøng ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh BC ,M laø ñieåm trên đoạn CI ( M khác C và D ) ,đường thẳng AM cắt đường tròn (O) D Tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI M cắt các đường thẳng BD ,DC P và Q AB và điểm C thuộc đoạn AB ,M là điểm trên nửa đường tròn Đường thẳng qua M vuoâng goùc MC caét caùc tieáp tuyeán qua A vaø B cuûa nửa đường tròn E và F 1) Khi M cố định ,C di động Tìm vị trí C để AE.BF lớn 2) Khi C cố định ,M di động Tìm vị trí M để S∆CEF lớn Bài 59( Đề thi nhaát HSG 03 -04 - Thaønh phoá Hoà Chí Minh) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O ,đường kính AI Gọi E là trung điềm AB vaø K laø trung ñieåm OI 1)Chứng minh DM.IA = MP.IB MP 2) Tính tæ soá MQ Baøi 61: (Đề thi tuyển vào lớp 10 , 95 -96 Thaønh phoá Hoà Chí Minh) Cho hình vuoâng ABCD coá ñònh caïnh a Ñieåm E di chuyển trên cạnh CD ( E ≠ D ) Đ ường thẳng AE cắt đường thẳng BC F ,đường thẳng vuông góc với AE A cắt đường thaúng CD taïi K Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn Lop10.com (17) Bài 60.1:Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R ,M là điểm trên nửa đường troøn(khaùc A vaø B) Tieáp tuyeán cuûa (O) taïi M caét các tiếp tuyến A và B nửa đường tròn (O) taïi C vaø D 1)Chứng minh ∆ABF = ∆ADK ,suy ∆AKF vuoâng caân 2)Gọi I là trung điểm FK Chứng minh làtâm đường tròn qua A ,C , F ,K và I di chuyeån trên đường thẳng cố định E di động treân CD 3)Chứng minh tứ giác ABFI nội tiếp 4) Cho DE = x (0 < x ≤ a ) Tính độ dài các caïnh cuûa ∆AEK theo a vaø x 5) Hãy vị trí E để EK ngắn Baøi 62: (Đề thi tuyển vào lớp 10 , 02 03 trường Lê Quý Đôn , Đà Nẵng ) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB đường tròn đó Các tiếp tuyến vẽ từ A và B đường tròn cắt C Kẻ dây CD đường tròn tâm I có đường kính OC (D khác A và B ) CD cắt cung AB đường tròn (O) E ( E nằm C và D ) Chứng minh : 1)Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa: a)Độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam giác COD b) Diện tích và chu vi tứ giác ACDB c)Toàng dieän tích cuûa tam giaùc ACM vaø BDM 2) Tìm giá trị lớn : a) Dieän tích vaø chu vi tam giaùc MAB b) Tích MA.MB Bài 60.2: (Đề thi tuyển vào lớp 10 , 02 -03 trường Trần Đại Nghĩa TP Hồ Chí Minh ) Cho tam giaùc ABC ( AB < AC ) noäi tieáp (O,R) , AD laø phaân giaùc Tieáp tuyeán taïi A cuûa đường tròn (O) cắt đường thẳng BC E , Cho BD = b ; CD = c Tính EA Bài 63: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , AA’ và BB’ là hai đường cao Gọi d là tiếp tuyến đường tròn (O) taïi C Haï AM ⊥ d , BN ⊥ d , A’H ⊥ d, B’K ⊥d 1) BÊD = D ÂE vaø DE = DA DB 2) Gọi S là diện tích tứ giác AIOB Chứng minh OI + AB ≥ 2 S Bài 65: Cho ∆ABC với BC = a , AC = b , AB = a Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và tiếp xúc với BC, AC, AB Lop10.com (18) D , E , F Veõ BK ⊥ AI taïi K vaø AH ⊥ BI taïi H Chứng minh: A’H = B’K và MH = NK Baøi 64.1:Cho tam giaùc ABC coù goùc A = 450 nội tiếp đường tròn (O,R) Kẻ các đường cao AA’ và BB’của tam giác ABC Gọi O’ là điểm đối xứng O qua đường thẳng B’C’ 1) Chứng minh tứ giác CC’OB’ là hình thang cân 1)Tính AF , DC , B D theo a , b , c 2) Chứng minh tứ giác AEHI nội tiếp 3) Boán ñieåm E , H , K , D thaúng haøng Baøi 66: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác ,M và N là hình chiếu H lên phân giác và phân giác ngoài góc A tam giaùc ABC 2) Chứng minh A , B’, C’, O’cùng nằm trên đường tròn và tính B’C’ theo R Bài 64.2: Cho đường tròn tâm (O,R) Trên 1) Chứng minh MN qua trung điểm S AH 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,còn I ,E là trung điểm BC và AC Chứng minh tam giác OIE đồng daïng vôiù tam giaùc AHB Chứng minh ba điểm M , I , N thẳng hàng ) Chứng minh