Đang tải... (xem toàn văn)
Mô hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng thị trường của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ. Khi có mặt thị trư[r]
(1)1 | P a g e CHƯƠNG
ĐẠI CƯƠNG VỀ TỐN TÀI CHÍNH
1.1.Khái niệm, đối tượng ứng dụng Tốn tài 1.1.1 Khái niệm
Tốn tài mơn khoa học tính tốn tài phục vụ cho hoạt động kinh doanh đầu tư kinh tế Môn học cung cấp phương pháp, cơng cụ cho nhà quản trị tài trình quản trị doanh nghiệp cho nhà đầu tư kinh doanh thị trường chúng khốn, phân tích kinh doanh 1.1.2 Đối tượng
Đối tượng tốn tài tính tốn lãi suất, tiền lãi, giá trị tiền tệ theo thời gian, giá trị cơng cụ tài … Do vậy, tốn tài mơn học ứng dụng vào nghiệp vụ kinh doanh cụ thể
1.1.3 Ứng dụng tốn tài
Tốn tài ứng dụng chủ yếu lĩnh vực tài chính, ngân hàng Ngồi tốn tài cịn ứng dụng lĩnh vực: thẩm định dự án đầu tư, định giá tài sản, mua bán trả góp …
1.2 Các yếu tố toán tài 1.2.1 Thời gian
Thời gian dùng tốn tài khoảng thời gian dùng để tính toán tiền lãi việc sử dụng tiền xác định giá trị tiền tệ thang thời gian đầu tư
Cần ý để xác định thời gian tốn tài chính, người ta cịn quan tâm đến thời điểm Thời gian đầu tư dự án thường bao gồm nhiều chu kỳ thời gian nhỏ tương ứng với khoảng thời gian dùng để tính lãi theo quy định
Ví dụ 1.1 Nếu thời gian cho vay năm năm tính lãi lần thời gian cho vay phân thành 10 chu kỳ chu kỳ có độ dài tháng
1.2.2 Lãi tức lãi suất
1.2.2.1 Lãi tức (tiền lời) (Interest)
(2)2 | P a g e định Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, lãi tức số tiền chênh lệch dương giá trị thu vốn đầu tư ban đầu
Lãi tức xuất sau thời gian đầu tư định Nói cách khác, lãi tức kết tài cuối q trình đầu tư Số tiền lãi phụ thuộc vào: số vốn gốc; thời gian đầu tư; lãi suất; rủi ro
1.2.2.2 Lãi suất
Khi lãi tức biểu thị theo tỷ lệ phần trăm số vốn ban đầu cho đơn vị thời gian gọi lãi suất
Lãi suất thể quan hệ tỷ lệ lãi tức đơn vị thời gian với vốn gốc thời gian Lãi suất suất thu lợi vốn đơn vị thời gian
Ví dụ 1.2 Đầu tư 100 triệu đồng sau năm thu 112 triệu đồng Như sau năm nhà đầu tư lãi 12 triệu đồng lãi suất 12%/năm
12.000.000
12% 100%
100.000.000
1.2.2.3 Sự tương đương
Từ lãi suất thiết lập khái niệm tương đương Đó số tiền khác thời điểm khác nhau giá trị kinh tế
Ví dụ 1.3 Nếu lãi suất 12%/năm triệu đồng hơm tương đương với 1,12 triệu đồng sau năm
1.3 Các phép tính
Để tính tốn phép tính tốn tài người ta lập sẵn bảng tính giúp cho việc tính tốn dễ dàng Có nhiều bảng tính tài liệu ta xét bảng tính sau đây:
1.3.1 Bảng tính tài số
(3)3 | P a g e Công thức
1
1
n
n r
r
gọi thừa số giá hay giá trị hay thừa số chiết khấu
1.3.3 Bảng tính tài số
Cơng thức 1 n
r r
gọi thừa số giá trị tương lai chuỗi tiền tệ cố định phát sinh cuối kỳ
1.3.4 Bảng tính tài số
Cơng thức 1 n
r r
gọi thừa số giá chuỗi tiền tệ cố định phát sinh cuối kỳ
1.4 Sử dụng Excel Toán tài
Trong Excel có chứa nhiều hàm tốn tài chính; dùng hàm để giải phép tốn tài hữu hiệu Ở nghiên cứu số hàm thường sử dụng
1.4.1 Hàm FV
Hàm FV cho kết giá trị tương lai (giá trị cuối) chuỗi tiền tệ với lãi suất cố định
Cấu trúc hàm: FV(rate, nper, pmt, pv, type)
rate:lãi suất chu kỳ
nper: số chu kỳ
pmt: số tiền toán chu kỳ
pv: giá trị chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)
type: phương thức phát sinh chuỗi tiền tệ
o type=0 bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ
1.4.2 Hàm PV
Hàm PV cho kết giá trị (giá trị đầu) chuỗi tiền tệ với lãi suất cố định
(4)4 | P a g e
rate:lãi suất chu kỳ
nper: số chu kỳ
pmt: số tiền toán chu kỳ
fv: giá trị tương lai chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)
type: phương thức phát sinh chuỗi tiền tệ
o type=0 bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ
1.4.3 Hàm PMT
Hàm PMT cho kết số tiền phải toán định kỳ (kỳ khoản) chuỗi tiền tệ với lãi suất cố định biết giá trị PV hay FV
Cấu trúc hàm: PMT(rate, nper, pv, fv, type)
rate:lãi suất chu kỳ
nper: số chu kỳ
pv: giá trị chuỗi tiền tệ
fv: giá trị tương lai chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)
type: phương thức phát sinh chuỗi tiền tệ
o type=0 bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ
1.4.3 Hàm NPV
Hàm NPV cho kết giá trị ròng (hiện giá ròng) đầu tư với lãi suất không đổi
Cấu trúc hàm: NPV(rate, value1, value2, …, …, …)
rate:lãi suất chu kỳ
value1, value 2, …: khoản phát sinh (thu chi) cuối chu kỳ 1, 2, … 1.4.5 Hàm IRR
Cho kết lợi suất (tỷ suất hoàn vốn nội bộ) dự án đầu tư Cấu trúc hàm: IRR (value, guess)
value: dòng tiền dự án đầu tư
(5)5 | P a g e CHƯƠNG
ĐẠI SỐ TUYỂN TÍNH DÙNG TRONG TÀI CHÍNH
2.1 Định thức ma trận
2.1.1 Khái niệm ma trận Ma trận cấp m n
Một ma trận A cấp m n bảng gồm m n số a iij 1, ;m j1,n thành
m hàng, n cột dạng :
11 12 21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
Số aij gọi phần tử ma trận A Cụ thể, aij phần tử nằm dòng i cột j ma trận A; i số dòng, j số cột phần tử aij
Phần tử nằm dòng i cột j ma trận A cịn kí hiệu ( )A ij
Hai ma trận A B gọi nhau, ký hiệu A B chúng có cấp m n
và ( )A ij ( )B iji1, ;m j1,n Khi A B có phần tử hồn tồn vị trí
Khi m1, A gọi ma trận dòng
Khi n1, A gọi ma trận cột Ví dụ 2.1
4
A
ma trận cấp 3, có ( )A13 1,( )A 22 8
1
4
5
B
ma trận cấp 3 có ( )B 12 2,( )B 214,( )B 32 3
(6)6 | P a g e Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị A, kí hiệu At ma trận có từ A
bằng cách chuyển dòng A thành cột tương ứng At
Cho A( )aij m n ma trận cấp m n Khi
t
A ma trận cấp n m
Ví dụ 2.2
2
2
,
4
1
1
1
3
,
5
6 10 10
t
t
A A
B B
Chú ý: ( )At t A
Ma trận không Ma trận không cấp m n , kí hiệu Om n O cấp ma trận rõ ma trận cấp m n mà tất phần tử
Ví dụ 2.3 2 3 3 4
0 0 0 0
, 0 0
0 0
0 0
O O
Ma trận vuông Khi m n , ma trận A có số dịng số cột n gọi ma trận vng cấp n Kí hiệu A( ) aij n
Nếu A ma trận vuông cấp n, đường chứa phần tử a a11, 22, , ann gọi đường
chéo A, đường chứa phần tử a a1n, 2,n-1, , an1 gọi đường chéo phụ
Ví dụ 2.4
1 8
A
Ma trận tam giác Ma trận A vuông cấp n gọi ma trận tam giác (dưới) tất phần tử nằm phía (phía trên) đường chéo
Đường chéo phụ
(7)7 | P a g e Ví dụ 2.5
1
1
0
0 ;
0
0
0 0
A B
ma trận tam giác
3 0
;
1
2
C D
ma trận tam giác
Ma trận chéo Ma trận A vuông cấp n gọi ma trận chéo tất phần tử nằm đường chéo khơng
Ví dụ 2.6
1 0
,
0
0
A B
ma trận chéo
Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu In I ma trận vng cấp n có tất phần tử thuộc đường chéo 1, phần tử cịn lại
Ví dụ 2.7 2 3
1 0
,
0
0
I I
2.1.2 Các phép toán ma trận 2.1.2.1 Phép cộng hai ma trận
