Đề tài Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả

Do đó khi dạy phần này tôi cho học sinh làm thật tốt bài toán bất đẳng thức , nắm vững cơ sở lý thuyết cơ bản của bài toán GTLN và GTNN , giải bài toán trong phạm vi phương pháp 1, phươn[r]

SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CÓ HIỆU QUẢ PHẦN I MỞ ĐẦU A.Lý chọn đề tài Bài toán tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất( GTLN và GTNN) là bài toán tương đối khó Bởi vì sở lý thuyết ngắn , lại đa dạng kĩ thuật và thủ thuật làm toán Nó đòi hỏi thời gian lớn để thấu hiểu và giải bài toán, mà còn đòi hỏi nhạy cảm và khả tư cao Đặc biệt để giải bài toán tìm GTLN và GTNN thì các kiến thức tổng hợp đại số, giải tích, hình học…thường sử dụng Trong phạm vi nào đó, việc dự đoán GTLN và GTNN còn đồi hỏi kinh nghiệm , lẫn thông minh định đường và phương tiện để chứng minh Hơn nữa, bài toán tìm GTLN và GTNN là dạng bài toán hay gặp các kì thi tốt nghiệp, ĐH và CĐ Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường THPT Phước Long tôi nhận thấy dạy phần này tôi thường gặp khó khăn sau đây:  Khó khăn thứ nhất: Đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học toán thì “ngại” giải bài toán này  Khó khăn thứ hai: Học sinh hay mắc phải sai lầm và thiếu sót từ việc chứng minh và việc kết luận bài toán  Khó khăn thứ ba :Đối với học sinh khối 10, áp dụng bất đẳng thức đề gỉai bài toán tìm GTLN và GTNN lại còn gặp nhiều khó khăn Đặc biệt, tài liệu tự chọn nâng cao (TLTCNC) học sinh 10 tự nhiên không dễ dàng tiếp thu và giải Thực tế trên đã làm cho tôi trăn trở nhiều năm Phải làm cho học sinh hứng thú học tập gặp bài toán này nói chung và dễ dàng tiếp thu bài toán tìm GTLN và GTNN áp dụng bất đẳng thức nói riêng ? Vì , tôi định chọn đề tài phương pháp tìm GTLN và GTNN có hiệu , với mong muốn góp phần nhỏ kinh nghiệm mình vào công tác giảng dạy bài toán tìm GTLN và GTNN cho học sinh lớp 10 và tạo tiền đề để học sinh tiếp tục tiếp cận bài toán trên các kì thi tốt nghiệp , ĐH và CĐ B Phương pháp thực Qua nhiều năm giảng dạy chương trình đại số 10 tôi thấy học sinh khó tiếp cận bài toán và hay mắc phải số sai lầm để đến kết luận bài toán Do đó dạy phần này tôi cho học sinh làm thật tốt bài toán bất đẳng thức , nắm vững sở lý thuyết bài toán GTLN và GTNN , giải bài toán phạm vi phương pháp 1, phương pháp (được trình bày phần nội dung) để làm tảng vào phương pháp (được trình bày phần nội dung), đồng thời sai lầm mà học sinh hay mắc phải Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -1Trường THPT Phước Long Lop10.com SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu C Thời gian thực Tiết 44 , tuần 18 Tiết 64, tuần 25 Mà chủ yếu thực thời gian làm bài tập tự chọn chủ đề tự chọn nâng cao D Tài liệu tham khảo:  Sách giáo khoa 10 nâng cao  Phương pháp tìm GTLN và GTNN Nguyễn Văn Nho  Một số bài viết trên diễn đàn toán học ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ PHẦN II NỘI DUNG Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -2- Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu A Kiến thức bất đẳng thức (BÑT ) : I Tính chaát cô baûn * Quy ước: A  B  A  B  hay A B  A