Đây là các dấu hiệu để ta nhận biết một tổng có phải là một khai triÓn theo nhÞ thøc Newton hay kh«ng.. Chắc các bạn đã có thể giải thích đ−ợc là do hai số hạng của nhị thức đều là 1 hoặ[r]
(1)PhÇn néi dung I KiÕn thøc c¬ së C«ng thøc nhÞ thøc Newton (a+b)n = n ∑C a k n n-k b k = C0n a n b0 + C1n a n-1b1 + + C nn a b n (1) k=0 C¸c tÝnh chÊt • Sè c¸c sè h¹ng cña khai triÓn b»ng n + • Tæng c¸c sè mò cña a vµ b mçi sè h¹ng cña khai triÓn lu«n b»ng sè mò cña nhÞ thøc (n - k) + k = n Sè mò cña a gi¶m dÇn tõ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n • Sè h¹ng tæng qu¸t Tk+1 = Cnk a n −k b k (§ã lµ sè h¹ng thø k + khai triÓn) • Các hệ số nhị thức cách số hạng đầu và cuối vì: Cnk = Cnn −k Mét sè khai triÓn hay sö dông n ∑C • 2n = (1+1)n = k n = Cn0 + Cn1 + + Cnn (2) k =0 • = (1-1)n = n ∑ (−1) C k k n = Cn0 - Cn1 + + (-1)n Cnn (3) k =0 • (1+x)n = n ∑C k n x k = Cn0 x + Cn1 x1 + + Cnn x n (4) k n x n − k = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn x (5) k =0 • (1+x)n = n ∑C k =0 • (1-x)n = n ∑ (−1) C k k n x k = Cn0 x - Cn1 x1 + + (-1)n Cnn x n (6) k n x n − k = Cn0 x n - Cn1 x n −1 + + (-1)n Cnn x (7) k =0 • (x-1)n = n ∑ (−1) C k k =0 Tam gi¸c Pascal Cã thÓ s¾p xÕp c¸c hÖ sè cña khai triÓn (1) thµnh mét tam gi¸c (gäi lµ tam gi¸c Pascal) Lop11.com (2) 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 21 35 35 21 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 II C¸c bµi to¸n tÝnh tæng Ta thÊy mçi sè h¹ng khai triÓn (1) cã thõa sè Mét thõa sè lµ Cnk , hai thừa số còn lại có dạng luỹ thừa Nếu hệ số là Cnk thì bậc a và b luôn có tổng n (khi đó n chính là số mũ nhị thức) Số mũ a giảm dần từ n đến 0, còn số mũ b tăng dần từ đến n và số l−ợng các số hạng là n + Đây là các dấu hiệu để ta nhận biết tổng có phải là khai triÓn theo nhÞ thøc Newton hay kh«ng Quan s¸t khai triÓn (3) vµ (4) ta thÊy mçi sè h¹ng chØ cã hai thõa sè, chø không phải là 3! Tại vậy? Rất đơn giản, vì hai số hạng nhị thøc lµ b»ng (ta biÕt r»ng 1k = ∀ k) L¹i quan s¸t khai triÓn (5) vµ (6), ta thÊy mçi sè h¹ng lóc nµy chØ cã mét thừa số là Cnk Chắc các bạn đã có thể giải thích đ−ợc là hai số hạng nhị thức là -1 Những nhận xét nho nhỏ này giúp các bạn có đ−ợc định h−ớng ban ®Çu cho lêi gi¶i cña bµi to¸n tÝnh tæng §Ó hiÓu râ h¬n ta ®i xem xÐt c¸c vÝ dô cô thÓ sau VD1: TÝnh c¸c tæng sau: • S1 = C100 210 + C101 2931 + C102 2832 + + C109 2139 + C1010 310 • S2 = C100 210 + C101 29 + C102 28 + + C109 21 + C1010 • S3 = C100 + C101 + C102 + + C109 + C1010 Rất nhanh chóng ta có thể đ−a đáp án vì các tổng này đáp ứng đủ các điều kiện khai triển nhị thức Newton Ta cã: + S1 = C100 21030 + C101 2931 + C102 2832 + + C109 2139 + C1010 20310 = (2+3)10 = 510 Lop11.com (3) + S2 = C100 210 + C101 29 + C102 28 + + C109 21 + C1010 = (1 + 2)10 = 310 + S3 = C100 + C101 + C102 + + C109 + C1010 = 210 Ch¼ng h¹n víi S1: Mçi sè h¹ng cã thõa sè, mét thõa sè lµ C10k , hai thõa sè cßn l¹i cã d¹ng luü thõa Các hệ số C10k liên tục từ C100 đến C1010 Tæng luü thõa cña vµ mçi sè h¹ng cña khai triÓn lu«n b»ng 10, bËc cña gi¶m dÇn tõ 10 tíi 0, ng−îc l¹i bËc cña t¨ng dÇn tõ tíi 10 Nh− S1 hội tụ đầy đủ các tính chất khai triển nhị thức Newton Do đó S1 = (2+3)10 = 510 T−¬ng tù nh− vËy cho S2 vµ S3 VD2: TÝnh c¸c tæng sau: • S4 = C100 21131 + C101 21032 + C102 2933 + + C109 22310 + C1010 21311 • S5 = C100 29 + C101 28 + C102 27 + + C109 20 + C1010 −1 B¹n quan s¸t kÜ c¸c tæng nµy vµ nhËn xÐt xem chóng cã g× kh¸c c¸c tæng ë VD1? V©ng, tæng S4 cã mét ®iÓm kh¸c biÖt víi tæng S1, lµ tæng sè mò cña vµ mçi sè h¹ng lu«n b»ng 12, chø kh«ng ph¶i lµ b»ng 10, c¸c hÖ sè l¹i lµ C10k ! (BËc cña gi¶m dÇn tõ 11 xuèng 1, bËc cña t¨ng dÇn tõ lªn 11, không phải là 10 xuống và từ lên 10) Vậy để có thể áp dụng đ−ợc công thức (1), bậc và số hạng phải đ−ợc giảm đơn vị Từ đó ta có: S4 = 2.3.( C100 21030 + C101 2931 + C102 2832 + + C109 2139 + C1010 20310 ) = (2+3)10 = 6.510 Nhận xét t−ơng tự cho S5, ta đến: 1 S5 = ( C100 210 + C101 29 + C102 28 + + C109 21 + C1010 ) = (1 + 2)10 = 310 2 VD3: TÝnh tæng: • S6 = C101 2931 + C102 2832 + + C109 2139 + C1010 310 B¹n cã nhËn xÐt g× cho S6? TÊt nhiªn råi, nã thiÕu mÊt sè h¹ng ®Çu tiªn C100 21030 VËy Lop11.com (4) S6 = 510 - C100 21030 = 510 - 210 VD4: TÝnh tæng: 2008 2008 2009 2009 • S7 = C2009 32009 − C2009 32008 41 + C2009 32007 42 − − C2009 + C2009 §iÒu ta thÊy lóc ®Çu tiªn ®©y lµ mét chuçi ®an dÊu! B¹n h·y tù nhận xét nh− với S1 nhé! Một câu hỏi đặt là S7 = (3 - 4)2009 hay S7 = (4 3)2009? Để trả lời câu hỏi này ta hãy tìm công thức số hạng tổng quát Ta cã: k k 32008− k k = C 2008 32008− k (−4)k Tk+1 = (−1)k C 2008 VËy S7 = 2009 ∑C k 2009 2009 32009− k ( −4)k = [3 + ( −4)] = (−1)2009 = −1 k =0 VD5: TÝnh tæng: 2008 2009 • S8 = C2009 32009 − C2009 32008 + C2009 32007 − + C2009 − C2009 2008 2008 2009 2009 • S9 = C2009 − C2009 31 + C2009 32 − + C2009 − C2009 §iÓm kh¸c biÖt gi÷a S8 vµ S9 lµ S8, sè mò cña gi¶m dÇn, cßn S9, sè mò cña t¨ng dÇn (NÕu lµ ng−êi míi b¾t ®Çu, b¹n h·y tù m×nh nªu c¸c nhËn xÐt t−¬ng tù nh− nhËn xÐt mµ t«i nªu c¸c VD ®Çu nhÐ).VËy víi S8, ta sÏ ¸p dông c«ng thøc (7), cßn víi S9, ta sÏ ¸p dông c«ng thøc (6) Ta cã: S8 = (3 - 1)2009 = 22009 S9 = (1 - 3)2009 = (-2)2009 = -22009 B¹n e ng¹i v× ph¶i nhí qu¸ nhiÒu c«ng thøc −? Lêi khuyªn cho mäi tr−êng hîp lµ b¹n h·y t×m c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t, nh− vËy ta chØ cần đến công thức (1) mà thôi Ch¼ng h¹n víi S8, c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t lµ: k k Tk+1 = (−1)k C 2009 32009− k = C 2009 32009− k (−1)k VËy