PHÂN TÍCH MÔĐUN CYCLIC TRONG ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT

Một cách tự nhiên, trong bài viết này chúng tôi mô tả cấu trúc của môđun cyclic trong đại số đường đi Leavitt sinh bởi các cạnh và các đỉnh của đồ thị ban đầu.. Đại số đường đi [r]

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26

23

PHÂN TÍCH MƠĐUN CYCLIC TRONG ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT

Ngô Tấn Phúc1*, Trần Ngọc Thành2

Tăng Võ Nhật Trung2

1Trường Đại học Đồng Tháp 2Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp

*Tác giả liên hệ: ntphuc@dthu.edu.vn

Lịch sử báo

Ngày nhận: 25/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 06/4/2020; Ngày duyệt đăng: 18/4/2020 Tóm tắt

Trong viết này, mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh phần tử đồ thị cảm sinh

Từ khóa: Đại số đường Leavitt, môđun cyclic, môđun đơn

-

THE DECOMPOSITION OF CYCLIC MODULES

IN LEAVITT PATH ALGEBRA

Ngo Tan Phuc1*, Tran Ngoc Thanh2, and Tang Vo Nhat Trung2

1

Dong Thap University

2

Student, Dong Thap University

*Corresponding author: ntphuc@dthu.edu.vn Article history

Received: 25/02/2020; Received in revised form: 06/4/2020; Accepted: 18/4/2020

Abstract

In this paper, we describe the structure of the cyclic module in the Leavitt path algebra generated by elements in the original graph

Chuyên san Khoa học Tự nhiên

24

1 Mở đầu

Cho đồ thị (trực tiếp) E trường số K, Abrams Aranda Pino (2005) giới thiệu lớp đại số đường Leavitt LK( )E

cảm sinh từ đồ thị E Lớp đại số mở rộng đại số Leavitt LK(1, )n (Leavitt, 1962) Sau đó, Abrams (2015) lí đại số đường Leavitt trở thành đối tượng quan tâm khơng nhiều nhà đại số mà cịn có nhà giải tích

Trong lý thuyết mơđun, người ta quan tâm đến tốn mơ tả cấu trúc môđun cấu trúc môđun Theo hướng nghiên cứu này, có hai lớp mơđun đóng vai trị tảng mơđun đơn mơđun cyclic Một mơđun đơn mơđun khơng có cấu trúc thực mơđun cyclic mơđun có hệ sinh gồm phần tử Abrams Aranda Pino (2005) đưa tiêu chuẩn đồ thị E để

( )

K

L E môđun đơn Khi LK( )E không môđun đơn, mơ tả mơđun đơn hay khơng? Đây cơng việc tương đối phức tạp để bắt đầu, phải xem xét cấu trúc môđun cyclic

Đại số đường Leavitt đồ thị có hướng có tập sinh tập đỉnh cạnh đồ thị Một cách tự nhiên, viết mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu

2 Đại số đường Leavitt môđun cyclic Trong phần nhắc lại số khái niệm đồ thị trực tiếp đại số đường Leavitt

Một đồ thị

( , , , )

E E E s r bao gồm hai tập hợp E0 E1 hai ánh xạ

1

, :

r s E E Các phần tử E0 gọi

các đỉnh phần tử

E gọi cạnh Đối với cạnh e E1, s e

 

gọi điểm đầu e r e

 

gọi điểm cuối e Đồ thị E gọi hữu hạn

nếu tập

E

E tập hữu hạn phần

tử.Trong viết này, ta xét đồ thị hữu hạn

Một đường đồ thị E chuỗi

các cạnh pe e1 2 en cho

   

i i

r e s e với i1, 2, ,n1 Trong đồ thị E, đỉnh v gọi đỉnh dìm 1

 

s v   v gọi gốc

( ) ,

r v   v

ngọn th gọi đỉnh ch nh quy Cho đồ thị trực tiếp

( , , , )

E E E s r

và trường bất k K, đại số đường Leavitt LK( )E đồ thị E với hệ tử K

là K -đại số sinh tập

E

,

E với tập cạnh ảo *

{e e| E}, thỏa mãn điều kiện sau với

,

v wE

: ,

e f E

(1) vwv w, w, ( kí hiệu Kronecker); (2) s e e( )  e er e( ) r e e( ) * e* e s e* ( );

