Một cách tự nhiên, trong bài viết này chúng tôi mô tả cấu trúc của môđun cyclic trong đại số đường đi Leavitt sinh bởi các cạnh và các đỉnh của đồ thị ban đầu.. Đại số đường đi [r]
(1)Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26
23 PHÂN TÍCH MƠĐUN CYCLIC TRONG ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT
Ngô Tấn Phúc1*, Trần Ngọc Thành2
Tăng Võ Nhật Trung2
1Trường Đại học Đồng Tháp 2Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp
*Tác giả liên hệ: ntphuc@dthu.edu.vn
Lịch sử báo
Ngày nhận: 25/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 06/4/2020; Ngày duyệt đăng: 18/4/2020 Tóm tắt
Trong viết này, mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh phần tử đồ thị cảm sinh
Từ khóa: Đại số đường Leavitt, môđun cyclic, môđun đơn
- THE DECOMPOSITION OF CYCLIC MODULES
IN LEAVITT PATH ALGEBRA
Ngo Tan Phuc1*, Tran Ngoc Thanh2, and Tang Vo Nhat Trung2
1
Dong Thap University
2
Student, Dong Thap University
*Corresponding author: ntphuc@dthu.edu.vn Article history
Received: 25/02/2020; Received in revised form: 06/4/2020; Accepted: 18/4/2020
Abstract
In this paper, we describe the structure of the cyclic module in the Leavitt path algebra generated by elements in the original graph
(2)Chuyên san Khoa học Tự nhiên
24
1 Mở đầu
Cho đồ thị (trực tiếp) E trường số K, Abrams Aranda Pino (2005) giới thiệu lớp đại số đường Leavitt LK( )E
cảm sinh từ đồ thị E Lớp đại số mở rộng đại số Leavitt LK(1, )n (Leavitt, 1962) Sau đó, Abrams (2015) lí đại số đường Leavitt trở thành đối tượng quan tâm khơng nhiều nhà đại số mà cịn có nhà giải tích
Trong lý thuyết mơđun, người ta quan tâm đến tốn mơ tả cấu trúc môđun cấu trúc môđun Theo hướng nghiên cứu này, có hai lớp mơđun đóng vai trị tảng mơđun đơn mơđun cyclic Một mơđun đơn mơđun khơng có cấu trúc thực mơđun cyclic mơđun có hệ sinh gồm phần tử Abrams Aranda Pino (2005) đưa tiêu chuẩn đồ thị E để
( )
K
L E môđun đơn Khi LK( )E không môđun đơn, mơ tả mơđun đơn hay khơng? Đây cơng việc tương đối phức tạp để bắt đầu, phải xem xét cấu trúc môđun cyclic
Đại số đường Leavitt đồ thị có hướng có tập sinh tập đỉnh cạnh đồ thị Một cách tự nhiên, viết mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu
2 Đại số đường Leavitt môđun cyclic Trong phần nhắc lại số khái niệm đồ thị trực tiếp đại số đường Leavitt
Một đồ thị
( , , , )
E E E s r bao gồm hai tập hợp E0 E1 hai ánh xạ
1
, :
r s E E Các phần tử E0 gọi
các đỉnh phần tử
E gọi cạnh Đối với cạnh e E1, s e
gọi điểm đầu e r e gọi điểm cuối e Đồ thị E gọi hữu hạn
nếu tập
E
E tập hữu hạn phần
tử.Trong viết này, ta xét đồ thị hữu hạn
Một đường đồ thị E chuỗi
các cạnh pe e1 2 en cho
i i
r e s e với i1, 2, ,n1 Trong đồ thị E, đỉnh v gọi đỉnh dìm 1
s v v gọi gốc
( ) ,
r v v