Cho hai ma trận cấp m n A( )aij m n ,B( )bij m n
Tổng A B, kí hiệu A B ma trận có cấp m n xác định : ij ij ij ij ij
(A B ) ( )A ( )B a b với i1, , ; m j 1, , n Ví dụ 2.8 9 10 12
4 10 11 12 10 11 12 14 16 18
Ví dụ 2.9 Cho
4
3 ; 11 13
7
A B
Tính A B
(8)8 | P a g e
4 6 10
3 11 13 18
7
A B
Chú ý: Hai ma trận cộng với chúng có cấp 2.1.2.2 Phép nhân số thực với ma trận
Cho A( )aij m n cấp m n số thực Tích A, kí hiệu A ma trận cấp
m n xác định (A)ij ( )A ij aij với i1, , ; m j1, , n
Ví dụ 2.10
3
2 12 ;
1 10
3 4
1 3
1 6 ;
4 12 15 18
1 5
Lưu ý: Khi 1 thay cho ( 1) A, ta viết A gọi ma trận đối A Ta định nghĩa A B A ( B) gọi A B A trừ B
2.1.2.3 Phép nhân hai ma trận
Cho ma trận A cấp m n , ma trận B cấp n p Khi tích A với B, kí hiệu AB ma trận có cấp m p xác định
ij
( ) ( ) ( ) , 1, , ; 1, ,
n
ik kj
k
AB A B i m j p
Ví dụ 2.11 Cho
1
,
3
3
A B
Ta có
1.1 2.2 ( 1).3 1.3 2.1 ( 1)( 1) 3.1 1.2 2.3 3.3 1.1 2.( 1) 11
AB
Chú ý
(9)9 | P a g e - Phần tử (AB)ij tổng tích phần tử dòng i A với phần tử tương ứng cột j B
- Nói chung, AB xác định BA khơng xác định Ngay AB, BA xác định nói chung AB BA
Ví dụ 2.12 Cho hai ma trận A, B ví dụ 11 ma trận 1
C
Ta có:
1.2 3.1 1.( 1) 3.0 10 5
2.2 1.1 2.( 1) 1.0 , 5
3.2 ( 1).1 3.( 1) ( 1).0 5
BC BA
Nhận xét: AC CB không xác định; AB BA
2.1.2.4 Lũy thừa ma trận vuông
Với ma trận A vuông cấp n số tụ nhiên p, ta định nghĩa:
1
( 1)
n
p p
A I
A A A p
Ta gọi p( )
A p lũy thừa bậcpcủa A
Ví dụ 2.13 Cho ma trận
A
Khi đó: 2
;
0 1
A
Tương tự: . 2. .
0 1
A A A A A A
2.1.3 Định thức
2.1.3.1 Định thức ma trận vuông Định thức cấp
Dòng i
(10)10 | P a g e Cho A a11 ma trận vuông cấp Định thức ma trận A, kí hiệu A
haydetA, gọi định thức cấp 1, số xác định sau detA a 11 Ví dụ 2.14 Cho A 4 ,B 7 Khi detA4 , detB 7
Định thức cấp
Cho 11 12 21 22
a a
A
a a
ma trận vuông cấp Định thức ma trận A, kí hiệu A
haydetAđược gọi định thức cấp 2, số xác định sau: 11 12
11 22 12 21 21 22
detA a a a a a a
a a
Ví dụ 2.15 2.5 4.3 2; 4.3 7.( 3) 33 3 Định thức cấp
Cho
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a
A a a a
a a a
ma trận vuông cấp Định thức ma trận A, kí hiệu
A haydetA gọi định thức cấp 3, số xác định sau: 11 12 13
11 22 33 12 23 31 13 21 32 21 22 23
11 23 32 12 21 33 13 22 31 31 32 33
( )
det
( )
a a a
a a a a a a a a a
A a a a
a a a a a a a a a
a a a
Để nhớ công thức người ta thường dùng quy tắc Sarrus
Quy tắc Sarrus
(11)11 | P a g e
1 2.( 1).7 4.3.5 1.4.8 (8.( 1).5 1.4.7 4.3.2) 66
6
1 6.2.5 ( 2).3.5 ( 1).4.8 (8.2.5 4.3.6 ( 1).( 2).5) 164
5
Định thức cấp n Phần bù đại số
Cho A ma trận vuông cấp n
11 12 21 22
1
n n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Gọi Mijlà ma trận nhận từ ma trận A cách bỏ dòng i cột j Số ( 1) deti j ij
M
gọi phần bù đại số phần tử aij, kí hiệu Aij
Định thức ma trận A gọi định thức cấp n, tính cơng thức
1 2
1
det i i i i in in n ij ij (1)
j
A a A a A a A a A
Hoặc
1 2
1
det (2)
n
j j j j nj nj ij ij
i
A a A a A a A a A
Công thức (1) gọi cơng thức khai triển định thức theo dịng i Cơng thức (2) gọi công thức khai triển định thức theo cột j
Ví dụ 2.17 Tính định thức ma trận
2 1
M
(12)12 | P a g e 2
det 1.( 1) ( 1).( 1) 3.( 1)
4 7
=(-1).(-4)+(-1).(-26)+3.(-1)(-12)=66
M
Khai triển theo cột
1 1 3
