Chú ý: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng (tỉ đồng dạng bằng 1), nhưng hai tam giác đồng dạng thì không bằng nhau. Vậy tỉ số hai chu vi bằng k. Khăng định nào đúng? A.. Gọi E là trun[r]
(1)A'
C' B'
C B
A
N M
C B
A
CHỦ ĐỀ: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT: 1 Định nghĩa:
A’B’C’ ABC
µ' µ µ; ' µ µ; ' µ
' ' ' ' ' '
A A B B C C
A B A C B C
A B A C B C
Khi ABC A’B’C’ tỉ số hai cạnh tương ứng ' ' A B A B
gọi tỉ số đồng dạng 2 Tính chất:
a/ ABC ABC
b/ ABC A’B’C’ theo tỉ đồng dạng ' ' A B A B
= k A’B’C’ ABC theo tỉ số A B' '
A B k
c/ ABC A’B’C’ theo tỉ đồng dạng k1 A’B’C’ MNP theo tỉ đồng dạng k2 ABC MNP
theo tỉ đồng dạng k1 k2
Chú ý: Hai tam giác đồng dạng (tỉ đồng dạng 1), hai tam giác đồng dạng khơng
Định lí: ABC AMN có MN // BC AMN ABC Áp dụng:
Bài 1: CMR: Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số hai chu vi tỉ đồng dạng Giả sử ABC A’B’C’ theo tỉ đồng dạng
' ' A B A B
= k
Ta có
' ' ' ' ' '
A B B C A C
A B B C A C
= k, áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:
k =
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
A B B C A C A B A C B C
A B B C A C A B A C B C
Vậy tỉ số hai chu vi k
Bài 2: Cho ABC A’B’C’, biết AB = 3; BC = 5; CA = Cạnh nhỏ A’B’C’ 4,5 Hãy tính cạnh A’B’C’?
VìABC A’B’C’, ABC có cạnh nhỏ AB cạnh nhỏ A’B’C’ phải cạnh A’B’ A’B’ = 4,5
Ta có
' ' ' ' ' ' , ' ' ' '
A B B C A C
A B B C A C B C A C
B’C’ = (5 4,5) : = 7,5; A’C’ = (7 4,5) : = 10,5.
3/ Bài tập học sinh tự giải: Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Nếu ABC A’B’C’ theo tỉ số k A’B’C’ ABC theo tỉ số: A k B C
k
D 2k
Câu 2: Cho ABC, gọi M N trung điểm AB AC ABC AMN theo tỉ đồng dạng:
A k B C
2
D
Câu 3: Cho ABC A’B’C hai cạnh tương ứng AB = 8cm, A’B’ = 4cm hai tam giác giác đồng dạng với tỷ số đồng dạng bao nhiêu?
A B C
2
D 32
Câu 4: Cho ABC A’B’C hai cạnh tương ứng AB = 8cm, A’B’ = 4cm Gọi p1 p2 theo thứ tự
chu vi ABC vàA’B’C Khăng định đúng? A
2
2 p p
B
1 p p
C
1 p p
D
4 p p
Bài làm:
Câu 1 2 3 4
Trả lời Bài tập tự luận:
(2)A'
C' B'
C B
A
P N M
C B
A
A'
C' B'
C B
A
N M
C B
A
C D
B A
A'
C' B'
C B
A
N M
C B
A trường hợp sau: a/ A’B’ – AB = 10,8
b/ AB – A’B’ = 5,4
Bài 2: Cho ABC, M cạnh AB, vẽ MN // BC MD // AC (N cạnh AC D cạnh BC) Tìm tất cặp tam giác đồng dạng có hình?
Bài 3: Cho ABCD hình thang có AB // CD CD = 2AB Gọi E trung điểm CD Nối EA EB Tìm tất cặp tam giác đồng dạng có hình?
II CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC: 1/ Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c-c-c):
Nếu ABC A’B’C’ có A B' ' B C' ' A C' '
A B B C A C
thì A’B’C’ ABC Áp dụng:
Bài 1: Cho ABC , gọi M; N; P trung điểm AB; AC, BC Chứng minh: PNM ABC ABC có M; N; P trung điểm cạnh
MN; NP; MP đường trung bình
2
M N N P M P
B C A B A C
PNM ABC (c-c-c)
Bài 2: Hai tam giác có độ dài cạnh 4cm; 5cm; 6cm 12cm; 18cm; 15cm có đồng dạng khơng?
