Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - HSG toán

Phương pháp này thường dùng cho phương trình chứa nhiều dầu tuyệt đối... Vẽ hai đồ thị này trên mặt phẳng Oxy.[r]

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI A NHẮC LẠI LÝ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI



¿

A neáu A ≥0 − A neáu A <0

¿|A|={ ¿  |A − B|=|B− A|

 A A Dấu “=” A  0 

2 2

A A

 A  B A B Dấu “=” A.B  0

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI. I Phương pháp biến đổi tương đương.

Dạng :

|A|=|B|⇔ A=B

¿ A=− B

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Dạng2 : A B

+ Cách ( SGK lớp 8)

A A B A B

A A B  

 

    

   

    

+ Cách 2:

B A B A B

B

A B

   

    

   

   

+ Cách 3: Biến đổi thành phương trình hệ thử giá trị x vừa tìm để nhận nghiệm A B

A B

A B

     



Cách 4: 2

B A B

A B

    

 

Chú ý phương trình dạng mà bất phương trình A  khó giải ta giải cách Cịn hai bất phương trình A  B  khó giải ta giải cách 3.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x 4 x3 x 4 Giải :

3

3 x x x x

x x x x

                      

Giải ta nghiệm S0; 2; 2 Ví dụ 2; Giải phương trình sau:

3

x  x 4  x Giải:

(Ở bất phương trình x3 –x +  khó giải, nê ta giải cách 2)

3

x  x 4  x 4

3

3

x x x x

x x x x

                       

Giải ta nghiệm S0; 2; 2; 2 Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

3

x  x x   x Giải:

(Ở hai bất phương trình x3 –x -  x3 + x +  khó giải, nê ta giải cách 3)

3

x  x x    x  

3

3

x x x x

x x x x

              x x     

Thử lại ta nghiệm: x =

Ví dụ 4: Giải phương trình sau

2

x x 5x 7x 1 Giải:

2

2

2

x x 5x 7x x x 5x 7x

x x 5x 7x           

    

Lần lượt giải hai phương trình ta bốn nghiệm là:

3 13 22

x ; x

4

   

 

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

x  5x 4  x Giải:

 

2

2

2

x x 5x x

Giải ta hai nghiệm : x= 0; x =6

Ví dụ 6: Giải phương trình sau 2x2 8x 15 4x 1   Giải:

2

2 4x

2x 8x 15 4x 2x 8x 15 4x

2x 8x 15 4x

  

 

          



    



2

1

x 4 x

4 x

2x 4x 16 x x x 2

x x

2x 12x 14

 

 

 

 

 

     

         

 

        

Bài tập tương tự : Giải phương trình sau :

1 3x 4  x 2

2

3x   6 x

2

x  8x 2x 9   x2 5x x  26x 5 |x2− x −12|−3

=x |x2

+5x+6|=3x+13 x 1 2  

II Phương pháp chia khoảng

Phương pháp thường dùng cho phương trình chứa nhiều dầu tuyệt đối Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2+|x −1|−|2− x|+x=1 (1) Giải :

Ta chia khoảng đề bỏ dấu tuyệt đối sau x − ∞

+∞

x 1 1-x x-1 | x-1 x x-2 | 2-x 2-x Dựa vào bảng ta có:

* Khi x < (1) ⇔ x2 – x + –2 + x + x = 1

⇔ x2 + x – = ⇔ x = (loại) x = –2 (nhận) * Khi  x < (1) ⇔ x2 + x – –2 + x + x = 1

⇔ x2 + 3x – = ⇔ x = – (loại) x = (nhận) * Khi x  (1) ⇔ x2 + x – +2 – x + x = 1

⇔ x2 + x = ⇔ x = – (loại) x = (loại) Vậy PT cho có hai nghiệm x = -2; x =

Ta chia khoảng đề bỏ dấu tuyệt đối sau

x − ∞ +∞

x 1 1-x x-1 | x-1 x x-2 | 2-x 2-x * Khi x < (1) ⇔ x2 + – 2x + –3x + 2x – 10 = 0

⇔ x2 – 3x – = ⇔ x=3−√17

2 (nhaän)∨x=

3+√17

2 (loại) *Khi  x < (1) ⇔ x2 – + 2x + – 3x + 2x – 10 = 0

⇔ x2 + x – = ⇔ x = – (loại) x = (loại ) * Khi x  (1) ⇔ x2 – + 2x – + 3x + 2x – 10 = 0

⇔ x2 + 7x – 18 = ⇔ x = – (loại) x = (nhận)

Vậy PT cho có hai nghiệm : x = 2;

3 17 x

2   Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x2− x −42

|x −7| =x Giải:

x2− x −42 |x −7| =x⇔

(x −7)(x+6)

|x −7| =x (1) * Nếu x > (1) ⇔ x + = x vơ nghiệm

* Nếu x < (1) ⇔ –(x + 6) = x ⇔ 2x = –6 ⇔ x = – ( nhận) Vậy PT có nghiệm x = -3

Bài tập tương tự : Giải phương trình sau :

1

2

x 1 x  3x 2 2005 2005x  x 0  2 x2 x 1 0  

3

2

x x x

  

4 x x 02  

5 2x 3  x  x 2x 4  

3

x  x  x 2 2x 2x  x III.Phương pháp dùng đồ thị

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x x 1   x x x 2    Giải :

Đặt VT = y =  x x 1    x x x 2    Chia khoảng phương pháp ta rút gọn :

2x y

  

 



 

 



 



neáu x<1 -2 neáu -1 x<0 -2x-2 neáu x<1 4x-8 neáu x<2 0 neáu x

Ta vẽ đồ thị hàm số y sau:

Đồ thị đường thẳng y =0 (trục hồnh )

Có diểm chung hồnh độ -2 tia Dx ( x  2) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 x  2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm : x 1  x m 0   Giải:

x 1 x m 0    x 1  x 3 m

Ta đặt y = x 1  x 3 y=m Vẽ hai đồ thị mặt phẳng Oxy Căn vào đồ thị ta

Khi m > hai đồ thị cắt hai điểm,

Vậy m > phương trình cho có hai nghiệm

Bài tập tương tự : 1.Dùng đồ thị ,giải phương trình sau :

x 1 2  

2 Tìm m để PT sau có nhiều nghiệm:

4

4 y

x y   x   m IV Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

2

x 5x 2x 10x 11 x 5x 2x 10x 11 x 5x x( 5x 1) Đặt x2 – 5x +5 = t ta có phương trình :

t 2t 1 (* ) Vì VT  nên ĐK :

1 t

2  

Nên phương trình (*)  -t = -2t –  t = -1  x2 – 5x +5 = -1

Giải x =2; x =

Bài tập tương tự : Giải phương trình sau :

1

2

x 3  x 4 1

2

x 2x 3 3x  6x 3

V Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức tuyệt đối. Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

2

x  2014x 2013 x  2014x 2015 4028 Giải:

2

x  2014x 2013 x  2014x 2015 4028  4028=

2 2

x  2014x 2013  x  2014x 2015 x  2014x 2013  x 2014x 2015 

2

x  2014x 2013 x  2014x 2015 4028

 (x2 -2014x+2013)(- x2 +2014x+2015)   (x-1)(x-2013)(x+1)(x-2015)  0  -1  x  2013  x  2015.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x 1 2x 4 3x 9  4x 16 5x 25 15 0   Giải:

x 1 2x 4 3x 9 4x 16 5x 25 15 0  

 x 1 2x 4 3x 9 4 x 25 5x x 15   

Ta có VT  (x 1 ) ( 2x 4 ) ( 3x 9 ) ( x ) ( 25 5x ) 3 x 15 x 15     Từ suy phương trình có nghiệm x =4

Ví dụ 3: Tìm tất số ngun x thỏa mãn

15 100 995 999 2013

x  x  x  x  x 

Giải:

3

15 15

100 100

995 995

999 999

x x

x x

x x

x x

x x

   



  

 

  

 

  



   

 cộng bất đẳng thức được:

2013  x100 +2012  x100 1  x = -99; x = -100 , x= -101 Nhưng x = -100 thay vào PT 2013 = 2012 (loại) Vậy x = -99; x = -101