det 8.( 1) 3.( 1) 7.( 1)
5 1
=8.9+(-1).3.(-12)+7.(-6)=66
M
2.1.4 Các tính chất định thức (1) detAdetAt
(2) Định thức thỏa điều kiện sau: - Có dịng (hoặc cột)
- Có hai dịng (hoặc hai cột) giống tỷ lệ với
Ví dụ 2.18
1
13
2 14
(dòng dòng tỷ lệ)
(3) Nếu ta đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) định thức cho định thức đổi dấu
Ví dụ 2.19
3
1
4 10 10
(đổi chỗ dòng dòng cho nhau)
(4) Nếu ta nhân dòng (một cột) định thức với số định thức nhân với
det(A) ndetA
Ví dụ 2.20
3 7
3 15 10 10
(nhân dòng với 3)
(13)13 | P a g e Ví dụ 2.21
3 ( 2) 7
1 5 5
4 10 10 10 10
(6) Nếu ta nhân dòng (hoặc cột) định thức với số cộng vào dịng khác (cột khác) định thức khơng thay đổi
Ví dụ 2.22
3 16 11
1 5
4 10 10
(Nhân dòng với cộng vào dòng 1)
(7) Nếu A, B hai ma trận vng cấp n det(AB) det det A B
Chú ý: det( n) (det )n
A A
2.1.5 Một số phương pháp tính định thức
Phương pháp biến đổi đưa định thức dạng tam giác
Dùng tính chất định thức đưa định thức dạng tam giác Định thức tích số đường chéo
Ví dụ 2.23 Tính
2 1
M
Giải
Biến đổi đưa M dạng tam giác
2 3
2 4
1 1 3
5
5 7 13
d d d
M
d d d
3
1
2 2.1.( 3).( 11) 66 0 11
d d d
Ví dụ 2.24 Tính
1
2
3
2
N
(14)14 | P a g e Giải
3 4
1 2
3
2 3
3
2 0
d d d
N
d d d
2 3
1 2
0 1 1 1
2
0 0
0 0
d d d d d d
4
1
0 1
3 37
1.( 1).( 7) 37
0
7
37
0 0
7
d d d
Phương pháp khai triển định thức theo dịng cột
Ví dụ 2.25 Tính
1
2
3
2
N
Giải
Khai triển theo dòng 1:
1 1
1
1 3 1
1.( 1) 0.( 1) 2.( 1)
1 3
2
0.( 1)
2
N
Chú ý: Khai triển dòng hay cột có nhiều số Định thức ma trận tích
(15)15 | P a g e Ví dụ 2.26 Tính định thức
1 1
2 2
1
1 1
1 1
,( 2)
1 1
n n
n n n n
x y x y x y
x y x y x y
A n
x y x y x y
Giải Ta có: 1 2
1 1
1 0
1 0
0 0
1 0
0 0
n
n
x
y y y
x A x Do 1 2
2
1 1
1 0
1 0 0, ,
det 0
( )( ) ,
1 0
0 0
n
n
x
y y y
x n
A
x x y y n
x
2.1.6 Hạng ma trận 2.1.6.1 Định nghĩa Định thức
Cho A ma trận cấp m n Chọn phần tử nằm giao k dòng k cột A ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận vuông cấp k ta gọi
định thức cấp k A
Ví dụ 2.27 Cho ma trận
1
0
1 3
A
(16)16 | P a g e - Chọn phần tử nằm dòng1, dòng 3, cột cột ta định thức
1
định thức cấp ma trận A
- Chọn phần tử nằm dòng1, dòng 2, dòng 3, cột 1, cột cột ta định
thức
1
0 1
1
định thức cấp ma trận A
Hạng ma trận
Cho A ma trận cấp m n khác O Hạng ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) cấp cao định thức khác ma trận A
Vậy hạng A, rank(A)=r thỏa
(i) Tồn định thức cấp r khác A
(ii) Mọi định thức A cấp lớn r (nếu có) phải Quy ước : Nếu A=O r(A)=0
Ví dụ 2.28 Tìm hạng ma trận sau
1 2
0 ,
2 6
A B
Giải
A có định thức cấp khác 0, 1 0
Nhận thấy A có dịng đầu dịng cuối tỷ lệ, định thức cấp A Do A khơng có định thức cấp lớn nên ranh(A)=2
(17)17 | P a g e
0 2.1.6 0.2.5 0.0.1 5.1.1 0.0.6 2.0.2
Do rank (B)=3
2.1.6.2 Một số tính chất hạng ma trận
(1) Cho A ma trận cấp m n Khi 0rank A( ) min{ , } m n ; ( ) 0 ; ( ) 0 ;
rank A A O rank A A O
(2) Nếu A ma trận cấp m n có (ít nhất) định thức khác cấp r (0 r min{ , })m n rank A( )r
Đặc biệt, A có định thức khác khơng cấp r min{ , }m n ( ) min{ , }.
rank A m n Lúc ta bảo A có hạng cực đại
Trường hợp riêng, ma trận A vng cấp n có định thức detA0 rank A=n, tức A có hạng cực đại; cịn detA0 rank A<n,
(3) rank A( )t rankA.
