Sau đây tôi xin nêu một phương pháp thường sử dụng, dựa vào việc kết hợp các phương pháp quen thuộc như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, hằng đẳng thức .... Phương pháp này dựa vào một [r]
(1)THAM KHẢO PHƯƠNG PHÁP HỐN VỊ VỊNG QUANH< Blog trước | Blog sau > 29/11/2007 19:42 | 13 Lượt xem | Lời bình
Phân tích thành nhân tử kĩ chương trình đại số bậc THCS Kĩ sử dụng giải toán : biến đổi đồng biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị Sách giáo khoa lớp giới thiệu nhiều phương pháp phân tích thành nhân tử Sau xin nêu phương pháp thường sử dụng, dựa vào việc kết hợp phương pháp quen thuộc đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, đẳng thức
Phương pháp dựa vào số nhận xét sau :
1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, a, b, c có vai trị biểu thức Nếu F(a, b, c) = a = b F(a, b, c) sẽ chứa nhân tử a - b, b - c c - a
Bài tốn : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
Nhận xét : Khi a = b ta có :
F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b
Tương tự F(a, b, c) chứa nhân tử b - c, c - a Vì F(a, b, c) biểu thức bậc ba, F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a)
Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : + = k.1.1.(-2) => k = -1
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a) Bài tốn : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)
Nhận xét : Tương tự toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa nhân tử a - b, b - c, c - a Nhưng F(a, b, c) biểu thức bậc bốn, (a - b)(b - c) (c - a) bậc ba, F(a, b, c) phải có thừa số bậc a, b, c Do vai trò a, b, c nên thừa số có dạng k(a + b + c) Do :
F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Cho a = ; b = ; c = => k = -1
(2)2/ Trong số toán, F(a, b, c) biểu thức đối xứng a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ a = b ta thử xem a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu khơng, thỏa mãn F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, từ chứa nhân tử b + c, c + a
Bài toán : Chứng minh :
Nếu : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn)
với số nguyên lẻ n
Nhận xét :
Từ giả thiết 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => : (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = (*)
Do ta thử phân tích biểu thức
F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử
Chú ý x = - y F(x, y, z) = - y2z + y2z = nên F(x, y, z) chứa nhân tử x
+ y Lập luận tương tự tốn 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z) Do (*) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) =
Tương đương với : x + y = y + z = z + x = Nếu x + y = chẳng hạn x = - y n lẻ nên xn = (-y)n = -yn
Vậy : 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn)
Tương tự cho trường hợp cịn lại, ta có đpcm
Có ta phải linh hoạt tình mà hai nguyên tắc không thỏa mãn :
Bài tốn :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz
Nhận xét : Ta thấy x = y hay x = -y F(x, y, z) ≠ Nhưng thay x = -(y + z) F(x, y, z) = nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx dư Do :
F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
Ta thêm bớt vào F(x, y, z) lượng 3x2y + 3xy2 để nhân kết
(3)Các bạn dùng phương pháp kết nêu để giải tập sau
Bài tốn : Tính tổng :
trong k = 1, 2, 3,
Bài toán : Chứng minh (a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5 chia hết cho 5(a - b)(b -
c)(c - a)
TS Lê Quốc Hán
(ĐH Vinh)
MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM ĐỘC ĐÁO Bằng kiến thức hình học lớp ta giải phương trình bậc hai ẩn khơng ? Câu trả lời trường hợp tổng qt khơng được, nhiều trường hợp ta tìm nghiệm dương
Ví dụ : Tìm nghiệm dương phương trình x2 + 10x = 39 Lời giải :
Ta có : x2 + 10x = 39
tương đương x2 + 2.5.x = 39
Từ biến đổi trên, ta hình dung x cạnh hình vng diện tích hình vng x2 Kéo dài cạnh hình vng thêm đơn vị (như hình vẽ), ta
dễ thấy :
Hình vng to có độ dài cạnh x + có diện tích 64 Do : (x + 5)2 = 64 = 82 tương đương x + = hay x =
Vậy phương trình có nghiệm dương x =
Phương pháp nhà toán học Italia tiếng Jerơm Cacđanơ (1501 - 1576) sử dụng tìm nghiệm dương phương trình x2 + 6x = 31
Các bạn tìm nghiệm dương phương trình x2 - 8x = 33 phương pháp
Blog trước Blog sau Lời bình