[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT TH XÃ B N CÁTỊ Ế TRƯỜNG THCS PHÚ AN
TÀI LI U H C T P NHÀỆ Ọ Ậ Ở
TRONG TH I GIAN NGH H C PHÒNG, CH NG D CH COVID 19Ờ Ỉ Ọ Ố Ị MƠN TỐN 7
(2)M C L CỤ Ụ PH N Đ I SẦ Ạ Ố
CHƯƠNG III – TH NG KÊỐ
§4 S TRUNG BÌNH C NGỐ Ộ
CHƯƠNG IV – BI U TH C Đ I SỂ Ứ Ạ Ố 4
§1 KHÁI NI M V BI U TH C Đ I SỆ Ề Ể Ứ Ạ Ố
§2 GIÁ TR C A M T BI U TH C Đ I SỊ Ủ Ộ Ể Ứ Ạ Ố
§3 Đ N TH CƠ Ứ
§4 Đ N TH C Đ NG D NGƠ Ứ Ồ Ạ
§5 ĐA TH CỨ
§6 C NG, TR ĐA TH CỘ Ừ Ứ
§7 ĐA TH C M T BI NỨ Ộ Ế
§8 C NG, TR Ộ ỪĐA TH C M T BI NỨ Ộ Ế 11
§9 NGHI M C A ĐA TH C M T BI NỆ Ủ Ứ Ộ Ế 11
PH N HÌNH H CẦ Ọ CHƯƠNG III QUAN H GI A CÁC Y U T TRONG TAM GIÁCỆ Ữ Ế Ố , 13
CÁC ĐƯỜNG Đ NG QUY TRONG TAM GIÁCỒ 13
§1 QUAN H GI A GÓC VÀ C NH Đ I DI N TRONG M T TAM GIÁCỆ Ữ Ạ Ố Ệ Ộ 13
§2 QUAN H GI A ĐỆ Ữ ƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, 13
ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHI UẾ 13
§3 QUAN H GI A BA C NH C A M T TAM GIÁC.Ệ Ữ Ạ Ủ Ộ 14
B T Đ NG TH C TAM GIÁCẤ Ẳ Ứ 14
§4 TÍNH CH T BA ĐẤ ƯỜNG TRUNG TUY N TRONG TAM GIÁCẾ 15
§5 TÍNH CH T TIA PHÂN GIÁC C A M T GĨCẤ Ủ Ộ 16
§6 TÍNH CH T BA ĐẤ ƯỜNG PHÂN GIÁC C A TAM GIÁCỦ 16
§7 TÍNH CH T ĐẤ ƯỜNG TRUNG TR C C A ĐO N TH NGỰ Ủ Ạ Ẳ 17
§8 TÍNH CH T Ấ BA ĐƯỜNG TRUNG TR C C A Ự Ủ TAM GIÁC 18
(3)PH N Đ I SẦ Ạ Ố
CHƯƠNG III – TH NG KÊỐ
§4 S TRUNG BÌNH C NGỐ Ộ I TĨM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 S TRUNG BÌNH C NG C A D U HI UỐ Ộ Ủ Ấ Ệ .
a) Ví d :ụ Đi m ki m tra toán (1 ti t) c a b n l p 7A để ể ế ủ ượ ớc l p trưởng ghi l i nh sau:
9 8
8 7 6
8 6 7
10 6 7 10
5 8
* Đ tính m trung bình c a l p, ta tính t ng s m c a 40 r i chiaể ể ủ ổ ố ể ủ
cho 40
* Thông qua b ng “t n s ” c a d u hi u m ki m tra c a m i h ầ ố ủ ấ ệ ể ể ủ ỗ ọ
sinh l p 7A ngớ ười ta tính m trung bình c a c l p.ể ủ ả
Đi m sể ố
(x) T n s (n)ầ ố Các tích(x.n) (x1) (n1) (x1.n1) (x2) (n2) 10 (x2.n2)
6 54
7 12 84
8 10 80
9 36
10 20
N = 40 T ng: 288ổ
S trung bình c ng: ố ộ
288
X 7,2
40
b) Cơng th c tính s trung bình c ng có b ng t n s :ứ ố ộ ả ầ ố L p thêm c t tích (là tích c a m i giá tr v i t n s c a nó)ậ ộ ủ ỗ ị ầ ố ủ
* N u d u hi u X có k giá tr khác ế ấ ệ ị x , x ,x , ,x1 k ng v i t n sứ ầ ố
th t ứ ự n ,n ,n , ,n1 k ta có cơng th c tính s trung bình c ng (ký hi u:ứ ố ộ ệ
X) nh sau: ư
1 2 3 k k
x n x n x n x n
X
N
(4)2 Ý NGHĨA C A S TRUNG BÌNH C NGỦ Ố Ộ .
S trung bình c ng thố ộ ường dùng làm “đ i di n” cho d u hi u, đ cạ ệ ấ ệ ặ
bi t mu n so sánh ệ ố d u hi u lo i.ấ ệ
Ví d :ụ Cùng đ ki m tra c a l p 7A giáo viên d y (ví d trên) choề ể ủ ụ
l p 7B ki m tra ta tính đớ ể ược m trung bình c a m i l p (7A 7B) Quaể ủ ỗ
đó, có th so sánh k t qu ki m tra toán c a hai l p.ể ế ả ể ủ
Chú ý: - Khi giá tr c a d u hi u có kho ng ị ủ ấ ệ ả chênh l ch l nệ đ iố
v i khơng nên l y s trung bình c ng làm “đ i di n” cho d u hi uấ ố ộ ệ ấ ệ
đó
II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
Câu Th i gian gi i m t tốn (tính theo phút) c a h c sinh m tờ ả ộ ủ ọ ộ
l p đớ ược ghi l i b ng sau: ả
8 5
8 7 10 10 8 10 10 8
10 7 9
8 8
a) D u hi u c n tìm hi u gì?ấ ệ ầ ể
b) L p b ng “t n s ” tính s trung bình c ng.ậ ả ầ ố ố ộ
c) Tìm m t c a d u hi u.ố ủ ấ ệ
Câu Đi u tra v tu i ngh c a công nhân m t phân xề ề ổ ề ủ ộ ưởng, người ta ghi l i nh sau:
9 10 9 10
10 10
8 10 10 10 10
9 10 10
a) D u hi u c n tìm hi u gì?ấ ệ ầ ể
b) L p b ng “t n s ” tính s trung bình c ng.ậ ả ầ ố ố ộ
c) Tìm m t c a d u hi u.ố ủ ấ ệ
Câu Hai th x A B m i ngủ ỗ ườ ắi b n 15 phát đ n, k t qu (đi m m i l nạ ế ả ể ỗ ầ
b n) đắ ược ghi l i b ng sau:ạ ả
A 10 10 10 10 8 10 10 10 B 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 a) Tính m trung bình c a t ng x th ể ủ ủ
b) Tìm m t c a d u hi u.ố ủ ấ ệ
c) Có nh n xét k t qu kh c a t ng ngậ ế ả ả ủ ười?
CHƯƠNG IV – BI U TH C Đ I SỂ Ứ Ạ Ố
§1 KHÁI NI M V BI U TH C Đ I SỆ Ề Ể Ứ Ạ Ố I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
(5)Các s đố ược n i v i b i d u c a phép tính (c ng, tr , nhân, chia,ố ấ ủ ộ
nâng lên lũy th a) t o thành m t bi u th c đ i s ộ ể ứ ố
Ví d :ụ
* Các bi u th c s sau l n lể ứ ố ầ ượt di n t chu vi hình ch nh t kíchễ ả ữ ậ
thước 3x4 (cm); 10x15 (cm); 4x7 (dm); 15x5 (m): 2x(3 +4) (cm); 2x(10 +15) (cm); 2x(4 + 7) (dm); 2x(15 +5) (m)
* Các bi u th c s sau l n lể ứ ố ầ ượt di n t di n tích hình vng có đễ ả ệ ộ
dài c nh
3
1 cm
4 ;
15 dm
7 ; 2,5 (m):
2 cm ; 2 15 dm ; 2 2,5 m
2 BI U TH C Đ I SỂ Ứ Ạ Ố
Các s ố ch (đ i di n cho s )ữ ệ ố n i v i b i d u c a cácố ấ ủ
phép tính (c ng, tr , nhân, chia, nâng lên lũy th a) t o thành m t ộ ừ ộ bi uể
th c đ i s ứ ố
Ví d : ụ
* Bi u th c đ i s : ể ứ ố 2x y di n t chu vi ễ ả m iọ hình ch nh t có kíchữ ậ
thước x y
* Bi u th c đ i s : ể ứ ố
1
h x y
2 di n t di n tích ễ ả ệ m iọ hình thang có chi uề
cao h, đ dài đáy x y.ộ
3 L U Ý,Ư
* Đ cho g n, vi t bi u th c đ i s , ngể ọ ế ể ứ ố ười ta thường không vi tế
d u nhân gi a s ch , nh gi a ch ch ấ ữ ố ữ ữ ữ ữ
Ví d :ụ x x z xyz2 2x y x y
3 x y 3x 4y
* Trong m t tíchộ , th a s ố 1 thường đượ ược l c b t nh sau: ớ ư 1xy xy x yz xyz2
* Trong m t tích, th a s ch độ ố ữ ược vi t sau th a s s ế ố ố
Ví d :ụ 3x y xy 15xy
4 BI N S Ế Ố
Trong bi u th c đ i s , ch s th đ i di n cho nh ng s ể ứ ố ữ ố ể ệ ữ ố tùy ý Ta g i nh ng ch nh v y ọ ữ ữ ậ bi n sế ố (hay bi nế )
• Trong chương trình, ta ch a xét đ n bi u th c đ i s có ch a bi n ế ể ứ ố ứ ế
m u ẫ
• Trong bi u th c đ i s , ch đ i di n cho s nên th c hi n phépể ứ ố ữ ệ ố ự ệ
tốn ch , ta có th áp d ng nh ng tính ch t, quy t c phép toán, th tữ ể ụ ữ ấ ắ ứ ự
th c hi n nh s Ch ng h n: ự ệ ố ẳ
x + y = y + x; xy = yx; (x + y) + z = x + (y + z); (xy)z = x(yz) x(y – z) = xy – xz; x – (y – z + t) = x – y + z – t; xxx = x3 II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
(6)a) T ng c a x y.ổ ủ
b) Tích c a x y.ủ
c) Tích c a t ng x y v i hi u c a x y.ủ ổ ệ ủ
Câu Vi t bi u th c đ i s bi u th di n tích hình thang có đáy l n a, đáy nhế ể ứ ố ể ị ệ ỏ
là b, đường cao h (a, b h có đ n v đo).ơ ị
§2 GIÁ TR C A M T BI U TH C Đ I SỊ Ủ Ộ Ể Ứ Ạ Ố I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
* Đ tính giá tr c a m t bi u th c đ i s t i nh ng giá tr cho trể ị ủ ộ ể ứ ố ữ ị ướ ủc c a bi n, ta thay giá tr cho trế ị ước vào bi u th c r i th c hi n phépể ứ ự ệ
tính, sau k t lu n.ế ậ
Ví d :ụ Cho bi u th c A = (xể ứ 2 + y2)(x + y)2 Tính giá tr c a A t i (ị ủ ạ x 2;y 3 ) t i (ạ x 4; y 4)
Gi i: ả
*Thay x 2; y 3 vào bi u th c A = (xể ứ 2 + y2)(x + y)2 ta có:
2
2
2
A2 3 2 3 9 1 13.1 13
V y t i ậ x2;y3thì bi u th c A có giá tr 13.ể ứ ị
* Thay x 4; y 4 vào bi u th c A = (xể ứ 2 + y2)(x + y)2 ta có:
2
2
A4 4 4 4 16 16 0 0
V y t i ậ x2;y3thì bi u th c A có giá tr 0.ể ứ ị
II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
Câu Tính giá tr c a bi u th c sau t i m = -1 n = 2.ị ủ ể ứ
a) 3m – 2n; b) 7m + 2n – 6; c) 2m2 – n3 Câu Tính giá tr c a bi u th c xị ủ ể ứ 2y3 + xy t i ạ x 1
1 y
2
§3 Đ N TH CƠ Ứ
I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế 1 Đ N TH CƠ Ứ .
Đ n th c bi u th c đ i s ch g m m t s , ho c m t bi n ho c m t tíchơ ứ ể ứ ố ỉ ộ ố ặ ộ ế ặ ộ
gi a s bi nữ ố ế
(7)2
x y;9 4x ;xy x không ph i đ n th c ả ơ ứ L u ý:ư s đố ượ ọc g i đ n th c ứ
2 Đ N TH C THU G N.Ơ Ứ Ọ
Đ n th c thu g n đ n th c ch g m tích c a m t s v i bi n mà m iơ ứ ọ ứ ỉ ủ ộ ố ế ỗ
bi n đế ược nâng lên lũy th a v i s mũ nguyên dừ ố ương (m i bi n có m tỗ ế ặ
m t l n).ộ ầ
S nói g i h s , ph n l i g i ph n bi n c a đ n th c thuố ọ ệ ố ầ ọ ầ ế ủ ứ
g n ọ
Ví d :ụ 7x y5 3: đ n th c thu g n.ơ ứ ọ 3
2x y x z: không ph i đ n th c thu g n ả ơ ứ ọ
L u ý:ư * M t s độ ố ược coi m t đ n th c thu g n.ộ ứ ọ
* Thông thường m t đ n th c thu g n, h s vi t trộ ứ ọ ệ ố ế ước, ph nầ
bi n sau bi n đế ế ược vi t theo th t ch cái.ế ứ ự ữ
Ví d :ụ 7x y5 3là đ n th c thu g n có h s ứ ọ ệ ố 7; ph n bi n ầ ế x y5 3 B C C A Đ N TH C Ậ Ủ Ơ Ứ
B c c a đ n th c có h s khác t ng s mũ c a t t c bi n cóậ ủ ứ ệ ố ổ ố ủ ấ ả ế
trong đ n th c ứ
Ví d :ụ Đ n th c ơ ứ 2x y z2 có b c (x có s mũ 2, y có s mũ 3, z có sậ ố ố ố
mũ T ng s mũ 9) ổ ố
L u ý:ư * S th c khác đ n th c b c không.ố ự ứ ậ
* S đố ược coi đ n th c khơng có b c.ơ ứ ậ
4 NHÂN HAI Đ N TH C.Ơ Ứ
Đ nhân hai đ n th c, ta nhân h s v i nhân ph n bi nể ứ ệ ố ầ ế
v i nhau.ớ
* K t qu c a phép nhân nhi u đ n th c v i m t đ n th c thuế ả ủ ề ứ ộ ứ
g n.ọ
Ví d :ụ
2 3
2 2 6 6
5xy 3y z 2zx 5xy 9y z 8z x 5.9.8xx y y z z 360x y z
II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ Câu 1.
1) Trong bi u th c sau, bi u th c đ n th c? ể ứ ể ứ ứ
a) 2x y2 b)
6 c) 2 x d) 3
x y z
e) x f) 4x y 52 g)
2
x y
h)
2) Trong bi u th c sau (x, y, z bi n) bi u th c đ n th c V i m iể ứ ế ể ứ ứ ỗ
(8)a) 3a 2bx yz xy b)
7
xyz a 2a
c) x y y z z x2 d) 2a y z x e) 3a x yz
f) 5a xy z
Câu S d ng cách nhân hai đ n th c đ thu g n đ n th c sau ử ụ ứ ể ọ ứ V i m iớ ỗ
đ n th c tìm ứ ược ch rõ ph n h s , ph n bi n tìm b c c a đ n đó.ỉ ầ ệ ố ầ ế ậ ủ
a) 2x y2 3xy2 b)
2
2
ab c 3abc
c)
2
4xy z xyz
§4 Đ N TH C Đ NG D NGƠ Ứ Ồ Ạ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 Đ N TH C Đ NG D NGƠ Ứ Ồ Ạ .
Hai đ n th c đ ng d ng hai đ n th c có h s khác có ph nơ ứ ứ ệ ố ầ
bi n (sau thu g n)ế ọ
Các s khác đố ược coi nh ng đ n th c đ ng d ng.ữ ứ
Ví d :ụ 3xy z ;3y z x; 5z xy2 3 đ n th c đ ng d ng.ơ ứ
2 C NG TR CÁC Đ N TH C Đ NG D NG Ộ Ừ Ơ Ứ Ồ Ạ
Đ c ng (hay tr ) đ n th c đ ng d ng, ta c ng (hay tr ) h s v iể ộ ứ ộ ệ ố
nhau gi nguyên ph n bi n ữ ầ ế
Ví d :ụ
2 2 2
5xy 4y x 8xy xy xy
II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
Câu Tìm t ng c a ba đ n th c: ổ ủ ứ 25xy ; 55xy ; 75xy2 2 Câu Tính giá tr c a bi u th c sau t i ị ủ ể ứ x 1 y1.
5 5
1
x y x y x y
2
Câu Tính:
2 2
3 1
xyz xyz xyz
4 2
§5 ĐA TH CỨ I TĨM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 ĐA TH CỨ .
Đa th c m t t ng c a đ n th c M i đ n th c t ng g i m tứ ộ ổ ủ ứ ỗ ứ ổ ọ ộ
h ng t c a đa th c ủ ứ
M i đ n th c đỗ ứ ược coi m t đa th c.ộ ứ
Ví d :ụ Các đa th c ứ x2y2 2xy;6x2 x; 2x
2 THU G N ĐA TH C.Ọ Ứ
Thu g n m t đa th c vi t đa th c dọ ộ ứ ế ứ ưới d ng t ng c a nh ng đ nạ ổ ủ ữ
(9)Ví d :ụ Thu g nọ
2 2 2 2 2
M 3xy 4x y 2xy 7x y 3xy 2xy 4x y 7x y xy 3x y
3 B C C A ĐA TH C.Ậ Ủ Ứ
B c c a đa th c b c c a h ng t có b c cao nh t d ng thu g nậ ủ ứ ậ ủ ậ ấ ọ
c a đa th c đóủ ứ
L u ý:ư * S g i đa th c khơng Nó khơng có b c.ố ọ ứ ậ
* Mu n tìm b c c a m t đa th c, trố ậ ủ ộ ứ ước h t ta c n thu g n đa th cế ầ ọ ứ
đó
Ví d :ụ Tìm b c c a đa th cậ ủ ứ
3 2 2 22 4 4 4
A xy x y 5x y xy 3x y x y 5x y 9x y 4x y 9x y
H ng t c a A có b c cao nh t ủ ậ ấ 9x y4 nên đa th c A có b c ứ ậ
II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
Câu Tìm b c c a đa th c: ậ ủ ứ
5 3
Q 3x x y xy 3x
2
Câu Tìm b c c a đa th c sau: ậ ủ ứ
a) A 6x 5x2 4x 3x 2x3 b) B5x y3 4x y2 8x y2 25x y3 c)
4 4 4
1
C x y 6x x y 5x y x y
2
d)
2
D 3x y xy 3x y xy
4
§6 C NG, TR ĐA TH CỘ Ừ Ứ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 C NG, TR ĐA TH C.Ộ Ừ Ứ
Đ c ng, tr hai đa th c, ta d a vào “ể ộ ứ ự quy t c d u ngo cắ ấ ặ ” thu g n cácọ
h ng t đ ng d ng
Ví
d : Choụ
2 2 2 2 2
A 5xy 4x y 6x ,B 8yx 4y x 3y ,C 2xy 3yx 5x
Tính A – B + C Gi i: ả
2 2 2 2 2 2
A B C 5xy 4x y 6x 8yx 4y x 3y 2xy 3yx 5x
2 2 2 2 2
2 2
2 2
5xy 4x y 6x 8x y 4xy 3y 2xy 3x y 5x
5 xy x y x 3y
7xy 9x y x 3y
I BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
(10)a) Tính M + N b) Tính M – N Câu Cho đa th c: ứ A 5x y 4xy 2 6x y2
B8xy3xy2 4x y2
C x 4x y 6xy3 3 4xy2 5x y2 Hãy tính:
a) A – B – C b) B + A – C c) C – A – B §7 ĐA TH C M T BI NỨ Ộ Ế
I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế 1 ĐA TH C M T BI N.Ứ Ộ Ế
* Đa th c m t bi n vi t dứ ộ ế ế ướ ại d ng thu g n t ng c a nh ng đ n th cọ ổ ủ ữ ứ
không đ ng d ng c a m t bi n ủ ộ ế
M i s đỗ ố ược coi m t đa th c m t bi n.ộ ứ ộ ế
* Đ ch rõ M đa th c c a bi n x, ta vi t M(x) Khi giá tr c a đa th cể ỉ ứ ủ ế ế ị ủ ứ
M(x) t i x2 được ký hi u ệ M 2 .
Ví d :ụ Cho đa th c m t bi n x: ứ ộ ế M x x3 x2 3x 5
thì
3
M 2 2 2 3 2 5 8 5 23
* B c c a đa th c m t bi n (khác đa th c không) s mũ l n nh t c aậ ủ ứ ộ ế ứ ố ấ ủ
bi n đa th c ế ứ
Ví d :ụ B c c a đa th c M(x) 3.ậ ủ ứ
2 S P X P M T ĐA TH C.Ắ Ế Ộ Ứ
* Đ thu n l i cho vi c tính tốn đ i v i đa th c m t bi n, sau thuể ậ ợ ệ ố ứ ộ ế
g n đa th c, ngọ ứ ười ta thường s p x p h ng t c a chúng theo lũy th aắ ế ủ
tăng ho c gi m c a bi n ặ ả ủ ế
Ví d :ụ P x 8x 3x 3 5 2x5
S p x p theo lũy th a gi m c a bi n, ta có: ắ ế ả ủ ế P x 2x53x3 8x 5
S p x p theo lũy th a tăng c a bi n, ta có: ắ ế ủ ế P x 5 8x 3x 3 2x5
* Sau s p x p h ng t c a chúng theo lũy th a gi m c a bi n, taắ ế ủ ả ủ ế
có:
• M i đa th c b c nh t c a bi n x đ u có d ng: ax + b (a, b s th cọ ứ ậ ấ ủ ế ề ố ự
cho trước, a ≠ 0)
• M i đa th c b c hai c a bi n x đ u có d ng: ọ ứ ậ ủ ế ề ax2bx c (a, b, c số th c cho trự ước, a ≠ 0) v.v…
* Nh v y m t bi u th c đ i s , nh ng ch đ ch bi n s (màư ậ ộ ể ứ ố ữ ữ ể ỉ ế ố
giá tr l y tùy ý m t t p h p s ) cịn có nh ng ch đ i di n cho sị ấ ộ ậ ợ ố ữ ữ ệ ố
xác đ nh cho trị ướ ọc g i h ng s (còn g i t t h ng) ằ ố ọ ắ ằ
3 H S Ệ Ố
(11)2
h s c a lũy th a b c cao nh t (b c 5) c a P(x) nên g i h s caoệ ố ủ ừ ậ ấ ậ ủ ọ ệ ố nh t ấ
3 h s c a lũy th a b c 3; ệ ố ủ ậ 8 h s c a lũy th a b c ệ ố ủ ừ ậ h s c a lũy th a b c (hay g i h s t do) ệ ố ủ ậ ọ ệ ố ự
H s c a lũy th a b c lũy th a b c P(x) b ng ệ ố ủ ậ ậ ằ
II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
Câu Cho đa th c:ứ A x 2x2 3x x 5 3x2 4x;
B x 3x 4x 8x 10 ;
C x 3x 5 8x 2x x
a) Thu g n s p x p h ng t theo lũy th a gi m c a bi ắ ế ả ủ ế
b) Xác đ nh h s n vào b ng sau: ị ệ ố ề ả
Đa th
H sệ ố
cao nh tấ
H s c a b cệ ố ủ ậ H sệ ố
t doự
4
A(x) B(x) C(x)
Câu Cho đa th c ứ Q(x) x 2x4 4x3 5x63x2 4x 1
a) S p x p h ng t c a Q(x) theo lũy th a gi m d n c a bi n.ắ ế ủ ả ầ ủ ế
b) Ch h s khác c a Q(x).ỉ ệ ố ủ
§8 C NG, TR Ộ ỪĐA TH C M T BI NỨ Ộ Ế I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
Ngoài cách c ng, tr đa th c h c, ta có th s p x p đa th c theo lũy th aộ ứ ọ ể ắ ế
gi m d n (ho c tăng d n) c a bi n th c hi n nh sau: ả ầ ặ ầ ủ ế ự ệ
Ví d :ụ Cho
M x 2x 5x 4; N x x 2x 8x 6;P x 5x 6x 8 Tính
M(x) – N(x) + P(x)
• Đ t đ n th c m t c t ặ ứ ộ ộ
M(x) = 2x3 – 5x + N(x) = – x4 + 2x2 – 8x + 6 P(x) = – 5x3 + 6x2 –
M(x) – N(x) + P(x) = x4 – 3x3 + 4x2 + 3x – 10
So v i cách tr trớ ước đây, cách tr có u m h ng t đ ngừ ể
d ng đạ ược x p vào c t d c, nh ng nhế ộ ọ ược m l n r t dể ấ ễ
nh m l n ti n hành thu g n h ng t đ ng d ng Ta tìm cách kh cầ ẫ ế ọ ắ
ph c nhụ ược m Nh n xét th y r ng: ể ậ ấ ằ
M(x) – N(x) = M(x) – (–x4 + 2x2 – 8x + 6)
(12)= M(x) + (x4 – 2x2 + 8x – 6) Ta ti n hành nh sau: ế
M(x) = 2x3 – 5x +
+ – N(x) = x4 – 2x2 + 8x – (đ i t ng d u h ng t c a N(x)) ổ ừ ấ ạ ử ủ P(x) = – 5x3 + 6x2 –
-M(x) – N(x) + P(x) = x4 – 3x3 + 4x2 + 3x – 10
II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ Câu Cho đa th c ứ
M x 5 3x 4x x ; N x 3x 2x 2x ; P x 8 5x 6x . Hãy tính:
a) M(x) – N(x) b) N(x) + P(x)
c) P(x) – M(x) d) N(x) – P(x) + M(x) Câu Cho đa th c ứ
4
P(x) x 3x x
2
Tìm đa th c ứ Q(x), R(x) cho: a) P(x) Q(x) x 5 2x2 1
b) P(x) R(x) x
§9 NGHI M C A ĐA TH C M T BI NỆ Ủ Ứ Ộ Ế I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
N u t i x = a, đa th c P(x) có giá tr b ng ta nói a (ho c x = a) m tế ứ ị ằ ặ ộ
nghi m c a đa th c đó.ệ ủ ứ
Ví d :ụ Cho đa th c M(x) = 2xứ 3 – 5x +
V i x = ta có: M(1) = 2.1ớ 3 – 5.1 + = – + = Nên x = m t nghi m c a đa th c M(x) ộ ệ ủ ứ
L u ý:ư
* M t đa th c (khác đa th c khơng) có th có m t nghi m, hai nghi m v.v…ộ ứ ứ ể ộ ệ ệ
ho c khơng có nghi m ặ ệ
* Người ta ch ng minh đứ ượ ằc r ng s nghi m c a m t đa th c (khác đaố ệ ủ ộ ứ
th c không) không vứ ượt q b c c a Ví d đa th c b c nh t ch có m tậ ủ ụ ứ ậ ấ ỉ ộ
nghi m, đa th c b c hai có khơng q hai nghi m v.v ệ ứ ậ ệ
Ví d 1:ụ x 3 nghi m c a đa th c sau đây: ệ ủ ứ
A x x 2x 3; B x x 2x 3? Gi i: ả
Ta có:
2
A 3 3 2 3 0 2
B 3 3 3 3 18
V y x = ậ 3 nghi m c a A(x).ệ ủ
(13)Gi i:ả
Cho P(x) 0 Hay 2x 0
2x
x :
x
V y ậ x 3 nghi m c a đa th c P(x).ệ ủ ứ II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
Câu Ki m tra xem ể x 1; x 3 có ph i m t nghi m c a đa th ộ ệ ủ ứ
Q(x) x 4x 3 khơng.
