ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VONG I

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN DIỄN CHÂU TRƯỜNG THCS DIỄN TRƯỜNG ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VONG I NĂM HỌC 2011-2012 Môn Toán 9- (Thời gian làm bài 120 phút) Câu I.(6đ) Cho biểu thức 1 1 : 1 1 1 1 22 2 −−+ +         − + − + = xxxx x x x x P a. Rút gọn biểu thức b. Tìm giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó c. Tính gia trị của P khi 53−=x Câu 2. (4đ) a. Cho hai số x và y là hai số dương và x 3 +y 3 = x-y. Chứng minh rằng : x 2 + y 2 <1 b. Chứng minh rằng , nếu 2 111 =++ cba và a + b + c = abc thì ta có: 2 111 222 =++ cba Câu III. (5đ) a. Chứng minh rằng : n(n+2)(25n 2 -1)  24 với Nn ∈∀ b. Giải phương trình: 21212 =−−+−+ xxxx Câu IV.(5đ) 1. Cho hình thang vuông ABCD ( 0 90 ˆ ˆ == DA ), O là trung điểm của AD và góc BOC=90 o . Gọi E là giao điểm của BO và CD. a. Chứng minh tam giác BCE cân tại C b. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD 2. Cho tam giác ABC với hai phân giác BD và CE. Gọi M là một điểm trên đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng khoảng cách đến BC bằng tổng khoảng cách từ M đến AB và AC. Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHON HSG VÒNG I NĂM HỌC 2011-2012 HUYỆN DIỄN CHÂU Câu I.(6đ) a. ĐKXĐ: 1;0 ≠≥ xx Rút gon biểu thức 2−−= xxP b. Biến đổi ∈∀−≥−+−= xxP ; 4 9 ) 4 9 () 2 1 ( 2 ĐKXĐ Suy ra GTNN của P là -9/4 khi x=1/4 c. Khi 2 15 53 =⇒ − =⇒−= Pxx Câu II. (4đ) a. Ta có : y+y 3 = x(1-x 2 )>0 ; (vì x;y>0) Suy ra 0<x 2 <1 hay 0<x<1 Mà x 3 +y 3 = x-y>0 (vì x;y>0) Suy ra 0<y<x<1 Áp dung bất đẳng thức Bunhiakopsky ta có: (Vì 1 )111 1))(()()( 22 2222 2233233222 <+⇒ <−<−⇒< <−=++≤+=+ yx yyxx yxyxyxyyxxyx b. Do : ⇒=++ 2 111 cba 4) 111 (2 111 222 =+++++ cabcabcba (1) Và a + b + c = abc 1 111 =++⇒ cabcab (2) Từ (1) và (2) 2 111 222 =++⇒ cba Câu III. (5đ) a. Ta có: A=n(n+2)(25n 2 -1) = n(n+2)(24n 2 +n 2 -1) = n(n+2)24n 2 + n(n+2) (n 2 -1) = n(n+2)24n 2 + (n-1)n(n+1)(n+2) Vì n(n+2)24n 2  24 Nếu n = 0 hoặc n =1 thì (n-1)n(n+1)(n+2) = 0 ⇒ A  24 Nếu n>1 thì (n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp ⇒ (n-1)n(n+1)(n+2)  3 và (n-1)n(n+1)(n+2)  8 Mà (3 ; 8)=1 ⇒ (n-1)n(n+1)(n+2)  24 ⇒ A  24 b. ĐKXĐ : 1≥x 21212 =−−+−+ xxxx 21111 21111 2)11()11( 22 =−−++−⇔ =−−++−⇔ =−−++−⇔ xx xx xx Ta có 211111111 =−−++−≥−−++− xxxx Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i Dấu “=” xẩy ra khi 0)11)(11( ≥−−+− xx 2≤⇔ x Kết hợp vơi ĐKXĐ 21 ≤≤⇒ x Câu IV. (5đ) 1. a. Chứng minh tam giác BCE cân tại C ∆ AOB = ∆ DOE ⇒ OB = OE Mà OC ⊥ BE ⇒ ∆ CBE cân tại C b. - Hạ OH ⊥ BC . ⇒ OH = OD ( ∆ CBE cân tại C ⇒ CO là tia phân giác của góc C) - Mà O là tâm của đừơng tròn đường kính AD ⇒ BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh AD 2 Từ D, hạ DL ⊥ AB; DR ⊥ BC Từ E, hạ EQ ⊥ BC; EN ⊥ AC Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i B A C D E O B H A D C R H Q B E KN P M S L Ta có: ED MDEQ ED MDEN MK ED MD EN MK ==⇒= ED EMDR ED EMDL MP ED EM DL MP ==⇒= ⇒ ED EMDRMDEQ ED EMDR ED MDEQ MPMK + =+=+ (3) *Nếu ED//AB ⇒ EQ=DR=MH ⇒ MH ED EMMDMH ED EMDRMDEQ MPMK = + = + =+ )( *Nếu ED không song song vơi AB ⇒ ED cắt AB tại S Xét ∆ SDR có EQ//MH//DR. Theo Talet SM MD SM SMSD MH MHDR SM SD MH DR = − = − ⇒=⇒ (4) EM SM SESM SM EQMH MH SE SM EQ MH = − = − ⇒= (5) Nhân (4) và (5) vế theo vế ta có: ED EQMDDREM MH EQMDDREMEMMDMH EQMDDREMMHEMMHMD MHEMDREMEQMDMHMD MHDREMEQMHMD EM MD EQMH MHDR )( )()( + =⇒ +=+⇒ +=+⇒ −=−⇒ −=−⇒= − − (6) Từ (3) Và (6) ⇒ MHMPMK =+ Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i . PHÒNG GD-ĐT HUYỆN DIỄN CHÂU TRƯỜNG THCS DIỄN TRƯỜNG ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GI I HUYỆN VONG I NĂM HỌC 2011-2012 Môn Toán 9- (Th i gian làm b i 120 phút) Câu I. (6đ) Cho biểu thức 1 1 : 1 1 1 1 22 2 −−+ +         − + − + = xxxx x x x x P a đến AB và AC. Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An Gi¸o viªn : Phan Huy H i ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHON HSG VÒNG I NĂM HỌC 2011-2012 HUYỆN DIỄN CHÂU Câu I. (6đ) a. ĐKXĐ: 1;0 ≠≥ xx Rút gon biểu. minh tam giác BCE cân t i C b. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD 2. Cho tam giác ABC v i hai phân giác BD và CE. G i M là một i m trên đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng