Đề Khảo sát chất lượng giáo viên cấp THCS Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016-2017. Môn Toán

Câu 4 (3,0 điểm). Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .... Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong.. Chứng minh rằng.. a) Tam giác AKN và tam giác[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

 KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊNNĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN - CẤP THCS

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 

Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức

2

:

1 2

x x x x x

P

x x x x x x

       

      

     

   

a) Rút gọn biểu thức P. b) Chứng minh P1.

c) Tìm giá trị lớn P Câu (2,0 điểm)

a) Cho hệ phương trình  

3

1

2

x y m

x y m

  

 

  

 , x y ẩn, m tham số

Tìm tất giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm x y;  cho S x2 y2 đạt giá trị nhỏ

b) Tìm số thực x, y thỏa mãn (x1)22xy2y y 2 2x 3y 0. Câu (1,0 điểm).

Hai tổ làm công việc 15 xong Nếu tổ I làm tổ II làm họ làm 25% công việc Hỏi tổ làm riêng cơng việc xong? Biết suất tổ khơng thay đổi q trình làm việc

Câu (3,0 điểm)

Cho đường tròn O R; và dây cung cố định AB < 2R Gọi K điểm cung nhỏ AB; N điểm tùy ý đoạn thẳng AB (N khác A, B) Nối KN kéo dài cắt

O R; 

điểm thứ hai M Chứng minh

a) Tam giác AKN tam giác MKA đồng dạng

b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

c) Tổng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN tam giác BMN không phụ thuộc vào vị trí điểm N

Câu (1,0 điểm) Cho dãy số  an xác định

2 1, n n n ,

a  a   a  a  với n số nguyên dương Chứng minh số hạng dãy số  an số nguyên.

Hết

-Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC



KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2016 -2017

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN – CẤP THCS



Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức

2

:

1 2

x x x x x

P

x x x x x x

       

      

     

   

a)Rút gọn biểu thức P. b)Chứng minh P1.

c)Tìm giá trị lớn P

Nội dung Điểm

a) 1,00 Điều kiện:      x x 0,25

2

:

1 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x x x x

P

x x x x x x

       

       

     

    0,25

4 2

:

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x x x x x

x x x x

      



    0,25

1 x x x  

  Vậy

1 x P x x  

  0,25

b) 1,00 Với      x

x ta xét

1

-1=

2

x x

P

x x x x

  

 

    0,50

Do x  0 x 0 mà

3

2 0

2          x x x

x x  P  1 P1 0,50

c) 1,00

TH 1: Nếu 0  x 0 x    1 x 1 mà x+ x  2 P0 (1) 0,25

TH 2: x x     

1 1 4

1 1

1 1

x x x x

x x

P x x x x

     

          

   

0,25

Do x1 àv x4 nên x1 0

0 1 

x Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta được:

4 1

1 (2)

7 x P P x          

Từ (1) (2) ta suy P

0,25

Dấu “=” xảy

4

1

1

       



x x x

x Vậy max

1

9

P   x

Câu (2,0 điểm)

a) Cho hệ phương trình  

3

1

2

x y m

x y m

  

 

  

 , x y ẩn, m tham số

Tìm tất giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm x y;  cho S x2 y2 đạt giá trị nhỏ

b) Tìm số thực x, y thỏa mãn (x1)22xy2y y 2 2x 3y 0

Nội dung Điểm

a) 1,00

 

3

3

2 3

2

y x m

x y m

x x m m

x y m

  



  





 

    

  

 

0,25

1 x m y m

   

 

 0,25

Thay

x m y m

  

 

 vào biểu thức  

2

2 2 1 2 2 1

S x y m  m  m  m 0,25

2 1

2 2

2 2

S  m  m  m   

 

Vậy

1

2

S   m

0,25

b) 1,00

Điều kiện: 2x 3y 0(*)

PT  x22x 1 2xy2y y  2x 3y 0 0,25

2

( ) 2( ).1 3

( 1) 3

x y x y x y

x y x y

        

       0,25

Do

2

( 1)

2 3

x y x y

   

 

   



1

2 3

x y x y

   

 

   

0,25

1 x y

 

  



 Nghiệm phương trình (0; 1) . 0,25

Câu (1,0 điểm) Hai tổ làm cơng việc 15 xong Nếu tổ I làm trong tổ II làm họ làm 25% cơng việc Hỏi tổ làm riêng cơng việc xong? Biết suất tổ khơng thay đổi trong trình làm việc.