2.1.6.3 Phương pháp tính hạng ma trận Các phép biến đổi sơ cấp ma trận
Ba phép biến đổi sau gọi ba phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận 1) Nhân dịng với số cộng vào dòng khác
2) Nhân dòng với số khác 3) Đổi chỗ hai dòng cho
Ma trận bậc thang (theo dòng )
Cho A ma trận khác không cấp m n A gọi ma trận bậc thang dịng thỏa mãn điều kiện sau:
(18)18 | P a g e (ii) Phần tử khác không kể từ trái qua phải dòng nằm bên phải cột chứa phần tử khác khơng dịng
Các phần tử khác không gọi phần tử đánh dấu A
Ví dụ 2.29 Cho
1 1 1
0 ; 0 ;
0 0 0 0 0
A B C
A, B, C ma trận bậc thang dòng
Các số ( )A11 1,( )A 23 1,( )A 34 5 gọi phần tử đánh dấu ma trận A Các số ( )B 11 1,( )B 23 1 gọi phần tử đánh dấu ma trận B
Các số ( )C 11 1,( )C 22 4,( )C 33 2gọi phần tử đánh dấu ma trận C * Phương pháp tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp
Định lý Các phép biến đổi sơ cấp dịng khơng làm thay đổi hạng ma trận Hạng ma trận bậc thang dịng số dịng khác
Do muốn tìm hạng A ta dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận bậc thang A’ Khi hạng A hạng A’ số dòng khác A’
Ví dụ 2.30 Tìm hạng ma trận
1 2
1
2
0 ,
3 2
2
1 3
A B
Giải
(19)19 | P a g e
3
1 3
0 1
2 0 0
d d d
A
Vậy r(A)=2
2
3
4
3 4
4
2
4
1 2 1 2
2
3 2 7
1 3
1 2 1 2
0 0
0 25 21
0 25 21
d d d d d d d d d
d d d d d d
d d d
B
8
0 25 21
0 0 0
Vậy r(B)=3
2.1.7 Ma trận nghịch đảo 2.1.7.1 Khái niệm
Cho A ma trận vuông cấp n Ma trận B vuông cấp n gọi ma trận nghịch đảo A
n
AB BA I
Ma trận nghịch đảo A kí hiệu A1 Ví dụ 2.31 Cho ma trận ;
1 1
A B
Khi ta có AB BA I 2 nên B A1. Tính chất
Nếu ma trận vng A B có ma trận nghịch đảo
1 1 1 1
(20)20 | P a g e Định lý
Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo detA0
Ma trận A có ma trận nghịch đảo ta gọi ma trận khả nghịch (khả đảo)
Ma trận A có detA0 gọi ma trận khơng suy biến Ví dụ 2.32 Ma trận
1
A
khả nghịch (theo ví dụ 1) ta thấy detA 1
Ma trận nghịch đảo A có
Thật : Giả sử B Blà hai ma trận nghịch đảo ma trận A, tức ;
n n
AB BA I ABB A I
Ta có BB I n B AB( ) ( B A B I B B ) n
2.1.7.3 Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo * Tìm ma trận nghịch đảo cách dùng định thức
Định lý
Cho A( )aij n ma trận vng cấp n Nếu A khả đảo
1 det A
A P
A
Trong
11 21
12 22
1
n n A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
với A phân bù đại số củaij a ij
PAgọi ma trận phụ hợp A
Ví dụ 2.33 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận
A
Giải
Tính detA: det 1.5 3.2
A Do A khả đảo Tìm PA
1 1
11 12
1 2
21 22
( 1) det 5 ( 1) det 2
( 1) det 3 ( 1) det 1
5
2
A
A A
A A
P
(21)21 | P a g e
1 5
2
( 1)
A
Ví dụ 2.34 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận
1
A
Giải Tính detA
detA1.5.8 2.3.1 2.0.3 (1.3.5 2.2.8 0.3.1) 1 Do A khả đảo TìmPA
1 1
11 12 13
2 2
21 22 23
3 3
31 32 33
5 3
( 1) 40; ( 1) 13; ( 1)
0 8
2 3
( 1) 16; ( 1) 5; ( 1)
0 8
2 3
( 1) 9; ( 1) 3; ( 1)
5 3
40 16
13
5
A
A A A
A A A
A A A
P
Do
1
40 16 40 16
1
13 13
det
5
A
A P
A
Ví dụ 2.35 Tìm ma trận nghịch đảo
1 11
1
B
(22)22 | P a g e 2
3
1 3
det 11
1 5
d d d
B
d d d
(định thức cuối có dịng dịng giống
nhau) Vậy B khơng khả nghịch
* Tìm ma trận nghịch đảo cách dùng phép biến đổi sơ cấp
Cho A ma trận vuông cấp n Để tìm ma trận nghịch đảo A ta thực bước sau :
- Bước 1: Lập ma trận A Inbằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trân đơn vị In - Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A Invề dạng I Bn
