Đang tải... (xem toàn văn)
phương trình đường thẳng đi qua điểm P 2; -1 sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.. Gọi A’là hình c[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 180 ) PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7 ®iÓm ) C©u I: (2 ®iÓm) Cho hµm sè y 2x x 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M lµ ®iÓm bÊt k× trªn (C) TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t c¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) t¹i A vµ B Gäi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tÝch nhá nhÊt C©u II (2 ®iÓm) Giải phương trình sin x x x sin x cos sin x cos 2 2 1 x 2 Giải bất phương trình log (4 x x 1) x ( x 2) log e x ln x dx ln x a A SAC A 30 TÝnh thÓ tÝch C©u IV (1 ®iÓm) Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a BC = SA a , SAB x C©u III (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n I ln x khèi chãp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = P a 3b 3 b 3c 3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc c 3a PhÇn riªng (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®îc lµm mét hai phÇn: PhÇn hoÆc phÇn Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn) C©u VIa (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : x y d2: 3x +6y – = LËp phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo tam giác cân có đỉnh là giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) là mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao (P) và (S) Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2C22n 1 3.2.2C23n 1 (1)k k (k 1)2 k 2 C2kn 1 n(2 n 1)22 n 1 C22nn11 40200 Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao) C©u VIb (2 ®iÓm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 1 16 Viết phương trình chính tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật sở cña (H) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P : x y z và đường thẳng x3 y z , ®iÓm A( -2; 3; 4) Gäi lµ ®êng th¼ng n»m trªn (P) ®i qua giao ®iÓm cña ( d) vµ (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M cho khoảng cách AM ngắn (d ) : C©u VIIb (1 ®iÓm): 2 x 1 y 2 3.2 y 3 x Giải hệ phương trình x xy x HÕt -Lop10.com (2) D¸p ¸n ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 180 ) C©u I Néi dung Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ 2x §iÓm 1,00 1 , x , y' (x ) Ta cã: M x ; x x0 2 Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: : y 1 2x (x x ) x0 x0 2x ; B2x 2;2 y A y B 2x x A x B 2x y M suy M lµ trung x0 xM , Ta thÊy x0 2 Toạ độ giao điểm A, B và hai tiệm cận là: A 2; x0 0,25 0,25 ®iÓm cña AB MÆt kh¸c I = (2; 2) vµ tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I nªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch 2x (x 2)2 2 S = IM (x 2) 2 (x ) x0 DÊu “=” x¶y (x 2)2 II x 1 (x ) x 0,25 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Giải phương trình lượng giác x x x sin sin x cos sin x cos 2 2 1 sin x sin x cos x sin x cos x sin x 2 2 ®iÓm (1) x x x x x x sin x sin cos sin x 1 sin x sin cos sin cos 1 2 2 x x x sin x sin 1 sin sin 1 2 sin x x k x k x sin x x k, k Z k2 x k4 2 x x 2 sin sin 2 II III 0,25 0,25 0,25 0,25 ®iÓm Giải bất phương trình KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta cã: 0,25 1 x hoÆc x < 0,25 ®iÓm TÝnh tÝch ph©n Lop10.com (3) e e ln x I dx 3 x ln xdx x ln x e +) TÝnh I x ln x ln x dx §Æt t ln x t ln x; tdt dx x 0,25 §æi cËn: x t 1; x e t t t3 1 22 I1 2tdt t dt 2 t t 3 1 1 dx du e u ln x x +) TÝnh I x ln xdx §Æt dv x dx v x 2 e x3 e3 x I ln x 1e x dx 31 3 I I1 3I IV e 0,25 0,25 e3 e3 2e3 9 2 2e 3 0,25 0,25 TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp ®iÓm S M A C N B Theo định lí côsin ta có: A 3a a 2.a 3.a.cos30 a SB SA AB 2SA.AB.cos SAB Suy SB a Tương tự ta có SC = a Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA , hai tam gi¸c SAB vµ SAC lµ hai tam gi¸c c©n nªn MB SA, MC SA Suy SA (MBC) Ta cã VS ABC VS MBC VA MBC 1 MA.S MBC SA.S MBC SA.S MBC 3 Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N là trung điểm BC suy MN BC Tương tự ta có MN SA 2 a a a 3a MN MN AN AM AB BN AM a 16 4 2 Do đó VS ABC V 2 2 0,25 0,25 0,25 1 a a a3 SA MN.BC a 16 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Lop10.com 