* ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức ** rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức ** để tìm các hệ số A,B,C thông thường nên cho x bằng các nghiệm của gx để tìm các hệ số được dễ[r]
(1)HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 HƯỚNG DẪN ÔN THI TNTHPT NĂM 2009 (Ban bản) A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÀM SỐ Bài toán 1: Khảo sát hàm số 1.Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2 3ac / / / y cùng dấu với hệ số a y/ = có hai nghiệm KL: hàm số tăng trên? x1; x2 KL: hàm số tăng? (giảm trên?) Giảm? Hàm số không có cực trị Cực tri cực đại? Cực tiểu? + Bảng biến thiên: x + y/ + y + x + / y y + x + y/ + y a <+0 x1 + CĐ x + / y y CT ;f( 3a (cx d ) a c CĐ ax b x d / c cx d là tiệm cận ngang vì x + / y + + a/c y a/c lim ax b x cx d = = a c d/c + + Vẽ đồ thị : Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận x= d/ c 3a + Đạo hàm : y = +Bảng biến thiên : x d/c + / y y a/c + a/c Chú ý : dù y/ = có nghiệm kép việc xét dấu đúng + Vẽ đồ thị : xác đinh Cực trị ? b b Điểm uốn I( + TXĐ : D = y= x2 + cx d R\ d c ad bc / c CT x1 a>0 ; có CT a<0; có CT a>0,không CT a<0,không CT 2.Hàm phân thức : y = ax b ( c 0; ad bc ) adbc < adbc > / y < x D y/ > x D Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch Hàm số đồng biến biến trên D trên D d + Tiệm cận: x = là tiệm cận đứng vì lim x2 ; điểm đặc biệt x= d/ c + Giới (a 0) hạn: lim (ax3 bx cx d ) = x (a 0) (a 0) lim (ax bx cx d ) = x ( a 0) a>0 )) Lop11.com y= a/c y= a/c Trang (2) + Vẽ đồ thị : cực đại , cực tiểu ; y = > x= ? giải pt a> trùnga> phương b>0 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) a,b cùng dấu a, b trái dấu / y =0 x=0 y/ = 2x (2ax2 + b) = x= 0; x1,2= 2ba KL: tăng? Giảm KL: tăng? Giảm? Giá trị cực trị : Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( 2ba ) y(0) = c = có cực trị 4a Có cực trị + Giới hạn : lim (ax bx c) = x + Bảng biến thiên : x + c / y + y + + CT x + / y + y CĐ a>0 (a 0) (a 0) x x1 x2 + / ya < + + y+ CT CT + x x1 x2 + / y + y+ CĐ CĐ + b <0 a< b>0 a< b <0 Hàm hữu tỉ : 2/1 ax bx c ex f y= (đk : e ; tử không chia hết cho mẫu ) + TXĐ: D = R\ f e + Đạo hàm : y/ = ae.x / < y/ cùng dấu với ae Hàm số không có cực trị 2af x (bf ce) có / =(af)2 (bfc e).ae (e.x f ) / > y/ = có hai nghiệm x1; x2 Giá trị cực trị tính theo CT : y = 2ax b e 0 CĐ 0 + CT + Tiệm cận : x = f là e tiệm vì cận đứng Viết lại hàm số y = A x + B + (x); lim [ f ( x) ( Ax B )] = lim (x) =0 => y = x x a e lim f ( x) = x f e x + ( b af2 ) là t/c xiên e e + Bảng biến thiên : a.e > x f/e x x1 + x2 + / / y y + + + + y y CĐ + + a.e+<0 + Trang Lop11.com f/e CT (3) HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 x + y/ f/e + y + + Vẽ đồ Xiên thị Xiên x x1 x2 + y/ + y+ CĐ CT : ( hàm f/e + + phân thức ) Xiên đứng đứng đứng Xiên (ban không khảo sát hàm số này) Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến : Tiếp tuyến M(x0; f(x0)) có phương trình là : Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0) Tiếp tuyến qua(kẻ từ) điểm A(x1; y1) đồ thị h/s y =f(x) + Gọi k là hệ số góc đường thẳng (d) qua A Pt đường thẳng (d) là : y = k(x x1) + y1 + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là f(x) hệ phương trình : / k(x x1 ) y1 f (x) k (1) (2) có nghiệm Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a + giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc tiếp tuyến f/(x0) + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song : k1 = k2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị : + Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) = Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) + Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét tương giao đồ thị (C) với đồ thị y=M Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BXD (sắp cc nghiệm PT y/ = và giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y/ > thì hàm số tăng ; y/ < thì hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng Định lý (dùng để tìm gi trị m): a) f(x) tăng khoảng (a;b) thì f/(x) x (a;b) b) f(x) giảm khoảng (a;b) thì f/(x) x (a;b) Bi tốn 5: Cực trị hm số Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp cc nghiệm PT y/ = v gi trị khơng xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) Trang Lop11.com (4) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Ch ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trn (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = / 3) x0 l cực trị hm số y / ( x ) ( x )qua x0 ydấu đổi Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = ( có ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > thì hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < thì hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng qua các điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x) Dạng 2: Cực trị hàm hữu tỉ : Cho h/s y = Và y/ = u u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D v uv vu v = g(x) v dấu y/ là dấu g(x) Nếu h/s đạt cực trị x0 thì y/(x0)= => g(x0) = <=> u/vv/u =0 => u v u v Do đó giá trị cực trị y(x0) = u(x ) v(x ) Bi tốn 6: Gi trị lớn nhất, gi trị nhỏ Phương pháp tìm GTLN và GTNN h/s trên [a;b]: + Miền xét [a;b] + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) x1 , x2 … chọn cc nghiệm thuộc [a;b] + Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh KL + y(a) ; y(b) ? y ? [a;b] max y [a;b] P/pháp tìm GTLN GTNN h/s trên (a;b) MXĐ : + Miền xét (a;b) TXĐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BBT: * Nếu trên toàn miền xét h/s có CT thì GTNN giá trị CT y [a;b] yCT * Nếu trên toàn miền xét h/s có CĐ thì GTLN giá trị CĐ max y yCĐ [a;b] * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trn khoảng (a;b) Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền xét thì ta tìm TXĐ h/s đó : + TXĐ là đoạn [a;b]hoặc khoảng thì ta dùng cách + TXĐ là khoảng thì dùng cách Bài toán : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và đường cong) Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm (C1) và (C2) có là nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (1) pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung * Số nghiệm (1) l số giao điểm hai đường cong Điều kiện tiếp xúc : f (x) g(x) Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x) có nghiệm Bi tốn 8: Cách xác định tiệm cận : *Tiệm cận đứng : lim f (x) => x = x0 là tiệm cận đứng x x0 Chú ý : tìm x0 là điểm hàm số không xác định Trang Lop11.com (5) HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 *Tiệm cận ngang : lim f (x) y x => y = y0 là tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( có thể đưa dạng phân thức ) và bậc tử bậc mẫu thì có tiệm cận ngang * Tiệm cận xiên (ban không có phần này): Cách 1: + viết hàm số dạng : f(x) = ax + b + (x) lim [f(x) –(ax + b)] = lim (x) = y = ax + b là tiệm cận x x xiên Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; f (x) a lim x x ; b lim f (x) ax x y = ax + b là tiệm cận xiên Phần 2: Hm số mũ v logarit Bi tốn 1: Dng cơng thức tính cc biểu thức cĩ chứa hm số mũ hm số logarit an = an ; a0 =10 ; m n m an a ( m; n nguyên dương , n > 1) Các quy tắc: ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx a a x y a xy a b x a b x x a x a y y x a log a B x.y = < a, b : log c b log a b = log a b log c b log c a log b a Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x Hàm số Logarit: y = log a x với a > ; a TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R + a > ; h/s đồng biến : x1 > x2 > log a x1 > log a x2 + < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > log a x1 <log a x2 Bi tốn 2: Tính đạo hm cc hm số mũ v logrit (ex) / = ex > ( eu)/ = u/.eu ( ax) / = ax.lna > ( au)/ = u/.au.lna (lnx) / = x (logax) / = u x (0;+) > (lnu)/ = u u > (logau )/ = x ln a u ln a Bài toán3: giải phương trình mũ v logarit : Dạng bản: f (x) a = a g(x) f(x) = g(x) v(x) u = ( u 1 ).v(x) = ( đó u có chứa biến ) f (x) a = b ( với b > ) f(x) = log a b Hàm số mũ : y = a x với a > ; a TXĐ : D = R MGT : (0; + ) + a > ; h/s đồng biến : x1 > x2 a x1 > a x2 + < a < ; h/s nghịch biến : x1 > x2 a x1 < a x2 * Hm số logarit: = logaN a = N logax = b x= ab Đặc biệt : a loga x = x ; log a a x = x ; loga1 = Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > ; a ta có: log a (B.C) = log a B + log a C B log a = log a B log a C C log c a.log a b = f (x)hoặc 0 g(x) log a f(x) = log a g(x) f (x) g(x) log a f (x) b dạng: 0 a log u(x) v(x) =b f(x) = Công thức đổi số : với a , b , c > ; a , c ta có : b v(x) ; u(x) ; u(x) b v(x) u(x) Đặt ẩn phụ : a 2f (x) + a f (x) + = log a B a f (x) Đk t > f (x) Đk t > ; Đặt : t = a a b f (x) + a bf (x) + = ; Đặt : t = a Trang Lop11.com (6) a f (x) + bf (x) + = và a.b = 1; Đặt: t = f (x) a 2f (x) + a.b a f (x) a + b 2f (x) = ; Đặt t = b ; = bf (x) t f (x) Logarit hoá hai vế : Bi tốn 4: Giải bất phương trình mũ v logarit Dạng : 10 a f (x) > a g(x) f (x) g(x) a a f (x) g(x) f (x) >b Nếu b có nghiệm x Nếu b > f(x) > log a b a > f(x) < log a b < a < f (x) 30 a < b Nếu b thì pt vô nghiệm Nếu b > ; f(x) < log a b a > f(x) > log a b < a < log a f(x) > log a g(x) Đk: f(x) > ; g(x) > ; < a (a1)[ f(x) g(x) ] > log a f(x) > b * Nếu a > : bpt là f(x) > a b * Nếu < a < bpt là < f(x) < a b log a f(x) < b * Nếu a > : bpt là < f(x) < a b 20 a *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số Phần 3: Nguyên hàm Bài toán 1: Tìm nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số bản) dx x C x dx 1 + C ( - 1) dx x = lnx + C ( x x e dx = x a dx a = Cosx.dx Sinx.dx ex + C x ln a dx Cos x = (tg x 1).dx = dx Sin x dx = ax b a ax b .dx x lnax+ b + C a a .dx = = (Cotg x 1).dx = Cotgx eax+b + C a x b Cos(ax b).dx C ln a = a Sin(ax+ b) + C Sin(ax b).dx tgx +C = Sinx + C = Cos x + C - 1) e 0) * Nếu < a < bpt là f(x) > a b v(x) u(x) > u(x) > và [ u(x) 1 ].v(x) > u( x )v( x ) < u(x) > và [ u(x) 1 ].v(x) < Lưu ý: *) trường hợp có ẩn số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dang 10 a f (x) > a g(x) (a1)(f(x) g(x)) > 20 log a f(x) > log a g(x) (a1)(f(x) g(x)) > *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu hai hàm số trên x 1 (ax b) (ax b) dx C ( a( 1) = Cos(ax+ b) a +C dx Cos (ax b) dx Sin (ax b) = tg(ax+ b) + C a = Cotg(ax+ b) a +C Bài toán 2: Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Dạng 1: Tính I = f [u(x)].u '(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u '(x)dx I = f [u(x)].u '(x)dx f (t)dt Trang Lop11.com (7) HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 Dạng 2: Tính I = f (x)dx Nếu không tính theo dạng tích phân có chứa số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến sau: 2 a x ; a x a2 x2 ; a x2 thì đặt x = asint cos(ax+b).cos(cx+d)dx thì đặt x = atant Bài toán 3: Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I u(x).v '(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) phân tích các hàm số dễ phát u và dv @ Dạng sin ax f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức: ax e Đặt Sau đó thay vào công thức @ Dạng 2: udv uv vdu để tính f ( x ) ln( ax b )dx u ln( ax b ) du Đặt dv f ( x ) dx v Sau đó thay vào công thức e ax * Thực công thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân Dạng 2: sin n ax.cosmaxdx (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số còn lại là số chẵn thì ta dung công thức hạ bậc) *) n,m Z n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax t = cotax Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx và cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx Bài toán 5: Tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỷ Yêu cầu tính f (x) dx đó f(x), g(x) là các đa thức theo x u f ( x ) du f '( x ) dx sin ax sin ax dv cos ax dx v cosax dx ax ax e e @ Dạng 3: Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác (một số dạng bản) Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx g(x) Trường hợp 1: Bậc f(x) Bậc g(x) thì thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) h(x) r(x) Trong đó a.dx ax b g(x) f ( x ) dx udv uv vdu h(x) h(x) (thương phép chia) là đa thức còn r(x) (phần dư phép chia) là đa thức có bậc nhỏ bậc g(x) Nên ( f (x) )dx h(x)dx r(x) dx Như h(x)dx ta tích để tính g(x) sin ax cosax dx h(x) Ta thực phần hai lần với u = eax Trang Lop11.com (8) bảng nguyên hàm vì ta còn phải tính trường hợp sau Trường hợp 2: tính r(x) dx g(x) r(x) g(x) dx theo với bậc r(x) nhỏ bậc g(x) *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích các nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C (*) ( x1; x2 là 2 g(x) a(x 1).(x x ) (x x1) (x x ) a2 x2 ; Dạng 1: Tính I = b b b udv u.v a vdu a a phân tích các hàm số dễ phát u và dv (x x ) I= Dạng 2: Tính I = f (x)dx ; a x @ Dạng u f ( x ) du f '( x ) dx sin ax sin ax dv cos ax dx v cosax dx ax ax e e Đặt Sau đó thay vào công thức udv uv vdu để tính @ Dạng 2: f ( x ) ln( ax b )dx u ln( ax b ) du dv f ( x ) dx v Đặt Sau đó thay vào công thức a.dx ax b f ( x ) dx udv uv vdu để tính u(b) = f (t)dt @ Dạng 3: u(a) Nếu không tính theo dạng tích phân có chứa số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến sau: 2 a x sin ax f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức: ax e cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u '(x)dx Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b) b / f [u(x)]u dx a thì đặt x = atant Bài toán 3: Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I = nghiệm g(x) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau đó cho các giá trị x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x các nghiệm g(x) để tìm các hệ số dễ dàng) *) sau đó thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích thành tích các nhị thức Phần 4: Tích phân Bài toán 1: Tính tích phân cách sử dụng tính chất và nguyên hàm Bài toán 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b / f [u(x)]u dx a a x2 e ax sin ax cosax dx Ta thực phần hai lần với u = eax Bài toán 4: Tính tích phân các hàm số lượng giác (một số dạng bản) Dạng 1: thì đặt x = asint Trang Lop11.com sin(ax+b)sin(cx+d)dx ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx cos(ax+b).cos(cx+d)dx (9) HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 * Thực công thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân Dạng 2: sin n ax.cos m ax.dx Như h(x)dx R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx) thì ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx và cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx Bài toán 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỷ Yêu cầu tính f (x) dx g(x) đó f(x), g(x) là các đa thức theo x Trường hợp 1: Bậc f(x) Bậc g(x) thì thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) h(x) r(x) Trong đó g(x) h(x) h(x) (thương phép chia) là đa thức còn r(x) (phần dư phép chia) là đa thức có bậc nhỏ bậc g(x) Nên f (x) r(x) dx h(x)dx dx g(x) h(x) r(x) dx theo trường hợp sau g(x) tính r(x) dx với bậc r(x) nhỏ g(x) còn phải tính (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số còn lại là số chẵn thì ta dung công thức hạ bậc) *) n,m Z n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax t = cotax Dạng 3: ta tích bảng nguyên hàm vì ta Trường hợp 2: bậc g(x) *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích các nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C (*) ( x1; x2 là 2 g(x) a(x ).(x x ) (x x1 ) (x x ) (x x ) nghiệm g(x) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau đó cho các giá trị x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x các nghiệm g(x) để tìm các hệ số dễ dàng) *) sau đó thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích thành tích các nhị thức Bài toán 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối Tính b f (x) dx a +) Tìm nghiệm f(x) = Nếu f(x) = vô nghiệm trên (a;b) có có nghiệm không có nghiệm nào thuộc [a;b] có nghiệm x = a x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì b f (x) dx a = b f (x)dx a Nếu f(x) = có nghiệm x = c (a;b) thì b f (x) dx a = c b f (x)dx f (x)dx a c *Chú ý 1) Nếu có nhiều nghiệm trên (a;b) thì dung công thức trên tùy theo trường hợp nghiệm nào (cách làm này có lợi vì ta khôngcần xét dấu f(x)) Trang Lop11.com (10) 2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân Phần 5: Diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn :y haøm soá y f (x) lieân tuïc treân [a; b] trục hoành y 0; x a; x b b Dieän tích : S = | f (x) | dx a a b | f (x) g(x) | dx a Dieän tích : S = 3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a bi * z+ z = 2a; z z = z a b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i 7) z = c di 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i] x a bi b x [a;b] thì V = b n quanh truïc Ox vaø f(x) treâ x b f (x) dx a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường : haøm soá x f (y) lieân tuïc treân [c;d] quay truïc tung x 0;y c; y d [a;b] thì V = quanh truïc Oy vaø f(y) d f (y) dy c Phần 6: Số phức Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,… b 2a (nghiệm thực) Chuù yù : 1) Neáu thieáu caän a, b giaûi pt : f(x) = g(x) 2) Nếu bài toán qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng tính thông qua tổng hiệu nhiều hình Bài toán 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường : haøm soá y f (x) lieân tuïc treân [a; b] quay trục hoành y 0; x a; x b a b Bài toán 2: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với = b2 4ac Nếu = thì phương trình có nghiệp kép x1 x y=f(x) y=g(x) a 2) môđun số phức z a bi a b b Chuù yù : neáu thieáu caän a, b giaûi pt : f(x) = Hình phẳng giới hạn : y haøm soá y f (x) lieân tuïc treân [a; b] haøm soá y g(x) lieân tuïc treân [a; b] x a; x b Cho hai số phức a+bi và c+di 1) a+bi = c+di a = c; b = d b n treâ Nếu > thì phương trình có hai nghiệm thực: x Nếu < thì phương trình có hai nghiệm