Nếu làm A khả nghịch A1 B. Chú ý:
Trong trình biến đổi khối bên trái xuất dịng A khơng khả nghịch
Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện khả đảo Ví dụ 2.36 Tìm ma tra trận nghịch đảo (nếu có)
1 2
) )
3
a A b B
Giải
a) Lập ma trận
2
1
A I
Biến đổi sơ cấp dòng A I2
2 1 2
2
1 1
0 1
d d d d d d
A I
Ma trận sau có dạng I B2 , A khả nghịc
A
(23)23 | P a g e
2
B I
Biến đổi sơ cấp dòng B I2
2 2
2
2 0
d d d
B I
Do khối bên trái xuất dịng khơng nên B khơng khả nghịch
Ví dụ 2.37 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có)
1
A
Giải
Lập ma trận A I3 Ta có
3
1 0 1 0
A I
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A I3về dạng I B3
2
3
2
1 0 0
2 0
1 0 1
d d d
d d d
A I
3 1
2
2
3
1 0 14
0 0 13
0 0
d d d d d d
d d d
3
1 2
1 0 40 16 0 40 16
0 13 13
0 0
d d
d d d
Do A khả nghịch
40 16
13
5
A
(24)24 | P a g e 2.2 Hệ phương trình tuyến tính
2.2.1 Khái niệm
Hệ phương trình tuyến tính tổng qt
Hệ phương trình tuyến tính (n ẩn, m phương trình) hệ có dạng 11 12 1
21 22 2
1 2
(1)
n n n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Trong a b iij, (i 1, , ;m j 1, , )n số thực cho trước 1, , ,2 n
x x x gọi ẩn số
ij( 1, , ; 1, , )
a i m j n gọi hệ số ( 1, , )
i
b i m gọi hệ số tự
Ma trận
11 12 21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
gọi ma trận hệ số hệ (1)
Ma trận m b b B b
gọi ma trận hệ số tự hay cột tự hệ (1)
Ma trận
11 12 1 21 22 2
1
n n
m m mn m
a a a b
a a a b
A A B
a a a b
gọi ma trận hệ số bổ sung hay ma trận
mở rộng hệ (1)
Ma trận n x x X x
(25)25 | P a g e Hệ (1) viết dạng ma trận AXB
Bộ n số ( , , , )x x1 2 xn gọi nghiệm hệ (1) ta thay chúng vào hệ (1) ta
được đẳng thức
Ví dụ 2.38 Cho hệ phương trình tuyến tính
1 4
1
2
3
2
x x x x
x x x
x x x
Ta có
1
1
1 , ,
2
x x
A B X
x x
2.2.2 Điều kiện tồn nghiệm Định lý Kronecker-Capelli
Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm rank A( )rank A( ) Hơn giả sử rank A( )rank A( )r (0 r min{ , }).m n Khi
- Nếu r n (n số ẩn) hệ (1) có nghiệm
- Nếu r n hệ (1) có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số Ví dụ 2.39 Các hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng
2 3
1 3
1 3
2
) )
2 2 11
x x x x x x
a x x b x x x x
x x x x x x x
Giải
Ta tìm hạng ma trận hệ số ma trận hệ số mở rộng tương ứng a) Ta có
1
0 1
1 2
2 2 2
d d
A A B
(26)26 | P a g e
3 3 2
1 1
0 1
0 0
d d d d d d
Vậy r A( ) 2 r A( ) 3 nên hệ cho vô nghiệm b)
3
2
3
2
1
2 1 1
1 11
1 2
0 7
0 0 0
d d d
d d d
d d d
A A B
Vậy r A( )r A( ) 2 hệ cho có nghiệm
2.2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử Phương pháp giải hệ tổng quát
Lập ma trận A Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A dạng bậc thang Nếu q trình biến đổi xuất dịng bên trái 0, bên phải khác Hệ vô nghiệm
Nếu đưa A dạng bậc thang ẩn ứng với cột chứa phần tử đánh dấu giữ lại làm ẩn, ẩn ứng với cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên phải làm tham số, sau giải phương trình ngược từ dịng đến dịng
Ví dụ 2.40 Giải hệ
1 4
1
2
1
2
3 2
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
Giải
(27)27 | P a g e
1 1 1
2 1
3 2
0 1 1
A
Biến đổi A
2
3
3 4
2
1 1 1 1 1
2 1 1 11
3 2 1 11
0 1 1 1 11
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
d d d
d d d
d d d
d d d
A
Từ ta hệ tương đương với hệ cho: 4
1
x x x x
x x x
1,
x x giữ lại làm ẩn chính,x x3, 4 chuyển qua phải làm tham số Ta có