Ta có:
1
hai tam giác có độ dài cạnh cho đồng dạng 2/ Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c):
Nếu ABC A’B’C’ có µA' Aµ; A B' ' A C' '
A B A C
thì A’B’C’ ABC (c-g-c) Áp dụng:
Bài 1: Cho ABC có AB = 6cm, AC = 4cm Trên AB AC lấy M N cho: AM = 2cm AN = 3cm Chứng tỏ AMN ACB
Xét AMN ACB, ta có:
2 A M A N
A C A B
µA chung Vậy AMN ACB (c-g-c)
Bài 2: Cho ABCD hình thang (AB // CD) AB = 4cm; CD = 16cm, BD = 8cm Cm: B A D· ·D B C BC = 2AD Xét ABD BDC, ta có:
1 A B B D B D D C
·A B D ·B D C (slt, AB // CD) Vậy ABD BDC (c-g-c)
Suy ra: B A D· ·D B C (2 góc tương ứng) B C B D A D A B
= BC = 2AD 3/ Trường hợp góc – góc (g-g):
Nếu ABC A’B’C’ có µA' µ µA B; ' Bµ A’B’C’ ABC (g-g)
Áp dụng:
Bài 1: Cho ABC Trên AB lấy M, vẽ tia Mx cho ·A M x Cµ, Mx cắt AC N Cm: AM AB = AN AC
Xét AMN ACB có: µA chung, ·A M x Cµ AMN ACB (g-g) A M A N
A C A B
(3)1
D
D' A'
C' B'
C B
A
H A
C B
N M
K
D H
A
C B
Bài 2: Cho ABC A’B’C’có tỉ đồng dạng k Vẽ phân giác góc B cắt AC D phân giác góc B’ cắt A’C’ D’ Tính
' ' B D B D
theo k
Ta có: ABC A’B’C’ µA µ µA';B Bµ' µ µ'
2
B B
µ µ'
1
B B
Xét ABD A’B’D’ có: µ µ'
A A Bµ1 µB1' ABD A’B’D’ (g-g)
' ' ' '
B D A B
B D A B
= k
4/ Hệ quả:
4.1) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông: Hai tam giác vuông đồng dạng nếu:
+ Góc nhọn tam giác vng góc nhọn tam giác vng
+ Hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng + Cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng
4.2) Các tính chất bổ sung: Hai tam giác đồng dạng thì:
a/ tỉ số hai chu vi, tỉ số hai trung tuyến tương ứng, tỉ số hai phân giác tương ứng, tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ đồng dạng
b/ Tỉ số hai diện tích bình phương tỉ đồng dạng Áp dụng:
Bài 1: Cho ABC vuông A, vẽ đường cao AH Cm: a/ BAC BHA, từ suy AB2 = BH BC
b/ HBA HAC, từ suy AH2 = BH HC a) Xét BAC vuông A BHA vng H có:
µ
B chung BAC BHA A B B C
B H A B
AB2 = BH BC
b) Xét HBA HAC vng H có:
µ ·
B H A C (cùng phụ với Cµ) HBA HAC A H B H C H A H
AH2 = BH HC
Bài 2: (Bài tổng hợp) Cho ABC vuông A có AB = 12cm, AC = 16cm Vẽ đường cao AH a/ Chứng minh: HBA ABC b/ Tính BC, AH, BH
c/ Vẽ đường phân giác AD ABC (D BC) Tính BD, CD
d/ Trên AH lấy điểm K cho AK = 3,6cm Từ K kẽ đường thẳng song song với BC cắt AB AC M N Tính diện tích tứ giác BMNC
a) Xét HBA ABC có: Hµ µA = 900; µB chung HBA ABC (g-g)
b) Ta có: ABC vuông A (gt) BC2 = AB2 + AC2
BC = 2
A B A C = 22 1 62 4 0 cm Vì ABC vng A nên: SABC =
1
AH BC =
AB AC
AH BC = AB AC hay AH = A B A C B C
= ,
(cm)
HBA ABC H B B A A B B C
hay HB =
2
A B B C
=
2
1
7 , 2
(cm)
c) Ta có: B D A B C D A C
(t/c đường phân giác) B D A B
C D B D A B A C
hay
B D A B
B C A B A C
1
2 B D
BD =
2 ,
(4)Do đó:
2
2
3 ,
9 ,
A M N A B C
S A K
S A H
Mà: SABC =
1
AB AC =
.12.16 = 96 SAMN =
9
SABC =
9
96 = 13,5 (cm2) Vậy: SBMNC = SABC – SAMN = 96 – 13,5 = 82,5 (cm2)
5/ Bài tập học sinh tự giải: Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: ABC DEF Eµ = 700; Fµ = 300 số đo góc A bằng: A 800 B 700 C 300 D 1000
Câu 2: Cho ABC MNP, biết tỉ số cạnh nhỏ ABC cạnh nhỏ MNP
A B C M N P S S
bằng: A
B
cm2 C
D
cm2
Câu 3: Cho ABC, cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho AM AB = AN AC Khi khẳng định sau đúng?
