Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn tâm O; Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn tâm O tại điểm D khác điểm C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB.. CMR: tam gi[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TOÁN ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho các số sau là số chính phương: a n2 + 2n + 12 b n (n+3) c n + n + 1589 Gợi ý : a Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là số nguyên dương, nên ta có thể viết k n 11 k n (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k n Vậy n = * Các câu khác giải tương tự Bài 2: Cho A là số chính phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị thì ta số chính phương B Hãy tìm các số A và B Gợi ý: Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị thì ta có số B = (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) = m2 với k, m N và 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ 2 m – k = 1111 (m - k)(m+k) = 1111 (*) Xét các trường hợp, kết A = 2025 , B = 3136 Bài tập tương tự : a Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là số có chữ số giống b Tìm số có chữ số cho tích số đó với tổng các chữ số nó tổng lập phương các chữ số số đó Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình : 3xy + x - y = (3y + 1)(3x - 1) = (Phương trình ước số) Vì x, y là các số nguyên nên 3x - , 3y + là các số nguyên và là ước ta có bảng sau : 3x - -1 -2 3y + -2 -1 x / / y -1 / / Vậy nghiệm nguyên phương trình là : (0 ; -1), (1 ; 0) Bài tập dạng khác : a xy - x - y = b 11x + 18y = 120 c 1 x y Lop10.com (2) Bài : Cho a, b là các chữ số với a khác Chứng minh a abba chia hết cho 11 b ababab chia hết cho c aaabbb chia hết cho 37 d abcabc chia hết cho 7, 11 và 13 Hướng dẫn a abba 11(91a 10b) b ababab 7.1443.ab c aaabbb 37.3.(1000a b) d abcabc abc.1001 abc.7.11.13 (Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 5, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài : Tìm tất các số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số, kể từ chữ số thứ ba (tính từ trái sang phải) là tổng chữ số liền kề bên trái Gợi ý : Gọi a là chữ số hàng trăm ngàn (a > 0) và b là chữ số hàng chục ngàn số tự nhiên cần tìm Chữ số hàng ngàn là : a + b Chữ số hàng trăm là : a + 2b Chữ số hàng chục là : 2a + 3b Chữ số hàng đơn vị là : 3a + 5b Ta có 3a + 5b ≤ b ≤ 1, nên b = b = Lý luận đưa đến kết : 101123 ; 202246 ; 303369 ; 112358 Bài : Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức A 2008 x 2009 x Gợi ý : + Điều kiện để A có nghĩa : - 2008 ≤ x ≤ 2009 + Giá trị nhỏ : A = 4017 x = -2008 x = 2009 + Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski tìm Giá trị lớn A = 8034 x = Bài : x 1 x x 2 : 1 x 1 x 1 9x 1 x 1 Cho A = a Rút gọn A b Tìm x để A = c Tìm x để A < x 2 x x2 2x x 1 x x 1 Bài : Cho A = a Rút gọn A b CMR < x < thì A > Lop10.com (3) c Tính A x =3+2 d Tìm GTLN A x2 x x 1 : x x x x 1 x Bài : Cho A = a Rút gọn A b CMR x 0, x thì A > 0, x 1 x x x : với x 0, x x 1 x 1 x 1 x 1 Bài 10 : Cho A = a Rút gọn A b Tính A x = 0,36 c Tìm x Z để A Z Bài 11 : Tính A 2 12 18 128 Ta có : 18 128 (4 ) 2 12 12 ( 1) A 2( 1) ( 1) Bài 12 :Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm với m Đặt A 2x 12 x 22 5x x a Chứng minh A = 8m2 – 18m + b Tìm m cho A = 27 Tìm m cho nghiệm này hai lần nghiệm Gợi ý 2 ' Xét m 2m 1 m 2m m 1 m a A 2x12 x 22 5x1x 2x1 x 2 x1 x Theo viet ta có : b x x a 22m 92m 1 24m 18m 8m 18m x x c a điều phải chứng minh b, Tìm m để A = 27 chính là giải phương trình 4m2 – 9m – = Phương trình có hai nghiệm : m1 = , m2 = -3/4 3.Tìm m để x1 = 2x2 m1 = 3/2; m2 = 3/4 Bài 13 :Cho phương trình : x2 – (3m + 2)x + m2 = Với giá trị nào m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức : x2 – 3x1 = Gợi ý Phương trình có hai nghiệm phân biệt = (3m + 2)2 – 