1
2
1
2
1
2
x x x x
x x x
x
x x x
Vậy nghiệm hệ
1 ( , ) x
x a b
a b R
x a x b
(28)28 | P a g e
1 3
0
3
5
7 10
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
Giải
Ma trận hệ số mở rộng
1 1
3 1
5 1
7 1 10
A
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng A ma trận bậc thang
2
3
4
3
4
3
2
1 1 1 1
3 1 4 5
5 1 4
7 1 10 8 10 10
1 1
0 4 5
0 0
0 0 0
d d d
d d d
d d d
d d d
d d d
A
Suy rank A( ) 3 rank A( ) Do hệ vơ nghiệm 2.3 Các mơ hình tuyến tính kinh tế
2.3.1 Mơ hình cân đối liên ngành (Mơ hình Input-Output Leontief)
Mơ hình cịn gọi mơ hình I/O Nó đề cập đến việc xác định mức tổng cầu sản phẩm ngành sản xuất tổng thể kinh tế Trong khn khổ mơ hình, khái niệm ngành xem xét theo nghĩa túy sản xuất Các giả thiết sau đặt ra:
(29)29 | P a g e Các yếu tố đầu vào sản xuất phạm vi ngành sử dụng theo tỷ lệ cố định
Tổng cầu sản phẩm ngành bao gồm:
- Cầu trung gian từ phía nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm cho q trình sản xuất - Cầu cuối từ phía người sử dụng sử dụng loại sản phẩm để tiêu dùng xuất khẩu, bao gồm hộ gia đình, nhà nước, hang xuất
Giả sử kinh tế ngành gồm n ngành: ngành 1, ngành 2, …, ngành n ngồi cịn có phần khác kinh tế (gọi ngành kinh tế mở), khơng sản xuất hàng hóa n ngành mà tiêu dùng sản phẩm n ngành kinh tế Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu tất hàng hóa dạng giá trị, tức đo tiền (với giả thiết thị trường ổn định) Tổng cầu sản phẩm hàng hóa ngành i tính theo cơng thức:
1 (1); 1,2, ,
i i i in i
x x x x b i n
Trong
i
x tổng cầu hàng hóa ngành i;
ik
x giá trị hàng hóa ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian);
i
b giá trị hàng hóa ngành i cần tiêu dùng xuất (cầu cuối cùng); Biến đổi (1)
1
1
1
; 1,2, ,
i i in
i n i
n
x x x
x x x x b i n
x x x
Đặt ik , 1,2, , (2)
ik k
x
a i k n
x
Ta hệ phương trình (mơ hình Input-Output Liontief hay phương trình sản xuất): 11 12 1
2 21 22 2
1 2
n n n n
n n n nn n n
x a x a x a x b
x a x a x a x b
x a x a x a x b
(30)30 | P a g e 11 12 1
21 22 2
1 2 (1 )
(1 )
(3) (1 )
n n n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Dạng ma trận chúng X AX B hay (I A X ) B(3 )
Với
1
11 12
21 22 2
1
; ;
n n
n n nn n n
x x
a a a
a a a x x
A X B
a a a x x
A gọi ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật
X ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) B ma trận cuối
Từ công thức (2), phần tử aik A tỷ phần chi phí ngành k trả cho việc mua hàng hóa ngành i tính đơn vị giá trị hàng hóa ngành k (chi phí yếu tố đầu vào sản xuất)
Ví dụ 2.42 aik 0,2 nghĩa để sản xuất 1$ giá trị hàng hóa (tính bình qn), ngành k phải mua 0,2$ hàng hóa ngành i
Theo giả thiết ta có aik khơng đổi Ta gọi aik hệ số chi phí cho yếu tố sản xuất hay hệ số kĩ thuật, 0aik 1
Trong ma trận A, phần tử dòng i hệ số giá trị hàng hóa ngành i bán cho tất ngành làm hàng hóa trung gian (kể ngành i), cột k hệ số giá trị hàng hóa ngành k mua ngành để sử dụng cho sản xuất hàng hóa (kể ngành k) Tổng tất phần tử cột k mức chi phí ngành k phải trả cho việc mua yếu tố sản xuất 1$ giá trị hàng hóa ngồi ngành cịn sử dụng giá trị hàng hóa để tiêu dùng, đó:
1k 2k nk 1; 1,2, ,
(31)31 | P a g e Phương trình (3’) cho phép ta xác định tổng cầu hàng hóa tất ngành sản xuất, điều có ý nghĩa quan trọng việc lập kế hoạch sản xuất đảm bảo cho kinh tế vận hành trôi chảy, tránh dư thừa thiếu hụt hàng hóa