0,25 ®iÓm (4) áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 1 1 1 (*) (x y z ) 33 xyz 9 xyz x y z xyz x y z 1 3 3 3 ¸p dông (*) ta cã P 3 a 3b b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a 0,25 áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a 3b 1 a 3b 1.1 a 3b 3 b 3c 1 b 3c 1.1 b 3c 3 c 3a 1 c 3a 1.1 c 3a 3 0,25 1 a 3b b 3c c 3a a b c 3 3 Do đó P 0,25 Suy 3 abc 4 a 3b b 3c c 3a Vậy P đạt giá trị nhỏ a b c / DÊu = x¶y VIa.1 abc Lập phương trình đường thẳng 0,25 ®iÓm Cách 1: d1 có vectơ phương a1 (2;1) ; d2 có vectơ phương a (3;6) Ta cã: a1.a 2.3 1.6 nªn d1 d vµ d1 c¾t d2 t¹i mét ®iÓm I kh¸c P Gäi d lµ ®êng thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: d : A(x 2) B(y 1) Ax By A B 0,25 d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I và d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A B A2 B2 A 3B cos 450 3A 8AB 3B 2 (1)2 B 3A 0,25 * NÕu A = 3B ta cã ®êng th¼ng d : 3x y 0,25 * NÕu B = -3A ta cã ®êng th¼ng d : x 3y VËy qua P cã hai ®êng th¼ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n d : 3x y 0,25 d : x 3y Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, đó d song song với đường phân giác ngoài đỉnh là giao điểm d1, d2 tam giác đã cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 2x y 2 (1)2 3x y 32 3x 9y 22 (1 ) 2x y 3x y 9x 3y ( ) +) Nếu d // 1 thì d có phương trình 3x 9y c Do P d nªn c c 15 d : x 3y 0,25 +) Nếu d // 2 thì d có phương trình 9x 3y c Do P d nªn 18 c c 15 d : 3x y 0,25 VËy qua P cã hai ®êng th¼ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n d : 3x y d : x 3y VIa 0,25 Xác định tâm và bán kính đường tròn DÔ thÊy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: Lop10.com 0,25 ®iÓm 0,25 (5) a x y z 2ax 2by 2cz d 0, b2 c2 d 2a b d a 2a b 4c d 14 b 1 V× A' , B, C, D S nªn ta cã hÖ: 8a b 4c d 29 c 1 8a b 4c d 21 d 1 2 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x y z x y z 5 2 (S) cã t©m I ;1;1 , b¸n kÝnh R 0,25 29 +) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña I lªn (P) H lµ t©m cña ®êng trßn ( C) +) Gäi ( d) lµ ®êng th¼ng ®i qua I vµ vu«ng gãc víi (P) (d) có vectơ phương là: n1;1;1 x / t 5 H t;1 t;1 t Suy phương trình d: y t 2 z t Do H d (P ) nªn: IH VII a 5 5 1 t t t 3t t H ; ; 2 3 6 75 29 75 31 186 , (C) cã b¸n kÝnh r R IH 36 6 36 Tìm số nguyên dương n biết * XÐt (1 x)2 n 1 C 02 n 1 C12 n 1x C 22 n 1x (1) k C 2k n 1x k C 22 nn 11x n 1 (1) * Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: (2 n 1)(1 x)2 n C12 n 1 2C 22 n 1x (1) k kC 2k n 1x k 1 (2 n 1)C 22 nn 11x n (2) Lại lấy đạo hàm hai vế (2) ta có: 2n(2n 1)(1 x)2 n 1 2C 22 n 1 3C 32 n 1x (1)k k( k 1)C 2k n 1x k 2n(2n 1)C 22 nn 11x n 1 Thay x = vào đẳng thức trên ta có: VIb.1 0,25 ®iÓm 0,25 0,25 k 2n 1 2n 1 2n(2n 1) 2C 22n 1 3.2.2C 32n 1 (1)k k(k 1)2 k 2 C 2n C 2n 1 1 2n(2n 1)2 0,25 Phương trình đã cho n(2 n 1) 40200 n n 20100 n 100 0,25 Viết phương trình chính tắc E líp (H) có các tiêu điểm F1 5;0 ; F2 5;0 Hình chữ nhật sở (H) có đỉnh là M( 4; 3), x y2 ( víi a > b) a b2 1 (E) còng cã hai tiªu ®iÓm F1 5;0 ; F2 5;0 a b 52 Giả sử phương trình chính tắc (E) có dạng: M 4;3 E 9a 16b a b 2 Vậy phương trình chính tắc (E) là: ®iÓm 0,25 0,25 2 a b a 40 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ: 2 2 9a 16b a b b 15 VIb 0,25 x y2 1 40 15 Tìm điểm M thuộc để AM ngắn 0,25 0,25 ®iÓm Lop10.com (6) x 2t Chuyển phương trình d dạng tham số ta được: y t z t 0,25 Gäi I lµ giao ®iÓm cña (d) vµ (P) I 2t 3; t 1; t 3 Do I P 2t 2(t 1) (t 3) t I 1;0;4 * (d) có vectơ phương là a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n1;2;1 0,25 a, n 3;3;3 Gọi u là vectơ phương u 1;1;1 x u V× M M u; u;4 u , AM 1 u; u 3; u : y u z u 0,25 AM ng¾n nhÊt AM AM u AM.u 1(1 u) 1(u 3) 1.u u VIIb 16 ; ; VËy M 3 3 0,25 ®iÓm Giải hệ phương trình: 23x 1 y 3.2 y 3x (1) 3x xy x (2) x x 1 Phương trình (2) x(3 x y 1) 3 x xy x x 1 x x x 1 3 x y y x 0,25 * Víi x = thay vµo (1) y 3.2 y y 12.2 y y 8 y log 11 11 x 1 thay y = – 3x vµo (1) ta ®îc: x 1 3 x 1 3.2 y 3x §Æt t x 1 V× x 1 nªn t t lo¹ i x log 1 (3) t t t t t y log (3 ) 0,25 * Víi x x log Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm vµ y log 11 y log (3 ) Lop10.com 0,25 0,25 (7)