B  1) A  B  B  A A>B A>C 2) B>C 3) A > B  A+C > B+C (C  A ) 4) A > B  A.C > B.C (C > 0) A > B  A.C < B.C (C < 0) II Các phép toán bất đẳng thức: 1) Cộng bất đẳng thức cùng chiều: A>B C>D  A + C> B+D * Chú ý: Trừ BĐT cùng chiều thì sai 2) Trừ bđt ngược chiều A>B C<D A-C>B-D 3) Nhaân bñt döông cuøng chieàu A>B>0 C>D>0  A C > B.D > 4) Bình phöông BÑT döông A > B >  A2 > B2 Tq: A > B >  An > Bn 5) Khai caên baäc n  moät bñt A B0 n A  n B A  B 1   A B  A, Bcungdau 6) Nghịch đảo BĐT:  III Moät soá BÑT quan troïng: Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -3- Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu 1) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a) A+B  A+B “ = “  A, B cuøng daáu TQ: b) a1+a2+ … + ana1+ a2+…+ an A-BA-B “ = “  A, B cuøng daáu 2) Bất đẳng thức Cauchy Cho n soá thuoäc döông a1, a2,…, an 0 Ta coù: Daïng 1: a1  a2   an n  a1.a2 an n Daïng 2:  a  n   an  aa a2 an    n   n “ = “  a1 = a2 = … = an * Ta thường dùng:  a,b  Ta coù : a+b ab “=”  a = b  a, b, c  Ta coù: a  b  c  3 abc "" a b c 3) Bất đẳng thức Shwartz ( Bunhiacovski ) Cho 2n soá thực tùy ý : a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn Daïng 1: (a1.b1+a2.b2+ … + anbn)2  (a12+a12+…+a12) (b12+b12+…+bn2) a Daïng2:a1.b1+a2.b2+…+an.bn  ""  a2   an b12  b12   bn  a a1 a2    n b1 , b2 , bn   b1 b2 bn Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -4- Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu * Ta thường dùng bất đẳng thức cho số sau: (a  b )( x  y ) ax+by  * Chuù yù quaù trình laøm baøi taäp ta cuõng coù theå duøng caùc heä quaû sau: Heä quaû 1: cho n soá döông: a1, a2, …, an > n Ta coù: 1    a1 a an  n a1 a a n Thaät vaäy: áp dụng BÑT Coâsi cho n soá döông: Ta coù: 1 , , , a1 a an 1 1 1     n a1 a an a1 a n a n n  1    a1 a an  n a1 a a Hệ : Cho n số dương : a1 , a2 , …., an a12  a2   an a  a2   an  Ta có: n Thaät vaäy: AD BĐT Shwartz daïng 1, ta coù: 2 an  a2  a1  a2   an   a1        1  n n n    n  a12 a2 an  2     1    12   n   n2 n 2 a1  a   a n  a1  a   a n      n n    a1  a2   an  a12  a2   an n Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -5- Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu B Các phương pháp thộng dụng CM BÑT I Phương pháp 1: Phương pháp quy ước đúng CM BĐT(biến đổi tương đương) Phöông phaùp: *) Cơ sở phương pháp là sử dụng quy ước: A>BA-B>0 Nghĩa là để CM BĐT A > B, ta làm sau:  B1: Xeùt A - B  B2: CM: A - B > luôn đúng * Tương tự: AB A-B  A<BA-B<0 A BA-B  Caùc ví dụ a  b3  a  b   Baøi 1: Cho a, b > CM:  (1)   Giaûi a  b3  a  b  4a  4b3  a  3a 2b  3ab  b3     0 (1)      3 a  a 2b  ab  b3    a a  b  b a  b    a  b a  b   (ĐPCM) Baøi 2: ab  CM: a2  b2 (2) Giaûi + a + b   (2) đúng a  b  2ab a  b  0 + a + b >  (2)   (a-b)2  (đúng) Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -6- Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu ab  Vaäy a2  b2 (ĐPCM) a b   a b b a Baøi 3: Cho a, b > CM: (3) Giaûi (3)  a a  b a  a b  b a  a  b  a  a  b  b   a  b   a  b    a  b   a  b  (đúng) Bài tập 1 là bất đẳng thức CM cách biến đổi td trực tiếp Sau đây là BĐT thông qua kết bất đẳng thức khác Bài (1.TLTCNC) Cho a, b  A CMR: a  b  a  b  a  b Giaûi Ta có: a  b  a  b  ( a  b )2   a  b   a  b  2ab  a  b  ab   ab  ab (đúng).