Câu Tìm nghi m c a đa th c: ệ ủ ứ
a) A x 3x 5 b) B x x c) C x 4x 8 d)
D x 5x
3
(14)PH N Ầ HÌNH H CỌ
CHƯƠNG III QUAN H GI A CÁC Y U T TRONG TAM GIÁC,Ệ Ữ Ế Ố CÁC ĐƯỜNG Đ NG QUY TRONG TAM GIÁC.Ồ
§1 QUAN H GI A GÓC VÀ C NH Đ I DI N TRONG M T TAM GIÁCỆ Ữ Ạ Ố Ệ Ộ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 Đ nh lý ị Trong m t tam giác, góc đ i di n v iộ ố ệ
c nh l n h n góc l n h n.ạ ớ
Trong tam giác ABC, n u AC > AB ế B C .
2 Đ nh lý ị Trong m t tam giác, c nh đ i di n v iộ ố ệ
góc l n h n c nh l n h n.ớ
Trong tam giác ABC, n u ế B C AC > AB. II BÀI T P V N D NG Ậ Ậ Ụ
Câu a) So sánh góc c a tam giác ABC, bi t r ng AB = cm, ủ ế ằ BC = cm, AC = cm
b) So sánh góc c a tam giác MNP, bi t r ng MN = 8cm, NP = cm,ủ ế ằ
MP = 10 cm
Câu a) So sánh c nh c a tam giác ABC, bi t ủ ế A 80 0 , B 40 0 b) So sánh c nh c a tam giác PQR, bi t ủ ế P 70 0 , R 50 0 §2 QUAN H GI A ĐỆ Ữ ƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN,
ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHI UẾ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 Quan h gi a đệ ữ ường vng góc đường xiên.
Đ nh lý 1.ị Trong đường xiên đường vng góc k t m t m m t đẻ ộ ể ộ ường th ng đ n đẳ ế ường th ng đó, đẳ ường vng góc đường ng n nh t.ắ ấ
AH a => AH < AC, AH < AD (V i C, D m b t kì thu c a)ớ ể ấ ộ
(15)Đ nh lý 2.ị Trong hai đường xiên k t m t m n m m t đẻ ộ ể ằ ộ ường th ng đ n đẳ ế ường th ng đó:ẳ
• Đường xiên có hình chi u l n h n l nế ớ
h n.ơ
AH a, HD > HC AD > AC.
• Đường xiên l n h n có hình chi u l ế
h n.ơ
AH a, AD > AC HD > HC.
• N u hai đế ường xiên b ng nthì hai hình chi u b ng vàằ ế ằ
ngượ ạc l i, n u hai hình chi u b ng hai đế ế ằ ường xiên b ng nhau.ằ
AB = AC HB = HC (hình vẽ). II BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
Câu a) Cho tam giác ABC có AB <AC K AH vng góc v i BC t i H Soẻ
sánh đ dài HB HC.ộ
b) Cho tam giác MNP có MN = cm, MP = cm K MK vng góc v iẻ
NP t i K So sánh đ dài KN KP.ạ ộ
Câu a) Cho tam giác ABC, m D n m gi a A C (BD khơng vng gócể ằ ữ
v i AC) G i E F chân đớ ọ ường vng góc k t A C đ n đẻ ế ường th ngẳ
BD So sánh AC v i t ng AE + CF.ớ ổ
b) Cho tam giác ABC, m M n m gi a B C G i H K chân cácể ằ ữ ọ
đường vng góc k t M đ n đẻ ế ường th ng AB AC So sánh BC t ng MHẳ ổ
+ MK
§3 QUAN H GI A BA C NH C A M T TAM GIÁC.Ệ Ữ Ạ Ủ Ộ B T Đ NG TH C TAM GIÁCẤ Ẳ Ứ
I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
Trong m t tam giác, đ dài c a m tộ ộ ủ ộ c nh bao gi cũngạ
l n h n giá trớ ị t đ i c a hi u nh h n t ngệ ố ủ ệ ỏ ổ đ dài c a hai c nh l i ộ ủ ạ
C th :ụ ể |AB - AC| < BC < AB + AC. II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
(16)a) B ba đ dài dộ ộ ưới có th t o thành đ dài c a c nh tam giác?ể ộ ủ
a) cm; 10 cm; 12 cm, b) m; m; m c) m; m; m
b) B ba đ dài dộ ộ ưới có th t o thành đ dài c a c nh tam giác?ể ộ ủ
a) cm; cm; cm b) m; m; m c) m; 10 m; 15 m
Câu Cho tam giác ABC, m M thu c c nh AB.ể ộ
a) So sánh MC v i AM + AC.ớ
b) Ch ng minh MB + MC < AB + AC.ứ
Câu Cho tam giác ABC, tia đ i c a tia AC l y m K.ố ủ ấ ể
a) So sánh AB v i KA + KB.ớ
b) Ch ng minh AB + AC < KB + KC.ứ
§4 TÍNH CH T BA ĐẤ ƯỜNG TRUNG TUY N TRONG TAM GIÁCẾ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 Đường trung n c a tam giácế ủ .