S8 = 2009 ∑C k 2009 2009 32009− k (−1)k = [3 + ( −1)] = 2009 k =0 B¹n h·y thö søc b»ng c¸ch ¸p dông ph−¬ng ph¸p t×m c«ng thøc cña sè hạng tổng quát cho các chuỗi từ đầu đến xem nhé! Ta tiÕp tôc nµo! Lop11.com (5) VD6: TÝnh tæng: • S10 = C200 + C201 + C202 + + C209 B¹n cã nhËn xÐt g× vÒ tæng nµy? §óng vËy, S10 cã thÓ gäi lµ "nöa khai triển"! Vì số k C20k chạy từ đến 9, mà lẽ nó phải chạy từ đến 20! Víi d¹ng bµi tËp tÝnh tæng cña "nöa khai triÓn" nh− thÕ nµy, ta ph¶i gi¶i quyÕt nh− thÕ nµo? Ta đã biết các số Cnk có tính chất là Cnk = Cnn− k , thì ta có: = C2020 C20 C20 = C2019 11 C20 = C20 Suy 2S10 = C200 + C201 + C202 + + C209 + C2011 + C2012 + C2013 + + C2020 = ( C200 + C201 + C202 + + C209 + C2010 + C2011 + C2012 + C2013 + + C2020 ) 10 C20 = 220 - C2010 VËy 220 -C 1020 S10 = VD7: TÝnh c¸c tæng sau: 2006 2006 2008 2008 + C2008 22 + C2008 24 + + C2008 + C2008 • S11 = C2008 3 5 2005 2005 2007 2007 • S12 = C2008 + C2008 + C2008 + + C2008 + C2008 Có điều gì đặc biệt S11 và S12? Vâng, S11, các số k k C2008 là số chẵn, còn S12 là số lẻ Các tổng này còng lµ c¸c "nöa khai triÓn", nh−ng b¶n chÊt th× kh¸c h¼n víi S10! C¸ch gi¶i nh− sau: XÐt hai khai triÓn: 2007 2007 2008 2008 + C2008 21 + C2008 22 + + C2008 + C2008 (*) (1+2)2008 = C2008 2008 1 2 2007 2007 2008 2008 (1-2) = C2008 − C2008 + C2008 − − C2008 + C2008 (**) Céng tõng vÕ cña (*) vµ (**) ta ®−îc: 32008 + 2S11 = 32008 + ⇔ S11 = Trõ tõng vÕ cña (*) cho (**) ta ®−îc: 32008 − 2S12 = 32008 - ⇔ S12 = VD8: TÝnh tæng: • S13 = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 22 + + nCnn 2n −1 Lop11.com (6) • S14 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 21 + 4.3Cn4 22 + + n(n − 1)Cnn 2n −2 XÐt sè h¹ng thø k (ë ®©y chØ sè k b¾t ®Çu tõ nªn chØ sè k b»ng sè thø tù cña sè h¹ng): Tk = kCnk 2k −1 Tk cã ®iÒu g× kh¸c l¹? Tk còng cã thõa sè, nh−ng thõa sè ®Çu tiªn "k" l¹i kh«ng cã d¹ng luü thõa VËy nã kh«ng ph¶i lµ thõa sè c«ng thøc nhÞ thøc Newton VËy nã tõ ®©u mµ cã? Vấn đề đ−ợc giải sau đây XÐt hµm sè f(x) = (1 + x)n Ta cã: f'(x) = n(1 + x)n-1 ⇒ f'(2) = n3n-1 (*) MÆt kh¸c khai triÓn f(x) ta ®−îc: n f(x) = ∑C k n x k ⇒ f'(x) = k =0 n ∑ kC k n x k −1 ⇒ f'(2) = k =0 n ∑ kC k n 2k −1 (**) k =0 n-1 Tõ (*) vµ (**) suy S13 = n3 Bây thì ta đã có câu trả lời cho câu hỏi thừa số "k" Tk là đâu mà có Vâng, chính là ta đạo hàm xk mà Bạn hãy thử sức mình với S14 xem nhé (Gợi ý: Hãy đạo hàm f(x) tới cÊp 2) VD9: TÝnh tæng: • S15 = Cn0 21 + Cn1 22 + Cn2 23 + + Ta xÐt sè h¹ng tæng qu¸t Tk+1 = Cnn n +1 n +1 Cnk k +1 k +1 Thõa sè ®Çu tiªn kh«ng cã d¹ng lòy thõa, còng kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn, mµ l¹i cã d¹ng ph©n thøc Bµi to¸n sÏ gi¶i quyÕt theo h−íng nµo? k +1 XÐt hµm sè f(x) = (1 + x)n Nh−ng bây ta không đạo hàm, mà lấy tích phân