(1) Ta có: a  (a  b)  b  a  b  b  a  b  a  b (2) Từ (1) và (2) suy ĐPCM Baøi : Cho a, b, c  CM: a) abc  ab  bc  ca (1) a2  b2  c2  a  b  c  b)   (2) 3   Giaûi Ta CM: a2+b2+c2 ab + bc + ca (*) Cách 1: Ta có : (a  b)  a  b  2ab Tương tự a  c  2ac b  c  2bc  a  b  c  ab  bc  ac Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -7- Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Caùch 2: (*)  a  b  c  ab  bc  ca   1a 1  1 1  1 1    ab  b    a  ac  c    c  bc  b  2  2 2  2 2    a  b 2  a  c 2  b  c 2  2 Cách a) a  b  c  (1)   ab  bc  ca  a  b  c  2ab  2bc  2ca  3ab  3bc  3ca  a  b  c  ab  bc  ca (đúng)  ĐPCM b) a  b2  c2  a  b  c  2ab  2bc  2ac  2  3a  3b  3c  a  b  c  2ab  2bc  2ac (2)   a  b  c  ab  bc  ca Cách 2: a  b  c  2ab  2bc  2ca  abc  a) Ta coù:        a  b  c  cb  bc  ca cb  bc  ca ab  bc  ca   3 abc ab  bc  ca  (ĐPCM) 3  b)Tacoù:   a2  b2  c2  a2  b2  c2  a2  b2  c2  a  b  c  2ab  bc  ca   a  b  c    a2  b2  c2  a  b  c       2  a2  b2  c2  a  b  c    3   II Dùng các bất đẳng thức thường gặp (BDT Cơsi – BDT Shwartz) Bài 1: a, b, c  Cho  a  b  c   Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -8- Lop10.com Trường THPT Phước Long  SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu a) CMR: b + c ≥ 16abc (TLTCNC) Giải Cách 1:Ta coù b + c = (b + c) [a + (b + c)]2 ≥ (b + c)4a(b + c)=(b + c)2 4a Maø (b + c)2 ≥ 4bc đó b + c ≥ 16abc (đpcm) Cách 2: Ta coù b + c ≥ 16abc  b + c ≥ 16bc (1 - b - c)  b + c ≥ 16bc - 16b2c - 16bc2  16b2c + 16bc2 - 16bc + b + c ≥  c (16b2 - 8b + 1) + b(16c2 - 8c + 1) ≥  c (4b - 1)2 + b(c-1)2 ≥ (đúng)  b + c ≥ 16abc (ñpcm) Cách 3: Ta coù b + c ≥ 16abc  b + c ≥ 16bc (1 - b - c)  b + c ≥ 16bc - 16bc (b + c)  (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc (*) Để CM (*) ta xuất phát từ (b + c)2 ≥ 4bc Ta có: (b + c)2 ≥ 4bc  (b + c)2(1 + 16bc)2 ≥ 4bc (1 + 16bc)2 ≥(4bc)2  (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc ((*) đúng) Suy ra: b + c ≥16abc (ñpcm) Cách : Ta coù b + c ≥ 16abc  b + c ≥ 16bc (1 - b - c)   1   16(1  b  c) c b 1   16  16b  16c  c b 1  1   16b     16c     b  c  2      4 b   4 c   0 b c     Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -9- Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Suy ra: b + c ≥16abc (ñpcm) b) CM: ab + bc + ca ≥ 9abc (TLTCNC) Giải Ta coù: a  b  c  3 abc ab  bc  ca  3 a 2b c  (a+b+c) (ab+bc+ca) ≥ 9abc  ab+bc+ca  9abc (a+b+c = 1) c) CM: ab + bc + ca  2abc Giải Ta có ab + bc + ca - 2abc   ab(1-c) + bc (1-a) + ca ≥ (đúng) Ta có : ab + bc + ca – 2abc   ab(1- c) + bc(1 – a) + ca  (đúng) Do a + b + c = 1; a, b, c > ;1 > c, > a ; ab, bc, ca>0) Suy ra: ab + bc + ca  2abc (ĐPCM)     d) CM: 1   1   1    64  a  b  c  Giải Caùch 1: Ta có : + a = a + b + c + a ≥ + b = a+ b + c + b ≥ + c = a+ b + c + c ≥  (1 + a (1 + b) (1 + c) ≥ 43 4 a bc b ac c ab a 4b c Suy ra: (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ 64 abc Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 10 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Cách : a bc   a 1 a  a  b  c  4 Ta có: 1    a a a  a b ac   