Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 THPT năm học 2010 – 2011 môn Toán

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH đề chính thức KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: /4/2011 Câu 1 Giải phương trình: x    x   x  Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  2b  5c  Chứng minh phương trình ax  bx  c  có nghiệm  x  xy  x  y  Câu Giải hệ phương trình:  2  x  x y  3x  y  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm A 1;3, B 5; 3 Xác   định tọa độ điểm M trên đường thẳng d : x  y   cho 2MA  MB đạt giá trị nhỏ Câu Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cot A  cot C   cot B 1.Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 và CC1 tam giác ABC   2.Tìm giá trị lớn góc B   Câu Ba số dương a, b, c thỏa mãn: Tìm giá trị lớn biểu thức: P  1    a b2 c2 5a  2ab  2b 2  5b  2bc  2c 2  5c  2ca  2a 2 − Hết − (Cán coi thi không giải thích gì thêm) Họ tên thí sinh……………………………………… Lop10.com Số báo danh……… Câu Giải phương trình x    x   x  (1) Điều kiện x  Điểm  Khi đó (1)  6  x   x   x   6  x   x   x   48  x  x  (1)  x   x   6  x     x   x   (2) 1  x  thỏa mãn điều kiện    6  x  x  3x  5  29  x (2)  29  x  29  x   17  5    x  x  17 x  61   x  17   Câu I Kết luận: Nghiệm phương trình x  6, x  17  2 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a  2b  5c  Chứng minh phương trình ax  bx  c  (1) có nghiệm - Trường hợp 1: a  suy 2b  5c  PT (1) trở thành bx  c  (2) + Nếu b   c  : PT (2) có nghiệm (vô định) + Nếu b  PT (2) có nghiệm (duy nhất) - Trường hợp 2: a  a  5c 2   b  4ac  4  4b  16ac  a  5c   16ac  a  6ac  25c Ta có b    a  3c   4c   2 Vậy Pt (1) luôn có nghiệm  x  xy  x  y  (1) Giải hệ phương trình  2  x  x y  x  y  (2) x  TH1 x   y  suy  là nghiệm hệ y  TH2 x  Chia hai vế (1) cho x , (2) cho x  2y  0, y   x x 2y 2y    x  y    x   y     2y  x x      x    4 y  1 2 x   x2  y   y   x2  y  y   2  x x  2y   Câu II   x   12 y  x    Lop10.com Suy 4 y  1  12 y   y   y  (loại) Với y  ta có x    x   x  T Kết luận: Hệ có nghiệm 0;0 ; 1;1; 2;1 2 x Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho điểm A 1;3, B 5; 3 Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d : x  y   cho   2MA  MB nhỏ B   Gọi I x0 ; y0  là điểm thỏa mãn IA  IB  M    x  1  1  x0   x0   IA  BI    2 3  y0   y0   y0  A Câu III  I d Vậy I 1;1 Ta có           MA  MB  MI  IA  MI  IB  3MI  IA  IB  MI  3MI     Như 2MA  MB nhỏ và MI nhỏ Suy M là hình chiếu I trên d  x  2t  Gọi tọa độ M 2t0  1; t0   yt Phương trình tham số d     Suy IM  2t0 ; t0  1 Ta có IM ud   2.2t0  t0    t0  3 Vậy M  ;   5 b2  c2  a Ta có cot A  4s Khi  a  c2  b2 cot B  4s b2  a  c2 cot C  4s Ta b2  c2  a a  b2  c2 c2  a  b2 cot A  cot C  cot B    4s 4s 4s  5b  a  c Ta có: Lop10.com có B C1 A1 G A C AG  4  b2  c2 a  4  a  b2 c2  AA12     ; CG  CC12     9  9 4   a2  c2 Suy AG  CG    b   b Suy AA1  CC1 Vậy góc AA1 9  2 và CC1 900 cot A  cot C  cot B  b2  c2  a a  b2  c2 c2  a  b2  2 4s 4s 4s  a  c  2b Ta có cos B  a  c  b a  c 2ac    Suy B  600 2ac 4ac 4ac Dấu = xảy tam giác ABC 1   1 a b2 c2 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức P 5a  2ab  2b 2  5b  2bc  2c 2  5c  2ca  2a 2 Ta có 5a  2ab  2b  2a  b   a  b   2a  b  Suy 5a  2ab  2b Tương tự 2  1 1     2a  b  a b  12 1     9b c 5b  2bc  2c 2 5c  2ca  2a  (1) (2) 12 1     (3) 2c  a  c a  1 1 Cộng theo vế (1),(2) và (3) suy P      3 a Mặt khác b c 1 1 1 1 1 1 1 1             1    a b c 3 a b c  3 a b c  a b c Lop10.com Suy P  3 Dấu = xảy a  b  c  Lop10.com