OI = AH đường tròn theo chiều kim đồng hồ lấy theo thứ tự các điểm A , B ,C ,D cho Sđ cung AB = 300 , sñcung BC = 450 , sñ cung CD =1200 a)Tính soá ño caùc cung AC , BD b) Tính độ dài các đoạn AB c) Tính dieän tích caùc tam giaùc OCD , OBC , OAB d*) Tính diện tích tứ giác ABCD theo R e)Tính độ dài các đoạn AC ,BD Baøi 67.1: Cho tam giác ABC với BC = a , Bài 69 ;Từ điểm ngoài đường tròn AC = b , AB = a Gọi S , p ,r là diện tích ,vẽ hai tiếp tuyến IA và IB đến (O) Gọi M là tam giác ABC, nửa chu vi tam giác ABC và bán Lop10.com (19) trung ñieåm cuûa IB , AM caét (O) taïi A vaø K kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC 1) Chứng minh S = p.r 1 1 2) Chứng minh đó ,hb = + + 1)Chứng minh IO vuông góc AB r hb hc 2)Goïi C laø giao ñieåm cuûa IO vaø AB ,hc là chiều cao tam giác ABC hạ từ A , B , C Chứng minh hai tam giác AKB và AMC đồng Baøi 67.2: daïng ,suy AB2 = 2AK AM 3)Gọi D là giao điểm thứ hai IK và (O) Tính bán kính đường tròn nội Chứng minh MB2 = MK.MA và AD // IB tieá p moä t ) Chứng minh AB tiếp xúc với đường ròn tam giaùc vuïoâng coù caïnh huyeàn ngoại tiếp tam giác IKB laø a vaø Baøi 70.1:Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A chu vi laø 2p và điểm D trên cạnh BC Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB và G là giao điểm AB với DE Từ giao điểm H AB với CE haï IH ⊥ BC taïi ñieåm I Caùc tia CH vaø IG caét K Chứng minh Baøi 68: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp 1)Tứ giác GHDI và BKHI nội tiếp 2) KC laø tia phaân giaùc cuûa goùc IKA đường tròn tâm O Lấy điểm D trên cung BC không chứa điểm A Kẻ dây AE song song BC daây DE caét caïnh BC taïi F Haï DH , DI , DK laàn lượt vuông góc với cạnh BC, AC , AB Baøi 70.2:Cho hai ñieåm A vaø B coá ñònh Đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ tiếp xúc AB A và B , biết (O) và (O’) cắt M và N Chứng minh đường thaúng MN luoân ñi qua ñieåm coá ñònh hai đường tròn thay đổi Baøi 73 ; 1) Chứng minh tam giác BDF đồng dạng tam giaùc ADC 2) Chứng minh tam giác DCF đồng dạng tam giaùc BAD BC AB AC Cho tam giác ABC nội tiếp đường 3) Chứng minh : DH = DI + DK Lop10.com (20) troøn (O ; R)coù M , N laø trung ñieåm cuûa AB vaø AC , đường cao AH Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giaùc AMN a) Chứng minh O ,I , A thẳng hàng b) Chứng minh góc IAC = góc HAB c) Keû daây AE cuûa (I) song song MN , HE caét MN K Chứng minh KM = KN d) HE cắt (I) D Chứng minh tứ giác BHDM noäi tieáp Baøi 74 ; Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp các điểm A’, B’, C’ Đường thẳng B’C’ cắt OA H và BC K , AA’ cắt OK M Chứng minh a) b) c) d) Hai tam giác OAA’ và OA’H đồng dạng Tứ giác AHMK nội tiếp AA’ vuoâng goùc OK Naêm ñieåm O ,A , B’, C’ , M cuøng naèm trên đường tròn Baøi 77: 4) Chứng minh ba điểm I , H , K thẳng hàng Baøi 71 ; Cho tam giác ABC vuông C ,I là ñieåm coá ñònh treân AB ( IB< IA ) và (BC < CA ) Kẻ đường thẳng d qua I và vuông góc với AB , d cắt AC vàBC F và E Gọi M là điểm đối xứng B qua I a)Chứng minh ∆IME đồng dạng ∆IFA và IE.IF = IA.IB b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE N Chứng minh ba điểm F , N ,B thẳng hàng c)Cho A ,B cố định ,C thay đổi Chứng minh ( AEF ) luoân luoân ñi qua hai ñieåm coá ñònh vaø taâm đường tròn đó nằm trên đường thẳng cố định Baøi 72 ; Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R ) , M và N di động trên BC ,CA cho BM = CN 1) Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giaùc ABC theo R 2)Chứng minh OM = ON 3)Tứ giác CMON nội tiếp 4) Đường thẳng qua O vuông góc với MN cắt AB taïi E Tam giaùc MNE coù tính chaát gi? 5) Chứng minh trung điểm I MN thuộc đưởng thaúng coá ñònh Cho hai đường tròn (O; R ) và (O; Lop10.com (21)