Định lý
Giả sử A ma trận hệ số đầu vào kinh tế B cầu cuối Nếu phần tử A B không âm tổng phần tử cột A nhỏ
1
(I A) tồn ma trận tổng cầu X (I A B )1
Ma trậnI A gọi ma trận Liontief hay ma trận hệ số cơng nghệ
Ví dụ 2.43 Giả sử kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật
0,2 0,3 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2
a) Giải thích ý nghĩa số 0,4 ma trận A
b) Cho biết mức cầu cuối hàng hóa ngành 1, 2, 10; 5; triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu ngành
Giải
a) Số 0,4 dòng thứ cột thứ ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa để sản xuất $ hàng hóa mình, ngành cần sử dụng 0,4$ hàng hóa ngành
b) Ta có
0,8 0,3 0,2 0,4 0,9 0,2 0,1 0,3 0,8
I A
0,66 0,30 0,24
0,34 0,62 0,24 0,384
0,21 0,27 0,60
I A
(32)32 | P a g e
10 24,84 0,66 0,30 0,24
1
0,34 0,62 0,24 20,68 0,384
0,21 0,27 0,60 18,36
X I A B
Như tổng cầu hàng hóa ngành 24,84; hàng hóa ngành 20,68; hàng hóa ngành 18,36 (triệu USD)
2.3.2 Mơ hình cân thu nhập quốc dân Xét mơ hình cho dạng
0
( )( 0,0 1) (1) ( 0,0 1)
Y C I G
C a b Y T a b
T d tY d t
Y tổng thu nhập quốc dân
C tiêu dùng dân cư
T thuế
I0 mức đầu tư cố định theo kế hoạch
G0 mức chi tiêu cố định phủ Biến đổi (1) ta có hệ phương trình ba ẩn
0
(2)
Y C I G
bY C bT a tY T d
Giải hệ (2) ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân
(33)33 | P a g e
15 0,4( )
36 0,1
o o
Y C I G C Y T
T Y
,
trong Io 500 mức đầu tư cố định; Go 20 mức chi tiêu cố định Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân
Giải Ta có
500 20 520
15 0,4( ) 0,1 36
36 0,1 520 15 0,4( 0,1 36)
Y C C Y
C Y T T Y
T Y Y Y Y
520 293,4375
0,1 36 117,34375
0,64 520,6 813,4375
C Y C
T Y T
Y Y
Vậy Y 813,4375 ; C 293,4375 ; T 117,34375
2.3.3 Mơ hình cân thị trường hàng hóa tiền tệ (mơ hình IS – LM)
Mơ hình IS-LM dùng để phân tích trạng thái cân thị trường kinh tế hai thị trường: thị trường hàng hóa thị trường tiền tệ
Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r Giả sử
1 ( ,1 0)
I a b r a b
Xét mơ hình cân thu nhập tiêu dùng dạng
0
1 1 Y=c+I+G (1)
I=a ( , (2)
( 0,0 1) (3)
b r a b
C a bY a b
(34)34 | P a g e 1
1
(1 ) (4)
Y a bY a b r G b r a a G b Y
Phương trình (4) biểu diễn quan hệ lãi suất thu nhập thị trường hàng hóa cân bằng, gọi phương trình IS
Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y lãi suất r Giả sử
2 ( ,2 0)
L a Y b r a b
Giả sử lượng cung tiền cố định M0 Điều kiện cân thị trường tiền tệ
0 2 2 (5)
M a Y b r b r a Y M
Phương trình (5) biểu diễn điều kiện cân thị trường tiền tệ gọi phương trình LM
Mơ hình IS-LM mơ hình gộp IS LM thành hệ thống IS
LM
Từ mơ hình mày xác định mức thu nhập Y lãi suất r đảm bảo cân hai thị trường hàng hóa tiền tệ
Chẳng hạn, giải hệ: 1
2
(1 )
b r a a G b Y b r a Y M
Ta tìm được:
1
1 2
1
1 2
( )
(1 )
( ) (1 )
(1 )
a a G b b M Y
b a b b
a a G a b M
r
b a b b
Ví dụ 2.45 Cho 250 ; 4500 ; 34 15
10 0,3 ; 22 200
G M I r
C Y L Y r
(35)35 | P a g e a) Lập phương trình IS
b) Lập phương trình LM
c) Tìm mức thu nhập lãi suất cân hai thị trường hàng hóa tiền tệ
Giải a) Ta có
0 (10 0,3 ) (34 15 ) 250
Y C I G Y Y r Vậy phương trình IS 15r 294 0,7 Y
b) Phương trình LM có dạng
0 22 200 4500 200 22 4500
L M Y r r Y c) Mức thu nhập Y lãi suất r cân nghiệm hệ phương trình
15 294 0,7 15(0,11 22,5) 294 0,7
200 22 4500 0,11 22,5
r Y Y Y
r Y r Y
2,35 631,5 268,72
0,11 22,5 7,06
Y Y
r Y r