ngọn th gọi đỉnh ch nh quy Cho đồ thị trực tiếp
( , , , )
E E E s r
và trường bất k K, đại số đường Leavitt LK( )E đồ thị E với hệ tử K
là K -đại số sinh tập
E
,
E với tập cạnh ảo *
{e e| E}, thỏa mãn điều kiện sau với
,
v wE
: ,
e f E
(1) vwv w, w, ( kí hiệu Kronecker); (2) s e e( ) e er e( ) r e e( ) * e* e s e* ( );
(3) *
, ( );
e f
e f r e
(4)
1
* ( )
e s v
v ee
với đỉnh quy v Cho M môđun vành R (trong viết này, môđun hiểu môđun trái) Nếu Mcó hệ sinh gồm
phần tử th M gọi môđun cyclic (trên vành R) Một môđun khác gọi
môđun đơn có mơđun tầm thường (là nó)
3 Kết
Trong phần này, mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu
Định lí Cho
( ; , , )
E E E r s đồ thị hữu hạn với Klà trường Khi với
cạnh
fE mà 1
0,
s r f ta có:
1
K K
e s r f
(3)Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26
25 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh
1 K
e s r f
feL E
Gọi 1 * 1, , n ,
s r f e e n
Giả sử
1 K
e s r f
feL E
suy
1, , n LK E
để
1 2 n n
fe fe fe
(3.1) Nhân *
f vào bên trái, ta có
3.1 e11 enn (3.2)
Nhân *
e vào bên trái, 3.2 1 Suy 0 hay
1 K
e s r f
feL E
Tiếp theo, ta chứng minh
K K
e s r f
fL E feL E
Lấy xfL EK suy LK E để
1 * *
e s r f
K e s r f e s r f
x f
f r f
f ee
fee feL E
Cuối cùng, ta chứng minh
K K
e s r f
feL E fL E
Lấy
1
K e s r f
x feL E
suy e L EK ,
1
es r f để
1 ,
e e K e s r f
e K e s r f
x fe L E
f e fL E
Định lí Cho
( , , , )
E E E r s đồ thị hữu hạn là trường Khi với mọi
vE khơng đỉnh dìm ta có
1
K K
e s v
vL E r e L E
Chứng minh Xét hai tương ứng
:
1
K K
e s v
vL E r e L E
*
e s v
v e
1
: K K
e s v
e s v e e
s v e
r e L E
e r L E e v
Trước tiên ta chứng minh K
vL E
id
Lấy LK E ta có
*
e sv
v v e *
e s v
r e e
(điều kiện (2)
trong định nghĩa)
1
*
e s v
e e
v (điều kiện (4) định nghĩa) Tiếp theo ta chứng minh
K
vL E
id
Lấy
bất kỳ
1
1
K e s v
e s v
e
x r e r e L E
e
e s v x x e e s e v ve
(điều kiện (2)
định nghĩa) v e e s v e 1 *.
e s v e s v e
e e
e s v
e
r e x
(điều kiện (3)
trong định nghĩa)
Ta kiểm tra đồng cấu:
1
*
e s v
v v e
* *
e s v
e e
(4)Chuyên san Khoa học Tự nhiên
26
1
* *
e s v e s v
e e
v v Trong , , LK E
Cuối cùng, ta kiểm tra đồng cấu:
1
e e e s v
x y r e
1
e e e s v
e
1
e s v e s v
e e
e e
x y Trong ,
1
,
e e
e s v s v e
x e y e
4 Kết luận
Trong trường hơp vành R trường, ta dễ thấy môđun cyclic Rđều
môđun đơn Nhưng R không trường th kết luận khơng cịn Bài viết điều trường hợp đại số đường Leavitt
Lời cảm ơn: Bài báo hỗ trợ đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp mã số SPD2019.02.11./
Tài liệu tham khảo
G Abrams (2015), “Leavitt path algebras: the first decade”, Bulletin of Mathematical Sciences, (5), pp 59-120
G Abrams and G Aranda Pino (2005), “The Leavitt path algebra of a graph”, Journal of Algebra, (293), pp 319-334