A AMN BMN B.AMN CMN C. AMN ACB D AMN ABC Câu 4: Cho ABC A’B’C’ hai cạnh tương ứng AB = 8cm, A’B’ = 4cm Gọi AM A’M’ theo thứ tự đường trung tuyến ABC vàA’B’C Khẳng định đúng?
A
' ' A M A M
B
' '
A M A M
C
' '
A M A M
D
' ' A M A M
Câu 5: Cho ABC A’B’C hai cạnh tương ứng AB = 3cm, A’B’ = 6cm Gọi AH A’H’ theo thứ tự đường cao ABC và A’B’C Khẳng định đúng?
A
' ' A H A H
B
' '
A H A H
C
' '
A H A H
D
' ' A H A H
Câu 6: Cho ABC DEF có µA Dµ µB µE , AB = 8cm, DE = 6cm AC – DF = 3cm Vậy độ dài
AC bằng: A 12cm B 14cm C 16cm D 18cm
Câu7: Cho ∆A’B’C’ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng k = 2
3 Tỉ số chu vi hai tam giác đó: A
9 B
3 C
2 D Câu 8: Với hình sau, khẳng định đúng?
A ∆DEF ∆ABC B ∆PQR ∆EDF C ∆ABC ∆PQR D ABC DFE Câu 9: Cho ABC A’B’C’ Biết AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm, B’C’ = 5cm diện tích
A’B’C’ bằng: A 6cm2 B 12cm2 C 24cm2 D 4cm2
Câu 10: Cho ABC có µA = 900, AB = 3cm, AC = 4cm MNP có µN = 900, MP = 10cm, NM = 6cm, khẳng định đúng?
A ABC MNP B ABC PNM C ABC PMN D ABC NMP Bài làm:
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Trả lời Bài tập tự luận:
Bài 1: Cho ABC A’B’C’ Trên tia AB lấy M cho AM = A’B’ Vẽ MN // BC (N AC) Cm:
AMN = A’B’C’
(5)Bài 2: Cho ABC có M AB Vẽ ·A M N = ·A C B (N AC); BN cắt CM O Chứng minh: a/ AMN ACB b/ ABN ACM c/ OMB ONC d/ OMN OBC H.dẫn:
a/ Trường hợp (g-g)
b/ Từ câu a tỉ số AM AB = AN AC AM : AN = AC : AB µA chung đpcm c/ Từ câu b ·A B N = ·A C M góc đối đỉnh đpcm
d/ Từ câu c tỷ số ON : OC = OM : OB góc đối đỉnh đpcm Bài 3: Cho ABC nhọn Vẽ đường cao BH CK cắt I Cm:
a/ AHK ABC b/ IH IB = IK IC H.dẫn:
a/ Cm: AHB AKC (g-g) tỷ AH : AB = AK : AC µA chung đpcm b/ Cm: IBK ICH tỷ số tích
Bài 4: Cho ABC nhọn, đường cao AH Vẽ HI AB; HK AC Cm: AIK ABC H.dẫn:
+ Cm: AIH AHB tỷ số AI AB = AH2 + Cm: AKH AHC tỷ số AK AC = AH2
tích tỷ số µA chung đpcm
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Vẽ AH BC; AK CD Cm: AHK ABC H.dẫn:
+ Cm: AKD AHB (g-g) AK : AH = AD : AB AK : AH = BC : AB AK : BC = AH : AB (1) + H A K· = ·A B C (cùng bù với Cµ) (2)
Từ (1) (2) đpcm
Bài 6: Cho ABC với O nằm tam giác Gọi P, Q, R trung điểm OA, OB, OC a/ Cm: PQR ABC đồng dạng
b/ Biết chu vi ABC 543cm Tính chu vi PQR H.dẫn:
a/ dùng t/c đường trung bình tgiác, cm: PQ : AB = QR : BC = PR : AC =
PQR ABC (c-c-c)
b/ câu a
2
P Q Q R P R P Q Q R P R c h u v iP Q R A B B C A C A B B C A C
chu vi PQR
Bài 7: Cho ABC vng A Vẽ AD BC Phân giác góc B cắt AD F AC E Cm: F D E A F A E C
H.dẫn:
+ Dùng t/c đường phân giác ABD có FD : FA = BD : AB + Dùng t/c đường phân giác ABD có EA : EC = BA : BC + Cm: BDA BAC (g-g) BD : AB = BA : BC
+ Từ điều đpcm