[r]
(1)trờng thpt phú xuyên a Môn: Toán (Đợt 2)
Thi gian lm 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y=2x −1
x −1 (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Tìm hai điểm M N lần lợt thuộc nhánh bên phải bên trái (C) cho độ dài đoạn thẳng MN ngắn
C©u II: (2 điểm)
1 Giải phơng trình:4 sin
2x+6 sin2x −9−3 cos 2x
cosx =0
2 Giải hệ phơng trình:
Câu III: (1 điểm) TÝnh tÝch ph©n I=∫ 3ln
dx
Câu IV: (1 điểm) Cho hệ bất phơng trình:
x24x 0
5+x 5 x+2√25− x2+m≥0 ¿{
¿ ¿ Tìm m để hệ bt phng trỡnh cú nghim
Câu V: (1 điểm) Cho hình chóp SABC có ABC cân A, = ( < < 900 ), AB = a,
SA = SB = SC = a√2
2 TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABC theo a
Câu VI: (2 ®iĨm)
1 Cho Elíp (E): đờng thẳng Gọi B, C giao điểm ( ) (E) Tìm cho diện tích tam giác ABC lớn
2 Cho đờng thẳng: (d1): x −1
2 =
y+1
1 =
z −2
−1 , (d2):
x −2
1 =
y −1=
z+1
2 , (d3):
x −9
2
1 =
y −3
2
2 =
z −1
Viết phơng trình đờng thẳng (d) // (d3) đồng thời cắt hai đờng thẳng (d1) (d2)
Câu VII: (1điểm) Cho a, b, c thỏa mÃn Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
-
sở gd - đt hà nội đáp án thang điểm –
trờng thpt phú xuyên a kỳ thi thử đại học năm học 2009-2010 Môn: Toỏn , Ln 2
Câu ý Đáp án
(2)I.1
1 a/TX§: D = R\ {1}
b/Sù biÕn thiªn:
+Giới hạn: Tính giới hạn
Đờng thẳng x = y = lần lợt tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số
0.25
+Đạo hàm: y '=1
< x D Hàm số nghịch biến từng khoảng
xỏc nh.
Chỳ ý: Nu hs kết luận hàm số nghịch biến tập D hay tập xác định khơng cho điểm phần ny.
0.25 BBT:
0.25
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1;2) hai đờng tiệm cận tâm đối xứng
0.25
I.2
1 Ta cã : y = = +
Vì M N lần lợt thuộc nhánh bên phải bên trái ( C ) nên ta giả sử :
M(1+a; + ) N(1 - b; - ) víi a,b > 0.25 MN2
=¿ 0.25
MN2≥
¿ 0.25
MNmin = 2√2 a = b =1
Hai điểm cần tìm là: M(2;3) , N(0;1) 0.25
II 2
II.1 1
§iỊu kiƯn: cosx
Khi phơng trình tơng đơng với: 4sin22x + 6sin2x - - 3cos2x = 0
4cos22x + cos2x + = 0
0.5 ⇔
¿ ¿ ¿
0.25
¿¿⇔x=±π
3+kπ(k∈Z)
Kết luận: phơng trình cho có Hai họ nghiệm :x=±π
3+kπ(k∈Z)
(3)II.2
Thế = 2y2 - x2 từ phơng trình đầu vào phơng trình thứ hai ta đợc :
0.25 Khi y = hệ vô nghiệm
Khi , chia vÕ cho
0.25
đặt , ta có:
0.25
Khi ,ta cã : HPT
Vậy hệ cho có hai nghiệm : x = y = x = y = -1
0.25
III
1 Ta cã: I=∫
0 3ln
e x
3dx
e x
3¿ ¿ ¿
Đặt: u =ex33 du =e
x
3dx;x=0u=1; x=3 ln 2⇒u=2
0.25
I=∫
3 du
u¿ ¿¿=3∫1
¿ ¿ 0.25
= 3(1
4ln|u|−
4ln|u+2|+ 2(u+2))¿1
2
0.25
¿3
4ln( 2)−
1
VËy: I ¿3
4ln( 2)−
1
0.25
IV 1
Ta cã: x2 - 4x x [0;4]
hệ cho có nghiệm
bất phơng trình:5+x 5 x+225 x2+m0 (1) có nghiệm đoạn [0;4]
0.25
Đặt t = √5+x −√5− xt '=
2√5+x+
1
2√5− x>0∀x∈[0;4]
khi x [0;4] th× t [0;2]
0.25
Khi bất pt (1) trở thành: t + (10 - t2) + m (2)
m t2 - t - 10 = f(t)
ta cã: f’(t)= 2t-1 f’(t)=0 t = 1/2
0.25
Ta có:(1) có nghiệm [0;4] (2) có nghiệm [0;2] m Vậy: với m hệ cho có nghiệm
(4)V
1
Gọi H trung điểm BC Vì SA = SB = SC hình chiếu I điểm S (ABC) tâm đờng tròn ngoi tip ca ABC
Mặt khác: ABC c©n ë A I AH
0.25
Trong ABH ta cã: HB = AB.sin = a.sin BC = 2a.sin
Theo định lí sin ta có: IA = =
0.25 SI2 = SA2 - IA2 = SI = 0.25
VSABC = SI.SABC = SI AB.AC.sinA = sin (®vtt) 0.25
VI
2
VI.1
1
Gọi A(x;y) (E) Vì nên tađặt: x = 2cost y = 2sint (với )
0.5
Vì BC khơng đổi Diện tích tam giác ABC lớn d(A; ) lớn Ta có: Max d(A; ) = cos(t +)=1 t = A(2; - )
VËy: A(2; - ) điểm cần tìm
0.5
VI.2
1 Gọi A,B lần lợt giao điểm đờng thẳng d với đờng thẳng d1 d2
A (d1) A(1 + 2t ; -1 + t ; - t ) ; B (d2) B( + u ; -u ; -1 + 2u )
⃗AB= ( -2t + u + ; -t -u +1 ; t + 2u -3 )
đờng thẳng d3 có véc tơ phơng ⃗U3= (1 ; ; -1)
0.25
V× (d)//(d3) ⃗AB//⃗U3
−2t+u+1
1 =
−t −u+1
2 =
t+2u −3
−1
t = ; u = A(4 ; ; ) ; B( ; ; )
0.25
đờng thẳng (d) qua hai điểm A B nên (d) có phơng trình:
x −4
1 =
y −1
2
2 =
z−1
2
−1
0.25
V× ⃗AB//⃗U
3thì đờng thẳng (d) trùng với đờng thẳng (d3) nên ta
kiĨm tra l¹i:
Thay toạ độ A(4; ; ) (d) vào phơng trình (d3) ta đợc:
4−
9
1 =
1
2−
3
2 =
1
−1
( tho¶ m·n) (d) (d3)
Vậy, khơng có đờng thẳng (d) thoả mãn u cầu toán
0.25
VII 1
(5)a √1+b2+
a √1+b2+
1+b
2√2 3a
6 √8=
3a
√2(1)
b3 √1+c2+
b3 √1+c2+
1+c2
2√2 3b2
6 √8 =
3b2
√2(2)
c3
√1+a2+
c3
√1+a2+
1+c2
2√2 3c2
6 √8=
3c2
√2(3)
Cộng vế với vế đẳng thức (1),(2) (3) ta có: 2P+
2√2(1+a
2
+1+b2+1+c2) √2(a
2
+b2+c2)
P
√2 dÊu “=” x¶y a = b = c = Vậy, Giá trị nhỏ cđa P lµ
√2
0.5