phức x b i 2a B HÌNH HỌC Phần 1: Thể tích, diện tích các khối hình Bài toán 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích toàn phần(Stp) khối nón,trụ,cầu Khối nón: Sxq = rl; Stp = r(r + l) Khối trụ: Sxq = 2rl; Stp = 2r(r + l) Khối cầu: S = 4r2 Bài toán 2: Tính thể tích các khối hình * Khối hình chóp V = Bh ; * Khối nón V = r 2h * Khối hình trụ V = x b 2a r2h ; * Khối cầu V = r3 * Khối lăng trụ: V= Bh Phần 2: Phương pháp tọa độ không gian a = x i + y j + z k a = (x;y;z) Tính chaát : Trang 10 Lop11.com Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3) (11) HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 a b =(a1 b1; a2 b2; a3 b3) a , b , c đồng phẳng [ a , b ] c = ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ a k = (ka1;ka2;ka3) kR diện ) là: ba véc tơ AB , AC , AD không đồng phẳng <=> [ AB , Tích vô hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos AC ] AD a1b1 a 2b a 3b3 2 Cos = 2AC2 (AB.AC) 2 2 2 Dieä n tích tam giaù c ABC : S = AB ABC a1 a a b1 b b3 a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = a b Hoặc SABC = [ AB , AC ] a cuøng phöông b ; a b = k a [ a , b ] = Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = [ AB , AC ] AD Toạ độ điểm: M = (x;y;z) OM = x i + y j + z k Theå tích hình hoäp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA Bài toán 1:Xaùc ñònh ñieåm , tọa độ vectơ khoâng gian , AB = ( xB xA ; yByA;zB zA) c/m tính chaát hình hoïc M chia đoạn AB theo tỉ số k1 ( MA = k MB ) x A k.x B Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc hai x M 1 k veùc tô : y A k.y B Thì M: yM Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích 1 k z A k.z B hình hộp, tứ diện: z M k Phần 3: Mặt cầu I laø trung ñieåm cuûa AB thì xA xB x M yA yB I: yM zA zB z M G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì x G (x A x B x C ) G: yG (yA yB yC ) zG (z A z B zC ) Tích có hướng véc tơ : [ a , b ] = a a ; b b3 b3 b1 b1 b a ;[ a , b ] b a a3 ; Bài toán 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu Phöông trình maët caàu taâm I(a;b;c) ; bk R laø : (x a)2 + (y b)2+ (zc )2 = R2 Phöông trình toång quaùt cuûa maët caàu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = với A2 + B2 + C2D > coù taâm I(A ;B;C) ; baùn kính R = A B2 C2 D Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu Pt.maët caàu (S) taâm I(a;b;c) vaø ñi qua M1(x1;y1;z1) + Baùn kính R = IM1 = (x1 a)2 (y1 b)2 (z1 c)2 Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : x x y y z z + Taâm I laø trung ñieåm AB => I( A B ; A B ; A B ) a a1 *[a ,b ] Đk đồng phẳng véc tơ : 2 + Baùn kính R = IA Trang 11 Lop11.com (12) Pt maët caàu (S) qua boán ñieåm A,B,C,D: p/ phaùp : Pt toång quaùt maët caàu (S) x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = (1) Thay toạ độ điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D Pt.maët caàu (S) taâm I(a;b;c) vaø tieáp xuùc maët phaúng () baùn kính R = d(I; ()) Bài toán 3: xác định vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng () : A x + B y + Cz +D = ; (S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2 Tính d(I; ()) = ? Nếu: d(I; ) > R <=> và S không có điểm chung ( rời nhau) d(I; ) = R <=> tiếp xúc với S ( là mp tiếp diện) () (S) =M0 ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : () qua M0 nhaän IM0 laøm VTPT d(I; ) < R <=> cắt mặt cầu (S) theo đường troøn (C) taâm H; baùn kính r * P.t ñ.troøn (C ) A x + B y + Cz +D = (x a)2 + (yb)2 + (zc)2= R2 + Taâm H laø hình chieáu cuûa I leân mp + baùn kính r = R [d(I ; )]2 Caùch xaùc ñònh H: + Laäp pt