Nội dung Điểm

Gọi thời gian tổ I làm xong công việc x (giờ, x15)

Gọi thời gian tổ II làm xong cơng việc y (giờ, y15) Khi Năng suất tổ I

1

x (công việc)

Năng suất tổ II

y (công việc) Năng suất tổ

1

15 (công việc) hai tổ làm

1

x y (cơng việc) Theo ta có phương trình

1 1

15 x y  (1)

0,25

Trong tổ I làm

x (công việc) Trong tổ II làm

5

y (công việc)

Theo đầu tổ I làm giờ, tổ II làm 25% công việc =

(cơng việc) ta có hệ phương trình

1 1 15

4 x y x y 

  

 

   

 Đặt 1 u

x v

y 

       

0,25

1

24

15 24

1 40

1

40

u v u x

y v

u v

 

  

   

 

     

 

    

 

 

Vậy tổ I làm 24 tổ II làm 40 xong cơng việc

0,25

Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cố định AB < 2R Gọi K điểm cung nhỏ AB; N điểm tùy ý đoạn thẳng AB (N khác A, B) Nối KN kéo dài cắt (O) điểm thứ hai M Chứng minh

a) Tam giác AKN tam giác MKA đồng dạng

b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

c) Tổng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tam giác BMN khơng

phụ thuộc vào vị trí điểm N.

O2 Q L O1

P

M

K

O

A N B

a) 1,00

Ta có

   

2

KAN  sd KB sd KA AMK 0,50

Kết hợp với AKN AKM suy tam giác AKN đồng dạng với tam giác MKA. 0,50

b) 1,00

Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Ta có:

 

 

 

xAN AMN

xAN AMN KAN AMN

 



 



 



0,50 Do Ax, AK thuộc nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax trùng với AK Mà Ax tiếp

tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔAMN, suy đpcm 0,50

c) 1,00

Gọi L P Q, , trung điểm AB AN BN, , O O1, tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác AMN BMN, Khi ta có

    

1 1

1

AO P AO N AMN  AO PAMN (1)

0,25

Mặt khác

       2

2

KAL sd KB sd KAAMN  KALAMN Từ (1) (2) suy AO P1 KAL , kết hợp với  

0

1 90

APO ALK  suy tam giác

AO P đồng dạng với tam giác KAL.

0,25

Từ suy  

1

1

3

O A AP KA AP KA AN O A

KA KL  KL  KL Tương tự ta  

4

KB BQ KA BN O

KL KL

  

0,25

Từ (3) (4) suy  

2 2

KA AN KA BN KA KA

O A O AN BN AB

KL KL KL KL

      

Do A B K L, , , cố định nên O A O B1  không phụ thuộc vào vị trí điểm N

Câu (1,0 điểm) Cho dãy số  an xác định a11, an1 2an 3an2 ,với n là số nguyên dương Chứng minh số hạng dãy số  an số nguyên.

Nội dung Điểm

Chứng minh quy nạp ta an    1, n * Từ giả thiết ta

2 * *

1 0, ,

n n n n n n

a   a a  a    n   a  a  n  (1). 0,25

Ta có  

2 2 2 2

1

n n n n n n n

a   a  a   a   a a a   (2).

Trong (2) thay n n1 ta được

2

2 1

n n n n

a   a a  a    (3).

0,25 Từ (2) (3) ta

2

2 1

n n n n

a   a a  a   an21 4a an1 nan22

Suy an22 an2 4a an2 n1 4a an1 n

an2 an an2an 4an1an2 an (4)

Từ (1) (4) suy an2an 4an1, n * an2 4an1 an, n *(5)

0,25

Ta có a1 1,a2 3, kết hợp với (5) phương pháp quy nạp ta số hạng

của dãy số  an số nguyên.