4m2 > (5m + 2)(m + 2) > Lop10.com (4) 5m 5m m m m m < –2 Theo định lý Vi-ét, và đề bài ta có : x1 x2 3m (1) (2) x1.x2 m x 3x (3) 3m 3(3m 2) = m2 4 Giải phương trình này ta có hai nghiệm m1 18 18 ; m1 (thỏa điều kiện) 11 11 Bài 14 : Cho phương trình 5x2 + mx – 28 = Tìm giá trị nào nguyên m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức : 3x1 – 5x2 = 20 Gợi ý : Vì a = > và c = – 28 < Phương trình có nghiệm phân biệt x1 và x2 với m Theo định lí Vi-ét, và giả thiết ta có m 28 (1) ; x1.x2 = (2) ; 3x1 – 5x2 = 20 (3) 5 20 m x1 3m 100 x2 40 x1 + x2 = thay x1 và x2 vào (2) ta có : 3m2+40m – 208 = Giải phương trình ta có hai nghiệm: m1 = ; m2 = 52 Do m là giá trị nguyên nên m = thỏa điều kiện đề bài Bài 15 : Cho phương trình x2 –12x + m2 + 4m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức : x1 x 22 Gợi ý : ’ = – m2 – 4m +30 giải phương trình – m2 – 4m +30 = ta m1 = –2 – 34 ; m2 = –2 + 34 để phương trình có hai nghiệm phân biết thì ’ > hay – m2 – 4m +30 > hay m2 + 4m –30 < –2 – 34 < m < –2 + 34 Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có : x1 + x2 = 12 (1) ; x1.x2 = m2 +4m +6 (2) ; x x12 (3) x1 = – ; x2 = -Với x1= – thay vào (3) ta có x2 = 16, thỏa phương trình (1) Lop10.com (5) Thay x1 và x2 vào (2) ta có m2 +4m +70 = (vô nghiệm) -Với x1= thay vào (3) ta có x2 = , thỏa phường trình (1) Thay x1 và x2 vào (2) ta có m2 +4m –21 = m1= –7 ; m2 = Thỏa điều kiện –2 – 34 < m < –2 + 34 Bài 16 : Cho phương trình : x2 – 4x + m = a Tìm m để tổng bình phương các nghiệm phương trình 26 b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn hệ thức : x13 x 32 5(x12 x 22 ) 26 Gợi ý : a Lập ’ = – m để phương trình có nghiệm thì ’ = – m ≥ m ≤ Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có : x1 + x2 = (1) ; x1.x2 = 4m (2) ; x12 x 22 26 (3) Tính m = –5 b x13 x 32 5(x12 x 22 ) 26 (x1 x )[(x1 x )2 3x1x ] 5[(x1 x )2 2x1x ] 26 4(16 3m) 5(16 2m) 26 m = – 21 thỏa điều kiện Bài 17 : Cho đường thẳng (d1) : y = (m2 – 1)x – m2 + ; (d2) : y = x + ; (d3) : y = –x + ; a Chứng minh với m, đường thẳng (d1) luôn qua điểm cố định b Với giá trị nào m thì (d1) // (d2) c Với giá trị nào m thì (d1) // (d3) d Với giá trị nào m thì đường thẳng (d1), (d2) và (d3) đồng quy ? (Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 59, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 18 : Cho đường thẳng (d1) : y = 2x + Viết phương trình đường thẳng (d2) biết (d2) song song với (d1) và tam giác tạo (d2) với các trục tọa độ có diện tích hai lần diện tích tam giác tạo (d1) với các trục tọa độ (Đáp án : (d2) : y x 2 y x 2 ) Bài 19 : Xác định đường thẳng (d) : y = ax + b biết (d) cắt đường thẳng y = 2x + điểm A có hoành độ và tung độ đối và (d) cắt đường thẳng y = - 4x + điểm B có tung độ gấp ba lần hoành độ (Đáp án : (d) : y = x + ) Bài 20 : Cho đường thẳng (d1) y = 1 (3 x 7) Viết phương trình đường thẳng (d2) đối xứng với đường thẳng (d1) qua trục hoành (Đáp án : y = (3 x 7) ) Lop10.com (6) Bài 21 : a) Chứng minh 1 với x, y > x y x y b) Áp dụng: Cho a, b, c là cạnh tam giác p là nửa chu vi Chứng minh : 1 1 1 2 p a p b p c a b c (Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 75, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 22 : Chứng minh với a, b, c ta có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Đẳng thức xảy nào ? (Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 75, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 23: Chứng minh các bất đẳng thức: a) c(a c) c(b c) ab (với a > c, b > c và c > 0) b) a b b a ab (với a 1, b 1) c) 1 abc (với a, b, c dương) a bc b ac c ab 2abc (Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 75, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 24 : Cho parabal : y = - x2 và đường thẳng (d) : y = ax + b Biết (d) cắt (P) hai điểm Avà B có hoành dộ -1 và a) Xác định tọa độ các điểm A và B b) Xác định hệ số a và b c) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ (Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 59, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) x2 Bài 25 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = có đồ thị (P) và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ là -4 và a).Vẽ (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB (P) (tương ứng hoàng độ x thuộc 4;2 ) cho tam giác MAB có diện tích lớn d) Tìm N trên trục Ox để AN + BN nhỏ (Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 60, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 26 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O Trên đoạn BC lấy điểm M, trên đoạn BA lấy điểm N, trên đoạn CA lấy điểm P cho BM = BN và CM = CP a) Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP b).Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp c).Tìm vị trí M; N; P cho độ dài đoạn NP nhỏ (Hướng dẫn : bài tập chủ đề 10 trang 124, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 27: Cho đường tròn tâm O và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC đường tròn tâm O; Tia phân giác góc ACB cắt đường tròn tâm O điểm D khác điểm C, lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn tâm O điểm K khác điểm B a) CMR: tam giác KAC cân Lop10.com (7) b).Chứng minh đường thẳng AI luôn qua điểm J cố định, từ đó hãy xác định vị trí A để độ dài AI là lớn c).Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AC Tìm tập hợp các điểm M A di động trên cung lớn BC đường tròn tâm O (Hướng dẫn : bài tập chủ đề 10 trang 125, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 28 :Cho hai đường tròn (O ; R) và đường tròn (O’ ; R/2) tiếp xúc ngoài A Trên đường tròn (O) lấy điểm B cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB Tia MA cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai là N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB Q và cắt đường tròn (O’) P a).Chứng minh hai tam giác OAM và O’AN đồng dạng b).Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M c).Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao? d).Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất; tính giá trị đó theo R (Hướng dẫn : bài tập chủ đề 10 trang 124, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”) Bài 29 :Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O (với D AB ; E AC; F BC là các tiếp điểm).M là điểm thay đổi trên cung nhỏ DE đường tròn (O) (M khác D và khác E) Tiếp tuyến (O) M cắt AB, AC H, K Chứng minh tam giác AHK có chu vi không đổi Gợi ý : Chứng minh chu vi tam giác AHK : AB + AC – BC không đổi Bài 30 : Cho tam giác ABC có góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm O Gọi K là giao điểm OA và BC Lấy điểm L trên cạnh AB cho KL = KB, điểm M trên cạnh AC cho KM = KC Chứng minh các đường thẳng BC và LM song song với Gợi ý : Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc O, K lên AB Chứng minh : LB MC Suy các đường thẳng BC và LM song song với AB AC Bài 31: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M là điểm trên cung nhỏ AC.Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE Chứng minh : MFEC nội tiếp AMP và FMQ đồng dạng PQM = 90o Gợi ý : 2).Ta có EFM và ABM đồng dạng AB AM FE MF ma AM = 2AP; FE = 2FQ (gt) AP AM AP AM và PAM= MFQ (suy từ EFM và FQ MF FQ FM ABM đồng dạng) Vậy: AMP và FMQ đồng dạng với 3).C/m : PQM=90o Lop10.com (8) Chứg minh MQP và AFM đồng dạng . MQP= AFM Mà AFM=1v MQP = 1v Bài 32 : Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu M lên AC và AB C/m: MOBK nội tiếp Tứ giác CKMH là hình vuông Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? Giới hạn quỹ tích, Gợi ý : 3) Điểm I chạy trên cung đường tròn đường kính OM HẾT Lop10.com (9)