(3) *

, ( );

e f

e f  r e

(4)

1

* ( )

e s v

v ee









với đỉnh quy v Cho M môđun vành R (trong viết này, môđun hiểu môđun trái) Nếu Mcó hệ sinh gồm

phần tử th M gọi môđun cyclic (trên vành R) Một môđun khác gọi

môđun đơn có mơđun tầm thường (là nó)

3 Kết

Trong phần này, mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu

Định lí Cho

( ; , , )

E E E r s đồ thị hữu hạn với Klà trường Khi với

cạnh

fE mà 1



 



0,

s r f  ta có:

 

 

 

 

1





 

K K

e s r f

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26

25 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh

 

 

   

1 K

e s r f

feL E



 

Gọi 1



 







* 1, , n ,

s r f  e e n

Giả sử

 

 

 

1 K

e s r f

feL E







 suy

 

1, , n LK E

 

  để

1 2 n n

fe fe fe

       (3.1) Nhân *

f vào bên trái, ta có

 

3.1 e11  enn (3.2)

Nhân *

e vào bên trái,

 

3.2    1 Suy 0 hay

 

 

   

1 K

e s r f

feL E



 

Tiếp theo, ta chứng minh

 

 

    K K

e s r f

fL E feL E









Lấy xfL EK

 

suy   LK

 

E để

 

          

 

1 * *               







e s r f

K e s r f e s r f

x f

f r f

f ee

fee feL E

Cuối cùng, ta chứng minh

 

   

 

K K

e s r f

feL E fL E









Lấy

 

   

1

K e s r f

x feL E









suy  e L EK

 

,

 





1

es r f để

 

       

 

1 ,

e e K e s r f

e K e s r f

x fe L E

f e fL E

                  





Định lí Cho

( , , , )

E E E r s đồ thị hữu hạn là trường Khi với mọi

vE khơng đỉnh dìm ta có

 

 

   

1

K K

e s v

vL E r e L E









Chứng minh Xét hai tương ứng

:

 

 

   

1

K K

e s v

vL E r e L E

  



  *

e s v

v e

 



 

   

 

 

    1

: K K

e s v

e s v e e

s v e

r e L E

e r L E e v          







Trước tiên ta chứng minh   K

vL E

id



Lấy LK

 

E ta có

 



 



  *               

e s



v 

v v e

 

  *

e s v

r e e

 





 

  





 (điều kiện (2)

trong định nghĩa)

 

1

*

e s v

e e









v (điều kiện (4) định nghĩa) Tiếp theo ta chứng minh  

K

vL E

id

  Lấy

bất kỳ

 

  1 

   

1

K e s v

e s v

e

x r e  r e L E

    







 



 



              

e





e s v x x e   e s e v ve         





 (điều kiện (2)

định nghĩa)





  v e e s v e     



    1 *.

e s v e s v e

e e

    

 

 

 

e s v

e

r e  x









 (điều kiện (3)

trong định nghĩa)

Ta kiểm tra  đồng cấu:









 

1

*

e s v

v v e

          



   * *

e s v

e e





Chuyên san Khoa học Tự nhiên

26

   

1

* *

e s v e s v

e e

   

 

 









 

 

v  

 

v Trong  ,   , LK

 

E

Cuối cùng, ta kiểm tra  đồng cấu:





 



 

1

e e e s v

x y r e

     





 

    











 

1

e e e s v

e  











   

1

e s v e s v

e e

e e

   

 

 











 

x 

 

y Trong  , 

   

1

,

e e

e s v s v e

x e y e

 

 









4 Kết luận

Trong trường hơp vành R trường, ta dễ thấy môđun cyclic Rđều

môđun đơn Nhưng R không trường th kết luận khơng cịn Bài viết điều trường hợp đại số đường Leavitt

Lời cảm ơn: Bài báo hỗ trợ đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp mã số SPD2019.02.11./

Tài liệu tham khảo

G Abrams (2015), “Leavitt path algebras: the first decade”, Bulletin of Mathematical Sciences, (5), pp 59-120

G Abrams and G Aranda Pino (2005), “The Leavitt path algebra of a graph”, Journal of Algebra, (293), pp 319-334