• Đo n th ng AM n i đ nh A c a tamạ ẳ ố ỉ ủ giác ABC v iớ
trung m M c a c nh.ể ủ BC g i đọ ường trung n c aế ủ
tam giác ABC
• M i tam giác có ba đỗ ường trung n.ế
2 Tính ch t ba đấ ường trang n c a tam giác.ế ủ Ba đường trung n c a m t tam giác điế ủ ộ
qua m t m.ộ ể
Đi m g i tr ng tâm c a tam giác đó, mể ọ ọ ủ ể
đó cách m i đ nh m t kho ng b ng ỗ ỉ ộ ả ằ
2
3 đ dài độ ường
trung n qua đ nh y.ế ỉ ấ
N u G tr ng tâm c a tam giác ABC ế ọ ủ
AG BG CG
AD BE CF 3
II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
(17)a) Tính t s ỉ ố
BG CG , BD CE
b) Ch ng minh BD + CE > ứ
3 2 BC
Câu Cho ABC vuông t i A, trung n AM Trên tia đ i c a tia MA l y mạ ế ố ủ ấ ể D cho MD = MA
a) Tính ABD .
b) Ch ng minh ứ ABD = BAC. c) Ch ng minh AM = ứ
1 2BC.
§5 TÍNH CH T TIA PHÂN GIÁC C A M T GÓCẤ Ủ Ộ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1.Đ nh lí thu nị ậ : Đi m n m tia phân giác c aể ằ ủ
m t góc cách đ u hai c nh c a góc đó.ộ ề ủ
2 Đ nh lí đ o: ị ả Đi m n m bên m t góc vàể ằ ộ
cách đ u hai c nh c a góc n m tia phân giác c aề ủ ằ ủ
góc
II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
Câu Cho ABC vuông t i A có AB = 3cm, AC = 6cm G i E trung m AC, tiaạ ọ ể phân giác c a ủ A c t BC t i D.ắ ạ
a) Tính BC
b) Ch ng minh: ứ BAD = EAD.
c) G i H, K l n lọ ầ ượt hình chi u c a D AB, AC Ch ng minh m Dế ủ ứ ể
cách đ u AB AC.ề
Câu Cho xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot l y m C b t kì L y A ấ ể ấ ấ Ox, B Oy cho OA = OB G i H giao m c a AB Ot ọ ể ủ
a) Ch ng minhứ CA = CB CO phân giác c a ủ ACB ;
b) Ch ng minh OC vng góc v i AB t i trung m c a AB;ứ ể ủ
(18)§6 TÍNH CH T BA ĐẤ ƯỜNG PHÂN GIÁC C A TAM GIÁCỦ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 Đ nh lí:ị Ba đường phân giác c a m t tamủ ộ
giác qua m t m Đi m cách đ u baộ ể ể ề
c nh c a tam giác đó.ạ ủ
C th : ụ ể
N u ế A 1A , B 1 B , C 1C ID IE IF
2 Tính ch t:ấ Trong m t tam giác cân, độ ường phân giác c a góc đ nh đ ng th i đủ ỉ ường trung n,ế
đường cao c a tam giác Ngủ ượ ạc l i, n u m t tam giácế ộ
có đường phân giác vẽ t m t đ nh đ ng th i đừ ộ ỉ ường trung n (ho c đế ặ ường cao) tam giác y tam giácấ
cân t i đ nh đó.ạ ỉ
C th :ụ ể
N uế ABC có AB = AC A 1A 2thì BD = DC
II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
Câu Tìm x m i hình vẽ sau bi t CI BI hai phân giác c a ỗ ế ủ ACB
ABC, EH FH hai phân giác c a ủ DEF DFE .
Câu 2. Cho tam giác ABC cân
t i A.ạ K tia phân giác BD,ẻ
CE L y M trung mấ ể
c a BC.ủ
a) Ch ng minh AM tiaứ
phân giác c a góc BAC.ủ
b) Ba đường th ng AM, BD,ẳ
CE đ ng quy t i H.ồ
c) Gi s có MN = MP = NP, tính t s ả ỉ ố
HM MK.
