Bài 5: Một nhóm học sinh định chia một số kẹo thành các phần quà cho các em nhỏ tại một đơn vị trẻ mồ côi.. Hỏi số kẹo mà nhóm học sinh này có.[r]
(1)KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO TRƯỜNG PTNK 2008 – 2009 TOÁN AB – 150 PHÚT Bài 1: Cho phương trình x + mx − 2m = ( 2m − 1) x + x + 2m (1) a) Giải phương trình m = b) Tìm tất các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Bài 2: a) Giải phương trình x − − x − = −1 ⎧2 x − x + y = xy b) Giải hệ phương trình ⎨ ⎩ x + xy = Bài 3: a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị cùa biến x ( x > 1) A= (x )( x x − 1) ( x − 1) ( x x + x + x )( x + 3) x + 4x + x b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + 2b − 3c = và bc + 2ac − 3ab = Chứng minh a =b = c Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp có góc A nhọn và hai đường chéo AC và BD vuông góc với M P là trung điểm CD, H là trực tâm tam giác ABD a) Tính tỷ số PM DH b) Gọi N, K là chân đường cao hạ từ B và D tam giác ABD, Q là giao điểm MK và BC Chứng minh MN = MQ c) Chứng minh tứ giác BQNK nội tiếp Bài 5: Một nhóm học sinh định chia số kẹo thành các phần quà cho các em nhỏ đơn vị trẻ mồ côi Nếu phần quà giảm viên thì các em có them phần quà, giảm 10 viên thì các em có them 10 phần quà Hỏi số kẹo mà nhóm học sinh này có Hướng dẫn giải Bài 1: a) Khi m = 1, phương trình (1) trở thành: x2 + x − = x + (2) x+2 Điều kiện x + ≠ ⇔ x ≠ −2 Với điều kiện trên ta có: ( 2) ⇔ x + x − = ( x + )( x + ) ⇔ x + x − = x + x + 12 ⇔ −7 x = 14 ⇔ x = −2 ( l ) Vậy phương trình vô nghiệm GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Lop10.com www.truonglang.wordpress.com (2) KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 x + mx − 2m = ( 2m − 1) x + (1) x + 2m Điều kiện x + 2m ≠ ⇔ x ≠ −2m Với điều kiện trên ta có: ( x + 2m )( x − m ) = 2m − x + ⇔ (1) ( ) x + 2m ⇔ x − m = ( 2m − 1) x + b) ⇔ ( 2m − ) x = − m − ( 3) Phương trình có nghiệm và phương phương trình (3) có nghiệm x ≠ −2m Với m = ta có : 0x = - , phương trình vô nghiệm −m − Ta có: 2m − −m − ≠ −2m ⇔ −m − ≠ −4m + 4m ≠ 2m − ⎧ ⎪m ≠ − ⇔ 4m − 5m − ≠ ⇔ ⎨ ⎪⎩m ≠ Vậy với m ≠ 1, m ≠ − và m ≠ thì phương trình (1) luôn có nghiệm Với m ≠ ta có x = Bài 2: a) x − − x − = −1 (1) ⎧ ⎧2 x − ≥ ⎪x ≥ ⇔⎨ Điều kiện ⎨ ⇔ x ≥ (*) ⎩x −1 ≥ ⎪⎩ x ≥ Với điều kiện trên ta có (1) ⇔ 2x −1 = x −1 −1 ⇒ x − = ( x − 1) − x − + ⇒ x −1 = 2x − ⇒ x −1 = x −1 ⇒ ( x − 1) = ( x − 1) ⎡x = ⇒⎢ ⎣x = Thử lại ta thấy: + x = không phải là nghiệm phương trình vì 2.1 − − − = ≠ −1 + x = là nghiệm phương trình (1) vì 2.5 − − − = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Lop10.com www.truonglang.wordpress.com (3) KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 Nhận xét: Có thể giải theo cách dùng phép biến đổi tương đương, sau lần bình phương hai vế ta phải đặt điều kiện, khá rắc rối Làm theo biến đổi suy thì ta phải có bước thử lại b) ⎧⎪2 x − x + y = xy ⎨ ⎪⎩ x + xy = Ta có (1) (1) ( 2) ⇔ x − x + y − xy = ⇔ ( x − y )( x − 1) = ⎡ x= ⎡2x − = ⎢ ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎣x − 2y = ⎣x = 2y Với x = 15 vào (2) ta tính y = ⇔ y=± ⇒x=± 2 ⎛ 2⎞ 2⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎛ Vậy phương trình có nghiệm ( x, y ) là ⎜ , ⎟ , ⎜⎜ 2, ⎟⎟ và ⎜⎜ − 2, − ⎟ ⎠ ⎟⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎝ Với x = 2y vào (2) ta có ( y ) + ( y ) y = ⇔ y = Bài 3: A )( x x − 1) ( x − 1) ( x x + x + x )( x + 3) ( x x + 3x + x + x )( x − 1)( x + = ( x − 1)( x + 1) x ( x + x + 1)( ⎡ x ( x + 3) + x ( x + 3)⎤ ⎦ =⎣ ( x + x )( x + 3) ( x + 3)( x + x ) = ( x + x )( x + 3) = (x x + 4x + x ) x + 3) x +1 =1 Vậy giá trị A không phụ thuộc vào biến x c) Ta có a + 2b − 3c = ⇒ a = 3c − 2b Suy bc + 2ac − 3ab = ⇔ bc + 2c ( 3c − 2b ) − 3b ( 3c − 2b ) = ⇔ 6c − 12bc + 6b = ⇔ (b − c ) = ⇔b=c GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Lop10.com www.truonglang.wordpress.com (4) KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 Từ b = c, suy a + 2b – 3c = 0, suy a + 2b – 3c = hay a = b Vậy a = b = c Bài 4: B C Q Mj K P H A N D a) Trong tam giác CMD vuông M có MP là trung tuyến nên ta có: MP = CD = PC ⇒ ΔPMC n = PMC n (1) cân P, suy PCM n = KBM n n + BKH n = 90o + 90o = 180o nên là tứ giác nội tiếp, suy Q MHD Tứ giác BMHK có BMH (2) n = MCP n (3) (tứ giác ABCD nội tiếp) Mặt khác ta có MBK n = CMP n mà hai góc này vị trí đồng vị nên ta có MP // HD Từ (1), (2) và (3) ta có MHD Trong tam giác CHD có MP // HD và P là trung điểm CD nên MP là đường trung bình, suy MP = HD và M là trung điểm CH Vậy PM = DH n = BAD n b) Tứ giác AKMD có n AKD = n AMD = 90o ⇒ AKMD là tứ giác nội tiếp BMK n = BMK n ( đối đỉnh) Mà ta có QMD n = BAD n (ABCD nội tiếp) Và QCD n = QMD n ⇒ MCQD nội tiếp Do đó QCD n + CMD n = 180o ⇒ CQD n = 180o − CMD n = 90o Suy CQD Tam giác BHC có BM là đường cao đồng thời là trung tuyến nên cân B, suy BM là phân giác góc HBD Suy tam giác BQD tam giác BND (cạnh huyền góc nhọn) Suy BQ = BN và DQ = DN Do đó BD là đường trung trực NQ mà M thuộc BD nên MQ = MN c) n = MNQ n (4) Tam giác MNQ cân M MQN GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Lop10.com www.truonglang.wordpress.com (5) KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 Ta có BD là đường trung trực MP nên BD vuông góc với MQ mà BD ⊥ AC , suy n ( 5) AMN = MNQ MQ//AC ⇒ n n (6) Ta có tứ giác ABMN là tứ giác nội tiếp, suy n ABN = KMN n = KMN n ⇒ tứ giác BQNK nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh Từ (4), (5) và (6) ta có MQN góc nhau) Bài 5: Gọi x ( viên) là số kẹo phần quà ban đầu Và y là số phần quà ban đầu Điều kiện (x, y nguyên dương, x lớn 10) Khi đó ta có xy là tổng số kẹo mà nhóm học sinh có xy là số phần quà sau giảm phần viên kẹo x−6 xy là số phần quà sau giảm phần 10 viên kẹo x − 10 Theo đề bài ta có hệ phương trình: ⎧ xy = y+5 ⎪⎪ x − ⎪⎧ xy = ( x − )( y + ) ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩ xy = ( x − 10 )( y + 10 ) ⎪ xy = y + 10 ⎪⎩ x − 10 ⎧ xy = xy − y + x − 30 ⇔⎨ ⎩ xy = xy − 10 y + 10 x − 100 ⎧5 x − y = 30 ⎧ x = 30 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩10 x − 10 y = 100 ⎩ y = 20 Vậy tổng số viên kẹo mà nhóm học sinh có là x.y = 20 30 = 600 viên GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Lop10.com www.truonglang.wordpress.com (6)