f(x) từ đến 2 2 (1 + x)n +1 3n +1 − n = (*) Ta cã: ∫ f(x)dx = ∫ (1 + x) dx = n +1 n +1 0 n MÆt kh¸c f(x) = ∑C k n xk k =0 n x k +1 Suy ∫ f(x)dx = ∫ ∑ C x dx = ∑ ∫ C x dx = ∑ C =∑ C nk k +1 k + k =0 k + k =0 k =0 0 k =0 2 n k n k n k n k n k n (**) 3n +1 − Tõ (*) vµ (**) suy S15 = n +1 Bạn thắc mắc lại lấy cận tích phân là từ đến 2? Bạn hãy tự lí gi¶i xem sao? §Ó hiÓu s©u s¾c h¬n ta xÐt thªm mét vÝ dô n÷a sau ®©y Lop11.com (7) VD10: TÝnh tæng: 41 − 31 42 − 32 43 − 31 n +1 − 3n +1 + C 1n + C 2n + + C nn n +1 Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n nµy còng t−¬ng tù ph−¬ng ph¸p tÝnh tæng S15, nhiên cận tích phân bây là từ đến Víi c¸c tæng th−êng gÆp trªn ®©y, ¸p dông c¸c phÐp to¸n céng, trõ, nh©n, chia ta sÏ t¹o ®−îc c¸c tæng rÊt "l¹" Ch¼ng h¹n tÝnh tæng sau: S = Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 22 + + n2Cnn 2n−1 B¹n h·y lÊy S13 céng víi S14, kÕt qu¶ thu ®−îc chÝnh lµ S! • S16 = C 0n VD11: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: • S17 = C kn + C nk −1 • S18 = C nk + 2C nk −1 + C kn −2 • S19 = C nk + 3C nk −1 + 3C nk −2 + C kn −3 • S20 = C nk + 4C kn −1 + 6C nk −2 + 4C nk −3 + C nk −4 • S21 = C nk + 5C nk −1 + 10C kn −2 + 10C nk −3 + 5C nk −4 + C kn −5 Bạn có nhận xét gì các hệ số các biểu thức trên? Vâng, đó chính lµ c¸c sè tam gi¸c Pascal Do tÝnh chÊt cña c¸c sè C nk mµ ta cã S17 = C nk +1 Víi S18 ta thùc hiÖn nh− sau: S18 = ( C kn + C nk −1 ) + ( C nk −1 + C nk −2 ) = C nk +1 + C nk+−11 = C kn + Tức là ta đã "hạ cấp" S18, đ−a tổng hai tổng "cấp" thấp T−¬ng tù nh− thÕ víi S19, S20, S21 Vµ víi quy luËt nh− thÕ, ta cã thÓ "s¸ng t¸c" thªm rÊt nhiÒu nh÷ng tæng kh¸c Ch¼ng h¹n víi S19: S19 = ( C nk + 2C nk −1 + C kn −2 ) + ( C nk −1 + 2C nk −2 + C nk −3 ) = = C nk+3 ¸p dông c¸c phÐp to¸n cho c¸c tæng trªn, ta sÏ "chÕ biÕn" c¸c tæng mµ míi nh×n vµo, b¹n sÏ kh«ng biÕt ph¶i b¾t ®Çu nh− thÕ nµo LÊy vÝ dô, ta ®em S18 nh©n víi råi céng víi S19, ta ®−îc mét tæng míi lµ: S22 = 3C nk + 7C nk −1 + 5C nk −2 + C nk −3 §Ó tÝnh ®−îc S22 nµy, ta ph¶i t¸ch nã thµnh tæng cña c¸c chuçi cã tÝnh chÊt nh− S18, S19 Tæng qu¸t ho¸ lªn, ta ®−îc bµi to¸n nh− sau: VD12: Chøng minh r»ng: • C 0m C nk + C1m C nk −1 + C 2m C nk −2 + + C mm C nk − m = C km + n , víi m ≤ k ≤ n §Ó chøng minh ta xÐt ®a thøc f(x)=(1+x)m+n Ta cã: f(x) = m+n ∑C i i m+ n x i =0 HÖ sè cña xk khai triÓn lµ C mk + n MÆt kh¸c f(x) = (1 + x)m(1 + x)n Ta cã : Lop11.com (*) (8) (1 + x)m = Cm0 x + Cm1 x1 + + Cmm x m (1 + x)n = Cn0 x + Cn1 x1 + + Cnn x n Suy hÖ sè cña xk khai triÓn cña (1 + x)m(1 + x)n lµ: C 0m C nk + C1m C nk −1 + C 2m C kn −2 + + C mm C nk −m (**) Tõ (*) vµ (**) suy ®iÒu ph¶i chøng minh Bµi tËp t−¬ng tù: VD14: Chøng minh r»ng: • 2 (C ) + (C ) + (C ) o n n n 2 + + ( C nn ) = C 2n n Lop11.com (9)