§7 TÍNH CH T ĐẤ ƯỜNG TRUNG TR C C A ĐO NỰ Ủ Ạ TH NGẲ
(19)1 Đ nh nghĩa đị ường trung tr c ự
Đường trung tr c c a m t đo n th ng đự ủ ộ ẳ ường th ng vng gócẳ v i đo n th ngớ ẳ
y t i trung m c a
ấ ể ủ
Trên hình vẽ bên, d đường trung tr c c a đo n th ng AB ự ủ ẳ Ta nói: A đ iố
x ng B qua d.ứ
2 Đ nh lí 1: ị Đi m n m để ằ ường trung tr c c a m t đo n th ng cách đ uự ủ ộ ẳ ề
hai mút c a đo n th ng đó.ủ ẳ
3 Đ nh lí 2:ị Đi m cách đ u hai mút c a m t đo n th ng n m để ề ủ ộ ẳ ằ ường trung tr c c a đo n th ng đó.ự ủ ẳ
MA = MB M thu c độ ường trung tr c c a AB ự ủ
* Nh n xét: ậ T p h p m cách đ u hai mút c a m t đo n th ng làậ ợ ể ề ủ ộ ẳ
đường trung tr c c a đo n th ng đó.ự ủ ẳ
II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
Câu Cho hai m A, B n m để ằ ường trung tr c c a đo n th ng MN, Ch ngự ủ ẳ ứ
minh MAB = NAB.
Câu Cho đo n th ng AB = cm Vẽ đạ ẳ ường tròn tâm A bán kính cm đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường trịn c t t i D, E Ch ng minh:ắ ứ
a) Đi m A thu c để ộ ường trung tr c c a DE;ự ủ
b) AB đường trung tr c c a DE;ự ủ
c) ADB = 90°.
Câu Cho ABC cân t i A, M trung m c a BC ME vng góc v i AB, MFạ ể ủ ớ vng góc v i AC Ch ng minh:ớ ứ
a) AM trung tr c c a c a BC;ự ủ ủ
b) ME = MF AM trung tr c c a EF;ự ủ
c) EF// BC
§8 TÍNH CH T BA ĐẤ ƯỜNG TRUNG TR C C A TAM GIÁCỰ Ủ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 Đ nh lí 1.ị Ba đường trung tr c c a m t tamự ủ ộ
giác qua m t m Đi m cách đ u ba đ nhộ ể ể ể ỉ
c a tam giác đó.ủ
(20)2 Đ nh lí 2.ị Trong m t tam giác cân, độ ường trung tr c c a c nh đáy đ ngự ủ
th i đờ ường trung n ng v i c nh đáy.ế ứ
II BÀI T P ÁP D NG.Ậ Ụ
Câu Cho ABC M trung m c a BC Các để ủ ường trung tr c c a AB ACự ủ c t t i O Tính s đo góc ắ ố OMB
Câu ChoABC nh n, O giao m hai đọ ể ường trung tr c c a AB AC Trênự ủ tia đ i c a tia OB l y m D cho OB = OD.ố ủ ấ ể
a) Ch ng minh O thu c đứ ộ ường trung tr c c a AD CD.ự ủ
b) Ch ng minh tam giác ABD, CBD vuông.ứ
c) Bi t ế ABC = 70° Tính s đo góc ố ADC
§9 TÍNH CH T BA ĐẤ ƯỜNG CAO C A TAM GIÁCỦ I TÓM T T LÝ THUY T.Ắ Ế
1 Đường cao c a tam giácủ
Đường cao c a tam giác đo n vng góc k tà m t đ nh đ n đủ ẻ ộ ỉ ế ường th ng ch a c nh đ i di n.ẳ ứ ố ệ
2 Tính ch t ba đấ ường cao c a tam giácủ
Ba đường cao c a m t tam giác qua m tủ ộ ộ
đi m Đi m g i tr c ể ể ọ ự
tâm c a tam giác.ủ
Trong hình vẽ AD, BE, CF đường cao, H tr cự
tâm c a tam giác ABC.ủ
3 V đề ường cao, trung n, trung tr c, phân giác c a tam giácế ự ủ cân
- Trong m t tam giác cân, độ ường cao ng v i c nhứ
đáy đ ng th i đồ ường phân giác, đường trung n,ế
đường trung tr c c a tam giác đó.ự ủ
- Trong m t tam giác, n u có hai b n lo iộ ế ố
đường (đường trung n, đế ường phân giác, đường trung tr c,đự ường cao) trùng tam giác tam giác cân
- Trong m t tam giác vuông, tr c tâm c a tam giácộ ự ủ
chính đ nh góc vng c a tam giác đó.ỉ ủ
(21)Câu Trong câu sau, câu đúng, câu sai? Cho MNP không vuông, H tr c tâm, đó:ự
a) M tr c tâm c a tam giác HNP;ự ủ
b) N tr c tâm c a tam giác MPH;ự ủ
c) P tr c tâm c a tam giác MHN;ự ủ
d) M tr c tâm c a tam giác MNP.ự ủ
Câu Cho tam giác ABC vuông t i A, k đạ ẻ ường phân giác BM Trên c nh BC l yạ ấ
đi m D cho BD = BA.ể
a) Ch ng minh BMứ AD.
b) G i H hình chi u vng góc c a D AC,K hình chi u vng góc c a Aọ ế ủ ế ủ
trên DM Ch ng minh ba đứ ường th ng AK, BM, DH đ ngẳ quy
Câu Cho tam giác ABC có BC c nh l n nh t G i I giao m đạ ấ ọ ể ường phân giác c a góc B góc C Trên c nh BC l n lủ ầ ượ ất l y m D, E cho CDể
= CA, BE = BA
a) Ch ng minh BI ứ AE CI AD.
b) G i M giao m c a BI AD, N giao m c a CI AE Ch ngọ ể ủ ể ủ ứ