Bài tập tổng hợp véc tơ

Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước Bài 25 Cho tam giác ABC.. Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau :.[r]

www.VNMATH.com BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ I CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ 1) Quy tắc ba điểm :    Với ba điểm A , B , C ta luôn có : AB  BC  AC    AB  AC  CB    ABCD là hình bình hành  AB  AD  AC 2) Quy tắc hình bình hành : 3) Quy tắc trung điểm :       M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý  MA  MB  và IA  IB  IM 4) Quy tắc trọng tâm : G là trọng tâm  ABC và M là điểm tùy ý , ta có : 5) Điều kiện thẳng hàng :         GA  GB  GC  và MA  MB  MC  3MG   A , B , C thẳng hàng  AB  k AC II CÁC DẠNG BÀI TẬP A - Chứng minh các đẳng thức véc tơ Bài Cho điểm A , B , C , D Chứng minh :           Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý Chứng minh : MA  MC  MB  MD  MO Bài Cho  ABC Gọi M , N , K là trung điểm BC , CA , AB Chứng minh :              a) AN  CM  KB  b) AM  BN  CK  c) AK  BM  AN  BK  KC a) AB  CD  AD  CB    b) AB  CD  AC  BD Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I và J là trung điểm AB và CD Chứng minh      a) AC  BD  IJ  b) AD  BC  IJ    Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I và J là trung điểm AC và BD Chứng minh AB  CD  IJ Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , I , J là trung điểm AD , BC , AC , BD Chứng minh :       b) AB  DC  IJ a) AB  DC  MN Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E , F là trung điểm AB và CD K là trung điểm EF Chứng minh :          b) KA  KB  KC  KD       c) Với O là điểm tùy ý thì OA  OB  OC  OD  4OK a) AB  AC  AD  AK Bài Cho lục giác ABCDEF tâm O và M là điểm               Bài Cho  ABC có trọng tâm G Gọi H đối xứng với G qua B Chứng minh : HA  5HB  HC  a) Tính MA  MC  ME theo MO b) Chứng minh MA  MC  ME  MB  MD  MF Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’ Chứng minh :            a) AD  BE  CF  3GG ' b) AE  BF  CD  AF  BD  CE  3GG ' c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm Bài 11 Cho  ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là điểm đối xứng A qua O Chứng minh :        c) OA  OB  OC  OH a) HB  HC  HD     b) HA  HB  HC  HO     c) HA  HB  HC  2OA d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng Bài 12 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N là trung điểm AB , CD          b) Với I là điểm Chứng minh IA  IB  IC  ID  IK  a) Gọi K là trung điểm MN Chứng minh : KA  KB  KC  KD  c) Gọi E và F là trung điểm AC và BD Chứng minh EF qua điểm K d) Gọi G1 là trọng tâm  BCD Chứng minh A , K , G1 thẳng hàng e) Gọi G2 , G3 ,G4 là trọng tâm các  CDA ,  DAB ,  ABC Chứng minh các đường thẳng AG1 , BG2 , CG3 , DG4 đồng quy điểm Lop10.com www.VNMATH.com B - Chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 13        Cho  ABC và điểm I , F cho IA  3IC  và FA  FB  FC  Chứng minh I , F , B thẳng hàng Bài 14          Cho  ABC có các điểm M , N , K cho MB  MC  ; NA  NC  ; KA  KB      a) Biểu diễn các véc tơ KM , KN theo các véc tơ AB , AC b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng Bài 15     Cho bốn điểm A , B , C , M thỏa mãn hệ thức MA  MB  MC  Chứng minh A , B , C thẳng hàng Bài 16       BC Gọi E là điểm thỏa mãn AE  EB  3EC    5 a) Phân tích ED theo hai véc tơ EB và EC b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng Cho  ABC Trên Bc lấy điểm D cho BD  Bài 17      Cho  ABC , lấy M , N thỏa mãn : MA  MB  NB  NC  Gọi G là trọng tâm  ABC a) Chứng minh M , N , G thẳng hàng    b) Phân tích AC theo hai véc tơ AG , AN AC cắt GN K Tính tỉ số KA KB Bài 18 Cho hình bình hành ABCD M , N là điểm trên đoạn AB và CD cho AB = 3AM , CD = 2CN    a) Tính AN theo hai véc tơ AB , AC      b) Gọi G là trọng tâm  BMN Tính AG theo AB , AC    c) Gọi I là điểm xác định BI  k BC Tính AI theo AB , AC và k Tìm k để AI qua G Bài 19 Cho  ABC có G là trọng tâm I là trung điểm AG và K là điểm thuộc AB cho AB = 5AK       a) Phân tích các véc tơ AI , AK , CI , CK theo hai véc tơ CA , CB b) Chứng minh ba điểm C , I , K thẳng hàng Bài 20  Cho  ABC và I là điểm thuộc AC cho CA = 4CI Điểm J là điễm cho BJ   a) Chứng minh BI    AC  AB   AC  AB b) Chứng minh ba điểm B , I , J thẳng hàng   c) Dựng điểm J thỏa mãn đề bài d) Kéo dài AJ cắt BC K Tính BK theo BC Bài 21     Cho  ABC , I là điểm thỏa mãn IA  IB  IC  Gọi G là trọng tâm  ABC  Chứng minh AM    AB  AC 5       a) Phân tích véc tơ IJ theo hai véc tơ AB , AC b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G  ABC   Bài 22 Cho  ABC , lấy I và J cho IA  IB và 3JA  JC    c) Gọi D là điểm đối xứng B qua C Gọi K là điểm thỏa BK  mBA Xác định m để K , G , D thẳng hàng    Bài 23 Cho  ABC , gọi I là trung điểm BC D và E là hai điểm cho BD  DE  EC           b) Phân tích AS  AB  AC  AD  AE theo AI a) Chứng minh AB  AC  AD  AE c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng Bài 24        Cho  ABC , lấy M , N , K cho : MB  MC  NA  NC  KA  KB      a) Phân tích KM , KN theo hai véc tơ AB , AC b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng Lop10.com www.VNMATH.com C Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước Bài 25 Cho tam giác ABC Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau :         d) MA  MB  MC      g) MA  MB  MC          e) MA  MB  MC      h) MA  MB  MC  a) MA  MB  MC          f) MA  MB  MC      k) MA  MB  MC  3BC b) MA  MB  MC  c) MA  MB  MC  Bài 26 Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí M :         c) b  5 MA  MB  MC         d) d  3MA  5MB  MC a) a  MA  MB  MC b) b  MA  MB  MC Bài 27      Cho tứ giác ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh vecto v  3MA  MB  MC  MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài 28 Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :          c) MA  MB  MC  MD           d) MA  MB  MC  MD a) 4AM  AB  AC  AD b) MA  MB  MC  MD  Bài 29 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :          a) 2MA  MB  MC  DA b) MA  MB  MC  MD           c) MA  MB  MC  MD  d) MA  MB  MC  MD Bài 30 Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm tùy ý Tính độ dài các véc tơ sau theo a:       a) u  MA  MB  MC  MD Bài 31 Cho tứ giác ABCD     b) u  MA  MB  MC  MD            b) Tìm tập hợp điểm các điểm M cho u  MA  MB  MC  MD cùng phương với AB a) Xác định điểm I cho AB  IB  IC  ID  Bài 32 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M cho :     a) MA  MB  MA  MB     b) MA  MB  MB  MC Bài 33       Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: MA  3MB  MC  MA  3MB  MC Bài 34 Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định Tìm điểm M trên d cho :         a) u  MA  MB  MC có độ dài nhỏ b) u  MA  MB  MC có độ dài nhỏ Bài 35     Cho tam giác ABC Hai điểm M và N thỏa mãn MN  MA  MB  MC     a) Xác định điểm I cho : IA  3IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố định Bài 36     Cho tam giác ABC Và hai điểm M, N thỏa MN  MA  MB  3MC a) Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố định M, N thay đổi   b) Gọi E là điểm thỏa ME  BN chứng minh đường thẳng ME luôn qua điểm cố định Bài 37     Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: MN  3MA  3MB  MC a) Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố định    b) Gọi P là điểm thỏa MP  BN  MB chứng minh đường thẳng MP luôn qua điểm cố định Lop10.com www.VNMATH.com Bài 38 Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N thuộc các cạnh AB , BC , CD cho AB = 3AM , BI = kBC , CD = 2CN Gọi G là trọng tâm tam giác MNB Định k để AI qua G Bài 39 Cho tam giaùc ABC vaø M laø moät ñieåm tuøy yù     a) Chứng minh vector v  MA  2MB  3MC không phụ thuộc vào vị trí M   b) Hãy dựng điểm I cho CI  v              d) Gọi D và E là hai điểm cho BD  DE  EC Hãy dựng p  AB  AC  DA  EA c) Đường thẳng CI cắt AB N Chứng minh NA  2NB  và CI  3CN D Tính độ dài các véc tơ Bài 40   Cho tam giác ABC cạnh là a Tính AB  AC Bài 41   Cho tam giác vuông ABC vuông B Biết AB = ; BC = 10 Tính BA  BC Bài 42 Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a Xác định các véc tơ sau và tính độ dài chúng :            a) v  OA  OB  OC  OD b) u  AD  AB c) w  AD  AC Bài 43       Cho tam giác ABC , cạnh 2a Tính độ dài các véc tơ : u  BA  BC , v  CA  CB Bài 44       600 Tính : | AB  AD | ; BA  BC ; Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a , có BAD Bài 45       Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính : AC  BD và AB  BC  CD  DA Lop10.com   OB  DC