b 1 b  a  b  c       b b b  b 1 Suy ra: c 1 c  a  c  b c ab   4 c c c c 4 4 abc      64 1   1   1    64 abc  a  b  c  Baøi 2: Cho a1, a2, …, an > 0; a1 + a2 + … + an = 1       n CM : 1   1   1    n  1 a a  a    n  Giải Cách 1: n 1 a1 a2 an Ta coù:  a1  a1  a2   an  a1  n  1  a2  a1  a2   an  a2  n  1 n 1 a2 a1 an ………………………………………………………  an  a1  a2   an  an  n  1 n 1 an a1 an 1  1  a1 1  a2  1  an   n  1 n  n 1 a1n 1.a2 n 1 an n 1  1  a1 1  a2  1  an   n  1 a1.a2 an  n    1   1   a1   a     1    an    n  1n (ĐPCM)  Cách 2: Ta coù:  a a a a a a       n  n  1 n 1 3n 1 n a1 a1 a1 a1 a1 1 a a a a a a       n  n  1 n 1 3n 1 n a2 a2 a2 a2 a2 ………………………………………………………… Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 11 Trường THPT Phước Long Lop10.com SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu 1  Suy ra: 1   a a a a a a       n 1  n  1 n 1 n 1 n 1 an an an an an a1n 1a2 n 1 an n 1  1  1 n 1    n   (ñpcm)       a1   a2   an  a1n 1a2 n 1   an n 1 Baøi 3: Cho n soá dương a1, a2, …, an CMR:  an    a1   a2   an 1    1   1  1   1    1   na n a n a n a  n     n   n Giaûi ADBÑT Cosi, ta coù a2  a2  a2   a2  a1 n 1 n  a2 a n 1  na  a1  n  1n 1 a n a1 T tö:ï na3  a  n  1n 1 a3 n a ……………………………… nan  an 1  n  1n 1 an n an 1 na1  an  n  1n 1 a1n an  (na2  a1 )(na3  a2 ) (nan  an 1 )(na1  an )  n  1 a1a2 an n na2  a1 na3  a2  (nan  an1 ) na1  an   n  1  nn na2 na3  nan na1  n n  1  1    n Suy :đđpcm Baøi 4(TLTCNC): Cho a, b  A CM: 1 a  b 1  ab    (*) 1  a 1  b  Giaûi (*)  a  b 1  ab  1  a 1  b  2  a  b  ab  Áp BÑT Cosi:  1  a  b  ab  (1  a ) 1  b  1  a  b  a 2b  2 1 2 1  ab   a  b    1  ab 2  a  b 2  1  ab 2 a  b 2   ab a  b  (*) đúng  (đpcm) Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 12 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Bài 5(TLTCNC): Cho a,b > 0.CMR:  a  b   64ab a  b  (1) Giaûi Đặt x  a , y  b  a  x , b  y ( x, y  0) (1)  x  y   64 x y x  y   x  y   xy x  y  4  x  y   xy x  y   xy   S  8S P  16 P    S  P   S , P ( với S = x + y , P = xy ) Vậy (1) đúng Bài (TLTCNC): Cho a,b là số thực CMR: 16ab a  b   a  b  (2) Giaûi (2)  16ab a  b   4ab   a  b   16 P S  P  S (S = a + b;P = ab )  S  P   0, S , P  S  16 PS  64 P  Vậy (2) đúng Baøi 7: a) Cho a, b  A vaø a2 + b2 = CM: a8 + b8  1/8 b) a, b > vaø a2 + b2 = ab CM: a2   Giaûi a) Ta có 12  a  b 1  a  b 12  12   a  b  1  a  b   a8  b8 12  12   a  b  b) Ta coù a  b   a  b 2 2a  b 2   1   ( 2a )  1.b     1 2a  b    2  a  b    a  b   2 a 4 a2   Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 13 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu C.ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀO BÀI TOÁN TÌM GTLN và GTNN Cơ sở lý thuyết tìm GTLN và GTLN Để tìm GTLN bt A(x) với x  D ta làm sau: CMR x  D ta có A(x)  C (C là số ) CMR tồn x0  D cho A(x0) = C Kết luận GTLN A(x) là C x = x0 Để tìm GTNN bt A(x) với x  D ta làm sau: CMR x  D ta có A(x)  C (C là số ) CMR tồn x0  D cho A(x0) = C Kết luận GTNN A(x) là C x = x0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 1.PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP NHÓM – SO SÁNH Để tiến hành giải bài toán tìm GTNN và GTLN Ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đưa bất đẳng thức ban đầu dạng sau: F  A2  k  k , F  B2  k  k , F  A2  B  k  k , F  A2 B  k  k ;( B  0) , F  AB  kl ;( B  l  0, A  k  0) Tất nhiên là dấu bất đẳng thức xảy miền xác định các biến số Chú ý : Nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu “=” xảy phải mang tính đồng thời các bất đẳng thức đó Ví dụ1 Tìm GTNN : a ) y  x  x  x  x  1, b).F (a, b)  a  b  2a  2b  7, c).P ( x, y )  x  xy  y  x  5;( x, y  0) Giải: a).TXD : D  A Ta có : y  x  x  x  x  2   3  x  x  1   x        16  2 Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 14 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu 1 3  Vì  x     , dấu “=” xảy x   2 4  x y Vậy Min D 16 2 b) F a, b   a  b  2a  2b   a  1  b  1   5, a, b  A 2 a  Dấu “=” xảy  b  1 Vậy MinF = c) P  x  xy  y  x  5;( x, y  0) 1     x 3 y  3   2 x   2   7    , x, y   2   x 3 y  x     Dấu “=” xảy và   x 0 y     x   Vậy MinP =  y   Ví dụ Tìm GTLN : a) y  x  x  12 x  x  10 b) y  x  2x  Giải: a) TXD : D  A 1 y   x  x  12 ( x  3)  3 Dấu “=” xảy và x = - y  x = - Vậy Max D b) TXD: D  A x  x  10 4 y  3  3 7 x  2x  x  2x  x     Dấu “=” xảy và x = - y  x = - Vậy Max D Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 15 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Lời bình: Bài toán trên có nhiều cách giải khác Nhưng phạm vi kiến thức học sinh lớp 10, bài toán trên ta có thể giải phương pháp đại số khác Đó là phương pháp đưa việc khảo sát tam thức bậc hai, trình bày phần BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO Bài Cho x, y  A thõa điều kiện x + y = 2 4 8 Tìm GTNN A  x  y , B  x  y , C  x  y Giải: Sử dụng các đẳng thức ta : A  x2  y  1 2 x  y   x  y    x  y      2 Dấu “=” xảy và x - y = 0, kết hợp với đk x + y = Suy x = y =1 Vậy MinA = x = y = Áp dụng kết trên ta có: B  x4  y  1 ( x  y )  ( x  y )   x  y     2  x2  y   2 Dấu “=” xảy và  x  y   x  y  x  y   Vậy MinB = x = y = Từ kết trên ta có : C  x8  y  1 4 4 2 ( x  y )  x  y  x  y  2        2  Dấu “=” xảy và x = y = Vậy MinC = x = y = Bài Cho a, b, c > và abc = Tìm GTLN : A 1   a  b3  b3  c  c  a  Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 16 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Giải: Ta có: a  b    a  ab  b  ab  a  b (a  ab  b )  ab a  b   a  b3  ab a  b  Từ đó : a  b   a  b  abc  ab a  b   abc  ab a  b  c  3 3 1 c   Suy : a  b3  ab a  b  c  a  b  c 1 a   Tương tự: b  c  bc a  b  c  a  b  c , 1 b   c  a  ac a  b  c  a  b  c Suy A  abc  abc Dấu “=” xảy và a = b = c = Vậy MaxA = a = b = c = ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 2.PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ VIỆC KHẢO SÁT TAM THỨC BẬC HAI i) Xét phương trình bậc hai : Ax2 + Bx + C = , A   Nếu phương trình có nghiệm thì    Nếu   thì af(x)  0, x ax  bx  c ii) Xét bài toán tìm GTLN và GTNN y  , , , với tập xác định a x  b x  c, DA Ta chuyển biểu thức y phương trình dạng Ax  Bx  C  0, đó , hiển nhiên A,B,C phụ thuộc y Sau đó ta dựa vào i Chú ý: Xét A = và so sánh với giá trị y (miền giá trị) Xét A  và so sánh với giá trị y (miền giá trị) hai trường hợp trước đ đến kết luận Ví dụ Tìm GTLN : x  x  