ñ thaúng (d) qua I nhaän laømVTCP (d) ñieåm H x a At y b Bt z c Ct n thay vào pt mp() => giải t => toạ độ Bài toán 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện điểm M0: +) Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) +) Tính IM0 +) Mặt phẳng tiếp diện () qua M0 nhaän IM0 laøm VTPT Bài toán 5: Xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao tuyến mặt cầu (S)và mặt phẳng() + baùn kính r = R [d(I ; )]2 Caùch xaùc ñònh H: + Laäp pt ñ thaúng (d) qua I nhaän (d) x a At y b Bt z c Ct n laømVTCP thay vào pt mp() => giải tìm t = ? => toạ độ ñieåm H Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng Bài toán 1: các viết phương trình mặt phẳng: * (ABC): +) tính AB ? ; AC ? +) VTPT (ABC) là n [AB, AC] => viết mặt phẳng qua A có VTPT n * (a,b) : a//b thì VTPT n [u a , AB] với A a; B b Nếu a cắt b thì n [u a , u b ] *(A;a) thì VTPT n [u a , AB] với B a * () //() thì VTPT n n * () a thì VTPT n u a * () có hai vectơ phương a, b thì n [a, b] *() qua điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a // a có VTCP a thì n [u a , AB] ( thay u a = a ) *() vuông góc hai mặt phẳng (P) và (Q) thì VTPT n [n P , n Q ] * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB +) Xác định trung điểm M đoạn thẳng AB +) Tính vectơ AB Mặt phẳng trung trực qua M có VTPT AB Trang 12 Lop11.com (13) HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 * () song song đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng thì n [n , u a ] * () chứa đ.thẳng (D) và () +) chọn M trên đ.thẳng (D) +) VTPT () là n [u D , n ] * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/) +) chọn M trên đ.thẳng (d) +) VTPT () là n P [u d , u d ] => Viết PT mp(P) qua M và có VTPT n P [u d , u d ] Bài toán viết phương trình đường thẳng * qua điểm A và có VTCP u * qua điểm A và B => qua A có VTCP AB * qua A và // (D) => qua A có VTCP u D * qua A và () thì qua A có VTCP là n * là giao tuyến hai mặt phẳng () và () thì +) VCTP là u [n , n ] +) Cho ẩn giải hệ ẩn còn lại tìm điểm M? => qua M có VTCP là u [n , n ] u [n , n ] * là hình chiếu đ.thẳng (D) lên mp () *) Viết phương trình mp(P) chứa (D) và vuông góc mp() +) chọn M trên đ.thẳng (D) +) VTPT () là n P [u D , n ] * ) VTCP là u [n P , n ] * ) cho ẩn x = giải hệ gồm ẩn y và z PT hai mặt phẳng (P) và ()=> M? => qua M có VTCP u [n P , n ] * Cách viết phương trình đường cao AH ABC +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) là n [BC, AC] = ? +) Tìm tọa độ VTCP đường cao AH là: u [BC, n] = ? => Viết PT đường cao AH qua A có VTCP u [BC, n] / * Cách viết phương trình đường trung trực cạnh BC ABC +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) là n [BC, AC] = ? +) Tìm tọa độ VTCP trung trực là: u [BC, n] = ? +) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC => Đường trung trực cạnh BC ABC là đường thẳng qua M có VTCP u [BC, n] i toán 3: tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng * Tìm hình chiếu H M lên () +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là n / +) giải hệ gồm PTmp() PT(D) +) Hình chiếu H là giao điểm () và (D) là nghiệm hệ trên * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (D) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u D +) giải hệ gồm PTmp() PT(D) +) Hình chiếu H là giao điểm () và (D) là nghiệm hệ trên Bài toán 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp * Đối xứng qua mp() +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là n +) giải hệ gồm PTmp() PT(D) +) Hình chiếu H là giao điểm () và (D) là nghiệm hệ trên +) Tọa độ điểm đối xứng A/ : x 2x x H A/ y 2y y H A/ z 2z H z / A * Đối xứng quađường thẳng (D) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là uD Trang 13 Lop11.com (14) PTmp() PT(D) +) giải hệ gồm +) Hình chiếu H là giao điểm () và (D) là nghiệm hệ trên x 2x x H A/ y 2y y H A/ z 2z H z / A +) Tọa độ điểm đối xứng A/ : Bài toán 4: xác định vị trí tương đối mp và mp, đt và đt, đt và mp * Vị trí tương đối mp (P) và mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = với n =(A;B;C) và n =(A/; B/ ; C/ ) (P) (Q) <=> A/ = B/ = C/ = D/ (P) // (Q)<=> A A A/ (P) cắt (Q)<=> B B B/ = A A/ = B B/ Chuù yù : / <= > caét / <=> C C C/ B B/ D D D/ C C/ n n = n vaø n C C/ d(A;()) = A A/ <=> AA/ + BB/ + CC/ = khoâng cuøng phöông * vị trí tương đối đ.thẳng (d1) và (d2) Xác định các VTCP u =(a;b;c) , u / =(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u , u / ] Neáu :[ u , u / ]= +) chọn M1 (d1) Nếu M1 d2 thì d1 // d2 Nếu M1 (d2) thì d1 d2 +) thay PTTS đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta PT theo ẩn t +) PTVN thì (D)//mp(P) Nếu PTVSN thì (D) mp(P) Nếu PT có nghiệm thì (D) cắt mp(P) =>giao điểm? Hoặc có thể dung cách sau: +) tìm tọa độ VTCP u (D) và VTPT n mp(P) +) Tính tích vô hướng u n = ? Nếu tích vô hướng này u n thì (D) cắt mp(P) Nếu u n = thì chọn điểm M trên (D) sau đó thay vào PT mặt phẳng (P) thỏa mãn thì (D) mp(P) còn ngược lại thì (D)//mp(P) Bài toán 5: Tính khoảng cách * từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = Neáu [ u , u / ] Ta giải hệ d1 d theo t và t/ (cho PTTS hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ) +) hệ có nghiệm t và t/ thì d1 caét d2 => giao điểm +) hệ VN thì d1 cheùo d2 * Vị trí tương đối đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P) Ax By0 Cz0 D A B2 C * (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với điểm A chọn tùy ý trên (P) * Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P) +) chọn điểm M trên (d) tính d(M;(d)) = ? +) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P)) * Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D)(không có công thức tính chương trình phân ban ban bản) ta có thể tính sau: +) lập PT mp(Q) qua A và vuông góc với (D) +) Tìm giao điểm H mp(P) và đ.thẳng (D) +) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH * Khoảng cách hai đường thẳng song song (d) và (d/) +) Chọn điểm M trên (d) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d +) Tìm điểm N là giao điểm (d/ ) và mp(P) ( cách giải hệ gồm PTcủa (d/) và PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N) Trang 14 Lop11.com (15) HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 +) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN * Khoảng cách hai đường thẳng chéo (d) và (d/) * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/) +) chọn M trên đ.thẳng (d) +) VTPT () là n P [u d , u d ] => Viết PT mp(P) qua M và có VTPT n P [u d , u d ] * Chọn điểm N trên (d/) Tính d(N, mp(P)) =? => d((d), (d/)) = d(N, mp(P)) Bài toán 6: Tính góc * Góc hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = và mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = là sin = n u P D = nP uD aA bB cC A B2 C a b c Với A mp(P)) ((D), / / thì cos = n1.n = n1 n x x 0/ a t / / / y y0 b t / / z z c t thì A1A B1B2 C1C2 2 A12 B12 C12 A 2 B2 C Với Góc hai đường thẳng cos = A ((mp(Q),mp(P)) * Góc đường thẳng (D): Với x x at y y0 bt z z0 ct (D1) : x x a1t y y0 b1t z z0 c1t Và (D2): u1.u a1a b1b c1c2 u1 u a12 b12 c12 a 22 b 22 c22 = A ((D ), (D )) Trang 15 Lop11.com (16)