10 a) y  b) y  x  x  12 x  2x  Giải: a) TXD : D  A Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 17 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Ta có : y   y=0   yx  yx  12 y   (1) x  x  12  (1) trở thành : - = ( vô lý ) y  0;  '  y  12 y  y  3 y  y    y  3 y  3 y Vậy Maxy = 2/3 x = -3 b) TXD : D  A Dấu “=” xảy và x  x  x  10   y  3 x   y  3 x  y  10  (2) x  2x   y =  (2) trở thành : - = ( vô lý )  y  3;  '  ( y  3)  ( y  3)(2 y  10)  ( y  3)( y  7)    y  Ta có: y  y 3  y 3 Vậy Maxy = x = Dấu “=” xảy và x  Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của: y  4x  (x  A ) x2  Giải: Ta có: y  4x  yx  x  y   (3) x 1 3 y  0;  '   y ( y  3)   y  y     y  1 y     1  y   y=0  (3) trở thành : - 4x - = x  Mặt khác : y(- 2) = - và y(1/2) = Vậy Maxy = x = 1/2 và Miny = -1 x = -2 Ví dụ : 2x2  x 1 Tìm GTNN và GTLN của: f ( x)  x  x 1 Giải: Dễ dàng ta thấy mẫu thức y luôn luôn dương với mội x nên tập xác định y là D  A 2x2  x 1  0, x  A * Ta có : f ( x)  x  x 1 2 Dấu “=” xảy và x  x    x  1  x  Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 18 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu Suy Minf(x) = x  1  x  2x2  x 1   y   x   y  1 x  y   0, (4) * Ta có: y  x  x 1 + Nếu y = thì (4) có nghiệm x = + Nếu y  thì (4) có nghiệm là :    y  1   y  1 y     y  13  y    1  y  Khi đó ta có maxy = x = , miny = -1 x = Suy Maxf(x) = Max max y ; y  Max 3 , 1  Dấu “=” xảy và x = Vậy Minf(x) = x  1  x  và Maxf(x) = x = 2 Lời bình: Theo tôi học sinh lớp 10 muốn làm tốt bài toán tìm GTLN và GTNN thì học sinh phải nắm vững phương pháp và nêu trên Sau đó cho học sinh tiếp cận bài toán tìm GTLN và GTNN áp dụng BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI và BU- NHI- A- CỐP- XKI có phần phức tạp PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY và SHWARTZ Ví dụ 1.( bài 17 sgk đại số 10 NC) Tìm GTNN và GTLN : A  x    x Giải: x 1    x   TXD : D  1; 4 Đk:  4  x  Có học sinh giải sau: Ta có : A  x    x  0, x  D x  x  Dấu “=” xảy và  x    Vậy MinA D x  Nhận xét : Cách giải trên là sai Do học sinh không hiểu tồn đồng thời x = và x = là mâu thẫu Lời giải đúng : Ta có : A2  x    x  ( x  1)(4  x)   x  14  x   Dấu “=” xảy và x - = – x  x  Và A2   x  14  x    A  Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 19 - Lop10.com Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ có hiệu x  Dấu “=” xảy và   x   x  Vậy MaxA D  và MinA D x  x   Bài toán trên có thể áp dụng BDT Bunhiacopxki để tìm GTLN A 1 Ta có A  x    x   12 x    x   Dấu “=” xảy và x -1 = – x  x  Ví dụ ( bài 13 sgk đại số 10 NC) Tìm GTNN hàm số f ( x)  x  ( x > ) x 1 Giải: Có bạn học sinh giải : 2    ( x  1)    3 x  1 Ta có : f ( x)  x    x 1 x 1  x 1  x   Dấu “=” xảy và  x   x     x  x  1  x    3  x  Vậy MinA x 1 x  1  a  b b  c Nhận xét : Cách giải trên là sai Do học sinh hiểu a  b  c   Lời giải đúng : 2  ( x  1)  1  2 1 x 1 x 1 2  x  1   x   1(dox  1) Dấu“=”xảyra và x   x 1 Ta có : f ( x)  x    2 x   Vậy MinA x 1 Ví dụ 3.( bài 78 sgk đại số 10 NC) Tìm GTNN hàm số sau : a) f x   x  x Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt b) f x   - 20 - Lop10.com x2  x2  Trường THPT Phước Long